20121ILN230V1 Apuntes Primera Parte

Ingeniera Econmica 1 er Semestre 2012Manuel Marn Gonzles Ingeniero Civil Industrial, UTFSM Candidato Magister en Tributacin, U. de ChileValparaso, 2012

Contenidos Introduccin Matemticas Financieras Valor del dinero en el tiempo Inters Tasa de inters (simple, compuesta, nominal, efectiva, continua) Valor futuro Pagos peridicos (Payment) Gradientes (Decreciente, creciente y escalada) Inters interperidico Bonos Inflacin Amortizacin Depreciacin Flujo de caja

Indicadores Econmicos Valor actual neto (VAN) Conto anual uniforme equivalente (CAUE) Tasa interna de retorno (TIR)Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Contenidos Costo capitalizacin Tasa mnima atractiva de retorno (TMAR) Razn Beneficio/Costo , IVAN, Payback (Tiempo de Pago)

Anlisis Econmico Reemplazo de equipos Leasing Evaluacin de inversiones

Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Bibliografa Matemticas Financieras, Tercera Edicin, Renzo Devoto y Mauro Nuez Ingeniera Econmica, Leland Blank Anthony Tarquin

Ingeniera Econmica. H.G. Thuesen, W. J. Fabricky, G.J. Thuesen Prentice HallMatemticas Financieras, Tercera Edicin, Portus, Mc Graw Hill Fontaine, Ernesto. "Evaluacin Socioeconmica de Proyectos". E.L.Grant y W.G. Ineson. "Principles of Engineering Economy". Fundamentos de Financiacin Empresarial, Brealy & Myers J.R. Canada y J.A. White. "Capital Investment Decision Analysis Management and Engineering". 1980. Evaluacin de Proyectos, Sapag Sapag Apuntes de ClasesManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Introduccin

Ingeniera Econmica?Coleccin de tcnicas matemticas que simplifican las comparaciones econmicas. Con estas tcnicas es posible desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar los aspectos econmicos de los diferentes mtodos (alternativas) empleados en el logro del objetivo determinado. Las tcnicas pueden funcionar tanto para un individuo como para una corporacin que se enfrenta con una decisin de tipo econmico.


Principios de la Ingeniera EconmicaPrincipio 1: Desarrollo de Alternativas

La eleccin y/o decisin es entre alternativas. Estas necesitan ser identificadas y luego definidas para un adecuado anlisis.Principio 2: Atencin (foco) en las Diferencias Solamente las diferencias resultados futuros previstos entre alternativas son relevantes para su comparacin, y debera ser consideradas en la decisin.


Principios de la Ingeniera EconmicaPrincipio 3: Uso de un consistente punto de vista

Los resultados potenciales de alternativas, econmicos y otros, deberan ser consistentemente desarrollados desde puntos de vistas definidos Principio 4: Uso de una unidad de medicin comnUsando una unidad de medida para cuantificar un nmero de resultados potenciales posibles, simplificar el anlisis de las alternativas.


Principios de la Ingeniera EconmicaPrincipio 5: Considerar todos los criterios relevantes

Seleccin de alternativas preferida (hacer la decisin) requiere el uso de criterio(s). El proceso de decisin debera considerar los resultados valorados en la unidad monetaria, y esos expresados en algn otra unidad de medida explicita en una manera descriptiva.Principio 6: Hacer explcita las incertidumbres Las incertidumbres son inherentes a los futuros resultados proyectados o estimados, y esto debera ser reconocido en sus anlisis y comparaciones.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Principios de la Ingeniera Econmica

Principio 7: Volver a revisar tus decisionesDecisiones de resultados pueden ser mejoradas haciendo un proceso adaptativo. Para hacerlo practicable, los resultados proyectados iniciales de la alternativa seleccionada deberas subsecuentemente comparados con resultados actuales archivados, que sean comparables.


Valor del Dinero en el Tiempoa) Suponga que a usted se le enfrenta al problema de decidir entre dos alternativas mutuamente excluyentes. Recibir hoy una donacin de M$ 10.000.

b)

Recibir una donacin de M$ 10.000 dentro de un ao.

Respuesta: Alternativa a) La perdida de poder adquisitivo (debido a la inflacin) El riesgo (ms vale tener el dinero hoy, que tener una promesa de que recibir el dinero dentro de un ao) Usos alternativos del dinero (costo de oportunidad).


Definiciones Dinero Bien o recurso econmico circulable y, por lo tanto, su uso o posesin ocasiona un costo o un beneficio, cuya magnitud depende tanto de la valoracin que se le d, como del tiempo de usufructo de dicho bien. Crdito

Es el traspaso del derecho al uso de un bien por parte de una persona natural o jurdica que goza de tal derecho y que renuncia a ese uso a favor de otra persona natural o jurdica, la cual lo adquiere lo adquiere por un plazo determinado o no. Inters

Es la renta que se paga por el uso del dinero tomado en prstamo (punto de vista del deudor), o bien, es la renta que se cobra por renunciar al uso del dinero otorgado en prstamo (punto de vista del acreedor). Costo de Oportunidad

Es la ganancia o rentabilidad de la mejor alternativa desechada o sacrificada al asignar un bien o un recurso a un uso especfico, existiendo usos alternativos rentables para ese mismo bien o recurso.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Diagramas Econmicos Representacin grfica de los flujos de efectivo trazados en una escala de tiempo.

Permite visualizar un problema, facilitando as su definicin y anlisis. Consta de una lnea horizontal, dividida en intervalos de tiempo, y de flechas verticales que representan los ingresos y egresos.

Ingresos

0

1

2

3

n-2

n-1

n

tiempo

EgresosManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Valor del Dinero en el TiempoPor lo tanto el monto o valor futuro alcanzado por un capital al final de un perodo, a una tasa de inters dada, es ese capital ms los intereses devengados a esa tasa de inters y acumulados sobre l perodo.

VF = C + IDonde: VF: Valor Futuro C: Capital I: Suma de los intereses acumulados en el perodo relevante.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Valor del Dinero en el TiempoEjemplo n1 Usted cuenta con las siguientes tres nicas y mutuamente excluyentes alternativas para invertir $250.000, a un mes plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo.

a)

Realizar un depsito en un Banco Comercial, que ofrece pagarle a fin de mes un inters de $2 por cada $100 depositados.

b) Colocar el dinero en una alternativa que reportar un inters de $4.750, al final del mes. c) Colocar el dinero en una alternativa que reportar, la final del mes, un inters de $0,25 por cada $100 del depsito previamente reajustado por inflacin. Determinar cul sera la mejor alternativa, si se estimase una tasa de inflacin mensual del 1,6%. Determinar cul sera la ganancia bruta (en $), la tasa de rentabilidad bruta (sobre $) de cada alternativa y el costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa) al seleccionar cada una de las alternativas. Determinar a partir de cul tasa de inflacin (mnima o mxima) se entrara a modificar la respuesta de la alternativa 1.

1. 2.

3.


Valor del Dinero en el TiempoSolucin 1. Determinar cul sera la mejor alternativa, si se estimase una tasa de inflacin mensual del 1,6%. a. 250.000 + 250.000 (2/100) = 255.000

b.c.

250.000 + 4.750 = 254.750Primero reajusto por inflacin. 250.000 + 250.000(1,016) = 254.000 Ahora calculamos intereses. 254.000(1,0025) = 254.635

1.

Cifras en $. Alternativas a b c Ganancia Bruta 5.000 4.750 4.635 Costo Oportunidad 4.750 5.000 5.000 Ganancia Neta 250 -250 -365

2.

(250.000 + 250.000*x)(1,0025)=255.000 x = 0,017456 => 1,75%Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

IntersInters Es la renta que se paga por el uso del dinero tomado en prstamo (punto de vista del deudor), o bien, es la renta que se cobra por renunciar al uso del dinero otorgado en prstamo (punto de vista del acreedor).

I = Monto Final Monto InicialEjemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que devolver 105.000. El inters pagado es $5.000.


Tasa de IntersTasa de Inters Corresponde al inters por unidad de tiempo, expresado como tanto por ciento o como tanto por uno del capital sobre el cual se produce o devenga.

I i = *100 CEjemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que devolver 105.000. El inters pagado es $5.000, a una tasa de i=($5.000/$100.000)*100 = 5% por unidad de tiempo.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters SimpleEs el inters que se aplica tomando solamente el Monto Inicial. Se ignora cualquier inters que pueda acumularse en los perodos precedentes

I = nCiDonde: I: Inters n: Nmero de periodos de capitalizacin o inters

i: Tasa de inters por perodoManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters SimpleCi Ci Ci VF

0

1

2

3

n-2 n-1

n

C

Por lo tanto

VF = C(1+ ni)


Inters SimpleEjemplo n2 Una persona A deposita $250.000 durante 6 meses, a una tasa de inters simple de 6% trimestral y retira todo el dinero al fin de ese lapso. Otra persona B coloca $90.000 a inters durante 6 meses y retira todo el dinero (exactamente $101.880) al final de ese lapso. 1. Calcular el monto retirado por A, al fin de los 6 meses. 2. Calcular la tasa de inters mensual simple obtenida por B durante los 6 meses. 3. Determinar cul de los dos ahorrantes obtuvo una mejor tasa de inters.


Inters SimpleSolucin 1. C = 250.000(1+2*0,06) = 280.000

2.

101.880 = 90.000(1+6i) i = 0,022 => 2,2%250.000*6i = 30.000 i = 0,02 %

3.

Por lo tanto es mejor la tasa obtenida por B.


Inters CompuestoEs el inters que se calcula sobre el Monto Inicial ms la cantidad acumulada de intereses en perodos anteriores. Es decir, se cobra inters sobre el monto inicial ms el inters sobre los intereses. Este inters es el que mejor representa el valor del dinero en el tiempo.

I = C((1+ i)n -1)Donde: I: Inters n: Nmero de periodos de capitalizacin o inters

i: Tasa de inters por perodoManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters CompuestoC(1+i)n-3 Ci3 C(1+i)2 C(1+i)

VF

C(1+i)n-2

0

1

2

3

n-2 n-1

n

Por lo tanto

VF = C(1+ i)nManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters CompuestoEjemplo n3 Considere el caso de dos ahorrantes que colocan dinero a inters en una misma institucin financiera, en una misma fecha. La modalidad seleccionada por estos ahorrantes fue la de depsito a plazo. El ahorrante A deposit $180.000 y al cabo de los 30 das retiro los intereses y volvi a depositar slo el capital por otros 30 das. El ahorrante B deposit $180.000 por dos meses. Durante los dos meses relevantes, la institucin financiera mantuvo una tasa de inters de 1% mensual para esta modalidad de ahorro. 1. Calcular el capital insoluto de la deuda de la institucin financiera con los ahorrantes, al cabo de los primeros 15 das y al comienzo de la ltima semana del lapso relevante. Calcular el saldo insoluto a favor de los ahorrantes, al final del primer mes y al final del segundo mes.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

2.

Inters CompuestoSolucin Versin como se establece hoy en da por instituciones financieras. 1. Ahorrante A: El capital insoluto es de $ 180.000 en todo momento dentro del plazo relevante, por cuanto tanto en los primeros 30 das como en los segundos 30 das, el capital depositado es de $ 180.000. Ahorrante B: Al cabo de los primeros 15 das y en cualquier momento dentro de los primeros 30 das, el capital insoluto es de $ 180.000, por cuanto ese es el capital mantenido en depsito durante ese lapso.

Al comienzo de la ltima semana el capital y en cualquier momento dentro del ltimo mes, el capital insoluto es de $ 181.800, que corresponde al capital depositado por el ahorrante al comienzo del segundo mes. ( 180.000(1 + 0,01)1 ).2. AhorrantesA Primer Mes Segundo Mes 180.000(1 + 0,01)1 = 181.800 180.000(1 + 0,01)1 = 181.800Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

B 180.000(1 + 0,01)1 = 181.800 180.000(1 + 0,01)2 = 183.618

Tasas de Inters EquivalenteDos o ms tasas de inters son equivalentes entre si, si y slo si aplicadas sobre una misma cantidad de dinero producen (o deducen) la misma cantidad de intereses, en un mismo lapso de tiempo.

Equivalencias Simple Compuesto

C(1+ ic )n = C(1+ nis )Por lo tanto:

Si bien no es necesario retener estas frmulas, el desarrollo anterior tiene la virtud de sealar que la equivalencia entre tasas de inters simple y compuesta depende del tiempo durante el cual se aplican las tasas.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Tasas de Inters EquivalenteEjemplo n4 En cada uno de los siguientes casos independientes, determinar va comparacin de tasas de inters , cul es la alternativa ms conveniente para obtener un crdito por un capital de M$500, con un pago de capital e intereses al vencimiento. 1. Un plazo de 4 aos, pudiendo optarse por una tasa de inters de 58% anual simple por una tasa de inters de 36% anual compuesto. 2. dem 1. con un plazo de 2 aos.

3. Un plazo de 7 aos, pudiendo optarse por una tasa de inters de 9% bimestral simple por una tasa de inters de 30% anual compuesta.


Inters Efectivo y NominalInters nominal (r)

La tasa de inters del perodo por el nmero de perodos. Nominal significa aparente o pretendido es decir, una tasa nominal no es real, por lo que se debe convertir a una tasa efectiva.Inters efectivo (i) Aquella que mide realmente el inters otorgado o cobrado.


Inters Efectivo y NominalEjemplo n5 Se requiere obtener en prstamo un capital de $800.000, a 2 aos plazo, con pago nico al vencimiento. Se cuenta para ello con 3 alternativas mutuamente excluyentes, en lo que respecta a la tasa de inters: a) 60% anual con capitalizacin anual.

b)c)

60% anual con capitalizacin semestral.60% anual con capitalizacin mensual.

Calcular el monto a pagar al vencimiento del crdito en cada alternativa y determinar su conveniencia relativa para el solicitante.


Inters Efectivo y NominalSolucin a. 800.000*(1 + 0,6/1)2 = 2.048.000

b.c.

800.000*(1 + 0,6/2)4 = 2.284.880800.000*(1 + 0,6/12)24 = 2.580.080


Inters Efectivo y NominalCmo se calcul la tasa de inters efectiva en el ejercicio anterior? En general podemos calcular la tasa de inters efectiva a partir de una tasa de inters nominal, por

medio de la siguiente frmula:Donde:

r i = 1+ -1 m

m

i: Tasa de inters efectiva. r: Tasa de inters nominal. m: Nmero de capitalizaciones que ocurren dentro del perodo indicado en el enunciado de la tasa de inters nominal.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Efectivo y NominalSabemos que la tasa es de10% anual con capitalizacin semestral . Luego, La tasa es de inters nominal, r = 10%. Ocurren 2 capitalizaciones semestralmente). Por lo tanto: r 0,1 i = 1+ -1 = 1+ -1 = 0,1025 =10, 25% m 2 m 2

al ao

(ya

que

capitaliza

Cuando el perodo de capitalizacin no esta dado, la tasa de inters es efectiva.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Resumen y Consideraciones La modalidad de inters compuesto es la ms usada en la prctica crediticia, debido a que reconoce que los intereses devengados y no pagados de un perodo tienen un costo de oportunidad para el acreedor en los siguientes perodos. Por otra parte, en la evaluacin de proyectos de inversin, se considera que el capital invertido en el proyecto genera ao tras ao- una rentabilidad compuesta, si los beneficios son reinvertidos en el mismo proyecto , o bien, que el inversionista tiene siempre la posibilidad de colocar su dinero en otras alternativas que generan un inters compuesto. Para efectos tributarios, se considera inters slo al inters que se devenga sobre el capital ya reajustado por inflacin, distinguindose entonces entre reajuste e inters. En nuestro caso, no se har tal distincin, entendindose que el inters que se devenga sobre el capital no reajustado por inflacin es el inters nominal y que aquel que se devenga sobre el capital reajustado por inflacin es el inters real. En el cobro de intereses de un perodo, la prctica comn es que se cobren los intereses al final del perodo en que se ha usado el capital, lo que se denomina inters vencido. Hasta ahora se ha obviado el problema del distinto riesgo asociado a distintas alternativas.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Resumen y Consideraciones Si en el lapso en el cual se calcula el monto existe slo un perodo de capitalizacin, no existe diferencia entre el inters simple y el inters compuesto acumulado en tal lapso, dada la misma tasa de inters.

A mayor frecuencia de capitalizacin de la tasa de inters en el lapso relevante, mayor es el inters que se devenga. Cuando se aplica inters compuesto y la tasa de inters tiene ms de un perodo de capitalizacin en el perodo base, dicha tasa de inters no refleja directamente en s misma- el efecto en cuanto a devengo de intereses en el perodo-base. Hasta ahora no se ha enfrentado el problema de calcular un monto a una fecha tal que en el perodo relevante- exista un nmero no entero de perodos de capitalizacin. Esto se puede desarrollar de dos maneras:

Clculo Terico: Permite un n fraccionario en el exponente de la frmula del VF. Clculo Comercial: Considera la forma de capitalizacin de la tasa mientras exista un nmero entero de perodos de capitalizacin, utilizando ese exponente entero en la frmula de VF a inters compuesto. En la fraccin restante, se utiliza inters simple.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Resumen y ConsideracionesEjemplo n6 Una persona tena un depsito a inters, cuyo monto alcanzaba a $630.000 en el momento de la ltima capitalizacin. Esa cantidad fue colocada luego durante 27 meses, a una tasa de inters de 40% anual con capitalizacin semestral.

Calcular el valor devengado al final del mes n27.Solucin

Calculo Terico: C = 630.000(1 + 0,40/2)27/6 = 1.431.054Calculo Comercial: C = 630.000(1 + 0,40/2)4 * (1 + (0,4/2)0,5) = 1.437.005Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Conversin de Perodos de Tasas Efectivas(i A +1) = (iS +1)2 = (iT +1)4 = (iB +1)6 = (iM +1)12 = (iD +1)365Donde: iA = Inters Anual Efectivo iS = Inters Semestral Efectivo iT = Inters Trimestral Efectivo iB = Inters Bimestral Efectivo iM = Inters Mensual Efectivo iD = Inters Diario Efectivo

Esta no es ms que una aplicacin directa del concepto de tasas equivalentes.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Conversin de Perodos de Tasas EfectivasEjemplo n7 Un crdito por un capital de $430.000, a una tasa de inters de 36% anual con capitalizacin semestral, debe ser pagado en una cuota nica de capital e intereses en un plazo mximo de 4 aos. Calcular el saldo insoluto o saldo de deuda de este crdito al final del mes n39, no habindose realizado pago alguno a la fecha. Solucin Tasa Efectiva: ie = 36%/2 Ie = 18% semestral => im = 2,8%

Tasa Efectiva a Efectiva: (1+18%) = (1+im)6 VF = 430.000*(1+2,8%)39 = 1.260.958Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Efectivo para Capitalizaciones ContinuasSabemos que la frmula:

r i = 1+ -1 mnos sirve para convertir una tasa de inters nominal en una efectiva, pero qu ocurre si las capitalizaciones son continuas, es decir, qu ocurre si m tiende a infinito?. En estos casos podemos calcular la tasa de inters efectiva por medio de la siguiente frmula:

m

i = e -1rManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Efectivo para Capitalizaciones ContinuasEjemplo n8 Un banco aplica a los prstamos una tasa del 15% anual con capitalizacin en segundo. Cul es es la tasa de inters efectiva?. Como en este ejercicio el valor de m ser bastante grande, podemos estimar la tasa de inters efectiva usando la frmula para capitalizacin continua:

i =e

0,15

-1= 0,16183 =16,183%


Inters Efectivo con ComisionesLa tasa efectiva guarda relacin con el problema de las distintas frecuencias de capitalizacin. Otra acepcin de tasa efectiva corresponde a la determinacin de la tasa verdadera, tras incorporar el efecto de comisiones u otros cargos que encarecen el crdito ms all de la tasa de inters fijada. A continuacin se analizarn dos casos: Las comisiones y otros cargos se cargan como parte del capital, lo que implica una disminucin del capital efectivamente recibido.

El acreedor se hace cargo de las comisiones y otros cargos, incorporndolos al capital adeudado.

Las comisiones encarecen el crdito, lo que trae por consecuencia un aumento de la tasa de inters verdadera o efectiva.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Efectivo con Comisiones


Inters Efectivo con Comisiones


Inters Efectivo con ComisionesEjemplo n9 Una persona necesita obtener un prstamo exactamente $Ce, a n aos plazo, con pago en una cuota nica al vencimiento, a una tasa de inters de 48% anual con capitalizacin semestral. Calcular la tasa de inters efectiva anual que operara en cada uno de los siguientes casos: 1. Se cobra una comisin ascendente a 1% del capital solicitado, deducible automticamente al momento del otorgamiento del crdito. Se cobra una comisin ascendente a 1% del capital solicitado, a cargarse al pago nico final.

1.


Inters Efectivo con ComisionesSolucin Cs : Capital Solicitado Ce : Capital Efectivo C : Capital base del clculo de cuotas Tasa Efectiva Solicitada: i = 48%/2 = 24% semestral

=> ianual = 53,76% Ce(1+ie)n = Cs(1+is)n 0,99*Cs(1+ie)n = Cs*1,5376n 0,991/n (1+ie) = 1,5376

1.

Ce = Cs 0,01Cs = 0,99C

=>

ie =2. Ce = Ce C = Cs + 0,01 Cs = 1,01 Cs = 1,01 Ce

1, 5376 -1 0, 991/n

=>

Ce(1+ie)n = C (1+is)n Ce(1+ie)n = 1,01*Ce *1,5376n 1 + ie = 1,011/n *1,5376

ie = (1, 011/n *1, 5376)-1Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Real

Inflacin:

Aumento sostenido en el nivel de precios de la economa, conlleva un proceso de disminucin sostenida en el poder adquisitivo de las personas. Impuesto que grava el poder de compra de las personas.


Inters Real


Inters RealAl igual que en una empresa se pueden determinar la utilidad antes de impuestos y la utilidad de impuesto, tambin es posible referirse a valores monetarios antes de correccin por inflacin (valores monetarios nominales) y valores monetarios despus de correccin por inflacin (valores monetarios reales). Valores Monetarios Nominales

Son aquellos expresados en unidades de poder adquisitivo variable.

Valores Monetarios Reales

Son aquellos expresados en unidades de poder adquisitivo constante.


Inters RealEjemplo n10 Al final de cada uno de los 6 meses del perodo julio-diciembre, una persona ha obtenido el mismo sueldo lquido de M$210. El nivel de precios promedio al consumidor ha aumentado en 12% en el conjunto de los mismos 6 meses. Determinar el sueldo mensual real de esta persona a fines de diciembre del mismo ao, en M$ de la apertura de julio de ese ao. Solucin VF del sueldo = 210.000 f = 12% VP = VF/(1+f)n

VP = 210.000/1,12 = 187.500Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters RealTasa de Inters Real y Tasa de Inters Nominal En un contexto inflacionario, la tasa de inters nominal es aquella que acta implcita o explcitamente en un flujo de valores monetarios nominales, mientras que la tasa de inters real es aquella tasa de inters que acta implcita o explcitamente en un flujo de valores monetarios reales.

C(1+ i N )n C(1+ i R )n = (1+ f )nDonde: f: Tasa promedio de inflacin por perodo. iN: Tasa de inters nominal compuesta por perodo. iR: Tasa de inters real compuesta por perodo.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters RealFinalmente se obtiene que:

iN - f iR = 1+ fO bien:

i N =[(1+iR )(1+ f )]-1La tasa de inters real es la tasa de inters que se devenga sobre el capital reajustado por la tasa de inflacinManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters RealEjemplo n11 Una persona deposit $80.000 en una cuenta a inters que abonaba un 60% anual con capitalizacin anual. Sin retiros ni depsitos intermedios, esta persona retir todo el saldo al cabo de 3 aos. El nivel de precios promedio al consumidor tena un valor 120 al momento del depsito y un valor 264 al momento del retiro. Calcular la tasa de inters anual promedio real ganada por esta persona en esos 3 aos. Determinar cual es el monto retirado por la persona al final de los 3 aos. Determinar la ganancia real de la persona al cabo de los 3 aos.


Inters RealSolucin Al cabo de 3 aos retira: VF = 80.000(1+60%)3 = 327.680 Tasa de inters real: Primero calculamos la inflacin: trianual f = (264-120)/120 = 120%

Inflacin Anual: Luego la tasa real: Ganancia real al cabo de los 3 aos: VF = 80.000 (1+23,08%)3 VF = 149.148

f = (1+120%)1/3 - 1 = 30% ir = (60%-30%)/(1+30%) = 23,08%


Valor Futuro, Tasas de Inters Variable Inters Simple:

VF = C(1+ (nj i j )) Inters Compuesto:

VF = C(1+ i1 ) (1+i2 ) ...(1+ik )n1 n2

nk


Valor Futuro, Tasas de Inters VariableEjemplo n12 Una persona abri una cuenta de ahorro no reajustable, la cual estableca que la tasa de inters poda variar durante el ao. Esta persona realizo un depsito inicial de $60.000, las tasas de inters de esta cuenta fueron, 2% mensual durante los primeros 3 meses, 3,6% bimestral durante los siguientes 4 meses, 2,2% mensual para los siguientes dos meses y 4% bimestral para los ltimos 2 meses.

Calcular el monto devengado durante los primeros 9 meses.Calcular la tasa promedio de los primeros 9 meses.


Valor Futuro, Tasas de Inters VariableSolucin VF = 60.000(1 + 3*0,02 + 2*0,036 + 2*0,022) => VF = 60.000*1,176

VF = 70.560 I = 70.560 60.000 = 10.560 => i = 2,51% mensual simple.

10.560 = 60.000*7*i


Valor Futuro, Tasas de Inters VariableEjemplo n13 Sea un depsito de inters , por $50.000, el cual fue mantenido vigente durante 29 meses, en las siguientes condiciones:Tasa de Inters Plazo

40% anual cap. mensual 18% semestral cap. trimestral38% anual cap. bimestral 20% semestral

1 semestre 3 meses8 meses 1 ao

Calcular el monto al final del mes n 29.

Calcular la tasa de inters mensual promedio obtenida en los 29 meses.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Valor Futuro, Tasas de Inters VariableSolucin: VF = 50.000 (1 + 0,4/12)6 (1 + 0,18/2) (1 + 0,38/6)4 (1 + 0,2)2 = 122.146 Tasa compuesta promedio mensual: => i = 3,13%

122.146 = 50.000 (1+i)29


Valor ActualSi una cantidad de dinero VF estuviera disponible dentro de un lapso de tiempo n y durante ese lapso se pudiera colocar dinero a una tasa de inters r, qu cantidad de dinero habra que colocar durante ese lapso, a la tasa de inters r, para acumular una cantidad igual a VF?

VF VA = (1+ r )nSi la tasa de inters es variable, el VA es:

VA =

VF (1+ r1 )n1 (1+ r2 )n2 ...(1+ rk )nk


Valor ActualSi existen diferentes movimientos durante el perodo.A 0 1 B D 2 3 C n-1 n VF

VA =

A B C D VF + +... + + (1+ r )1 (1+ r)2 (1+ r )3 (1+ r)n-1 (1+ r)n


Valor ActualEjemplo n14 Los padres de Juanito abrieron una cuanta de ahorro en el Banco Sansanito al saber que su hijo quedo en la UTFSM. Esta cuenta seria manejada solo por Juanito para cualquier eventualidad econmica. La cuenta paga intereses mensuales, y corresponden a un 10% anual capitalizado semestralmente. En el ltimo mes (mes 12), Juanito se vio en la necesidad de comprar de manera urgente un Macbook, una impresora multifuncional y una TI89, por lo que decide usar los ahorros. Todas las cosas que desea comprar cuestan $2.000.000. La tabla de depsitos es la que sigue a continuacin:MES DEPOSITO 1 $ 350.000 2 $ 100.000 3 $ 47.550 4 $ 22.800 5 $ 10.000 6 $0 7 $ 29.500 8 X 9 $ 74.000 10 $ 92.100 11 $ 800.000 12 $ 110.000

Para qu valor de X Juanito alcanza a comprar todas las cosas que necesita?


Amortizaciones

Es un proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda, a travs de una sucesin de pagos a lo largo del plazo del crdito, que culmina con un saldo insoluto igual a cero al trmino de tal plazo


Amortizaciones Crditos con amortizaciones pre pactada. Crditos de Consumo. Crditos Hipotecarios. Crditos Automotrices.

Crditos con amortizaciones flexible. Lnea de Crdito. Capital de trabajo (Caso costo del inversionista).


Amortizaciones Pre PactadaSolo se estudiaran dos casos particulares:

Amortizacin Gradual, o de cuota constante (Payment). Amortizacin constante, o cuota decreciente.


Payment (PMT)

Es un proceso de amortizacin que se lleva a cabo por medio de una sucesin de pagos a intervalos regulares de tiempo, de igual cuanta entre si , de tal forma que cada pago incluye los intereses sobre el saldo insoluto y un pago parcial del capital. Cuotas de Valor Constante. Intereses se pagan sobre saldos insolutos. Pagos en intervalos iguales de tiempo. Cuota = Amortizacin + Intereses.


Payment (PMT)PMT PMT PMT PMT

0

1

2

3

n= PMT j=1 n

VP =

PMT

(1+ i ) (1+ i )

+ 1

PMT2

+...... +

PMT

1

(1+ i )

n

(1+ i )

j

Por lo tanto:

(1+ i ) n i PMT = VP n 1+ i -1 ( ) Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Payment (PMT)En donde:

(1+ i ) n i = F.R.C. = Factor de recuperacin del capital n 1+ i -1 ( )

Tambin se puede relacionar el PMT con el valor futuro:

(1+ i ) n i i = VP PMT = VF n 1+ i n -1 (1+ i ) -1 ( ) SFF (Factor de amortizacin de capital)Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Payment (PMT)


Payment (PMT)Ejemplo n15 Supngase que para financiar una parte de la inversin inicial de un proyecto se ha decidido emplear un prstamo de largo plazo de UF 5.000, a una tasa de inters del 9% anual y con un plazo de pago de 8 aos.

Periodo Saldo Insoluto 0 5.000 1 4.547 2 4.052 3 3.514 4 2.927 5 2.287 6 1.589 7 829 8 0

Inters 450 409 365 316 263 206 143 75

Amortizaci n 453 494 539 587 640 698 760 829

Cuota 903 903 903 903 903 903 903 903


Payment (PMT)Ejemplo n16 Debido al fuerte aumento en el cerro Placeres de centros de impresin y fotocopiado, usted vio como una oportunidad instalarse como competencia. Para aquello pidi un prstamo al Banco Super Mario de $30.000.000, para compras maquinas fotocopiadoras. El banco le ofrece un crdito a 5 aos plazo y dos aos (incluidos dentro de los 5 aos) de gracia, en los cuales solo se pagan intereses. La tasa de inters es del 10% anual (muy conveniente). Calcule el valor de las cuotas si el crdito fuera con cuotas fija.Periodo Saldo Insoluto 0 30.000.000 1 30.000.000 2 30.000.000 3 20.936.556 4 10.966.767 5 0 Inters 3.000.000 3.000.000 3.000.000 2.093.656 1.096.677Valparaso, 2011

Amortizaci n

Cuota

0 3.000.000 0 3.000.000 9.063.444 12.063.444 9.969.789 12.063.444 10.966.767 12.063.444

Manuel Marn Gonzlez

Amortizaciones Constantes

Es un proceso de amortizacin que se lleva a cabo por medio de una sucesin de pagos a intervalos regulares de tiempo, de tal forma que cada pago incluye los intereses sobre el saldo insoluto y un pago constante del capital. Cuotas de Valor Variable. Intereses se pagan sobre saldos insolutos. Pagos en intervalos iguales de tiempo.

Cuota = Amortizacin + Intereses.


Amortizaciones ConstantesEjemplo n16 Supngase que para financiar una parte de la inversin inicial de un proyecto se ha decidido emplear un prstamo de largo plazo de UF 5.000, a una tasa de inters del 9% anual y con un plazo de pago de 8 aos.

Periodo Saldo Insoluto 0 5.000 1 4.375 2 3.750 3 3.125 4 2.500 5 1.875 6 1.250 7 625 8 0

Inters 450 394 338 281 225 169 113 56

Amortizaci n 625 625 625 625 625 625 625 625

Cuota 1075 1019 963 906 850 794 738 681


Amortizaciones ConstantesEjemplo n17 Debido al fuerte aumento en el cerro Placeres de centros de impresin y fotocopiado, usted vio como una oportunidad instalarse como competencia. Para aquello pidi un prstamo al Banco Super Mario de $30.000.000, para compras maquinas fotocopiadoras. El banco le ofrece un crdito a 5 aos plazo y dos aos (incluidos dentro de los 5 aos) de gracia, en los cuales solo se pagan intereses. La tasa de inters es del 10% anual (muy conveniente). Calcule el valor de las cuotas si el crdito fuera con amortizacin constante.Periodo Saldo Insoluto 0 30.000.000 1 30.000.000 2 30.000.000 3 20.000.000 4 10.000.000 5 0 Inters 3.000.000 3.000.000 3.000.000 2.000.000 1.000.000Valparaso, 2011

Amortizaci n

Cuota

0 3.000.000 0 3.000.000 10.000.000 13.000.000 10.000.000 12.000.000 10.000.000 11.000.000

Manuel Marn Gonzlez

Amortizaciones ConstantesEjemplo n18 Debido al fuerte aumento en el cerro Placeres de centros de impresin y fotocopiado, usted vio como una oportunidad instalarse como competencia. Para aquello pidi un prstamo al Banco Super Mario de $30.000.000, para compras maquinas fotocopiadoras. El banco le ofrece un crdito a 5 aos plazo y dos aos (incluidos dentro de los 5 aos) de gracia. La tasa de inters es del 10% anual (muy conveniente). Calcule el valor de las cuotas si el crdito fuera con amortizacin constante.

Periodo Saldo Insoluto 0 30.000.000 1 33.000.000 2 36.300.000 3 24.200.000 4 12.100.000 5 0

Inters 3.000.000 3.300.000 3.630.000 2.420.000 1.210.000Valparaso, 2011

Amortizaci n

Cuota

0 0 0 0 12.100.000 15.730.000 12.100.000 14.520.000 12.100.000 13.310.000

Manuel Marn Gonzlez

Bonos

Un Bono es un documento a largo plazo, el cual puede ser emitido por una corporacin o una entidad gubernamental, con el fin de conseguir el capital necesario para desarrollar proyectos. El organismo emisor del bono recibe dinero ahora, con la promesa de pagar despus, adems, se debe cancelar el inters desde el momento en que el dinero se prest hasta que ste es reembolsado. Este inters es lo que comnmente se conoce como Cupn.


Bonos Al momento de emitir un bono se especifica su Valor Nominal (VN), el inters que pagar (I), el perodo de pago y su fecha de vencimiento. Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el mercado abierto, por personas diferentes al beneficiario original del bono. El siguiente es el diagrama de flujo que muestra los pagos que se reciben al adquirir un bono.


BonosEl monto de inters que cancelar el bono se calcula de la siguiente forma:

VN i I= nDonde:VN: Valor Nominal del Bono. I : Monto de inters pagado por perodo. i : Tasa de inters del Bono. n : Nmero de pagos del Bono por ao.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

BonosEjemplo n19 Una compaa que se encuentra en planes de expansin emite bonos con un valor nominal de US$10.000, con una tasa de inters del 10% anual capitalizado semestralmente y una vida de 10 aos Cunto estara Ud. dispuesto a pagar por el bono si exige una rentabilidad de 10% semestral? Solucin Primero debemos determinar cuanto es el monto del inters que pagar el bono:

10.000 0,1 I= = 500 2Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

BonosEjemplo n19 Una compaa que se encuentra en planes de expansin emite bonos con un valor nominal de US$10.000, con una tasa de inters del 10% anual capitalizado semestralmente y una vida de 10 aos Cunto estara Ud. dispuesto a pagar por el bono si exige una rentabilidad de 10% semestral? Solucin Primero debemos determinar cuanto es el monto del inters que pagar el bono:

10.000 0,1 I= = 500 2Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

BonosEjemplo n19 Luego, conociendo esta cantidad podemos evaluar llevando al presente todos los flujos usando como tasa de inters la rentabilidad exigida por el inversionista. El siguiente diagrama muestra los flujos que se producirn al comprar el bono, lo que debemos encontrar es la cantidad P.US$10.500

US$500 US$500 US$500 US$500 US$500

US$500

0

1

2

3

4Valparaso, 2011

5

19

20 Semestre

Manuel Marn Gonzlez

BonosEjemplo n19 Usando la frmula del PMT llevamos al presente todos los flujos constantes y le sumamos la cantidad final, con lo que obtenemos:

(1,1)20 -1 10.000 P = 500 = US$5743.22 + 20 20 (1,1) 0,1 (1,1) Este valor P, es el mximo valor que un inversionista estara dispuesto a pagar si exige un 10% de rentabilidad a sus proyectos e inversiones.


Gradientes

Debido a que los flujos no necesariamente son constantes, necesitamos una frmula que nos entregue el valor presente para flujos que crecen o disminuyen, ya sea en un monto fijo o en un porcentaje fijo.


Gradiente UniformePara el caso en que el aumento o disminucin de los flujos de un periodo a otro sea fijo, el diagrama que representa estos movimientos es el siguiente:P0 1

P+G2

P+2G3

P+(n-1)G

n

En el que P es el valor base (inicial), a partir del cual se irn sumando o restando cantidades fijas de dinero G en cada periodo. La relacin que lleva todos estos flujos a valor presente es la presentada a continuacin:

(1+ i ) n -1 G (1+ i ) n -1 n VP0 = P n n n (1+ i ) i i (1+ i ) i (1+ i ) Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Gradiente en EscaladaPara aumentos porcentuales fijos de un periodo a otro:P P(1+E) P(1+E)2 P(1+E)n-1

0

1

2

3

n

En el que P es la cantidad base y E es el porcentaje de aumento o disminucin interperidica de los flujos. La relacin matemtica que lleva los flujos de este tipo a valor presente es: En la expresin anterior note quen P 1+ E VP0 = -1 E - i 1+ i Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

E puede tomar valores positivos o negativos, si la cantidad de dinero va creciendo o decreciendo, respectivamente.

GradienteEjemplo n20 Se pide un crdito hoy a 10 aos plazo con pagos anuales y un inters de 10% anual, los pagos se realizarn de la siguiente manera:

La primera cuota ser de US$ 10.000, luego de la cual irn aumentando en US$200 hasta el ao 5, despus de dicho ao comenzar a decrecer en 5% hasta el ao 8, a partir del cual se mantendr fija en este ltimo valor hasta el final del crdito. Cul es el monto que realmente pidi hoy?


GradienteEjemplo n20 Solucin Lo primero que haremos ser hacer el diagrama de flujo del crdito:US$10.800

US$10.600US$10.400 US$10.200 US$10.000

US$10.260 US$9.747 US$9.260 US$9.260 US$9.260

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


GradienteEjemplo n20 Ahora procederemos a hacer los clculos: Primero calcularemos el valor presente de la parte del crdito que tiene la forma de gradiente uniforme: (1,1)5 -1 200 (1,1)5 -1 5 VP0 =10.000 + 5 5 5 (1,1) 0,1 0,1 (1,1) 0,1 (1,1)

VP =US$39.280 0


GradienteEjemplo n20 Ahora, llevaremos al ao cero la parte del crdito que es gradiente en escalada, para usar dicha frmula necesitamos saber el monto que se paga al ao seis, el cual es:

CuotaAO6 =10.800(1- 0, 05) =US$10.260Luego tenemos (usando E=-0,05): (0, 95)2 10.260 VP0 = -1 = US$10.793 5 2 (1,1) (-0, 05 - 0,1) (1,1)

Por ltimo, llevamos al presente la parte final del crdito, la cual no es ms que un PMT, pero antes debemos saber el valor de la cuota del ao ocho:Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

GradienteEjemplo n20

CuotaAO8 =10.800 (1- 0, 05)3 =US$9.260Conociendo este valor reemplazamos:

9260 (1,1)3 -1 VP0 = = US$11.817 7 3 (1,1) (1,1) 0,1Finalmente, sumamos todos los valores anteriormente llevados al presente, que corresponde al monto del crdito que Ud. pidi hoy:

VP 0 = 39.280 +10.793+11.817 =US$61.890 TOTALManuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Interperiodico Hasta el momento, cuando tenamos pagos o giros interperiodicos con respecto a los perodos de capitalizacin les aplicbamos inters compuesto, con la tasa de inters y perodos que correspondan Para los movimientos de dinero interperiodicos, generalmente no ocurre lo anterior, si no que aplica una de las dos siguientes normas:1 No se paga inters sobre el dinero depositado o retirado entre perodos de capitalizacin. El dinero depositado o retirado entre perodos de capitalizacin gana inters simple. Este inters simple se puede aplicar a depsitos y giros.Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

2

Inters Interperiodico El siguiente, es el diagrama de flujo de los movimientos que una persona realiz en su cuenta de ahorros en los ltimos doce meses:4000 1 2

2003 4

6005 6 7 8

10009 10

80011

1000

1200

1500

500

300

200

200

En donde las flechas que apuntan hacia abajo representan depsitos y las que van hacia arriba, giros. Cunto dinero tiene la persona hoy ( mes doce) si se aplica inters cuatrimestral de 4% y no se paga inters interperidico?Manuel Marn GonzlezValparaso, 2011

Inters Interperiodico4000 1 2

2003

60045 6 7 8

10009 10

80011

1000

1200

1500

500

300

200

200

En este caso los giros se consideran como si se hicieran al final del perido de capitalizacin anterior y los depsitos como si fueran realizados al principio del siguiente perido de capitalizacin.400+2000 1 2 3

6004 5 6

1000+8007 8 9 10 11

1000

1500+1200

200+300+500

200


Inters InterperiodicoDe ah tenemos que al mes doce:VP = 400 (1, 04)3 + 2100 (1, 04)2 -800 (1, 04)+ 200 = 2089 12

Cunto dinero tiene hoy si se aplica inters simple a los depsitos interperiodicos? Igual que el caso anterior los giros se llevan al final del perodo de capitalizacin anterior y los depsitos al principio del siguiente.4000 1 2

2003 4

6005 6 7 8

10009 10

80011

1000

1200

1500

500

300

200

200


Inters InterperiodicoPor lo tanto, al mes doce tenemos: 1 VP = (1000 - 400 - 200) (1, 04)3 + 1500 - 600 +1200 (1+ 0, 04 ) (1, 04)2 12 2 1 1 + 200 -1000 - 800 + 300 (1+ 0, 04 ) + 500 (1+ 0, 04 ) (1, 04) + 200 4 2

VP = $2.129 12


Inters InterperiodicoObservacin: Si se aplica inters interperiodico a los giros, estos deben actualizarse usando la frmula del inters simple para valor presente, por ejemplo, si llevamos la cuota del mes 1 al final del perodo de capitalizacin anterior, obtenemos:VP0 = 400 1 (1+ 0, 04 ) 4 = $396

Por supuesto, este valor se resta al de los depsitos.


20121ILN230V1 Apuntes Primera Parte

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