EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES.

1. En cada ejercicio hallar yz

xz

∂∂

∂∂

; de la primera forma y comprobar usando la segunda

forma: a) [ ])ln()ln(21

ln 22 yxyxyxz ++−=+=

b) yxyy

xyy

x eee

eee

ez +−−

=−⋅++⋅=22

c) [ ] [ ][ ]222222

22

)2(ln)2(ln21

)2()2(

ln yxyxyxyx

z ++−+−=+++−=

2. Si z = (x2 + y2)sen(x2 + y2), demostrar que 0=∂∂−

∂∂

yz

xxz

y

3. Demostrar que la función yx

senyz 2= satisface la ecuación: zyz

yxz

x 2=∂∂+

∂∂

4. Si yxez1

= , entonces 02 =∂∂+

∂∂

yz

yxz

x

5. Demostrar que U = tan-1 ��

���

�

xy

es una solución de 02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

yU

xU

6. Si z = ,2

22

���

����

� +y

yxf demostrar que 0=

∂∂+

∂∂

yz

yxz

x

7. Si z = f(F(x)+G(y)), demostrar que 0)()( =

∂∂−

∂∂⋅

yz

dxxdF

xz

dyydG

8. Si ( ) ( ),cos ctxctxsenU ++−= entonces 2

22

2

2

xU

ctU

∂∂=

∂∂

9. Demostrar que la ecuación diferencial del problema 8 se satisface por U = ),()( ctxgctxf ++− donde )(uf y )(vg son funciones cualesquiera.

10. En los siguientes problemas, hallar las segundas derivadas parciales

yxxyyyxx ffff ,,, :

10.1. xyyxyxf 25),( 34 +=

10.2. 11

),(−+=

yx

yxf

10.3. yxeyxf2

),( =

-2-

10.4. )ln(),( 22 yxyxf +=

10.5. 22),( yxyxf +=

10.6. xyexyxf 2),( =

11. En los siguientes problemas, utilizar la Regla de la Cadena para hallar dtdz

.

Comprobar la respuesta escribiendo z en forma explìcita como una función de t y Derivando directamente co respecto a t:

11.1 z = x + 2y; x = 3t; y = 2t + 1 11.1. z = 3x2 +xy; x = t + 1; y = 1 – 2t

11.2. xy

z = ; x = t2; y = 3t

11.3. yx

z = ; x = 2t; y = t3

11.4. yxyx

z−+= , x = t3 + 1; y = 1 – t3

11.5. z = (2x + 3y)2; x = t2; y = 2t 11.6. z = (x – y2)3; x = 2t; y = 3t 11.7. z = xy; x = et; y = e-t

11.8. 31

21

yxz = ; x = e2t; y = e3t 12. Si U = sen(x – ct) + cos(x + ct), entonces:

2

22

2

2

xU

ctU

∂∂⋅=

∂∂

(Téngase presente que: c∈IR, constante, y además: (sen(v))’= cos(v)⋅v’; (cos(v))’= -sen(v)⋅v’)

13. Demostrar que U = tan-1 ��

���

�

xy

es una solución de la ecuación diferencial en

derivadas parciales:

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

yU

xU

(Téngase presente que (tan-1( v ))’= '1

12 v

v⋅

+)

14. Hállese la derivada de w respecto a u, sabiendo que: W = F(x,y,z); x = f(u,v); y = g(u,x); z = h(u,v)

-3- 15. En los siguientes ejercicios, derìvese implìcitamente para obtener las primeras

derivadas parciales de z: 15.1. x2 + y2 +z2 = 25 15.2. xz + yz + xy = 0 15.3. tan(x + y) + tan(y + z) = 1 (Téngase presente: (tan(v))’= sec2(v)⋅v’) 15.4. z = ex⋅sen(y + x)

16. Derìvese implícitamente para obtener las primeras derivadas parciales de w: 16.1. xyz + xzw – yzw + w2 = 5 16.2. x2 + y2 + z2 + 6xw – 8w2 = 12

17. Funciones Implícitas y Jacobianos:

17.1. Si U = x3y; x5 + y = t; x2 + y3 = t2; hállese dt

dU

17.2. Si u2 – v = 3x + y; u – 2v2 = x – 2y; encontrar, por dos métodos.

a) xu

∂∂

b) xv

∂∂

c) yu

∂∂

d) yv

∂∂

17.3. Si x = u – v + w; y = u2 – v2 – w2; z = u3 + v, hállese el Jacobiano:

),,(),,(

wvuzyx

∂∂

17.4. Evaluar ),(),

vuGF

∂∂

si F(u,v) = 3u2 – uv; G(u,v) = 2uv2 + v3

17.5. Si F = x + 3y2 – z3; G = 2x2yz; H = 2z2 – xy; hállese ),,();;(

zyxHGF

∂∂

en

el punto A(1,-1,0).

17.6. Si u = f(x,y), v = g(x,y) son funciones diferenciables, demostrar que:

1=∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂

vx

xv

ux

xu

-4- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES A PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN:

1. Supóngase que la producción diaria Q de una fàbrica depende de la cantidad K del capital (medido en unidades de US$1.000) invertido en la planta y el equipo, y tambièn del tamaño L de la fuerza laboral(medida en horas-trabajador). En

economía las derivadas parciales KQ

∂∂

y LQ

∂∂

se conocen como productos

marginales (o productividades marginales) del capital y de la mano de obra, respectivamente. Del punto de vista de la economía, significan:

El producto marginal de la mano obra LQ

∂∂

es la razón a la que

cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un

nivel fijo K de inversión de capital. Por tanto, LQ

∂∂

es

aproximadamente el cambio resultante en la producción si la inversión de capital se mantiene fija, y la mano obra aumenta en una hora-trabajador.

Del mismo modo, el producto marginal KQ

∂∂

del capital es

aproximadamente el cambio resultante en la producción si el tamaño de la fuerza laboral se mantiene fijo y la inversión de capital aumenta en US$1.000.

2. Se estima que la producción semanal en cierta planta està dada por la función:

Q(x,y) = 1200x + 500y + x2y – x3 – y2 donde x es el nùmero de trabajadores calificados e y el nùmero de trabajadores no calificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral està conformada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al adicionar un trabajador calificado, si no cambia el nùmero de trabajadores no calificados.

3. En determinada fàbrica, la producción diaria es Q(K,L) = 60K1/2⋅L1/3 unidades, donde K representa la inversiòn de capital medida en unidades de US $1000 y L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Si la inversiòn actual de capital es US $900,000 y se utilizan 1000 horas-trabajador de mano de obra cada dìa, aplicar el análisis marginal para calcular el efecto provocado en la producción diaria por una inversión adicional de capital de US $1,000, si el tamaño de la fuerza laboral no cambia.

-5-

UNA APLICACIÓN DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

EN MICROECONOMÍA.

1. Definición. Curva de indiferencia en IR2 o Superficie de indiferencia en IRn muestra un conjunto ( ) ( )1 2 3, , , ,..., nx y o x x x x , respectivamente, de cestas de consumo entre las que el individuo es indiferente por el hecho de que todas las cestas reportan el mismo nivel de utilidad.

2. Definición. Relación Marginal de Sustitución (RMS) es la pendiente negativa de una curva de indiferencia ; es decir:

dy

RMSdx

= − C

donde la notación indica que la pendiente ha de calcularse a lo largo de la curva de indiferencia. Supongamos que la curva de indiferencia C está dado por ( , ) 0f x y = la cual es una función implícita y que de acuerdo con la definición de la RMS, se debe determinar dydx

, y por ello:

( )( )

.,

x

y

f x ydydx f x y

= −

Por lo tanto: ( )( )

,,

x

y

f x yRMS

f x y=

Trabajo de Investigación: Como una forma de lograr el dominio de la derivación parcial, el trabajo que Ud. debe realizar tiene que ver con el siguiente problema::

Problema. ¿Cómo se obtiene ( )d RMS

dx con resultado expresado en la forma más simple?

Importante. Este trabajo será evaluado en la Primera Prueba Solemne del presente Curso.