2014-06-17-Comportamiento en Forma de S

8/16/2019 2014-06-17-Comportamiento en Forma de S

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UCN-2014 - TEORÍA DE SISTEMAS

Estructuras de Crecimiento con Comportamientoen Forma de S

1. Una Historia Inicial

Una primavera, una pareja joven y su pequeño hijo llegan a la región de Provenza,Francia, llevando sus abultadas maletas, un ardiente entusiasmo emprendedor, y dosenormes conejos. Ellos soñaban con establecerse en el campo y vivir de los frutos de latierra. Jean, el marido, no puede contener la emoción en su voz cuando revela su máspreciada posesión, a sus nuevos vecinos: una hoja de papel cuidadosamente doblada,repleta de cálculos escritos con tinta. Orgulloso de haber tropezado con el fenómeno de“cómo hacerse rico rápidamente”, conocido con el nombre de “crecimiento exponencial”,explica a sus vecinos cómo sus dos conejos se convertirán en cuatro y luego ocho luegodieciséis y pronto cientos y cientos.

Así que por fin llega el verano, y ya los conejos se han cruzado y producido nuevos

conejos, los que a su vez han crecido y cruzado, y producido más conejos, lo que siguencreciendo y a su vez produciendo aún más conejos. Para mediados del verano Jean ysu esposa tienen más conejos de lo que pueden controlar; los conejos están por todaspartes. Jean y su esposa están eufóricos. Sueñan con entusiasmo de las utilidades quecosecharán muy pronto.

Sin embargo, pocas semanas después, Jean nota que algunos de sus conejos estánmuriendo; se están muriendo por deshidratación. Ha llovido poco, y los conejos másfuertes y rápidos alcanzan rápidamente los pequeños charcos de agua de lluvia que seha logrado acumular sobre el prado, pero no dejan nada para los demás. Jean orapidiendo que venga pronto una tormenta de lluvia; pero los cielos en Provenza llegan aquemar con el resplandeciente sol. Jean y su esposa tienen que empezar a viajar varias

millas a diario, para traer agua en vasijas desde el pozo más cercano; pero prontodescubren la imposibilidad acarrear suficiente agua, como para atender las necesidadesde todos los conejos. Y así, siguen muriendo los conejos por deshidratación. A estasalturas, Jean ya ha entrado en pánico. Ahora la tasa de mortalidad es tan alta, que porcada conejo joven que nace un conejo débil, más viejo muere. La población de conejosde Jean ha dejado de crecer. Un mes más tarde, un año más tarde, Jean sigue teniendola misma cantidad de conejos. Los habitantes del pueblo se burlan de la joven pareja porhaberse jactado de sueños tan poco realistas. Jean y su familia han aprendido de laforma más dura acerca de los límites del crecimiento.

2. El Crecimiento en Forma de S

Así es: el crecimiento exponencial sostenido en el largo plazo, no puede existir en elmundo real. A la corta o a la larga, todos los procesos de amplificación exponencialdescubrirán que subyacen procesos de estabilización, que actúan como límites alcrecimiento. El salto del crecimiento exponencial al crecimiento asintótico, o el paso deun ciclo de retroalimentación positivo a uno de retroalimentación negativa, se conocecomo crecimiento en forma de S. La Figura 1 grafica este comportamiento.



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Figura 1: Análisis de la curva S

Como se puede observar en la Figura 1, la retroalimentación positiva, lo que genera uncrecimiento exponencial, se estrecha por la retroalimentación negativa, lo que produce elcrecimiento de estabilización. El crecimiento en forma de S se puede observar en unaamplia variedad de fenómenos; la difusión de novedades, rumores, o incluso una religión,se caracterizan por un crecimiento en forma de S. La capacidad de concentración, lapreocupación y el interés, también muestran un crecimiento en forma de S. La saturacióndel mercado y las epidemias son ejemplos clásicos de comportamiento en forma de S. Elcrecimiento celular de una planta y el desarrollo físico e intelectual en los niños pequeños,

junto con la respuesta inmune del cuerpo, están todos sujetos a crecimiento en forma de S.En este documento se iniciará mediante la exploración de la dinámica de una población,tomando como ejemplo el criadero de conejos de Jean.

3. La Estructura Genérica

3.1. Introducción

Las Estructuras Genéricas, también conocidas como estructuras transferibles, sonestructuras que pueden ser encontradas en diferentes situaciones. Las EstructurasGenéricas facilitan el aprendizaje, al permitirle a uno transferir el conocimiento de un

sistema a otro. La Figura 2 muestra cómo una simple estructura genérica puede serutilizada para modelar diferentes sistemas, simplemente alterando los nombres y losvalores de sus parámetros, dependiendo del sistema específico a ser modelado.

Una vez que una persona comprende una estructura genérica, su conocimiento sobre otrossistemas similares se expande.



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FIGURA 2: Modelo de una estructura genérica y aplicaciones

3.2. Desplazamiento del Ciclo Dominante

Lo que genera el comportamiento de crecimiento en forma de S en un sistema dinámico,

es el desplazamiento del ciclo de retroalimentación dominante, del ciclo positivo al ciclo

negativo; es decir, todo sistema que exhibe crecimiento en forma de S, comienza con unciclo de retroalimentación positiva que le genera al sistema un crecimiento de naturaleza

exponencial. Sin embargo, ese mismo crecimiento exponencial, ‘despierta’ un ciclo de

retroalimentación negativo latente, que pasa a dominar. El ciclo de retroalimentación

negativo no aparece de forma espontánea; siempre estuvo presente en el sistema, pero su

fortaleza depende de la fuerza de una variable del ciclo de retroalimentación positiva.

Cuando el ciclo de retroalimentación positivo comienza a amplificar todas las variables que

intervienen dentro de su propio ciclo, el ciclo negativo también se amplifica, hasta lograr el

cambio de dominancia, que pasa al control del ciclo negativo. La figura 3, a través de un

diagrama causal, representa este cambio dominio de los ciclos.

FIGURA 3: Desplazamiento del Ciclo Dominante

Si vamos a nuestro ejemplo inicial, la variable crítica en el comportamiento de la población

de conejos de Jean, es el número de conejos que deambulan alrededor de su granja.

Siguiendo el ciclo causal, a medida que la población de conejos aumenta, también lo hace

el número de nacimientos de conejos (factor amplificador), lo que produce un aumento en

la población. Es decir, los nacimientos de conejos refuerzan el ciclo de retroalimentación

positiva. En el intertanto, el ciclo de retroalimentación negativo, permanece latente.

Pero como no existe el crecimiento infinito, a medida que la población de conejos aumenta,

aumenta el consumo de agua, mientras el suministro total de agua se mantiene fijo, por lo

que la cantidad de agua disponible para cada conejo disminuye. Cuando la cantidad de



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agua por conejo baja lo suficiente, los conejos ya no tendrán suficiente agua paramantenerse a sí mismos, y los conejos más débiles empiezan a morir. El ciclo deretroalimentación negativo reduce la tasa de crecimiento de la población hasta que lacantidad de agua por cada conejo es lo suficientemente grande como para sustentar lapoblación de conejos.

Los sistemas que exhiben un comportamiento de crecimiento en forma de S se caracterizanpor restricciones o límites al crecimiento. En el caso de los conejos de Jean, la restricción

del sistema es la oferta fija de agua; la restricción fija el número máximo de conejos quela granja de Jean en Provenza, puede sustentar. Del mismo modo, la restricción en el casode la difusión de un rumor , es el número máximo de personas que podrían ser alcanzadas.Ese número puede ser el total de estudiantes en un campus universitario o el total detelevidentes de una nación, según lo interesante y pertinente del chisme. En el caso de lapropagación de una epidemia, la limitación sería la población total expuesta a laenfermedad. Similarmente, un producto de una empresa, puede saturar un mercado; larestricción, en este caso, sería el tamaño del mercado de un producto en particular. Comodijimos anteriormente, el crecimiento exponencial no puede durar para siempre.

3.3. Estructura Genérica que Produce Crecimiento en forma de S

Diferentes estructuras de stocks y flujos, producen comportamiento de crecimiento enforma de-S. La Figura 4 representa una estructura genérica intuitiva, que muestraexplícitamente tanto los ciclos de retroalimentación, como la restricción en el sistema.

FIGURA 4: Estructura Genérica que produce el Comportamiento en forma de S

Como se puede observar, este modelo genérico está compuesto de 3 ciclos deretroalimentación:

a) El ciclo de retroalimentación positiva se encuentra asociado al Flujo de entrada a lavariable de Stock. El Flujo de Entrada, el Stock y la constante Fracción de Ganancia(que podría ser, por ejemplo, una tasa de interés), conducen a la variable de Stocka un crecimiento exponencial.



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b) Dos ciclos de retroalimentación negativa regulan el Flujo de Salida de la variable deStock. El primero liga el valor actual de la variable de STOCK, a un Flujo de Salidade la variable de Stock, y un Flujo de Salida tiene la forma de un ciclo negativo.

c) El segundo ciclo de retroalimentación negativo, pasa a través de la variable Fracciónde Pérdida, y es el responsable de desplazar el dominio del ciclo positivo, hacia elciclo negativo. ¿Cuándo va a ocurrir esto? Cuando la Fracción de Pérdida sea mayorque la Fracción de Ganancia, y que debiera corresponder al punto de inflexión de lacurva de la Figura 1.

Siguiendo los 3 ciclos anteriores, la variable de Stock crece inicialmente, sólo si la Fracciónde Ganancia comienza con un valor más alto que la Fracción de Pérdida; cuando esto esasí, el Flujo de Entrada es mayor que el Flujo de Salida (es decir, se genera un crecimientoneto que se acumula en la variable de Stock), y el sistema experimenta un crecimientoexponencial, que se manifestará más o menos rápido, según la diferencia que exista entrelos valores de ambas fracciones (cuando las diferencias son relativamente pequeñas, paravisualizar gráficamente el efecto exponencial, debemos simular considerando períodos detiempo relativamente largos).

Pero sabemos que la variable de Stock no puede crecer indefinidamente; así que, a medidaque ésta crece, también lo hace el multiplicador Efecto del Stock, el cual determina el efectode la acción sobre la variable Fracción de Pérdida. Cuando el multiplicador Efecto del Stock asume valores mayores que 1, la Fracción de Pérdida crece. El multiplicador Efecto delStock, con el tiempo, será lo suficientemente grande para que la Fracción de Pérdida igualeprimero y supere después, a la Fracción de Ganancia. Desde ahí en adelante, el Flujo deSalida superará al Flujo de Entrada y el crecimiento cesará. Y el sistema alcanzará el

equilibrio.

Es interesante observar que, a pesar de que el ciclo de retroalimentación positiva quedetermina originalmente el crecimiento en forma de S, es inicialmente más fuerte que elciclo de retroalimentación negativo, se encuentra en desventaja en comparación con el ciclonegativo, porque su fuerza es constante. Por su parte, el ciclo de retroalimentaciónnegativo, por el contrario, se hace más fuerte a medida que crece la población, porque elFlujo de Salida de la variable de Stock, es producto del propio tamaño de la variable deStock (que crece) y de la Fracción de Pérdida, cuyo valor es variable. Aquí está la clave deldesplazamiento del ciclo dominante: la Fracción de Pérdida crece a medida que la variablede Stock crece. Cuando el valor de la variable de Stock es pequeño, el ciclo deretroalimentación negativa pasa casi desapercibido; pero a medida que el valor de lavariable de Stock se hace más grande, el ciclo de retroalimentación negativo se vuelve más

y más fuerte. Finalmente, el ciclo de retroalimentación negativa termina llevando el sistemaal equilibrio.

¿Qué tipo de curva se encuentra detrás de la función de tabla de la variable Efecto delStock? La curva estará determinada por las características de la restricción que actúa

sobre el sistema específico de que se trate. En la Figura 5 la restricción se encuentramodelada como un convertidor de Stock Normal, que determina cuánto puede crecer lavariable de Stock. A medida que el valor de la variable de Stock se hace grande respecto



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de la variable Stock Normal, la Fracción de Pérdida aumenta sostenidamente, debido alaumento de presión de la restricción. Así que la curva de la función de tabla Efecto delStock, aumenta a medida que la proporción de la variable de Stock respecto de la variableStock Normal, aumenta. La Figura 5 muestra una curva de muestra.

FIGURA 5: Curva ejemplo de la variable Efecto del Stock

La curva Efecto del Stock genera como salida una fracción que va aumentando a partir de1. Cuando la variable de Stock es muy pequeña, el multiplicador es cercano a 1 y la Fracciónde Pérdida es casi idéntica a la Fracción de Pérdida Normal, y el ciclo de retroalimentaciónpositivo domina fácilmente. A medida que aumenta la variable de Stock, sin embargo,también lo hace el multiplicador del Efecto del Stock. Cuando la variable de Stock es un20% de la variable Stock Normal, la relación entre las variables Stock y Stock Normal, esde 0.2. El multiplicador Efecto del Stock entrega como salida un valor de 1.4 (según la Tablade la Figura 5) por lo que la Fracción de Pérdida es 1.4 veces la Fracción de Pérdida Normal.Cuando la variable de Stock es el 60% de la variable Stock Normal, el multiplicador Efectodel Stock genera un valor de 2.2, por lo que la Fracción de Pérdida es 2.2 veces el valor dela Fracción de Pérdida Normal. A medida que la variable de Stock crece, la Fracción dePérdida crece, igualando y después sobrepasando a la variable Fracción de Ganancia.

El equilibrio se produce cuando la Fracción de Pérdida alcanza a la Fracción de Ganancia.En el modelo de estructura genérica en la Figura 4, la Fracción de Ganancia se fija igual a3 veces el valor de la Fracción de Pérdida Normal. Por lo tanto, la variable de Stock alcanza

el equilibrio cuando la Fracción de Pérdida es igual a 3 veces la Fracción de Pérdida Normal.¿Cuándo alcanza el valor de 3, el multiplicador del Efecto de Stock? La función de tabla dacomo salida un valor de 3, cuando la relación entre la variable de Stock y la variable StockNormal, es 1. Así que el sistema finalmente alcanza el equilibrio cuando el valor de lavariable de Stock crece hasta el tamaño de la variable Stock Normal.



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Tenga en cuenta que el valor de equilibrio de la variable de Stock está determinado por losvalores relativos de la Fracción de Ganancia y Fracción de Pérdida Normal, y la pendientede la curva en el multiplicador Efecto del Stock. Si la curva de la función de tabla es muyempinada, entonces un pequeño crecimiento en la variable de Stock, tendrá un fuerte efectosobre la Fracción de Pérdida y la Fracción de Pérdida crecerá rápidamente y el Flujo deSalida de la variable de Stock se igualará al Flujo de Entrada, antes que la variable de Stock tenga la posibilidad de crecer demasiado. La variable de Stock dejará de crecer antes dealcanzar el tamaño de la variable Stock Normal. Por otro lado, si la relación entre la Fracciónde Ganancia y la Fracción de Pérdida Normal es muy grande, entonces la Fracción dePérdida tendrá mucho que recorrer para ponerse al día. Si la Fracción de Ganancia fuera 5veces la Fracción de Pérdida Normal, entonces no se alcanzaría el equilibrio hasta que elmultiplicador Efecto del Stock genere un valor de salida de 5.

La función de tabla Efecto del Stock de la Figura 5 no genera un 5 como valor de salida,hasta que la relación entre la variable de Stock y la variable Stock Normal, es de 2. En otraspalabras, la variable de Stock necesitará ser el doble de grande que la variable StockNormal, para que el sistema alcance el equilibrio.

3.4. Aplicando la Estructura Genérica al Modelo de Población de Conejos

La Figura 6 que sigue, es un modelamiento gráfico de la población de conejos.

FIGURA 6: Diagrama de Stocks y Flujos de la Población de Conejos

Vamos a construir este modelo en VENSIM, para poder analizar cómo aplicaremos losprincipios que hemos estudiado en los párrafos anteriores, a este caso práctico.

Tal como aprendimos al estudiar el modelo genérico, también en el ejemplo de los conejospodemos observar 3 ciclos de retroalimentación. Al lado izquierdo del modelo gráfico de laFigura 6 podemos ver el ciclo de retroalimentación positivo, que tiene que ver con losnuevos nacimientos mensuales de conejos. Al lado derecho se despliegan los dos ciclos deretroalimentación negativa. La Fracción de Muertes Normal es igual a 1/3 de la Fracciónde Nacimientos (como podemos observar en las respectivas ecuaciones). Debido a queinicialmente la Fracción de Nacimientos es mayor que la Fracción de Muertes, los



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Nacimientos predominarán inicialmente sobre las Muertes. A medida que nazcan másconejos, habrá más conejos para reproducirse y producir más conejos aún.

Sabemos ya que el ciclo de retroalimentación positiva no puede generar crecimientoilimitado, debido a la restricción impuesta al sistema: el medio ambiente sólo puede admitirun máximo de población de conejos (capacidad de carga); es decir, el suministro total de

agua disponible para los conejos es fijo. La proporción de conejos respecto de la Poblaciónde Conejos Normal, determina el Efecto de Aglomeración en la Fracción de Muertes.

La Figura 7 que sigue, es un gráfico de la función de tabla de la variable Efecto de Aglomeración. La curva que se puede observar en la función de tabla, es unarepresentación de la restricción específica del suministro constante de agua, que está enfunción de la razón entre el tamaño de la población de conejos y la población de conejosnormal. Cuando hay pocos conejos en el criadero, la aglomeración no tiene ningún efectosobre la Fracción de Muertes, ya que queda agua en abundancia. De hecho, la función detabla da como salida un valor de 1, por lo que la Fracción de Muertes es igual a la Fracciónde Muertes Normal. Cuando la población de conejos crece, sin embargo, la Fracción deMuertes comienza a aumentar a medida que la función de tabla del Efecto Aglomeración,genera un valor mayor que 1. Y así, como todos los conejos que era posible sustentar, yaestán haciendo uso del agua disponible (que es una cantidad fija), se alcanza la capacidadmáxima del medio ambiente para sustentar conejos. La función de tabla Efecto de

Aglomeración, genera un valor de 3; así que la Fracción de Muertes se hace igual a 3 vecesla Fracción de Muertes Normal. La Fracción de Muertes ha alcanzado a la Fracción deNacimientos. El número de Muertes alcanza al número de Nacimientos y el sistema depoblación de conejos se estabiliza en el equilibrio.

FIGURA 7: Función de Tabla de la variable Efecto de Aglomeración

3.4.1. Ecuaciones del Modelo

(01) Efectos Aglomeración = WITH LOOKUP (Población de Conejos/Población de Conejos Normal,([(0,0)-(2,15)],(0,1),(0.2,1),(0.4,1.1),(0.6,1.3),(0.8,2),(1,3),(1.2,4),(1.4,5.62),(1.6,7.8),(1.8,11.1),(2,15) ))Units: **undefined**



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(02) FINAL TIME = 24Units: MonthThe final time for the simulation.

(03) Fracción de Muertes=Fracción de Muertes Normal*Efectos AglomeraciónUnits: 1/mesEl número de conejos que muere cada año, por conejo existente en la población de conejos.

(04) Fracción de Muertes Normal=0.5/3

Units: 1/mesEs la tasa a la cual cada conejo moriría, si tuviera un suministro ilimitado de comida y agua. Es tres vecesmenor que la fracción de nacimientos.

(05) Fracción de Nacimientos=0.5Units: 1/mesEs la tasa a la cual se puede reproducir cada conejo.

(06) INITIAL TIME = 0Units: MonthThe initial time for the simulation.

(07) Muertes=Fracción de Muertes*Población de ConejosUnits: conejos/mesEl número de conejos que mueren cada año

(08) Nacimientos=Población de Conejos*Fracción de NacimientosUnits: conejos/mesEl número de conejos que nace y se agrega a la población de conejos mensualmente

(09) Población de Conejos= INTEG (Nacimientos-Muertes,10)Units: conejosNúmero de conejos en la granja de Jean

(10) Población de Conejos Normal=500Units: conejosCantidad normal de conejos es el número máximo de conejos a los cuales Jean puede proveer de agua. Esfija (constante) porque Provenza tiene un clima seco y árido, y Jean dispone de una cantidad fija desuministro de agua.

(11) SAVEPER =TIME STEPUnits: Month [0,?]The frequency with which output is stored.

(12) TIME STEP = 0.0625Units: Month [0,?]The time step for the simulation.

3.4.2. Simulación del Modelo de Población de Conejos en VENSIM

Con el fin de analizar detalladamente la aplicación del modelo genérico a nuestro ejemplode los conejos, vamos a crear el gráfico de comportamiento de la variable población deconejos, y en seguida trazar, en otro gráfico, el comportamiento de las variables Fracciónde Nacimiento, Fracción de Muertes y Fracción de Muertes Normal. Con el fin de poderobservar el comportamiento del flujo neto de conejos (el flujo neto es Nacimientos menosMuertes) que afecta a la variable de stock en cada mes de la simulación, vamos a modificarel modelo original, creando una nueva variable que dé cuenta de dicho flujo neto.Finalmente, vamos a crear un gráfico para representar el comportamiento de losnacimientos, muertes, y el flujo neto a través del tiempo. Todo esto lo haremos para unperíodo de 24 meses, usando un TIME STEP=0.0625.

a) La Figura 8 que sigue, nos muestra el gráfico con el comportamiento en forma de Sde la variable de stock POBLACIÓN DE CONEJOS. Como era de esperar, en estagráfica podemos observar que la variable de stock crece exponencialmente durantelos primeros meses, dominada por el ciclo de retroalimentación positiva. Cerca delmes 10, cambia el sentido de la curva (punto de inflexión), porque comienzan a



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dominar los dos ciclos de retroalimentación negativa. La población de conejos

comienza a sentir la escasez de agua, lo conejos comienzan a morir a una tasa

mayor, y el crecimiento se torna asintótico, terminando el sistema en estado de

equilibrio dinámico, cerca del mes 18.

FIGURA 8: Comportamiento de la Variable de Stock: Población de Conejos

b) Las Figuras 9 y 10 muestran las dinámicas existentes detrás del desplazamiento

de dominancia del ciclo de retroalimentación positiva al ciclo de retroalimentación

negativa. Comencemos por la Figura 9. Al comienzo de la simulación, la Fracción

de Muertes es igual a la Fracción de Muertes Normal, por lo que la Fracción de

Nacimientos es inicialmente 3 veces la Fracción de Muertes.

FIGURA 9: Comportamiento de las Variables Fraccionales

Debido a lo anterior, el número de Nacimientos por mes, es mayor al número de

Muertes por mes (como se puede constatar en la Figura 10), y por lo tanto, el flujo

neto aumenta la población de conejos a una tasa creciente.



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FIGURA 10: Comportamiento de las Variables de Flujo

Comparemos ahora el comportamiento de la curva de Flujo Neto de la Figura 10,con la curva de Población de Conejos de la Figura 8, lo que hemos representado enle Figura 11. Cuando el Flujo Neto tiene pendiente positiva, la población de conejoscrece exponencialmente; cuando la pendiente se hace negativa, el crecimiento sehace asintótico (dominan los ciclos de retroalimentación negativa).

FIGURA 11: Comportamiento de las curvas de Flujo Neto y Población de Conejos

¿Qué relación existe entre la Fracción de Muertes, el Flujo Neto y la Población deConejos? Para analizar esto, hemos construido la Figura 12. En ella podemosobservar que la Fracción de Muertes comienza a incrementarse alrededor del mes8. El número de muertes aumenta, pero el número de Nacimientos lo hace a un ritmomayor; el crecimiento aún es exponencial. Cerca del mes 10, se produce eldesplazamiento; el Flujo Neto alcanza su valor máximo y su pendiente se hace cero.Cuando el Flujo Neto está en su punto máximo, la brecha entre Nacimientos y



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Muertes es la más alta y en la curva de Población de Conejos, se produce un puntode inflexión.

FIGURA 12: Incidencia de la Fracción de Muertes

Por su parte, la variable Fracción de Muertes continúa creciendo, y cerca del mes12, cambia su pendiente y empieza gradualmente a aproximarse a la Fracción deNacimientos, hasta igualarla, lo que generará el equilibrio del sistema. Aun cuandola pendiente de la variable Flujo Neto es negativa, su valor nunca se hace negativo,es decir, nunca es mayor que la Fracción de Nacimientos, de modo que la poblaciónno tiende a su desaparición, sino a un crecimiento estable. En el mes 15, ya elsistema se encuentra en equilibrio.

4. Tipos de Estructuras que Generan Comportamiento en Forma de S

No todos los sistemas que crecen en firma de S, pueden ser modelados de la mismamanera. Este párrafo examina dos estructuras diferentes que producen un crecimiento enforma de S. Estas estructuras se encuentran esquematizadas en las Figuras 13 y 14.

FIGURA 13: Estructura de Crecimiento en forma de S - Tipo 1



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FIGURA 14: Estructura de Crecimiento en forma de S – Tipo 2

4.1. CRECIMIENTO EN FORMA DE S – Estructura Tipo 1

El primer tipo de estructura puede ser utilizado para modelar el crecimiento, cuando existeun factor limitante. Dos ejemplos de sistemas gobernados por esta estructura son elcrecimiento de una población de ratones en un área limitada (Figura 15) y la construcciónde edificios en un área limitada (Figura 16).

FIGURA 15: Modelo de crecimiento de la población de ratones con un área limitada

Tal como ya vimos en el párrafo 3, en los dos ejemplos anteriores, inicialmente el ciclo deretroalimentación positiva, ya sea de nacimientos o de construcción, es dominante,causando que el stock crezca exponencialmente. A medida que el stock crece, la densidadtambién aumenta. En el punto de inflexión, el ciclo de retroalimentación negativa de lamuerte o demolición, se convierte en más dominante que el ciclo de retroalimentaciónpositiva y los stocks empiezan a crecer a un ritmo más bajo cada mes. Cuando la densidadalcanza su valor máximo, el área ya no puede soportar un aumento del stock, por lo que elflujo de entrada se hace igual al flujo de salida.



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FIGURA 16: Modelo de construcción de viviendas con un área limitada

Otros comportamientos que este modelo puede generar son el crecimiento exponencialhasta el infinito o la caída exponencial a cero. El crecimiento exponencial al infinito ocurrirási los parámetros son fijados en valores que causen que el ritmo de nacimiento/construcción,

siempre exceda al ritmo de muerte/demolición. Una caída exponencial a cero ocurrirá si losparámetros son fijados en valores que causen que el ritmo de muerte/demolición, seasiempre mayor que el ritmo de nacimiento/construcción.

4.1.1. EJERCICIO 1: Comportamiento de la Población de Ratones

El crecimiento en forma de S de la Estructura 1 (Figura 15) produce tres distintoscomportamientos dependiendo del valor inicial de la variable de stock. El modelo estádefinido con las siguientes ecuaciones, considerando que la variable Multiplicador deMuertes varía con la cantidad de población según la tabla que se adjunta (HINT: usar lafunción de LOOKUP, usando la variable ‘Densidad de la población’ como argumento de

búsqueda):

Nacimientos = Población de Ratones * Tasa de NacimientosMuertes = (Población de Ratones / Vida Media) * Multiplicador de muertes

Área = 1 AcreTasa de nacimientos = 1.5 / AñoVida media = 4 Años.Densidad de la población = Población de Ratones / ÁreaMultiplicador de muertes = (0,1), (100,1), (200,1), (300,1), (400,1.5), (500,2), (600,2.8),(700,3.7), (800,4.7), (900,5.7), (1000,7.5)

Considere como tiempo inicial 0 y tiempo final 12.

a) Graficar la variable POBLACIÓN DE RATONES para una población inicial de 2.

Ecuaciones en VENSIM:

(01) Área=1Units: acreLa cantidad de tierra disponible para que vivan los ratones.



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(02) Densidad de la población=Población de Ratones/ÁreaUnits: ratones/acreEl número de ratones por unidad de área (acres)

(03) FINAL TIME = 12Units: YearThe final time for the simulation.

(04) INITIAL TIME = 0Units: YearThe initial time for the simulation.

(05) Muertes= (Población de Ratones /Vida Media)* Multiplicador de muertesUnits: ratones /añoEl número de ratones que mueren cada año

(06) Multiplicador de muertes = WITH LOOKUP (Densidad de la población,([(0,0)-(1000,10)], (0,1),(100,1),(200,1),(300,1),(400,1.5),(500,2)2.8),(700,3.7),(800,4.7),(900,5.7),(1000,7.5) ))Units: DmnlFactor de multiplicación que es dependiente de la densidad de la población.Convierte la densidad a un factor que afecta el número de nacimientos anuales.

(07) Nacimientos=Población de Ratones*Tasa de nacimientosUnits: ratones/añoEl número de ratones que nace y se agrega a la población de ratones, anualmente.

(08) Población de Ratones = INTEG (Nacimientos-Muertes,2)Units: ratonesNúmero de ratones en la población de ratones.

(09) SAVEPER = TIME STEPUnits: Year [0,?]The frequency with which output is stored.

(10) Tasa de nacimientos=1.5Units: 1/añoEl número de ratones que nace en la población, por cada ratón ya existente en la

población, cada año.(11) TIME STEP = 0.25Units: Year [0,?]The time step for the simulation.

(12) Vida Media=4Units: añoEl número de ratones que muere cada año, por ratón existente en la población de

ratones.

Gráficas de la simulación en VENSIM:

a) Graficar la variable POBLACIÓN DE RATONES para una población inicial de 2 ratones.



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b) Graficar la variable POBLACIÓN DE RATONES para una población inicial de 0 ratones.

Como se puede observar y era de esperar, el comportamiento de la variable Población deRatones es una recta de valor cero.

c) Graficar la variable POBLACIÓN DE RATONES para una población inicial de 990.



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Como se puede observar en esta tercera gráfica, al aumentar a un valor muy alto lapoblación inicial, la población de ratones disminuye muy rápidamente hasta lograr elequilibrio en el largo plazo, es decir, los nuevos nacimientos se hacen igual a las muertes.Para comprobar esto, cambie el valor de la población inicial a un valor, por ejemplo de10.000 ratones y haga el gráfico de esta variable para que vea su comportamiento.

Para finalizar, presentamos a continuación una gráficas en que se sintetizan los datos delas tres corridas de simulación, con los valores iniciales de la población de ratones de 2,0 y990.

A partir de este ejercicio, se puede concluir que el crecimiento hasta el infinito ocurre cuandolos parámetros se fijan en valores que ocasionan que la Tasa de Nacimientos siempreexceda la Tasa de Muertes.

Tasa de Nacimiento = Población de Ratones * Fracción de Nacimiento

Tasa de Mortalidad = Población de Ratones * (Multiplicador de Muerte / Tiempo deVida Promedio)

Para que la Tasa de Nacimientos siempre sea mayor que la Tasa de Muertes, las siguientescondiciones tienen que ser verdaderas:

Fracción de Nacimientos > (Multiplicador de Muerte)/ (Tiempo de Vida Promedio)

El decaimiento exponencial a cero ocurre cuando los parámetros se fijan en valores quecausan que la Tasa de Muerte siempre exceda la Tasa de Nacimiento. Si este es el caso,lo siguiente tiene que ser verdadero:

Fracción de Nacimientos < (Multiplicador de Muerte) / (Tiempo de Vida Promedio)



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4.2. CRECIMIENTO EN FORMA DE S – Estructura Tipo 2

La segunda estructura de crecimiento en forma de S y sus variaciones, se deriva desistemas, por ejemplo, que involucran rumores, lanzamiento de nuevos productos yepidemias. Dos ejemplos de sistemas gobernados por este tipo de estructura, son lasepidemias (Figura 17) y el ciclo de vida de nuevos productos (Figura 18).

FIGURA 17: Epidemia

FIGURA 18: Ciclo de vida de un nuevo producto



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Este modelo es más complicado que el que se presentó anteriormente para la Estructura1 de crecimiento en forma de S. Para hacer el modelo más fácil de entender, explicaremospaso a paso el modelo de la Figura 17, el cual servirá igualmente para explicar la Figura 18.

La Figura 17 tiene dos variables de stock: PERSONAS SALUDABLES y PERSONASENFERMAS. La probabilidad que una PERSONA SALUDABLE entre en contacto con una

PERSONA ENFERMA, es proporcional al número total de personas enfermas en lapoblación. Por lo tanto, mientras más PERSONAS ENFERMAS existan en la población, haymayor oportunidad de entrar en contacto con una de ellas; para llevar esto al extremo, si de1000 personas, 999 están enfermas, la única sana que queda, si interactúa con otraspersonas normalmente, lo más probable es que se contagie; pero esa probabilidaddependerá de la probabilidad que tiene una persona sana de contagiarse por el mero hechode estar en contacto con una persona enferma (es decir, no siempre que una persona sanase contacta con una persona enferma, se contagia). Esta probabilidad es un valor constante.

Otro valor que afecta el que una persona se enferme o no, es el número total deinteracciones o contactos que cualquier persona tiene con otra en la población por unidadde tiempo. El ritmo al cual la gente saludable se enferma se basa en la probabilidad de

enfermarse cuando el contacto es efectuado, el número de interacciones que cada personatiene con otros en la población y la probabilidad de que la interacción sea con una personaenferma. Otro factor que afecta el número de personas enfermas y saludables es el ritmoen el cual la gente enferma se recupera de su enfermedad y regresa al ‘stock’ de gentesaludable, asumiendo que la enfermedad no proporciona inmunidad permanente (es decir,que una vez sanada, la persona no puede volver a enfermarse).

Alterando los valores de los parámetros en esta estructura, solo afectará el comportamientodel modelo, cambiando la escala del tiempo sobre la cual ocurre el comportamiento.

4.2.1. EJERCICIO 2: Comportamiento de la Población Enferma y Sana

El crecimiento en forma de S de la Estructura 1 (Figura 17) produce tres distintoscomportamientos dependiendo del valor inicial de las variables de stock. A continuación seexamina cada uno de estos tres comportamientos, utilizando el modelo de epidemia de laFigura 17. El modelo está definido con las siguientes ecuaciones:

Tasa de recuperación = Personas Enfermas / Duración enfermedadEnfermándose = Personas Saludables * Probabilidad de contacto con enfermos*Interacciones de la Población* Probabilidad de contagioInteracciones de la Población = 10/MesDuración enfermedad = .5 Meses

Probabilidad de contagio = .5Probabilidad de contacto con enfermos = Personas Enfermas / (Personas Enfermas +PersonasSaludables)



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a) Graficar las variables PERSONAS ENFERMAS y PERSONAS SALUDABLES para unvalor inicial de PERSONAS ENFERMAS=10 y PERSONAS SALUDABLES=90.

Ecuaciones en VENSIM:

(01) Duración enfermedad = 0.5Units: mesesEl tiempo que toma a una persona enferma, recuperarse y transformarse en personasaludable.

(02) Enfermándose=Personas Saludables*Probabilidad de contacto con enfermos *Interacciones de la población*Probabilidad de contagio

Units: **undefined**El número de personas saludables que se contagia y se transforma en personasenfermas, cada mes.

(03) FINAL TIME = 5Units: MonthThe final time for the simulation.

(04) INITIAL TIME = 0Units: MonthThe initial time for the simulation.

(05) Interacciones de la población=10Units: 1/mesesEl número de personas con las que cada individuo tomará contacto cada mes.

(06) Personas Enfermas= INTEG (Enfermándose-tasa de recuperación, 10)Units: personasEl número de personas enfermas que hay en la población, donde la población es lasuma de la población saludable y la población enferma.

(07) Personas Saludables= INTEG (tasa de recuperación-Enfermándose, 90)Units: personas

El número de personas saludables que hay en la población, donde la población esla suma de la población saludable y la población enferma.(08) Probabilidad de contacto con enfermos=Personas Enfermas / (Personas Enfermas +

Personas Saludables)Units: **undefined**La probabilidad de que, cuando una persona de la población entre en contacto conotra persona de dicha población, ésta sea una persona enferma.

(09) Probabilidad de contagio=0.5Units: **undefined**La probabilidad de contagiarse de la enfermedad, dado que se tomó contacto conuna persona enferma.

(10) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]The frequency with which output is stored.(11) tasa de recuperación=Personas Enfermas/Duración enfermedad

Units: personas/mesesEl número de personas enfermas que se recupera y se transforma en personassaludables cada mes.

(12) TIME STEP = 0.25Units: Month [0,?]The time step for the simulation.



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Las curvas se cruzan y finalmente c/u se hace asintótica, siendo siempre la cantidad depersonas enfermas en la población, mayor que la cantidad de personas sanas.

b) Graficar las variables PERSONAS ENFERMAS y PERSONAS SALUDABLES para unvalor inicial de PERSONAS ENFERMAS=0 y PERSONAS SALUDABLES=100.

La gráfica muestra que el comportamiento resulta ser lo que se espera: que no hayaenfermos y toda la población esté sana. Se alteró la escala del eje de la Y, para que se

visualizasen ambas curvas.

c) Graficar las variables PERSONAS ENFERMAS y PERSONAS SALUDABLES para unvalor inicial de PERSONAS ENFERMAS=55 y PERSONAS SALUDABLES=45.



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Las curvas no cruzan y se hacen asintóticas, siendo siempre la cantidad de personasenfermas en la población, mayor que la cantidad de personas sanas.

d) Graficar las variables PERSONAS ENFERMAS y PERSONAS SALUDABLES para unvalor inicial de PERSONAS ENFERMAS=50 y PERSONAS SALUDABLES=50.

e) Grafique la Gente Enferma y la Gente Saludable para un valor inicial de GenteEnferma = 10 y de Gente Sana = 90, mientras que los pacientes que se recuperanson igual a cero y constante. ¿Qué tipo de enfermedad está siendo graficada? Ajustela variable TIME STEP a 0.0625 para que la curva queda más suave. Igualmente,

asigne un valor alto a la variable DURACIÓN DE LA ENFERMEDAD, pararepresentar la idea que no existe recuperación.



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La gráfica representa el caso de una enfermedad terminal, donde toda la población terminaestando enferma.

A partir de este ejercicio, se puede concluir que cambiar los valores de los parámetros paraesta estructura solo afectará la escala de tiempo sobre la cual ocurren los distintoscomportamientos. Esto puede ser fácilmente entendido si uno examina la ecuación de

Adquirir la Enfermedad (variable ENFERMÁNDOSE en el modelo).

Enfermándose = Personas Saludables * Probabilidad de Contacto con Enfermos *Interacciones de la Población * Probabilidad de Contagio

Uno debe ahora sustituir en la ecuación de arriba, la ecuación para la probabilidad decontacto con Personas Enfermas.

Probabilidad de Contacto con enfermos = (Personas Enfermas) / (Personas Saludables +Personas Enfermas)

Enfermándose = Personas Saludables * Personas Enfermas / (Personas Saludables +Personas Enfermas) *Interacciones de la población * Probabilidad de contagio

La ecuación de ENFERMÁNDOSE tiene varias constantes en ella. Estas son lasInteracciones de la población, la Probabilidad de Contagio y Gente Saludable más la GenteEnferma, que de hecho es la población total. Todas estas constantes pueden sercombinadas para formar una constante.

Constante = Interacciones de la Población * Probabilidad de contagio / (PersonasSaludables + Personas Enfermas)

La ecuación para ENFERMÁNDOSE puede ser escrita ahora como sigue:

ENFERMÁNDOSE = Personas Saludables * Personas Enfermas * Constante

El significado de esta forma simplificada es que combina todos los valores de losparámetros en una constante grande. Si los parámetros son cambiados lo único que es



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afectado es la constante en la tasa de Adquirir la enfermedad. Un cambio en esta constantesolo afecta la escala de tiempo del comportamiento.

4.3. CONCLUSIONES FINALES

Aun cuando las dos estructuras que hemos revisado en este documento parecen ser muy

diferentes, son capaces de producir los mismos comportamientos. Examinemos lassimilitudes entre ambas.

Ambas tienen un ciclo de retroalimentación positiva dominante que crea el equilibriodinámico. Los diagramas causales que se muestran a continuación demuestran estassimilitudes.

Los diagramas causales de las dos estructuras genéricas revisadas en este documento,

son definitivamente similares. Esto explica por qué ambas estructuras generan uncomportamiento de CRECIMIENTO CON FORMA DE S. Esto también ejemplifica unproblema con los diagramas de ciclos causales, que hace que muchas personas seequivoquen: los diagramas de ciclo causal NO entregan una representación precisa de laestructura de un sistema. Los diagramas de ciclo causal son útiles cuando describen elcomportamiento necesario de un sistema, pero fallan a la hora de definir su estructura.



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4.4. EJERCICIO A DESARROLLAR POR EL ALUMNO

EJERCICIO 1

Milton Head Island acaba de ser adquirido por la Compañía de Desarrollo GALT, que esperaconvertirlo en uno de los más importantes complejos de golf. La isla tiene una superficie

total de 1.000 hectáreas que la empresa quisiera poder transformar en campos de golf. Lacompañía desarrolló primero dos hoyos de prueba en 10 acres de tierra, para asegurarsede la calidad del terreno. En este punto, la Compañía de Desarrollo GALT realiza una ampliainvestigación de mercado sobre el crecimiento de los desarrollos exitosos de Campo deGolf. Su estadístico, recién salido del MIT y delirando con las últimas estrategias demodelización estadística, llega a la conclusión de que el desarrollo debe ser directamenteproporcional al producto de las áreas desarrolladas y no desarrolladas. A continuación semodela la estrategia:

Ecuaciones a modelar

Nuevos Desarrollados = Fracción de desarrollo * Área no desarrollada *Zona de Campo deGolf

Unidad: acres/mesFracción de desarrollo = 0.0004 1/(mes * acre)

Área no desarrollada = Área Total - Zona de Campo de GolfUnidad: acres

Área Total = 1000 acresValor Inicial de la Zona de Campo de Golf = 10 acres

A. ¿Qué clase de comportamiento de retroalimentación contiene este Sistema?B. ¿Cuál es el valor final de la variable de stock?C. ¿Qué clase de comportamiento exhibe la variable de stock?

EJERCICIO 2

Un inversionista que está a punto de lanzar un nuevo producto muy exclusivo al mercadode La Serena, le ha solicitado modelar el sistema en VENSIM, para tener una idea de cuálserá el comportamiento de éste en los próximos 10 meses. Entre los datos importantes quele cuenta, es que ya hizo algunos prototipos del producto y logró colocar 1.000 en elmercado objetivo.



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Él ha estimado que su mercado potencial es de 10.000 personas, la vida media del productoes de 10 meses y la tasa mensual de falla del producto (lo que implica botarlo a la basuray volver a compra uno) depende del número de personas que poseen el producto y de lavida media.

Se sabe que cada persona de este nicho de mercado interactúa normalmente con 5

personas del mismo universo, y que la probabilidad de que una persona compre es de0.5; por su parte, se nos ha dicho que se espera que el comportamiento del sistema seade crecimiento en forma de S, lo que le permite a Ud. determinar la ecuación para definirla cantidad de productos que se comprarán mensualmente.

A. Dibuje el Modelo gráfico en VENSIM, establezca las ecuaciones del modelo yefectúe la simulación. Grafique las variables de stock y la variable de flujo que dacuenta de los nuevos compradores de cada mes, usando las funcionalidades delCONTROL PANEL para definir gráficos personalizados.

B. ¿Qué ocurre con el comportamiento de las variables de stock, si varía la vida útil delproducto?

C. ¿Qué ocurre con el comportamiento de las variables de stock, si varía la probabilidad

de compra?D. ¿Qué ocurre con el comportamiento de las variables de stock, si varía el número deposeedores iniciales, por ejemplo a ‘0’ y a ‘7000’?

2014-06-17-Comportamiento en Forma de S

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