FUNDAMENTOS ONTOLGICOS Y EPISTEMOLGICOS SOBRE LA COGNICIN MATEMTICA Juan D. GodinoDepartamento de Didctica de la MatemticaUniversidad de Granada

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NDICE1. Una perspectiva sobre el conocimientos matemtico2. Naturaleza de los objetos matemticos 3. Lenguaje matemtico: Representacin y significacin 3.2. Teoras referenciales3.3. Teoras operacionales3.4. Semitica y filosofa del lenguaje4. Naturaleza de las matemticas segn Wittgenstein4.1. El lenguaje matemtico como herramienta4.2. Alternativa al platonismo y mentalismo4.3. Creacin intradiscursiva de los objetos matemticos (Sfard)4.4. Caractersticas y limitaciones del convencionalismo de Wittgenstein como modelo de cognicin matemtica

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ndice5.Representaciones internas y externas5.1. Sistemas de representacin en educacin matemtica5.3. Registros de representacin, comprensin y aprendizaje5.4. Esquemas cognitivos 5.5.Conceptos y concepciones en educacin matemtica6. Epistemologas de la matemtica6.1. Constructivismos. Epistemologa gentica6.2. Interaccionismo simblico como acceso al conocimiento6.3. Aprendizaje discursivo o comunicacional6.4. Una epistemologa experimental: La Teora de las Situaciones Didcticas6.5. Antropologa cognitiva: La matemtica como actividad humana7. La metfora ecolgica en el estudio de la cognicin matemtica 8. Necesidad de un enfoque unificado sobre la cognicin y la instruccin matemtica

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1. UNA PERSPECTIVA SOBRE EL CONOCIMIENTO MATEMTICOLas teoras referenciales y operacionales sobre el significado, as como el marco general de la semitica y filosofa del lenguaje como punto de entrada al estudio de los objetos matemticos. La posicin de Wittgenstein como promotor de la visin antropolgica sobre las matemticas.

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Las nociones de representacin interna y externa sobre el conocimiento, incluyendo la nocin de esquema cognitivo y concepcin en sus diversas acepciones. Enfoques epistemolgicos (constructivismos, interaccionismo simblico, aprendizaje discursivo, antropologa cognitiva).Teora de situaciones didcticasTeora antropolgica en didctica de las matemticasUso de la metfora ecolgica en el estudio de los conocimientos matemticos institucionales.

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2. NATURALEZA DE LOS OBJETOS MATEMTICOSImportancia del significado para la didctica de la matemtica:"Un problema pertenece a una problemtica de investigacin sobre la enseanza de la matemtica si est especficamente relacionado con el significado matemtico de las conductas de los alumnos en la clase de matemticas" (Balacheff)Significado naturaleza de los objetos matemticos

indagacin ontolgica y epistemolgicaBrousseauSierpinskaDummettBrunerPimm ........

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3. LENGUAJE MATEMTICO: SIGNIFICADO, REPRESENTACIN Y COMPRENSINSe considera esencial que los estudiantes conozcan el significado de los trminos, expresiones, representaciones: EL LENGUAJE en sus diferentes registros.El 'significado' es uno de los trminos ms ambiguos y ms controvertidos de la teora del lenguaje.ntimamente relacionado con representacinTeoras referenciales, analticas o realistasTeoras operacionales o pragmticas

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La complejidad del problema semntico del lenguaje matemtico se incrementa por la variedad de registros semiticos utilizados en la actividad matemtica (uso del lenguaje ordinario, oral y escrito, smbolos especficos, representaciones grficas, objetos materiales, etc.).

Adems, no slo nos interesa analizar el "significado" de los objetos lingsticos matemticos, sino tambin los diversos "objetos matemticos" (situaciones-problemas, tcnicas, conceptos, proposiciones, argumentaciones, teoras, etc.).

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3.1. TEORAS REFERENCIALESTringulo bsico de Ogden y Richards:

A: la palabra mesa,C: una mesa particular a la que me refieroB: concepto de mesa, algo existente en mi mente..

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En las teoras realistas las expresiones lingsticas tienen una relacin de atribucin con ciertas entidades (objetos, atributos, hechos). el significado de un nombre propio consiste en el objeto que se designa por dicho nombre; los predicados (por ejemplo, esto es rojo; A es ms grande que B) designan propiedades o relaciones o, en general, atributos; las oraciones simples (sujeto - predicado - objeto) designan hechos (por ejemplo, Madrid es una ciudad)

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LECTURA COMPLEMENTARIA sobre la nocin de representacin en filosofa, psicologa y didctica:

FONT, V. (2000). Algunos puntos de vista sobre las representaciones en didctica de las matemticas. Philosophy of Mathematics Education Journal.Recuperable en Internet:http://www.ugr.es/local/jgodino(Foro teoria-edumat)

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3.2. TEORAS PRAGMTICAS Ideas bsicas : El significado de las expresiones lingsticas depende del contexto en que se usan.Niegan la posibilidad de observacin cientfica, emprica e intersubjetiva de las entidades abstractas - como conceptos o proposiciones. Lo nico accesible a la observacin cientfica es el uso lingstico."Para un gran nmero de casos -aunque no para todos- en que empleamos la palabra "significado", este puede definirse as: el significado de una palabra es su uso en el lenguaje" (Wittgenstein, 1953, p. 20).

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Significado en WITTGENSTEIN:Una palabra se hace significativa por el hecho de desempear una determinada funcin en un juego de lenguajeNo existe siempre una realidad en s que sea reflejada por el lenguajeEl mundo se nos revela slo en la descripcin lingstica. El lenguaje puede formar parte de diversas "formas de vida

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La concepcin operacionista del significado resalta el carcter instrumental del lenguaje. "Pensad en los utensilios de una caja de herramientas: hay all un martillo, alicates, un serrucho, un destornillador, una regla, un bote de cola, cola, clavos y tornillos. Las funciones de las palabras son tan diversas como las funciones de estos objetos" (Wittgenstein, 1953, p. 6). Al igual que ocurre en el ajedrez, en el que "el significado" de una pieza debemos referirlo a las reglas de su uso en el juego, el significado de las palabras vendr dado por su uso en el juego de lenguaje en que participa.

RELATIVIDAD INSTITUCIONAL DEL SIGNIFICADO

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3.3. COMPLEMENTARIEDAD REALISMO - PRAGMATISMODilema entre teoras realistas y pragmticasULLMAN: El investigador debe comenzar por reunir una muestra adecuada de contextos y abordarlos luego con un espritu abierto, permitiendo que el significado o los significados emerjan de los contextos mismos. Una vez que se ha concluido esta fase, puede pasar con seguridad a la fase referencial y procurar formular el significado o los significados as identificados Para nosotros el significado comienza siendo pragmtico, relativo al contexto, pero existen tipos de usos que permiten orientar los procesos de enseanza y aprendizaje matemtico.

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3.4. SEMITICA Y FILOSOFA DEL LENGUAJELa teora del lenguaje de Hjemslev: El investigador en didctica de la matemtica acaba analizando textos (diseos, transcripciones, pruebas, etc.) La teora lingstica de Hjemslev intenta mostrar el camino que lleva a una descripcin autoconsecuente y exhaustiva del texto por medio del anlisis: Progresin deductiva de la clase al componente y al componente del componente, as como a la identificacin adecuada de las dependencias mutuas entre las distintas partes entre s, sus componentes y el texto en su conjunto. Principio bsico: Tanto el objeto sometido a examen como sus partes tienen existencia slo en virtud de las dependencias mutuas

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LA NOCIN DE FUNCIN (Hjemslev):La dependencia entre el texto y sus componentes y entre estos componentes entre s. Se dice que hay funcin entre una clase y sus componentes y entre los componentes entre s. A los terminales de una funcin los llama funtivos, esto es, cualquier objeto que tiene funcin con otros Sentido de funcin, como correspondencia (dependencia) y como realizacin de un papel, toma una posicin definida en la cadena.

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FUNCIN DE SIGNO (Funcin semitica)Entre los posibles tipos de dependencias que se pueden identificar entre partes de un texto destacan aquellas en que una parte designa o denota alguna otra.La primera (plano de expresin) funciona o se pone en representacin de la segunda (plano del contenido), esto es, seala hacia un contenido que hay fuera de la expresin. Esta funcin es la que designa Hjemslev como funcin de signo y que Eco (1979: 83) presenta como funcin semitica.

Signo: entidad generada por la conexin entre una expresin y un contenido

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Cualquier signo, cualquier sistema de signos, cualquier lengua contiene en s una forma de la expresin y una forma del contenido. La primera etapa del anlisis de un texto debe consistir, por tanto, en un anlisis que diferencie estas dos entidades. En nuestra Teora de las Funciones Semiticas proponemos, adems de las dependencias representacionales, las de naturaleza operatoria o actuativa (INSTRUMENTAL) y las cooperativas (dos o ms entidades cooperan para producir una unidad significativa ms global) (ESTRUCTURAL)

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SEMITICA COGNITIVA DE U. ECOEco (1999). Kant y el ornitorrincoTIPO COGNITIVO: es el procedimiento o regla que permite a un sujeto construir las condiciones de reconocibilidad e identificacin de un objeto

CONTENIDO NUCLEAR: conjunto de interpretantes a que da lugar un TC (palabras, gestos, imgenes, diagramas)

CONTENIDO MOLAR: la serie controlable de lo que se puede decir sobre, o hacer con el objeto (caballo, mediana) de manera especfica y que es compartida socialmente.

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El constructo "contenido molar" tiene una gran similitud con nuestro "sistemas de prcticas institucionales", que consideramos como "el significado del objeto institucional" correspondiente. Parece que en la semitica cognitiva de Eco faltara la nocin que podra ser como el equivalente institucional al "tipo cognitivo" (que para nosotros equivaldra al "objeto personal"). En nuestro caso introducimos el objeto institucional como "emergente del sistema de prcticas institucionales", que podra interpretarse, en trminos de Eco, como "aquello que permite el reconocimiento pblico de un objeto", esto es, la definicin matemtica de un objeto.

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4. NATURALEZA DE LAS MATEMTICAS SEGN WITTGENSTEINObservaciones sobre los fundamentos de las matemticasInvestigaciones filosficas Plantea el reto de superar el platonismo y psicologismo dominante, y dejar de hablar de objetos matemticos como entidades ideales que se descubren, y dejar de considerar las proposiciones matemticas como descripcin de las propiedades de tales objetos. Una visin alternativa: Las proposiciones matemticas deben verse como instrumentos, como reglas de transformacin de proposiciones empricas.

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4.1. EL LENGUAJE MATEMTICO COMO HERRAMIENTA Wittgenstein rechaza la concepcin realista (Augustiniana) del significado de las palabras: Las expresiones matemticas tales como '0', '-2'; ; 0, o incluso '+', 'x4', 'ex', se toman como nombres de entidades, y la cuestin, "Qu significan", se reduce a, "En lugar de qu estn"? Wittgenstein: deberamos considerar las palabras como herramientas y clarificar sus usos en nuestros juegos de lenguaje. EJEMPLO: las palabras-numricas son instrumentos para contar y medir; el dominio de la serie de nmeros naturales, se basa en el entrenamiento en el recuento.

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"Cul es el significado de la palabra 'cinco'"? "Aqu no se cuestiona tal cosa, slo como se usa la palabra 'cinco'". "Lo que estamos buscando no es una definicin del concepto de nmero, sino una exposicin de la gramtica de la palabra 'nmero' y de los numerales". La asimilacin de los trminos matemticos a nombres, especialmente la concepcin de que son nombres de objetos ideales o abstractos, es fundamental para las confusiones que se producen al reflexionar sobre las matemticas. Las proposiciones matemticas se deben distinguir tambin de las descripciones. Las deberamos ver como instrumentos e indagar sobre sus papeles, sus usos en la prctica.

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4.2. ALTERNATIVA AL PLATONISMO Y MENTALISMO '2+2 = 4' es una afirmacin sobre nmeros Los leones son carnvoros es una afirmacin sobre leones. Los enunciados sobre leones nos dicen hechos sobre leones, pero lo que llamamos 'enunciados sobre nmeros' tienen el papel de reglas para el uso de las palabras numricas o numerales. El fallo en distinguir estos diferentes usos de 'referir' es uno de los muchos estmulos para apoyar el mito de que las proposiciones necesarias se refieren a tipos especiales de entidades, objetos abstractos, Objetos Ideales o Universales que constituyen la esencia de las cosas.

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Somos propensos a pensar de la geometra como la ciencia sobre Objetos Ideales. Decimos que una lnea eucldea no tiene amplitud mientras que todas las lneas trazadas con un lpiz la tienen, que un tringulo eucldeo tiene exactamente 180, mientras que todos los tringulos mundanos se desvan ms o menos. Esta es una imagen ofuscada. Una geometra no es una teora del espacio, sino ms bien un sistema de reglas para describir objetos en el espacio. NO HAY NINGUNA COSA COMO UN OBJETO IDEAL O UN OBJETO ABSTRACTO La verdad de una proposicin matemtica es enteramente independiente de cmo sean las cosas en la realidad.

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4.3. CREACIN INTRADISCURSIVA D LOS OBJETOS MATEMTICOSSfard (2000): presenta una visin Wittgensteiniana de las matemticasDistingue el discurso de la realidad de hecho y el discurso matemtico (realidad virtual)La tesis central que defiende Sfard en este trabajo es que "el discurso matemtico y sus objetos son mutamente constitutivos: La actividad discursiva, incluyendo la produccin continua de smbolos, es la que crea la necesidad de los objetos matemticos; y son los objetos matemticos (o mejor el uso de smbolos mediado por los objetos) los que, a su vez, influyen en el discurso y le lleva hacia nuevas direcciones" (p. 47)

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4.4. CARACTERSTICAS Y LIMITACIONES DEL CONVENCIONALISMO DE WITTGENSTEIN COMO MODELO DE COGNICIN MATEMTICALa adopcin en el seno de las instituciones educativas de una epistemologa realista y una semitica referencial parece til. La metfora del objeto matemtico nos parece una herramienta til tanto para estructurar el cuerpo de conocimientos matemticos (o si se prefiere la gramtica matemtica), como tambin para organizar los procesos de estudio de las matemticas. Considerar los objetos matemticos (conceptos, proposiciones, teoras) como las reglas gramaticales (al menos desde el punto de vista institucional) permitira resolver el dilema y evitar las confusiones de las que nos advierte.

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La filosofa de Wittgenstein nos parece insuficiente para basar en ella el anlisis de los procesos de estudio de las matemticas.Concebir la matemtica como la gramtica del uso de smbolos y expresiones resuelve el problema de explicar el carcter necesario de las proposiciones, pero no para explicar la eficacia de su aplicacin, ni la motivacin de su adopcin. Cmo se generan las reglas? No basta con saber seguir las reglas, hay que conocer su motivacin, su aplicacin, y sobre todo saber derivar nuevas reglas tiles para organizar nuestros mundos. LA MATEMTICA ES CREACIN Y DESCUBRIMIENTO, GRAMTICA Y HEURSTICA

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5. REPRESENTACIONES INTERNAS Y EXTERNAS5.1. Usos de representacionesUna situacin fsica, externa y estructurada, o un conjunto de situaciones de un entorno fsico, que se puede describir matemticamente o se puede ver como concretizacin de ideas matemticas;Una materializacin lingstica, o un sistema lingstico mediante el que se plantea un problema o se discute un contenido matemtico, con nfasis en las caractersticas sintcticas y en la estructura semntica.

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Un constructo matemtico formal, o un sistema de constructos, que puede representar situaciones mediante smbolos o mediante un sistema de smbolos, usualmente cumpliendo ciertos axiomas o conforme a definiciones precisas -incluyendo constructos matemticos que pueden representar aspectos de otros constructos matemticos.Una configuracin cognitiva interna, individual, o un sistema complejo de tales configuraciones, inferida a partir de la conducta o la introspeccin, que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemtico y la resolucin de problemas.

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CARACTERSTICAS DE LAS REPRESENTACIONESSistmicas: Componentes y estructura R. EXTERNAS:Signo o una configuracin de signos, caracteres u objetos que pueden ponerse en lugar de algo distinto de l mismo.Convencin y ambigedadBidireccionalR. INTERNAS:Constructos de simbolizaicn personal de los sujetos, asignaciones de significado a las notaciones, imaginacin visual, estrategias y heursticas, afectos.

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INTERACCIN R. EXTERNAS E INTERNASLas representaciones internas son siempre inferidas a partir de sus interacciones con, o su discurso sobre, o la produccin de representaciones externas. Se considera til pensar que lo externo representa lo interno y viceversa. Un concepto matemtico se ha aprendido y se puede aplicar en la medida en que se han desarrollado una variedad de representaciones internas apropiadas, junto con las relaciones funcionales entre ellas.

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OBJETIVO INSTRUCCIONAL Desarrollo de sistemas internos eficientes de representacin en los estudiantes que correspondan de manera coherente, e interacten bien, con los sistemas externos convencionalmente establecidos de las matemticas.

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REFLEXIN CRTICA SOBRE LAS REPRESENTACIONES:Kaput se pregunta, Qu es el sistema de numeracin decimal? Es interno, externo, o ambas cosas? ... Qu representa (nmeros)? Para quin y bajo qu circunstancias? Es un objeto matemtico? Es una parte de las matemticas, o slo un lenguaje usado para representar y trabajar con objetos matemticos reales, los nmeros naturales? Qu son los nmeros naturales?

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5.3. ESQUEMAS COGNITIVOSG. VERGNAUD:"Un esquema es la organizacin invariante de la conducta para una cierta clase de situaciones"Componentes de los esquemas:Invariantes operatorios (conceptos y teoremas en acto)Anticipaciones del fin a lograr, de los efectos y etapas intermediasReglas de accin, si ... entonces ...Inferencias (o razonamientos) que permiten calcular las reglas y las anticipaciones a partir de las informaciones y del sistema de invariantes operatorios.

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EJEMPLOS DE ESQUEMAS PERCEPTIVOS-GESTUALES Contar un conjunto de objetos; Dibujar la imagen simtrica de una figura plana poligonal sobre papel cuadriculado; Dibujar la imagen simtrica de una figura plana slo con regla y comps; Dibujar un grfico o un diagrama.En la aplicacin de estos esquemas se ponen en juego conceptos y teoremas matemticos. Contar un conjunto de objetos implica al menos el concepto de correspondencia uno a uno y el concepto de nmero cardinal.

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5.4. CONCEPTOS Y CONCEPCIONESA. SFARD:concepto o nocin: "una idea matemtica en su forma 'oficial' - como un constructo terico dentro "del universo formal del conocimiento ideal". concepcin:"aglomerado completo de representaciones internas y asociaciones evocadas por el concepto - la contrapartida del concepto en el universo interno o subjetivo del conocimiento humanoDos facetas o descripciones: Operacional y estructural

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El concepto puede verse como un objeto abstracto, con una cierta estructura descrita mediante definiciones estructurales; esto lleva a considerarlo como una cosa real -una estructura esttica que existe en algn lugar del espacio y del tiempo. Esto supone reconocer la idea a primera vista y a manipularla como un todo, sin especificar los detalles.

En contraste, interpretar una nocin como un proceso implica considerarlo como una entidad ms bien potencial, que adquiere existencia en cada circunstancia mediante una secuencia de acciones. Por ejemplo, la nocin de funcin dada como un conjunto de pares ordenados responde a una descripcin estructural, mientras que al proporcionar un proceso de clculo de los valores imgenes a partir de los originales se tiene una descripcin operacional.

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CONCEPTO Y CAMPO CONCEPTUAL (VERGNAUD)El concepto como tripleta (S, I, z):S: conjunto de situaciones que hacen significativo el concepto; I: conjunto de invariantes que constituyen el concepto; z: conjunto de representaciones simblicas usadas para presentar el concepto, sus propiedades y las situaciones a las que se refiere.Campo conceptual:Conjunto de situaciones, y de conceptos y teoremas, que se ponen en juego en la solucin de tales situaciones.(estructuras aditivas; multiplicativas; lgebra elemental; ...)

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6. EPISTEMOLOGIAS DE LA MATEMTICA6.1. CONSTRUCTIVISMOS RADICALLa metfora de la construccin:El conocimiento no es recibido pasivamente por el sujeto cognitivo sino activamente construido (Primer principio)Constructivismo radical (von Glasersfeld):La funcin de la cognicin es adaptativa y sirve a la organizacin del mundo experiencial, no al descubrimiento de una realidad ontolgica. (Segundo principio)De explorador condenado a buscar propiedades estructurales de una realidad inaccesible, el organismo inmerso en la experiencia se convierte ahora en un constructor de estructuras cognitivas que pretenden resolver tales problemas segn los percibe o concibe el organismo.

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CONSTRUCTIVISMO SOCIALEl sujeto individual y el dominio de lo social estn indisolublemente interconectados.Ontologa relativista modificada: hay un mundo exterior soportando las apariencias a las que tenemos un acceso compartido, pero no tenemos un conocimiento seguro de l.Epistemologa falibilista: el conocimiento convencional, vivido y aceptado socialmente.Aprendizaje constructivista, con nfasis en el papel esencial y constitutivo del lenguaje y la interaccin social.

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Siguiendo los trabajos de Wittgenstein, Vygotsky, el Interaccionismo Simblico y la Teora de la Actividad, se considera el lenguaje como el conformador, y producto resultante, de las mentes individuales.Se concede una atencin creciente al impacto del lenguaje en gran parte de la investigacin en la psicologa de la educacin matemtica, as como al papel cognitivo de caractersticas lingsticas tales como la metonimia y la metfora. Se reconoce que gran parte de la instruccin y el aprendizaje tiene lugar directamente por medio del lenguaje. Incluso el aprendizaje manipulativo y enactivo, enfatizado por Piaget y Bruner, tiene lugar en un contexto social de significado y es mediatizado de algn modo por el lenguaje y las interpretaciones asociadas socialmente negociadas.

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LECTURA COMPLEMENTARIA:Ernest, P. (1994). Varieties of constructivism: Their metaphors, epistemologies and pedagogical implications. Hiroshima Journal of Mathematics Education 2: 1-14, Traduccin en espaol disponible en:http://www.ugr.es/local/jgodino/(Foro teoria-edumat)

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6.2. INTERACCIONISMO SIMBLICOPromueve una visin sociocultural del origen y desarrollo del conocimiento.El foco de estudio son las interacciones entre individuos dentro de una cultura.Supuestos bsicos: el profesor y los estudiantes constituyen interactivamente la cultura del aula, las convenciones y convenios emergen interactivamente el proceso de comunicacin se apoya en la negociacin y los significados compartidos.

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OBJETIVOS Y NOCIONES Comprender mejor los fenmenos de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en la realidad escolar. No interesa elaborar teoras para la accin ni el diseo de acciones didcticas.NOCIONES TERICAS:Dominios de experiencia subjetivaPatrones de interaccinNormas sociomatemticasLECTURA COMPLEMENTARIA:Godino y Llinares (2000). El interaccionismo simblico en educacin matemtica.

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6.3. APRENDIZAJE DISCURSIVOKieran, Forman y Sfard (2001): Educational Studies in Mathematics El aprendizaje, concebido como una adquisicin personal est siendo complementado por una nueva visin como un proceso de participacin en un hacer colectivo. Lo importante no es el cambio del aprendiz individual sino el cambio en los modos de comunicarse con los dems.nfasis en el lenguaje y la comunicin El aprendizaje se concibe en trminos de discurso, actividad, cultura, prctica, y su desarrollo se centra en las interacciones interpersonales.

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Este nuevo marco de investigacin comienza a designarse como discursivo o comunicacional por el nfasis que atribuyen las investigaciones al lenguaje y a la comunicacin, siendo una de las diversas implementaciones posibles del enfoque sociocultural, ligado a la escuela de pensamiento de Vygotsky y a la filosofa de Wittgenstein. Esta aproximacin propone una visin del pensamiento humano como algo esencialmente social en sus orgenes y dependiente de factores histricos, culturales y situacionales de manera compleja.

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EL APRENDIZAJE COMO INICIACIN EN UN DISCURSOEl aprendizaje matemtico significa llegar a dominar un discurso que sea reconocido como matemtico por interlocutores expertos.DISCURSO:Cualquier modalidad de comunicacin, tanto si es diacrnica como sincrnica, si se realiza con otras personas o con uno mismo, tanto si es predominantemente verbal o con la ayuda de otro sistema simblico.

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FACTORES DEL APRENDIZAJE DISCURSIVO O COMUNICACIONALTILES MEDIADORES:Herramientas simblicas, lenguaje, notaciones grficos, etc.REGLAS META-DISCURSIVAS:Normas implicitas que guian el curso general de las actividades de comunicacin (juegos de lenguaje; normas sociomatemticas; contrato didctico)CONFLICTOS DISCURSIVOS:Desacuerdos en los usos habituales de las palabras.

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6.4. Una epistemologa experimental: La Teora de Situaciones DidcticasPara Brousseau, el conocimiento construido o usado en una situacin es definido por las restricciones de esta situacin, y, por tanto, si el profesor crea ciertas restricciones artificiales es capaz de provocar en los estudiantes la construccin de un cierto tipo de conocimiento. Se trata de una hiptesis que est ms prxima al constructivismo que a las aproximaciones que se derivan de la nocin Vygostskiana de zona de desarrollo prximo.

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Teora de SituacionesBrousseau establece un programa de investigacin para la didctica de la matemtica que implica estudios epistemolgicos, diseo de situaciones didcticas, experimentacin, comparacin del diseo con los procesos que tienen lugar de hecho, revisin de los estudios epistemolgicos y del diseo, y estudio de las condiciones de la reproductibilidad de las situaciones. Propone que el diseo de las situaciones didcticas relativas a un concepto matemtico dado se oriente a la construccin de su gnesis artificial, que simular los diferentes aspectos actuales del concepto para los estudiantes, y que, sin reproducir el proceso histrico, conducir a resultados similares.

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Teora de SituacionesTIPOS DE SITUACIONES DIDCTICAS:Situaciones centradas sobre 'la accin', donde los estudiantes hacen sus primeros intentos por resolver un problema propuesto por el profesor; Situaciones centradas sobre la 'comunicacin', donde los estudiantes comunican los resultados de su trabajo a otros estudiantes y al profesor; Situaciones centradas sobre la 'validacin', donde se deben usar argumentaciones tericas mas bien que empricas; y Situaciones de institucionalizacin, donde los resultados de las negociaciones y convenciones de las fases previas son resumidas, y la atencin se centra sobre los hechos 'importantes', los procedimientos, las ideas, y la terminologa 'oficial'.

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6.5. ANTROPOLOGA COGNITIVA. LA MATEMTICA COMO ACTIVIDAD HUMANACHEVALLARD:Teora Antropolgica de la Didctica de las Matemticas:Sita la actividad matemtica y la actividad de estudio de las matemticas en el conjunto de las actividades humanas y de las instituciones sociales.NOCIN DE PRAXEOLOGA:Complejo formado por la cuaterna: [T///],Tipo de tareas, tcnicas, tecnologa y teora. TRANSPOSICIN DIDCTICA; ECOLOGA DE LOS SABERES

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7. LA METFORA ECOLGICA Y COGNICINECOLOGA: Disciplina interesada por las relaciones entre los organismos y sus entornos pasados, presentes y futuros.La epistemologa ecolgica aplica la metfora ecolgica a objetos no vivos, sustituyendo los criterios de viabilidad, persistencia, por nociones como utilidad, disponibilidad, acoplamiento o compatibilidad.

E. MORIN: Las ideas, su hbitat, su vida, sus costumbres, su organizacin

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ECOLOGA DE LAS IDEAS:Cmo actan unas ideas sobre otras? Existe una especie de seleccin natural que determina la supervivencia de ciertas ideas y la extincin de otras? Qu tipo de economa limita la multiplicacin de ideas en una regin del pensamiento? Cules son las condiciones necesarias para la estabilidad (o la supervivencia) de un sistema o subsistema de este gnero" (Bateson, Ecologa del espritu, 1977)

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8. NECESIDAD DE UN ENFOQUE UNIFICADO ENFOQUE PSICOLOGISTA: nfasis en la representacin y en el individuo ( Representaciones internas, concepciones, esquemas, etc.) ENFOQUE ANTROPOLOGSTA: nfasis en la accin, rechazo de la representacin y primacia de lo institucional. Enfoques insuficientes para analizar las distintas facetas implicadas en el estudio de las matemticas: Equilibrio dialctico entre lo individual y lo institucional /socialReconocimiento de los papeles instrumentales y representacionales del lenguaje

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TEORA DE LAS FUNCIONES SEMITICAS Y ONTOLOGA MATEMTICA ASOCIADANuestra Teora de las Funciones Semiticas y la ontologa pragmtico-realista asociada trata de superar las limitaciones de los enfoques representacionistas y pragmatistas, aisladamente considerados.

El punto de partida de nuestra teorizacin es la formulacin de una ontologa de los objetos matemticos que tiene en cuenta el triple aspecto de la matemtica como actividad de resolucin de problemas, socialmente compartida, como lenguaje simblico y sistema conceptual lgicamente organizado, pero tambin la dimensin cognitiva individual.

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LECTURAS COMPLEMENTARIAS:(Disponibles en el foro: teoria-edumat)BROUSSEAU, G. (1986). Fondements et mthodes de la didactiques des mathmatiques. Recherches en Didactique des Mathmatiques, 7 (2): 33-115. CHEVALLARD, Y. (1999). El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico. Recherches en Didactique des Mathmatiques, 19 (2): 221-266ERNEST, P. (1994). Variedades de constructivismo: Sus metforas, epistemologas e implicaciones pedaggicas.. Hiroshima Journal of Mathematics Education 2: 1-14.

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GODINO, J. D. y LLINARES, S. (2000). El interaccionismo simblico en educacin matemtica. Educacin Matemtica, 12 (1): 70-92.

VERGNAUD, G. (1990). La teora de los campos conceptuales. Recherches en Didactiques des Mathmatiques, 10 ( 2, 3): 133-170. [Traduccin de Juan D. Godino]

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