2.1 Muestreo.

En la prctica con frecuencia estamos interesados en establecer conclusiones

vlidas sobre un grupo grande de individuos u objetos. En lugar de examinar

el grupo completo, llamado poblacin, lo cual puede ser difcil o imposible,

examinamos solamente una parte pequea de esa poblacin, la cual llamamos

muestra. Hacemos esto con el fin de inferir ciertos hechos sobre la poblacin a

partir de los resultados que encontramos en la muestra, un proceso conocido

como inferencia estadstica. El proceso de obtencin de muestras se denomina

muestreo.

La inferencia estadstica se establece como una coleccin de tcnicas que

permiten formular inferencias que proporcionan una medida del riesgo de

stas, la inferencia estadstica se formula en base a una muestra de objetos de

la poblacin de inters. Si la poblacin consiste de N objetos y de estos se

selecciona una muestra que contiene n elementos el proceso debe de asegurar

que cada muestra de tamao n debe tener la misma probabilidad de obtenerse

o de seleccionarse.

Muestras Aleatorias

La confiabilidad de las conclusiones obtenidas concernientes a una poblacin

dependen de si la muestra se tom adecuadamente, para que represente a la

poblacin lo suficientemente bien. Uno de los problemas importantes de la

inferencia estadstica es precisamente cmo obtener una muestra. Una manera

de hacer esto es para poblaciones finitas es asegurar que cada miembro de la

poblacin tenga la misma probabilidad de estar en la muestra, lo cual se

denomina muestra aleatoria.

Si nuestras inferencias a partir de la muestra para la poblacin han de ser

vlidas, debemos obtener muestras que sean representativas de la poblacin.

Con mucha frecuencia estamos tentados a elegir una muestra mediante la

seleccin de los miembros ms convenientes de la poblacin. Tal

procedimiento puede conducir a inferencias errneas con respecto a la

poblacin. Cualquier procedimiento de muestreo que produzca inferencias que

sobreestimen o subestimen de forma consistente alguna caracterstica de la

poblacin se dice que est sesgado. Para eliminar cualquier posibilidad de

sesgo en el procedimiento de muestreo, es deseable elegir una muestra

aleatoria en el sentido de que las observaciones se realizan de forma

independiente y al azar.

Para seleccionar una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin )(xf , la

variable aleatoria ,,...,2,1, niX i que represente la i- sima medicin o valor de

la muestra que observemos. Las variables aleatorias nXXX ,...,, 21 constituirn

entonces una muestra aleatoria de la poblacin )(xf con valores numricos

nxxx ,...,, 21 si las mediciones se obtienen al repetir el experimento n veces

independientes bajo esencialmente las mismas condiciones. Debido a las

condiciones idnticas bajo las que se seleccionan los elementos de la muestra,

es razonable suponer que las n variables aleatorias nXXX ,...,, 21 son

independientes y que cada una tiene la misma distribucin de probabilidad

)(xf . Es decir, las distribuciones de probabilidad de nXXX ,...,, 21 son,

respectivamente, )(),...(),( 21 nxfxfxf y su distribucin de probabilidad conjunta

es

)()()(),...,,( 2121 nn xfxfxfxxxf

Sean nXXX ,...,, 21 variables aleatorias independientes, cada una con la

misma distribucin de probabilidad )(xf . Definimos entonces nXXX ,...,, 21

como una muestra aleatoria de tamao n de la poblacin )(xf y escribimos

su distribucin de probabilidad conjunta como

)()()(),...,,( 2121 nn xfxfxfxxxf

Si se realiza una seleccin aleatoria de n = 8 bateras de almacenamiento de un

proceso de fabricacin, que mantiene las mismas especificaciones, y

registramos la duracin de cada batera con la primera medicin 1x como un

valor de X1, la segunda medicin 2x como un valor de X2, etctera, entonces

821 ,...,, xxx son los valores de la muestra 821 ,...,, XXX . Si suponemos que la

poblacin de duraciones de las bateras es normal, los valores posibles de

cualquier 8,...,2,1, iX i , sern precisamente los mismos que los de la poblacin

original, y por ello iX tiene la misma distribucin normal idntica que X.

Cuando se lleva a cabo una seleccin de objetos tangibles de una poblacin

que consiste en un nmero finito de objetos, se plantean dos formas diferentes

de obtener muestras aleatorias.

2.1.1 Muestreo con y sin reemplazo.

1.- Despus de llevar una mezcla de objetos de una poblacin, se inicia la

extraccin de un objeto de la poblacin y se observa la caracterstica medible,

esta caracterstica se denota por X1, posteriormente este objeto se regresa a la

poblacin para llevar a cabo una mezcla de todos ellos, terminada esta mezcla

se extrae un segundo objeto de la poblacin y se observa la caracterstica

medible la cual se denota por X2, posteriormente este objeto se regresa a la

poblacin para llevar a cabo una mezcla de todos ellos, terminada esta mezcla

se extrae un tercer objeto de la poblacin y se observa la caracterstica

medible la cual se denota por X3, as sucesivamente hasta llegar la

caracterstica Xn, con esto se forma una muestra de tamao n, X1, X2, . . . ,

Xn de la caracterstica medible X. A este proceso de muestreo se le conoce con

el nombre de muestreo con reemplazo.

2.- Despus de llevar a cabo una mezcla de objetos de una poblacin, se inicia

la extraccin de un objeto de la poblacin y se observa la caracterstica

medible, esta caracterstica se denota por X1, posteriormente este objeto no

regresa a la poblacin, se vuelve a llevar a cabo una mezcla de todos los

objetos restantes de la poblacin, terminada esta mezcla se extrae un segundo

objeto de la poblacin y se observa la caracterstica medible la cual se denota

por X2, y este objeto no regresa a la poblacin, se vuelve a llevar a cabo una

mezcla de todos los objetos restantes de la poblacin, terminada esta mezcla

se extrae un tercer objeto de la poblacin y se observa la caracterstica

medible la cual se denota por X3, y este objeto no regresa a la poblacin, se

vuelve a llevar a cabo una mezcla de todos los objetos restantes de la

poblacin, as sucesivamente hasta llegar la caracterstica Xn, con esto se

forma una muestra de tamao n, X1, X2, . . . , Xn de la caracterstica

medible X. A este proceso de muestreo se le conoce con el nombre de

Muestreo sin reemplazo.

La manera en que se selecciona una muestra se llama Plan de muestreo o

Diseo experimental, y determina la cantidad de informacin contenida en la

muestra. Adems, al conocer el plan de muestreo que se us en una situacin

particular, se puede determinar la probabilidad de observar muestras

especficas. Estas probabilidades permiten evaluar la confiabilidad o bondad

de las inferencias que se basan en estas muestras.

2.1.2 Muestreo aleatorio simple.

Este tipo de muestreo es el ms comnmente usado en el que cada muestra de

tamao n tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

Ejemplo 2.1

Suponiendo que se requiere seleccionar una muestra de tamao n = 2 de una

poblacin que contiene N = 4 objetos. Si stos se identifican mediante los

smbolos 321 ,, xxx y 4x , hay seis pares distintos que podran seleccionarse,

como se observa en la tabla 1.1. Si la muestra de n = 2 observaciones se

selecciona de modo que cada una de las seis muestras tenga la misma

probabilidad de ser elegida dada por 6

1 , entonces la muestra resultante se

llama muestra aleatoria simple, o slo muestra aleatoria.

Muestra Observaciones

En la muestra

Tabla 1.1

Maneras de seleccionar una muestra de

tamao 2 de 4 objetos

1

2

3

4

5

6

21, xx

31 , xx

41, xx

32 , xx

42 , xx

4,3 xx

Si el tamao de la poblacin es N y el tamao de la muestra es n, en el

muestreo aleatorio simple a cada elemento de la poblacin tiene asignada una

probabilidad de N

n de ser incluido en una muestra, de las N C n muestras

posibles, cada una con una probabilidad de nN C

1 de ser seleccionada.

Si selecciona una muestra de n elementos de una poblacin de N elementos

usando un plan de muestreo en el que cada una de las posibles muestras tiene

la misma probabilidad de ser seleccionada, entonces se dice que el muestreo

es aleatorio y la muestra resultante una muestra aleatoria simple