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2.6 Criterios de falla

2.6. Criterios de falla

2.6.1. Ensayo a tensión de un material

En una prueba a tensión de un material dúctil realizado en laboratorio, Fig. 2.23, existen seis

magnitudes que, cuando inicia la fluencia, se alcanzan simultáneamente, tomando cada una de

ellas los siguientes valores.

Figura 2.23: Prueba uniaxial a tensión: a) diagráma esfuerzo-deformación y b) representación en

el círculo de Mohr.

1. El esfuerzo principal alcanza el límite de fluencia a tensión del material. Este esfuerzo

principal es máximo, pues las otras dos son nulas:

1 = (2.69)

2. El esfuerzo cortante máximo toma el valor de:

max =

2(2.70)

3. La deformación longitudinal unitaria máxima alcanza el valor:

=

(2.71)

4. La energía de deformación absorbida por unidad de volumen es:

=1

2 · =

2

2(2.72)

5. La energía de distorsión, la energía debida al cambio de forma, absorbida por unidad de

volumen es:

=1 +

32 =

2

6(2.73)

6. El esfuerzo tangente octaédrico alcanza el valor:

c°Gelacio Juárez, UAM 116


=

√2

3 = 047 (2.74)

Estas seis magnitudes alcanzan los valores indicados simultáneamente en el ensayo a tensión

que originan en el material un estado a tensión simple. Pero si el estado a tensión es dos o tres

direcciones, estos seis valores no se alcanzarán simultáneamente. Por lo que surge la necesidad

de establecer si alguna de estas magnitudes puede considerarse limitativa de las cargas que

actúan sobre una pieza de material elástico para que no se produzcan en la misma deformaciones

plásticas.

2.6.2. Teoría del esfuerzo principal máximo

La teoría del esfuerzo principal máximo, atribuida a Rankine, establece que en un punto de

un sólido el estado límite del estado de esfuerzos inicia cuando uno de los esfuerzos principales

alcanza un valor igual al esfuerzo límite a tensión o compresión, obtenido de pruebas a tensión

o compresión simples. Este criterio se representa como

1 = (2.75)

|3| = ||

donde es el esfuerzo de fluencia a tención y a compresión. En el espacio de esfuerzos

principales, si = ||, la superficie de fluencia sería un cubo, cuyo centro coincidiría conel origen de las coordenadas, Fig. 2.24a. Como comúnmente ocurre ||, en la que lasuperficie de fluencia es un cubo, el que su centro no coincide con el origen Fig. 2.24b.

Figura 2.24: Superficie de fluencia con la teoría del esfuerzo principal máximo.

La teoría del esfuerzo principal máximo puede expresarse por la función de fluencia

() = max(|1| , |2| , |3|)−

donde el esfuerzo efectivo es = max(|1|, |2|, |3|)



2.6.3. Esfuerzo cortante máximo

Se le denomina comúnmente como Criterio de Tresca-Guest, o únicamente criterio de Tresca, el

cual expresa el estado límite en un punto de un sólido en el que el estado de esfuerzos comienza

a fluir cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza un valor igual al alcanzado en un ensayo de

tracción cuando se llega al esfuerzo último, esto es:

=1 − 3

2=

2

o simplemente

1 − 3 =

Por lo que la función de fluencia de Tresca-Guest se puede definir como:

() = − (2.76)

donde el esfuerzo efectivo representa el valor máximo de las siguente ecuaciones:

1 − 2 = ±2 − 3 = ± (2.77)

3 − 1 = ±

la función de fluencia de Tresca-Guest también se puede representar mediante la ecuación:

() =h(1 − 2)

2 − 2

i h(2 − 3)

2 − 2

i h(3 − 1)

2 − 2

i(2.78)

que corresponde a la ecuación de la superficie de plastificación, formada por seis planos, paralelos

dos a dos y todos éstos paralelos a la trisectriz o línea hidrostática, 1 = 2 = 3, Fig. 2.25:

Figura 2.25: Superficie de fluencia de Tresca.



Para estado de esfuerzos planos, 3 = 0, la expresión 2.77 se reduce a:

1 − 2 = ±2 = ± (2.79)

1 = ±

y la 2.78 a:

() =h(1 − 2)

2 − 2

i ¡22 − 2

¢ ¡21 − 2

¢(2.80)

La representación gráfica, en el plano 1, 2 , de la ec. (2.79) se muestra como un hexágono en

la Fig. 2.26.

Figura 2.26: Superficie de fluencia de Tresca en 2D.

2.6.4. Teoría de la deformación longitudinal unitaria máxima

Esta teoría, conocida como de Saint-Venan, expresa que el estado de esfuerzos en un punto de

un sólido inicia su estado límite cuando la deformación longitudinal unitaria máxima es igual al

valor , obtenida de una prueba a tensión, cuando el material alcanza el esfuerzo último.

=

(2.81)

La expresión de la deformación unitaria máxima es:

1 =1

[1 − (2 + 3)] =

(2.82)

Asumiendo que 1 en ec. 2.82 es la deformación principal con la magnitud más grande, igualando

|1| con , se obtiene la siguiente función de fluencia :

1 () = |1 − (2 + 3)|− = 0 o 1 − (2 + 3) = ±



Considerando que las deformaciones principales están desordenadas, que 1 o 1 puede tener la

magnitud mayor. Se obtiene las posibilidades adicionales siguientes:

2 () = |2 − (1 + 3)|− = 0 o 2 − (1 + 3) = ±3 () = |3 − (1 + 2)|− = 0 o 3 − (1 + 2) = ±

Por lo que, el esfuerzo efectivo se puede definir como:

= max6= 6=

| − ( + )| (2.83)

y la función de fluencia:

() = − (2.84)

La superficie de fluencia para el criterio de la deformación longitudinal unitaria máxima para el

caso de un estado de esfuerzo plano, 3 = 0, se muestra 2.27. La superficie de fluencia ABCD

ilustra que, bajo un estado biaxial de esfuerzo a tensión o compresión, los esfuerzos principales

individuales son mayores, por lo que el esfuerzo de fluencia puede ocurrir sin causar fluencia.

Figura 2.27: Superficie de fluencia de la deformación longitudinal unitaria máxima, = 0.

2.6.5. El criterio de la densidad de energía de deformación

El criterio de la densidad de energía de deformación, propuesto por Beltrami, establece que la

fluencia en un punto de un sólido inicia cuando la energía de deformación en el punto es igual a la

densidad de energía de deformación de fluencia de una prueba uniaxial en tensión o compresión.

En términos de esfuerzos principales, la energía de deformación es:

0 =1

2

£21 + 22 + 23 − 2 (12 + 13 + 23)

¤ 0 (2.85)

El criterio de la densidad de energía de deformación establece que la fluencia inicia cuando la

densidad de energía de deformación de la ec. (2.85), para cualquier estado de esfuerzo, es igual



a la densidad obtenida de una prueba uniaxial a tensión ec. (2.72). La función de fluencia para

el criterio de la densidad de energía de deformación se obtiene igualando la densidad 0 de la

ec. (2.85) con la de la ec. (2.72).

21 + 22 + 23 − 2 (12 + 13 + 23)− 2 = 0

Así, la función de fluencia tiene la forma:

() = 2 − 2 = 0 (2.86)

donde el esfuerzo efectivo es:

=

q21 + 22 + 23 − 2 (12 + 13 + 23)

La ec. (2.86) corresponde a una a un elipsoide en revolución cuyo eje coincide con la trisectriz,

Fig. 2.28.

Figura 2.28: Superficie de fluencia de la criterio de la densidad de energía de deformación, = 0.

Las longitudes de los ejes son:

=√1−

; =√1 +

(2.87)

2.6.6. Criterio de la densidad de energía de distorsión- Criterio de Von Mises

El criterio de la densidad de energía de distorsión, atribuida a von Mises, establece que la fluencia

inicia cuando la densidad e energía de distorsión en un punto es igual a la densidad de energía

de distorsión de una prueba uniaxial en tensión o compresión, ec. (2.73). La densidad de energía

de distorsión es la asociada al cambio de forma del medio continuo. La densidad de energía total

de deformación 0, dada en la ec.(2.85), puede separarse en dos partes: una que produce un

cambio volumétrico y la otra que produce distorsión . Manipulando algebraicamente la

ec.(2.85), se tiene



0 =(1 + 2 + 3)

2

18| {z }

+(1 − 2)

2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)

2

12| {z }

(2.88)

donde el módulo está definido como = [3 (1− 2)]. Bajo un estado de esfuerzo uniaxial,la densidad energía de distorsión está definida por la ec. (2.73), por lo que para un estado de

esfuerzos multiaxial, el criterio de la densidad de energía de distorsión establece que la fluencia

inicia cuando la densidad energía de distorsión dada en la ec. (2.88) es igual a 26.

El criterio de la densidad de energía de distorsión puede expresarse en términos del segundo

invariante de esfuerzos 2 como:

=1

22 (2.89)

donde

2 =1

6

h(1 − 2)

2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)

2i

Igualando la ec. (2.89) y la ec.(2.73), se tiene

() =1

6

h(1 − 2)

2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)

2i− 132 (2.90)

La expresión obtenida del criterio de von Mises en la ec. (2.90) indica que la superficie de

plastificación es un cilindro en revolución, cuyo eje es la trisectriz 1 = 2 = 3 Fig. (2.29).

Figura 2.29: Superficie de fluencia de von Mises, = 0.

Una forma más compacta del criterio de von Mises en la ec. (2.90) es:

() = 2 − 2 = 0 (2.91)

donde el esfuerzo efectivo es:

=

r1

2

h(1 − 2)

2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)

2i

(2.92)



2.6.7. Teoría del esfuerzo cortante octaédrico

El esfuerzo octaédrico se expresa, en función de los esfuerzos principales, como:

=1

3

q(1 − 2)

2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)

2 (2.93)

En un ensayo a tensión, cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia, el esfuerzo cortante octaédrico

toma el valor de la ec. (2.74)

=

√2

3 = 047 (2.94)

La Teoría del esfuerzo cortante octaédrico se puede enunciar como: la acción inelástica en un

punto de un sólido inicia cuando el esfuerzo cortante octaédrico alcanza el valor de 047. Esto

es, al igualar las ecs. (2.93) y (2.93):

1

3

q(1 − 2)

2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)

2 =

√2

3 (2.95)

que es lo mismo:

(1 − 2)2 + (2 − 3)

2 + (3 − 1)2 = 22 (2.96)

Esta teoría, en términos de estado de esfuerzos, es equivalente a la de la energía de distorsión de

von Mises en dada en la ec. (2.90), por lo que será indistinto utilizar una u otra.

2.6.8. Coeficiente de seguridad

El coeficiente de seguridad, se determina como:

=

si

≥ 1 Rango elástico

1 Rango inelástico

Tarea

1. Grafique cada una de las superficies de fluencia en el plano de Rankine, Tresca, von Mises,

deformación longitudinal máxima y densidad energía de deformación considerando:

a) Esfuerzo de fluencia en tensión = 250 kg cm2 y compresión = −250 kg cm2.

b) Esfuerzo de fluencia en tensión = 50 kg cm2 y compresión = −50 kg cm2.



c) Esfuerzo de fluencia en tensión = 50 kg cm2 y compresión = −250 kg cm2.

d) En todos los casos el coeficiente de Poisson = 020.

2. Determine los esfuerzos principales de los siguientes tensores de esfuerzo y represéntelos en

las gráficas del inciso c).

σ =

"48 12

12 30

#kg

cm2; σ =

"42 −6−6 −30

#kg

cm2; σ =

"−1508 −16−16 −195

#kg

cm2;

3. Determine los coeficientes de seguridad de los estados de esfuerzo anteriores para cada

estado de esfuerzos.


En un sólido de acero, se tiene el estado de esfuerzos planos dado por los tensores σa,σb y σc.a) Calcule el estado de esfuerzos principales.a) Compare los criterios de Rankine, Tresca y de von Mises.b) Represente los estado de esfuerzos en las gráficas de estos criterios

σa4000

1000

1000

2500⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kgf

cm2⋅:= σb

3500

550−

550−

2500−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kgf

cm2⋅:=

σc2500−

275

275

3250−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kgf

cm2⋅:=

Esfuerzo de fluencia Coeficiente de Poissonυ 0.30:=

σy 4200kgf

cm2⋅:=

Cálculo de esfuerzos principales

a) Tensor σa

σxx σa0 0, := σyy σa1 1, := τxy σa0 1, :=

σ1σxx σyy+

2σxx σyy−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2τxy2

++ 4500kgf

cm2⋅=:=

σ2σxx σyy+

2σxx σyy−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2τxy2

+− 2000kgf

cm2⋅=:=

σaσ1

0

0

σ2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= σa4500

0

0

2000⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kgf

cm2⋅=

b) Tensor σb

σxx σb0 0, := σyy σb1 1, := τxy σb0 1, :=

σ1σxx σyy+

2σxx σyy−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2τxy2

++ 3550kgf

cm2⋅=:=

σ2σxx σyy+

2σxx σyy−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2τxy2

+− 2550−kgf

cm2⋅=:=

σbσ1

0

0

σ2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=σb

3550

0

0

2550−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kgf

cm2⋅=

c) Tensor σc

σxx σc0 0, := σyy σc1 1, := τxy σc0 1, :=

σ1σxx σyy+

2σxx σyy−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2τxy2

++ 2409.973−kgf

cm2⋅=:=

σ2σxx σyy+

2σxx σyy−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2τxy2

+− 3340.027−kgf

cm2⋅=:=

σcσ1

0

0

σ2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= σc2409.97−

0

0

3340.03−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kgf

cm2⋅=

1. Criterio de Rankine f(σ)=max(σ1,σ2)-σy

a) Tensor σa

σe max σa0 0, σa1 1, , ( ):= f σe σy− 300kgf

cm2⋅=:= Inelástico σy

σe0.933=

b) Tensor σb

σe max σb0 0, σb1 1, , ( ):= f σe σy− 650−kgf

cm2⋅=:= Elástico σy

σe1.183=

c) Tensor σc f σe σy− 650−

kgf

cm2⋅=:=

σe max σc0 0, σc1 1, , ( ):=σyσe

1.743=Elástico

El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa

Nota Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elásticoSi f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluenciaSi f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal

2. Criterio de Tresca "f(σ)=[(σ₁-σ₂)²-σy²][σ₂²-σy²][σ₁²-σy²]=0"

a) Tensor σa

σe max σa0 0, σa1 1, −( ) σa0 0, ( ), σa1 1, ( ), ⎡⎣ ⎤⎦:=

f σe σy− 300kgf


σe0.933=

b) Tensor σb

σe max σb0 0, σb1 1, −( ) σb0 0, ( ), σb1 1, ( ), ⎡⎣ ⎤⎦:=

f σe σy− 1900kgf


σe0.689=

c) Tensor σc

σe max σc0 0, σc1 1, −( ) σc0 0, ( ), σc1 1, ( ), ⎡⎣ ⎤⎦:=

f σe σy− 859.97−kgf


σe1.257=

El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb

3. Criterio de von Misesf(σ)=1/6[(σ1-σ2)²+(σ1)²+(σ2)²]-1/3σy²

a) Tensor σa

σe12

σa0 0, σa1 1, −( )2σa0 0, ( )2

+ σa1 1, ( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

f σe2σy2

− 2390000−kgf 2

cm4=:= Elástico σy

σe1.076=

b) Tensor σb

σe12

σb0 0, σb1 1, −( )2σb0 0, ( )2

+ σb1 1, ( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

f σe2σy2

− 10517500kgf 2


σe0.792=

c) Tensor σc

σe12

σc0 0, σc1 1, −( )2σc0 0, ( )2

+ σc1 1, ( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

f σe2σy2

− 8725625−kgf 2


σe1.407=


En un sólido metálico, que tiene valores de esfuerzo de fluencia a tensión ycompresión con el mismo valor absoluto, se tienen los tres estados de esfuerzo: a, by c en kg/cm². Determine cuál de los estados tiene menor coeficiente de seguridadaplicando los diversos criterios de fluencia. Considere un coeficiente de Poisson dev=0.3 y el esfuerzo de fluencia es de 4200 kg/cm².

Estado a Estado b Estado c

σa

5000

0

0

0

1600

0

0

0

800

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

kgf

cm2⋅:= σb

3500

0

0

0

1000

0

0

0

1000−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

kgf

cm2⋅:= σc

4000

0

0

0

1500

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

kgf

cm2⋅:=

Esfuerzo de fluencia Coeficiente de Poissonυ 0.30:=

σy 4200kgf

cm2⋅:=

1. Criterio del Esfuerzo Principal máximo f(σ)=max(|σ1|, |σ2|, |σ3|)-σy

a) Tensor σa

f max σa( ) σy− 800kgf


max σa( )0.84=

b) Tensor σb σy

max σb( )1.2=f max σb( ) σy− 700−

kgf

cm2⋅=:= Elástico

c) Tensor σc

f max σc( ) σy− 200−kgf


max σc( )1.05=

El coeficiente de seguridad menor corresponde al estado de esfuerzo con mayoresfuerzo principal σ1, que corresponde al tensor σa

2. Criterio de Tresca f(σ)=(σ1-σ3)-σy

a) Tensor σa

σe σa0 0, σa2 2, −( ):= f σe σy− 0kgf

cm2⋅=:=

σyσe

1=Superficie

b) Tensor σb

σe σb0 0, σb2 2, −( ):= f σe σy− 300kgf


σe0.933=

c) Tensor σc

σe σc0 0, σc2 2, −( ):= f σe σy− 200−kgf


σe1.05=


Nota Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elásticoSi f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia

Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal

3. Criterio de formación longitudinal unitaria máxima f(σ)=|σ1-v(σ2+σ3)|-σy

a) Tensor σa

σe σa0 0, υ σa1 1, σa2 2, +( )⋅−:= f σe σy− 80kgf


σe0.98=

b) Tensor σb

σe σb0 0, υ σb1 1, σb2 2, +( )⋅−:= f σe σy− 700−kgf


σe1.2=

c) Tensor σc

σe σc0 0, υ σc1 1, σc2 2, +( )⋅−:= f σe σy− 650−kgf


σe1.18=


4. Criterio de la densidad de energía de deformaciónf(σ)=σ1²+σ2²+σ3²-2v(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3)-σy²

a) Tensor σa

σe σa0 0, ( )2σa1 1, ( )2

+ σa2 2, ( )2+ 2υ σa0 0, σa1 1, ⋅ σa0 0, σa2 2, ⋅+ σa1 1, σa2 2, ⋅+( )⋅−:=

f σe2σy2

− 2592000kgf2


σe0.93=

b) Tensor σb

σe σb0 0, ( )2 σb1 1, ( )2+ σb2 2, ( )2+ 2υ σb0 0, σb1 1, ⋅ σb0 0, σb2 2, ⋅+ σb1 1, σb2 2, ⋅+( )⋅−:=

f σe2σy2

− 2790000−kgf2


σe1.09=

c) Tensor σc

σe σc0 0, ( )2σc1 1, ( )2

+ σc2 2, ( )2+ 2υ σc0 0, σc1 1, ⋅ σc0 0, σc2 2, ⋅+ σc1 1, σc2 2, ⋅+( )⋅−:=

σyσe

1.1=f σe2σy2

− 2990000−kgf2

cm4⋅=:= Elástico


4. Criterio de von Misesf(σ)=1/6[(σ1-σ2)²+(σ2-σ3)²+(σ3-σ1)²]-1/3σy²

a) Tensor σa

σe12

σa0 0, σa1 1, −( )2σa1 1, σa2 2, −( )2

+ σa2 2, σa0 0, −( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

f σe2σy2

− 2720000−kgf2


σe1.09=

b) Tensor σb

σe12

σb0 0, σb1 1, −( )2σb1 1, σb2 2, −( )2

+ σb2 2, σb0 0, −( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

f σe2σy2

− 2390000−kgf2


σe1.08=

c) Tensor σc

σe12

σc0 0, σc1 1, −( )2σc1 1, σc2 2, −( )2

+ σc2 2, σc0 0, −( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

f σe2σy2

− 5390000−kgf2


σe1.2=


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