24725077 Sistema Axonometrico y Perspectiva Caballera

7/22/2019 24725077 Sistema Axonometrico y Perspectiva Caballera

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DIBUJO TCNICO 2 Bachillerato

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SISTEMA AXONOMTRICO

1. ELEMENTOS DEL SISTEMA AXONOMTRICO

Sea un triedro trirrectngulo OXYZ, siendo el, punto O el vrtice del triedro yorigen del sistema (fig. a). La mejor imagen que podemos tener de un triedrotrirrectngulo es la de un rincn de una habitacin.

El triedro est formado porlos planos xoY, YOZ y ZOX, que seconsideran infinitos ya los que sedenomina planos axonomtrcos ocoordenados.Los planos axonomtricos se cortandos a dos segn los ejes X, Y y Z,

que son las aristas del triedro ya losque se denomina ejesaxonomtrcos.

Sea tambin un plano cualquiera en el que se apoya eltriedro anterior por el vrtice O sinque ninguna cara ni eje coincida condicho plano. A este plano se le

denomina plano de proyeccin, plano del dibujo y ms generalmente plano del cuadro,y sobre l se proyectan ortogonalmente los ejes.

Denominaciones:

OVrtice del sistema.H Plano horizontal (XoY).V Plano vertical primero (XOZ) osimplemente plano vertical.W Plano vertical segundo (YOZ).Plano de proyeccin.

Los ejes X, Y y Z forman con elplano del cuadro, es decir, con sus

proyecciones, los ngulos , , respectivamente, y sus proyecciones X', Y' yZ' forman entre s los ngulos = X'OY', =X'OZ' y = Y'OZ', con lo que ++= 360.

La representacin axonomtrica se consigue al colocar el plano de proyeccincoincidiendo con la hoja de papel (fig. b).

2. CLASES DEL SISTEMA AXONOMTRICO

Si el triedro trirrectngulo se apoya sobre el plano del cuadro por su vrtice O,

de tal manera que los ngulos , , que forman los ejes con son iguales entre s,entonces ocurre que los ngulos , y tambin son iguales (fig. a), y al sistema se


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le denomina axonomtrico isomtrico.

Si el triedro se inclina de forma que uno de los ngulos , o se hace mayor omenor, pero los otros dos permanecen iguales entre s, entonces dos de los ngulos , y son tambin iguales pero distintos al tercero (fig. b), y al sistema se le llamaaxonomtrico dimtrico o monodimtrico.

Por ltimo, si el triedro se coloca de manera que ninguno de los ngulos , o son iguales, entonces , y tambin son distintos (fig. c), y al sistema se le conocecomo axonomtrico trimtrico o anisomtrico. Es decir:

Sist. ax. isomtrico: = = = 120.

Sist. ax. dimtrico: = , o = , o =

Sist. ax. trimtrico:

3. ESCALA AXONOMTRICA Y COEFICIENTE DE REDUCCIN

Si sobre uno de los ejes, por ejemplo el Z, se sita un punto M y se proyectasobre el plano del cuadro (ver fig.), la longitud OM' que se produce sobre el plano n de

dibujo es ligeramente menor que lalongitud real OM.

Coeficiente de reduccin: es larelacin que existe entre la medidareducida y la medida real: cr= OM'/ OM.

Escala axonomtrica: se formasobre el eje con la medida reducida: OM'= OM x cr.

Si una misma magnitud e = OMse lleva sobre cada uno de los tres ejesy se proyecta sobre , se obtienen tresnuevas magnitudes ex, eyy ezde forma

que:

En un sistema isomtrico, las escalas axonomtricas de cada uno de los ejesson iguales (ex = ey = ez} y por tanto sus coeficientes de reduccin tambin son

iguales (cx= Cy= Cz). Analticamente se demuestra que en este caso el coeficiente dereduccin vale


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aproximadamente 0,816.

En un sistema dimtrico, las escalas de dos de los ejes son iguales entre spero distintas a la escala del tercero, pues el valor de la magnitud OM' depende de lainclinacin del eje correspondiente, es decir, del ngulo que forme el eje con el planodel cuadro; los coeficientes de reduccin de los ejes cuyos ngulos sean iguales,sern iguales, pero distintos al del tercer eje.

En un sistema trimtrico, cada uno de los ejes tendr una escala axonomtrica distinta(exey ez) y un coeficiente de reduccin distinto (cxcy cz).

4. DADAS LAS PROYECCIONES DE LOS EJES, HALLAR LAS ESCALASAXONOMTRICAS

Como consecuencia de lo dicho anteriormente, para trasladar una determinadamagnitud sobre cada uno de los ejes, existe la posibilidad, si se conoce el valor de los

coeficientes de reduccin de cada eje, de multiplicar estos valores por cada medida ytrasladar el resultado sobre el papel. No obstante, no es una buena prctica en dibujotener que efectuar operaciones aritmticas para resolver ciertas situaciones; por tanto,veamos una solucin grfica.

Tringulo fundamental (o tringulo de trazas): se denomina as al tringuloseccin que se produce al cortar eltriedro trirrectngulo con un plano cualquiera paralelo al plano deproyeccin y proyectarlo sobre ste(fig. a). En representacinaxonomtrica, la caracterstica ms

destacable de este tringulo es quecada lado del mismo es perpendicularal eje axonomtrico que pasa por elvrtice opuesto.

Segn que el plano elegidose encuentre ms o menos cerca delplano , el tringulo de trazas que se

produce es mayor o menor, pero sus lados son siempre perpendiculares a los ejes.

Sean los ejes X', Y' y Z' y una cierta magnitud e que se desea transportar sobrecada uno de estos ejes:

1 Se dibuja un tringulo de trazas A'B'C' cualquiera.

2 Se abate sobre el plano el tringulo rectngulo AOB del espacio, cuyo ngulo rectoest en O: a) por el punto 0 (fig. b) se traza la perpendicular al lado A'B' (charnela);dicha perpendicular es la proyeccin de la circunferencia que describe el punto 0alrededor de la charnela; b) se traza lasemicircunferencia de dimetro A'B' y donde sta se corta con la perpendicularanterior se obtiene el punto 00(el ngulo que se forma al unir un punto cualquiera deuna circunferencia con los extremos de un dimetro es siempre un ngulo recto).

3 Se une el punto 00con A' ya', obteniendo as los ejes abatidos X0e Y0, sobre los que


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se pueden tomar medidas reales, tal como la magnitud e.

4 Para desabatir el segmento 00M0 = e,se traza por M0 la perpendicular a lacharnela A'B', que corta al eje X' en elpunto M' tal que OM' = ex. Efectuando lamisma operacin con el eje y se obtieneey.

5 Abatiendo sobre el plano el tringuloAOC de la misma forma que se ha hechocon el tringulo AOB, se obtienen los ejesX0y Z0. Sobre Z0se traslada la magnitude y se desabate trazando la perpendiculara la charnela, que ahora es el lado A'C',hasta cortar al eje Z', obteniendo as ez.

5. PERSPECTIVA DE UNA CIRCUNFERENCIA

Sea el punto Q centro de una circunferencia de radio dado (ver fig.):

1 Se dibuja el lado MN de un tringulo fundamental, perpendicular al eje Z, y se abatenlos ejes X e Y en X0e Y0.

2 Se abate el punto Q: setraza una recta r que pase

por O, se abate dicha rectaen r0 y por Q se traza laperpendicular a la charnelahasta cortar a r 0en Q0.

3 Con centro en Q0 sedibuja la circunferencia deradio dado y se divide en unnmero de partes iguales(se aconseja dividirla en unnmero par, partiendo de laparalela a uno de los ejes

abatidos).

4 Se desabaten los puntosde la circunferencia de lamisma manera que se hahecho con el hexgono enel caso anterior.

En el caso de un sistema isomtrico y si la elipse a trazar no es muy grande,existen en el mercado plantillas de elipses isomtricas para un perfecto trazado de lasmismas. No obstante, suele admitirse el trazado de un valo inscrito en un rombocomo sustitucin de una elipse isomtrica (ver fig.):


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1 Se dibuja la perspectiva delcuadrado que circunscribe a lacircunferencia (rombo ABCO),siguiendo el procedimientoexplicado anteriormente para eltrazado de una figura plana.

2 Por los extremos B yO de ladiagonal ms corta del rombo,se trazan las perpendiculares alos lados opuestos, obteniendolos puntos T1, T2, T 3y T4.

3 Las perpendiculares trazadasanteriormente se cortan en lospuntos 01y O2que, junto con B

y D, forman los centros de loscuatro arcos de circunferenciaque definen el valo.

Siguiendo procedimientossimilares (ver fig.) se obtienen lasperspectivas de la circunferencia

situada en el plano vertical primero yvertical segundo, de centros B y Crespectivamente.

Como ya se vio en el tema anterior, existen diversas clases de perspectivaaxonomtrica en funcin del ngulo que formen los ejes del triedro con el plano delcuadro; en la prctica, es la perspectiva isomtrica la ms utilizada pues, al formar losejes entre s ngulos de 120, pueden manejarse la escuadra y el cartabn.


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Tambin se ha visto cmo toda figura del espacio (ver fig.), al ser proyectada

sobre el triedro y posteriormente sobre el plano del cuadro, queda ligeramentereducida. No obstante, en la prctica, suelen dibujarse las perspectivas isomtricas sinreducir porque de esta manera pueden ser medidas.


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SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA

1. ELEMENTOS DEL SISTEMAA continuacin estudiaremos los principios de la perspectiva caballera que nos

permitan resolver ciertos problemas en dicho sistema as como realizar perspectivasen el siguiente captulo.

Sea un triedro trirrectngulo OXYZ, siendo el punto O el vrtice del triedro yorigen del sistema (fig. a). El triedro est formado por los planos XOY, YOZ y ZOX,que se consideran infinitos ya los que se llama planos coordenados; estos planosdividen al espacio en ocho partes.

Los planos coordenados se

cortan dos a dos segn los ejes X, Y yZ, que se les denomina ejescoordenados.

Sea tambin un plano , en elque se apoya el triedro anteriorhacindolo coincidir con uno de susplanos coordenados y al que sedenomina plano de proyeccin deldibujo, o ms comnmente, plano delcuadro.

Segn esta posicin, los ejes X y Z estn contenidos en el plano del cuadro yel eje Y queda perpendicular a dicho plano, proyectndose oblicuamente sobre lsegn una direccin d.

Denominaciones:

O Vrtice del sistema.H Plano horizontal (XOY).V Plano vertical primero (XOZ).W Plano vertical segundo (YOZ).Plano de proyeccin.

El sistema de perspectiva caballerapuede considerarse un caso particular delaxonomtrico en cuanto a que poseen losmismos elementos de partida; la diferenciaest en que en el sistema axonomtrico laproyeccin es ortogonal y en el sistema deperspectiva caballera es oblicua.

La disposicin de los ejes (fig. b)queda con los ejes X y Z formando ngulorecto, ya que el plano que determinan es

paralelo al Plano del Cuadro , y el eje Yformando un ngulo variable con respecto al eje X


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2. DIRECCION DE PROYECCION Y COEFICIENTE DE REDUCCION

Si sobre el eje Y se sita un punto M (ver fig.) y se proyecta oblicuamentesobre el plano del cuadro en M', ocurre que para definir dicha proyeccin hay quetener en cuenta dos cosas:

Direccin de proyeccin: es el ngulo que forma la proyeccin Y' con el eje X.Dicho de otra manera, es el ngulo que forma el plano proyectante que contiene a larecta MM' con el plano H (plano XOY).

Coeficiente de reduccin: es la inclinacin del rayo de proyeccin MM' dada porel cociente cr= OM'/OM.

El coeficiente de reduccin est en funcin del ngulo que forma el rayo MM'con el plano .

Los ejes X y Z, al estar en el plano delcuadro, forman un ngulo de 90 y las medidassobre ellos se toman en verdadera magnitud.La direccin de proyeccin y el coeficiente dereduccin crslo afectan a la proyeccin Y' deleje perpendicular a (ver fig.) y deben serdefinidos en todo ejercicio.

Los ngulos habituales en la direccin de proyeccin pueden ser: = 210, =225y = 240, que coinciden con los de la escuadra y cart abn.

Los coeficientes de reduccin habituales son: cr = 1/2 = 0,5 cr = 2/3 = 0,66 y cr =

3/4 = 0, 75, no siendo normales coeficientes iguales o mayores que la unidad.


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La norma UNE 1031 indica que los valores normalizados para estos dosconceptos son los siguientes: = 45y c r= 1/2 = 0,5.

3. COMO HALLAR LA ESCALA DEL EJE Y

El coeficiente de reduccin suele expresarse mediante un cociente, como si deuna escala se tratara. Para trasladar una determinada magnitud sobre el eje Y', sinnecesidad de efectuar operaciones aritmticas, existen procedimientos grficos comoel que se explica a continuacin.

Sean los ejes X, Y' y Z y un punto A de coordenadas ax, ay y az, siendo elcoeficiente de reduccin cr= a/b (fig. a y b):

1 Se abate el plano horizontal H sobre el plano de proyeccin , utilizando comocharnela el eje X. Como el ngulo recto est en O, la prolongacin del eje les el ejeabatido Y

0.

2 Sobre la proyeccin Y' se lleva, a partir de 0, el numerador del coeficiente dereduccin a = OM', o medida reducida, y sobre el eje abatido yo se transporta eldenominador b = OM0, o medida real. La recta M0M' indica la direccin d de reduccin.

3 Sobre los ejes X y Z, se transportan respectivamente las coordenadas ax= OAxy az= OAz sin reducir, es decir, directamente. Para reducir la coordenada ay sta setransporta sobre el eje Y0 (ay = OA0), trazando por el extremo A0 la paralela a ladireccin d de reduccin hasta cortar al eje Y' en Ay y obteniendo as la medidareducida.

Las proyecciones del punto se obtienen a continuacin trazando paralelas a lasdirecciones de los tres ejes, construyendo el paraleleppedo de referencia, como sehaca en el sistema axonomtrico.

Para estudiar la teora del punto, la recta, el plano y las intersecciones en elsistema de perspectiva caballera, y dado que los conceptos son idnticos a los delsistema axonomtrico, a partir de este momento remitimos al lector a lo ya estudiadoen este tema.

4. PERSPECTIVA DE UNA CIRCUNFERENCIA

Sea el punto O centro de una circunferencia, de radio conocido, situada en elplano horizontal (ver fig.) de un sistema de perspectiva caballera cuya direccin del eje


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Y y el coeficiente de reduccin cr= a/b son datos:1 Se abate el plano horizontal utilizando como charnela el eje X: Y0es la prolongacin

del eje Z y se halla la direccin d deabatimiento.

2 Se abate el punto O, tal como se haexplicado anteriormente, obteniendoas O0.

3 Con centro en O0 se dibuja lacircunferencia de radio dado y sedivide a continuacin en un nmero departes iguales (se aconseja dividirla enun nmero par, partiendo de la paralelaal eje X).

4 Se desabaten todos y cada uno de

los puntos de la circunferencia,haciendo pasar rectas paralelas al eje abatido Y0, hasta cortar a la charnela. Por lospuntos de corte con la charnela se trazan paralelas al eje Y y por los puntos abatidosparalelas a la direccin d de abatimiento hasta cortar a su correspondiente recta en lospuntos A, B, C, ... de la circunferencia.

Siguiendo un procedimientosimilar al explicado se obtiene,con centro en G, la perspectivade la circunferencia situada enel plano vertical segundo (verfig.); la perspectiva de la

circunferencia de centro B,situada en el plano vertical, esuna circunferencia dibujada enverdadera magnitud, pues,como ya se ha visto, el planovertical coincide con el plano de proyeccin.

5. TRAZADO DE UNA PERSPECTIVA CABALLERA

Para finalizar se presenta un ejercicio (ver fig.) en el que, partiendo de lasvistas de una pieza, se ha realizado la perspectiva caballera teniendo en cuenta lossiguientes datos:


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Obsrvese que las medidas paralelas a los ejes X y Z estn en verdaderamagnitud, mientras que las llevadas sobre rectas paralelas al eje Y estn reducidas enla proporcin que indica el coeficiente de reduccin, tal como se indica en la figura.

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