2MA3dulo Completo

8/16/2019 2MA3dulo Completo

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Clase 1

Conjuntos numéricos

La Matemática está rigiendo nuestras vidas y brindándonos sus contenidos desde quenacemos. El día que nacimos, cuánto pesamos, cuántos amigos tenemos, cuántoganamos, cuánto gastamos, qué superficie tiene nuestra casa, qué porcentaje departidos lleva ganado nuestro equipo, qué temperatura hace, etc. Se va generando en

nosotros sin darnos cuenta.Los primeros aprendizajes que tenemos a ella tienen que ver con el conjunto de losnúmeros naturales. De chiquitos, aprendemos a contar hasta 10, porque podemosrelacionar estas cantidades con lo que tenemos más a mano: los dedos. Sumamos yrestamos ayudándonos con ellos. A medida que crecemos, estas operaciones secomplejizan, y aprendemos propiedades que nos ayudan con estos nuevos desafíos.Más adelante aprendemos que hay operaciones que no se pueden resolver con elconjunto de los números naturales. Puedo ir al almacén, y quedarle debiendo dinero adon José. Surge el conjunto de los números enteros. Ese conjunto está formado porlos números naturales, sus opuestos y el cero. También desarrollamos operacionesque en algún momento se vuelven incompletas, como cuando queremos repartir unchocolate entre dos personas. Y entonces se crea el conjunto de los númerosracionales (que conocemos mejor como “las fracciones). Este nuevo conjunto estáformado por todos aquellos cocientes (divisiones) que se puedan realizar entrenúmeros enteros, siempre y cuando el divisor no sea cero. Por lo tanto, en algunoscasos encontraremos que un número racional es un número natural ó entero, por loque es válido asegurar que este nuevo conjunto incluye a los anteriores, y por lo tantotoma sus propiedades a las que se anexan las propias del conjunto.

Números enteros

Como dijimos anteriormente, el conjunto de los números enteros está formado por losnúmeros naturales, sus opuestos y el cero. Es un conjunto formado por infinitosnúmeros, ya que siempre podemos encontrar un número más grande que el másgrande que podamos imaginar, ó uno más chico que el más chico. El valor de cadanúmero tiene que ver con la distancia que hay entre él y el cero: positivo si está a laderecha, y negativo si está a la izquierda.

Operaciones con números enteros

Suma y resta

• Si los números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y secoloca el mismo signo.

3 + 5 = 8

(-3) + (-5) = -8

• Si los números tienen distinto signo, se restan los valores absolutos y se colocael signo del número de mayor valor absoluto

(-3) + 5 = 2

3 + (-5) = -2


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Observación: generalmente, cuando un número es negativo se lo escribe entre paréntesis, porque no pueden escribirse dos signos juntos. Por eso “se sacan” los paréntesis, y se decide qué signo queda de la siguiente manera:

• Si el paréntesis está precedido por un signo más, queda el signo del número..• Si el paréntesis está precedido por un signo menos, se cambia el signo del

número.Por lo tanto, los casos anteriores pueden escribirse así:

(-3) + (-5) se transforma en – 3 – 5 = - 83 + (-5) se transforma en 3 – 5 = -2

Y si pensamos en la resta, se plantearía así:

(-3) - (-5) se transforma en – 3 + 5 = 2

3 - (-5) se transforma en 3 + 5 = 8

Multiplicación y división

La siguiente regla de signos sirve tanto para la multiplicación, como para la división:

Regla Ejemplos

Dos signos iguales = +3 . 5 = 15

(- 3) . (- 5) = 15

10 : 2 = 5

(-10) : (- 2) = 5

Dos signos distintos = -3 . (-5) = - 15

(- 3) . 5 = - 15

10 : (- 2) = - 5

(-10) : 2 = - 5

Ejercicios combinando las 4 operaciones fundamentales

El secreto en la resolución de los cálculos combinados reside en separar en términos y resolver las operaciones internas de cada término paso a paso. Los signos que

separan términos son los + y – de operación.

Ej:

=−−++− )3()12()4(

113124 =++− Los ejercicios se pueden ir complicando, incluyendo el uso de paréntesis, corchetes yllaves, que deben ir resolviéndose en ese orden.

Ej:

( )[ ] =−++ 6.35.224 ( )[ ] =−++ 185.224

[ ] =−+ 185.224 [ ] =−+ 13.224

( ) =−+ 2624


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22624 −=−

Obsérvese que hay dos niveles de separación en términos: en rojo, la principal, einternamente en el corchete, en verde. Se realizaron las operaciones paso a paso, locual es conveniente hacer hasta adquirir la destreza suficiente.

Potenciación

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por variosfactores iguales. Los elementos que constituyen una potencia son la base (númeroque multiplicamos por sí mismo) y el exponente (indica el número de veces quemultiplicamos la base). Lo simbolizamos así:

veces)(naaaaa n .......=

Propiedades de la potenciación

• Potencia de exponente cero

10 =a Todo nº distinto de cero elevado a la cero, da como resultado 1

• Potencia de exponente uno

aa =1

Todo nº elevado a la uno, da como resultado el mismo nº • Producto de potencias de igual base

nmnm aaa +=. Resultado: otra potencia de igual base y exponente suma de los dados.

• Cociente de potencias de igual basenmnm aaa −=: Resultado: otra potencia de igual base y exponente resta de los

dados.

• Potencia de otra potencia

( ) nmnm aa .= Resultado: otra potencia de igual base y exponente producto de losdados.

• Producto de potencias con el mismo exponente

( ) nnn baba .. = Se puede distribuir el exponente para cada factor

• Cociente de potencias con el mismo exponente

( ) nnn baba :: = Se puede distribuir el exponente para cada nº.

Observación: para la suma y la resta, la potenciación no es distributiva.

Regla de signos de la potenciación

Como las bases pueden ser tanto positivas como negativas, la regla de signos que seutiliza para evitar multiplicar cada signo es:

Regla Ejemplos( ) +=+ par ( ) 93 2 +=+

( ) +=+ impar ( ) 273 3 +=+

( ) +=− par ( ) 93 2 +=−

( ) −=− impar ( ) 273 3 −=−

Radicación


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La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en dados dosnúmeros, llamados radicando e índice, hallar un tercero llamado raíz tal que, elevadoal índice, da como resultado el radicando.

( ) radicandoraíz raíz radicando índiceíndice =⇔=

Ej.:

4643 = porque ( ) 644 3 =

En la raíz cuadrada el índice es 2, y por convención no se escribe.

Ej.:

525 = porque ( ) 255 2 =

Propiedades de la radicación

• 11 =n

• 00 =n

• nnn baba .. =

• nnn baba :: =

Observación: para la suma y la resta, la radicación no es distributiva.

Regla de signos de la radicación

Como las bases pueden ser tanto positivas como negativas, la regla de signos que seutiliza para evitar multiplicar cada signo es:

Regla Ejemplos

+=+impar

51253 +=+ porque ( ) 1255 3 +=+

−=−impar 51253

−=− porque ( ) 1255 3 −=−

±=+ par

2164 ±=+ porque ( ) 162 4 +=+ y ( ) 162 4 +=−

∃/=− par

existeno=−4 16

Ejercicios combinando las 4 operaciones fundamentales con potencias y raíces

Cuando se incluyen potencias y raíces, el orden a seguir es:

• Operaciones en los paréntesis, corchetes y llaves.• Calcular potencias y raíces.

• Efectuar productos y cocientes.

• Realizar sumas y restas.

Ej.:


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( ) ( )[ ]{ } ( ) =−+++−−++− − 2:25.3610842 47

( ) [ ]{ } ( ) =−++−−++− 2:5.610842 3

( ) [ ]{ } ( ) =−+−++− 2:30748

( ) { } ( ) =−+−+− 15748

( ) { } =−−+− 1538

261538 −=−−−

Otras propiedades que deben tenerse en cuenta en la resolución de los ejercicios sonlas distributivas.

( ) cabacba ... +=+

( ) acabacb ... +=+ (es conmutativa)

( )( ) d bcbd acad cba ..... +++=++

( ) cbcacba ::: +=+

( ) bcacbac ::: +≠+ (no es conmutativa)

Ejercicios

1. Colocar V o F según corresponda en cada caso:

a ) d a <

b ) b>0

c ) c>0

d ) cd <

e ) 0>d

f ) 0

h ) a


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a ) =−+ 108

b ) =+− 73

c ) =−− 77

d ) =−+ 715

4. Resolver aplicando propiedades:

a ) =44 2.8

b ) ( ) ( ) ( ) =−−− 865 4:4.4

c ) ( )[ ] ( ) =−− 1554 2:2

d ) =64.100

e ) ( ) =35.2

f ) =55 20:40

5. Resolver los siguientes cálculos combinados:

a ) ( ) ( ) =+−−−+ 023 8512:242.18

b ) ( ) ( ) ( ) =−+−+−− 121586:6 447

c ) ( ) =+−+ 3:507106:12:38 3 22

d ) ( ) =++ 30573 64.72:2125:25.4.100

Respuestas

1. a) F b) F c) V d) F e) F f) F g) V h) V

2.

( )( )4.2 −+ ( )( )2.2 −−

( )( )5.8 +− ( ) ( )8:24 −+

( )( )4.10 ++ ( )( )1.8 −+

( )( )1.8 −− ( ) ( )5:40 −− ( ) ( )3:12 +− ( ) ( )9:36 +−

( ) ( )5:15 −+ ( )( )2.20 −−

( ) ( )5:20 ++ ( ) ( )9:27 −−

( ) ( )6:18 −− ( )( )10.4 −+

3. a) -2 b) +4 c) -14 d) +8

4. a) 2162.8 44 == b) ( ) ( ) 6444 3865 −=−=− −+

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 32222:2 51520155.4 −=−=−=−− − d) 808.1064..100 ==

e) 1000125.85.2 33 == f) ( ) 32220:40 55 ==

5. a) -12 b) -146 c) 8 d) 100

Números racionales

El conjunto de los números racionales se genera ante la imposibilidad de resolverdivisiones entre números enteros, que no daban resultados justamente enteros. Por


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ejemplo, al resolver -30 : 5 se obtiene -6, pero si queremos hacer 4: (-3) esa operaciónno genera un número entero. Por una cuestión estética o de convención, se sueleescribir a los números racionales como fracciones. A su vez, todas las fracciones sepueden escribir como números decimales, al efectuar la división entre ellos.

Ej:

5,2

4

10−=

− 6,1...6666,1

3

5 )==

Lo cual nos lleva a confesar que no todos los números decimales se pueden escribircomo fracciones:

Ej:

10

44,0 =−

3

43,1 −=−

)

....74142135623,12 = no se puede escribir como fracción

Así surge otro conjunto, formado por aquellos números que tienen en su parte decimalinfinitos números que no se repiten en forma periódica, conformando así el conjunto delos números irracionales. La unión de los racionales y los irracionales forma elconjunto de los números reales. Obsérvese que hasta la aparición de los númerosracionales, cada conjunto se apropiaba del anterior: un número natural a la vez esentero y racional. Pero los racionales y los irracionales son complementarios, es decir

un número racional no puede ser a la vez irracional.

En ocasiones es útil expresar un número racional como fracción, y viceversa. Vamos aaprender ahora cómo realizar esos pasajes de expresiones.

Pasaje de fracción a número decimal

Es el más sencillo: basta con efectuar la división. Veamos distintos casos:

• Si el cociente es exacto

5,72

15=

• Si el cociente es periódico

6,2....666,23

8 )==

El arquito sobre el 6 indica que ese número se repite infinitamente. Como uno nopuede escribir esa cifra tantas veces, el número se expresa con una cantidad dedecimales a elección. Para eso se redondea. El criterio para redondear es el siguiente:

Al descartar los decimales a partir de cierta posición, se observa el valor delprimer decimal descartado: si es 5 ó más de 5, el último número que escribo se

incrementa una unidad. Caso contrario, se deja igual.

Ej:

2,35784328 expresado con 2 decimales queda 2,362,35784328 expresado con 4 decimales queda 2,3578

Pasaje de número decimal a fracción

• Si es un decimal exacto

10

1233,12 =

100

505,0 =

10

18955,189 =

1000

3458458,3 =


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Se arma una fracción en la que se coloca en el numerador la parte entera y la partedecimal, y en el denominador un uno, seguido de tantos ceros como números despuésde la coma hay. Se puede simplificar la fracción o dejarla así expresada, según laconveniencia.

• Si es un decimal periódico puro

9

434,3 +=

)

9

2152,15 +=

)

99

17071,0 +=

))

Se suma a la parte entera una fracción cuyo numerador está formado por la partedecimal periódica, y cuyo denominador tiene tantos 9 como números hay en elperíodo.

• Si es un decimal periódico mixto

90

554145,1 −

+=)

900

1313235213,35 −

+=)

990

11570751,0 −

+=))

Se suma a la parte entera una fracción cuyo numerador está formado por la diferenciaentre la parte decimal (toda) y la parte decimal no periódica , y cuyo denominador tienetantos 9 como números hay en el período, y tantos 0 como los decimales que no sonperiódicos.

En los dos últimos casos, se debe “terminar” la cuenta, para expresar el resultadocomo una única fracción.

Fracciones equivalentes

Buscar fracciones equivalentes a una dada, significa multiplicar ó dividir tanto elnumerador como el denominador por el mismo número.

Ej:

20

30

10

15= fracción amplificada

2

3

10

15= fracción simplificada

Operaciones con fracciones

Recordemos que una fracción es otra forma de expresar una división entre dosnúmeros. Pero también se puede entender como un entero dividido en una cantidadde partes iguales (denominador ), de las cuales se toma una cantidad determinada(numerador ).Si el numerador en menor que el denominador, la fracción se dice propia

5

3

SI el numerador es mayor que el denominador, la fracción se dice impropia, y sepuede escribir como número mixto.

4

31

4

7=


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Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción se dice aparente, porque enrealidad representa enteros.

43

12=

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones, es preciso que tengan el mismo denominador. Si yavienen dadas de esa forma, se suman o restan los numeradores.

Ej:

5

2

10

4

10

1

10

3==+

Siempre que se pueda hay que simplificar los resultados, expresando de este modouna fracción irreducible (que ya no se puede simplificar más)

Si no tienen el mismo denominador, se buscan fracciones equivalentes a las dadas,

hasta que los denominadores coincidan. Para acortar este trámite, el denominadorelegido debe ser un múltiplo de ambos denominadores.

12

17

12

9

12

8

4

3

3

2=+=+

Multiplicación

Se multiplican los numeradores entre sí, y los denominadores entre sí. Siempre quesea posible, antes de multiplicar, se busca simplificar, dividiendo cualquier numeradory cualquier denominador por el mismo número.

5542

1114.

53 = no se pudo simplificar previamente

3

1

1

1.

3

1

1

3.

9

1

4

3.

9

4

4

3.

27

12==== conviene simplificar antes de multiplicar

División

El procedimiento para dividir fracciones nos lleva en realidad a una multiplicación entreellas.

c

d

b

a

d

c

b

a.: =

Se invierte la segunda fracción, y se cambia la división por multiplicación.

Potenciación

Cuando hablamos de las propiedades de la potenciación, mencionamos que se podíadistribuir respecto a una división.

( ) nnn baba :: =

Pero esta expresión es equivalente a


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n

nn

b

a

b

a=

Lo que vamos a agregar como nuevo, es que si el exponente es negativo, se inviertela base de la potencia y se eleva al exponente indicado.

nn

a

b

b

a

=

−

Radicación

Al igual que en la potencia, la raíz se puede distribuir.

n

n

n

b

a

b

a=

Fracción de una cantidad

Es muy común calcular una fracción de una cantidad, Cuando decimos que dormimos

la tercera parte del día, podemos expresarlo así:3:24

Pero por lo que vimos de la división, también podemos escribirlo así:

3

1.24

Por la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos escribirlo así:

24.3

1

Y para que se parezca a lo que “se dice con palabras”, uno puede escribirlo así:

243

1 de

Aprender a calcular una fracción de una cantidad es muy útil para resolver ciertassituaciones problemáticas:

Julián tiene 30 días de vacaciones este año. Decide tomarse 3/5 de esos días enverano, y la tercera parte del resto en las vacaciones de invierno. ¿Cuántos díassin tomar le quedan?

Primero se calculan los días que se toma en verano:

1830.5

3=

Luego se calculan los días restantes121830 =−

De los 12 restantes, se calcula la mitad

4123

1=.

Por lo tanto, le quedan disponibles8412 =− días

Ejercicios

1. Expresar como nº decimal:


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a )5

38

b )8

3

c )4

35

d )65

2. Expresar como fracción irreducible:

a ) 54,3

b ) 28,0

c ) 65,13)

d ) 84,0))

e ) 934,1))

f ) 9,2)

3. Resolver los siguientes cálculos combinados. Expresar los nº decimales como

fracciones antes de operar.

a ) =−

−−

−−

−

8

7

5

2:1

10

9

5

4

100

9

4

1 1

b ) =+−

2

27.

8

310:11

3

5:

3

5 297

c ) ( ) =−+

+−

−−

2

1

3 23

82:15

6

7

d ) =

−

−+

4,02

1

1:

1,0

6,05

124,0

2

e ) =−

−

−

02,0

6,0.

125

8,0510.7,2.

4

1,11,43

2

f ) ( ) ( ) ( ) =−−+ 432 8,05,1.6,02:3,01))))

4. Resolver los siguientes problemas

a ) Lucas gasta5

2 de su sueldo en comida y

7

1 en artículos de limpieza. ¿Qué

fracción de su sueldo le sobra para otros gastos?

b ) De un camino de 480 km se recorren5

3, y luego

3

1 del resto. ¿Cuántos km

del camino faltan recorrer?


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Respuestas

1. a) 7,6 b) 0,375 c) 5,75 d) 38,0)

2. a)50

177 b)

25

7 c)

30

407 d)

33

16 e)

66

95 f) 3

3. a)

40

59− b)

2

5 c)

12

1− d) 20 e) 4 f)

27

1

4. a) Le restan35

16 de su sueldo. b) Faltan recorrer 128 km.

Clase 2

Notación científica

La notación científica es forma de expresar números que son muy grandes o muypequeños, sin usar tantos dígitos. Un número expresado en notación científica estácompuesto por:

• Un número decimal, cuya parte entera debe ser mayor o igual que 1, pero

menor que 10. O sea, únicamente puede tener los dígitos del 1 al 9, inclusiveen ambos casos.• Una potencia de 10, que puede tener exponente positivo ó negativo.

Por ejemplo: para expresar la distancia de la Tierra al Sol, podemos decir que es de149.600.000 km. , pero en notación científica diríamos 1,496 . 108 km.. O siexpresáramos el tamaño de un microbio diríamos que mide 0,000004 cm, pero ennotación científica se expresa 4 . 10-6 cm.

Por los ejemplos anteriores, podemos confirmar que los exponentes positivos se usanpara expresar cantidades muy grandes, mientras que los negativos se usan paraexpresar cantidades muy chicas.

Pasaje de un número decimal a notación científica

1. Se escribe el primer número distinto de cero que aparezca en la escritura delnúmero. Luego se escribe la coma y todos los demás números que estaban acontinuación.

2. Se escribe un 10 elevado a la potencia que representa la cantidad de lugaresque se corrió la coma entre el número original y el que escribimos en el pasoanterior.

3. El signo del exponente queda positivo si el número original era mayor que 1, ynegativo si era menor que 1.

Ej:

Expresar en notación científica los siguientes números:

19000 = 1,9 . 104 148,36 = 1,4836 . 102 0,000642 = 6,42 . 10-4

Operaciones con números expresados en notación científica

Cuando operamos en notación científica, debemos tener en cuenta, por un lado, laspropiedades de la potenciación, y por otro la condición para que un número estéexpresado correctamente en notación científica. Por ejemplo:


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9885353 10.38672,110).10.38672,1(10.8672,13)10.10).(32,4.21,3()10.32,4).(10.21,3( ====

23132525 10.75,810).10.75,8(10.875,0)10:10).(6,9:4,8()10.6,9(:)10.4,8( ==== −

Obsérvese que se realizan las operaciones entre los números por un lado, los cualessi no dan resultados expresados correctamente en notación científica deben pasarse,

y entre las potencias por otro lado.

( )( )2

18

16

117

1616

10.0045016,110.69984,6

10.73,6

10.7916,2.10.4,2

10.463,510.237,1==

+−

−

−−

−−

Ejercicios

1. Escribir los siguientes números en notación científica:

a ) 0,00021 =

b ) 12400 =

c ) 0,0000000021554 =

d ) 0,41 =

e ) Doscientos mil millones =

f ) 0,2 =

g ) 1,4

2. Escribir los siguientes números en notación decimal:

a ) 8,83 . 109 =

b ) 7,21. 10-4 =

c ) 7 . 104 =

d ) 1,62 . 10-5 =

e ) 5,8.100 =

3. Realizar las siguientes operaciones en notación científica:

a ) ) ) ) =− 694 10.2,7.10.6,3.10.25,1

b ) ) ) ) =−− 6711 10.3,6:10.5.10.67,5

c )( )( )

=+

− 1513

55

10.5,5.10.8,1

10.373,510.527,4

d ) =+

−7

54

10.2,3

10.01,210.28,5

e ) =− −−

−8

18

28

10.14,210.5,1

10.35,1

Respuestas

1) a) 2,1.10-4 b) 1,24.104 c) 2,1554.10-9 d) 4,1.10-1 e) 2.1011 f) 2.10-1

g) 1,4.100

2) a) 8830000000 b) 0,000721 c) 70000 d) 0,0000162 e) 5,8


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Página 14

3) a) 3,24.102 b) 4,5.102 c) 103 d) 7,93125.1011 e) -2,131.10-8

Clase 3

Ecuaciones

Cuando se resuelve una ecuación, se buscan valores de la incógnita que satisfagan laigualdad. No siempre se puede “arriesgar” una valor y conformarse con él, como porejemplo

713 =+ x donde no hace falta hacer demasiado para darnos cuenta que el resultado es 2= x .Pero podemos encontrarnos con esta ecuación

92 = x donde nos arriesgamos y decimos que la solución es 3= x , y no tenemos en cuenta elotro resultado 3−= x .Por eso, hay una serie de procedimientos para “despejar” la incógnita, que se basanen:

• separar en términos dentro de cada miembro de la ecuación.• aplicar en ambos miembros la operación contraria, empezando por los términos

que no contienen a la incógnita, hasta despejarla.En el caso de la primera ecuación, esto sería así:

713 =+ x 17113 −=−+ x

63 = x 3:63:3 = x

2= x La practicidad hace que uno se “olvide” de hacer este procedimiento, y directamente“pase al otro lado con la operación contraria”.Pero en otro tipo de ecuaciones a veces ayuda, como por ejemplo en la segunda:

92 = x 9

2 = x

3= x

33 −=∨= x x También nos podemos encontrar con ecuaciones que no tienen solución:

( ) 7313 +=+ x x 7333 +=+ x x

373333 −+=−+ x x 433 += x x

x x x x 34333 −+=− 40 =

Resultado absurdo, ya que 40 ≠ , lo cual nos lleva a decir que esta ecuación no tienesolución.O esta otra:

( ) 2212 +=+ x x 2222 +=+ x x

222222 −+=−+ x x x x 22 =

x x x x 2222 −=−


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Página 15

00 = donde la solución podría haber sido definida a partir del segundo renglón, donde seadvierte que para cualquier valor de x esa igualdad es válida, y por lo tanto esaecuación tiene infinitas soluciones.

¿Qué hay que tener en cuenta al resolver ecuaciones?

Principalmente, no apurarse en los despejes. Es preferible hacer muchos pasoscorrectos, y no uno incorrecto.Otra de las cosas que suele convenir es la aplicación de la propiedad distributiva,especialmente cuando la incógnita aparece en varios lugares del ejercicio, y esnecesario agruparlas.Si en el término de la incógnita no aparece ningún número, es porque se trata del 1.

Si vemos escrito lo siguiente3

x, podemos expresarlo como x

3

1 ( o más complejo

5

12 + x es equivalente a ( )12.

5

1+ x y a

5

1

5

2+ x )

Y por último, es conveniente tratar que la incógnita quede siempre del lado donde espositiva, no importa si es a la derecha o la izquierda del igual.

Ejemplos:

a) x x +=− 632 362 +=− x x

9= x

b)

( ) ( ) x x x 62.610.4 −−−=+ x x x 6612404 −+−=+

40124 −−= x 4:52−= x

13−= x

c)

9

5

36

5

4

1 +=

−−

− x x x

( ) ( )9

5

36

51.9 +=

−−− x x x

9

5

36

59.9 +=

+−− x x x

9

5

36

4.8 +

=

− x x

( ) ( )36.59.48 +=− x x 180363672 +=− x x

361803672 +=− x x 21636 = x

36:216= x 6= x


16/136

Página 16

Este mismo ejercicio, se podría haber resulto así:

9

5

36

5

4

1 +=

−−

− x x x

( ) ( ) ( )59

15

36

11

4

1+=−−− x x x

9

5

9

1

36

5

36

1

4

1

4

1+=+−− x x x

36

5

4

1

9

5

9

1

36

1

4

1−+=−− x x x

36

5920

36

419 −+=

−− x

36

24

36

4= x

36

4:

36

24= x

436.

3624= x

6= x

Ejercicios

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a ) ( ) 323.5 −=+ x x

b ) ( ) ( ) 15.432.3 =−−+ x x

c ) ( ) 11521.53 −=++ x x x

d ) x x x

5

4

4

710

5

1

4

311+

+=+

+

e )15

11

27

2

5

2=−+ x

f )8

7

10

11

2

35 22

−−=−

x x

g )6

72

3

5 4 5 −=+− x

2. Plantear la ecuación y resolver los siguientes problemas:

a ) Si la tercera parte de un número es igual a sus dos novenos,aumentados en cuatro unidades, ¿cuál es la número?

b ) Juan compró regalos con la mitad de su sueldo y con la quinta partede lo que le quedaba compró un billete de lotería. Si todavía lequedan $600, ¿cuál es su sueldo?

c ) La suma entre la tercera parte del anterior de un número y su mitades igual al número disminuido en siete unidades. ¿De qué número setrata?

d ) En una empresa hay treinta y seis personas. Se sabe que el total demujeres es cuatro quintos del número de varones. ¿Cuántas mujeresy cuántos varones hay?

Respuestas:


17/136

Página 17

1) a) x = -6 b) x = -14 c) x = - 2 d) x = - 16/11

e) x = 5/27 f) x = +/- 5/12 g) x = ½

2) a) El número es 36 ( 49

2

3

1+= x x )

b) El sueldo es de $1500 ( x x x =++ 60021.

51

21 )

c) El número es 40 ( ( ) 72

11

3

1−=+− x x x )

d) Hay 20 varones y 16 mujeres ( llamamos x a los varones 365

4=+ x x )

Clase 4

Hay ecuaciones en las que figuran más de una incógnita:824 =+ y x

Y para esta ecuación hay infinitas soluciones, todas dadas en forma de par ordenado de la forma ( ) y x; , por ejemplo ( )4;0 , ( )2;1 , ( )6;1− , etc

Cuando estamos es presencia de dos ó más ecuaciones, con dos ó más incógnitas,podemos hablar de un sistema, en el que las soluciones deben coincidir en todas lasecuaciones. Para resolverlos, vamos a clasificarlos y a estudiar distintos métodos.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Como mencionamos antes, un sistema de ecuaciones exige que las soluciones seancompartidas. Vamos a hablar en este caso de sistemas de ecuaciones lineales, dondetodas las incógnitas están elevadas a lo sumo a la potencia 1. Para indicar que formanun sistema, las ecuaciones deben escribirse encerradas por una llave:

−=−

=+

22

5

y x

y x

Aquí también podríamos ensayar distintas soluciones, sin aplicar ningún método, perodebemos tener suerte o ser muy obstinados si no la encontramos pronto, porque lasolución no siempre va a darnos números “redondos”. Con esto quiero decir quepueden las soluciones tomar valores decimales o fraccionarios directamente. Por esoconviene apropiarnos de algún método, que nos lleve un poco más “científicamente” ahallar una solución si la hay. Vamos a recordar algunos vistos seguramente en lasecundaria

Método de sustitución

Dado un sistema de la forma

=+

=+

222

111

c yb xa

c yb xa,

• se elige una de las incógnitas en una de las ecuaciones, y se despeja.

111 c yb xa =+

1

11

b

xac y

−=


18/136

Página 18

también se puede escribir así1

1

1

1

b

xa

b

c y −=

• se reemplaza la incógnita elegida en la otra ecuación

222 c yb xa =+

2

1

1122 cb

xacb xa =

−+

• se resuelve la nueva ecuación, donde ahora sólo hay una incógnita.• una vez hallado el valor de x (en este caso, porque elegimos despejar

primeramente a y), se lleva el resultado al primer despeje para hallar el valor dela incógnita faltante.

Ejemplo:

Vamos a trabajar con el sistema del ejemplo

−=−

=+

22

5

y x

y x

Elijo despejar en la primera ecuación el valor de y5=+ y x x y −= 5

Ahora reemplazo ese valor en la segunda ecuación y resuelvo22 −=− y x

( ) 252 −=−− x x 252 −=+− x x 522 +−=+ x x

33 = x 3:3= x

1= x Con este resultado puedo hallar el valor de la otra incógnita:

x y −= 515 −= y

4= y

Por lo tanto, la solución hallada es ( ){ }4;1=S

Método de igualación

Dado un sistema de la forma

=+

=+

222

111

c yb xa

c yb xa,

• se elige una de las incógnitas en las dos ecuaciones, y se despeja.

111 c yb xa =+ 222 c yb xa =+

1

11

b

xac y

−=

2

22

b

xac y

−=

• se igualan las incógnitas elegidas.

=

2

22

1

11

b

xac

b

xac −=

−

• se resuelve la nueva ecuación, donde ahora sólo hay una incógnita.


19/136

Página 19

2

22

1

11

b

xac

b

xac −=

−

Consejo: despejar de esta forma

( ) ( ) 122211 .. b xacb xac −=− • una vez hallado el valor de x (en este caso, porque elegimos despejar

primeramente a y), se lleva el resultado al primer despeje (cualquiera de losdos) para hallar el valor de la incógnita faltante.

Ejemplo:

Vamos a trabajar con el sistema del ejemplo

−=−

=+

22

5

y x

y x

Elijo despejar en ambas ecuaciones el valor de y5=+ y x 22 −=− y x x y −= 5 y x +−= 22

y x =+ 22

Ahora igualo las incógnitas y resuelvo y=

225 +=− x x x x +=− 225

x33 = x=3:3

x=1

Con este resultado puedo hallar el valor de la otra incógnita (en ambas ecuacionesdebe dar lo mismo, por eso puedo sólo elegir una):

x y −= 5 y x =+ 22 15 −= y y=+ 21.2

4= y y=4

Por lo tanto, la solución hallada es ( ){ }4;1=S

¿Todos los sistemas tienen una solución?

Vamos a verlo con un ejemplo

−=+

=+

442

42

y x

y x

Vamos a usar el método de sustitución:42 =+ y x y x 24 −=

Reemplazo en la otra ecuación:442 −=+ y x

( ) 44242 −=+− y y 4448 −=+− y y

48 −=


20/136

Página 20

ABSURDO, no hay solución

O este otro:

=+

=+

842

42

y x

y x

Uso sustitución:42 =+ y x y x 24 −=

Reemplazo en la otra ecuación:842 =+ y x

( ) 84242 =+− y y 8448 =+− y y

88 = SIEMPRE se cumple esta igualdad, por lo tanto hay infinitas soluciones.

Los casos anteriores nos llevan a clasificar a los sistemas según las soluciones

encontradas:

Incompatibles No admiten soluciónDeterminados Tienen una única

soluciónSistemas de

ecuaciones lineales CompatiblesIndeterminados Tienen infinitas

soluciones

Planteo de problemas

Muchas situaciones problemática se resuelven mediante el planteo de sistemas deecuaciones, y su posterior resolución. El modelado de estas situaciones supone la

existencia de por lo menos dos incógnitas, y dos relaciones entre ellas.

Ejemplo:

En un estacionamiento hay 55 vehículos, entre coches y motos. Si el total de ruedases de 170, ¿cuántos coches y cuántas motos hay?

Se sabe que hay 55 vehículos, lo que nos permite plantear que55=+ mc

Y que entre todos los vehículos suman 170 ruedas (tomando como 4 la cantidad deruedas de los autos, y 2 las de las motos)

17024 =+ mc

Como la cantidad de autos y motos debe ser la misma en ambas ecuaciones,formamos el correspondiente sistema

=+

=+

17024

55

mc

mc

Para resolverlo, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos:Despejo c en la primera ecuación:


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Página 21

mc −= 55

Reemplazo en la segunda ecuación

( )

m

m

m

mm

mm

mm

mc

=

=

=

−=−

=+−

=+−

=+

25

2:50

250

24170220

17024220

170255.4

17024

Con el valor de las motos halladas, calculamos la cantidad de coches:

30

2555

55

=

−=

−=

c

c

mc

Por lo tanto, hay 25 motos y 30 coches en el estacionamiento.

Ejercicios clase 5

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando distintos métodos:

a )

=+

−=−

1045

1623

y x

y x

b )

−=+

=−

532

124

y x

y x

c )

=−

=−

01

01

y

x

d )

−=

=−+

x y

x y

25

0183

e )

=−

=−

5

9

5

2

9

22

y x

y x

f )

+=−

−=+

12

12

y y x

x y x

g )

=−

−

=+

12

24

52

3

y x

y x

h )

=++

−+

=−++

04

2

3

2

02

1

3

1

y x y x

y x

i )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+=+−

+−+=−+−

1.22.3

5.32.821.6

x y x

y x y y

j )( )

( ) ( )

−++=++

−=−+

1.31.32

451.3

y x x y x

y x y x

k )( ) ( )

( ) ( )

++−=+

+−=+−−

7.323.5

52.31.4

x y y x

x y y x

l )

=−

=−

846

523

y x

y x

m )( )

=−

=−

133

2.6

y x

y x


22/136

Página 22

n )

−=−

=+

y x

x y

382

823 o )

−=−

=+

y x

y x

4306

2423

2. Plantear los sistemas de ecuaciones necesarios para resolver los siguientesproblemas.

a ) Cuatro panes y 6 litros de leche cuestan $42,40. Tres panes y 4 litros deleche cuestan $28,85. ¿Cuánto cuesta cada pan y cada litro de leche?

b ) Un test tiene 48 preguntas. Por cada acierto se suma 0,75 y por cada errorse resta 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos. ¿Cuántos aciertos y errorestuve?

c ) Una empresa tiene un salario constituido por un básico y una bonificaciónpor año de antigüedad. Si un empleado con 4 años de antigüedad gana$1900 y uno con 20 años de antigüedad gana $3500, determinar cuál es elsueldo básico y cuál la bonificación por año

Respuestas:

Ejercicio 1

a) x = -2 ; y = 5 b) x = 31/14 ; y = -22/7 c) x = 1 ; y = 1d) x = -7 ; y = 19 e) x = 0 ; y = -9 f) x = 2 ; y = 0g) x = 4 ; y = 2 h) x = -13/7 ; y = 11/7 i) x = 1 ; y = -3 j) x = 3 ; y = 1 k) x = -2 ; y = 8 l) sin soluciónm) infinitas soluciones n) infinitas soluciones o) sin solución

Ejercicio 2

a) Pan $1,75; leche $5,90b) 30 aciertos y 18 errores

c) Básico $1500, por año $100

Clase 5

Funciones

En la vida diaria es común escuchar frases como “la ganancia obtenida depende dela cantidad de artículos vendidos” , “la cantidad de gotas que debes darle a tu hijodepende del peso del niño”, ó “la cantidad de días de vacaciones que te correspondendepende del tiempo que llevas trabajando aquí” . Estas frases tienen en común elhecho de que en ellas se relacionan dos magnitudes numéricas, además de esperaruna única contestación irrefutable, y que el valor que pueden tomar varía según elcaso.

En todos estos casos, hay una ley o regla que vincula ambas variables. Estamos

entonces en presencia de lo que se denomina función.En toda función intervienen dos conjuntos, que están relacionados por alguna regla.

Los elementos del primer conjunto conforman el dominio de la función, mientras quelos elementos del segundo conjunto, que son resultados de aplicar esa regla a loselementos del dominio, forman la imagen de la función.

Entonces, dados dos conjuntos A y B, la función quedará formalmente definida dela siguiente manera:

fórmula)(/: =→ x f B A f donde A representa el conjunto dominio, y B el conjunto imagen.Es importante destacar que para que esta relación entre conjuntos sea una función,

los elementos del dominio deben cumplir las siguientes condiciones:


23/136

• Existencia: para cada elemento del dominio debe existir un elemento en laimagen

• Unicidad : el elemento de la imagen debe ser único para cada elemento deldominio.

Las dos condiciones anteriores se resumen en una frase: “Para cada elemento deldominio debe existir uno y sólo un elemento en la imagen” .

Volviendo a las frases del principio, hay que notar la importancia de tener en cuentaestas condiciones al contestar. Dependiendo del peso del niño, surgen las gotas que

hay que darle. O dependiendo del tiempo que llevo en un trabajo, calculo la cantidadde días que me corresponden de vacaciones. Y resalto la idea de dependencia. Unade las variables es dependiente del valor de la otra variable (por eso, )( x f y = esindistinto cómo se escriba, ya que indica que y depende de x )

Existen diversas maneras de representar una función, a saber:

1. Diagramas de Venn

2. Tabla de valoresx Y= f(x)x1 y1x2 y2

3. Pares ordenados (x1 ; y1)

4. Diagramas Cartesianos

También es muy común que se defina una función por su fórmula. Si eso sucede,

debemos establecer el dominio de esa función, ya que no queremos colocar un valoren la fórmula que no va a obtener imagen alguna.

Definición del dominio según la fórmula

Tenemos que mirar 3 casos:

• Si las x figuran en un denominador, debemos pedir que el mismo sea distintode cero.

Ejemplo:

Eje horizontal (x): variableindependiente.

Eje vertical (y): variable dependiente


24/136

2

13)(

+

−= x

x f

Como pedimos que 02 ≠+ x , entonces 2−≠ x . Por lo tanto { }2−−ℜ= Dom , locual implica que puedo utilizar cualquier número real ( ℜ ) menos el – 2, porque meharía dividir por cero, y esa división no es posible realizarse.

• Si las x figuran dentro de una raíz de índice par, debemos pedir que todo lo

que está debajo de esa raíz sea mayor ó igual que cero.Ejemplo:

4 63)( −= x x f Pedimos que

063 ≥− x 63 ≥ x 2≥ x

Por lo tanto [ )+∞= ;2 Dom , lo cual implica que puedo utilizar cualquier número realque sea mayor ó igual a 2. Si uso un número que no pertenezca a este intervalo,estaría intentando calcular la raíz cuarta de un número negativo, lo cual no tienesolución en el campo de los números reales.

Observación: lo que resolvimos es una inecuación. Los despejes se realizan demanera similar a los de las ecuaciones, con esta salvedad: si hay que multiplicar odividir por un número negativo, debe invertirse el sentido del signo de ladesigualdad. Ejemplo:

0102 ≥−− x 102 ≥− x

5−≤ x Solución: ( ]5;−∞−

• Si las x figuran dentro de un logaritmo, debemos pedir que todo lo que estádentro de ese logaritmo sea mayor (estricto) que cero.

Ejemplo:

( )2log)( 2 +−= x x f Pedimos que

02 >+− x 2−>− x

2


25/136

El dominio de esta función es ℜ , porque no tengo ninguna restricción que respetaral utilizar esta fórmula.

b)23

12)(

−

+= x

xh

−ℜ=3

2 Dom

Debo pedir que 023 ≠− x , por estar dividiendo. Por lo tanto, al despejar, el dominio

de la función será

−ℜ 3

2

c) 3 6)( += x xt El dominio de esta función es ℜ , porque no tengo ninguna restricción que respetar

al utilizar esta fórmula. (Recordar que la restricción para las raíces es cuando tieneníndice par)

d) x

x xt

1)(

−= ( ) [ )+∞∪∞−= ;10; Dom

En esta función hay que cuidar dos cosas: lo que está debajo de la raíz debe sermayor ó igual que cero, y lo que está en el denominador debe ser distinto de cero. Porlo tanto, hay que cumplir ambas restricciones al mismo tiempo.

0 01

≠∧≥− x x

Y aquí nos detenemos a pensar un poco En la primera inecuación, figura unadivisión que debe ser mayor ó igual que cero, o sea positivo. Debemos recurrir a laregla de los signos en las operaciones, y recordar que es positivo el cociente entre dosnúmeros de igual signo (dos positivos ó dos negativos). Como ambas soluciones sonposibles, entonces lo planteamos así:

( ) ( )[ ] 0 x 0010x01-x ≠∧∧≥ x x ( ) ( )[ ] 0 x 01 0x1x ≠∧∧≥ x x

Para expresar la solución, conviene siempre graficar. El primer paréntesis se ve

representado por

Al estar el 1 incluido, lo grafico con un punto relleno,

mientras que el 0 se grafica con un punto vacío. La solución será el intervalo [ )+∞;1 ,ya que indica todos los valores que son al mismo tiempo (indicado por el símbolo ∧ ,quien significa intersección de soluciones) mayores ó iguales que 1, y mayores que 0.En cambio, para el segundo paréntesis, la representación gráfica es

y por lo tanto, los valores que son al mismo tiempo

menores ó iguales que 1, y menores que 0 corresponden a los que pertenecen alintervalo ( )0;∞− .Entre ambos paréntesis está el símbolo ∨ , que indica una unión entre las soluciones.Por lo tanto, la solución final será la unión de las dos soluciones anteriores.

Función lineal

Vamos ahora a conocer algunas funciones, que nos van a ser útiles para modelizarsituaciones de la vida real ó aplicadas a nuestro ámbito laboral.


26/136

La primera de ella es la función lineal, y su gráfica es una recta. Este tipo defunciones responde a la fórmula bmx y += , donde los valores m y b son números,que caracterizan y diferencian a todas las funciones lineales.Según lo que vimos hasta ahora, el dominio de este tipo de funciones es ℜ , ya que elvalor que tome x no va a generar denominadores nulos, raíces ni logaritmosnegativos.El valor de m corresponde a la pendiente de la recta (podemos imaginarnos que esquien nos indica qué inclinación tiene la recta respecto del eje de las x ), y el valor de b nos marca dónde la gráfica corta al eje y .En el siguiente gráfico podemos observar estos conceptos:

• Si la pendiente toma un valor positivo (m > 0 ), la recta forma con el eje de las x un ángulo agudo (menor que 90º), y la función será creciente (a medida queelijo valores más grandes de x , los valores de y también serán más grandes)

• Si la pendiente toma un valor negativo (m < 0 ), la recta forma con el eje de las x un ángulo obtuso (mayor que 90º y menor que 180º), y la función serádecreciente (a medida que elijo valores más grandes de x , los valores de y serán más chicos)

• Si la pendiente se anula (m = 0 ), la recta es paralela al eje de las x , por lo quela función será constante (el valor de y permanece siempre igual, sin importarel valor que tome x )

• En todos los casos, donde la función corta al eje y coincide con el valor b de la

fórmula. Esa intersección es conocida con el nombre de ordenada al origen. Sela puede identificar como un par ordenado, donde la componente en x vale 0

( )b;0 • En los casos en los que 0≠m , la recta cortará al eje de las x en un punto, al

que se conoce con el nombre raíz , y es el punto en el que la función vale 0

( bmx += 10 ). Al despejar el valor de 1 x en esta ecuación, obtendremos la raíz

de la función, la cual tiene coordenadas ( )0;1 x , y tiene la particularidad dedividir al dominio en dos intervalos ( )1; x∞− y ( )+∞;1 x , los cuales formarán losconjuntos de positividad ( +C ) ó negatividad ( −C ) de la función, dependiendodel crecimiento de la misma.

Calcular las intersecciones con los ejes siempre es una buena estrategia cuando

queremos hacer la gráfica de la función, ya que obtendremos las coordenadas dedos puntos, que son suficientes para trazar la recta.Ejemplo:

Graficar 62 += x y . Hallar los −+ C yC C , 0 .

Hacemos una tabla de valores, en los que calculamos las intersecciones con los ejes:x y0 6-3 0


27/136

Para calcular la intersección con el eje y , hacemos que la x tome el valor 0

60.2 += y 6= y

Para calcular la intersección con el eje x , la y debe tomar el valor 0620 += x

x26 =−

x=

−

2

6

x=− 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Entonces:

{ }30 −=C ( )+∞−=+ ;3C (conjunto de valores de x , donde la función queda dibujada por encima

del eje x)

( )3;−∞−=−C (conjunto de valores de x , donde la función queda dibujada por debajo del eje x)

En ocasiones, debemos encontrar la ecuación de la recta, a partir de puntos quesabemos que pertenecen a ella. Si esto sucede, procedemos de la siguiente manera:

Dados ( )111 ; y x P = y ( )222 ; y x P = encontramos el valor de la pendiente con la fórmula

12

12

x x

y ym

−

−=

y utilizamos este valor para hallar el valor de la ordenada al origen en la siguientefórmula:

b xm y += 11 . Ejemplo:

Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )3;1− y ( )6;2 −

( ) 3

3

9

12

36

12

12 −=−

=−−

−−=

−

−=

x x

y ym

( ) b+−−= 1.33 ⇒ b=− 33 ⇒ b=0

Por lo tanto, la recta pedida es x y 3−=

Posiciones relativas de dos rectas en el plano.Dos rectas en el plano pueden tomar cualquiera de las siguientes posiciones relativas:


28/136

Ejemplo:a) Hallar la ecuación de una recta paralela a 12 −= x y que pase por el punto

( )5;1

Como la recta pedida debe ser paralela a la que me dan, debe tener la mismapendiente 2=m , y pasar por el punto pedido. Uso estos datos en la fórmula generalde la recta para hallar el valor de b.

b+= 1.25 ⇒ b=− 25 ⇒ b=3

Por lo tanto, la recta pedida es 32 += x y

b) Hallar la ecuación de una recta perpendicular a 23 += x y que pase por el

punto ( )1;6 −

Como la recta pedida debe ser perpendicular a la que me dan, debe tener pendiente

opuesta e inversa3

1−=m , y pasar por el punto pedido. Uso estos datos en la fórmula

general de la recta para hallar el valor de b.

Rectas paralelas

Tiene la misma pendiente, y distintaordenada al origen.No se cortan nunca

Rectas incidentes

Se cortan en un punto.Si al cortarse forman cuatro ángulosrectos, se dicen perpendiculares, yentonces sus pendientes seránopuestas e inversas.Si no se cortan formando ángulosrectos, se dice que son oblicuas y nohay relación entre sus pendientes.

Rectas coincidentes

Tiene la misma pendiente yordenada al origen.Se cortan en todos sus puntos.


29/136

b+−=− 6.3

11 ⇒ b=+− 21 ⇒ b=1

Por lo tanto, la recta pedida es 13

1+−= x y

Punto de encuentro entre dos rectas.

Si las rectas son incidentes, es decir que se cortan en un punto, existen distintosmétodos que nos permiten hallarlo. En este caso utilizaremos el método de igualación,por tratarse del más fácil de resolver en estas situaciones.

Ejemplo:

Hallar el punto de encuentro entre 15 += x y y 93 +−= x y Al aplicar el método de igualación, los valores de cada y deben ser iguales en ambasecuaciones

y= 9315 +−=+ x x 1935 −=+ x x

88 = x 1= x

Al obtener el valor de x, podemos calcular y reemplazándolo en cualquiera de las dosecuaciones dadas, por ejemplo

6

15

11.5

15

=

+=

+=

+=

y

y

y

x y

El punto de la solución será ( )6;1

Ejercicios

1) Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a. f(x ) = 4 – x 2

b. g( x ) = – x 3


30/136

c. f(r ) = 5−r

d. f( x ) =4

2

− x

e. h( x ) = )2)(1( −+ x x

f. h(s) =4

3− s

g. r( x ) =4

162

2

−−

x x

h. g( x ) =3

1

−

+

x

x

2) Dadas las fórmulas de las siguientes funciones lineales, determinar en cada casola pendiente y la ordenada al origen. Graficar.

a. f(x) = -5x + 8

b. f(x) = 9x – 8

c. 3x – 2y + 5 = 3

d. 5x + 9y = 12

e. 2y – 3 = x

f. x = ½ y + 9

3) A partir de los siguientes gráficos, escribir la ecuación lineal correspondiente:

4) Hallar la fórmula de las funciones lineales que cumplen las siguientescaracterísticas:

a) Tiene pendiente -2 y ordenada al origen 7


31/136

b) Pasa por los puntos ( )2;1− y

5;

2

1

c) Pasa por los puntos ( )4;1 y ( )4;3−

d) Pasa por los puntos ( )4;2− y ( )1;2−

e) Tiene ordenada al origen 4 y raíz -3

f) Tiene pendiente -3 y raíz 4

g) Tiene ordenada al origen -8 y pasa por (1 , 4)

h) Tiene pendiente 9 y pasa por ( )5;2−

5) Determinar analíticamente si los siguientes puntos están alineados:

a) A=(1 , 5), B=(-1 , -9), C=(2 , 16)

b) A=(1 , 17), B=(-1 , 1), C=(2 , 25)

6) Dadas las siguientes funciones lineales, indicar cuáles son paralelas y cuáles sonperpendiculares

i) y= 2 x + 1

j) 4 x – 2 y = 1

k) 8 x – 4 y = -1

l) y = - ½ x + ½

m) x + 2 y = 2

n) 4 y + 1 = 2 x

o) y = ½ x + 1

p) x + 1 = 2 y

7) Hallar la ecuación de una recta que pase por el punto (1 , 3) y sea perpendicular a

la recta que pasa por los puntos (-1 , 1) Y (6 , 5)

8) Hallar la ecuación de una recta que tenga ordenada al origen 6 y sea paralela a larecta que pasa por los puntos (2 , 8) y (-2 , 4)

Respuestas:

1) a) ( ) ℜ= x Domf b) ( ) ℜ= x Domg c) ( ) [ )+∞= ;5r Domf d) ( ) { }4−ℜ= x Domf

e) ( ) ( ] [ )+∞∪−∞−= ;21; x Domh f) ( ) [ )+∞= ;3 s Domh g) ( ) { }2;2 −−ℜ= x Domr h) ( ) ( ] ( )+∞∪−∞−= ;31; x Domg

2) a)8

5

=

−=

b

m b)

8

9

−=

=

b

m c)

1

2

3

=

=

b

m d)

3

4

95

=

−=

b

m

e)18

2

−=

=

b

m

3) a) 1+= x y b) 25= y c) 1−−= x y d) 12

1+= x y


32/136

4) a) 72 +−= x y b) 42 += x y c) 4= y d) 2−= x

e) 43

4+= x y f) 124 += x y g) 812 −= x y h) 239 += x y

5) a) no están alineados

b) están alineados en 98 += x y

6) cba //// , ed // , h g f //// , d a ⊥ y las respectivas transitividades

7)4

19

4

7+−= x y

8) 6+= x y

Clase 6

Funciones polinómicas.

Son las funciones cuya fórmula responde a la forma

01

1

1 ....)( a xa xa xa x f n

nn

n ++++= −

−

donde n representa un número natural, el cual indica el grado del polinomio. El valorde na es el coeficiente principal del polinomio, y nunca puede tomar el valor 0, pero el

valor de cualquier otro coeficiente sí puede hacerlo. Particularmente 0a es elcoeficiente del término independiente, y me indica el valor de la ordenada al origen(donde la función corta al eje de las x ).

Función cuadrática

Es una función polinómica, de grado 2, que merece un estudio por separado.

La fórmula de la función cuadrática puede expresarse de 3 manera diferentes. Cadauna de esas formas de expresión permite visualizar rápidamente distintos aspectos dela función:

• Forma polinónica cbxax y ++= 2 . El valor de c indica la ordenada al origen.

• Forma canónica vv y x xa y +−= 2).( El punto ( )vv y x ; muestra la coordenada

del vértice de la gráfica.

• Forma factoreada )).(.( 21 x x x xa y −−= No siempre se puede expresar de esta

forma. Los valores 1 x y 2 x son las raíces de la gráfica, es decir, los puntosdonde la función corta al eje de las x .

La gráfica de la función cuadrática se denomina parábola. La misma se construye

en forma simétrica respecto del eje de simetría, recta perpendicular al eje x quepasa por el valor de v x . Si el valor de a es positivo, la parábola es cóncava haciaarriba. Si el valor de a es negativo, la parábola es cóncava hacia abajo.

El dominio de una función cuadrática es ℜ , pero la imagen dependerá de laconcavidad.

Vamos a ver las posibles posiciones de una parábola en el plano, y a hacer elanálisis según esa gráfica:


33/136

Dom = ℜ Im = [ )+∞;v y

{ }210 ; x xC =

( ) ( )+∞∪∞−=+ ;; 21 x xC ( )21; x xC =

−

( )+∞↑= ;v x I

x I ∞−↓=

Dom = ℜ Im = [ )+∞;0

{ }v xC =0

( ) ( )+∞∪∞−=+ ;; vv x xC

∅=−C

( )+∞↑=

;v x I x I ∞−↓=

Dom = ℜ Im = [ )+∞;v y

∅=0C ℜ=+C ∅=−C ( )+∞↑= ;v x I

( )v x I ;∞−↓=

Dom = ℜ Im = ( ]v y;∞−

{ }210 ; x xC =

( )21; x xC =+

( ) ( )+∞∪∞−=−

;; 21 x xC ( )v x I ;∞−↑=

+∞↓= I


34/136

( )v x I ;∞−↑= y ( )+∞↓= ;v x I representan los intervalos de crecimiento de la función,es decir, el conjunto de valores de x para los cuales la función crece o decrecerespectivamente.

Los valores de las raíces y del vértice de una función cuadrática se calculan de lasiguiente manera:

Dada la función en la forma polinómica, las coordenadas del vértice serán

a

b xv

.2

−=

c xb xa y vvv ++= .. 2

Y para las raíces usaremos la fórmula que permite hallar los valores de x que

satisfacen la ecuación 02 =++ cbxax

a

cabb x

.2

..42

2,1

−±−=

La cantidad de raíces que se puede hallar en estas ecuaciones dependerá del valorque se obtenga debajo de la raíz cuadrada.

0..42 >− cab 0..42 =− cab 0..42


35/136

Tengo 2 raíces realesdistintas

Tengo una raíz realdoble

No tengo raíces reales

Como podemos ver, no siempre podemos calcular las raíces, motivo por el cual nosiempre se puede expresar una función cuadrática de manera factoreada.Una vez que tenemos calculados los valores del vértice y de las raíces, hacemos unatabla de valores para representar mejor gráficamente a la función.

Ejemplos:

a) Graficar y analizar 532)( 2 −−= x x x f

Está expresada en forma polinómica. Los coeficientes de esta función son

5

3

2

−=

−=

=

c

b

a

Con los que calcularemos el vértice y las raíces:

Vértice:

( )

4

3

2.2

3

.2

=−−

=−

=

a

b xv

8

495

4

3.3

4

3.2

2

−=−−

=v y

Entonces el vértice es

−=

8

49;

4

3V , lo cual me permite si lo deseara expresar la

función en forma canónica de esta manera

8

49

4

3.2

2

−

−= x y

Raíces:

( ) ( ) ( )4

73

4

4093

2.2

5.2.433

.2

..4 22

2,1

±=

+±=

−−−±−−=

−±−=

a

cabb x

2

5

4

731 =

+= x

14

732 −=

−= x


36/136

Lo cual me permite escribir la función en la forma factoreada

( )1.2

5.2 +

−= x x y

Ahora hacemos una tabla de valores para representar los puntos. Usamos la condiciónde simetría, por lo que elegimos valores de x mayores o menores al valor del eje de

simetría ( v x ), y los usamos para representar a sus simétricos.

x y1 -6

0,5 -62 -3

- 0,5 -33 4

- 1,5 4

b) Graficar y analizar ( )( )3.1.2)( −+−= x x x f

Esta función está expresada en la forma factoreada, por lo que podemos ver que sus

raíces serán 11 −= x y 32 = x .Cabe destacar que si dos valores de x tienen la misma imagen, es porque están

equidistantes del eje de simetría (que pasa por el valor de v x ). Las raíces de una

Dom = ℜ

Im =

+∞− ;849

−=2

5;1

0C

( )

+∞∪−∞−=+ ;

2

51;C

−=−

2

5;1C

+∞↑= ;

4

3 I

∞−↓=

4

3; I


37/136

función tienen como imagen 0 (porque cortan al eje x, donde el valor de y vale 0). Por

lo tanto, el valor del x del vértice estará en un punto intermedio entre 11 −= x y 2 x .Para calcularlo usamos

12

2

2

31

2

21 ==+−

=+

= x x

xv

( )( ) ( ) 82.2.231.11.2 =−−=−+−=v y Hacemos una tabla de valores

x y2 60 63 0-1 04 -10-2 -10

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

c) Graficar y analizar ( ) 13)( 2 +−= x x f

Esta función está expresada en forma canónica, por lo que podemos identificar el

vértice en ( )1;3=V Sin hacer cuentas, también podemos decir que la función no va a cortar al eje x,

porque el valor de v y está por encima del eje x, y al tener un valor de a positivo, laparábola será cóncava hacia arriba. Pero si no tenemos ganas de ponernos a pensaren todo esto, hacemos el siguiente cálculo:

Dom = ℜ Im = ( ]8;∞−

{ }3;10 −=C ( )3;11−=

+C

( ) ( )+∞∪−∞−=− ;31;C ( )1;∞−↑= I ( )+∞↓= ;1 I


38/136

( )

( )

13

13

013

2

2

−=−

−=−

=+−

x

x

x

No podemos seguir con el cálculo, ya que la raíz cuadrada de un número negativo nose puede resolver en el conjunto de los números reales. También apareció otra cosa

en este despeje: las barras que encierran lo que estaba debajo de la potencia, que alpasarla al otro lado como raíz me obligan a pensar que lo que estaba entre paréntesispuede ser tanto positivo como negativo. Si la cuenta me hubiera dado

( )

( )

15

3232

2323

23

43

43

043

2

2

=∨=

+−=∨+=

−=−∨=−

=−

=−

=−

=−−

x x

x x

x

x

x

x

Y estas hubieran sido las raíces de la función.Entonces, si tengo las coordenadas del vértice pero no tengo raíces, la única forma deconstruir una gráfica es mediante una tabla de valores:

x y3 14 22 25 51 5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


39/136

Ejercicios

1) Graficar las siguientes funciones cuadráticas, indicando

a. vérticeb. raícesc. concavidadd. conjuntos de positividad

y negatividad

e. máximo o mínimof. intervalos de crecimientog. expresarlas en las otrasformas

( ) ( )9. += x1-x2f(x)

( ) 10−= 22x-12xxh

( ) ( ) 32.3 2 −+= xxg

2) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mixtos, analítica ygráficamente:

a)

+=

−+=

23

182 2

x y

x x y b)

( )

( )

+−=

−+−=

363

56

2

2

x x x f

x x x g

3) Escribir la fórmula de una función cuadrática que cumpla con la condiciónindicada en cada caso:

a) h tiene el vértice en V=(-5;-20), y contiene al punto (-4;2)

b) r corta al eje x en 2 y 5 y pasa por (1;5)

c) s pasa por (10;5), (-2;5) y (4;10)

Respuestas

1)

Dom = ℜ Im = [ )+∞;1

∅=0C ℜ=+C ∅=−C ( )+∞↑= ;3 I

( )3;∞−↓= I


40/136

2) a)

( )8;3=V Máximo. Cóncava hacia abajo.10. −= yOO

{ }5;10 =C

( )5;1=+C

( ) ( )+∞∪∞−=− ;51;C

( )3;∞−↑= I

( )+∞↓= :3 I ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) polinómicaForma

canónicaForma

factoreadaForma

10122

83.2

5.1.2

2

2

−+−=

+−−−=

−−−=

x x xh

x xh

x x xh

( )3;2 −−=V Mínimo. Cóncava hacia arriba.9. = yOO

{ }1;30 −−=C ( ) ( )+∞∪−∞−=+ ;03;C ( )1;3 −−=−C ( )+∞−↑= ;2 I

( )2;−∞−↓= I

( ) ( )

( ) ( )


canónicaForma

factoreadaForma

9123

32.3

1).3(3

2

2

++=

−+=

++=

x x x f

x x f

x x x f

( )50;4 −−=V Mínimo. Cóncava hacia arriba.18. −= yOO

{ }1;90 −=C

( ) ( )+∞∪−∞−=+ ;19;C

( )1;9−=−

C ( )+∞−↑= ;4 I

( )4;−∞−↓= I ( ) ( )( )

( ) ( )


canónicaForma

factoreadaForma

18162

504.2

9.1.2

2

2

−+=

−+=

+−=

x x x f

x x f

x x x f


41/136

( )

−−=

2

7;

2

1;7;3S

b)

( ) ( ){ }3;2;0;1=S

3) a) ( ) 205.)( 2 −+= xa xh Reemplazo ( )2;4− para hallar a.

( ) 2054.2 2 −+−= a Despejando, ( ) 205.22)( 2 −+= x xh b) ( )( )5.2.)( −−= x xa xr Reemplazo ( )5;1 para hallar a.

( )( )51.21.5 −−= a Despejando, ( )( )5.2.4

5)( −−= x x xr

c) ( ) 104.)( 2 +−= xa x s Deduzco que el punto ( )10;4 es el vértice, porque 4= x estáa igual distancia de 2−= x y de 10= x , por lo tanto es el eje de simetría. Luegoprocedo como en a) para hallar el valor de a, usando por ejemplo ( )5;2−

( ) 104.36

5)(

2 +−−= x x s

Clase 7


42/136

Funciones polinómicas de grado mayor que 2.

Recordemos la fórmula de una función polinómica:

01

1

1 ....)( a xa xa xa x f n

nn

n ++++= −

−

La mejor manera de trabajar una función polinómica es cuando está factoreada.

( )( ) ( )nn x x x x x xa x f −−−= .....)( 21

Entonces, debemos concentrar nuestro esfuerzo en encontrar las raíces, para luego

poder calcular los conjuntos +C y −C .

Vamos a entenderlo con un ejemplo:

Factorear 121042)( 23 −−+= x x x x f

No hay una fórmula, como en la cuadrática, que me permita calcular directamente las

raíces, pero sí existen técnicas que me permiten calcular un conjunto de posiblesraíces. Se trata del teorema de Gauss (otra vez aparece este personaje fue muyprolífico)Vamos a armar un conjunto, al que denominaremos P , que estará formado por losdivisores enteros del término independiente, es decir, aquellos números que puedendividir en forma entera al término independiente.En nuestro caso, P estará formado por:

{ }12;6;4;3;2;1 ±±±±±±= P

Obsérvese que en todos los casos se usan las opciones positiva y negativa del divisor,y que hay números menores que 12 que no figuran en la lista, por ejemplo el 5, porquela división entre 12 y 5 no es entera.

SI el coeficiente principal es distinto de 1, entonces también debemos buscar otroconjunto, al que denominaremos Q, que estará formado por los divisores naturales delcoeficiente principal, excepto el 1.En nuestro caso:

{ }2=Q

¿Por qué en el caso de Q no se toman las opciones negativas, ni el 1?Porque el conjunto de posibles raíces de este polinomio lo vamos a encontrar en loscocientes que se puedan armar entre los elementos de P y de Q.

=Q

P racícesPosibles

El 1 se elimina de Q porque la división de cualquier elemento con 1, me dará el mismo

número. Y las opciones negativas, porque si eligiera, por ejemplo,2

1

+

+ ó

2

1

−

−,

obtendría por la regla de signos de la división la misma posible raíz2

1.

Una vez que están definidos ambos conjuntos, se busca el valor numérico delpolinomio para cada uno de esos valores


43/136

16121042121.101.41.2)1( 23 −=−−+=−−+= f

( ) ( ) ( ) 0121042121.101.41.2)1( 23 =−++−=−−−−+−=− f hasta que aparece unaraíz!!!!!

Se podría seguir intentando buscar el valor numérico para las otras posibles raíces,pero no conviene por varios motivos:

• Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n cantidad de raíces reales.• Una raíz puede ser múltiple, es decir, puede incluso ser raíz n veces.• Un polinomio puede tener raíces complejas (también denominadas

imaginarias, no porque no existan, sino porque pertenecen al conjunto denúmeros complejos, del cual no nos ocupamos en ese curso)

Entonces, una vez que encontramos una raíz (la reconocemos porque el valornumérico del polinomio da cero, o sea, es el lugar de la función por donde se atraviesaal eje x , donde y vale cero), procedemos a factorear el polinomio haciendo uso de laregla de Ruffini.

1. Se distribuyen los coeficientes del polinomio completo (si faltan potencias de xse completa con ceros) y ordenado (de la mayor potencia de x al términoindependiente, que corresponde a la potencia cero de x).

2 4 -10 -12

2. Se coloca el valor que encontramos como raíz, y “se baja” el primer coeficiente.

2 4 -10 -12

-1 ↓

2

3. Se multiplica el valor “bajado” con la raíz, y se encolumna debajo del siguientecoeficiente.

2 4 -10 -12

-1 ↓ -2

2

4. Se suman los valores encolumnados y se repite el procedimiento, hasta

finalizar.

2 4 -10 -12

-1 ↓ -2 -2 12

2 2 -12 0

f(x)quemenor gradoun

g(x),deescoeficient

5. El resultado de la última suma debe ser cero.


44/136

Una vez que llegamos a este punto, escribimos nuevamente el polinomio, pero ahorafactoreado:

121042)( 23 −−+= x x x x f ( ) ( ) x g x x x f .)( 1−=

( )( )1222.1)( 2 −++= x x x x f

Si ( ) x g es de grado mayor ó igual a 2, debemos volver a factorearlo, repitiendo elprocedimiento.(Los divisores enteros que forman P para ( ) x g son los mismos que para )( x f . Si unaposible raíz ya fue probada y no resultó para )( x f , tampoco lo será para ( ) x g , perouna que tuvo éxito puede volver a ser raíz, por lo tanto, el primer valor con el queintentaremos factorear a ( ) x g será -1)

1222)( 2 −+= x x x g

( ) ( ) 121222121.21.2)1( 2 −=−−=−−+−=− g

012128122.22.2)2( 2 =−+=−+= g Encontré otra raíz!!!! Factoreo con Ruffini.

2 2 -12

2 ↓ 4 12

2 6 0

Entonces ( ) ( )62.2)( +−= x x x g

Reemplazo en ( ) ( )( )62.2.1)( +−+= x x x x f y lo normalizo, es decir, consigo que todoslos factores sean de la forma ( )n x x − . Para eso, saco factor común en el último factor

( )( )( )3.2.1.2)( +−+= x x x x f y llego al polinomio totalmente factoreado.

Obsérvese que ( ) x g era un polinomio de grado 2, y que también se podría haberfactoreado mediante la fórmula:

( )4

102

4

9642

2.2

12.2.422

.2

..4 22

2,1

±−=

+±−=

−−±−=

−±−=

a

cabb x

24

8

4

1021 ==

+−== x

34

12

4

1022 −=

−=

−−== x

Obteniendo ( )( )3.2.2)( +−= x x x g

Volviendo al polinomio original, logramos hallar las 3 raíces reales distintas de unpolinomio de grado 3, mediante las cuales vamos a armar un cuadro con el que vamos

a analizar −+ C C y .

Ordenamos las raíces de menor a mayor, y ya que el dominio de una funciónpolinómica es ℜ , entonces dividimos a toda la recta real en los siguientes intervalos:

( )3;−∞− 3− ( )1;3 −− 1− ( )2;1− 2 ( )+∞;2 )( x f designo - 0 + 0 - 0 +


45/136

Tomamos un punto que represente a cada intervalo, y completamos los signos delcuadro así:

( )3;−∞− tomo -4 ( )( )( ) −=−−−+=+−−−+−=− ...34.24.14.2)4( f ( )1;3 −− tomo -2 ( )( )( ) +=+−−+=+−−−+−=− ...32.22.12.2)2( f ( )2;1− tomo 0 ( )( )( ) −=+−++=+−+= ...30.20.10.2)0( f ( )+∞;2 tomo 3 ( )( )( ) +=++++=+−+= ...33.23.13.2)3( f

¿Por qué se buscan estos conjuntos? Porque la gráfica de una función polinómicatiene forma de “viborita”. Por el momento, para graficarla, nos vamos a ayudar con lasraíces, la ordenada al origen, y los conjuntos de positividad y negatividad.

¿Qué pasa cuando una función tiene raíces múltiples?

Analicemos la función 3872)( 23 +−+−= x x x x g

{ }3;1 ±±= P y { }2=Q

±±±±=2

3;

2

1;3;1raícesPosibles

0387231.81.71.2)1( 23 =+−+−=+−+−= g Encontré la raíz.

Aplico Ruffini

-2 7 -8 3

1 ↓ -2 5 -3

-2 5 -3 0

Entonces, ( )( )352.1)( 2 −+−−= x x x x g Calculo ahora las raíces de la cuadrática:

( )( )( ) 4

15

4

24255

2.2

3.2.455

.2

..4 22

2,1−

±−=

−

−±−=

−

−−−±−=

−±−=

a

cabb x


46/136

14

4

4

151 =

−

−=

−

+−= x

2

3

4

6

4

152 =

−

−=

−

−−= x

Por lo tanto, ( )( )

−−−−=

2

31.1.2)( x x x x g ó lo que es igual ( )

−−−=

2

3.1.2)(

2 x x x g

Calculamos los conjuntos de positividad y negatividad

( )1;∞− 1

2

3;1

2

3

+∞;

2

3

)( x g designo + 0 + 0 -

( )1;∞− tomo 0 ( ) +=−+−=

−−−= ..

2

3010.2)0(

2 g

2

3;1 tomo 1,2 ( ) +=−+−=

−−−= ..

2

32,112,1.2)2,1(

2 g

+∞;

2

3 tomo 2 ( ) −=++−=

−−−= ..

2

3212.2)2(

2 g

Obsérvese lo que sucede alrededor del 1. A ambos lados, la función tiene elmismo signo. O sea, no atraviesa el eje de las x, sino que “rebota” en él. Eso pasa siempre que una raíz sea múltiple de grado par, como en el caso del 1. Elgrado de muliplicidad está dado por la potencia a la que queda expresado elfactor de la raíz. En este caso es 2, un número par.Siempre que una raíz tenga un grado de multiplicidad par, los signos de lafunción a su alrededor serán los mismos, mientras que si la multiplicidad de unaraíz es impar, los signos serán distintos.

Veamos otro caso x x xh += 3)(

En esta función no hay término independiente, por lo que no podemos empezarbuscando el conjunto de posibles raíces como antes. Pero la ventaja es que en todoslos términos tengo como factor común x , por lo que la primera raíz hallada vale cero, ypuedo empezar factoreando así:


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( )1.)( 2 += x x xh

Ahora busco las raíces de la cuadrática del paréntesis

realesraícestieneno=−±

=−±

=−±−

=2

400

1.2

1.1.400

.2

..4 22

2,1 a

cabb x , no se

puede factorear más.

Calculamos los conjuntos de positividad y negatividad

( )0;∞− 0 ( )+∞;0 )( xhdesigno - 0 +

( )0;∞− tomo -1 ( ) ( ) −=+−=+−−=− .11.1)1( 2h

( )+∞;0 tomo 1 ( ) +=++=+= .11.1)1( 2h


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Ejercicios

4) Factorear los siguientes polinomios:

a) ( ) x x x x f 65 23 −+−=

b) ( ) 763 ++= x x xr

c) ( ) 4242 23 +−−= x x x xm

d) ( ) 61022 23 −−−= x x x x s

5) Para las funciones del punto anterior, hacer una gráfica aproximada, indicandoconjuntos de positividad y negatividad.

6) Si ( ) ( )( ) ( )1.1.2 2 −++= x x x x f se pide:

a) Indicar el grado del polinomio.b) ¿Cuáles son sus raíces?c) ¿Cuál es la ordenada al origen?d) Hallar los conjuntos de positividad y negatividad.e) Gráfica aproximada.

7) Hallar todas las funciones polinómicas de grado 4, con raíces 0, - 3 y 5 .

Respuestas:

1) ( )( )2.3.)( −−−= x x x x f

( ) )7.1)( 2 +−+= x x x xr ( )( )( )1.2.1.2)( −−+= x x x xm

( )( )21.3.2)( +−= x x x s 2)

( )0;∞− 0 ( )2;0 2 ( )3;2 3 ( )+∞;3 )( x f designo + 0 - 0 + 0 -

( )1;−∞− 1− ( )+∞− ;1 )( xr designo - 0 +

( )1;−∞− 1− ( )1;1− 1 ( )2;1 2 ( )+∞;2 )( xmdesigno - 0 + 0 + 0 -

( )1;−∞− 1− ( )3;1− 3 ( )+∞;3 )( xsdesigno - 0 - 0 +

3) a) grado 4b) ( ){ }1;1;20 doble−−=C c) 2.. −= yOO

d)( )2;−∞− 2− ( )1;2 −− 1− ( )1;1− 1 ( )+∞;1

)( x f designo + 0 - 0 - 0 +

4) Todas las posibles funciones que tienen esas raíces son:


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( )( )25.3..)( −+= x x xa x f

( ) ( )5.3..)( 2 −+= x x xa x g

( )( )5.3..)( 2 −+= x x xa xh

Clase 8

Función exponencial

Cuando hablamos de una función exponencial, nos referimos a aquellas en las que lavariable aparece en el exponente de una potencia. Son funciones que responden alsiguiente modelo

xa x f =)( , con 10 ≠∧> aa

donde es necesario restringir el valor que puede tomar a, ya que si vale 1, todapotencia me daría 1, y si es negativa, dependería de la paridad del exponente.

La gráfica tiene las siguientes características:

En ambos casos, ℜ= Dom y ( )+∞= ;0Im Pero según varíe la fórmula de la función, puede variar su gráfica.

Ejemplo:

Graficar y analizar 183.2)( 1 +−= + x x f

Haciendo una tabla de valores, obtenemos para graficar

1>aSi

• Es creciente.• Es asintótica al semieje

negativo de las x.• No tiene raíces.

• ( ) 10 = f • ( ) a f =1

10


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x y

-3 17,78

-2 17,33

-1 16,00

0 12,00

1 0,00

2 -36,00

3 -144,00

¿Qué observamos para analizar?

ℜ= Dom ( )18;Im ∞−= ¿Por qué el 18? Porque no hay ningún valor de x al que pueda elevar a

la base para que el primer término valga cero ó menos.( ) 120 = f (Ordenada al origen)

{ }10 =C porque 183.20 1 +−= + x ⇒ 183.2 1 =+ x ⇒ 93 1 =+ x ⇒ 21 =+ x ⇒ 1= x (al finalizar esta clase manejaremos la resolución de ecuaciones de este tipo. Porahora me creen)

( )1;∞−=+C

( )+∞=− ;1C

∅↑= I

ℜ↓= I

Ecuaciones exponenciales

Es necesario que recordemos algunas propiedades de la potenciación:

• veces)(naaaa n ......=

• 10 =a

• aa =1

• n

n

aa

=− 1

• c bcb

aa =

• ( ) nnn baba .. =

• n

nn

b

a

b

a=

• ( ) nnn baba ±≠±

• nmnm aaa +=.

• nmnm aaa −=:

• ( ) nmnm aa .=


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Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita se encuentra en elexponente.Podemos encontrarnos con distintos casos:

• tenemos una igualdad de potencias, en la que podemos escribir ambosmiembros como potencias de la misma base:

162 = x 422 = x por lo tanto, al tener igual base, comparo exponentes.

4= x

• Usamos las propiedades de la potenciación para descomponer potencias:

183.53 12 −=− ++ x x

183.3.53.3 2 −=− x x

183.153.9 −=− x x

( ) 181593 −=− x

( ) 1863 −=− x

6183

−−= x

33 = x 1= x

O este otro caso:

721 28 ++ = x x

( ) 7213 22 ++ = x x 7233 22 ++ = x x 7233 +=+ x x 3723 −=− x x

4= x

O este otro:

06332 =−− x x

( ) 0633 2 =−− x x hacemos una sustitución x z 3= 06

2 =−− z z se transforma en una ecuación cuadrática,

( ) ( )2

51

2

2511

1.2

6.1.411 2

2,1

±=

+±=

−−−±= z

32

6

2

511 ==

+== z 2

2

4

2

512 −=

−=

−== z

Lo que hallamos son los valores de z , pero lo que nos interesa es encontrar x .

x z

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