Bicondicional

↔

Doble Implicación

Clase 25 - Leonel Morales – leonel@ingenieriasimple.com – litomd@ufm.edu 24 / Septiembre / 2014

Bicondicional

↔ Equivalencia Lógica

Dos fórmulas son Equivalentes Lógicas Si y sólo si:

Para cada valor de verdad asignado Mismo valor de verdad funcional

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Bicondicional

↔ Equivalencia Lógica

Dos fórmulas son Equivalentes Lógicas Si y sólo si:

Para cada valor de verdad asignado Mismo valor de verdad funcional

Esencialmente: Si tienen la misma tabla de verdad

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Bicondicional

↔ Equivalencia Lógica

Ejemplos:

DeMorgan: ~(P v Q) ↔ (~P & ~Q) (~P v ~Q) ↔ ~(P & Q)

Definición de Condicional: (P → Q) ↔ (~P v Q) (P v Q) ↔ (~P → Q)

Exportar e Importar: ((R & T) → M) ↔ (R → (T → M))

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Bicondicional

↔ Equivalencia Lógica

Es válida en las dos vías:

(S → K) ↔ (~K → ~S) (~K → ~S) ↔ (S → K)

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Bicondicional

↔ Equivalencia Lógica

Es válida en las dos vías:

(S → K) ↔ (~K → ~S) (~K → ~S) ↔ (S → K)

Recordar: Consecuencia lógica (((R & T) & (T → Q)) → Q)

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Bicondicional

↔ El Bicondicional

Bicondicional: También llamado «doble implicación»

Si dos fórmulas son equivalentes lógicos Bicondicional de ambas es tautología

Ejemplos: (~A & ~B) ↔ ~(A v B)

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Bicondicional

↔ Tabla de Verdad

El Bicondicional

P Q P↔Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Bicondicional

↔ Tabla de Verdad

El Bicondicional

P Q P↔Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Otra forma

P Q P→Q Q→P (P→Q) & (Q→P)

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

Bicondicional

↔ Tabla de Verdad

El Bicondicional

P Q P↔Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Otra forma

Bicondicional esequivalente lógico de:

((P→Q) & (Q→P))

P Q P→Q Q→P (P→Q) & (Q→P)

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

Bicondicional

↔ Recordatorio Reglas de sintaxis de lógica simbólica Una fórmula es lógica si sigue estas reglas:

1. Toda proposición atómica es una fórmula lógica2. Si φ es una fórmula lógica entonces φ también lo es3. Si φ y ψ son fórmulas lógicas entonces también lo son

1. (φ & ψ)2. (φ v ψ)3. (φ ψ)4. (φ ψ)

4. Cualquier expresión de proposiciones es fórmula lógica si puede ser construida por aplicaciones de las primeras 3 reglas

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Bicondicional

↔ Recordatorio Reglas de sintaxis de lógica

simbólica Una fórmula es lógica si sigue estas

reglas:1. Toda proposición atómica es una

fórmula lógica2. Si φ es una fórmula lógica entonces

φ también lo es3. Si φ y ψ son fórmulas lógicas

entonces también lo son1. (φ & ψ)2. (φ v ψ)3. (φ ψ)4. (φ ψ)

4. Cualquier expresión de proposiciones es fórmula lógica si puede ser construida por aplicaciones de las primeras 3 reglas

Versión corta:

FL = Fórmula Lógica

P, Q, R, S, etc., son FLSon proposiciones atómicas

~FL es FL

1. FL & FL es FL2. FL v FL es FL3. FL FL es FL4. FL FL es FL

Cualquier derivadode las anterioreses FL

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Bicondicional

↔ Otro Recordatorio

Árboles de Verdad

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(P v Q) (P & Q) (P Q)

P QPQ

~P Q

~(P v Q) ~(P & Q) ~(P Q)

~P~Q

~P ~QP

~Q

Bicondicional

↔ Otro Recordatorio

Árboles de Verdad

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(P v Q) (P & Q) (P Q)

P QPQ

~P Q

~(P v Q) ~(P & Q) ~(P Q)

~P~Q

~P ~QP

~Q

(P Q)

PQ

~P~Q

~(P Q)

P~Q

~PQ

Bicondicional

↔ Reglas de Derivación

Eliminación de Bicondicional

Izquierda

Derecha

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p1. (φ ψ) p2. ψ c. φ EL: p1, p2

p1. (φ ψ) p2. φ c. Ψ ER: p1, p2

Bicondicional

↔ Reglas de Derivación

Introducción de Bicondicional

Asumiendo antecedentes

Con dos premisas

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a1. φ Se asume … p1. ψ

a2. ψ Se asume … p2. φ

c. (φ ψ) I: p1, p2

p1. φ p2. ψ c. (φ ψ) I: p1, p2

Bicondicional

↔ Reglas de Derivación

Conmutatividad del Bicondicional

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p1. (φ ψ) c. (ψ φ) Conm: p1

Bicondicional

↔ Reglas de Derivación

Reemplazo de Equivalentes

Ejemplo:

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p1. (φ ψ) p2. …φ… c. …ψ… RE: p1, p2

1. (Q T) Premisa 2. (T (P v R)) Premisa 3. (Q (P v R)) RE: p1, p2