2198-5421-1-PB

11revista psilon, n 20 enero-junio 2013 pp. 11-39 ISSN 1692-1259

Estudio analtico del estado de esfuerzos en un disco indeformable ante carga diametral

Adolfo Camilo Torres Prada1

Fabin Augusto Lamus Bez2

Sebastin Bahamn Blanco3

Juan Sebastin Vesga Medina4

1 Ingeniero civil. PhD en Ciencias Tcnicas. Profesor titular, Universidad de La Salle, Bogot, Colombia. Director del Laboratorio de Modelos Geotcnicos (GeoLab). Grupo de investigacin CIROC, Bogot, Colombia. Correo elec-trnico: [email protected]

2 Ingeniero civil. MSc en Estructuras. Candidato a doctor en Ciencia y Tecnologa de Materiales. Profesor asistente de la Universidad de La Salle, Bogot, Colombia. Grupo de investigacin CIROC, Bogot, Colombia. Correo electr-nico: [email protected]

3 Ingeniero civil. Integrante del semillero de investigacin del grupo CIROC, Universidad de La Salle, Bogot, Colombia. Correo electrnico: [email protected]

4 Ingeniero civil. Integrante del semillero de investigacin del grupo CIROC, Universidad de La Salle, Bogot, Colombia. Correo electrnico: [email protected]

RESUMEnDeterminar analticamente el estado de esfuerzos de especmenes tipo disco sometidos a cargas diametrales es un problema actual de la mecnica de materiales. Estas aproximaciones contribuyen a disear de manera acertada nuevos ensayos que permiten caracterizar mecnicamente los materiales, las pruebas necesarias en sectores como la industria del concreto, la mecnica de rocas y de otros materiales de construccin. Una de las ltimas propuestas analticas para la solucin del problema se encuentra en el trabajo de Markides, Kourkoulis y Chatzistergos, que muestra un sistema de ecuaciones con el cual obtener la distribucin de esfuerzos inter-nos dentro del disco de material indeformable. En el presente artculo se desarrolla un programa de clculo construido en lenguaje de programacin Fortran, a fin de estudiar la variacin del estado de esfuerzos dentro del disco a medida que vara la distribucin de la carga en el permetro de la muestra, rea relacionada con el ngulo interno 0 medido desde el centro del disco y que barre el lmite del rea de contacto. En particular se busca, mediante esta fase experimental numrica, establecer el rango de valor de 0 en el que los esfuerzos del disco presenten un estado de compresin. Los resultados entregan la distribucin de los esfuerzos radial rr, tangencial y cortante r para el caso geomtrico establecido en la presente investigacin, y como resultado ms importante se destaca que el estado del disco est controlado por esfuerzos de compresin para un valor 0 = 30.

Palabras clave: mecnica de materiales, esfuerzos, compresin, programacin, disco brasilero.

Fecha de recepcin: 7 de enero de 2013 Fecha de aprobacin: 18 de abril de 2013

Cmo citar este artculo: Torres Prada, A. C.; Lamus Bez, F. A.; Bahamn Blanco, S. y Vesga Medina, J. S. (2013). Estudio analtico del estado de esfuerzos en un disco indeformable ante carga diametral. psilon (20), 11-39.

12 revista psilon, n 20 enero-junio 2013 pp. 11-39 ISSN 1692-1259

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Analytic Study of the Stress State on a Non-Deformable Disc Subject to Diametral Compression

ABSTraCTOne of the current issues in the mechanics of materials field is to perform an analytic determination of the stress state of non-deformable disc-type specimens subject to diametral compression. The present approach searches to contribute to the accurate design of new tests that allow a mechanic characterization of materials, tests required in sectors such as the concrete industry, rock mechanics and mechanics of other construction materials. One of the latest analytic proposals to solve the problem is found in the work of Markides, Kourkoulis and Chatzistergos, which shows an equation system with which to obtain the distribution of internal stress within a non-deformable disc. The present article illustrates the development of a calculation program built in Fortran programming language, with aims to study the change of stress states within the disc as the distribution of the compression varies in the perimeter of the sample, an area related to the internal angle 0 measured from the center of the disc and reaches the limit of the contact area. Specifically, this experimental numerical stage seeks to establish the range of values of 0 in which the stress of the disc presents primarily a compression state. The results show the distribution of radial rr, tangential and shear r stress for the geometrical case established in the present investigation. Moreover, it highlights that the state of the disc is controlled in particular by compression stress for a value of 0 = 30.

Keywords: Mechanics of materials, stress, compression, programming, brazilian disc.

Estudo analtico do estado de esforos em um disco indeformvel diante de carga diametral

RESUMODeterminar analiticamente o estado de esforos de espcimes tipo disco submetidos a cargas dia-metrais um problema atual da mecnica de materiais. Estas aproximaes contribuem para des-enhar de maneira acertada novos ensaios que permitem caracterizar mecanicamente os materiais, as provas necessrias em setores como a indstria do concreto, a mecnica de rochas e de outros materiais de construo. Uma das ltimas propostas analticas para a soluo do problema se en-contra no trabalho de Markides, Kourkoulis e Chatzistergos, que mostra um sistema de equaes com o qual obter a distribuio de esforos internos dentro do disco de material indeformvel. neste artigo se desenvolve um programa de clculo construdo na linguagem de programao Fortran, a fim de estudar a variao do estado de esforos dentro do disco medida que varia a distribuio da carga no permetro da mostra, rea relacionada com o ngulo interno 0 medido desde o centro do disco e que barre o limite da rea de contato. Em particular se busca, mediante esta fase experimental numrica, estabelecer o rango de valor de 0 no que los esforos do disco apresentem um estado primordialmente de compresso. Os resultados entregam a distribuio dos esforos radial rr, tangencial e cortante r para o caso geomtrico estabelecido nesta pesquisa, e como resultado mais importante se destaca que o estado do disco est controlado particularmente por esforos de compresso para um valor 0 = 30.

Palavras chave: mecnica de materiais, esforos, compresso, programao, disco brasileiro.


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Introduccin

El estado de esfuerzos internos en un disco sometido a cargas diametrales presenta una distribucin muy compleja que vara notablemente en funcin del tipo de carga aplicada; a partir de una representacin en relieve, la figura 1 muestra, a manera de ejemplo, la variacin del campo de esfuerzos en un disco acrlico sometido al incremento de la carga puntual diametral y controlado mediante un ensayo de fotoelasticidad. El descubrimiento de la tcnica de fotoelasticidad se debe a sir David Brewster en 1816, quien observ que cuando una pieza de vidrio cargada

es iluminada mediante luz polarizada, aparece un patrn de colores causado por los esfuerzos que hay en la pieza.

p1

p1

p2

p2

p3

p3

p4

p4

Figura 1. Variacin en el estado de esfuerzos para p1 < p2 < p3 < p4Fuente: Bahamon y Vesga (2012).

Los anlisis tericos de la distribucin de los esfuerzos en este problema han tenido diversas propuestas de soluciones a partir de la mecnica de materiales. Basados en la teora de elasticidad, Timoshenko y Goodier (1970) presentan la solucin analtica para la determinacin de los esfuerzos internos dentro de un disco circu lar de dimetro d y de un espesor unitario, sometido a la accin de dos fuerzas con-centradas iguales de magnitud P pero de sentido contrario, y que actan a lo largo del dimetro vertical de la muestra; la solucin planteada se trabaja en coordenadas cartesianas como se indica en la figura 2.


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M

C n

A

B

D x

y

r11

r

d

P

P

Figura 2. Esquema de carga para disco sometido a dos fuerzas iguales y opuestas P

Fuente: Timoshenko y Goodier (1970).

Como resultados principales de la solucin planteada en ese trabajo se encuentra que los esfuerzos a lo largo del dimetro horizontal tienen la siguiente magnitud:

pi

pi ( )= = +

Pd

Pd

d

d x

2;

21

4

4x y

4

2 22

(1)

Adems se demuestra que el valor de x es constante a lo largo del dimetro CD, y que el y en el centro del disco alcanza un valor mximo de:

pi

=Pd

6y (2)

Por tanto, en el centro del disco se obtiene que la magnitud para los esfuerzos principales es igual a:

pi

pi

= = =Pd

Pd

Pd

2;

6;1 2 (3)

Por esta razn, el valor terico del esfuerzo en el centro del disco, dado por (x x)/, equivale a 8/, es decir, 2,546, valor que ha sido ampliamente demostrado


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por diversos mtodos experimentales como en el trabajo de Durelli (Timoshenko y Goodier, 1970), en el cual por los mtodos de fotoelasticidad y de Moir se obtiene un valor para (x x)/ = 2,4, muy aproximado al terico; sin embargo, tambin se reporta que el esfuerzo en el centro puede ser sensiblemente afectado por la distribucin de la fuerza P en las pequeas reas de contacto durante el ensayo.

Dada la geometra circular del problema, y limitndolo a un estado plano de esfuer-zos, muchas de las soluciones se han planteado en trminos de un anlisis en un campo de coordenadas polares r, . La definicin de los esfuerzos en un elemento infinitesimal de un cuerpo en coordenadas polares la expresan con precisin Chou y Pagano (1967), y se ilustran en la figura 3.

FeFr

d r

d

+

d2

+

d2r

r

+r

dr2r

r

+

r

dr2r

r

rdr

2r

r

d

2r

r

d

2

rdr

2r

r

d

2

rdr

2

Figura 3. Esfuerzos en un elemento en coordenadas polares

Fuente: Chou y Pagano (1967).

Si se asume que la dimensin del elemento en la direccin z es unitaria, con aproxi-maciones de ngulos muy pequeos, y finalmente se desprecian las fuerzas de cuerpo Fr=F=0, las ecuaciones de equilibrio del elemento infinitesimal en las dos direcciones principales son:

+

+

+

+

=

r r r r r r1

cos 1

2 sin 0r r r r r (4)

Para las direcciones principales la ecuacin 4 toma la siguiente forma:


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+

+ = =r r r

para1

0 0r t r

pi

+

+ = =r r r

para1

2 0 2r r (5)

En la ecuacin de equilibro 5, la primera parte corresponde a la ecuacin de equi-librio en la direccin radial, y la segunda parte, a la tangencial.

Las soluciones hasta ahora consideradas son propuestas netamente tericas, pues en los casos anteriores se parte del supuesto de una solucin en un estado plano de esfuerzos, es decir, bidimensional. La practicidad de poder conocer el estado de esfuerzos dentro del disco sometido a carga radica, entre muchos otros casos, en poder determinar parmetros de resistencia del material. En la actualidad, bajo esta premisa se han desarrollado mltiples ensayos de caracterizacin de materiales para diversos sectores, desde la industria farmacutica en el estudio de medica-mentos con forma de pastilla para determinar su resistencia durante los procesos de produccin y de almacenamiento, pasando por todos los materiales para la industria de la construccin y, en el caso particular de la mecnica de rocas, para desarrollar pruebas rpidas, sencillas de realizar y de bajo costo que permitan co-nocer la resistencia a la traccin de la roca intacta.

Uno de los ms aplicados en este aspecto es el denominado ensayo de traccin indi-recta o brasilero (figura 4) desarrollado a mediados del siglo XX, simultneamente pero de forma independiente, por los cientficos Carneiro de Brasil y Akazawa de Japn (Ma y Hung, 2008); por definicin, la resistencia a la traccin se obtiene por

el ensayo de traccin uniaxial directa, pero este ensayo tiene determinado grado de dificultad en su aplicacin; de esta manera, la determinacin de la traccin indirec-ta es ms prctica en temas de operacin y de costo, y es uno de los ensayos ms simples en la mecnica de rocas, la fractura diametral que se produce en el espci-men es producida por la carga aplicada en un rango determinado (ISRM, 2010).

A manera de resumen se puede establecer que para el ensayo brasilero se requiere que la mquina de carga se ajuste a los requerimientos de la norma ASTM E-4; los bloques de contacto entre espcimen y celda de carga deben asegurar un ngulo de falla entre los 10 y 15, y la longitud de contacto del arco de carga no debe su-perar el valor de D/6, siendo D el dimetro de la muestra (numeral 5.2.2, ASTM


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D3967-08), o se debe asegurar un ngulo de falla que no supere los 10 (numeral 1, parte 2. ISRM Doc. 1978).

El espcimen de ensayo debe tener un dimetro mnimo correspondiente al de una broca de perforacin serie nX, con una muestra efectiva de 54 mm (numeral 3, parte 2. ISRM Doc. 1978) y con una relacin de espesor sobre dimetro (t/D)

entre 0,2 y 0,75 (numeral 7.1, ASTM D3967-08).

La aplicacin de carga se realiza con una velocidad controlada de 200 n/s (nu-meral 3(e), parte 2. ISRM Doc. 1978) o con un control por esfuerzos entre 0,05

y 0,35 MPa/s para una duracin de ensayo entre 1 y 10 min (numeral 8.3, ASTM

D3967-08). El valor de la resistencia a la traccin del espcimen en MPa puede

ser calculado como:

( )= PDt

Numeral Parte ISRM Doc0,636

4. 2. .1978t

Machine Platen

Machine Platen

False Platen

False Platen

Specimen

Figura 4. Montaje del ensayo brasilero

Fuente: ASTM, D3967 (2008).


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pi

( )= PLD

Numeral ASTM D2

9.1. 3967 08t (6)

El estado de esfuerzos que experimentan los especmenes bajo las caractersticas de un ensayo brasilero ha sido estudiado de manera terica por diversos investi-gadores por largo tiempo, con el fin de poder relacionar la carga que produce la falla del disco con la verdadera resistencia del material a la traccin. En el trabajo de Ye, Wu, Zhang y Ji (2012) se presenta la solucin analtica para los estados de esfuerzos y deformaciones dentro del espcimen de disco en un ensayo brasi-lero con el supuesto de aplicacin de cargas concentradas. La solucin se trabaja en coordenadas cartesianas y los resultados tericos en este estudio son comparados con dos series de pruebas experimentales; dentro de las conclusiones se plantea que en algunos casos existen grandes discrepancias entre los clculos tericos de deformaciones dentro del espcimen y los registrados en las pruebas experi-mentales, y se establecen algunos lmites respecto a en cules condiciones existe correspondencia con las pruebas experimentales.

La usual idealizacin de que la fuerza de compresin aplicada durante el ensayo brasilero trabaja como una carga concentrada ha sido cuestionada desde hace tiempo, y se sabe por la prctica ingenieril y experimental que durante el ensayo brasilero en realidad la carga se aplica en un rea de contacto. Por lo anterior se han desarrollado intensos trabajos tericos y experimentales que permiten avanzar en determinar el estado interno de esfuerzos del disco durante la prueba, bajo la hiptesis de diferentes tipos de distribucin de la carga (figura 5).

Ma y Hung (2008) presentan en su trabajo un anlisis numrico a partir de la so-lucin terica del estado de deformaciones del disco, bajo el supuesto de una carga uniformemente distribuida sobre un rea de carga que vara entre 0 < 0 < 60. La complejidad de poder plantear una respuesta analtica al problema ha llevado a al-gunos investigadores a formular alternativas incluso en la geometra del problema, un ejemplo de lo anterior se presenta en el trabajo de Wang et al. (2004) en el cual los autores proponen un corte plano en las dos caras del disco para garantizar la uniformidad de la carga aplicada; en apariencia, el cambio en la geometra del disco mejora ligeramente las aproximaciones tericas con las pruebas experimentales; sin embargo, esta propuesta complica el ensayo debido al incremento en el tiempo de preparacin de la muestra y a que en la prctica se pueden deteriorar las muestras y aumentar el costo del ensayo.


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Markides et al. (2010) avanzan en un anlisis terico del estado de esfuerzos para el disco brasilero sometido a carga distribuida radial, trabajando sobre la geome-tra original del disco circular. Al comparar los resultados tericos con una serie de pruebas experimentales con lectura de deformaciones de los especmenes se vuelven a poner de manifiesto las inconsistencias en los resultados; algunas de las ms importantes tienen que ver con que el modelo terico entrega resultados de la concentracin de los esfuerzos mximos nuevamente en el eje vertical del es-pcimen, por donde se esperara la fractura del material por superar su resistencia a la traccin; sin embargo, las pruebas experimentales muestran que en el caso particular estudiado las muestras se fracturaron tambin al final de la zona cargada, como se observa en la figura 6.

Figura 6. Fallas tpicas en un ensayo brasilero con 0 = 10

Fuente: Markides et al. (2010).

t2y

x

w

uniform loading

parabolic loading

point loading

O

Pdev

0 0

t1

P0PdevW

P02R0

piP

KR

3

320

Figura 5. Distribucin de cargas en diferentes estudios tericos

Fuente: Markides et al. (2012a).


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En sus conclusiones los autores vuelven a validar que el ensayo brasilero no es un mtodo recomendable para medir la resistencia a la traccin del material, pe-ro que dada la simplicidad del ensayo y con determinada estandarizacin en las dimensiones puede contribuir en la clasificacin mecnica de la roca. Dentro de las conclusiones del mismo trabajo los autores exponen que los resultados entre la solucin terica y las pruebas experimentales desarrolladas son, en general, satisfactorios en casi todo el espacio del disco, a excepcin de los puntos muy cer-canos a la zona cargada; adicionalmente establecen que en la prctica la inevitable inclinacin de los ejes de carga respecto a los planos del contorno del espcimen introducen discrepancias adicionales en la veracidad de los planos de esfuerzos y deformaciones asumidas en el anlisis terico.

Uno de los grandes avances en la solucin terica del problema planteada en la propuesta de Markides et al. (2010) fue la de dividir o condicionar el anlisis del estado de esfuerzos dentro del disco en dos zonas, as: la zona I para puntos del disco dentro o por debajo del rea cargada, y la zona II para puntos del disco por fuera del rea de carga; para cada una de las dos zonas las ecuaciones para determinar los esfuerzos dentro del disco son condicionadas mediante una serie de argumentos matemticos expuestos tambin por los autores en su trabajo.

Los mismos autores presentan una nueva solucin en su trabajo The Brazilian disc under non-uniform distribution of radial pressure and friction (Markides et al., 2012), en esa propuesta introducen varios conceptos importantes para mejorar los resul-tados tericos y experimentales. El esquema de clculo terico propuesto en esa solucin se indica en la figura 7.

Entre los nuevos conceptos se destaca el cambio en la distribucin de la carga aplicada, p, que vara de magnitud desde un mximo en el punto central en la po-sicin del eje vertical del disco y decrece de forma sinusoidal y radial hasta cero en los extremos del rea de carga, tambin se introduce una fuerza de friccin T no uniforme que acta en el rea de carga. La solucin propuesta en forma de una serie robusta de ecuaciones parte de los siguientes supuestos:

a) El problema es completamente simtrico; por tanto, el anlisis se realiza para el primer cuarto de circunferencia.


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b) Se realiza la diferenciacin de las dos zonas de anlisis propuestas en su trabajo anterior, estas son determinantes para la seleccin correcta de los parmetros de condicin de las ecuaciones.

c) Para la determinacin de los esfuerzos se toma un valor de radio r y un ngulo de direccin . Por tanto, el resultado quedar en trminos de coordenadas polares.

d) Las ecuaciones se basan en relaciones trigonomtricas que solo actan como un factor amplificador para el trmino c/2, donde c equivale al valor en uni-dades de esfuerzo de la mxima carga pmax en el rea cargada relacionada con el ngulo 0 y se calcula a partir de la ecuacin 7.

R

x

y

L

t2 t1

t3 t4

I

IIz=re

O

rr

0

r

(+)

i

iR

-iR

T()

p()

p()

T()(+)

(-)

(-)

r

0

(+)

pmax

Figura 7. Esquema de clculo y definicin de smbolos en el anlisis terico del ensayo de disco brasilero bajo compresin sinusoidal p y friccin T

Fuente: Markides (2012).


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=c

P

sin 90 cosmax

0

(7)

Dentro de las principales conclusiones de la solucin planteada (Markides et al., 2012) se destaca que el estado de esfuerzos en la parte central del disco se com-porta de manera similar al estado de esfuerzos para un disco sometido a una carga distribuida radial pero en el contorno y puntos prximos al rea de carga cambian drsticamente. El hecho de introducir la fuerza de friccin produce cambios im-portantes en el estado de esfuerzos en las proximidades de la zona de aplicacin de la carga; sin embargo, hacia el interior del disco su incidencia se hace despreciable.

Adems se resalta que en el clculo general la introduccin de la friccin amplifica notablemente el estado de esfuerzos cerca de los arcos cargados, lo cual debe ser tema de mayor investigacin, ya que en pruebas experimentales se ha observado que este incremento no se produce en la realidad debido a la microfracturacin perifrica del disco en los arcos cargados.

Por lo anterior, en la presente investigacin se realiza un anlisis del componen-te p de la carga y no se considera el componente de friccin T, y en los anlisis de resultados se considera esta simplificacin, por tanto, de acuerdo con las con-diciones mencionadas, las ecuaciones para determinar el campo de esfuerzos del disco debido a la accin de la carga o presin externa sinusoidal y radial p, y que se relacionan con los valores de esfuerzo rr, y r para cualquier punto al interior del disco son:

En la ecuacin 8 los trminos contenidos dentro del indicador deben interpre-tarse de la siguiente forma: el trmino superior se usa para determinar el compo-nente de esfuerzo rr, y el inferior para evaluar el componente ; de igual manera, el signo superior dentro del smbolo se usa para calcular el componente rr, y el inferior para .


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s rrqq

p q( )=c2p

4w0 cosw0 +

R2 r2( )2

2Rr3

3r4 2R2r2 R4

2Rr3

*cosq lnR2+ r2 2Rr sin q w0( )R2+ r2 2Rr sin q+w0( )

lnR2+ r2+2Rr sin q w0( )R2+ r2+2Rr sin q+w0( )

+

r4 +4R2r2 R4

2Rr3

3r4 +R4

2Rr3

sinq 2cosw0

arg t1 z( ) arg t2 z( )

r4 +4R2r2 R4

2Rr3

3r4 +R4

2Rr3

sinq 2cosw0

arg t1 z( ) arg t2+ z( ) +R2 r2

rr2 cos2q R2

2Rr+cosw0 sinq

*

Rsinw0 r cosJ

R2+ r2 2Rsin q+w0( )+

Rsinw0 r cosJ

R2+ r2 2Rsin q+w0( )

r sin2q2R

cosw0 cosq

Rcosw0 r sinq

R2+ r2 2Rsin q+w0( )+

Rcosw0 r sinq

R2+ r2 2Rsin q w0( )

+

r2 cos2q R2

2Rr cosw0 sinq

*

Rsinw0 + r cosq

R2+ r2+2Rr sin q+w0( )+

Rsinw0 + r cosq

R2+ r2+2Rr sin q w0( )

r sin2q2R

+cosw0 cosq

Rcosw0 r sinq

R2+ r2+2Rr sin q+w0( )+

Rcosw0 r sinq


(8)

trqp q( ) =

c2p

R2 r2( )2

2Rr3*sinq ln

R2+ r2 2Rr sin q w0( )R2+ r2 2Rr sin q+w0( )

lnR2+ r2+2Rr sin q w0( )R2+ r2+2Rr sin q+w0( )

+r4 R4

2Rr3cosq

arg t2 z( )

arg t1 z( ) arg t2+ z( )+arg t1+ z( )R2 r2

rr2 cos2q R2

2Rr+cosw0 sinq

*

Rcosw0 + r sinq

R2+ r2 2Rr sin q+w0( )

+

Rcosw0 r sinq

R2+ r2 2Rr sin q w0( )

+

r sin2q2R

cosw0 cosq

Rsinw0 r cosq

R2+ r2 2Rr sin q+w0( )

Rsinw0 r cosq

R2+ r2 2Rr sin q w0( )

+

r2 cos2q R2

2Rr

cosw0 sinq)*Rcosw0 r sinq

R2+ r2+2Rr sin q+w0( )+

Rcosw0 + r sinq


+

r sin2q2R

+cosw0 cosq

Rsinw0 + r cosq

R2+ r2+2Rr sin q+w0( )

+

Rsinw0 + r cosq

R2+ r2+2Rr sin q+w0( )

(9)

La utilizacin de las dos zonas de anlisis requiere el uso de una serie de argumen-tos, tambin definidos como relaciones trigonomtricas. Los argumentos en las zonas I y II se expresan en el sistema de ecuaciones 10:


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Argumentos de la zona 1: Argumentos de la zona 2:

pi

pi

( )( )( )( )

=

+ =+

+

=

+

+ =+

t zR r

R r

t zR r

R rcon

t zR r

R r

t zR r

R r

arg arctancos sin

sin cos

arg arctancos sin

sin

arg arctancos sin

sin cos

arg arctancos sin

sin cos

10

0

10

0

20

0

20

0

( )( )( )( )

= +

+ =+

+

=

+

+ =+

pi

pi

t zR r

R rt

t zR r

R r

t zR r

R r

t zR r

R r

arg arctancos sin

sin cos

arg arctancos sin

sin cos

arg arctancos sin

sin cos

arg arctancos sin

sin cos

10

0

10

0

20

0

20

0

(10)

La gran ventaja de esta solucin radica en el hecho de que los intensos gradientes de esfuerzos que aparecen cerca de los extremos cargados cuando se considera una carga distribuida radial son eliminados, aproximndose mucho ms a los compor-tamientos naturales durante las pruebas experimentales.

Con todo el material hasta aqu expuesto se hace evidente que el problema estu-diado sigue siendo muy complejo y una aproximacin terica se debe mejorar a partir de otros mtodos de investigacin que tambin han puesto de manifiesto la sensibilidad que tiene el tipo y la distribucin de la carga aplicada, y su efecto sobre el estado de esfuerzos dentro del disco.

Se han llevado a cabo estudios de la incidencia del aumento progresivo del rea de contacto de la carga utilizando el Mtodo de Elementos Finitos (FEM), entre estos el realizado por Yu, Zhang y Zhang (2008), donde se muestra una variacin

del arco de contacto, con un ngulo de falla de 20. Esta propuesta surge a partir de las crticas dadas al ensayo de traccin indirecta desde el ao 1964, porque el

valor de resistencia obtenido a la traccin es ms bajo que el valor verdadero que se tiene a partir de un modelo con una relacin dimetro/espesor de 0,2 (Fairhurst, 2007). Estos estudios mostraron los siguientes resultados: la comparacin entre los resultados de traccin directa, traccin indirecta tradicional y el ensayo modi-ficado a longitud de contacto de arco de 20 muestra que el valor de resistencia a traccin dado por el ensayo a 20 es menor que el valor de resistencia a traccin que se obtiene al realizar pruebas de traccin directa y brasilero tradicional, y que a partir de la modelacin con elementos finitos y los resultados de ensayo se en-cuentra una disminucin notable de los valores de esfuerzo a traccin en el campo de esfuerzos, debido a la presencia y el aumento de los esfuerzos a compresin en ciertas regiones de la muestra.


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El estudio del comportamiento de este tipo de especmenes en el ensayo brasilero mediante la modificacin del arco de contacto de carga tambin fue estudiado recientemente por Erarslan y Williams (2011), quienes motivados por las incon-sistencias del ensayo brasilero con respecto a los verdaderos valores de resistencia a la traccin y las recomendaciones realizadas por la ISRM (2010) para la ejecu-cin de este tipo de pruebas en materiales rocosos, analizaron la variacin de los siguientes ngulos de carga 0: 15, 20 y 30. La realizacin de un solucin analtica bsica, la utilizacin de una modelacin tipo FEM y la ejecucin de ensayos de laboratorio permitieron la comparacin de los ensayos realizados con el tradicional ensayo brasilero. La investigacin base se realiz con especmenes de areniscas y granito. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: para 0 de 15 los valores de resistencia de esfuerzo a la traccin son los ms bajos, para 0 de 20 y 30 los valores de traccin aumentan escalonadamente pero sin superar el valor de trac-cin obtenido mediante el brasilero tradicional; de la misma manera, los autores sugieren que la disminucin notable de los esfuerzos a traccin es causada por la presencia de esfuerzos a compresin que se hacen mayores en el contorno de la muestra y en la mayora de su zona perifrica.

A partir de la solucin propuesta por Markides et al. (2012) con su nueva distribu-cin de carga aplicada p, en el presente artculo se muestra la investigacin analtica que se realiz con el propsito de estudiar el estado de esfuerzos internos de un disco de dimetro aproximado a 47,60 mm, que en la prctica correspondera a

especmenes de roca recuperados con una broca de perforacin tipo nQ. Como objetivos del estudio se plantearon, en primer lugar, estudiar la incidencia en el estado tensional dentro del disco por la variacin de la longitud de los arcos de contacto de la carga aplicada y, adicionalmente, determinar si existe un valor para 0 en el que hay una condicin primordial de compresin dentro del material.

Metodologa

Para alcanzar los dos objetivos planteados se realiza una investigacin de tipo nu-mrico experimental basada en las ecuaciones (8), (9) y (10), las cuales entregan

las magnitudes del campo de esfuerzos en sus tres componentes: rr, y r para cualquier punto en el interior del disco. Como constantes se han establecido: la geometra del disco caracterizado por su radio R = 23,5 x 10-3 m, radio que corres-ponde a una muestra recuperada con una broca de perforacin nQ; la magnitud


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del esfuerzo aplicado c = 50 MPa, valor que corresponde a los esfuerzos admisibles a compresin de una roca de resistencia media.

Entre tanto, se ha fijado como variable la distribucin de la carga en el permetro de la muestra en trminos del ngulo interno 0 medido desde el centro del disco y que barre los lmites del rea cargada. Se han establecido cinco valores de variacin de 0, as: carga concentrada, 7,5, 15, 30 y 45. Dada la magnitud del trabajo de clculo se opt por desarrollar tres programas sencillos en lenguaje Fortran para el clculo de los esfuerzos. La interpretacin visual de los resultados se llev a cabo mediante imgenes tipo relieve construidas con una herramienta CAD.

Definicin del algoritmo de programacin

Una vez determinadas las constantes y variables fundamentales de los clculos de los esfuerzos, se establece el algoritmo de programacin que se muestra en la figura 8.

Con el fin de organizar y simplificar los clculos se seccionaron las ecuaciones (8)

(9) y (10) y se definieron los siguientes tres factores:

Factor A: factor multiplicador con variables trigonomtricas y logartmicas antes de los argumentos de la zona analizada.

Factor B: factor multiplicador en el cual se tienen en cuenta los argumentos de la zona analizada.

Factor C: factor multiplicador con variables trigonomtricas despus del factor en el cual se tienen en cuenta los argumentos de la zona analizada.

Se estableci adems la geometra del campo de esfuerzos por calcular, por me-dio de un mallado en coordenadas polares que definen los puntos en donde se calculan las tres componentes del esfuerzo: rr, y r. En la figura 9 se presenta la distribucin geomtrica para el clculo. El radio de la muestra R se divide en 10 segmentos y cada cuadrante en 8 sectores de 12,5 cada uno, lo que genera una

malla de 11 valores de r y 9 valores para que producen 91 puntos de clculo de las tres componentes de esfuerzos, es decir, 273 clculos para cada valor de 0, con un total de 1365 clculos para las cinco variaciones de 0.


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InICIO

Declaracin de variables

Asignacin de los datos de entrada en datosd.txt: diam,

anca, ac, pmax, divr, divt

Asignacin de variables: Pi= atan(a)*4 radio= diam/2dr= radio/divrdt= pi/divtpz= radio*sin (anca*pi/180)ac= anca* pi/180

Asignacin del factor A, B y C

Asignacin del factor A, B y C

Asignacin del orden de la matriz de resultados

Asignacin del nombre del archivo de salida

Asignacin de las filas calculadas en el archivo

de salida

1

I= 0Cont= 0

Do while (i


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Desarrollo del programa

Debido a la extensin de los clculos se generaron tres subprogramas, uno para cada componente de esfuerzo en coordenadas polares (r, ), a estos se les denomin de la siguiente manera: radiales rr.f95, calculan la magnitud del componente de esfuerzo radial rr; normales thth.f95, calculan la magnitud del componente de esfuerzo normal ; cortantes rth.f95, calculan la magnitud del componente de esfuerzo cortante r. La nomenclatura de las variables generales que se usaron en cada programa se presenta en la tabla 1.

Tabla 1. Definicin de las variables de programacin

Nomenclatura Definicin Nomenclatura Definicin

divr Divisiones de radio dt ngulo de ubicacin (grados)

divt Divisiones de ngulo dr Radio de ubicacin (mm)

ndat nmero de datos n Valor igual a 1, clculo de atan

i, j, k, l, m Contadores para bucles pi Valor de pi: 3.14159

cont Contador ti ngulo de anlisis

zona Zona evaluada ri radio de anlisis

diam Dimetro de la muestra compara Condicional

anca ngulo de carga (radianes) coor Tamao de la matriz

ac ngulo de carga (grados) nththc Esfuerzos normales por carga (MPa)

pmax Esfuerzo mximo aplicado (MPa) nrrcEsfuerzos radiales rr por carga (MPa)

radio Radio de la muestra (mm) crthc Esfuerzos cortantes r por carga (MPa)

Debido a que Fortran no permite establecer lneas demasiado extensas, cada una de las ecuaciones se segment en partes, y estas partes se dejaron establecidas como trminos ms cortos que la expresin original, aunque finalmente se determina el valor de cada esfuerzo operando dichos trminos. En la figura 10 se muestra un ejemplo de la nomenclatura utilizada en dichas partes de las formulaciones, en donde las tres primeras letras del nuevo trmino de programacin indican el tipo de esfuerzo y direccin que se est evaluando.


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esfuerzodireccin

(rr)divisin primaria

divisin secundaria

carga

Figura 10. Definicin de la nomenclatura de las variables de esfuerzos

Para las divisiones primaria y secundaria se asigna una letra cuando hay un trmino con muchas operaciones, se asigna un nmero a cada una de las operaciones, tal como se describe a continuacin a manera de ejemplo en una parte de la formu-lacin de Markides:

( ) ( )+

+ ++

+

+

Rcos rsin

R r Rrsin

Rcos rsin

R r Rrsin

r cos RRr

cos sin

2 2

2 2

02 2

0

02 2

0

2 2

0

(nrrci5) (nrrci6) (nrrci7)

( ) ( )+

+ + ++

+ +

+

Rsin rcos

R r rsin

Rsin rcos

R r rsin

rsinR

cos cos2 2

2

20

2 20

02 2

00

(nrrci8) (nrrci9) (nrrci10)

( ) ( )+ + + + + +

Rcos rsin

R r Rsin

Rcos rsin

R r Rsin

2

2 0

2 20

02 2

0

(nrrci11) (nrrci12)

Figura 11. Definicin de los trminos de la ecuacin en el lenguaje de programacin

En las lneas 158 a 168 del programa radiales rr.f95 se tiene la evaluacin de cada

parte, as:

158 nrrci5=((-radio*cos(ac))+(ri*sin(ti)))/(((radio**2)+(ri**2)-(2*radio*ri*sin(ti+ac))))159160 end if161

162 nrrci6=((radio*cos(ac))-(ri*sin(ti)))/((radio**2)+(ri**2)-(2*radio*ri*sin(ti-ac)))163 nrrci7=((((ri**2)*(cos(2*ti)))-(radio**2))/(2*radio*ri))-(cos(ac)*sin(ti))164 nrrci8=((radio*sin(ac))+(ri*cos(ti)))/(((radio**2)+(ri**2)+(2*radio*ri*sin(ti+ac))))165 nrrci9=((radio*sin(ac))-(ri*cos(ti)))/(((radio**2)+(ri**2)+(2*radio*ri*sin(ti-ac))))


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166 nrrci10=((ri*sin(2*ti))/(2*radio))+((cos(ac))*(cos(ti)))167 nrrci11=((-radio*cos(ac))-(ri*sin(ti)))/(((radio**2)+(ri**2)+(2*radio*ri*sin(ti+ac))))168 nrrci12=((radio*cos(ac))+(ri*sin(ti)))/(((radio**2)+(ri**2)+(2*radio*ri*sin(ti-ac))))

Finalmente se hacen las operaciones correspondientes, como la que aparece en la lnea 169 del mismo programa:

169 nrrci=(nrrci5+nrrci6))+(nrrci7*(nrrci8+nrrci9))-(nrrci10*(nrrci11+nrrci12))

Las lneas de programacin reflejan los diferentes trminos y operadores que se utilizan para el clculo de los esfuerzos, y tambin las condicionales y rdenes del lenguaje base utilizado. Los tres programas para el clculo del estado de esfuerzos del componente de carga p dentro de un disco no compresible sometido a una carga no uniforme de tipo sinuosoidal han sido publicados en la versin electrnica de esta revista y se pueden descargar libremente en el sitio: http://revistas.lasalle.edu.co/index.php/ep/issue/view/50.

Resultados

Los resultados de los programas son entregados en formato .txt en intensas listas de resultados, como se observa en la figura 12.

Figura 12. Resultados crudos de los clculos por programacin


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La informacin de los archivos de texto se proces para ser presentada como un conjunto de tres imgenes construidas con la herramienta CivilCad3D (versin metrix) tomando para cada coordenada calculada (r, ) el valor de las magnitudes de esfuerzos como elevaciones; las imgenes obtenidas se muestran en la figura 13. Esta distribucin de esfuerzos representa los valores de traccin y compresin para diferentes ngulos de carga, las magnitudes se representan en una escala de color

-50.0000-0.00390.00000.00090.00390.01200.04290.2030

1.089

-411.923-15.659

-0.8410.0129

0.1250.5741.3394.851

403.593

-795.296-29.923

-1.5120.0670.3122.1884.779

10.817779.646

-1374.44-35.795

-2.9680.1581.1468.095

16.68723.924

1350.74

-1582.01-29.886

-4.4600.2412.886

12.51032.18842.228

1563.03

rr

0=0

0=7,5

0=15

0=30

0=45

r Escala (MPa)

Figura 13. Estado de esfuerzos en un disco indeformable. R = 23,5 mm, c = 50 Mpa


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con los valores de los lmites superior e inferior de cada zona; todos los valores se en-cuentran en MPa debido a que la presin externa aplicada corresponde a c=50MPa.

Anlisis de resultados

En trminos generales los resultados muestran un comportamiento del estado de esfuerzo en correspondencia con la discusin previa de la introduccin, en particular se destaca que en los puntos prximos al centro del disco r0 y en los puntos del permetro cercanos al arco de carga, es decir, con una condicin de 0 0, se tienen esfuerzos rr y extremadamente magnificados; entre tanto, el com-portamiento del esfuerzo cortante r es confiable para todo el disco, por ejemplo, para 0 = 45 existen esfuerzos mximos calculados de rr = 1563,03 Mpa y de = -1582,01 localizados en el centro del disco, tambin existen esfuerzos de traccin

cercanos a los mximos valores calculados de 1500 Mpa, tanto para rr como para el componente en los puntos donde termina el arco de carga en el disco. Estos picos extremos son resultado propio de las condiciones algebraicas de la solucin en las fronteras del espacio de clculo.

Para un adecuado anlisis de los resultados se debe, por tanto, depurar inicialmen-te los datos considerando los puntos particulares descritos anteriormente donde se excede el valor normal de la magnitud del esfuerzo, que en teora deben ser de magnitud similar al esfuerzo mximo aplicado de c = 50 Mpa. Para tal fin, y de acuerdo con lo propuesto por Chen, Pan y Amadei (1998) y Jianhong, Wu y Sun

(2008), la representacin de la distribucin de esfuerzos puede realizarse a partir

de lneas de un mismo nivel de esfuerzo como se muestra en la figura 14 y donde no se registran los picos magnificados del clculo.

Una vez obtenidos los estados depurados de esfuerzos, se pueden observar las va-riaciones por cada componente de esfuerzos en relacin con un aumento del arco cargado 0; en trminos generales, con respecto a los componentes de esfuerzo rr y se aprecia que la variacin del estado de esfuerzos para el componente rr dentro de la zona central del disco aumenta en aproximadamente 10 veces pero se man-tiene en condiciones de traccin; entre tanto, la variacin del estado de esfuerzos para el componente aumenta pero en menor proporcin, en aproximadamente solo dos veces, mantenindose el estado a compresin para este componente.


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rr

0=7,5

0=15

0=30

0=45

r

MPa

Figura 14. Estado de esfuerzos en un disco indeformable. R = 23,5 mm, c = 50 Mpa

Con relacin al esfuerzo cortante r se puede observar una variacin de la distri-bucin pero que en general se mantiene en magnitudes muy pequeas, y a lo largo del eje vertical del disco son cercanas a cero. En detalle, la figura 15 muestra en el cuadrante indicado del disco la variacin del esfuerzo radial para los diferentes ngulos de carga.


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Rad

io (m

m)

Esfuerzo Radial (MPa)

20

25

15

10

-60 -40 -20 0 20 40 60

5

0

Esfuerzos Radiales Mximos (rr)

0=0 0=7,5 0=15 0=30 0=45

P0

(0, 0)

R

Figura 15. Variacin de los esfuerzos rr mximos en relacin con el valor de 0

La figura 15 permite observar que para todos 0 > 0 se presenta un cambio en el estado de esfuerzos de traccin a compresin en aproximadamente r 0,6 R. El rango de valores extremos de tensiones se tiene en cercanas al centro r 0 del disco para 0 = 30 con 22 Mpa, y el mayor para 0 = 7,5 con 39 Mpa; entre tanto, en el lado de compresiones el rango de los valores extremos de esfuerzo se localizan en r R para 0 = 7,5, el mayor con -49 Mpa y el menor para 0 = 45 con 39 Mpa, se destaca que el mximo esfuerzo de traccin se reduce en el centro a medida que se aumenta el valor de 0 llegando a un mnimo para 0 = 30 y vuelve a aumentar para el caso de 0 = 45. La menor relacin de esfuerzos de traccin-compresin se alcanza para 0 = 30, con un valor de

trr/

crr 0,6. En la figura 16 se expone la

variacin del esfuerzo normal en el cuadrante indicado del disco para los diferentes ngulos de carga.

La figura 16 muestra un comportamiento proporcional entre el aumento del valor

de 0 y el incremento en el valor del esfuerzo mximo a compresin en r 0. Pa-ra 0 = 0 con -1,1 Mpa y el mayor para 0 = 45 con -57 Mpa. Entre tanto, para los puntos cercanos al permetro r R el comportamiento es inversamente propor-cional, donde se tiene que para 0 = 0 el mayor con -50 Mpa y el menor para 0 =


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45 con -20 Mpa. En la figura 16 tambin se evidencia que para 0 = 30 se tiene el mayor grado de compresin en el disco. La figura 17 presenta los bajos niveles de esfuerzos cortantes r que se producen en el disco; nuevamente se observa que en los puntos hacia el interior del disco por dentro del valor r 0,6 R se presentan las mayores variaciones del esfuerzo cortante.

Esfuerzo normal (MPa)

0=0 0=7,5 0=15 0=30 0=45

Rad

io (m

m)

20

25

15

10

-60 -40 -20 0 20

5

0

Esfuerzos normales Mximos ()

P0

(0, 0)

R

Figura 16. Variacin de los esfuerzos mximos en relacin con el valor de 0

Del anlisis anterior se destacan las condiciones de traccin que se presentan en el componente radial del esfuerzo; as mismo, que en el componente normal pre-valece la condicin a compresin del material y que el componente del esfuerzo cortante es variable pero de valores bajos de magnitud. En este orden de ideas, bajo las condiciones establecidas en el presente estudio, la mejor condicin de esfuerzos a compresin prevalece en el material del disco cuando se tiene una carga aplicada p en un arco de valor 0 = 30.


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Esfuerzo Cortante (MPa)

0=0 0=7,5 0=15 0=30 0=45

Rad

io (m

m)

20

25

15

10

-6,E-05 -4,E-05 -2,E-05 0,E+00

5

0

Esfuerzos Cortantes Mximos (r)

P0

(0, 0)

R

Figura 17. Variacin de los esfuerzos r mximos en relacin con el valor de 0

Conclusiones

Con base en el desarrollo y el anlisis de resultados se destacan las siguientes con-clusiones:

La propuesta analtica base utilizada (Markides et al., 2012) para la solucin del problema de determinar el estado de esfuerzos internos en un disco sometido a una carga diametral presenta un adecuado resultado de la magnitud y distribucin de los esfuerzos en el interior del disco, sin embargo, se hace necesaria una depura-cin de datos puntuales en determinadas zonas donde hay una magnificacin del valor del esfuerzo, principalmente en el centro del disco y en puntos cercanos al permetro que se encuentran en carga, sobre todo en los puntos extremos del arco de carga.

El desarrollo de la etapa de programacin es simple y permite a cualquier usuario hacer uso adecuado de los programas que aqu se muestran. La presentacin de


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los resultados por medio de imgenes con el valor de las magnitudes de esfuer-zos, como elevaciones en el disco, generan visualizaciones en 3D que facilitan la localizacin y la depuracin de los valores magnificados de los esfuerzos. Para futuros trabajos se sugiere a los potenciales usuarios de los programas aqu desa-rrollados implementar la fase de generacin de las imgenes en 3D dentro de cada programa.

Con relacin a los objetivos de investigacin planteados se puede concluir que existe una clara incidencia en el estado tensional dentro del disco por la variacin de la longitud de los arcos de contacto de la carga aplicada; con respecto a este punto se determin que en el rango de variacin de 7,5 < 0 < 45 la variacin del estado de esfuerzos para el componente rr dentro de la zona central del disco aumenta aproximadamente 10 veces pero se mantiene en condiciones de traccin; entre tanto, se aprecia que la variacin del estado de esfuerzos para el componente aumenta pero en menor proporcin, en aproximadamente solo dos veces, man-tenindose el estado a compresin.

En el anlisis de la variacin del esfuerzo radial se determin que la menor relacin de esfuerzos de traccin-compresin se alcanza para 0 = 30, con un valor de

trr/

crr 0,6. Por su parte, en el anlisis realizado para la variacin del esfuerzo normal se hizo evidente que para un valor de 0 = 30 se tiene el mayor grado de compresin en el disco. Existe un punto geomtrico particular cercano al valor de r 0,6 R en donde se presentan las mayores variaciones en el estado de los esfuerzos.

Del anlisis de resultados realizado se puede concluir que en el componente radial del esfuerzo se presentan esfuerzos de traccin y que, al contrario, en el compo-nente normal no existen esfuerzos de traccin en el material del disco y que el componente del esfuerzo cortante es variable pero de valores bajos de magnitud.

Finalmente, la hiptesis planteada de si existe un valor para 0 en el que hay una condicin primordialmente de compresin dentro del material no se corrobora en el presente estudio analtico, pero se estableci que la mejor condicin de un estado de esfuerzos a compresin prevalece en el material del disco cuando se tiene una carga aplicada p en un arco de valor 0 = 30, esto relacionado tambin con la menor relacin de esfuerzos radiales de traccin-compresin de valor de trr/

crr 0,6.


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Referencias

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Bahamon, S. y Vesga S. (2012). Observacin de las lneas de deformacin mediante dos tipos de fuentes de luz, en ensayos sobre muestras de acrlico con un espesor de 2.00 cm y dimetro de broca tipo nX (54mm). Documento de trabajo, Univer-sidad de La Salle.

Brewster David, Trans. Roy. Soc. (London), 1816.

Chen, C. S., Pan, E. y Amadei B. (1998). Determination of Deformability and Tensile

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Fairhurst, C. (2007). On the Validity of the Brazilian test for Brittle Materials. 4 ed. Oxford: Blackwell.

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circular disks subjected to partially distributed compressions. International Journal of Mechanical Sciences, 50, 275-292.

Markides, Cf. H., Kourkoulis, S. K . y Chatzistergos, P. E. (2012). The Brazilian disk under parabolically varying load: Theoretical and experimental study of the displacement field. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 49, 959-972.


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