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AMHXXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

Introducción

Las ecuaciones de Navier-Stokes empleadas en la actualidad para la modelación de problemas en hidráulica y en ingeniería de costas se pueden clasificar en tres estados. a) Aquellos modelos que resuelven directamente estas ecuaciones (Simulación Numérica Directa (DNS) por sus siglas en inglés) sin incluir las componentes turbulentas, o bien, al incluirlas las representan mediante la viscosidad de remolino; b) Aquellos que resuelven las ecuaciones de Reynolds (RANS, por sus siglas en inglés) enfocados fundamentalmente a la simulación de flujos turbulentos; c) y finalmente, los modelos que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes filtradas en el espacio.

La Dinámica de Fluidos Computacional encuentra aplicación en una gran variedad de problemas tanto en las ramas de la ciencia como en la ingeniería. En este trabajo se hace uso de estas herramientas para la construcción y desarrollo de un modelo numérico basado en las ecuaciones RANS, cuyo fin futuro va dirigido hacia el estudio de la evolución de la rotura del oleaje en la zona de surf y al entendimiento de todos los procesos que este fenómeno involucra. Esto constituye el primer escalón de un modelo de turbulencia que tendrá su principal aplicación en la ingeniería costera.

Este modelo hace uso de la técnica de diferencias finitas para la solución de flujos incompresibles viscosos a superficie libre. Su estructura se basa en la técnica “splitting”, compuesto por tres sub-modelos contenidos en un módulo principal y escrito en lenguaje FORTRAN 95. El primero constituye lo que comúnmente se conoce como hidrodinámico (solver, por sus siglas en inglés) resolviendo los términos advectivos de las ecuaciones de Reynolds con un esquema de diferencias de tercer orden tipo upwind, con el objetivo de disminuir los efectos de la viscosidad numérica. El segundo modelo se enfoca en la reconstrucción de la superficie libre. Este procedimiento denominado método de Volumen de Fluido (VOF, por sus siglas en inglés) es necesario, dado que la solución más común de los modelos de Reynolds se basa en los conocidos métodos de proyección que utilizan la presión como una función implícita. Esto conduce a que en las ecuaciones de gobierno no aparezca la variable que representa la superficie libre. El tercer código está compuesto por un

modelo de turbulencia de segundo orden tipo . Es un

sistema de ecuaciones algebraico utilizado para cerrar el conjunto de ecuaciones indeterminado que surge al realizar el promedio estadístico a las ecuaciones de Navier-Stokes. La finalidad de este modelo es describir la cascada de la turbulencia por medio del concepto de viscosidad de remolino.

Ecuaciones de Gobierno

El problema que se desea modelar es resuelto para un fluido viscoso incompresible, por lo que no se van a incluir los términos turbulentos en las ecuaciones de momento, lo que significa que el módulo de turbulencia no será activado. Las ecuaciones de gobierno para la solución del flujo medio son la ecuación de continuidad para flujo incompresible,

y las ecuaciones de momento en el plano x-z,

donde u y w son las componentes medias de la velocidad en las direcciones x-y, p es la presión, es la densidad del fluido, es la viscosidad cinemática y g es la aceleración de la gravedad.

En la superficie libre, se aplica la condición de frontera dinámica para los esfuerzos normales, la cual es satisfecha al aplicar la divergencia al campo de velocidades para llegar a la ecuación de Poisson. Esto viene expresado de la siguiente manera:

donde y son los vectores unitarios normal y tangencial en la superficie libre y son los esfuerzos normales y tangenciales respectivamente.

Reconstrucción de la Superficie Libre

Para la reconstrucción de la superficie libre se emplea el método de Volumen de Fluido (VOF, por sus siglas en inglés) desarrollado por Hirt y Nichols (1981). Es una función normalizada que indica qué fracción de la celda está contenida de agua. La caracterización se realiza asociando una cantidad escalar a dicha función. Si la función F es igual a la unidad, significa que la celda está completamente llena de agua. Si F es igual a cero, la celda se halla vacía. Si el valor de la función F está entre cero y uno, es un indicativo de una celda de superficie.

ESTIMACIÓN DEL CAMPO DE VELOCIDADES MEDIANTE UN MODELO BASADO EN LAS ECUACIONES DE REYNOLDS

Rivillas-Ospina Germán1, Silva Casarín Rodolfo2, Mendoza Baldwin Edgar3, De BRYE Sebastien4, Pedrozo-Acuña Adrián5, Ruiz Martínez Gabriel6, Posada Vanegas Gregorio7

1,2,3,4,5 Coordinación de Hidráulica, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. Circuito Escolar s/n, Instituto de Ingeniería, Ciudad Universitaria, 04510, Coyoacán, México D.F., México Tel.

+52(55)56233000 ext. 8633, Fax: +52(55)561627985 Laboratorio de Procesos Costeros y Oceanografía Física, Centro de Investigación y Estudios Avanzados, Unidad Mérida. Instituto Politécnico Nacional. Ant. Camino a Progreso Km 6. Cordemex, 97310, Mérida,

Yucatán Tel. (52) 999 94294586 Área de Procesos Costeros, Instituto EPOMEX, Universidad Autónoma de Campeche, Av. Agustín Melgar s/n

entre Juan de la Barrera y Calle 20. CP 24039, Sn Francisco de Campeche, Campeche, México, Tel. (52)9818119800 ext. 62203

1 [email protected], 2 [email protected], 3 [email protected], 4 [email protected], [email protected], [email protected], 7 [email protected]

mailto:[email protected]









El algoritmo desarrollado para la superficie libre debe satisfacer la ecuación de advección para F, dada por

Esta ecuación permite localizar fronteras de superficie libre, indicando que F es una ecuación diferencial parcial que se mueve con el fluido a través de la celda en una malla Euleriana. Es un procedimiento sencillo para ilustrar la superficie libre en problemas bidimensionales, delimitando superficies discontinuas o cualquier otra propiedad del fluido.

Cálculo de la Presión

El procedimiento empleado para la solución de las ecuaciones RANS es el método de proyección SIMPLE (Patankar 1980). Esta técnica se implementa con el objetivo de enlazar la ecuación de continuidad y la de momento por medio de la corrección del campo de presiones, que consiste en proyectar las ecuaciones primitivas de la velocidad en un plano divergente a partir de la solución de una ecuación de corrección de la presión. En conclusión, la metodología de este algoritmo consiste en realizar una suposición inicial de la presión para luego de diversas iteraciones llegar a la solución del campo de velocidades.

Implementación Numérica

En el modelo numérico, el dominio de cálculo es discretizado utilizando una malla regular. Las componentes escalares como la presión, la viscosidad y la función de volumen de fluido (F) se definen en el centro de la celda. Las componentes vectoriales son especificadas en las caras de éstas.

El algoritmo SIMPLE utiliza una ecuación de enlace entre el campo de velocidades y el de presiones. Esta ecuación permite la solución del sistema de ecuaciones, donde el término de la presión posee forma implícita. El desarrollo inicia con la suposición de la presión inicial, valor que puede ser obtenido de la presión hidrostática en el primer ciclo de cálculo. Este dato inicial ayuda a la solución de las ecuaciones de momento para x y z. Con estos datos se corrige el campo de presiones para calcular la velocidad final. La ecuación se puede expresar en forma discreta mediante el método de diferencias centradas de la siguiente forma:

Como se mencionó, la ecuación tiene la tarea de identificar diferentes tipos de celdas para reconstruir la superficie libre. La ecuación de advección se puede re-escribir como sigue:

Las velocidades son calculadas a partir de las ecuaciones de momento. A los términos convectivos de la ecuación se aplicó un esquema adelantado de tercer orden y un esquema centrado a las componentes viscosas. Se expone a continuación la ecuación de momento en forma discreta.

De acuerdo con Toro (1999), la característica fundamental del método anterior es que la discretización se efectúa con base en el sentido de propagación de la onda en la ecuación diferencial. El término adelantado se refiere al hecho que la diferenciación espacial se ejecuta teniendo en cuenta la dirección de donde fluye la información.

Resultados

Debido a la relevancia que tiene para la ingeniería, en cuanto a la evaluación del riesgo y por la pérdida de vidas humanas, los flujos que se producen en el rompimiento de una presa han sido objeto de análisis en la hidráulica desde hace varias décadas y se han llevado a la práctica mediante la simulación



numérica, dado que las soluciones analíticas se encuentran sujetas al caso unidimensional por la consideración de presión hidrostática. La simulación bidimensional de este tipo de fenómenos se realiza en este trabajo a través de las ecuaciones de Reynolds porque son las que representan de manera más apropiada las formulaciones físicas que gobiernan el flujo a superficie libre. Dentro de las aplicaciones que tienen alcance con este tipo de estudios se encuentran los daños aguas abajo de la presa por la descarga repentina de un gran flujo, la estimación del tiempo de llegada del frente de onda, la distribución del campo de velocidades y presiones para estimar la erosión en el fondo del canal (Shigematsu et al., 2004).

Para llegar a un adecuado entendimiento de los flujos que se originan durante el rompimiento de una presa, es necesario recurrir a la modelación numérica o física. De manera económica, solo mediante el empleo de un modelo numérico se pueden seguir los complejos procesos ocurridos durante este fenómeno, especialmente los flujos con fuertes variaciones espaciales y temporales.

En las figuras 1 hasta la 4 se presentan los resultados de la modelación numérica de la rotura de una presa. La profundidad de agua en el embalse es de h=1.5 m y la descarga se produce en un lecho con una lámina de 5 cm, simulando la descarga del flujo en el lecho de un río. La extensión del dominio computacional es de 500 cm y la presa posee un ancho de espesor unitario, localizado en x=0 cm. En este caso se utiliza una malla regular con incrementos espaciales de x=0.2 m y y=0.1 m. Para este trabajo no se presentan modelaciones que consideren un lecho seco, ya que no se han implementado las condiciones de deslizamiento en la frontera del fondo requeridas para este tipo de modelación donde el sistema de mallado no tiene los elementos necesarios para resolver los efectos producidos en la subcapa laminar. Adicionalmente, en las caras laterales se han empleado condiciones de frontera abierta. En la figura 1 se puede observar la configuración inicial de la presa en el instante previo al rompimiento. En el instante inicial, representado por

el tiempo normalizado se produce una falla

en el cuerpo de la presa que genera un rompimiento instantáneo.

Figura 1. Rotura en t=0

El rompimiento origina el colapso de la columna de agua, generándose un movimiento en la parte inferior de la columna de agua por la acción de la fuerza de gravedad y obligando a que el campo de velocidades cambie súbitamente, traducido en un movimiento rápido y desordenado del flujo (figura 2).

Figura 2. Rotura en t=0.6 s

Con el paso del tiempo se observa como la columna de agua colapsa (Figura 3), y se identifica un frente de onda claramente definido que se desplaza hacia adelante con velocidades mayores comparadas con las del inicio del rompimiento. La evolución temporal exhibe fuertes cambios en el campo de velocidades del frente de onda y en la cresta, generadas por el súbito cambio en las condiciones de contorno al retirar la presa (Shigematsu et al., 2004). Conforme se desarrolla el fenómeno de rompimiento, es claramente notoria la disminución en las componentes verticales de la velocidad, mientras que en el frente de onda la velocidad posee un carácter supercrítico.



Figura 3. Rotura en t=1.0s

Al finalizar la etapa de colapso se produce un choque entre la lámina de fluido localizado aguas abajo de la presa y el frente de onda producto de la rotura (Figura 4). Esto origina la formación de una gran onda que avanza hacia adelante con altas velocidades horizontales y que llegará a su fin por el efecto del fondo como consecuencia de la formación de esfuerzos en la capa límite viscosa.

Figura 4. Rotura en t=2.0s

Se presenta a continuación una comparación entre los resultados obtenidos con el modelo INSURF y los datos experimentales desarrollados por Martyn y Moyce (1952), a fin de verificar los datos arrojados por el presente modelo. Esta es una prueba bastante efectiva por la simplicidad en las condiciones de frontera y por la configuración inicial tan sencilla. Martyn y Moyce desarrollaron una prueba experimental en un embalse para una configuración inicial y profundidad del embalse dada. En sus experimentos, midieron el nivel de la superficie del embalse así como la distancia relativa del frente de onda (z) respecto del punto inicial localizado en la presa (a). Los resultados numéricos para la configuración descrita del embalse y el dominio de cálculo propuesto se contrastan con estos datos experimentales, para observar el comportamiento y precisión del modelo a la hora de simular este tipo de fenómenos.

Esta comparación se presenta en la figura 5, donde se observa claramente la posición de la presa, el frente de onda y la elevación de la superficie libre. En el eje horizontal, el tiempo

adimensional es normalizado con . A pesar de que los

resultados numéricos siguen la tendencia de los datos experimentales se observa una diferencia entre ambos resultados. Esto se debe a que los ensayos de laboratorio fueron realizados con un lecho seco aguas abajo de la presa, lo que origina mayor fricción con el fondo y por lo tanto el frente de onda avanza mucho más lento que en el caso donde se tiene lecho húmedo. Mientras que la modelación numérica tuvo en cuenta una lámina de agua debido a que el modelo no cuenta con una condición de frontera de deslizamiento para el fondo, con el fin de resolver la subcapa laminar. La mayor diferencia en cuanto a la velocidad de avance del flujo se da en la etapa inicial, donde la discrepancia entre los datos es mayor que al final, donde ambos flujos disminuyen la velocidad y presentan valores cercanos. Según Stansby et al. (1998) para el caso de lecho húmedo, el rompimiento de la presa genera un comportamiento más violento que en lecho seco, lo que justifica el hecho que el avance del frente de onda sea mayor en los resultados de las modelaciones. Entre mayor espesor tenga la lámina de agua en la parte delantera de la presa, más suave es el efecto del rompimiento, pero aun así es mucho mayor que para la condición seca.

Figura 5. Comparación Modelo Numérico y Soluciones Teóricas de Martyn y Moyce

Aunado a lo antes señalado, los resultados numéricos han sido obtenidos bajo la condición de flujo viscoso, en el cual no intervienen las diferentes escalas turbulentas ni los esfuerzos de Reynolds quienes son los encargados de tener en cuenta los procesos de turbulencia y rotura. Sin embargo, se observa una correspondencia entre las tendencias de los resultados, lo que permite afirmar que el avance del frente de onda y el cálculo de la superficie libre en el tiempo es adecuado. Estos resultados permiten afirmar que el modelo numérico desarrollado puede ser utilizado en futuras investigaciones para estudiar la hidrodinámica asociada a la rotura de presas.



En la figura 7 se muestran los perfiles de velocidad media para diferentes posiciones, en el tiempo . Se puede observar en esta gráfica la evolución del campo de velocidades conforme se desarrolla el fenómeno del rompimiento de la presa. Como era de esperarse, las mayores velocidades se identifican en el frente de onda, donde se producen los máximos gradientes de velocidad tanto en el espacio como en el tiempo. Este instante es quizás el más crítico, pues en él se describe propiamente el inicio del rompimiento de la presa y donde las velocidades pasan de 0 a 1.5 m/s en pocos segundos.

Figura 6. Campo de velocidades en t=0.6s

El efecto de la interacción con la lámina de agua afecta el perfil de velocidades Figura 7. Por eso en el instante la magnitud del campo de velocidades disminuye, lo que origina que los perfiles tengan mayor espaciamiento entre ellos debido a los efectos friccionantes y por ende que la forma del perfil y la magnitud del campo de velocidades sean menores.

La disminución de la velocidad provoca en los perfiles de velocidad, la apariencia de ser más uniformes y solo se presentan variaciones en el frente de onda, que representa el punto donde se dan en todo momento las velocidades más altas.

Figura 7. Campo de velocidades en t=2.0s

Conclusiones

En este trabajo se ha demostrado el adecuado funcionamiento del modelo INSURF para la simulación de la onda generada por la rotura de una presa. Además que las ecuaciones RANS son las más apropiadas para representar los flujos con fuertes variaciones espaciales y temporales.

Los resultados numéricos indican un buen comportamiento del modelo y valida su aplicación para fenómenos de rompimiento de presas y demás aplicaciones que se deseen realizar en un futuro. No obstante, para obtener una validación más adecuada de los resultados numéricos deben realizarse mediciones de la velocidad más detalladas, junto con una mejora en las condiciones de frontera para la condición del fondo y habilitar el modelo de turbulencia.

Referencias

1.- Hirt, C.W. and Nichols, B.D. (1981). “Volume of Fluid (VOF) Method for Dynamics of Free Boundaries”. Journal of Comput. Phys., 39, pp. 201-225.

2.- Lin, P and Liu, P.L.-F. (1998b). “A Numerical Study of Breaking Waves in the Surf Zone”. Journal of Fluid Mech., 359, pp. 239-264.

3.- Martin, J.C. and Moyce, W.J (1952). “An Experimental Study of the Collapse of Liquids Columns on a Rigid Horizontal Plane”. Phil. Trans. R. Soc. London A 244. pp. 312-324.

4.- Martin, J.C. and Moyce, W.J (1952). “An Experimental Study of the Collapse of Liquids Columns on a Rigid Horizontal Plane”. Phil. Trans. R. Soc. London A 244. Pp. 312-324.

5.- O’Donoghue, D., Pokrajac, D. and Hondebrink, L.J (2010). “Laboratory and Numerical Study of Dambreak-Generated Swash on Impermeable Slopes”. Coastal Engineering. Vol. 57 pp. 513-530.

6.- Patankar, S.V. “Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”. Mc Graw Hill Inc. New York

7.- Stansby, P.K., Chegini, A., and Barnes, T.C.D. (1998). “The Initial Stage of Dam-Break Flow”. J. Fluid. Mech. Vol.374 pp. 407-424.

8.- Shigematsu, T, Liu, P.L.-F and Oda, K. (2004). “Numerical Modeling of the Initial Stages of Dam-Break Waves”. J of Hydraulic Research. Vol. 42(2) pp. 183-195

9.- Toro, E.F. (1999). “Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics”. 2nd Edition. Springer. Germany

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