CONALEP JOSEMARIA MARTNEZ RODRIGUEZ

CUIDAELAGUAYPLANTAUNARBOL

UNIDAD II Modelado de superficies y espacios.

2.1 Ubica e identifica figuras en el espacio mediante sus caractersticas geomtricas.

Introduccin:

En la geometra, como disciplina, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la lnea -recta, curva, quebrada-, la superficie, el segmento y otros de cuya combinacin nacen todas las figuras geomtricas.

El patio de tu escuela, una cancha de ftbol, los muebles de una casa o una tuerca son algunos de los mltiples ejemplos en donde se pueden apreciar figuras geomtricas.Entonces, una figura geomtrica (tambin se la puede denominar lugar geomtrico) corresponde a un espacio cerrado por lneas o por superficies.

Un polgono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.La palabra polgono est formada por dos voces de origen griego: polys: muchos y gona: ngulos; por lo tanto, es una figura con varios ngulos. El polgono ms pequeo es el tringulo, que tiene tres lados y tres ngulos.

Las figuras geomtricas de lados rectos se denominan polgonos y las figuras de lados curvos se denominan crculo y circunferencia y corresponden tambin a polgonos (polgono curvilneo).

Un polgono, por la forma de sus lados, se denomina: rectilneo, si todos sus lados son segmentos rectos, curvilneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.

Es importante recordar que las formas slidas o tridimensionales corresponden a los cuerpos geomtricos y se denominan poliedros, como el cubo y la pirmide, y a loscuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.

Segn las caractersticas de los polgonos se pueden establecer varias clasificaciones.

Segn la medida de sus lados y ngulos, los polgonos pueden ser regulares e irregulares.

2.1.1 Realiza un modelo bidimensional simulando un objeto importante en su localidad, regin o Estadoempleando figuras geomtricas regulares e irregulares, donde se identifiquen las caractersticas y relaciones propias de los polgonos regulares e irregulares y que incluya la descripcin del proceso utilizado.

Identificacin de las propiedades de los tringulos.

Clasificacin:

1.- Por sus lados. Equiltero: tres lados iguales Issceles: dos lados iguales. Escaleno: tres lados desiguales.

Por sus ngulos

Acutngulo: tres ngulos agudos Rectngulo: un ngulo recto Obtusngulo: un ngulo obtuso

Caractersticas:

1.- Relacin entre sus lados y ngulos.

Propiedad de la suma de los ngulos interiores de un tringuloTeorema:La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180.Disponiendo los ngulos del tringulo en forma consecutiva se obtiene un ngulo llano.

Corolarios: En todo tringulo, cada ngulo es igual a 180 menos la suma de los otros dos ngulos. Si en un tringulo un ngulo es rectngulo u obtuso, los dos ngulos restantes son agudos. Si dos tringulos tienen dos ngulos iguales, los terceros tambin son iguales.Propiedad del ngulo exteriorUn ngulo exterior es un ngulo entre un lado de una figura y la lnea que se extiende desde el lado siguiente.

Teorema:Todo ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes.

Corolario: (afirmacin lgica derivada a consecuencia directa de un teorema, y puede ser demostrada utilizando nicamente los elementos del teorema)

Puntos y rectas notables.

Identificacin de las propiedades de los cuadrilteros (ANALIZAR EL VIDEO CUADRILATEROS)

Caractersticas.

Clasificacin.

Cncavos.

Convexos.

Cncavo o convexoUn polgono convexo no tiene ngulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ngulos internos no son mayores que 180. Si hay algn ngulo interno mayor que 180 entonces es cncavo. (Para recordar: cncavo es como tener una "cueva")

ConvexoCncavo

Identificacin de propiedades de los polgonos de ms de cuatro lados

Regulares Irregulares

Un polgono es regular si todos sus lados poseen la misma longitud y si todos sus ngulos son iguales.

Un polgono es irregular si no todos sus lados poseen la misma longitud y/o no todos sus ngulos son iguales.

RegularIrregular

Propiedades de los polgonos regulares

Nombres de polgonosSi es regular...

NombreLadosFormangulo interior

Tringulo (o trgono)360

Cuadriltero (o tetrgono)490

Pentgono5108

Hexgono6120

Heptgono (o Septgono)7128.571

Octgono8135

Nongono (or enegono) 9140

Decgono10144

Endecgono (or undecgono)11147.273

Dodecgono12150

Tridecgono13152.308

Tetradecgono14154.286

Pentadecgono15156

Hexadecgono16157.5

Heptadecgono17158.824

Octadecgono18160

Eneadecgono19161.053

Icosgono20162

Triacontgono30168

Tetracontgono40171

Pentacontgono50172.8

Hexacontgono60174

Heptacontgono70174.857

Octacontgono80175.5

Eneacontgono90176

Hectgono100176.4

Chiligono1,000179.64

Mirigono10,000179.964

Meggono1,000,000~180

Googolgono10100~180

n-gonon(n-2) 180 / n

Para polgonos con 13 lados o ms, se puede escribir (y es ms fcil) "13-gono", "14-gono" ... "100-gono", etc.

ngulo interiorEl ngulo interior de un polgono regular de "n" lados se calcula con la frmula:(n-2) 180 / nPor ejemplo el ngulo interior de un octgono (8 lados) es:(8-2) 180 / 8 = 6180/8 = 135Y el de un cuadrado es (4-2) 180 / 4 = 2180/4 = 90

ngulo exteriorLos ngulos exterior e interior se miden sobre la misma lnea, as que suman 180.Por lo tanto el ngulo exterior es simplemente 180 - ngulo interiorEl ngulo interior de este octgono es 135, as que el ngulo exterior es 180-135 = 45

El ngulo interior de un hexgono es 120, as que el ngulo exterior es 180-120 = 60

DiagonalesTodos los polgonos (menos los tringulos) tienen diagonales (lneas que van de un vrtice a otro, pero que no son lados).El nmero de diagonales es n(n - 3) / 2.Ejemplos: un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 41/2 = 2 diagonales un octgono tiene 8(8-3)/2 = 85/2 = 20 diagonales (Nota: esto vale para polgonos regulares e irregulares)

Descomposicin de polgonos en tringulos.Un polgono regular es aquel cuyos ngulos son iguales, y cuyos lados l tienen la misma longitud. El segmento que une el centro del polgono con el punto medio de cualquiera de sus lados es la apotema (a). Uniendo el centro con cada uno de los vrtices todo polgono regular de n lados se descompone en n tringulos iguales, los cuales sern issceles, a excepcin del hexgono regular en que sern equilteros. La apotema es la altura de cada uno de dichos tringulos.

La descomposicin de un polgono regular en tringulos iguales permite obtener fcilmente el ngulo y la superficie del mismo.

En un polgono regular de n vrtices (y por lo tanto de n lados), los ngulos miden todos radianes, es decir grados (sexagesimales), lo que se obtiene muy fcilmente de la descomposicin del polgono en tringulos: los ngulos de los n tringulos suman 180 n. Como los ngulos que convergen en el centro son en total 360, resulta claro que los n ngulos del polgono sumarn 180n 360 = 180 (n-2). Y, siendo dichos ngulos iguales, slo habr que dividir entre n para tener su valor. Desarrollndolo algebraicamente:

y finalmente,

1 o bien,

2indistintamente. As, por ejemplo, para el tringulo (n = 3) -se trata de un tringulo equiltero-, los ngulos miden 1 x 180/3 = 60. En el caso del cuadriltero (n = 4) -un cuadrado-, los ngulos valen 2180/4 = 90. En cuanto a la superficie del polgono regular, es obvio que ser n veces la de cada uno de los tringulos en que se ha descompuesto:

pero siendo la base el lado l del polgono, y la altura su apotema a,

y finalmente, como , nos queda

Obtenido de http://enciclopedia.us.es/index.php/Pol%C3%ADgono_regular

EJERCICIOS PARA PRACTICAR LOS CONCEPTOS ANTERIORESComo ya sabes, las figuras geomtricas son parte de nuestra vida cotidiana, estn en las seales de calles y caminos, en los embaldosados de los pisos, en los cubrimientos de paredes y en muy diversos tipos de objetos. Los artistas de todos los tiempos han utilizado figuras geomtricas en sus trabajos, y en el arte del siglo XX alcanzaron gran importancia con el pintor espaol Pablo Picasso. Basando sus obras en elementos geomtricos, Picasso inici un nuevo movimiento artstico de gran influencia en la arquitectura y las artes decorativas llamado cubismo.

EJERCICIO 1ELEMENTOS Y CLASIFICACIN DE POLGONOSObserva estos ejemplos y compralos con tu dibujo: en unos hay segmentos de igual longitud o con la misma direccin, en otros, no. En todos los casos forman una poligonal.

1. Anota al lado de tu dibujo de poligonal si es abierta o cerrada y si es simple o cruzada.

EJERCICIO 2Dibuja en tu cuaderno, polgonos como estos.

1. Elige un lado de cada polgono y traza una recta que incluya a ese lado. El plano en el que ests dibujando qued dividido por esa recta en dos semiplanos, uno a cada lado de la recta.Observa el polgono, y responde: queda totalmente del mismo lado, es decir en un mismo semiplano, respecto de la recta?2. Repite la experiencia con los otros lados del polgono. En algn caso el polgono queda atravesado por la recta que contiene al lado?

3. Debajo de cada uno de los polgonos que dibujaste escribe si es convexo o cncavo.4. Observa la amplitud de los ngulos interiores en los polgonos convexos y en los cncavos. En los polgonos cncavos, hay ngulos mayores que un ngulo llano? Escribe el resultado de tus observaciones.

EJERCICIO 3Los polgonos adquieren su nombre segn el nmero de lados que ellos tengan. En tu carpeta has una tabla como la siguiente y compltala. Busca ayuda en libros y diccionarios o bien pregntale a tu maestro.

EJERCICIO 4

En la unidad aprendiste que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180. Ahora vas a usar esta propiedad para calcular la suma de los ngulos interiores de polgonos convexos con mayor nmero de lados.1. Dibuja un cuadriltero, un pentgono, un hexgono y un octgono. En cada uno de ellos elige uno de sus vrtices. Traza desde l todas las diagonales posibles.2. Observa cuntos tringulos se formaron en cada polgono. Copia la tabla que est a continuacin y registra en la primera fila el nmero de tringulos que se formaron. En la ltima columna considera n el nmero de lados.

EJERCICIO 5

Responde: cunto mide cada ngulo interior de un polgono regular de 5,10 y 15 lados? Qu clculo te permite resolver el problema?

EJERCICIO 6

Usando esta propiedad podrs construir cualquier polgono regular. Construye con comps y transportador un pentgono, un hexgono y un octgono regular inscritos en una circunferencia aplicando la propiedad anterior.

Busca los polgonos regulares inscritos en circunferencias que has dibujado en tu carpeta.1. Obsrvalos y en cada uno de ellos traza los radios correspondientes a cada vrtice.2. Revisa si cada polgono ha quedado descompuesto en tringulos. Cmo son entre s los tringulos de un mismo polgono regular? Escrib la respuesta en tu carpeta y explica por qu.3. Cmo podras hallar el rea de cada polgono a partir de su descomposicin en tringulos? Explcalo en tu carpeta.

EJERCICIO 7

Ya observaste que todo polgono regular se puede descomponer en tringulos congruentes. Descompn de ese modo los siguientes polgonos. Para ello, clcalos en tu carpeta y nombra cada vrtice.

Para descomponer los polgonos en tringulos congruentes es necesario encontrar su centro. Referente a Circunferencia y crculo los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos se encuentran en la mediatriz del segmento determinado por ellos.

La forma habitual de calcular rea de un polgono regular es la frmula siguiente:rea de un polgono regular = n x l x ap / 2Donde: n = nmero de lados l = longitud de un lado ap = apotema

1. Aplica esta frmula para calcular las reas de un pentgono de 5cm de lado y hexgono de 10 cm de lado, y compara los resultados que obtuviste. Al finalizar mustraselo a tu maestro.Recuerda que:

EJERCICIO 8Dibuja en tu carpeta dos polgonos como los siguientes.

1. Traza, en cada uno, todas las diagonales y luego realiza en tu carpeta las consignas que siguen.

Cul de los dos polgonos tiene ms diagonales? De qu depende el nmero de diagonales de un polgono convexo? Construye en tu carpeta una tabla como la siguiente y compltala.

INSTRUCTOR: JUAN JOS VENEGAS MORENO