Sociedad Matematica Peruana

IX Olimpiada Nacional Escolar de Matematica (ONEM 2012)

Primera Fase - Nivel 2

29 de agosto de 2012

- La prueba tiene una duracion maxima de 2 horas.

- No esta permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizartus calculos.

- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con laprueba. En caso de empate se tomara en cuenta la hora de entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.

MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS

1. Las edades de un padre y su hijo son 35 y 11 respectivamente, ¿dentro de cuantos anos laedad del padre sera el doble de la del hijo?

A) 11 B) 24 C) 12 D) 35 E) 13

2. Sia

b=

1

2y

b

c=

1

4, calcular

a− b

b− c.

A) 0 B)1

3C)

1

6D)

1

4E)

1

2

3. En una tienda cada caramelo cuesta 10 centimos y por la compra de cinco caramelos regalanun caramelo mas. Si un nino recibio 32 caramelos, ¿Cuanto gasto en total?

A) S/. 2,5 B) S/. 2,7 C) S/. 3 D) S/. 3,2 E) S/. 3,8

4. En un salon de clase hay 10 ninas mas que ninos. Un dıa faltaron 3 ninas y 2 ninos, y se contoen total 31 alumnos. ¿Cuantos ninos asistieron ese dıa?

A) 10 B) 11 C) 13 D) 20 E) 23

5. Una encuesta realizada a un grupo de alumnos de cierto colegio sobre el tiempo dedicado alos videojuegos semanalmente estaba dividida en 4 categorıas: 0 a 2 horas, 2 a 6 horas, 6 a 8horas y mas de 8 horas. Si el 50 % juega de 0 a 2 horas, el 44 % juega de 2 a 8 horas y el 9 %juega de 6 horas a mas, ¿que porcentaje juega de 2 a 6 horas?

A) 41 % B) 47 % C) 44 % D) 46 % E) 40 %

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6. El profesor le pidio a Pedrito escribir en la pizarra un numero de tres dıgitos que sea multiplode 3 pero no de 4, ¿cual de los siguientes numeros pudo haber escrito Pedrito?

A) 216 B) 254 C) 228 D) 240 E) 222

7. En la figura ABCD es un cuadrado y las rectas L1 y L2 son perpendiculares. Halla la medidadel angulo x.

21L Lx

40°

D C

BA

A) 40◦ B) 45◦ C) 50◦ D) 60◦ E) 70◦

8. Se pinta de rojo las seis caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se recorta el cubo enpequenos cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en la figura. ¿Cuantos de estos cubos dearista 1 cm tienen exactamente dos caras pintadas de rojo?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

9. Decimos que un anagrama formado con las letras A, A, B, B, C, C es aceptable si la secuen-cia ABC aparece al menos una vez. Por ejemplo, el anagrama CBABCA es aceptable peroACBACB no lo es. ¿Cuantos anagramas aceptables formados con dichas letras existen?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

10. Si a, b, c, d son dıgitos tales que(ab2

)2=

(cd

)3, calcula el valor de a + b + c + d.

A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

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11. Marıa debe comprar pastelitos para 7 personas, dandole a cada uno la misma cantidad depastelitos. En la tienda solo venden pastelitos en cajas de 8 o 15 unidades. ¿Cuantos cajasdebe comprar Marıa como mınimo?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

12. Tengo una bolsa de canicas, cada una de ellas es de color azul, rojo o verde. Si hay al menos10 canicas que no son azules, 20 canicas que no son rojas y 40 canicas que no son verdes,¿cuantas canicas como mınimo tengo en la bolsa?

A) 35 B) 42 C) 36 D) 41 E) 37

13. La suma de los cuadrados de tres reales positivos es 160. Uno de esos numeros es igual a lasuma de los otros dos. La diferencia entre los dos numeros menores es 4. ¿Cual es la diferenciade los cubos de los dos numeros menores?

A) 320 B) 360 C) 400 D) 480 E) 640

14. ¿Que elemento se debe eliminar del conjunto {42, 44, 45, 60, 80} para que el mınimo comunmultiplo de los cuatro elementos restantes sea el mayor posible?

A) 42 B) 44 C) 45 D) 60 E) 80

15. Decimos que un numero de 4 dıgitos es apocalıptico si tiene al menos un 0, un 1 y un 2entre sus dıgitos. Por ejemplo el 2012 es apocalıptico. Determina cuantas de las siguientesproposiciones son verdaderas

9210 es el mayor numero apocalıptico.

1012 es el menor numero apocalıptico.

No existe numero apocalıptico que sea multiplo de 101.

Ningun numero apocalıptico se puede expresar como la suma de dos numeros apocalıp-ticos.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

16. Los numeros reales a, b, c, d son no nulos y tienen suma 0, ademas

1

a+

1

b+

1

c+

1

d+

1

abcd= 0.

Halla (ab− cd)(c + d).

A) 0 B) 1 C) −1 D) 2 E) −2

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17. Determinar cuantos numeros de 4 dıgitos son tales que al borrar cualquier dıgito el numerode 3 dıgitos resultante sea un divisor del numero original.

A) 14 B) 9 C) 13 D) 10 E) 15

18. En la figura mostrada se puede aplicar la siguiente operacion: se elige dos numeros adyacentesy se le suma la misma cantidad entera a ambos. ¿Cuantas operaciones se necesitan comomınimo para que los siete numeros sean iguales?

7

6

5 4

3

2

1

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

19. En un tablero de 5× 5 fueron pintadas N casillas de tal modo que cada subtablero de 2× 2contiene exactamente 2 casillas pintadas y cada subtablero de 3 × 3 contiene 4 o 5 casillaspintadas. ¿Cuantos valores puede tomar N?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20. Halla el coeficiente de x2012 al desarrollar el siguiente producto:

(1 + x)2(1 + x3)2(1 + x9)2(1 + x27)2(1 + x81)2(1 + x243)2(1 + x729)2.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

GRACIAS POR TU PARTICIPACION

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