26 de octubre de 2013 Ricardo Esteban LIZASO 1

UN TRATAMIENTO AXIOMÁTICO DE LA UTILIDAD

Artículo de R. D. LUCE Y H. RAIFFA

Versión de Ricardo Esteban Lizaso

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AXIOMAS1. Conexidad u Ordenamiento de las

alternativas.

2. Transitividad o Coherencia.

3. Continuidad.

4. Monotonía.

5. Sustitución o Independencia de las alternativas irrelevantes.

6. Reducción de las loterías compuestas.

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ACLARACIONES

Cuando en el artículo se habla de: - loterías, se hace referencia a

alternativas sujetas a riesgo.- alternativas, se hace referencia a

resultados.- premio, se refiere a resultado cierto.

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CONEXIDAD - ORDENAMIENTO

Dos resultados cualesquiera serán comparables.

Es decir dados dos resultados cualesquiera, el sujeto preferirá uno al otro o será indiferente entre ellos.

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CONEXIDAD

El resultado B es preferido al resultado A.

La utilidad de B es mayor que la utilidad de A.

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CONEXIDAD

El resultado B es indiferente al resultado A.

Ambos poseen la misma utilidad.

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CONEXIDAD

El resultado B es menos preferido que el resultado A.

La utilidad de B es menor que la utilidad de A.

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NO CUMPLE CON CONEXIDAD

No puede

distinguirse

si el resultado B

es más o

menos preferido

que el resultado A

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NO CUMPLE CON CONEXIDAD

Ud. ha ganado una semana de vacaciones pagas y debe elegir:

• una semana en ULAN BATOR

• una semana en UAGADUGU

Son dos capitales de países, pero la mayoría no tiene idea de dónde quedan,

No saben si deben llevar maya de baño o esquíes para la nieve.

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¿NO CUMPLE CON CONEXIDAD?A mayor cantidad de x no le corresponde mayor utilidad.

Violación aparente del axioma puesto que A y C resultan indiferentes pues poseen la misma utilidad.

U(x)

xCBA

U(B)

U(A) = U(C)

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Las relaciones de preferencia y de indiferencia son transitivas.

Es decir, dados tres resultados cualesquiera, A, B y C; si el sujeto prefiere “A” a “B” y “B” a “C”, entonces prefiere “A” a “C” ; y si es indiferente entre “A” y “B” y entre “B” y “C” entonces también

será indiferente entre “A” y “C”.

TRANSITIVIDAD

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Si el resultado C es preferido al B y el B es preferido al A, entonces C es preferido a A.

Si la utilidad de C es mayor que la utilidad de B y la utilidad de B es mayor que la de A, entonces C tiene mayor utilidad que A.

TRANSITIVIDAD

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NO CUMPLE TRANSITIVIDAD

Propiedades

Atributos

Costo Espacio Ubicación

A Mejor Peor Medio

B Medio Mejor Peor

C Peor Medio Mejor

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NO CUMPLE TRANSITIVIDAD

• A, B, C son tres inmuebles que el Sr. Juárez está estudiando.

• Juárez decide que prefiere A a B, B a C y C a A.

• Cada alternativa preferida en cada comparación tiene mayor puntuación en dos de los tres atributos.

• Aquí las Preferencias son circulares.

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CONTINUIDAD

Cada resultado intermedio es indiferente a alguna alternativa

que implique sólo a dos resultados (uno superior y otro inferior) con

las probabilidades adecuadas.

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El resultado cierto B es indiferente al activo aleatorio que implica a los resultados A y C.

La utilidad de B es igual que la utilidad de [ C, 0,7 ; A, (1 - 0,7) ]

CONTINUIDAD

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El resultado ciertoB es indiferente al activo aleatorio que implica a los resultados A y C.

La utilidad de B es igual que la utilidad de [ C, 0,2 ; A, (1 - 0,2) ]

CONTINUIDAD

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MONOTONÍA

Si dos alternativas sujetas a riesgo tienen los mismos dos resultados,

será preferida aquella cuyo resultado más preferido esté

afectado por una probabilidad más alta.

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Si C = $1.000 ; A = $ 300 ; u(C) = 100 ; u(A) = 50

Con p = 0,20 entonces u(B) = 60

Con p’ = 0,70 entonces u(B’) = 85

MONOTONÍA

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• Un prisionero es sometido a la siguiente prueba: de un conjunto de 5 sombreros, 3 blancos y dos rojos, se extraerá uno para ponerle en la cabeza. Sin poder verlo debe adivinar el color de su sombrero. Si acierta lo dejan libre y si se equivocan lo fusilan.

• ¿Qué color de sombrero dirá el prisionero?

El sombreroes rojo 0,4

El sombreroes blanco 0,6

Decir Rojo Libre Fusilado

Decir Blanco Fusilado Libre

MONOTONÍA

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El caso del andinista que prefiere la vida a la muerte, pero prefiere vivir escalando, con una probabilidad de vida más baja.

En realidad, para él no es el mismo resultado la vida sedentaria que la vida

desafiando a las montañas.Es un incumplimiento “aparente” del

axioma de monotonía.

¿NO CUMPLE MONOTONÍA?

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¿NO CUMPLE MONOTONÍA?

U(muerte)

U (vida sedentaria)

U (vida escalando)

0,90,7

Una vida escalando con probabilidad del 70% es preferida a Una vida sedentaria con probabilidad del 90%

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SUSTITUCIÓN

Si dos alternativas son indiferentes, entonces son intercambiables como resultados en cualquier alternativa

compuesta (es decir, alternativa sujeta a riesgo cuyos resultados son a su vez

alternativas sujetas a riesgo).

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SUSTITUCIÓN

Esta es una situación de decisión donde una alternativa esta sujeta a riesgo.

En uno de sus resultados figura 65.

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SUSTITUCIÓN

En otro caso el decisor consideró que la alternativa Sa era indiferente a la Sb (que presenta un resultado cierto de 65)

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SUSTITUCIÓNSe sustituyó el resultado cierto por su

equivalente.Ahora esta situación de decisión expresa dos

eventos sucesivos.

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REDUCCIÓN

En el caso de que una alternativa tenga como uno de sus

resultados otra alternativa, entonces la primera alternativa es divisible entre los resultados más básicos mediante el cálculo

de probabilidades.

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REDUCCIÓN

Esta situación de decisión expresa dos eventos sucesivos.

Cada uno con sus respectivas probabilidades.

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REDUCCIÓNSe transforma en otra situación de equivalente a la anterior, con los mismos resultados, pero con un solo evento.

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PARADOJA DE ALLAIS

A1 A2 A3 A4

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PARADOJA DE ALLAISLa mayoría de las personas prefieren A1 a A2 y A3 a A4.

U (A1) > U (A2)

u (1.000.000) > u (5.000.000) x 0,10+ u (1.000.000) x 0,89 + u (0) x 0,01

reemplazando la utilidad del peor resultado por 0 y la del mejor por 1 queda:

u (1.000.000) > 1 x 0,10 + u (1.000.000) x 0,89 u (1.000.000) - u (1.000.000) x 0,89 > 0,10

(1-0,89) x u (1.000.000) > 0,100,11 x u (1.000.000) > 0,10

u (1.000.000) > 0,10 / 0,11

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PARADOJA DE ALLAISSi en el segundo caso se eligiese A3,

U (A3) > U (A4)

u (5.000.000) x 0,10 + u (0) x 0,90 > u (1.000.000) x 0,11 + u (0) x 0,89

reemplazando la utilidad del peor resultado por 0 y la del mejor por 1 queda:1 x 0,10 > u (1.000.000) x 0,11

0,10 > u (1.000.000) x 0,110,10/0,11 > u (1.000.000) o sea

u (1.000.000) < 0,10 / 0,11

Esto estaría violando la axiomática generando un comportamiento inconsistente