2) En la figura, PS es un segmento que contiene al centro O de la circunferencia de radio r, PQ tiene longitud r. Si el ángulo ROS mide 60º ¿cuánto mide el ángulo OPQ?

1) Pablo eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de tres cifras que se forman con ellos (sin repeticiones). Luego sumó todos los números que obtuvo. Hallar la suma de Pablo, sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14.

2) Por un punto rectángulo ABC P en el interior del triángulo se trazan segmentos paralelos a los lados del triángulo. Si las áreas de los tres triángulos que se forman, como se indica en la figura, son 2, 8 y 18, hallar el área del triángulo ABC

1. ¿Cuál es el siguiente capicúa después de 14941?

2. Se usaron 642 dígitos para numerar las páginas de un libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

1. ¿De cuántas maneras se puede escribir el número 7800 como producto de dos factores enteros positivos?

2. Se ordenan los números impares de la siguiente forma:Las columnas están numeradas como se indica. ¿Cuál es el número de la columna donde quedará el número 1999?

1. Si m y n son enteros positivos, ¿cuál es el menor valor que pueden tomar si

2490 x m=n2.

2. Un maestro pide a Juanito que copie en el pizarrón una tabla que consiste en dos columnas de números: en la primera columna los múltiplos de 3 menores que 100, y en la segunda, sus correspondientes cuadrados. En un momento dado, Juanito copia el número, pero escribiendo sus cifras de derecha a izquierda y repite lo mismo con el cuadrado. Para sorpresa suya, obtiene números idénticos a los que escribió tres líneas más arriba. ¿Cuál es el número que Juanito escribió?

1) La suma de seis números es par, el producto de los cuatro primeros es impar y el último es par. ¿El quinto número es par o impar?

2) Tres amigos pasean en bicicleta por un camino de una sola dirección que bordea un lago. Para dar una vuelta completa, uno de ellos tarda 15 min., otro tarda 18 min. y el tercero 20 min. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que los tres pasen simultáneamente por el punto de partida. ¿Cuánto tiempo anduvieron en bicicleta? ¿Cuántas vueltas dio cada uno?

1) ¿Cuántos de los siguientes 60 números: 84. 2 x 84, 3 x 84,..., 59 x 84, 60 x 84 son múltiplos de 60?

2) En la multiplicación que se muestra a continuación, las letras A, B y C representan dígitos diferentes. ¿Cuál es el valor de A + B + C?

1) En el siguiente producto, cada letra representa un dígito y letras diferentes representan dígitos diferentes. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener el número representado por MAS?

2) Una máquina entrega 5 cobres por cada níquel que se le introduce y 5 níqueles por cada cobre que se le introduce. Decida si Pedro, que comienza con un solo cobre, puede, utilizando varias veces la máquina, finalizar con igual número

de cobres que de níqueles. Justificar su respuesta.

1) La figura de la izquierda está formada por arcos de circunferencia. Cada arco es una cuarta parte de la circunferencia de radio 1. Encuentra el área de la figura.

2) Colocar cada uno de los números 101, 102, ..., 109 en uno de los círculos del diagrama de modo que los tres números a lo largo de cada uno de los segmentos dibujados tengan siempre la misma suma y que ésta sea la mayor posible.

1) El conjunto L está formado por todos los enteros positivos que dejan residuo de 1 al dividirlos entre 3. A un elemento(que no sea 1) del conjunto L se le llama L-primo si no es divisible por ningún otro elemento de L distinto de sí mismo y de 1. ¿Cuál es el octavo número L-primo?

2) Suponemos que todo número de siete dígitos es un posible número telefónico, excepto si comienza con 0 ó 1. ¿Cuál es la fracción de números telefónicos que comienzan con 9 y terminan con 0?

1) El promedio de las edades de un equipo de fútbol es 20.363636... Expulsan al jugador A y el promedio desciende en 0.1636363... ¿Cuántos años tiene A?

2) En el trapecio ABCD se han trazado las diagonales y dos rectas paralelas entre sí, una por D y la otra por C, como se muestra en la figura. Demostrar a = b + c + d.

1) Encuentra TODOS los números de tres cifras que son pares y que la suma de sus dígitos es 26.

2) ¿Cuál es la letra que ocupa la posición 1998 en la siguiente secuencia:ABBCDEFEDCBABCDEFEDCBABCDEFEDCBA...

1) Hallar la cifra de las unidades de la suma 1! + 2! + 3! +...+ 1998!

2)¿Cuál es el número que ocupa la posición 1998 de la secuencia 1, -2, 2, -3, 3, -3, 4, -4, 4, -4, 5, -5, 5, -5, 5, -6, 6, -6, 6, -6, 6, -6, 6, ... ?

1) La suma de los tres dígitos de un número N es 21. Cambiando de posisción la cifra de las unidades con la de las decenas, el nuevo número es 45 unidades mayor que N. Hallar N 2) Pablo eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de tres cifras que se forman con ellos (sin repeticiones). Luego sumó todos los números que obtuvo. Hallar la suma de Pablo, sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14.

1) Juan y José juegan al siguiente juego: Juan dice un número entre 1 y 4. A continuación José le suma un número entre 1 y 4 y así sucesivamente. Gana el que llega al número 32. Ud. debe encontrar, si es posible, una estrategia ganadora para Juan.

2)La base de un triángulo es el doble del lado de un cuadrado de igual área. ¿Cuál es el cociente entre la altura del triángulo y el lado del cuadrado?

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1) Un tablero de 4´ 4 está dividido en cuadraditos de 1´ 1. Hay un número secreto escrito en cada cuadradito de 1´ 1. Sólo se sabe que la suma de los cuatro números de cada fila es igual a 1, la suma de los cuatro números de cada columna es igual a 1 y que la suma de los cuatro números de cada diagonal es igual a 1. ¿Es posible, con esta información, determinar la suma de los cuatro números de las esquinas y la suma de los cuatro números de los cuatro cuadraditos centrales? Si la respuesta es afirmativa, determinar la suma, y si la respuesta es negativa explicar por qué.

2) Se tienen 1998 piezas rectangulares de 2cm de ancho y 3 cm de largo y con ellas se arman cuadrados (sin superposiciones ni huecos) ¿Cuál es la mayor cantidad de cuadrados diferentes que se pueden tener al mismo tiempo?

1) En el planeta X31 hay sólo dos tipos de billetes, sin embargo el sistema no es tan malo porque hay solamente quince precios enteros que no se pueden pagar exactamente (se paga de más y se recibe cambio). Si 18 es uno de esos precios que no se pueden pagar exactamente, halla el valor de cada tipo de billete.

2) Hay 1997 números escritos alrededor de una circunferencia: 1996 son 0 y uno de ellos es 1. La única operación permitida es elegir un número y modificar sus dos vecinos, reemplazando 0 por 1 y 1 por 0.a) demostrar que es posible, usando varias veces la operación permitida, llegar a tener alrededor de la circunferencia todos los números iguales a 1.b) Decidir si con 1998 números, uno de ellos igual a 1 y los restantes 1997 iguales a 0, es posible llegar al resultado de la parte anterior.

) Encuentra el mayor número primo tal que el producto de sus dígitos es igual a 12 y que todos sus dígitos son diferentes.

2)A, B, C, D y E juegan un juego en el que cada uno es un león o un chivo. Los leones siempre mienten y los chivos siempre dicen la verdad.1) A dice: B no es un chivo.2) C dice: D es un león.3) E dice: A no es un león.4) B dice: C no es un chivo.5) D dice: E y A son animales de distinto tipo.¿Quiénes son los leones?

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1) En un examen de 26 preguntas, se dedujeron 5 puntos por cada respuesta equivocada y se sumaron 8 puntos por cada respuesta correcta. Si Juan respondió todas las preguntas y obtuvo cero de calificación, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?

2) Hallar el menor número de 3 dígitos que tenga exactamente 10 divisores.

1)Se escriben los números del 1 al 1998. En cada paso se borran 2 números al azar y se substituyen por su diferencia. El último número que se escribe ¿es par o impar?

2)El factorial de un número n se define como n! = 1´ 2´ 3´ ...´ (n- 1)´ n. Considera los números de la forma n!- 1. Algunos de ellos son números primos. ¿Cuál es la suma de estos números que son primos y menores que 1000?

1) En la secuencia 1, 4, 7, 10, ¿Cuál es el número que ocupa la centésima posición?

2)Una mujer gastó dos terceras partes de su dinero. Perdió dos terceras partes de lo que le quedaba y finalmente se quedó con $4. ¿Cuánto dinero tenía al principio?

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1) Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es la razón de sus áreas?

2) Si ordenamos de menor a mayor los números naturales que al dividirse por 83 dejan como residuo 3, ¿Cuál es el número que ocupa la posición 1998?

1)En la figura E, F, G y H son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD.

a. ¿En qué proporción está el área del cuadrado sombreado con respecto del área del cuadrado grande?

b. ¿En qué proporción está el área del triángulo BGC con respecto del área del cuadrado grande?

2)DATOS:A centro de la circunferencia IB centro de la circunferencia II, B pertenece a la circunferencia I.CD=4 diametro de la circunferencia I

Calcular el área rayada

1) ¿Cuántos ceros tiene a la derecha el númeroN = 1´ 2´ 3´ 4´ ... ´ 20?

2)Sabiendo que A y B son números

naturales y que encuentra los valores de A y B.

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1) Cuando es exactamente mediodía, las dos agujas del reloj aparecen reunidas. ¿Cuándo, exactamente, volverán las agujas a juntarse? (Por "exactamente" queremos decir que el tiempo deber ser expresado con toda precisión, hasta las fracciones de segundo).

2) Hallar el menor número de 5 dígitos que tenga exactamente 3 divisores.

1)Demuestra que en cualquier conjunto de 8 números enteros existen al menos dos números a y b tales que (a- b) es múltiplo de 7.

2)En la figura , a, b, c, d, e, f, g, h, i representan los dígitos 1, 2, ..., 9 aunque no necesariamente en ese orden. Encontrar los valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i de tal forma que:

i. a letras diferentes corresponden dígitos diferentes. ii. la suma de los dígitos dentro de una circunferencia es

igual a la suma de los dígitos de cualquier otra circunferencia (por ejem, a + b = b + c + d = d + e + f, etc.)

iii. la suma en cada circunferencia sea máxima.

1) Se tienen bolas de billar numeradas del 1 al 10. Queremos echar en un saco la mayor cantidad posible de estas bolas con la siguiente condición: si una pareja de bolas está en el saco, no puede estar la bola numerada con su diferencia. Por ejemplo, si están la 3 y la 7, no puede estar la 4.¿Cuál es el mayor número de bolas que podemos tener en el saco?

2) ¿Qué número del 1 al 1000 tiene más divisores?

3)En la siguiente figura, ABDE es un rectángulo tal que BD = 2AB, ABCF es un cuadrado y los arcos AF y BC son semicircunferencias. La figura tiene un perímetro igual a 4 + p , ¿cuál es su área?

4)Se forma una lista de números. Los dos primeros son 2 y pi. Cada nuevo número de la lista se obtiene dividiendo el último entre el penúltimo. ¿Qué número se encuentra en el lugar 2000?

5)En un hospital, a cada recién nacido se le coloca una pulsera formada por cinco cuadritos con dígito escrito en cada uno de ellos. ¿Cuántas pulseras distintas puede haber?

Nota: La pulsera es la misma que la

pulsera sólo que girada.

1)Al platicar sobre una reunión Juan le dice a Ricardo: el primer día todos saludamos a todos, el segundo día solamente faltó Pedro y otra vez saludamos a todos y al contar todos los saludos fueron 21 mil y algo. Ricardo, después de pensar le dice a Juan: me faltan datos para saber cuántas personas eran. Juan

responde que no recuerda, pero que los formaron en grupos de cinco el segundo día y nadie sobró, ¿Cuántas personas eran?2) Considera n números enteros positivos tales que su suma sea igual a 1000. Si al primero le sumas 1, al segundo de sumas 2, al tercero le sumas 3 y así continúas hasta llegar al último y le sumas n, la suma de estos nuevos números menos 37 da 1998. Di cuántos números había originalmente.

3)Cinco matrimonios van a una reunión. Por curiosidad Juan pregunta a cada uno de los demás asistentes cuántos apretones de mano dio. Obtiene las 9 respuestas posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,. ¿Cuál fue la respuesta de la esposa de Juan?

4)Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente, ¿cuál es el área de la zona sombrada?

1) La base de un triángulo es el doble del lado de un cuadrado de igual área. El cociente entre la altura del triángulo y el lado del cuadrado es:

a) ¼ b) ½ c) 1 d) 2 e) 4

2) Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares entre sí, el cuadrilátero se podría incluir siempre en el grupo de los:

a) rombosb) rectángulos c) cuadradosd) trapecios isósceles e) nada de lo anterior

3)¿Cuál de los siguientes triángulos no puede existir?

a)triángulo isósceles acutángul<

b)triángulo isósceles rectángulo

c)triángulo obtusángulo rectángulo

d)triángulo escaleno obtusángulo

e)triángulo escaleno acutángulo

4) Cada arista de un cubo se colorea, o bien de rojo o bien de negro. Caa cara del cubo tiene al menos una arista negra. El menor número posible de aristas negras es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

5) En la figura, la suma de las distancias AD y BD es

a) un número entre 10 y 11

b) 12

c) un número entre 15 y 16

d) un número entre16 y 17

e) 17.

6) Los ciudadanos de San Bartolo pagan de porcentaje de impuesto lo mismo que ganan de salario (Si alguien gana 10 pesos entonces paga el 10% de impuesto, si gana 20 pesos entonces es el 20% de impuesto) ¿Cuál es el salario óptimo en San Bartolo?

a) 100 b) 1000 c) 50 d) 75

7) Si a y b son números positivos, ¿cuál de los siguientes números es mayor?

a) a2 + b2 b) ab c) (a + b)2 d) (a – b)2

8) Las longitudes de los lados de un triángulo son todas números enteros y el perímetro del triángulo es 8. Entonces el área del triángulo es:

a) 2Ö 2 b) 16/9Ö3 c) 2Ö 3 d) 4 e) 4Ö 2

9) Si -2.4 < x < -1.5 y 0 < p < 2 entonces:

a) 0 < px < 3.0

b) –4.8 < px < 0

c) –4.8 > px < -3.0

) Si son las 9:00 a.m. ¿qué hora será dentro de 1998 horas?

2) Informaciones sospechosas: Te digo 5 verdadesLa frase anterior es mentiraLa frase anterior es mentiraLa frase anterior es mentiraLa frase anterior es mentira¿Cuántas verdades dije?

1) La suma de tres números enteros positivos desconocidos es 12. Hallar el número más pequeño que se puede obtener multiplicando estos tres números.

2) En el país del trueque, 1 auto y 1 velero se cambian por 1 casa; 1 velero se cambia por 1 auto y 1 departamento, 2 casas se cambian por 3 departamentos. ¿A cuántos autos equivale 1 velero?

1) Probar que ninguno de los enteros 1573, 15731573, 157315731573, etc., es un número primo

2) En una circunferencia, dos cuerdas perpendiculares AB y CD se cortan en un punto E, como se indica en la figura. Hallar la longitud de la circunferencia.

A un estadio de fútbol han asistido 30,000 espectadores.

¿Cuántos de ellos, como mínimo, cumplen años el mismo día?

2) La Zoo lógica

En la selva, la hiena miente los lunes, martes y miércoles; la zorra miente los jueves, viernes y sábados. En los días que no mienten, ellas dicen la verdad. Un día se encontraron la hiena y la zorra y sostuvieron este diálogo:

Hiena: ¡Hola zorra! Ayer yo mentí

Zorra: ¡Hola hiena! Yo también mentí ayer.

¿En qué día sucedió este encuentro?

1) ¿Si hacemos una lista con los números naturales que tienen exactamente tres divisores ¿qué número ocupa el quinto lugar?