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INICIACIONAL ATGEBRA

M,nrfN M,Nunr, Socm RosA,yNA.Mnrs Cu.cno MncnN

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Coleccin:MATEMATICAS: CULTURA Y APREND IZAJE

l. Area de conocimiento: didctica de las matemticasAngel Gutirrez, Bemardo Gmez Alfonso, Juan Daz Godino, Luis Rico Romero

2. Nmeros y operacionesLuis Rico Romero, Encamacin Castro Martnez, Enrique Castro Martnez

3. Numeracin y clculoBernardo Gmez Alfonso

4. FraccionesSalvador Llinares Ciscar, M." Victoria Snchez Garca

5. Nmeros decimales; por qu y para quJulia Centeno Prez

6. Nmeros enterosJos L. Gonzlez Mar, M." Dolores Iriarte Bustos, Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada Vargas-Machuca, Manuela Jimeno prez, Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jimnez

7. DivisibilidadModesto Sierra Vzquez, Andrs Garca, M! T. Conzllez Astudillo.Mario Conzlez Acosta

ll. Itr

29. Prensa y matemticasAntonio Fernndez Cano, Luis Rico Romero

30. Ordenador y educacin matemtica: algunas modalidades de usoJos A. Cajaraville Pegito

31. Ordenar y clasificarCarlos Maza Gmez, Calos Arce Jimnez

32. Juegos y pasatiempos en la enseanza de la matemtica elementalJosefa Femndez Sucasas, M.' Ins Rodrguez Vela

33. Ideas y actividades para ensear lgebraGrupo Azarquiel

34. Recursos en el aula de matemticasFrancisco Hemn Siguero, Elisa Carillo Quintela

INICIACIONAL ALGEBRA

M.nrN M,NunL' Socns RonyN.Mrrfrs C,unco MtcnN

Mrne Mncnons Pnr,,nnn MnorNnJosnpn HnnNNoz DolrNcusz

Consejo editor:Luis Rico Romero, Jos M." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa

EDITORIAL

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SINTESIS

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1.6. El lenguaje algebraico .. El signb de"igualdad

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I'r inrcra rcimpresin: febrero 1996

I)isco dc cubierta: JV Diseo srfico

llcservarkrs tt>dos los derechos Est prohibido, bajo lassrlrr:ioros ronalos y el resarcimiento civil previstos enl : rs lcycs, rcproducir , registrar o t ransmit i r esta publ i -t'trci

4.2. Diferentes interpretaciones del curriculo dc lgebra en laescuela

4.3. Errores en lgebra4.3.1. General idades . . .4,3,2. Errores en resolucin de ecuacloncs . .4,3.3. Correccin de errores

4.4. Principios generales par a la enseanza-ap r endizaje del lgebra.4,5. Estrategias de enseanza en aritmtica generalizada . . . . . . .

5. Lenguaje visual y lenguaje algebraico5.1. La teoria de los hemisferios cerebrales. Representacin espa-

cial y lenguaje . . . .5.2. Simbologa visual y verbal5.3. Sugerencias didcticas a travs del lenguaje visual .

5.3.1. Organizacin de la instruccin5.3.2. Frmulas notables5.3.3. Razonamiento inductivo. Generalizaciones5.3.4. La demostracin y justificacin de propiedades alge-

braicas

6. Iniciacin a las ecuaciones . .6.1. Los modelos . . . . .6.2. Distintos tipos de modelos

6.2.1. Balanza6.2.2. Diagramas6.2.3. Mquinas6.2.4. Grficos6.2.5. Tableros de fichas de colores6,2.6. Juegos

6.3, Ecuaciones6.3.1. Escritura de ecuaciones . . . .6.3.2. Resolucin de ecuaciones . . . .

Bibliografla

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r39t4r144144

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Presentacin

Para manifestar nuestras ideas o introducir aspectos de la realidad ennuestra mente, abstraerlos o transformarlos en ideas, tenemos que usar unprodigioso artificio que las sustituya; por ello la humanidad ha creado unainmensa yariedad de elementos de comunicacin que llamamos .Empleando los simbolos se han creado estructuras de comunicacin mscomplejar que han generado las diferentes gamas de lenguaje que utilizamoshoy da.

Entre esta gama de lenguajes se encuentra la matemtica, que constituyeuno de loo elementos do comunicaci4-exprosin y comprensin ms pode-roso que ha inventado el hombre.

.

,

Es obvio que muchos alumnos, incluyendo algunos de los ms capacifa-dos, no sienten atraccin pollas mtemticas. Esta actitud negativa tiene, sinlugar a dudao, diversas fuentes. Entre ellas destacan por su enorme impor-tancia:lanaturaleza del pensamiento matemtico y las formas de comunicary exprsar las matemticas que dificultan la comprensin de la misma,

La enseanza-aprendizaje del lgebra es un ncleo esencial en la comuni-cacin y expresin de las firatemticas y debe ser introducida oomo unaparte $til, apetecible y bella que facjlita los procedimiontos enpricos induc-tivos frente al tradicional planteamierfto formal y deductivo.

El libro presupone del lector un conocimiento de los contenidos elemen-tales de aritmtica y centra la f-rnalidad en orientar la enseanza-aprendzajedel gebra en la escuela secundaria obligatoria. El carcter intuitivo con elque se tratan los contenidos; hace posible su conocimiento inclso a aquelloslectores que se consideran definitivamente alejados de los temas matemficosy en especial del lgebra. r

Proponemos en el libro un acercamiento al lgebra en la pscuela obliga-toria en trminos de traduccin de lenguajes: el r, el ,el , el y el de los

En el captulo segundo se hace un somero recorrido por la historia de lamatemtica para situar en ella los conceptos bsicos del lgebra.

En el captulo tercero se relacionan los niveles de pensamiento con laenseanza-aprendizaje de las matemticas en el marco de la psicologa evo-lutiva de Piaget.

En el captulo cuarto -previo hacer diferentes interpretaciones del cu-rrculo de lgebra en la escuel?- y, a partir de un anlisis de errores enlgebra, se hace una propuesta de la enseanza-aprendizaje del lgebr4,basada en ocho principios generales, que intenta minimizar la mayor partede las dificultades del tema que nos ocupa.

El captulo seis ofrece diferentes con el fin de facilitar laasimilacin de conceptos y de procesos sobre una base emprica y convincen-te para el alumno.

En la mayora de los captulos se sugieren actividades, unas resueltas, yotras planteadas como propuestas para su resolucin.

Nada mejor para recoger los frnes que nos ha guiado en la elaboracin deeste libro que las palabras de Polya:

(Porv,t, 1965, p^9. 133.)

Los Auronrs

Lenguaje algebraicoy comprensin matemtica

I.I. INTRODUCCION

El lenguaje habitual, por medio dgl cual logramos comunicarnos, exigede nuestra parte unh retliiOnio6re la ielacin con su uso al transmitir ideasrelativas a las matemticas.

-*F t -

Para expresar el conocimi".eto, matemtico hacemos uso continuo dellenguaje ordinario. As, cuando decimos que >, estamoshaciendo uso de ese lenguaje,'estructurado de acuerdo con su gramtica.Como resulta evidente que,'la matemtica no puede prescindir dernuestroidioma, parece acertado asaljzar aspectos de ste que suelen afectar allenguaje de las matemticas.

Algunos problemas y dificultadel que encontramos en la enseanza-aprendizaje de las matemticas no sorlen realidad inherentes a ella, sino queconstituyen problemas de nuestro lenguaje. Obviamente, el conocimiento denuestro lenguaje no bastar para resolver estos problemas que plantean lasmatemticas. Esto se debe a que las matemticas tienen un lQnguaje propiogeneralmente reconocido, aun admitiendo que su sistema d'e smholos yterminologas no son propieda.de la matemtica misma y que ella puedaser.presentada y descrita en una variedad de lenguajes, en parte, porque laspalabras tienen par las matemticas tn significado muy prbpi y a menudodistinte del que comnmente se les atribuye. Por ejemplo, en la frase quemencienamos anteriormenJc, las palabias: distancia, recta, punto y longitud,tienen un significado muy espechco,'l cual, difiere del que podemos atri-buirles en nuestro lenguaje ordinario. De esta insufrciencia nace la necesidadde las matemticas de generar sus propias palabras y reglas para lograr deciraquello que le compet, y que en el lenguaje habitual no es posible decir, o,

l l

I10

rEL,

cuando lo es, resulta sumamente complicado y complcjo. Esto es precisa-mente lo que hace que las matemticas tengan un lcnguaje diferente de aquelque le suministran las palabras con que se exprcsa.

La importancia capital de considerar como propio el lenguaje de lasmatemticas, no radica nicamente en su capacidad para describir muchosde los fenmenos de carcter cuantitativo que suceden a nuestro alrededor,sino tambin, fundamentalmente, en que constituye el nico lenguaje capazde describir y hacer comprensible la matemtica misma.

1.2. EL LENGUAJE Y LA FORMACION DE CONCEPTOSMATEMATICOS

Puede un nio adquirir el concepto de antes de aprender losnombres de los nmeros?, o por el contrario, debe ser animado a emplearexpresiones como , antes de que tenga una nocin real de su significa-do?

En la enseanza de algunos tpicos de matemticas hay que decidir sobrecul es el momento adecuado para introducir el vocabulario y los simbolosapropiados. Sin embargo, el papel del lenguaje en la adquisicin de concep-tos constituye hoy una verdadera incertidumbre, a pesar del prolongado yextenso debate entre lingistas, psiclogos y filsofos acerca de la relacinentre lenguaje y pensamiento.

Pt'cer (1926) consider, al menos en sus primeros escritos, que el len-guaje slo puede reflejar, no determinar, el desarrollo del conocimiento.

(lsonr (1974)hace hincapi en la estrecha interdependencia entre lengua-.i_c y dcsarrollo conceptual:

que la matemtica ha desarrollado una sintaxis y un vocabulario propios,aunque sus'smbolos y terminologas no sean, en exclusiva, de la matemticamisma.

La matemtica tiene una notacin que le es propia y que hace posible laaplicacin formal de las reglas de la aritmtica o del lgebra. Esta notacinformal en matemticas es esencial en el desarrollo de la misma y es causa degran confusin en la opinin de los alumnos. Esta confusin proviene, engeneral, de la separacin entre la apariencia visible de la notacin y elsignificado subyacente de la misma. De manera ms precisa, una gran partede los alumnos intentan ver el significado de una notacin, exclusivamente,sobre la base de su apariencia visible. El error comn 5x - x : 5. es unclaro ejemplo de esto, quitando x en 5x queda 5. Adems, el uso anmalo enlgebra de la yuxtaposicin para denotar la multiplicacin (por ejemplo,escribiendo ab por a x b) ayuda a generar la notacin confusa.

Mayor confusin se produce con la notacin funcional. Escribir sen 2xcomo 2 sen.x se origina de conversiones anlogas a x2y en 2xy.

La notacin indicial es otra rea donde la apariencia visual produceconfusin. Por ejemplo, en las potencias, el uso de a2 denotanoo a x a,frecuentemente confundido con 2a, no es con frecuencia una escritura ade-cuada para expresiones como a2 x bs : as, la posicin del x entre el 2 yel 3, genera el error a2 x a3 : e6.

El uso del signo igual en matemticas plantea varias dificultades deaprendizaje. Los alumnos lo utilizan primeramente, conociendo el signo ensu forma operacional:

do ms que destacar el concepto subyacente; por cjomplo, en la sustraccin,

palabras consideradas son parte del lenguaje comn usado en clases dematemticas y, principalmente, en exmenes, dando por sentado la compren-sin de su significado.

Otros aspectos del lenguaje de las matemticas que difreren del lenguajenatural, son los que hacen referencia al lenguaje simblico, y que son fuentede confusin de muchos alumos; por ejemplo, su sintaxis -reglas formalesde las operaciones- puede algunas veces extenderse y desarrollarse ms alldel dominio original de sus aplicaciones. As, en el proceso de aprender eluso de exponentes, por ejemplo, podemos diferenciar dos etapas distintas.Primeramente, despus de definir la notacin mediante ejemplos, tales como:

a3 -- e 'a 'a

Q3'as : a 'a 'a a 'a 'a 'a 'a : Q8

llegar al esquema general

a2. a1 : a2+1 _ Q9

que puede ser expresado simblicamente

a^'a ' : e^tn

Empleando los mtodos de manipular fracciones algebraicas se puedenftrrmar tambin un esquema para la divisin:

51a' :a- a'Q : a2

sigrricrrdo cl csquema general

qlr ta5 _ Q11-5 _ Q6

rrre rucdc scr expresado simblicamente

e^ien : e^-n

rlorrrlc t,t y n representan dos nmeros naturales cualesquiera distintos deccro y cn cl segundo caso /?r es mayor que t4.

l,rs rcstricciones de m y n son necesarias para la definicin inicial de a2,r. ... Los simbolos como 40, e-2, etl2 no tienen signifrcado en trminos decsta dcfinicin.

En un segundo paso nos preguntamos, bajo qu condiciones est p.ttii-

18

tido y es ventajoso quitar las restriccioncs anteriores de m y n, es decir, cmohacer para que las reglas precedentes sean vlidas para todos los valores z yn racionales?, surgen as las extensiones de notacin de exponentes:

ao se le representa por I

a-2 se le representa por 1la2

aLt2 se le representa por \/

y asl suceslvamente.Este proceso de generalizacin de las matemticas es una caracterstica

esencial de la misma y es parte inherente de su lenguaje simblico, que difieresustancialmente del lenguaje ordinario. Contrasta, en todo ello, la flexibili-dad semntica del lenguaje ordinario con la precisin del simbolismo mate-mtico. una tendencia para eliminar el uso del lenguaje ordinario de lasmatemticas, a causa de las dificultades implicadas, sera escribir las mate-mticas involucrando solamente smbolos, pero esto servira, nicamente,para incrementar las distancias entre las matemticas y la realidad.

I.5. EL LENGUAJE ARITMTTTCO

La aritmtica se estructura con un sistema de notacin muy particular,diferente del lenguaje ordinario, aunque comporta con l algunos rasgosespecificos.

Los problemas de la aritmtica tienen que obedecer a ciertas reglas:7 + 4 : !, a la vez que no admiten otras, 7* :4. Las reglas no son todassimples, en particular, los numerales, |s divisiones largas, las fraccio_nes, lajerarqua de las operaciones, los parntesis, etc., requieren mucho adiestra-miento para acometer las operaciones y los smbolos con significado.

Nos ocuparemos en este pargrafo, aunque someramente, de la relacinentre el lenguaje ordinario y la aritmtica escrita, as como de la lectura ycomprensin de los smbolos aritmticos.

Existen semejanzas, algunas no del todo triviales, entre el lenguaje or-dinario y la aritmtica (o matemticas). En el lenguaje ordinario pode-mos encontrar elementos como los nombres, que a menudo, simbolizanpersonas u objetos, y elementos como los verbos, que con frecuencia, sim-bolizan acciones o relaciones. En aritmtica los nmeros 7, 35, ..., son comonombres y los signos *, -, :,..., son como verbos. Existen reglas paracombinar elementos en una oracin del mismo modo que existen paraecuaciones: no es una ecuacin y tampoco es oracin . Algunas ecuaciones estn bien formadas, pero son falsas.

t9

, ((x)), ((:))e ((:D, destacan que stos son interpretados generalmente en trminos deacciones sicas. BnowN (1981) pidi a alumnos de doce a quince aos queescribieran historias ajustadas a una expresin simblica dada; por ejemplo,(84

- 28>>,

personas. El porcentaje de alumnos que contest que no haba respuestapara 16: 20 fue: El paso decisivo hacia una notacin algcbraica ms til fue dado porVite (sobre 1600), quien tambin indic por letras las magnitudes indetermi-

nadas y las variables en expresiones algebraicas. Esta notacin es el comien-zo del desarrollo de un lenguaje algebraico propio, que consigue separarsems y ms del lenguaje ordinario. Las letras son primeramente usadaspara indicar nmeros arbitrarios y ms tarde tambin para funciones ar-bitrarias.

En el lgebra, aparecen como variables expresiones de cualquier clase deobjetos, lo que permite considerar diferentes tipos de lgebra: lgebra deconjuntos, aritmtica, lgebra de funciones, etc. Sin embargo, en este par-grafo nos referiremos fundamentalmente al lgebra de nmeros; as, todas lasvariables sern variables numricas. Veremos cmo el modelo numrico.combinado con la idea de variable -letra como nmero generalizado- nosconduce directamente al lgebra, o al menos a un aspecto esencial de ella,que ha sido el que histricamente se ha desarrollado en primer lugar y quehoy, en los niveles que nos ocupa, es el de uso ms amplio.

El clculo algebraico nace como-generalizacin del modelo numrico. Sipara trabajar con un modelo aritmtico tenemos que aprender a realtzarclculos con nmeros, por ejern$o,l5:'l 37,7 x 66,5, para trabajar conun modelo algebraico, debemos ser igualmente hbiles en clculos con va-riables.

Todo clculo algebraico se rcoStruye a partir de las cinco propiedadescaractersticas del sistema numrico: la conmutativa y asociativa de la sumay el producto, y la distributiva del producto respecto de la suma.

. , ! .*b:b+a(a+b)*c:a+(b+c)

-

a 'b: !b 'a

(a 'b) 'c : a ' (b 'c)a ' f t + c\ : a 'b + a.c

\El

. El signo de igualdad

En aritmtica el signo (: )) se entiende como una accin fisica. Unas vecessirve para conectar un problema con su resultado numrico 3 + 5 : l-l ,donde una parte es conocida y Ia otra debe ser completada con el resultadode la ejecucin ordenada por la primera; otras veces permite relacionar dosprocesos que dan el mismo resultado 3 x 4 : 4 + 4 + 4, y en algunoscasos relaciona la secuencia de pasos intermedios de un proceso que conducea un mismo resultado, por ejemplo,

3x(5-2)+4:3x3*4-13donde cada eslabn de la cadena de igualdades expresa una simplificacin ocambio en la forma de su predecesor, es decir, una .

La presencia en el lgebra del signo (:)) como seal de accin no tiendea desaparecer. El lgebra en la escuela tradicional est llena de problemassemejantes:

(a+b) ' (a-b):az-62donde es interpretada como un sistema de reglas de transformaciones lin-gisticas (sintaxis) guiadas automticamente por una interpretacin del signoigual como una accin. En este clculo expresado por una eadena de igual-dades aparece un trmino bien caracterizado y avtomatizado en el lgebra dela escuela, . De esta manera, y de acuerdo con ciertas reglas,las expresiones son en un sentido o en otro, pero la aplicacibnde la no se limita exclusiyamente a expresiones algebraicastautolgicas, sino tambin a ecuaciones para resolverlas. Por ejemplo:

x2-Sx*6=0

que tiene anlogas caractersticas quc cl problema de factorizar

az+ub-2h2:

:a2* z )"t=("*

. (:)' - 2b2 - (i)'),)' - (i,)' :'r,) (" . L, -'rr): ( "*)u*

x2 - 2. t1, * 25la + 6 - 2514 = 0

' - t r : l l2-x:612+x:30 Y

( ' - " ) ' - ; :o( ' - t ) ' : '^

: (a .r 2b)(a - b)donde los diferentes pasos son justificados por el signo igual.

Aparece as un cambio importante en el sentido del signo (: )) en su pasode la aritmtica al lgebra. El sentido de igualdad aritmtica se conserva enel lgebra cuando trabajamos con tautologas algebraicas, pero no en expre-siones como

4, - . ,? :12x * 7

que es verdadera cuando x :'5'. A diferencia de las tautologias las ecuacio-nes no son aflrrmaciones universalmente verdaderas, pues el signo igual enuna ecuacin no conexiona expresiones equivalentes, aunque s condiciona ala incgnita. Dada una ecuacin, la tarea para resolverla consiste en determi-nar los valores desconocidos (restricciones) que hacen a la ecuacin verdade-fa.

i-

r La sustitucin formal

Los procesos de sustitucin que conducen de

3x5:5x3 a a.b:b-a

o la verilicacin de que si

x2-5x*6:0

es satisfecha por x : 3 sustituyendo x por 3, son procesos formales.La sustitucin formal, sin embargo, se extiende ms all. De la identidad

5l22

24

x- +x:412+x:2,t'stnrrot:

"1f' ALDAS 2.5

lSt ' l0I i - i '^

se obtiene, al reemplazar a por a + c y por b + d,

(a + c + b + d)(a + c - b - d) : (a + c)2 - (b + d)2donde variables de una expresin son sustituidas por expresiones ms com-plejas que son nuevamente variables.

Estas transformaciones algebraicas constituyen un poderoso instrumentode clculo algebraico que est a mitad de camino entre lo puramente formaly un conocimiento explcito de su significado.

Las expresiones algebraicas a sustituir deben ser interpretadas esttica-mente y aceptadas las sustituciones solamente dentro de los parntesis; en elcasoanter iordelreemplazodea + cporay de - | dpor ben

(a + b) ' (a - b) - - a2 - b2

produce inicialmente

l(a + c) + (b + d))l(a + c) - (b + d)l : (a + c)2 - (b + d)2El camino hacia la sustitucin formal debe comenzar con pasos seguros

en medio de un progreso deliberadamente lento. La organizacin de lasinstrucciones en esquemas semejantes a un pequeo ordenador puede facili-tar la comprensin. Si queremos leer (a + b)(a - ), como producto de lasuma de ay by de la diferenciade ay b,el uso de diagramas puede ser unestado intermedio que ayude en este sentido

(a+b)(a-b)

La sustitucin formal es un instrumento de clculo algebraico importante acausa de su amplio campo de aplicaciones, que se maniliesta en diferentesprocesos matemticos tales como:

26

Generalizacin, cuando trminos numricos son reemplazados por varia-bles, por ejemplo, de

3x(5-2):3x5-3x2

x'(y - z) : x.y - x.zo cuando modelos o esquemas obtenidos en situaciones concretas, general-mente numricas, son extendidos, por ejemplo, de

1+3]-5:32,1+3+5+i:42.a

,D-t ' ' - r ) : n2simplificacilz, cuando en una expresin dada, expresiones parciales son

reemplazadas por variables, por ejemplo, enx4

_-

3x.2 - 2

sustituir x2 por y.Eliminacin, cuando variables iinplicadas en una sustitucin son suprimi-das, por ejemplo, en la resolucin dl sistema

2x+y:165x+y:25

al sustituir ! : 16 - 2x en'la'segunda ecuacin que da

.

5x + (16 :-2) : )JComplicacin estructural, cuando en una expresin las variables son reem-plazadas por expresiones dadas, por ejemplo, n la resolucin de la ecuacin

x' + px : q, sustituyendo x por u - u y considerando u., : {, no,J

queda

u3-u3:Q

Particularizacin, cuando las variables son reemplazadas por nmerospara verificar ciertas expresiones; por ejemplo, verificir que

"-

Sr-n(n+l)L' , - .

t= l

27

Ev

En general, los mtodos de resolucin de ccuucioncs lineales y cuadrti-cas y de sistemas de ecuaciones utilizan estos proccsos. Tales mtodos pue-den ser introducidos numricamente y generalizados por medio de la sustitu-cin formal.

. El uso y significado de las letras

El uso del concepto de variable en matemticas es una prctica comn;sin embargo, los alumnos ms aptos son capaces de cometer el mayor de loserrores. Parte de las difrcultades proceden de que el lgebra en la escuela nodesarrolla sufrcientemente el sentido de variabilidad ligado a las letras. Estaprctica comn ha servido ms para oscurecer el significado del trminomismo, que para mostrar la diferencia real con el sentido que pueden tenerlas letras.

Consideramos aqui los diferentes contextos en los que aparecen las letrasen el lgebra dentro de la clasificacin utilizada por KcrnunuN (1981).Interesa, ms que la notacin formal en s misma, las ideas representadas (oconceptos representados por los alumnos) por esas expresiones.

KcnBunNN describe seis categoras diferentes de interpretacin y usode las letras:

donde el nmero que falta debe scr colocado dentro del marco. El mismomarco no tiene valor y simplemente indica que existe un nmero desconoci-do. Si la cuestin se plantea asi:

(Si n f 5 :S,entonces n : ?)

Contexto (2). Cul es el valor de 5. a * 3, cuando a :A:3?

I ,a:2,

Letras evaluadas.Letras ignoradas.Letras como objeto.Letras como incgnitas especficas.Letras generalizando nmeros.Letras como variables

a) Letras eualuadas

a)b)c)d)e)f)

b) Letras ignoradasAqu los alumnos ignoran las letras, o a lo ms reconocen su existencia,pero no le asignan ningn sigirlficado.Contexto(3). Sia * b : 43,a * b + 2 :

.

Esta cuestin puede ber resuelta sin el uso de las letras, aunque parecenimplicadas dos incgnitas. Sin embargo, ningn resultado p"#lt. obteneresas incgnitas. Pueden ser osencialmente igoradas por un procedimientode igualacin que enfoca la atencin en ( +1).-

cues,tiones anlogas, aunque con mayor grado de dificultad, pueden serplanteadas.

Si .z - 245 :752. n _ 246:o,

s ie*f :8, e+f *g:

c) La letras como objetoLas letras son vistas,como un objeto concreto (frutas, lados de un polgo-

no, etc.), eliminando as el significao abstracto de las letras por atgo masconcreto y real.

Contexto (4). Simpl ihcar 2.x * 3.y + 4., _ y.Aqu las letras no son necesariamente una representacin de nmerospertenecientes a algn conjunto numrico, son como variables sobre un

Esta categora es aplicada a las respuestas donde a laXletas_s9 lgs el_qryeun valor numrico desde el principio.

Contcxto (l). Si a * 5 : 8, cul es el valor de ?La letra a tiene un valor especfico. Es inicialmente desconocida pero

cvrlrrblc. Aqui los alumnos evitan el operar con ua incgnita especfica.l,os problcmas de esta clase, comunes al finalizar el ciclo medio de la E.G.B.,rrrcclcn scr asimilados por los nios reflexionando sobre el significado de unalclru como un valor numrico especfico. Este uso de las letras es probable-rrrcntc cl primero que el alumno posee, desarrollado por la aritmtica, desdekrs primeros aos bajo la forma

28

n+5:8

L

29

conjunto formado por objetos de alguna clase -diferentes clases de frutas-,por ejemplo.

Contexto (51. calcular el permetro de un rectngulo de lados m y n,

p:

p:

- Calcular el rea del rectneulo

A:

e

Contexto (7). Los lpices azules cuestan 10 pesetas cada uno y loslpices rojos 12 pesetas cada uno. Compro algunos lpices azules y rojos yen total me cuestan 180 pesetas.

Si es el nmero de lpices azules y r es el nmero de lpices rojoscomprados, qu puedo escribir acerca de b y r?

La respuesta correcta a esta cuestin requiere-el uso de las letras comoincgnitas genuinas.

e) Letras generalizando nmerosLos'alumnos ven las letras como una representacin, o al menos son

capaces de deducirlo; de varios valores humricos antes que de uno exacta-mente.

Contexto (8). Para qu nalores de x en elver i f ica3x*l

interpretacin, lo que genera gran dificultad no scllamcnte al observador,sino tambin al mismo nio.

El ejemplo dado en el contexto (7) plantea claramente estas dilicultades.En la relacin de los lpices rojos y azules adquiridos,

l0+l2r:180

las letras pueden ser consideradas como incgnitas especficas o como gene-ralizacin de nmeros. Sin embargo, ninguna de las dos interpretacionesinduce a establecer una relacin que existe entre y r, por lo que es necesariotomar la interpretacin de las letras como variables en un paso posterior.

En 10 -f l2r : 180, y r se interpretan como incgnitas especftcas, alobservar que la expresin es una ahrmacin verdadera para un particularpar de nmeros considerados como incgnitas (6, 10). Anlogamente, lasletras pueden ser observadas como generalizacin de nmeros: l0b + l2r :180 es satisfecha para un conjunto frnito de pares de nmeros (6, l0), (12,5),(0, 15), (18, 0). Esta interpretacin contiene la idea de que los valores de b y rpueden cambiar, pero no refleja la verdadera idea de cambio, para ello esnecesario comparar los valores unos con otros mediante alguna via.

Un primer paso en tal comparacin puede ser el orden de los pares devalores, para quienes es posible reconocer una correspondencia

Contexto (9). Quin es ms largo 2rr 2 + n? Explicarlo.Probar que si x > 5, entonccs 4.v * | > 3x * 4.Este es un contexto no funcional cn cl que las letras r o x, respectiva-

mente. tienen claramente las caractersticas de una variable.El inters de esta cuestin es comprender si los nios reconocen que el

tamao relativo de ambas expresiones (2n y n + 2) y (4x + | y 3x + 4)dependen de los valores de n y x, respectivamente.

Contexto (10). Un rectngulo tiene de rea 24 cm2. Determinar unacxpresin para el permetro del rectngulo en trminos de la longitud dellado del rectngulo.

I

Aqu a los alumnos se les pide que describan el mtodo de clculo delpermetro del rectngulo, dada la longitud de un lado. Resultando la expre-sin

-/ t\p:21,.7)donde / cm denota la longitud y p cm el permetro que simboliza estadescripcin. El simbolo / representa una variable, puesto que su valor cam-bia de rectngulo en rectngulo. La representacin posterior de esta relacin(funcional) entre permetro y logitud sobre un grhco cartesiano, refuerza elsoncepto de variable, puesto que el movimiento a lo largo del grafo es unaconsecuencia de la variacin de los valols de la longitud.

Contexto (ll). Cmo se simboliza el n-simo nmero impar?El verdadero concepto de variable puede ser dificilmente eludido en

cuestiones como sta. La letra n puede ser cualquier nmero natural. Unarcspuesta como 2n - I seala el descubrimiento del requerimiento necesariopara su posicin en la secuencia de los nmeros impares. Naturalmente estoconstituye una relacin funcional.

En un nivel de comprensin superior estaria la siguiente cuestin:- Si el n-simo nmero impar es 2n - l; cul es el (3n f l)-simo

nmero impar?, lo que es equivalente a preguntar por f(3n * 1), dadof (n) :2n-r .

La habilidad para resolver correctamente problemas de este tipo indicaque el concepto de variable est claramente entendido.

creciente0++6I --------+

t2| ............-

18

r decreciente15t101510

Sc pucde ir ms lejos y describir el grado con que b y r cambiancrtuhlccicndo relaciones entre ellos. Tal relacin puede ser expresada delirnls difcrentes, por ejemplo,

listc scntido aadido a las relaciones de esta clase dan a

10+l2r:180

un vcrdadero avance desde la interpretacin de las letras como incgnitascspecificas o como generalizacin de nmeros a las letras usadas comovariables.

32

l

1.1

EJERCICIOS

1. Los smbolos literales tienen ciertas caracteristicas semejantes a los numerales,por ejemplo, apare@n juntos en expresiones matemticas 5n - 4 = n + 8; yotras caractersticas que son nicamente suyas, por ejemplo, la posibilidad de unaletra de representar varios nmeros a la vez (nmero generalizado):0 < < 10.Sealar otras semejanzas y diferencias.

Los smbolos literales tienen ciertas caractersticas semejantes a las palabras; porejemplo, ambos pueden ser reemplazados en ciertas expresiones' as, en el enun-ciado:

el pronombre puede ser reemplazado por diferentes nombres de personaspaia obtener enuncidos verdaderos o falsos, igualmente como .r en x2 + 2x =: 3, puede ser reemplazada por nmeros para obtener expresiones numricas ver-daderas o falsas; y otras caracteristicas que son diferentes, por ejemplo, el signifi-cado del' smbolo en una expresin debe ser el mismo en cualquier situacindonde aparezca en el contexto'dado, as el valor de x en la expresin 5(x - 2) ++ 7 : 18 - 3x, es el mismo en cualquier situacin donde se encuentre, Enexpresiones verbales esto no es as, idnticas palabras o frases pueden referirse adiferentes cosas en una misma sentencia. Seala otras semejanzas y diferencias.

3. Completa el siguiente cuadro de traduccin de lenguajes:

Lenguaje habitual Lenguaje aritmtico Lenguaje algebraico

2x(6+7):2x6+2x7(m-nl2=m2+n2-2mn

La diferencia entre dos n-meros consecutivos eleva-dos al cuadrado es el dobledel menor ms uno.

a2+b2:c2

Analizar los diferentes contextos en los que aparecen las letras y el uso que sehace de las mismas en las matemticas de 7.o y 8.o nivel de E.G.B. (doce a catorceaos). (Comienzo del lgebra.)

Analizar los diferentes contextos en los que aparecen las letras y el uso que sehace de las mismas en las matemticas de 1.o y 2.o de B.U.P. (catorce a diecisisaos). (Asentamiento del lgebra.)

Elegir un problema algebraico y pensar en diferentes versiones en lenguaje habi-tual y lenguaje aritmtico.

Analizar en los diferentes contextos el significado del signo (=)), sealando lassemejanzas y las diferencias.

3 x (5 -7) :3 x 5 - 3 x 7 : 15 - 2 l : -63(x-2):4x+9

3x-6:4x*9

3x-6+6:4x+9+6

3x:4x*15

3x-4x:4x-4x+15

-x:15

x: -15

c) 6x8:48d) (a - 2b) ' (a + 2b): a(a * 2b) - Zb(a + 2b):

= a2 * 2ab - 2ba - 4b2 : a2 - 4b2e) x2-4x+3:0

x2 - 2.?.x + 4 + 3 - 4:0(x-2) ' - l :0

. @_2)z: t-2: l ! ; x-2:- l

x=3 ] x: l

Seala dos ejemplos de uso de la en lgebra en diferentesprocesos, tales como: generalizacin, particularizacin, simplificac[n, elimina-cin o complicacin estructural.

6.

1

a)b\

7

4.

5.

34

1

35

Marco histricodel lgebra

2.1. INTRODUCCION

La historia de la matemtica ha sido utilizada por la didctica de lamatemtica bajo distintos puntos de vista: desde informaciones histricasque sirvenpara nlotivar un tema nuevo, hasta la construccin de secuenciasdidcticas inspiradas en la progresin histrica seguida en el desarrollo dealgunas teoras. En cualquier caso, la historia nos ofrece diferentes ideas parala actividad didctica e incluso puede ser utilizada por el profesor comorcferencia para anticipar dificultades o errores posibles en el aprendizaje delos alumnos.

Expondremos en este captulo los conceptos bsicos del lgebra dentro,ie su marco histrico, partiendo del

No obstante, este planteamiento presenta tt lgutrtls problcmas para l levar-lo a cabo. Entre ellos destacamos la imposibil idacl dc presentar a los nioslos temas con una exactitud histrica, ya que dctcrminados formalismos odemostraciones exceden su nivel de conocimiento. En cstos casos es precisohacer una adaptacin a las diferentes edades, sin, por ello, deformar larealidad histrica.

2.2. INICIOS DEL ALGEBRA Y CLASIFICACION

El lgebra se caracteriza por sus mtodos, que conllevan el uso de letras yexpresiones literales sobre las que se realizan operaciones. Est presente entoda la matemtica, pues cualquier problema termina convirtindose en unclculo ms o menos algebraico.

En las ltimas dcadas, el lgebra ha cobrado gran importancia. Susaplicaciones se han multiplicado debido a problemas tecnolgicos, al anlisisy tambin a l fisica, que ha podido expresar cuestiones fundamentales demecnica cuntica por medio de expresiones algebraicas.

Para dar una idea de los inicios del lgebra es imprescindible remontarseal concepto de nmero. Los nmeros eran percibidos por los antiguos comouna propiedad inseparable de una coleccin de objetos, propiedad que ellosno podan distinguir claramente. Ms adelante, aparecen las operaciones connmeros como reflejo de las relaciones entre los objetos concretos, y loshombres fueron descubriendo y asimilando las relaciones entre los nmeros.Finalmente, a medida que la vida social se hizo ms intensa y complicada,fueron apareciendo problemas ms complejos que impulsaron a perfeccionarlos nombres y de los nmeros.

La primera etapa hacia los signos matemticos y las frmulas en general,la constituye la aparicin de los smbolos numricos, que aparentemente seprodujo al mismo tiempo que la escritura y que jug un papel fundamentaln el desarrollo de la aritmtica. Todava en este tiempo, cualquier ley o laresolucin de un problema matemtico se expresaba con palabras, pues lautilizacin de signos para las operaciones aritmticas y la designacin literalpara la incgnita tuvo lugar mucho ms tarde.

La palabra (ALGEBRA> proviene del titulo de un libro Al-iabr (algunosusan Al-gebr) w'al-muqabalah, escrito en Bagdad, alrededor del ao 825 porel matemtico y astrnomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (Moham-med hijo de Musa nativo de Khwarizm), que muestra en sus trabajos laprimera frmula general para la resolucin de ecuaciones de primero ysegundo grados.

El ttulo Al-jabr w'al-muquhaldft signihca o (transposicin y climinacin>) o, como expresa Carl Boyer, la

38

transferencia de trminos al otro rlr icrnbro dc la ecuacin (al-jabr) y lacancelacin de trminos igualcs cn ulrrbos nticmbros de la ecuacin (al-muqabalah).

Asi. dada la ecuacin

x2+3x+7:7-2x+4x3

al-jabr da

x2+5x+7:7+4xt

y al-muqabalah da

x2+5x:4x3

Esta obra fue traducida al latn en los primeros aos del siglo xrr porJuan de Sevilla y Gerardo de Cremona, y con el tiempo se le llam simple-mente Algebra.

El origen del vocablo responde s-atisfactoriamente al contenido real de lacicncia misma. El lgebra comienza en realidad cuando los matemticoscmpiezan a interesarse por las

las operaciones con expresiones literalcs. A cl sc dcbc el que deca:

distinguiendo entre lgebra aritmtica, donde las letras representan nmerosnaturales y los signos + y - tienen el significado aritmtico ordinario, y ellgebra simblica, donde siguen actuando las leyes del lgebra aritmtica,pero se elimina la restriccin a los naturales.

El principio de permanencia alirmaba que todas las reglas que se verifi-can con los naturales, por ejemplo, conmutativa y asociativa de la suma y dela multiplicacin, y distributiva de la multiplicacin respecto de la suma,seguan verificndose para todos los dems nmeros u objetos representadospor las letras. As, la importancia del signilicado de los smbolos quedrelegada a un segundo trmino ante la primaca de los smbolos por smismos y sus leyes de combinacin; por ejemplo, la adicin signif,rcarcualquier proceso que se ajuste a determinadas leyes.

Hasta este momento, finales del siglo xvrrr y primera mitad del xrx, ellgebra era la ciencia de las ecuaciones y su problema fundamental radicabacn la teoria de resolucin de ecuaciones algebraicas.

En la segunda mitad del siglo xrx, el lgebra present un notable impulsodcbido a grandes matemticos, entre los cuales destacamos las ideas deGalois (1801-1832) sobre la teora de ecuaciones algebraicas. Teoras talescomo la de grupos, determinantes y matrices, por citar algunas, alcanzaronun profundo desarrollo. $

Todo esto favoreci el nacimiento del lgebra abstracta contempornea(3." fase), llamada algunas veces lgebra moderna. En este periodo se prescin-de de los nmeros, de ah el nombre de abstracta, y los objetos utilizadospueden ser cualesquiera (matrices, vectores, tensores, etc.) sobre los cuales sedefinen ciertas operaciones que verihcan unas determinadas propiedades,construyndose el lgebra a partir de axiomas previamente definidos.

En la actualidad, la revolucin de los ordenadores est creando nuevosproblemas sobre la mecanizacin de los clculos algebraicos, lo que lgica-mente conducir a un desarrollo an mayor del lgebra.

La notacin algebraica presenta tambin tres perodos claramente dife-renciados:

. El perodo retrico o verbal, en el cual las operaciones se describancon palabras. Este perodo se extiende desde los babilonios (1700 a. deC.) hasta Diophante (250 d. de C.).

. El perodo sincopado o abreviado, cuando empiezan a utilizarse alg-

40

nas abreviaciones para simpli l ' icar l l rcsolucin de los problemas. Esteperodo comienza con Diophtntc y clura hasta comienzos del siglo xvt.

La ecuacin 2x3 + 8.v - (5.r2 + 4) : 44 se escriba en notacin deDiophante as:

K-p sry /r A=c M o{( p6x32 x8 - x25 1.4 44

. El perodo simblico aparece en el siglo xvl y utiliza ya diferentessimbolos y signos matemticos. Esta notacin que fue ms o menosestable en tiempos de Isaac Newton (1642-1727), se mantiene actual-mente sin uniformidad total. Este perodo coincide con la 2." faseanteriormente indicada que, como hemos sealado, est asociada alnombre de Vite, el cual comenz a denotar por letras no slo lasincgnitas, sino nmeros dados previamente.

As, la ecuacin.

xs - 15xa * 85x3 - 225x2 -f 274x : r2o

la escribia como

IQC - l5QQ + 85C - 225Q + 274N aequatur 120

x3-6xx+13x-

Descartes (1596-1650), con

l0oc0

El desarrollo histrico que hacemos a continuacin no ser lineal, sinoque nos vamos a hjar en tres aspectos que nos parecen fundamentales: elrlgebra geomtrica de los griegos, que nos permite descubrir estrechas rela-ciones con la geometra, la resolucin de ecuaciones a travs de los tiempos,por su incidencia directa en la enseanza y el lgebra moderna, por loscambios introducidos en ella.

2.3. EL ALGEBRA GEOMETRICA

Los griegos, aunque se cree que conocan los mtodos de los babilonios(mtodos puramente algebraicos) parala resolucin de ecuaciones, desarro-llron mtodos geomtricos para resolverlas y comprobar diversas propieda-dcs.

Nuestra notacin moderna es debida aligeras modificaciones posteriores

4l

En el libro II de Zos Elementos, de Euclidcs (3(X) a. dc C.) (el ms corto detodos ellos), hay 14 proposiciones que permitcn rcsolvcr problemas algebrai-cos. Actualmente, nuestra lgebra simblica los rcsolvcra rpidamente, peroel valor didctico del lgebra geomtrica es importante.

Citaremos a continuacin la forma de probar la propiedad distributiva yresolver ecuaciones.

La proposicin I dice:')

Lo resolvan utilizando el mtodo de la falsa posicin, como los egipcios'Posteriormente, Brahmagupta (siglo vu) expresa, ya de forma sincopada,

cmo resolver ecuaciones lineales. La incgnita la representaba por la abre-viatura (ya), y las operaciones por la primera slaba de las palabras'

Dada la ecuacin ax * b : cx | 4 la solucin vendr dada dividiendola diferencia de los trminos conocidos entre la diferencia de los coeftcientesde los desconocidos; esto es,

Estos mtodos pasaron a los rabes que lo extendieron por Europa. Alalgebrista Abu-Kamil (siglos rx y x) se le atribuye una obra donde trata lasolucin de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posicin.

El mtodo de la es el siguiente:Sea la ecuacin ax t b : 0 y supongamos dos valores para la x:

y dividiendo ambos resultados,

o tambin

llcndo esto ltimo el valor de x.Veamos un ejemplo. Sea la ecuacin 5x - l0 : 0, si tomamos como

valor de x: x : 3 y x : 4, y sustituyendo,

5.4 -5.3 -

l! tiene que

Esto es:

que restando,

b,

es decir,ax: b2

a p-qb pn-qm

_b_:pn-qmq p-q

10:p]l0:Q)

10.3 - 5.4x : 1gq5

J0-20- lo- t

X:m)x:n)

amn-fbn:pn\amnlbm:qm)

am+b:P\an * b:4) t l l

Este principio fue posteriormCnte presentado en una forma ligeramentepor el

con lo cual,

10.3 - 5 '4- ' r0-5

. Ecuaciones cuadrticas:

Una ecuacin de segundo grado con una incgnita es una expresin de laforma ax2 -l bx * c : 0, donde x es la incgnita y a, b y c son nmerosconocidos cona * 0.

Resolver esta ecuacin consiste en hallar los valores de x que la sa-tisfagan.

En los documentos egipcios casi no aparecen estas ecuaciones y en lospoqusimos casos que se encuentran, no parece que conocieran un tratamien-to sistemtico para su resolucin. Sin embargo, los babilonios s que lasresolvan con soltura.

Las tablas de races cuadradas que posean les permitieron resolverinmediatamente ecuaciones de la forma x2 -t px : g x2 : bx 'f c y x2 + c: bx. A menudo llamaban a la incgnita

Como ax2 + bx : c, sust i tu imos r2\ l * ubx por a 'c i

ha(-

2(l

Trabajos posteriores, tales como los de Sridhara (siglo xl) y Bhskara(siglo xu) describen que la ecuacin cuadrtica tiene dos races, que unnmero negativo no tiene raiz, y que un nmero negativo puede ser raiz deun nmero positivo.

El mtodo utilizado en el lgebra hind es esencialmente el , usando nuestra notacin desarrollaramos as:

Sea la ecuacin ax2 + bx : c

/ h\2u(+l ' ) t r l

Por otra parte, el rea del cuadrado total es (ax 't bl2)2, siendo lalongitud del lado

l)csde el punto de vista didctico se tiene una interpretacin geomtricasll lcr0ntc:

lrl mtodo consiste en sumar el rea rayada de la frgura al resto:

(ax + bl2)

De [I] deducimos que la longitud del lado ser:trI]

c igualando con [II] resulta

y despejando la incgnita:

x-

Los conocimientos algebraics de los indios pasaron a China y al Oeste atravs de los rabes. Sin embargo, stos tambin recogieron los trabajos delos griegos y por ello su lgebra incluye pruebas geomtricas para resolverccuaclones.

Al-Khwarizmi distingua tres tipos de ecuaciones cuadrticas:

x2+bx:c

x2:bxtc

x2+c:bx

Como vemos, no incluan trminos negativos y las soluciones negativasIumpoco eran aceptadas.

Las demostraciones de sus mtodos fueron geomtricas. Por ejemplo,ptra resolver

f f i ;b [7Fax .r 1: J\ t + ac

Multiplicamos el trmino independiente porel coeficiente "de la x2, aadimos el cuadradode la mitad del coeficiente del trmino en xy a su raiz cuadrada le restamos la mitad deltrmino independiente, que dividido por elcoeficiente del trmino en x2 nos da el valorde la incgnita.

ll2abx

u2 12 ll2abx

a'c

b2

b2

b12

(a2x2 + abx) + / h\2(t

52

bl2 x2+bx:c

utilizaban el equivalente a la aplicacin de la firrnlula

x-l)

+t ' -L

Tal mtodo era justifrcado de la siguiente forma:El rea del cuadrado de la frgura siguiente puede ser expresada como

Michael Stifel (1487-1567) fuc cl prinrcro quc us trminos negativos ensus ecuaciones. Consider tres clases dc ccuaciones cuadrticas:

x' : t '

x2 : b-r

x2:bx

y da como soluciones

Un avance importante surgi con Frangois Vite. No solamente introdu-jo una notacin algebraica, sino que tambin reemplaz los mtodos basa-dos en pruebas geomtricas por otros estrictamente algebraicos.

Por ejemplo, resolvamosx2+bx:c

Se supone que x puede expresarse como la suma de dos nmeros u y z.Sustituyendo en la ecuacin,

(u -ru2 + (22

btomamos z : - ;

lr2 -b24

luego

y a partir de u, obtendremos por sustitucin el valor de .r.Vite estudi tambin las relacioncs cnlrc los cocficicntcs y las raices de

la ecuacin cuadrtica e introdu.io un mlodo tlc aproximitci(rn,La resolucin de una ccurci(rn dc scgtrttrlo grttt ltt t i ttnlritt sc pucdc

- r-( '+c

l. * r(il]' o x2 + ^ (T). ,(#)

Simplifrcando e igualando estas expresiones,

/ h\2(" + l l : r '+ bx +\/y volviendo a la ecuacin original tenemos

(bY\ "*z/ :c*

y hrrf lando la raiz cuadrada,

b=t

bl4

z)'+b2

4

+b(ulz) :sb)u1-z2lbz:c

b24

.+t : f f i ;cst() es. la solucin buscada ser

FtY b" :J l .z/ * ' - i

bl4

54

t t

realizar grficamente. Damos valores arbitrarios a ra.r y con los valores quetoma la expresin ax2 + bx * c trazamos cr grficoj que resulta ser unaparbola' Los valores en que la grfica corta ar i1" ox,son las soluciones dela ecuacin.

Por ejemplo, sea x2 i x - 6 : h cuya representacin es la siguienteparbola:

Los babilonios nos han dejado va'ios c.jcnrplos de resolucin de ecuacio-nes cbicas. Por ejemplo, las de la formr \.r : rr, las resolvian directamentecon las tablas de races cbicas quc mancjaban con soltura, y, cuando lasolucin no era exacta, realizaban una intcrpolacin lineal para buscar unaaproximacin. De forma similar hallaban las soluciones de

x3+x' :o

buscando en las tablas el producto

xz(x+l \ :aEn casos ms generales como

x2( l2x+l) :714realizaban las siguientes operaciones: se multiplicaban por 122,,

( l2x)2( l2x+l) :252realizando el cambio | : l2x, se tiene

Y2(Y+l) :252y una vez hallado el valor de y, se reduca el problema a la solucin de laecuacin fineal citada (y : l2x).

Lo que no sabemos es si resolvian la ecuacin cbica de tipo general

ax3+bx2+cx*d:O

Hipcrates de Quios (430 a. de C.) fue el primero que observ que elfamoso problema griego de la era equivalente abuscar dos medias proporcionales en proporcin continua entre dos rectasdadas:

x2u

luego las soluciones son:

X:2 X:-3

Si tenemos una parbola que no corta al eje ox,como en er caso x2 + c,con (' > 0, las races de la ecuacin vendrian dadas por los nmeroscomplejos x : +ir/ i.

Los griegos conocieron bien la parbola y sus propiedades y las otrassecciones cnicas. sin embargo, sus proposiciones ibin encaminadas a anali-zar las relaciones entre las secciones cnicas y las expresiones relativas a dosvariables x e !, y no a la solucin grfica de ecuaciones.

A Descartes debemos en gran parte la aproximacin moderna de laclasificacin de las ecuaciones por grado y la ielacin de la geometria y ellgebra,.que hacen posible la combinacin de los mtodos"ulgeur"i"* ygeomtricos.

. Ecuaciones de grado mayor que dos

comencemos por estudiar las ecuaciones de grado 3, que como es sabidoresponden a la ecuacin general

ax3+bx2+cxId:0

donde a, b, c, d, son nmeros reales y a + O.

56

9:! :vxy2a

de donde,

/2 : 2ax

JI

@13)"+(ql2) ' -q l2

cardano (1501-1576) describe en su ,4r,s Mtrgtru, mtodos de solucin deecuaciones cbicas, aunque, tal como l mismo dicc, no fue el descubridor dela solucin.

Dejando a un lado detalles sobre esta historia, pues los datos son contra-dictorios, veamos algunos ejemplos de solucin:

sea la ecuacin x3 + 6x : 20. La resolucin de esta ecuacin en laforma retrica que utilizaba cardano ocupa varias pginas. con la notacinactual, al sustituir x por u - u y u. u : 2,tendramos

(u-u) '+6(u-u):20de donde

u3 - 3u2u I 3uu2 - u3 + 6u - 6u :20

u3-6u+6u+6u-6u-u3:20

obteniendo entonces,

u3-u3:20

Si eliminamo s u : ?, se tiene

/au, - (,Y :

^, es decir, u6 - 23 : 2ou3

\u/Si, por ltimo, hacemos u3 : t, tenemos t2 - 20t - g : 0, de donde

: l0 * . / i08

Vite, en el siglo xvII, muestra quc utlit ccuacin cuadrtica puede redu-cirse a una ecuacin cbica. Un siglo clcspus ya se conoce que las ecuacio-nes cuadrticas, cbicas o curticas ticncn, rcspcctivamente,2,3 o 4 raices yse comienza a preguntar si este resultado sc pucde extender a ecuaciones degrado superi or. La respuesta a esta cuestin nos la da el Teorema Fundamen-tal del Algebra, que afirma:

barlo utilizaban un mtodo parecido al de eliminacin. En nuestra notacin.sera:

y * 4x: 28.)y + x: 101

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x : 18, es decir, x : 6 e y :-4.

Tambin resolvan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas eracuadrtica. Por ejemplo,

x l :10 19(x - y)' : *'!

sustituyendo y por lOlx en la segunda ecuacin, se tiene:

9x2 - l8x. l \ lx - t 9( l0lx)2: 2

quedando definitivamente

8xa -"180x2 * 900 : 0

llegando a la anterior ecuacin bicuadrtica que s saban resolver. otrasveces, lassust i tucioneserandel t ipox : u I u;y: u - u.

Los griegos tambin resolvan algunos sistemas de ecuaciones, pero utili-zando mtodos geomtricos. Thymaridas (400 a. de c.) haba encontradouna frmula para resolver un determinado sistem a de n ecuaciones con rincgnitas.

La expresin

(k, + k, + ' . '+ kn_) - s

Diophante resuelve tambin problemas en los que aparecan sistemas deecuaciones, pero transformndolos en una ecuacin lineal. Por ejemplo, parahallar dos nmeros x e y, cuya suma sea 20 y la suma de sus cuadrados 208,realizaba los siguientes clculos:

Diophante.r10+xyxl0-x(10 + x)2 + (10 - x)2 :208100+20xtx2-100-20x-

-x2:208200+2x2:2082xz : 8; x2 :4; de donde x : 2

Mediante sistemas

x+Y:20x2+y2:208sustituyendo x : 20 - en la se-gunda ecuacin,

(20 - y)' -f y2 : 208nos aparece una ecuacin de segun-do grado.

x:n-2

permite obtener las soluciones del sistema

Los nmeros buscados son 8 y 12. Diophante slo aceptaba las solucio-nes positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones.Utiliz ya un lgebra sincopada, como hemos sealado anteriormente. Sinembargo, una de las dificultades que encontramos en la resolucin de ecua-ciones por Diophante es que carece de un mtodo general y utiliza en cadaproblema mtodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen tambin en los documentos indios.No obstante, no llegan a obtener mtodos generales de resolucin, sino queresuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemtico, de autor chino desconocido (siglo m a. de C.),contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encon-tramos un esbozo del mtodo de las matrices para resolver sistemas deecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistemade tres ecuaciones lineales por dicho mtodo matricial.

Sea el sistema

3x- l 2y-f z:392x+3y+ z-

x- l 2yl3z:

escriban la matriz de la siguiente forma:

3426

,r + ,r1J+Jrt

\

+ x2 + ' . . * rn_r-k l-k2t "

62

* xr-r : kn-t

I

63

(2." col. x 3) (2.^ col. x 3." col.) (2." col. _ 3.. col.)

y as sucesivamente hasta

y haciendo operaciones entre las columnas cJc la matriz obtenan un sistemams sencillo cuya solucin era inmediata:

de donde esta ltima matriz nos proporciona las ecuaciones

362 : 99z:24z:39

Tengamos en cuenta que la resolucin de sistemas lineales de ecuaciones

. Ecuaciones diofnticas

Si se tiene una ecuacin con ms de una incgnita, las soluciones de lamisma son indeterminadas. As, si consideramos la ecuacin

5x+y:39

a cada valor que se atribuya a x se le asocia el correspondiente valor de y enla frmula

Al expresar algebraicamente la condicin o condiciones impuestas por unproblema que trata de determinar cicrtos nmeros, pueden resultar ecuacio-nes o sistemas indeterminados. La cuestin puede presentar dos aspectosdiferentes:

l. las soluciones de la ecuacin o sistema planteados convienen alproblema, y

2. el enunciado del problema impone ciertas condiciones en virtud delas cuales se determinan o, al menos, se seleccionan las soluciones.

Un tipo de ecuaciones relacionadas con el segundo aspecto sealado sonlas , llamadas as en honor del matemtico griegoDiophante, y que son ecuaciones lineales con distintas variables de coeficien-tes racionales y con la condicin suplementaria de que slo admiten comosolucin nmeros naturales y pueden hacerse extensivas a soluciones enteras.(Si se trata, por ejemplo, de nmero de ciudadanos, no podemos admitirsoluciones fraccionarias).

Para que una ecuacin lineal con dos o ms incgnitas y de coeficientesenteros admita soluciones enteras, es condicin necesaria que el m.c.d. de loscoeficientes de las incgnitas divida al trmino independiente.

En efecto, sea la ecuacin lineal

Ax + By+ . . . + Eu : F, A,B,. . . ,E,FeZ

si D es el m.c.d. (A, B, ..., E) y designamos por a, b, ..., e los coecientesobtenidos al dividir aqullos por el m.c.d., es decir:

A:Da, B:Db,. . . , E:De

la ecuacin anterior puede escribirse

D(ax -l by + '.. - l eu) : ; t l lSi esta ecuacin se satisface para valores enteros de x, y,..., z resultar quepara estos valores, el primer miembro de [] es mltiplo de D, luego,necesariamente, si existen soluciones enteras, son tales que F es mltiplode D.

Por tanto, la ecuacin diofntica ax * by : c, donde a, b y c sonnmeros enteros positivos, es resoluble precisamente si el m.c.d. de a y esun divisor de c. Adems, si (xo, yo) es una solucin, el conjunto de solucionesest formado por todos los pares

(xo + tb, lo - ta), con t e ZUna parte considerable de la

Aunque la idea de matriz est implcita en los cuaterniones de Hamiltony en la extensin a n-uplas de Grassmann (1809-1877), se atribuye a Cayley(1821-1895) su creacin.

La teora de matrices de Cayley tuvo su origen en el estudio de lastransformaciones lineales. Simultneamente, Sylvester (1814-1897) ampla lateora de los determinantes y publica, entre otros, un mtodo para eliminar xde dos ecuaciones polinmicas de grados n y m.

Posteriormente, Dodgson (1823-1898), ms conocido por Lewis Carroll 'enriquecer la teora sobre determinantes, y otros, como Frobenius y Jordan,tr abajarn sobre matrices.

Las nociones de determinante y matriz, consideradas como innovacionesen el lenguaje matemtico, se revelaron altamente tiles, no slo en eldesarrollo mismo de las matemticas, sino como instrumento de clculo queforma parte de las tcnicas del matemtico moderno.

A George Boole (1815-1864) debemos otro tipo de lgebra, el lgebra deBoole, que se aplica al lgebra de conjuntos o a la lgica, y, ms reciente-mente, en el diseo de computadoras.

Despus de 1870, con la obra de Benjamn Peirce (1809-1880), se da unpaso hacia una concepcin ms abstracta con el concepto de lgebras linea-les asociativas, las cuales incluyen como casos particulares el lgebra ordina-ria, los vectores y los cuaterniones.

Proponemos a continuacin unas actividades tipo para alumnos de laescucla obligatoria, utilizando el recurso didctico que supone el conoci-micnto dcl desarrollo histrico del lgebra:

()hfutitto Resolver ecuaciones de segundo grado.Nirr , / 13- l5 aos.lctiuidud. Existen diferentes mtodos para encontrar soluciones de ciertas ecuaclones{c scgundo grado, uno de ellos es el mtodo geomtrico utilizado, entre otros, por Al-Khwarizmi, matemtico rabe del siglo tx, asociado a un problema de medida dercas.

As, por ejemplo, para encontrar una solucin de la ecuacin x2 + l2x : 64, seprocede de la manera siguiente:

- Alrededor de un cuadrado de lado x (cuyo valor se desconoce) se construyencuatro rectngulos de lados x y 3 (obsrvese que 3 es la cuarta parte de 12,coeficiente de x) (Fig. 1).

- Cada rectngulo rayado de la hgura tiene un rea de 3'x.- Elirea del cuadrado pequeo que est en el centro (con cuadriculas) es igual a

x2.-El rea total de la zona rayada vale x2 * l2x.-x es la solucin de la ecuacin si, y solamente si, esta rea es igual a 64. Por

otra parte, para obtener el rea del cuadrado grande hay que aadir a laszonas rayadas, 4'3'3 : 36 ( los cuatro cuadrados esquinas de lado 3) '

68

Fig. t.

- El rea total del cuadrado srande ser:

64+36:100

y, por tanto, su lado ser 10.Con ayuda de x tambin podemos expresar el lado del cuadrado grande

como 6 * x, de donde una solucin de la ecuacin dada ser 4.- Utilizar el procedimiento de Al-Khwarizmi para encontrar una solucin de las

ecuaclonqs:

a) x2 + lDx :39.b) x2 + 8x :65.

Objetiuo: Resolver ecuaciones diofnticas.Niuel: 14-16 aos.Actiuidad: Uno de los mtodos para resolver ecuaciones diofnticas se basa en elprocedimiento ideado por Euler que vamos a aplicar a la resolucin del siguienteproblema:

Si llamamos x al nmero de fascculos de una clase e y al nmero de fascculos dela segunda clase, se tiene la ecuacin:

680x+760y:11.169

Para resolverla se busca primeramente una solucin particular despejando laincgnita de coefrciente ms pequeo:

Iiili/)

5_2vr : l i - l '+ -

'17

+l+)t+J+

69

IAdems, como x, y son nmeros enteros, llamaremos I al valor que tomar

\ - ) t" -t

, es decir.t7

5-2v,: - 17

que despejando la y, se tienet- t

l : -Bt+2+ 2

y e Z, t e Z, entonces t : - 1, luego, sustituyendo este valor en la expresin dadade x, se tendr que x : 5

x : 5 fascculos de una claseI : ll fasciculos de la otra clase

Si se tiene in cuenta que la solucin general es

x:5+19ft

Y: l l - l7k

y que ,r > 0;.y > 0, no existen ms soluciones que para el valor t : 0'

- Utiliza este procedimiento Para:

a) Hallar todas las soluciones enteras de la ecuacin 15x - 130y : 35'b) En una escuela de Magisterio, la especialidad de Ciencias tiene un nmero de

alumnos comprendido entre 250 y 300, distribuidos en tres grupos: en elprimero hay ios 19/35 del total, en el segundo hay Ul4 del total y en eli.rr..o est el resto de los alumnos. Cuntos alumnos tiene la especialidad ycada uno de los tres gruPos?

EJERCICIOS

1. Empleando el mtodo de Vite, resolver las ecuaciones:

a) x2- l4x+40:0b) x2 - l4x - 32:0c) x2 + 7x - 60.750 : 0

70

Utilizando los mtodos del lgebra-geomtrica de los griegos resolver en lassituaciones que sea posible, las ecuaciones

a) x2+l2x-64:0b) x2- l2x +64:0c) x2-8x+64:0d) x2-6x-10:0

Demostrar la propiedad asociativa del producto por los mtodos de los griegos.

Resolver la ecuacin x + ll2x : 16 por el mtodo de la regula falsi.

Hllese la edad de Diophante, tomando los datos del epigrama.

Resolver las ecuaciones siguientes utilizadas por los egipcios por el mtodo de la> o regula falsi.

3.

4.

5.

6.

a)b)c)

t - + 6x : )

x+2x:8I

x - , :

z+

l lx+3x+rx:10

x+3x+5x:30'1 I

x + jx - 1x: a

d)

e)

0

9.

7. Frmese la ecuacin cbica cuyas races son I t .fi y -3 y aplquese elmtodo de Cardano.

De Morgan propuso el siguiente acertijo: Resolver-lo.

Resolver las ecuaciones siguientes utilizando el

10. Resolver las ecuaciones de segundo grado siguientcs por.el mtodo de completarcuadrados:

a) x2- l lx : -9Expresar en lenguaje habitual los pasos del algoritmo que utilizaban los babilo-nios para resolver ecuaciones de segundo grado de la forma x2 I px : q.

Obtener por el mtodo de factorizacin las soluciones de las ecuaciones cuadr-ticas siguientes:a) x2+7x-60:0Los babilonios conocan la existencia de valores x, y, z tales que x2 + y2 : 22,pero se debe a la escuela pitagrica la solucin particular de esta ecuacindiofntica:

x : r l2(n2 - l ) , y : n, z : l l2(n2 + l )

con z impar, solucin que probablemente dedujeron de la propiedad . Probar ambas alirmaciones.

El lgebra y los estadiosdel desarrollo

3.I. INTRODUCCION

La posibilidad de reconocer los estadios generales del desarrollo intelec-tual, representado cada uno de ellos por un modo caracteristico de razona-miento y por unas tareas especficas de matemticas que los alumnos soncapaces de hacer, constituye una informacin valiosa para los profesores a lahora de disear el material de enseanza y permite conocer el nivel derealizaciones y respuestas a cuestiones esperadas de los alumnos.

Dentro del marco de la psicologa cognitiva, los trabajos de Piaget, Collisy del Chelsea C.S.M.S. Project (Concepts in Secondary Mathematics andScience), sealan pautas de este desarrollo general del conocimiento de losalumnos relacionado con sus actuaciones en matemticas, en general, y dellgebra, en particular. A ellos nos referiremos bsicamente a lo largo de estecaptulo.

3,2. LOS ESTADIOS DEL DESARROLLO EN PIAGET

La psicologa evolutiva se centra en el desarrollo o evolucin de losnios, enfatizando los aspectos relacionados con el aprendizaje y los proce-sos de cognicin. Este desarrollo que comienza desde el nacimiento del nio,va conformando un proceso de evolucin y maduracin. Los estadios de esteproceso son universales, aunque ca{a nio posee caractersticas propias.

La personalidad ms importante de esta corriente es J. Piaget. Piagetseala que el desarrollo de la inteligencia de los nios es una adaptacin delindividuo al ambiente o al mundo que lo circunda. Aborda el problema deldesarrollo de la inteligencia a travs del proceso de maduracin biolgica.

l l .

12.

13.

I

i l {l i :l l l

'll, l lJ)

'72

En este enfoque, la palabra aprendizaje tienc un doble sentjdo. El primero,ms amplio, se refiere al propio desarrollo de la inteligencia como procesoespontneo y continuo que incluye maduracin, experiencia, transmisinsocial y desarrollo del equilibrio. El segundo se limita a la adquisicin denuevas respuestas para situaciones especficas o de nuevas estructuras paradeterminadas operaciones mentales.

forma distinta de pensar y estructurar las cosas que origina una nuevacomprensin y satisfaccin al sujeto. En definitiva, un e-tudo de nuevoequilibrio.

tiempo. Piaget distingue tres estadios de desarrollo cognitivo, cualitativa-mente diferentes entre s, que se subdividen en subestadios.

I. Estadio sensoriomoror, abarca desde el nacimiento hasta los dosprimeros aos de vida. perodo sensorial y de coordincin deacciones fisicas.

II. Estadio de operaciones concreras, abarca desde los dos a los once odoce aos de edad. consiste en la preparacin y realizacin de lasoperaciones concretas de clases, relaciones y nmeros. Este segundoestadio se subdivide en:a) Perodo preoperacional (dos a siete aos). perodo de pensa-

miento representativo y prelgico.b) Perodo operacional concreto (siete a once aos). perodo de

pensamiento lgico concreto.III. Estadio de operaciones formales, se inicia alrededor de los once a

doce aos y alcanza su pleno desarrollo tres aos ms tarde. pero-do del pensamiento lgico ilimitado.

El orden por el que pasan los nios las etapas de desarrollo no cambia, esdecir, deben pasar por las operaciones concretas para llegar al estadio de lasoperaciones formales; pero la rapidez con que pasan l,os nios por estosestadios cambia de persona en persona.

En los nios no se producen cambios frjos que apaezcande la noche a la74

maana. Hay perodos de desarrol[r cotiu9 que se sobreponen; de hecho,Cuando un nio entra en la etapa rrcopct'aciotral, su desarrollo sensoriomo-tor contina, a pesar de que la nucvt capacidad de pensamiento representa-cional sea el rasgo dominante del pcrodo. lgualmente, un nio que sustentaun pensamiento operativo concreto en una labor de permanencia (v'g. capa-cidad para retener un nmero) puede estar en la etapa preoperacional conrelacin a trabajos ms complicados de permanencia.

Anlogamente, a medida que el nio entra en el perodo de las operacio-nes formales el pensamiento operativo concreto contina en varias reas,para, poco a poco, llegar a ser integrado en un sistema ms comprensible deoperaciones formales. El razonamiento operativo formal no siempre funcio-na con toda su capacidad, y en determinadas circunstancias baja a un nivelinferior de pensamiento. Adultos y adolescentes, a menudo, regresan alpensamiento de operaciones concretas y aun al pensamiento preoperacionalcuando se les expone a nuevas reas de aprendizaje, beneficindose conexperiencias concretas en estas reas antes de avanzar a niveles abstractos depensamlento.

Acerca de su concepto de , Piaget seala que nohay periodos estticos como tales. Cada uno es conclusin de algo comenza-do en el que precede y el principio de algo que nos llevar al que sigue' Deesta forma, como ya hemos sealado, las operaciones concretas llegan a serintegradas en las operaciones formales. En el perodo de las operacionesconcretas, la accin fisica y mental del nio hacia objetos crea operaciones yrelaciones. En el perodo operativo formal, la accin mental hacia esasoperaciones y relaciones, da por resultado operaciones de operaciones yrelaciones de relaciones.

En el esquema siguiente pueden verse estos estadios y sus principalescaractersticas.

Al nacer, el mundo del nio se reduce a sus acciones. Elnio no es capaz de representaciones internas de susacciones (lo que usualmente consideramos como pen-samiento). Ausencia operacional de smbolos. Estadioprelingstico. Los objetos adquieren permanencia, auncuando stos (cero a dos aos) estn fuera de su propiapercepcin. Desarrollo de los esquemas sensoriomoto-res. Finaliza con la iniciacin de la conducta dirigida aun objetivo y la invencin de nuevas soluciones, esdecir, con el descubrimiento y las combinaciones inter-nas de esquemas.

tJt i vF-Rs I ' i )AD n I 5T?i 'TAt-, i i *atS116 ' i t i i ; i : ' r t ( :At-{)A' : 75:,1;:t ; ; ' ; Hrht rrrr: \-* I

Estadios del desarrollo cognitiuo segn Piaget

[. Sensoriomotor

l

Estados del desarrollo cognitiuo .tt'gn l,iugt't ( t tmtinuacin )Estadios ( 'a nctcrist icas

II.

Ila)

Operacionesconcretas

Preoperacional(2-7 aos)

El pensamiento infanti l ya no est sujeto a accionesexternas y se intcrioriza. Inicio de las funciones simb-licas. Representacin significativa (lenguaje, imgenesmentales, juegos simblicos, invenciones imaginativas,etc ). A pesar de los grandes adelantos en el funciona-miento simblico, la habilidad infantil para pensar l-gicamente est bastante limitada:. Ausencia de reversibilidad: incapacidad para invertir

mentalmente una accin fisica para volver a su esta-do original.

. Ausencia de concentracin: incapacidad para retenermentalmente cambios en dos dimensiones al mismotiempo.

o Lenguaje y pensamiento egocntrico: incapacidadpara tomar en cuenta otros puntos de vista.

Operacionesconcretas

Operacionalconcreto(7-l l l l2 aos)

I I .

ilb\

El nio mejora su capacidad de pensamiento lgicoante los objetos fisicos. es capaz de pensar en objetosfisicamente ausentes que forman parte,de experienciaspasadas, pero no con hiptesis verbales. El pensamien-to infantil est limitado a cosas concretas en lugar deideas.Adquiere la reversibilidad que le permite invertir men-talmente una accin que antes slo habia llevado acabo fisicamente, la inclusin lgica, la clasificacin yordenamiento de objetos, la habilidad'para conservarciertas propiedades de los objetos (nmero, cantidad) atravs de los cambios de otras propiedades, la capaci-dad de retener mentalmente dos o ms variables cuan-do estudia los objetos.Se vuelve ms sociocntrico, cada vez es ms conscien-te de la opinin de los otros.Las operaciones matemticas bsicas surgen en esteperodo.

II I . Operacionesformales(lrlr2-l4l15 aos)

Habilidad para pensar ms all de la referencia a expe-riencias concretas. Capacidad de usar, a nivel lgico,enunciados verbales y proposiciones en vez de objetosconcretos nicamente.Habtlidad pata pensar tericamente sobre las conse-cuencias de los cambios de objetos y sucesos.Habilidad para razonar acerca de las combinaciones delas variables en un problema.Capacidad para comprender reglas generales de ejem-plos particulares.Capacidad para deducir de proposiciones generalesconcl usiones part iculares.

3.3. LOS ESTADIOS DE DT]SARR0I,I,() Y LAS MATEMATICAS

En el pargrafo anterior hcmos lcc()gi(lo una breve aproximacin a losniveles de pensamiento (estadios dc dcsarrollcl) cn el marco de la psicologadel desarrollo de Piaget. Ahora qucrcrn()s prcscntar estos aspectos relaciona-dos con la enseanza-aprendizaje de las matemticas, describiendo cada unode ellos por su manera caracterstica dc razonamiento y por los tipos detarea que los alumnos pueden hacer.

Los trabajos iniciales de Piaget, los posteriores de Collis y los del ChelseaC.S.M.S. Project, sealan un camino en el desarrollo en los nios del estadiooperacional concreto al estadio operacional formal, en el contexto particularde la enseanza-aprendizaje de las matemticas.

En sntesis, los estadios del desarrollo cognitivo, tal como podran deri-varse de los trabajos de Piaget y propuestos por Collis (1980), seran loscinco estadios siguientes:

(0) Preoperatorio (cuatro a seis aos).(1) Temprano de operaciones concretas (siete a nueve aos).(2) Final de operaciones concretas (diez a doce aos).(3) De generalizacin concreta (formal temprano) .(trece a quince aos).(4\ De operaciones formales (diecisis aos en adelante).Como ya se seal, las edades cronolgicas correspondientes a los esta-

dios son solamente orientativas, varan mucho de una a otra cultura, de unaa otra persona y de una a otra tarea en la misma persona. Es el orden desucesin de los estadios lo que permanece invariante.

Analizamos ahora los cuatro ltimos estadios del desarrollo cognitivo enel aprendizaje de las matemticas, en el marco de los trabajos de Collis(197 5a, 197 5b y I 980), quien ha intentado examinar algunos conceptos mate-mticos respecto al tipo de items que pueden usar los alumnos en losdistintos estadios, relacionndolos con los diferentes tems cientficos estu-diados por INHELDEn y Pncrr (1958).

Asi, el estadio (l) ( temprano de operaciones concretasl se manihesta por lacapacidad de los alumnos para trabajar significativamente con operacionessimples sobre elementos concretos. Ambos, elementos y operaciones, debenestar relacionados con objetos llsicos y con operaciones realizables experi-mentalmente. Por ejemplo, y en lo que se refiere al sistema de numeracin,aparte de la utilizacin de una de las cuatro operaciones de la aritmticaelemental con nmeros pequeos, la concrecin de las operaciones debevenir garantizada por alguna analoga fisica, y la concrecin de los nmeros,asegurada por la disponibilidad del material fisico. El nio puede calcular 6+ 3 : 9, imaginando un conjunto de seis y tres elementos colocados juntosy contados. Aun con estas restricciones, el nio parece necesitar la operacinclausurada y con un resultado rnico para que la operacin tenga sentido

I76 71

y atrabajar con frmulas como V : u x b x c, siempre que se les capacitepara tener en cuenta que cada letra representa a un nico nmero y que cadaoperacin binaria puede clausurarse en cualquier momento'

El estadio @) ( de operaciones f'ormales ) . El alumno no tiene necesidad derelacionar elementos, operaciones o la combinacin de ellos con modelosanlogos fisicos, y puede tomar como realidad un sistema abstracto biendeterminado con sus definiciones, relaciones y reglas, no abordando la clau-sura hasta que ha agotado todas las posibilidades. Este nivel de clausura nonecesita de ia tranquilidad que le proporcionan los nmeros y las operacio-nes familiares. La clausura es ahora una propiedad matemtica que puede ono existir en un conjunto dado. El chico no relaciona necesariamente laclausura con su propia realidad fisica, sino que puede aplicarla a elementosabstractos y a operaciones definidas.

El alumno puede resolver problemas en los que las letras representannmeros o variables que emplean una operacin bien determinada. Se en-frenta con variables en cuanto tales, porque puede evitar sacar la con-clusin final hasta haber considerado las diversas posibilidades' estrategiaesencial para obtener una relacin distinta de la de obtener un resultadonico.

En sntesis, el pensamiento operacional concreto es, como hemos visto, eltipo de pensamiento de la mayora de los nios menores de diez aos,aunque en muchos casos se extiende ms all de esa edad. Caracterizado porla necesidad de considerar y manipular materiales fisicos, implica, solamente,operaciones que presenten clausura, es decir, una expresin matemtica sersignificativa para el nio si es posible concluir en un nico nmero.

En cuanto al desarrollo del pensamiento en el nio, en trminos de lanecesidad que ste tiene de la clausura, veamos finalmente, otros ejemplos deoperaciones que implican las diferentes formas de clausura: a) clausura inme-diata, b) clausura no inmediata y c) clausura imposible.

a) Determinarsi lasexpresiones3 +7y4'+ 53 x 6y2 x gson' equivalentes. Estas son operaciones de dos nmeros que dan una

clausura inmediata.Se pide igualmente al nio que decida en cada caso si las expresiones:225 + 387 y227 + 385 6146 x 131 y 131 x 146sonequivalentes.Estos ejemplos no requieren un clculo de estas sumas o productos y,por tanto, la clausura no es inmediata, aunque s es posible. Estasituacin se entiende como clausura no inmediata.Decidir si las expresiones siguientes: (a - b) y (a + 1) + (1 - )6(a - 1) x ( + 1) y (a + l) x (b - 1) sonequivalentes o calcular3x * 2y, son expresiones que no tienen clausura. No existe uncamino sencillo que basado en la experiencia, garantice la unicidadde las equivalencias anteriores o la adicin en el ltimo ejemplo. La

325 x 417v

4T7 J325 x 405

32s b)

son o- no equivalentes, sin clausura.Los alumnos de este nivel utilizan elementos generalizados (cifras grandes

y letras en sustitucin de nmeros). Estn dispuestos a entender y usar consignificado la generalizacin 4

r

78

m'a n,a

79

continua necesidad de los alumnos dcl pcnsamiento de clausura es, almenos en parte, responsable de resultados tales como 3x + 2y :: 5xy, comn en los lt imos cursos del Ciclo Superior de la E.G.B.

Parece que el pensamiento en el nio sigue un desarrollo desde unestadio en que debe existir una garanta de clausura hasta el estadio final, enque se ve a la clausura-simplemente como una propiedad matemtica ydonde el alumno puede operar con variables en las relaciones matemticas.

Por ltimo, el perodo formal se caracteriza, como hemos visto, por lahabilidad de los nios para pensar ms all de la realidad concreta. Razona-mientos deductivos e inductivos, abstracciones reflexivas, pensamiento pro-porcional, esquemas operacionales que implican combinaciones de operacio-nes o combinaciones de variables, etc., son aspectos de este desarrollo.

El nio de la etapa anterior desarroll un nmero de relaciones con elsoporte de materiales concretos; ahora puede pensar acerca de relacin derelaciones y, en general, de otras ideas abstractas. Es capaz de entenderplenamente y apreciar, por ejemplo, las abstracciones simblicas del lgebra.

En general, los clculos aritmticos conducidos por el uso de materialesfisicos: bacos, bloques aritmticos multibase, tableros de contar, etc., impli-can operaciones concretas. El clculo con algoritmos formalizados es la fron-tera entre las operaciones concretqs y formales.

Podemos describir, siguiendo a Collis (1980), gran parte de las matemti-cas de la escuela obligatoria, y en particular del lgebra, como un sistema oestructura lgica de relaciones formado bsicamente por un conjunto defini-do de elementos y por mtodos claramente determinados para operar conellos. La necesidad de comunicar parte de la estructura o del sistema a losdems, da origen a un simbolismo formal que incluye tanto a los elementoscomo a las operaciones. En el enunciado 3(a + b) : 3a * 3, tomandocomo ejemplo para ilustrarlo, los elementos implicados son nmeros y varia-bles y las operaciones a efectuar con ellos (multiplicacin y adicin), estnclaramente definidas. Los smbolos 3, a y , son abstracciones que nospcrmiten comunicar nuestro pensamiento a los dems de un modo abrevia-clo, y, por ltimo, el propio enunciado indica la existencia de una conexincntrc las dos partes de la estructura, las relativas a la suma y a la multiplica-cirin.

Vcamos ahora en este marco descriptivo de las matemticas de la escuelaobligatoria lo que puede esperarse en los distintos estadios del desarrollo. Encl cstadio (l), los nios no tienen an capacidad para construir un sistemarrrrtcmtico en cuanto tal, pero ya comienzan a preparar sus cimientos enlirrlna de estructuras elementales concretas. En el estadio (2), el nio comien-zr u desarrollar sistemas matemticos simples y representa un nivel derlcslrrrollo en el que ya puede comenzar a usar las matemticas como tales.l irrrricza a desarrollar una estructura concreta de experiencias que puede ir

8()

construyndose ao tras ao para fonttitr rut sistcma lgico concreto. En elcstadio (3), el chico es capaz de desarrollur rnr cstructura matemtica com-pleja en la medida en que tenga un fundantcnto concreto. Los elementos ysus smbolos presentan escasa dificultad, l menos que se internen en eldominio de lo abstracto y carezcan de una contrapartida fisicamente obser-vable. Esto significa que se les escapan los conceptos que implican nocionesirbstractas de razon y proporcin, pero que si se les proporcionan frmulascn las que estn incluidas estas nociones, son capaces de emplearlas paraffcgar a resultados concretos. En el estadio (4), est preparado para trabajarcon el sistema formal abstracto que, para el matemtico, constituye la esen-cia de las matemticas.

En la enseanza de la geometra igualmente podemos distinguir lospatrones de pensamiento concreto y formal. Van Hiele (1986), por ejemplo,ha identilicado cinco niveles de pensamiento geomtrico que conducen de loconcreto a lo formal. Estos estadios son tambin analizados en el libro decsta serie Inuitacin a la didctica de la seometra. de C. Alsina y otros (1987,cap. 5).

3,4. Los estadios de desarrollo y el lgebra

Bajo el trmino consideramos el lgebra de los nmeros y deIus

En la sustitucin de letras por nmeros, Collis (1975b) descubri que lacapacidad para trabajar con letras dependa, en gran parte, de lo que elloseran capaces de considerar como real. El siguiente tem, tomado comoejemplo, nos proporciona una imagen clara de cada nivel de desarrollo:

En el estadio (1) los alumnos tienden a considerar cada letra comorepresentante de un nmero y slo de uno. Su manera de resolver el proble-ma consista en sustituir directamente la letra por un nmero especf-rco. Sieste nico intento no lograba un resultado satisfactorio abandonaban estatarea. En este ejemplo, en el tem 1 responden habitualmente sobre la base de ensayar un nmero para a y otro para b. Los dos temssiguientes fueron imposibles de resolver por los alumnos que utilizaban laestrategia de sustituir cada letra por un nmero.

En el estadio (2) los alumnos que operaban en este nivel intentaban unpar de nmeros y si satisfacan la relacin sacaban su conclusin sobre estabase. Estos alumnos podan resolver el tem I porque confraban en que ciertacantidad de nmeros especficos reemplazara a las letras, pero eran incapacesde usar los tems 2 y 3.

En el estadio (3) los alumnos parecan tener un concepto de nmero

tica elemental, es decir, no pueden superar la tcndencia de ver una operacintal como * y recurr i r a una operacin conocida +, - , x, : .

En el estadio (3), los alumnos indicaban que eran conscientes del hechode usar la operacin dehnida como tal y no trasladarla a una operacin msfamiliar, pero no tenan suciente control del sistema como para ser capacesde deducir los resultados correctos.

Estos son ejemplos de respuestas tpicas a los dos primeros tems:>

>

xc)

Parece como si en este estadio transitorio, el alumno pudiera generalizarsufrcientemente a partir de su experiencia con operaciones para utllizar laoperacin definida correctamente, pero era incapaz de ir ms all de lainformacin que se le presentaba para realizar las deducciones necesariassobre las variables.

En el estadio (4) los estudiantes son capaces de trabajar correctamentedcntro del sistema definido.

Estas ideas de Collis son utilizadas para la construccin de los tests delgebra de C.S.M.S. Kchemann establece sus ya mencionados usos diferen-tes de las letras en los tests (cap. 1).

a) Letras evaluadas.b) Letras ignoradas.c) Letras como objeto.d) Letras como incgnitas especficas.e) Letras generalizando nmeros.

f) Letras como variables.Los tems de los tests son divididos en cuatro grupos de acuerdo con la

complejidad de los tems y de la naturaleza de los elementos que intervienenen cada cuestin, abarcando las seis categoras de interpretacin de las letras.Estos cuatro grupos pueden considerarse, aproximadamente, como represen-tantes de los diferentes estadios o niveles de desarrollo descritos anterior-mente.

Los tems ms representativos de cada nivel estn recogidos en formaabreviada en las tablas siguientes (3.1); (3.2); (3.3) y (3.4), junto con lasrespuestas y los errores ms comunes de los alumnos de catorce aos.

Los tems del nivel 1 (tabla 3.1) son puramente numricos [8 y 7.ii)], otienen una estructura simple y pueden resolverse usando las letras comoobjetos [9.i) y l3.i)], o como evaluacin de letras [6.i)], o ignorando las letrascomo [5 i)].

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r

Los items del nivel 2 (tabla 3 2) incrcnrcntan con relacin a los anterioressu grado de complejidad, sin cmblrrgo. lrrs lctras an tienen que ser evalua-das [11.i) y l l . i i l ] , o ignoradas 12,4.i) y .5.i i) j, o usadas como objetos [7.i i i),f. i i), f. i i i) y 13.iv)1.

Para los alumnos del nivel I cstos tcrs son de mayor complejidad ytienden a dar respuestas errneas cquivalcntes a 4ht o hhhht envez de 4h + ten el tem 9.1i) ,68ab en vez de3a I 5 en el tem 13. iv) , y 763 envezdeT6len el tem 5.i i).

Los alumnos de este nivel 2 no son capaces an de trabajar consistente-mente con incgnitas especl-lcas, nmeros generalizados o variables.

Parece que el avance producido en este nivel es, fundamentalmente, unincremento familiar con la notacin algebraica.

Los alumnos del nivel 3 (tabla 3.3) pueden utilizar las letras como incg-nitas especifrcas, pero solamente donde la estructura del tem es simple. Estosnios estn dispuestos a ver con signihcado respuestas similares a 8 + gltem S.iii)l;3 n + 4 [tem 4.ii)], it p : 2n [tem 9.iv)].

Los nios que se encuentran en niveles inferiores, fundamentalmentenivel 1, en los tems que requieren incgnitas especlicas asignan un valor alas letras, p : 32 en vez de p : 2n,en9.iv) o e * f * g : 12 envezde 8 ++ g en 5.iii) o en el caso de las letras ignoradas,,dan respuestas como 7n o 7 envez de 3n -t 4 en 4.ii).

En el nivel 4 (tabla 3.4) los alumnos pueden competir con items querequieren incgnitas especficas y tienen estructura compleja [13.v), 4.iii),7.iv), etc.], o con tems similares a20,22 o 17.i) que necesitan que las letrassean consideradas como incgnitas especificas, pero donde hay una tenta-cin fuerte a tratarlas como objetos.

Otros tems de este nivel implican nmeros generalizados como 18.ii) ovariables como 3.

Observamos que los tems de los niveles I y 2 pueden ser resueltos sintener que considerar a las letras como incgnitas especficas, mientras que enlos niveles 3 y 4 las letras tienen que ser tratadas al menos como incgnitasespecfrcas y en algunos casos como nmeros generalizados o variables.

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E nse a nza-aprendiz aj edel lgebra

EI lgebra es una fuente de con-fusin considerable y de actitudesnegatiuas en los alumnos.

(BoorH, L. R. 1988)

4.I. INTRODUCCION

En la enseanza-aprendizaje del lgebra, como en la de toda la matemti-ca, nos encontramos con una gran variedad de dificultades que puedenagruparse a grandes rasgos en los siguientes tpicos:

1. Dificultades debidas a la naturaleza del tema algebraico dentro delcontexto de las matemticas.

2. Dificultades que surgen de los procesos del desarrollo cognitivo delos alumnos y de la estructura y organizacin de sus experiencias.

3. Dif'rcultades atribuibles a la naturaleza del currculo, a la organiza-cin de las lecciones y a los mtodos de enseanza usados.

4. Dificultades debidas e actitudes afectivas v no racionales hacia ellgebra.

Nos ocuparemos de estos tpicos y se indicarn sugerencias en forma deprincipios generales y de estrategias prcticas, para prevenir y solucionar laenseanza-aprendizaje del lgebra. Al tratar las dificultades en trminos deprevencin y tratamiento, estamos combinando estrategias generales y, alargo plazo, estrategias particulares e inmediatas. La prevencin tiene unaincidencia directa en una mejor planificacin del lgebra dentro de losprogramas de matemticas. Los remedios, por otro lado, estn relacionadoscon la interaccin profesor-alumno, da a da, en la clase. Es importante

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sealar que stos no se sugieren en cl scntido ncgativo de una simplecorreccin de errores, sino ms bien en scntido posit