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FUNDAMENTOS DE MANEJO DE DATOS EXPERIMENTALESFSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y PTICA

MANEJO DE CIFRAS SIGNIFICATIVASResumenRegla 1 Resumen Reglas para contar el nmero de cifras signicativas.

Todos los dgitos distintos de cero son cifras signicativas. Los ceros que estn entre dos dgitos distintos de cero son cifras signicativas. Los ceros situados a la derecha de la coma y despus de un dgito distinto de cero son cifras signicativas.

Regla 2

Regla 3

Regla 4 Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distinta de cero, no son cifras signicativas, slo indican la posicin del punto decimal.

Para nmeros enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del ltimo dgito distinto de cero pueden o no ser cifras signicativas. Si se utiliza notacin exponencial se evita esta ambiguedad.Regla 5 Regla 6

Las potencias de 10 se usan para marcar las cifras signicativas.

Reglas para aplicar en las operaciones Regla 1 La cantidad de cifras signicativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es igual a la cantidad ms pequea de cifras signicativas que tenga cualquiera de los nmeros que se multiplican o dividen.

Para reportar con el nmero correcto de cifras signicativas el resultado de una SUMA (o una RESTA), donde los sumandos son resultados de mediciones previas, se redondea el resultado teniendo en cuenta cul de los dos sumandos posee la menor cantidad de cifras decimales. Es decir, el resultado debe tener el mismo nmero de posiciones decimales que el sumando que tiene menos decimales.Regla 2 Regla 3

El resultado de operar con las funciones trascendentes, como el seno, la arcotangente, la funcin logartmica, la funcin exponencial, etc., se escribe con el mismo nmero de cifras signicativas que tenga el argumento.

Ejercicios1. Decir cuntas cifras signicativas tienen los siguientes datos:a) b) c) d) e)

0,001 0 m 21104 cm 4,00 A 200,00 N 300,00104 m

2. Se reporta una medida como 30,4 cm, cuntas cifras signicativas tiene? Reportar esta medida en mm, en m y en km Aumentan o disminuyen las cifras signicativas al hacer las conversiones?

2 3. Efectuar las siguientes operaciones:a) b) c) d) e) f)

2,5 3,2 (2,34)2 3,2 2,38 + 3,284 20,3 /2,3ln 4, 389

4. Expresar correctamente las siguintes medidas:a) b)

h = 5,03 m 0,043 29 m

=t 1,543 2 s 1 s 19 c ) q = -3,2110 C 2,671020 C d ) =0,000 000 563 m 0, 000 000 07 m 7 e ) = 5,3310 m 3,21109 m

REPORTE DE DATOS EXPERIMENTALESResumenRegla 1 Medidas directas

lectura del instrumento

Si se realiza una sola medida, se reportar la lectura obtenida acompaada de la incertidumbre en la separadas con . La incetidumbre en la lectura del instrumento generalmente corresponde a la apreciacin del instrumento (valor de la mnima divisin del instrumento si este es anlogo o la ltima cifra signicativa reportada en la pantalla display- si este es digital). En el caso de instrumentos anlogos podra suceder que el observador logre estimar un poco ms que la mnima divisin, en cuyo caso puede reportar sta como la incertidumbre en la medida en lugar de la apreciacin del instrumento.

Regla 2 S una cantidad se mide N veces con el mismo instrumento y procedimientos, y las medidas x1 , x2 , x3 , , xN se distribuyen alrededor de su valor medio x (ecuacin 1) de acuerdo a la denominada distribucin norma l o gaussiana, la desviacin estndar x (ecuacin 2) caracterizar la incertidumbre estadstica de la medida y se garantizar que el 68 % de las medidas de x estarn dentro del rango x x . En otras palabras, si se hace cualquier otra medida usando los mismos mtodos, la probabilidad es del 68 % de que su resultado tenga una incertidumbre menor x ; o sea, de cada 100 medidas, alrededor de 68 debern tener una incertidumbre menor que x . Por lo tanto, es sensato adoptar a x como la incertidumbre estadstica de la medida de una cantidad x , siempre y cuando N medidas de esta se ditribuyan normalmente.

x=

1 N

N

xii=1 N

(1) (2)

x =

1 N 1

(xi x)i=1

2

Nota 1: Es posible demostrar (esto corresponder a un curso de estadstica) que si todas las fuentes de incertidumbre son aleatorias (es decir, se han eliminado los errores sistemticos, o al menos reducido a su mnima expresin) y los errores son pequeos, la distribucin de las medidas obedecer la distribucin normal. Nota 2: Hay razones para concluir que la mejor medida de la incertidumbre de la medicin de una cantidad x de la que se obtuvieron N medidas es la desviacin estndar x dividida por el factor N . A esta cantidad se le denomina desviacin estndar de la media (SDOM: Standard Deviation Of the Mean) y se denota como,

3x x = N

(3)

es decir, x es una mejor medida de la incertidumbre estadstica. Nota 3: La incertidumbre que acompaa a la medida (a la media aritmtica) es la mayor de las dos cantidades siguientes: la incertidumbre estadstica de la medida (x ), o la incertidumbre en la lectura del instrumento (la cual se obtiene tal como se describi en la regla 1).Medidas indirectas

Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, se calculan las de las medidas indirectas.Regla

mediante la expresin matemtica,

Propagacin de incertidumbres :

Supngase una medida indirecta que se obtiene a partir de medidas directasy = f (x1 , x2 , , xN )

(4)

en donde f es una funcin de N variables independientes. La incertidumbre de y , uy viene dada por,N

uy =i=1

f ux xi i

2

(5)

en donde los uxi son las incertidumbres de las medidas directas. Es necesario decir que esta expresin se puede aplicar slo si las medidas directas de las cantidades x1 , x2 , xN son realmente independientes (es decir, sus procesos de medicin son independientes: la medida de una no est acoplada a la medida de otra u otras de las xi ) y estn libres de errores sistemticos (es decir, si todos son errores aleatorios y bajo distribucin normal ).Reporte de las medidas

El resultado se reporta as,y uy

(6)

Se debe tener presente que calcular la incertidumbre uy y reportarla junto al resultado, es una tcnica diferente al simple uso de cifras signicativas. Debido a esto, las reglas estipuladas en la tcnica de cifras signicativas no tienen que seguirse al realizar estos clculos. Se recomienda que, mientras se realizan los clculos intermedios, tanto con el resultado como con la incertidumbre , se mantengan todas las cifras de que disponga la calculadora o el computador (o al menos 2 dgitos "extras" ms all del nmero de cifras signicativas esperadas en el resultado). De esta mamera no se perder informacin. Slo al nal de reportar el resultado, se aplicarn las siguientes normas para el redondeo.Regla 1

Una convencin de uso frecuente recomienda que la incertidumbre se exprese con una cifra signicativa.

Una vez redondeada la incertidumbre, el resultado de la medicin debe tener las mismas posiciones decimales que su incertidumbre. No tiene sentido dar cifras que se encuentren a la derecha de aquella que ya est afectada por la incertidumbre. Por ejemplo, si la medida de un intervalo de tiempo despus de calculada se obtuvo 8,358 9 s y su incetidumbre calculada fue igual a 0,03 s se deber escribir el resultado as:Regla 2

8, 36 s 0, 03 s

ya que la incertidumbre nos arma que se empieza a dudar desde las centsimas (posicin del 3 en la incertidumbre) de los segundos, por lo que sera contradictorio reportar las milsimas (y de ah en adelante).

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Ejercicios1. Se hacen seis mediciones del dimetro de una varilla delgada y se obtienen los siguientes resultados : 0,251 cm; 0,248 cm; 0,250 cm; 0,249 cm; 0,250 cm; 0,252 cm Cul ser el mejor valor y cmo estimara la incertidumbre en esta medicin? 2. Para medir el espesor de una moneda se siguen los siguientes dos procediemientos. Diga cul permite obtener una mejor medida.a)

Se mide el espesor de la moneda utilizando un vernier cuya apreciacin es de 0,1 mm y se obtiene 1,3 mm, b ) se mide la altura de una pila de 20 monedas iguales utilizando una regla cuya apreciacin es de 1 mm y se obtiene 26 mm. Luego se calcula el espesor de una moneda.

3. La velocidad de la luz es c = 299 797 km s1 1 km s1 . El tiempo de un destello de laser en ir desde la tierra a un reector dejado en la Luna por los astronautas y regresar al laboratorio ha sido medido como t = 1, 935 472 s 1 106 s. Qu distancia ha recorrido el destello de laser? 4. Para medir la aceleracin de la gravedad g se emple un pndulo simple y se realizaron las siguientes medidas: l = 92, 95 cm 0, 1 cm para su longitud y P = 1, 936 s 0, 004 s para su perodo (en pequeas oscilaciones). cm cm Reportar el valor de g . Rp. g = 979 2 4 2 s s 5. Un carrito de longitud l desciende sobre un plano inclinado. Para medir la aceleracin a con la cual desciende se emplean dos fotogate separados una distancia sobre el plano igual a x. Los intervalos de tiempo que invierte el carrito en atravesar cada fotogate son respectivamente iguales a t1 y t2 . Las medidas obtenidas son las siguientes: l = 5, 00 cm 0, 05 cm, x = 100, 0 cm 0, 2 cm, t1 = 0, 054 s 0, 001 s y t2 = 0,031 s 0, 001 s. cm cm Reportar el valor de la aceleracin. Rp. a = 87 2 8 2 s s 6. Para medir el ndice de refraccin n del vidrio, se mide el ngulo crtico de incidencia c para una pieza de vidrio sumegida en aire, y se obtiene c = 41 1 . Reportar la medida del ndice de refraccin. Rp.n = 1, 52 0, 03

7. Una rendija de difraccin se usa para medir la longitud de onda de la luz usando la ecuacin d sin = , siendo la posicin angular del primer mnimo de difraccin, d el ancho de la rendija y la longitud de onda de la luz. El valor medido de es de 13 34 2 . Suponiendo que el valor de d es 1 420 109 m y que se puede ignorar su incertidumbre, cul es la incertidumbre absoluta y la relativa en el valor de ? Rp: 0, 8 nm, 0,24 %