UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “A”

11 de Diciembre de 2009 Semestre 2010-1 INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Sea la función � � 21 4f xx

� , definida en el intervalo > @1 2, Determinar el o los

valores de: a) La ordenada media,

b) La abscisa media que satisface el Teorema del Valor Medio del Cálculo

Integral

15 puntos

2. Calcular, de ser posible,

0

1 1xlim

x sen xo

§ ·�¨ ¸

© ¹

10 puntos

2EF10-1A 3. Efectuar

� � � �

3

3 3 2 22 2

6 46 11 6 19

xx x xea ) dx b ) dx c ) dxx x x xx

��� � � ��³ ³ ³

30 puntos 4. Calcular el área de la región limitada por las curvas

2 21 2: 4 , : 2 8C y x C y x � �

10 puntos

5. Verifique si la función t xz e senC

� § · ¨ ¸© ¹

, C=Cte., satisface la ecuación de calor

dada por 2

22

z zCt xw w

w w

15 puntos

6. La temperatura T en un punto � �P x ,y de una placa de metal colocada en el plano

xy es inversamente proporcional a la distancia al origen. Si la temperatura en

� �3 4P ,� � es 50 grados centígrados,

a) Calcular la razón de cambio de la temperatura en el punto � �3 4P ,� � en la

dirección del vector i j�

b) Determinar en qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en el punto P.

20 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Segundo Examen Final Tipo “A” y “B”

Semestre 2010 – 1

1.

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� �

> @> @

2 2

211

0

0 2 20 0

0 0

1 1 14 4 8 1 42

92

1 1 9 92 1 2 2

1 9 14 42

2 2 1 4 2

2 1 4

b

a

b

a

f x dx dx xxx

a ) f x f x dx Ordenada mediab a

b ) f xx x

x , x Abscisa media

,

§ · º § · � � � � � � � �¨ ¸ ¨ ¸»© ¹ ¼ © ¹

ª º m« »� � ¬ ¼

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r � ? m

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³ ³

³

15 puntos

2.

0

0

0

00

1 00

0 02 2

0

x

x

x

A grupandosen x xL limx sen x

A plicando L ' H ôpita lcos xL lim

x cos x sen xV olviendo a ap licar L ' H ôpita l

sen xL limcos x x sen x

R e spuestaL

o

o

o

�

�

�

�

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10 puntos

Po

3. a

�

3

Se tien

I

Icos

³

b

� �

3 6

1

xse p ro

x

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or lo tanto

I ln

I ln

) A partir d

� ��

327

27

3 3

ne

sen

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coss

T

T�

b) Puesto

�� ��

2 1 1

6 42

x xo p o n e

xx x

� �

��

� �� ��

�

1 2

1

3

x

x x

x

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3 cosd

os

s C

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T

T �

que

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6 1

3

x

Ax x

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��

�

2

3

2 2

2

3

ln x

xC

�

��

�

2

13

9

9

d

xR

I

T

��

³

�� ��1 2

1 2

x

A Bx

�

�� �

� �3 ln x

C

R e sp

I ln

�

9xdx

��

2

2

2

2

9

9

9

cos

cos

x C

Re sultado

x

T

T

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2 3

x

Cx

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3

1

x C

puesta

x xn

x

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2 33

3

x csen dcos d

T TT

�

� �

29

sen d

C

x

T T

� �

1

2

3

; x ,

x ,

x ,

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�

��

2

32

3

x ��

cos d

d

T TTT

C�

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2 1

2 1

6 2

A

B

C

�

�

�

C

S2E

�� �

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2

1

1

, A

, B

, C

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�

20

EF10-1A

1

2

3

�

0 puntos

c

­°®°¯

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4. P

x

P

A

)

�1

1

1

1

u x e

d v

xI

x

�

�¯

�

Para las int

1 2x x

Por lo tanto

�

2

2

2

2

1 2

2 4

3 2

A

y

u

�

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ª ¬

�

³³

�21

1

1

x

x

x

x

d xx

x ex

x e ex

e Cx

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��

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��

��

��

³

terseccion2y�

o

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232

2

8 2

1 2 3

8

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y�

ª �¬

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x

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e d x

C

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nes

4 8� �

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2 2

2

2 4 8

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1

x e

x

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I

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22 y , y�

�4 d y

R e

A

º� ¼

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1

x x

x

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R e s u lta d o

ex

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23 2

e s u lta d o

u

xd x e

o

C

�

�

o

S2E

� �1 x d x�

3

1

EF10-1A

x

30 puntos

10 puntos

S2EF10-1A 5.

2

2 2

1

1

t

t

t

z xe s e nt Cz xe c o sx C C

z xe s e nCx C

�

�

�

w �

ww

ww

w

Sustituyendo en Ecuación de Calor

22

1t t

t t

x xe s e n C e s e nC CCx xe s e n e s e nC C

S i s e v e r i f ic a

� �

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§ ·� �¨ ¸© ¹

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?

15 puntos

6.

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� � � �� �

� � � �3 32 2

2 2

2 2 2 2

3 4 5 0

3 4 5 0 5 2 5 02 5

KT x , y ; T , Cx y

KT , K

T T K x K yT i j ; Tx y

x y x y

� � q�

� � �

w w � �� � �

w w� �

Para K=250 y P (-3,-4):

� �

1 16 82 2

1 1 1 46 82 2 2

6 8

T i j ; u i j

d Ta ) T u i j i j Cd s

b ) A u m e n t a m á s r á p i d a m e n t e e n d i r e c c i ó n d e l g r a d i e n t e :

i j

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§ · � � � q¨ ¸© ¹

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20 puntos