23investigaciondeoperaciones3-111024113154-phpapp01.pdf

Ingeniera Industrial Mtodo Simplex en Investigacin de Operaciones

1. Exprese el modelo matemtico en la forma estndar. 2. Elabore la tabla inicial del simplex 3. Determine la variable no bsica que entra 4. Determine la variable que sale: 5. Aplicacin del mtodo Gauss-Jordan (o de operaciones sobre

renglones). 6. Criterio para terminar el proceso. 7. Algoritmo del Mtodo de la Gran M

1.-Exprese el modelo matemtico en la forma estndar.

Todas las restricciones del modelo matemtico deben convertirse en igualdades.

No debe haber ningn lado derecho negativo. Si es "=" entonces se agregan Ai - Si Si es " =" entonces se agrega una Ai

2. Elabore la tabla inicial del simplex: Note que en la fila superior de la matriz se enlistan todas las variables del problema ( las de decisin y las agregadas). Adems observe que en la columna izquierda, es decir en la base, no se colocan las variables de decisin ni las sobrantes. Esto es en la tabla inicial, pero no implica que dichas variables no puedan entrar a la base en tablas posteriores.

Base X1 X2 H1 H2 H3 H4 Z LD

H1 a11 a12 1 0 0 0 0 b1

H2 a21 a22 0 1 0 0 0 b2

H3 a31 a32 0 0 1 0 0 b3

H4 a41 a42 0 0 0 1 0 b4

Z -c1 -c2 0 0 0 0 1 0

3. Determine la variable no bsica que entra:

Se elige como la variable que entra en maximizacin (minimizacin) como la variable no bsica que tiene el indicador ms negativo (positivo), en la fila de coeficientes de la Funcin Objetivo (Z). Los empates se rompen arbitrariamente.

4. Determine la variable que sale:

Se determina tomando el cociente de los valores en la columna del lado derecho (LD) de cada restriccin entre los coeficientes positivos de la columna de la variable que entra. Si el coeficiente es "cero o negativo" entonces el cociente se considera infinito. La variable bsica asociada al cociente ms pequeo (en ambos casos, maximizacin y

http://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/norma/norma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#exprese#expresehttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#elabore#elaborehttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#determ#determhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#detvariab#detvariabhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#aplicac#aplicachttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#aplicac#aplicachttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#criter#criterhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml#algoritmo#algoritmohttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/macroecon/macroecon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

minimizacin) es la variable que sale. Los empates se rompen arbitrariamente. Sin embargo, en caso de haber empate y que una de las variables involucradas sea una variable artificial, se elige a sta como la variable saliente.

5. Aplicacin del mtodo Gauss-Jordan (o de operaciones sobre renglones).

Mediante este procedimiento se elimina (en realidad se sustituye) la variable que entra, en todas las filas de la tabla. Es decir, se tiene que convertir la columna de la variable que entra en un vector columna unitario (un 1 y puros ceros). Esto se logra de la siguiente manera: 5.1. El primer paso en la eliminacin de Gauss-Jordan es multiplicar la fila pivote por el inverso multiplicativo del elemento pivote (para formar la unidad) y reemplazar el nombre de la variable que sale por el nombre de la variable que entra. 5.2. La eliminacin (o sustitucin) se logra sumando un mltiplo adecuado de la fila pivote ( elemento pivote = 1) a cada una de las dems filas.

Es decir, se multiplica la fila pivote por el negativo del nmero que deseamos que se convierta en cero y el resultado de esta multiplicacin se suma a la fila donde queremos que aparezca el cero.

1. Criterio para terminar el proceso.

Los pasos 2, 3, 4 y 5 se repiten hasta que todos los indicadores de la funcin objetivo sean no negativos (si es de maximizacin) o sean no positivos (si es de minimizacin).

Cuando esto ocurre se dice que se ha llegado a la solucin ptima del

problema.

Variables artificiales

En los problemas anteriores del mtodo simplex hemos utilizado las variables de holgura como una solucin inicial factible. Sin embargo, si la restriccin original es una " , ya no tenemos una solucin factible inicialecuacin ("=") o es del tipo " preparada.

Por lo que es necesario generar una solucin inicial. La idea de utilizar Variables Artificiales es muy simple. Es necesario sumar una variable no negativa a todas la ecuaciones que no tengan variables bsicas iniciales. Las variables agregadas desempearn la misma funcin que una variable de holgura. Sin embargo, como estas variables no tienen un significado fsico desde el punto de vista del problema original ( de aqu el nombre de "artificial"), el procedimiento ser valido slo si hacemos que estas variables sean cero cuando se llegue a la tabla ptima.

Algoritmo del Mtodo de la Gran M

1. Pasar a la forma estndar el modelo matemtico. 2. Agregar variables artificiales en las ecuaciones que no tienen variables de

holgura.

http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos15/valoracion/valoracion.shtml#TEORICAhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION

3. Se deben penalizar a las variables artificiales en la funcin objetivo asignndoles coeficientes positivos muy grandes. Sea M un nmero muy grande. ( En los modelos de Minimizacin la penalizacin para cada variable artificial se suma y en los de Maximizacin se restan).

4. En la funcin objetivo no deben aparecer variables bsicas por lo que se hace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.(Quitar las "M" de las columnas de las artificiales).

5. Con la solucin inicial artificial se aplica el mtodo simplex de la forma acostumbrada generando las tablas necesarias para llegar a una solucin.

Notas: Cuando una solucin contiene variables artificiales bsicas igual a cero entonces

la solucin s es factible con respecto al problema original. Si el problema no tiene solucin factible, cuando menos una variable artificial ser

positiva en la solucin ptima.

Cuando tenemos restricciones de igualdad, de mayor o igual; cuando algunas de las bi son negativas o queremos minimizar, para usar el simplex, debemos identificar una solucin bsica inicial.

Se revisa el problema aadiendo variables artificiales, slo con el propsito de que sea la variable bsica inicial para esa ecuacin. Son variables no-negativas y se altera la funcin objetivo para que imponer una penalidad exhorbitante en que estas variables artificiales tengan valores mayores de cero. El mtodo del simplex entonces hace desaparecer estas variables hasta que el problema real es resuelto.

Utilizando el mtodo simplex resuelva el siguiente problema de programacin lineal.

Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3

s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 950

2 X1 + 2 X2 410+

X1 + + 2 X3 610

X1 , X2 , X3 0

V B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 SOLUCION Z 1 -40 -60 -50 0 0 0 0

X4 0 10 4 2 1 0 0 950

X5 0 2 2 0 0 1 0 410

X6 1 1 0 2 0 0 1 610 Z 1 20 0 -50 0 30 0 12300 60RP + FO

http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtml

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3

s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950

2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410

X1 + + 2 X3 + X6 = 610

X4 0 6 0 2 1 -2 0 130 -4RP + R1

X2 0 1 1 0 0 1/2 0 205 1/2RP

X6 0 1 0 2 0 0 1 610 Z 1 170 0 0 25 -20 0 15550 50RP + FO

X3 0 3 0 1 1/2 -1 0 65 1/2 RP

X2 0 1 1 0 0 1/2 0 205

X6 0 -5 0 0 -1 2 1 480 -2RP + 3 Z 1 120 0 0 15 0 20 20350 20RP + FO

X3 0 1/2 0 1 0 0 0 305 RP + R1

X2 0 9/4 1 0 1/4 0 -1/2 85 1/2RP + R2

X5 0 -5/2 0 0 -1/2 1 1 240 1/2RP

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0

Solucin bsica actual:

X4 = 950 min 950/4 , 410/2 , -

X5 = 410 min 237.5 , 205 , -

X6 = 610


X4 = 130 min 130/2 , - , 610/2

X2 = 205 min 65 , - , 305

X6 = 610


X3 = 65 min - , 205/0.5 , 480/2

X2 = 205 min - , 410 , 240

X6 = 480

Por lo tanto la solucin ptima es:

Z* = 20350

X2* = 85

X3* = 305

X5* = 240

X1* = X4* = X6* = 0

Comprobacin en la funcin objetivo:

Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3

Z = 4 (0) + 3 (85) + 50(305)

Z = 20350

Comprobacin en las restricciones:

10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4

10(0) + 4( 85) + 2(305) + 0 = 950

2 X1 + 2 X2 + X5

2(0) + 2(85) + 240 = 410

X1 + 2 X3 + X6

1. + 2(305) + 0 = 610


Max Z = 5X1 + X2 + 3X3

s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3 4

X1 + X2 + 4 X3 4

X1 , X2 , X3 0

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 SOLUCION

Z 1 -5 -1 -3 0 0 0

X4 0 2 -1 2 1 0 4

X5 0 1 1 4 0 1 4

Z 1 0 -7/2 2 5/2 0 10 5RP + FO

X1 0 1 -1/2 1 1/2 0 2 1/2RP

X5 0 0 3/2 3 -1/2 1 2 -RP + R2

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/

Max Z - 5X1 - X2 - 3X3

s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3 + X4 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5 = 4

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0


X4 = 4 min 4/2 , 4/1

X5 = 4 min 2 , 4


X1 = 2 min - , 2/1.5

X5 = 2 min - , 1.33


Z* = 44/3

X1* = 8/3

X2* = 4/3

X3* = X4* = X5* = 0


Max Z = 5X1 + X2 + 3X3

Z 1 0 0 9 4/3 7/3 44/3 7/2RP + FO

X1 0 1 0 2 1/3 1/3 8/3 1/2RP + R1

X2 0 0 1 2 -1/3 2/3 4/3 2/3RP

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml

Z = 5 (8/3) + 4/3 + 0

Z = 44/3


2 X1 - X2 + 2 X3 + X4

2 (8/3) 4/3 + 2 (0) + 0 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5

8/3 + 4/3 + 4 (0) + 0 = 4


Max Z = 25X1 + 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 1000

3 X1 600 X1 + 3X2 600

X1 , X2 0

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 SOLUCION

Z 1 -25 -50 0 0 0 0

X3 0 2 2 1 0 0 1000

X4 0 3 0 0 1 0 600

X5 0 1 3 0 0 1 600

Z 1 -25/3 0 0 0 50/3 10000 50RP + FO

X3 0 4/3 0 1 0 -2/3 600 -2RP + R1

X4 0 3 0 0 1 0 600

X2 0 1/3 1 0 0 1/3 200 1/3RP

Z 1 0 0 0 23/9 50/3 35000/3 25/3RP + FO

X3 0 0 0 1 -4/9 -2/3 1000/3 -4/3RP + R1

X1 0 1 0 0 1/3 0 200 1/3RP

X2 0 0 1 0 -1/3 1/3 400/3 -1/3RP + R3

http://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtml

Max Z - 25X1 - 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 + X3 = 1000

3 X1 + X4 = 600

X1 + 3X2 + X5 = 600

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0


X3 = 1000 min 1000/2 , - , 600/3

X4 = 600 min 500 , - , 200

X5 = 600


X3 = 600 min 600/4/3 , 600/3 , 200/1/3

X4 = 600 min 450 , 200 , 600

X2 = 200


Z* = 35000/3

X1* = 200

X2* = 400/3

X3* = 1000/3

X4* = X5* = 0


Max Z = 25X1 + 50X2

Z = 25 (200) + 50 (400/3)

Z = 35000/3


2 X1 + 2X2 + X3

2 (200) + 2 (400/3) + 1000/3 = 1000

3 X1 + X4

3 (200) + 0 = 600

X1 + 3X2 + X5

200 + 3 (400/3) + 0 = 600

Considere el siguiente problema.

Min W = 3X1 + 5X2 + X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8

X1 , X2 , X3 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 3

2Y1 5

Y1 1

Y1 0

Para el primal

Min W 3X1 5X2 X3 =0

s.a. 4X1 2X2 X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 0

El primal no tiene solucin porque no se puede establecer la variable de entrada.

Para el dual

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3 0

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION W 1 -3 -5 -1 0 0

S1 0 -4 -2 -1 1 -18

VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION

Z 1 -18 0 0 0 0

S1 0 4 1 0 0 3

S2 0 2 0 1 0 5

S3 0 1 0 0 1 1


Z 1 0 18/4 0 0 27/2 18/4RP+FO

Y1 0 1 1/4 0 0 3/4 1/4RP

S2 0 0 1/2 -1 0 -7/2 1/2RP-R2

S3 0 0 1/4 0 -1 -1/4 1/4RP-R3


S1 = 3 min 3/4 , 5/2 , 1/1

S2 = 5 min 0.75 , 2.5 , 1

S3 = 1


Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 =0


Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75< 1 INACTIVA Y DFICIT

Cambiar el coeficiente de x1 a 4 de la funcin objetivo y resolver el primal y el dual.

Min W = 4X1 + 5X2 + X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8

X1 , X2 , X3 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 4

2Y1 5

Y1 1

Y1 0

Para el primal

Min W 4X1 5X2 X3 =0

s.a. 4X1 2X2 X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 0

El primal no tiene solucin porque no se puede establecer la variable de entrada.

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 4

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3 0

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION W 1 -4 -5 -1 0 0

S1 0 -4 -2 -1 1 -18


Z 1 -18 0 0 0 0

S1 0 4 1 0 0 4

S2 0 2 0 1 0 5

S3 0 1 0 0 1 1


Z 1 0 18/4 0 0 18 18/4RP+FO

Y1 0 1 1/4 0 0 1 1/4RP

S2 0 0 1/2 -1 0 -3 1/2RP-R2


S1 = 4 min 4/4 , 5/2 , 1/1

S2 = 5 min 1 , 2.5 , 1

S3 = 1


Z* = 18

Y1* = 1

S2* = S3 =0


Z = 18(1) = 18

4(1) = 4=4 ACTIVA

2(1)=2 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

S3 0 0 1/4 0 -1 0 1/4RP-R3

1 = 1 ACTIVA Y DFICIT

Cambiar el coeficiente de x3 a 1 y a la funcin objetivo y resolver el primal y el dual.

Min W = 3X1 + 5X2 *- X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8

X1 , X2 , X3 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 3

2Y1 5

Y1 -1

Y1 0

Para el primal

Min W 3X1 5X2 +X3 =0

s.a. 4X1 2X2 X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 0

-RP+FO

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION W 1 -3 -5 1 0 0

S1 0 -4 -2 -1 1 -18

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION

W 1 -7 -7 0 1 -18

X3 0 4 2 1 -1 18

-RP


S1 = -18 min -18/-1

min 18


W* = -18

X3* = 18

X1*, X2*, S1*,= 0


W = 3(0) + 5(0) 18 = -18

4(0) + 2(0) + 18 = 18 ACTIVA

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = -1

Y1 , S1 ,S2, S3 0


Z 1 -18 0 0 0 0

S1 0 4 1 0 0 3

S2 0 2 0 1 0 5

S3 0 1 0 0 1 -1


Z 1 0 18/4 0 0 27/2 18/4RP+FO

Y1 0 1 1/4 0 0 3/4 1/4RP


S1 = 3 min 3/4 , 5/2 , -1/1

S2 = 5 min 0.75 , 2.5 , -

S3 = -1


Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 *=0


Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3=3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

S2 0 0 1/2 -1 0 -7/2 1/2RP-R2

S3 0 0 1/4 0 -1 -1/4 1/4RP-R3

3/4 = 0.75 > -1 INACTIVA Y DE SUPERAVIT


Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3

s.a. 2 X1 + X2 5

X2 + 3X3 4

X1 , X2 , X3 0

Min W - 6X1 - 8X2 - 16X3

s.a. 2 X1 + X2 + X4 = 5

X2 + 3X3 + X5 = 4

VB W X1 X2 X3 X4 X5 SOLUCION

W 1 -6 -8 -16 0 0 0

X4 0 2 1 0 1 0 5

X5 0 0 1 3 0 1 4

W 1 -6 -8/3 0 0 16/3 64/3 16RP + FO

X4 0 2 1 0 1 0 5

X3 0 0 1/3 1 0 1/3 4/3 1/3 RP

W 1 0 1/3 0 3 16/3 109/3 6RP + FO

X1 0 1 1/2 0 1/2 0 5/2 1/2 RP

X3 0 0 1/3 1 0 1/3 4/3

http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0


X4 = 5 min - , 4/3

X5 = 4 min - , 1.33


X4 = 5 min 5/2 , -

X3 = 4/3 min 2.5 , -


W* = 109/3

X1* = 5/2

X3* = 4/3

X2* = X4* = X5* = 0


Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3

W = 6 (5/2) + 8 (0) + 16 (4/3)

W = 109/3


2 X1 + X2 + X4

2 ( 5/2) + 0 + 0 = 5

X2 + 3X3 + X5

0 + 3 (4/3) + 0 = 4


Min W = X1 + 3X2 + 2X3

s.a. X1 + 4X2 8

2 X1 + X3 10

2 X1 + 3X2 15

X1 , X2 , X3 0

Min W - X1 - 3X2 - 2X3

s.a. X1 + 4X2 + X4 = 8

2 X1 + X3 + X5 = 10

VB W X1 X2 X3 X4 X5 X6 SOLUCION

W 1 -1 -3 -2 0 0 0 0

X4 0 1 4 0 1 0 0 8

X5 0 2 0 1 0 1 0 10

X6 0 2 3 0 0 0 1 15

W 1 -1/4 0 -2 3/4 0 0 6 3RP + FO

X2 0 1/4 1 0 1/4 0 0 2 1/4 RP

X5 0 2 0 1 0 1 0 10

X6 0 5/4 0 0 -3/4 0 1 9 -3RP + R3

W 1 15/4 0 0 3/4 2 0 26 2RP + FO

X2 0 1/4 1 0 1/4 0 0 2

X3 0 2 0 1 0 1 0 10

X6 0 5/4 0 0 -3/4 0 1 9

2 X1 + 3X2 + X6 = 15

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0


X4 = 8 min 8/4 , - , 15/3

X5 = 10 min 2 , - , 5

X6 = 15


X2 = 2 min - , 10/1 , -

X5 = 10 min - , 10 , -

X6 = 9


W* = 26

X2* = 2

X3* = 10

X6* = 9

X1* = X4* = X5* = 0


Min W = X1 + 3X2 + 2X3

W = 0 + 3 (2) + 2 (10)

W = 26


X1 + 4X2 + X4

0 + 4 (2) + 0 = 8

2 X1 + X3 + X5

2 (0) + 10 + = 10

2 X1 + 3X2 + X6

2 (0) + 3 (2) + 9 = 15

Use variables artificiales y pngalas en la tabla inicial de:

a. Formule el problema dual b. Elabore la tabla inicial para el problema dual

Min W = 6X1 + X2 + 3X3 - 2X4 Min W 6X1 X2 3X3 + 2X4 = 0

s.a. X1 + X2 s.a. X1 + X2 + X6 = 42

2 X1 + 3X2 X3 - X4 10 2X1 + 3X2 X3 X4 X5 + X7 = 10

X1 + 2X3 + X4 =30 X1 + 2X3 + X4 + X8 = 30

X1 , X2 , X3 , X4 0

VB W X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 SOLUCION

W 1 -6 -1 -3 2 0 0 -M -M 0

X6 0 1 1 0 0 0 1 0 0 42

X7 0 2 3 -1 -1 -1 0 1 0 10

X8 0 1 0 2 1 0 0 0 1 30 VB W X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 SOLUCION W 1 3M-6 3M-1 M-3 2 -M 0 0 0 40M X6 0 1 1 0 0 0 1 0 0 42 X7 0 2 3 -1 -1 -1 0 1 0 10 X8 0 1 0 2 1 0 0 0 1 30 X1 X2 X3 X4 X5 X6

X7 X8 SOLUCION

M 2 3 -1 -1 -1 0 1 0 10

2M 3M -M -M -M 0 M 0 10M

-6 -1 -3 2 0 0 -M -M 0

2M-6

3M-1 -M-3

-M+2 -M 0 0 -M 10M

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 SOLUCIONM 1 0 2 1 0 0 0 1 30 M 0 2M M 0 0 0 M 30M

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES

Considrese el problema siguiente:

c. Formule el problema dual d. Elabore la tabla inicial para el problema dual

Min W = 3X1 - 5 X2 + 4X3

s.a. 4 X1 - 2 X2 + X3 = 20

3 X1 + 4X3 12

-2X2 + 7X3 7

X1 , X2 , X3 0

DUAL

Max Z = 20Y1 + 12Y2 + 7Y3

s.a. 4 Y1 + 3 Y2 3

-2Y1 - 2Y3 -5

Y1 + 4Y2 + 7Y3 -4

Y1 =NR Y2 , Y3 0

2M-6

3M-1 -M-3

-M+2 -M 0 0 -M 10M

3M-6

3M-1 M-3 2 -M 0 0 0 40M

VB Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 SOLUCIONZ 1 -20 -12 -7 0 0 0 0

Y4 0 4 3 0 1 0 0 3

Use variables artificiales y el mtodo simplex para resolver el problema lineal:

Min W = -2X1 - X2 4X3 - 5X4

s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 20

2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 -10 X1 , X2 , X3 , X4 0

Y5 0 -2 0 -2 0 1 0 -5

Y8 0 1 4 7 0 0 1 4

V B W X1 X2 X3 X4 S2 S1 R2 S3 SOL. W 1 2 1 4 5 0 0 -M 0 0

S1 0 1 3 2 5 10 1 0 0 20

R2 0 2 16 1 1 -1 0 1 0 4

S3 0 3 -1 -5 10 0 0 0 1 -10 VB W X1 X2 X3 X4 S2 S1 R2 S3 SOL. W 1 2M+2 16M+1 M+4 M+5 -M 0 0 0 4M

S1 0 1 3 2 5 10 1 0 0 20

R2 0 2 16 1 1 -1 0 1 0 4

S3 0 3 -1 -5 10 0 0 0 1 -10 VB W X1 X2 X3 X4 S2 S1 R2 S3 SOL.

W 1 15/8 0 63/16 79/16 1/16 0 -M-1/16 0 -1/4 (-M-1/16)RP+FO

S1 0 - -5/8 0 -29/16 -77/16-163/16 -1 3/16 0 -77/4 3/16RP-R1

R2 0 1/8 1 1/16 1/16 -1/16 0 1/16 0 1/4 1/16 RP

S3 0 25/8 0 -79/16 161/16 -1/16 0 1/16 1 -39/4 1/16 RP+R3

Min W + 2X1 + X2 + 4X3 + 5X4= 0 s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 + S1 = 20

2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 -S2 + R2 = 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 +S3 = -10

X1 , X2 , X3 , X4 0

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3

s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950

2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410

X1 + + 2 X3 + X6 = 610

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0


S1 = 20 min 20/3 , 1/16 , -10/-1

R2 = 4 min 6.6 , 0.25 , 10

S3 = -10


W* = -1/4

X2* = 1/4

S3* = -39/4

X1*, X3*, X4*, S1*, S2* = 0


W = -2(0) 1/4 + 4(0) 5(0) = -1/4

0 + 3(1/4) +2(0) + 5(0) = 3/4 20 INACTIVA Y DEFICIT

2(0) +16(1/4) + 0 +0 = 16/4 = 4 = 4 ACTIVA

3(0) 1/4 5(0) + 10(0) = -1/4 -10

Por el metodo simplex

Min W+2X1+X2+4X3+5X4=0

s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 + S1 =20

-2 X1 - 16X2 - X3 - X4 + S1 =-4

3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 + S3 =-10

X1 , X2 , X3 , X4 0 S1 ,S2 ,S3 0


S1 = 0 min -20/5 , - , -50/10

X4 = 4 min - , - , -

S3 = -50

No tiene solucin porque se puede establecer la variable de entrada pero no la salida.

VB W X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 SOL. W 1 2 1 4 5 0 0 0 0

S1 0 1 3 2 5 1 0 0 20

S2 0 -2 -16 -1 -1 0 1 0 -4

S3 0 3 -1 -5 10 0 0 1 -10 VB W X1 X2 X3 X4 S2 S1 S3 SOL. W 1 -8 -79 -1 0 0 5 0 -20 5RP + FO

S1 0 -9 -77 -3 0 1 0 0 0 5RP+R1

X4 0 2 16 1 1 0 1 0 4 -RP

S2 0 -17 -161 -15 0 0 10 1 -50 10RP+R3

En los ejercicios 1-4, escriba la tabla simples inicial para cada problema dado de programacin lineal.

1.- Max Z= 3X1 + 7X2 Max Z- 3X1 - 7X2 =0

s.a. 3X1 2X2 7 s.a. 3X1 2X2 +S1 =7

2X1 + 5X2 6 2X1 +5X2 +S2 =6

2X1 + 3X2 8 2X1 + 3X2 + S3 =8

X1, X2 0 X1, X2 ,S1, S2 ,S3 0

2.- Max Z= 2X1 + 3X2 4X3 Max Z- 2X1 - 3X2+4X3 =0

s.a. 3X1 2X2 +X3 4 s.a. 3X1 2X2 +X3 + S1 =4

2X1 -4X2 +5X3 6 2X1 -4X2 +5X3 +S2 =6

X1, X2, X3 0 X1, X2 ,X3, S1, S2 0

3.- Max Z= 2X1 + 2X2 +3X3+X4 Max Z- 2X1 - 2X2 -3X3 -X4 =0

s.a. 3X1 2X2 +X3 + X4 6 s.a. 3X1 2X2 +X3 + X4 + S1 = 6

X1 + X2 + X3 + X4 8 X1 + X2 + X3 + X4 +S2 = 8

VB Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL. Z 1 -3 -7 0 0 0 0

S1 0 3 -2 1 0 0 7

S2 0 2 5 0 1 0 6

S3 0 2 3 0 0 1 8

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOL. Z 1 -2 -3 4 0 0 0

S1 0 3 -2 1 1 0 4

S2 0 2 -4 5 0 1 6

2X1 - 3X2 +X3 + 2X4 10 2X1 - 3X2 + X3 + 2X4 +S3= 10

X1, X2, X3,X4 0 X1, X2 ,X3, X4, S1, S2 , S3 0

4.- Max Z= 2X1 - 3X2 + X3 Max Z- 2X1 + 3X2 - X3 =0

s.a. X1 2X2 + 4X3 5 s.a. X1 2X2 +4X3 + S1 = 5

2X1 + 2X2 + 4X3 5 2X1 + 2X2 + 4X3 +S2 = 5

3X1 + X2 - X3 7 3X1 + X2 - X3 +S3 = 7

X1, X2, X3, 0 X1, X2 ,X3, S1, S2 , S3 0

VB Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 SOL. Z 1 -2 -2 -3 -1 0 0 0 0

S1 0 3 -2 1 1 1 0 0 6

S2 0 1 1 1 1 0 1 0 8

S3 0 2 -3 -1 2 0 0 1 10

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOL. Z 1 -2 3 -1 0 0 0 0

S1 0 1 -2 4 1 0 0 5

S2 0 2 2 4 0 1 0 5

S3 0 3 1 -1 0 0 1 7

En los ejercicios 5-11 resuelva cada problema de programacin lineal mediante el mtodo simplex. de alguno de los problemas podran no tener una solucin optima infinita.

5.- Max Z = 2X1 + 3X2 Max Z - 2X1 - 3X2 =0

s.a. 3X1 + 5X2 6 s.a. 3X1 + 5X2 +S1 = 6

2X1 +3X2 7 2X1 +3X2 +S2 = 7

X1 , X2 0 X1, X2, S1, S2 0


S1 = 6 min 6/5 ,7/3

VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION

Z 1 -2 -3 0 0 0

S1 0 3 5 1 0 6

S2 0 2 3 0 1 7 VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION

Z 1 -1/5 0 3/5 0 18/5 3/5RP+FO

X2 0 3/5 1 1/5 0 6/5 1/5RP

S2 0 -1/5 0 3/5 -1 -17/5 3/5RP-R2 VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION

Z 1 0 1/3 2/3 0 4 1/3RP+FO

X1 0 1 5/3 1/3 0 2 5/3RP

S2 0 0 1/3 2/3 -1 -3 1/3RP+R2

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

S2 = 7 min 1.2, 2.3


X2 = 6/5 min 6/5 / 3/5 , -17/5 / -1/5

min 2 , 17


Z* = 4

X1* = 2

X2* , S1*,S2*=0


Max Z = 2(2)+3(0)=4

Z=4


3 (2) + 5 (0) = 6=6 ACTIVA

2 (2) +3(0) = 4< 7 INACTIVA Y DEFICIT

6.- Max Z = 2X1 + 5X2

s.a. 3X1 + 7X2 6

2 X1 + 6X2 7

3 X1 + 2X2 5

X1 , X2 0

VB Z X1 X2 S1 S2 S3 SOLUCION

Z 1 -2 -5 0 0 0 0

S1 0 3 7 1 0 0 6

S2 0 2 6 0 1 0 7

S3 0 3 2 0 0 1 5 VB Z X1 X2 S1 S2 S3 SOLUCION


S1 = 6 min 6/7 ,7/6 , 5/2

S2 = 7 min 0.85 ,1.16 ,2.5

S3 = 5


Z* = 30/7

X2* = 6/7

S1* = S2* = S3*=X1*=0


Min Z = 2(0) + 5(6/7)=30/7


3(0)+7(6/7) = 42/7=6=6 ACTIVA

W 1 1/7 0 5/7 0 0 30/7 5/7RP+FO

X2 0 3/7 1 1/7 0 0 6/7 1/7RP

S2 0 4/7 0 6/7 -1 0 -13/7 6/7RP-R2

S3 0 -15/7 0 2/7 0 -1 -23/7 2/7RP-R3

2 (0) + 6(6/7) = 36/7=5.14 < 7 INACTIVA Y DEFICIT

3 (0) + 2(6/7) = 12/7 =1.71 < 5 INACTIVA Y DFICIT

7.- Max Z = 2X1 + 5X2 Max Z - 2X1 - 5X2 =0

s.a. 2X1 - 3X2 4 s.a. 2X1 - 3X2 +S1 = 4

X1 2X2 6 X1 - 2X2 +S2 = 6

X1 , X2 0 X1, X2, S1, S2 0


S1 = 4 min 4/-3 , 6/-2

S2 = 6 min -1.33, -3

No hay solucin porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.

8.- Max Z = 3X1 + 2X2 +4X3

s.a. X1 - X2 X3 6

- 2 X1 + X2 -2X3 7

3 X1 + X2 4X3 8

X1 , X2, X3 0

VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION

Z 1 -2 -5 0 0 0

S1 0 2 -3 1 0 4

S2 0 1 -2 0 1 6

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION

Z 1 -3 -2 -4 0 0 0 0

S1 0 1 -1 -1 1 0 0 6


S1 = 6 min 6/-1, 7/-2, 8/-4

S2 = 7 min -6, -3.5, -2

S3 = 8

No hay solucin porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.

9.- Max Z = 2X1 - 4X2 + 5X3

s.a. 3X1 + 2X2 + X3 6

3X1 - 6X2 + 7X3 9

X1 , X2 , X3 0

S2 0 -2 1 -2 0 1 0 7

S3 0 3 1 -4 0 0 1 8

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOLUCION

Z 1 -2 4 -5 0 0 0

S1 0 3 2 1 1 0 6

S2 0 3 -6 7 0 1 9 VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOLUCION

Z 1 1/7 -2/7 0 0 5/7 45/7 5/7RP+FO

S1 0 -18/7

-20/7 0 -1 1/7 -33/7 1/7RP-R1

X3 0 3/7 -6/7 1 0 1/7 9/7 1/7RP VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOLUCION

Z 1 2/5 0 0 1/10 7/10 69/10 -1/10RP+FO


S1 = 6 min 6/1 , 9/7

S2 = 9 min 6 , 1.28


X3 = 9/7 min -33/7 / -20/7 , 9/7 / -6/7

min 33/20, -


Z* = 69/10

X2 0 9/10 1 0 7/20 -7/140 33/20 -7/20RP

X3 0 6/5 0 1 3/10 1/10 27/10 -3/10RP+R2

X2* = 33/20

X3* = 27/10

X1* = S2=S1 = 0


Max Z = 2 (0) 4(33/20)+5(27/10) = 69/10

Z = 69/10


3 (0) + 2(33/20)+ 27/10 = 6=6 ACTIVA

3(0)- 6(33/20) +7(27/10) =9 = 9 ACTIVA

10.- Max Z = 2X1 + 4X2 -3X3

s.a. 5X1 + 2X2 + X3 5

3X1 2X2 +3 X3 10

4 X1 + 5X2 - X3 20

X1 , X2 , X3 0

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION

Z 1 -2 -4 3 0 0 0 0

S1 0 5 2 1 1 0 0 5

S2 0 3 -2 3 0 1 0 10

S3 0 4 5 -1 0 0 1 20 VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION

Z 1 8 0 5 2 0 0 10 2RP+FO

X2 0 5/2 1 1/2 1/2 0 0 5/2 1/2RP

S2 0 8 0 4 1 1 0 15 RP+R2

S3 0 17/2 0 7/2 5/2 0 -1 -15/ 5/2RP-R3


S1 =5 min 5/2 ,10/-2 , 20/5

S2 = 10 min 2.5 , - , 4

S3 = 20


Z* = 10

X2* = 5/2

S2* = 15

X1* = X4* = S1* =S3*= 0


Max Z = 2(0)+4(5/2)-3(0) =10

Z = 10


5(0)+2(5/2)+0 = 5=5 ACTIVA

3(0)-2(5/2)+3(0) = -5 < 10 INACTIVA Y DEFICIT

4(0)+5(5/2)-0 = 25/2 = 12.5 < 20 INACTIVA Y DEFICIT

11.- Max Z = X1 + 2X2 X3 + 5X4

s.a. 2X1 + 3 X2 + X3 - X4 8

3 X1 + X2 - 4X3 + 5X4 9

X1 , X2 , X3 , X4 0

V B Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL. Z 1 -1 -2 1 -5 0 0 0

S1 0 2 3 1 -1 1 0 8


S1 = 8 min 8/-1 , 9/5

S2 = 9 min - , 1.8


S1 = 49/5 min 49/5 / 1/5 , 9/5 / -4/5

X4 = 9/54


Z* = 156

X3* = 49

X4* = 41

S2 0 3 1 -4 5 0 1 9 V B Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL. Z 1 2 -1 -3 0 0 1 9 RP+FO

S1 0 13/5 16/5 1/5 0 1 1/5 49/5 1/5RP+FO

X4 0 3/5 1/5 -4/5 1 0 1/5 9/5 1/5RP V B Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL.

Z 1 41 47 0 0 15 4 156 15RP+FO

X3 0 13 16 1 0 5 1 49 5RP

X4 0 11 13 0 1 4 1 41 4RP+R2

X1*= X2* = S1*= S2* = 0


Z = 0+2(0)-49+5(41) = 156

2(0)+ 3(0) +49 -41 = 8=8 ACTIVA

3(0)+0 4(49)+5(41) = 9 = 9 ACTIVA

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