[2008-2]_Prueba_Catedra_4

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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación Ingeniería Civil Industrial Estadística Aplicada 1 (CC-401) 2° Semestre 2008 1 / 4 Pauta Problema 1 Prueba 4 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente Profesor: Hernán Cáceres Ayudantes: Juan Rojas Javier Lara 1. Sean X e Y variables aleatorias con pdf conjunta: , (, ) = () −+1≤≤+1 0≤≤1 0 a) Encuentre k de tal forma que , sea una pdfc legítima. b) Calcule i. ln > 10 ii. () > 0,8 c) ¿Cuán relacionadas están las variables X e Y? d) ¿Cuál es el valor esperado de Y dado X = x? e) Encuentre la pdf de W=XY. SOLUCION PROBLEMA 1 a) () =1 = 1 ∫∫ () = 2 + = 4,7885 b) i. ln > 10 = (− ln| − | > 10 ) ln > 10 = (ln| − | < −10) ln > 10 = ( | − | < ) ln 1 > 10 = (− <−< ) ln 1 > 10 = ( − <<+ ) 1 1 2 x + 1 = y - x + 1 = y = y + = y

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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación Ingeniería Civil Industrial Estadística Aplicada 1 (CC-401) 2° Semestre 2008

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Pauta Problema 1 Prueba 4 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente Profesor: Hernán Cáceres Ayudantes: Juan Rojas

Javier Lara

1. Sean X e Y variables aleatorias con pdf conjunta:

��,�(�, �) = ����(���) − � + 1 ≤ � ≤ � + 10 ≤ � ≤ 1

0���

a) Encuentre k de tal forma que ��,� sea una pdfc legítima. b) Calcule

i. � �ln ��

���� > 10 �

ii. � ���(���)�> 0,8�

c) ¿Cuán relacionadas están las variables X e Y? d) ¿Cuál es el valor esperado de Y dado X = x? e) Encuentre la pdf de W=XY.

SOLUCION PROBLEMA 1

a)

� � ���(���) �� ��

���

����

= 1

� =1

∫ ∫ ��(���) �� �����

����

� =2

��� + ���

� = 4,7885

b)

i. � �ln ��

���� > 10 � = �(− ln|� − �| > 10 )

� �ln ��

���� > 10 � = �(ln|� − �| < −10)

� �ln ��

���� > 10 � = �(|� − �| < ����)

� �ln �1

� − �� > 10 � = �(−���� < � − � < ����)

� �ln �1

� − �� > 10 � = �(� − ���� < � < � + ����)

1

1

2

x + 1 = y

- x + 1 = y

� − ���� = y

� + ���� = y

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−� + 1 = � − ���� − � + 1 = � + ����

� =1 + ����

2 � =

1 − ����

2

� �ln �1

� − �� > 10� = � � 4,7885 ∗ �−

(�+�) �� ��

�+�−10

−�+1

1+�−10

2

1−�−10

2

+ � � 4,7885 ∗ �−(�+�) �� ��

�+�−10

�−�−10

1

1+�−10

2

� �ln ��

���� > 10 � = 0,0000505446

ii. ����(���)�> 0,8� = �(−(� + �)� > ln 0,8 )

����(���)�> 0,8� = �((� + �)� < − ln0,8)

����(���)�> 0,8� = � �|� + �| < �− ln0,8�

����(���)�> 0,8� = � �−�−ln 0,8 < � + � < �− ln 0,8�

����(���)�> 0,8� = � �−� − �− ln0,8 < � < −� +�− ln 0,8�

����(���)�> 0,8 � = 0

c)

�(�) = � � � ∗ 4,7885 ∗ ��(���) �� �� = 0,6192

���

����

�(�) = � � � ∗ 4,7885 ∗ ��(���) �� �� = 0,8576

���

����

�(��) = � � �� ∗ 4,7885 ∗ ��(���) �� �� = 0,4448

���

����

�(��) = � � �� ∗ 4,7885 ∗ ��(���) �� �� = 0,8752

���

����

�(��) = � � � ∗ � ∗ 4,7885 ∗ ��(���) �� �� = 0,5088

���

����

� =�(��) − �(�)�(�)

��(�)�(�)

1

1

2

x + 1 = y

- x + 1 = y

x

y

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� =�(��) − �(�)�(�)

�(�(��) − �(�)�) ∗ (�(��) − �(�)�)

� = −0,23986

d)

��(�) =

⎩⎪⎨

⎪⎧ � 4,7885 ∗ ��(���) ��

���

����

0 < � < 1

0���

��(�) = �

4,7885(��� − ������)0 < � < 1

0���

��/�(�/� = �) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

���(�, �)

��(�)0 < � < 1

−� + 1 < � < � + 1

0���

��/�(�/� = �) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

4,7885 ∗ ��(���)

4,7885(��� − ������)0 < � < 1

−� + 1 < � < � + 1

0���

�(�/� = �) =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

�� ∗ ��(���)

��� − ������

���

����

0 < � < 1

−� + 1 < � < � + 1

0���

�(�/� = �) = −2��� + ���� + � + 2

��� − 1

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e) � = ��� = �

� = �� =�

���(�, �) = ��� ��,�

�� ∗ |�|

���(�, �) =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 4,7885 ∗ �

�������

�0 < � < 1

−�� + � < � < �� + �

0���

|�| = �

1 0

−�

��

1

� =1

0 < � < 1 0 < � < 1

−� + 1 < � < � + 1

−� + 1 <�

�< � + 1

−�� + � < � < �� + �

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Pauta Problema 2 Prueba 4 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente Profesor: Hernán Cáceres Ayudantes: Juan Rojas

Javier Lara 2. Se supone que el peso, en kilogramos, de las personas se distribuye según una v.a. de tipo N(70; 102). En un

establecimiento comercial se dispone de un ascensor cuyo peso máximo soportado es de 800kg, estando fijado en 600kg el peso máximo admisible, por razones de seguridad. a) Calcular la probabilidad de que se infrinjan las normas de seguridad si se suben ocho personas al ascensor.

¿Cómo cambia su respuesta considerando que el 102 corresponde en realidad a la varianza muestral? b) Se suben 10 personas al ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de esas personas no supere

los 65kg? ¿Cuál es la probabilidad de que la desviación del peso, para esas personas, no supere los 9kg? c) Luego de las 10 personas que se subieron al ascensor hayan descendido de él, se suben otras 6 personas.

¿Cuál es la probabilidad de que la desviación estándar del primer grupo sea mayor que la del segundo? d) ¿Cuántas personas podrán subir al ascensor, como máximo, para poder afirmar, con probabilidad 0,95, que no

se superará el peso máximo admisible? Ídem para el peso máximo soportado.

SOLUCION PROBLEMA 2

�� ∶ ����������������.��~�(70; 10

�) a)

�� =���

���

��~�(8 ∗ 70; 8 ∗ 10�)

�(�� > 600) = 1 − ∅ �600 − 8 ∗ 70

√8 ∗ 10��

�(�� > 600) = 0,0786

�(�� > 600) = � ��� >600

8�

�(�� > 600) = �

⎛�� − �

�/√�>

6008

− 70

� 10�/√8⎠

�(�� > 600) = �(�� > 1,414)

�(�� > 600) = 0,1001

b)

�� =∑ �������

10��~�(70;

10�

10)

�(�� < 65) = ∅�65 − 70

�10�/10�

�(�� < 65) = 0,0569

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�(� < 9) = � �(� − 1 )��

��<9� ∗ 9

10��

�(� < 9) = � ���� < 7,29�

�(� < 9) = 0,3930

c)

�(�� > ��) = ����� > ��

��

�(�� > ��) = � ���

��� > 1�

�(�� > ��) = � ���

�/���

���/��

�> 1�

�(�� > ��) = ����,�> 1 �

�(�� > ��) = 0,5305

d)

�(�� < �∗) = 0,95��~���~�

���

(70�; 10��)

∅ ��∗ − 70�

√10��� = 0,95

�∗ − 70�

√10��= ∅��(0,95)

�∗ = 600

600 − 70� = ∅ ��(0,95) ∗�10��

� = 7

800 − 70� = ∅ ��(0,95) ∗�10��

� = 10

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Pauta Problema 3 Prueba 4 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente Profesor: Hernán Cáceres Ayudantes: Juan Rojas

Javier Lara 3. Un sistema de colas tiene dos servidores cuyos tiempos de servicio son variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas con una distribución exponencial con media de 15 minutos. El cliente X llega cuando ambos servidores están ociosos. Cinco minutos después llega el cliente Y. Diez minutos más tarde, llega el cliente Z. a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando el cliente Z llegue comience su atención de forma

inmediata? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando el cliente Z llegue comience su atención en no más de 5 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente Z se retire del sistema en menos de 10 minutos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente Y sea el último en salir del sistema?

SOLUCION PROBLEMA 3 a) �: ���������������������������

�: ��������������������������� X, Y~Exp(1/15) �(� < 15 ∨ � < 10) = �(� < 15) + �(� < 10) − �(� < 15)�(� < 10)

�(� < 15 ∨ � < 10) = ��(15) + ��(10) − ��(15)��(10)

�(� < 15 ∨ � < 10) = 0,8111

b) �(� < 20 ∨ � < 15) = �(� < 20) + �(� < 15) − �(� < 20)�(� < 15)

�(� < 15 ∨ � < 10) = ��(20) + ��(15) − ��(20)��(15)

�(� < 15 ∨ � < 10) = 0,9030

c) ��: ���������������������~Exp(1/15)

��: �����������������

�(�� +�� < 10) = �(�� +�� < 10/�� = 0)�(�� = 0) + �(�� +�� < 10/�� > 0)�(�� > 0) �(�� +�� < 10) = �(�� < 10)�(�� = 0) + �(�� +min{�, �} < 10/�� > 0)�(�� > 0) �(�� +�� < 10) = �(�� < 10)�(� < 15 ∨ � < 10) + �(�� +min{�, �} < 10/� > 15 ∧ � > 10)�(� > 15 ∧ � > 10)

�(�� +�� < 10) = ���(10) ∗ 0,8111 +� �1

15����∗

��� ∗

2

15���∗

���

����

����� ∗ (1 − 0,8111)

��

�(�� +�� < 10) = 0,4866 ∗ 0,8111 + 0,2368 ∗ (1 − 0,8111)

�(�� +�� < 10) = 0,4394

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d) �: "�"����������.

�(�) = �(�/� > 10)�(� > 10) + �(�/� < 10)�(� < 10) Antes debemos calcular:

�(�/� > 10 ∧ � > 15) = �(� > � + ��) � = � + ��� ∼ ������ �⋋=�

��� = 2�

�(�/� > 10 ∧ � > 15) = �(� > �)

�(�/� > 10 ∧ � > 15) = ∫ ∫ ��(�)��(�)�

�����

�(�/� > 10 ∧ � > 15) = � �1

15��

��� �

1

15��

� ∗ �����

����

�(�/� > 10 ∧ � > 15) =1

4

�(�/� > 10 ∧ � < 15) = �(� > ��)

�(�/� > 10 ∧ � < 15) =���

��� + ��

�(�/� > 10 ∧ � < 15) =1

2

�(�/� > 10) = �(�/� > 10 ∧ � > 15)�(� > 15) + �(�/� > 10 ∧ � < 15)�(� < 15)

�(�/� > 10) =1

4∗ 0,3679 +

1

2∗ 0,6321

�(�/� > 10) = 0,4080

Por lo tanto:

�(�) = �(�/� > 10)�(� > 10) + �(�/� < 10)�(� < 10)

�(�) = 0,4080 ∗ 0,5134 + 0

�(�) = 0,2095

�(� > 10) = 0,5134

�(� > 15) = 0,3679

�(� < 15) = 0,6321

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Pauta Problema 4 Prueba 4 Estadística Descriptiva y Probabilidades Profesor: Hernán Cáceres Ayudantes: Juan Rojas Javier Lara

4. En una línea de ensamble se requiere de tres insumos para la confección de un producto final, es decir, sólo una vez que los tres insumos se encuentren disponibles, se empieza con la confección del producto final. Lamentablemente, la disposición de los tres insumos A, B y C no es instantánea. El tiempo transcurrido desde que el operador solicita los insumos (todos son solicitados al mismo tiempo), hasta que efectivamente llegan a la línea de ensamble, es aleatorio. El tiempo transcurrido desde que se empieza la confección del producto final, hasta que se obtiene el mismo, también es aleatorio. Además, el producto final debe ser sometido a una revisión cuyo tiempo de realización es una variable aleatoria también. A continuación, se resumen las actividades, relaciones de precedencia entre ellas y distribuciones de probabilidad asociadas a sus tiempos (en min.):

Actividad Precedente(s) Distribución

A ------- Exp(1/10)

B ------- Exp(1/10)

C ------- U[5:15]

D A, B, C U[3:7]

E D Exp(1/5)

a) Encuentre la pdf del tiempo total necesario para la confección de un producto final. b) ¿Cuál es el tiempo promedio necesario para la confección de un producto final? y ¿Cuál es su desviación

típica? SOLUCION PROBLEMA 2 a) T = max{T�, T�, T�} +T� +T� X = max{T�, T�, T�} Y = T� +T� T = X + Y

P(X < x) = P(T� < x, T� < x, T� < x) P(X < x) = P(T� < x)P(T� < x)P(T� < x) P(X < x) = F��(x)F��(x)F��(x)

F��(�) = �0� < 0

1 − ���

��� ≥ 0F��(�) = �

0� < 0

1 − ���

��� ≥ 0F��(�) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

0� < 5

���

����5 < � < 15

1� ≥ 0

F�(�) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

0� < 5

�1 − ���

�������

��5 < � < 15

�1 − ���

����

� > 15

f�(�) =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

5 < � < 15

1

5�1 − ��

����∗ ��

���� > 15

0���

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Y = T� +T�T� = � R = T�T� = � − � ���(�, �) = ��� �� (�, � − �) ∗|J|= ��� (�) ∗ ��� (� − �) ∗|J|

���(�, �) =

⎩⎨

3 < � < 71

4∗1

5��

���� � > �

0���

��(�) =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

�1

20��

����

�� 3 < � < 7

�1

20��

����

�� � > 7

0���

��(�) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

1

4−1

4���������3 < � < 7

1

4��������� −

1

4���������� > 7

0���

T = X + Y� = � W = X� = � −� ���(�, �) = ���(�, � − �) ∗|J|= ��(�) ∗ ��(� − �) ∗|J|

���(�, �) =

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ �

1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗�1

4−1

4������������ 5 < � < 15

� + 3 < � < � + 7

�1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗ �1

4�����������−1

4������������ 5 < � < 15

� > � + 7

�1

5�1 − ��

����∗ ��

���� ∗�

1

4−1

4������������ � > 15

� + 3 < � < � + 7

�1

5�1 − ��

����∗ ��

���� ∗�

1

4����������� −

1

4������������ � > 15

� > � + 7

0���

J= �1 01 −1

� = −1 3 < T� < 7 3 < R < 7

T� > 0 � > �

|J|= 1

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3 / 4

��(�) =

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

� �1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗�1

4−1

4������������ ��

���

8 < � < 12

� �1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗ �1

4�����������−1

4������������ ��

���

12 < � < 18

+ � �1

50�1− ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1− ��

����

� ∗�1

4−1

4������������ ��

���

���

� �1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗�1

4�����������−1

4������������ ��

���

18 < � < 22

+ � �1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗�1

4−1

4������������ ��

���

���

+ � �1

5�1 − ��

����∗ ��

���� ∗ �

1

4−1

4������������

���

��

��

� �1

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

1

10�1 − ��

����

� ∗�1

4����������� −

1

4������������ ��

��

� > 22

+ � �1

5�1 − ��

����∗ ��

���� ∗�

1

4�����������−1

4������������

���

��

+ � �1

5�1 − ��

����∗ ��

���� ∗�

1

4−1

4������������

���

���

��

0���

b)

E(T) = E(max{T�, T�, T�}) + E(T�) + E(T�)

E(T) = �� ��

50�1 − ��

����∗(� − 5) ∗ ��

��� +

10�1− ��

����

��� + ��

5�1 − ��

����∗ ��

���

��

��

��

� +7 + 3

2+ 5

E(T) = 16,87 + 5 + 5 μ� = 26,87

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4 / 4

V(T) = V(max{T�, T�,T�}) + V(T�) + V(T�)

V(T) = �� ���

50�1− ��

����(� − 5) ∗ ��

��� +

��

10�1 − ��

����

��� + ���

5�1 − ��

������

����� − 16,87�

��

��

+(7 − 3)�

12+ 5�

V(T) = 122,76 σ� = 11,08

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Pauta Problema 5 Prueba 4 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente Profesor: Hernán Cáceres Ayudantes: Juan Rojas

Javier Lara 5. Responda las siguientes preguntas de forma independiente:

a) El tiempo de un servicio de transporte de encomiendas está dado por tres procesos: embalaje, transporte y distribución. La media del primer proceso es 1,7 días, la del segundo proceso es 4 días y la del tercer proceso es 2,2 días. Las desviaciones típicas respectivas son 0,2 días, 1 días y 0,8 días. La relación entre los distintos tiempos de proceso expresada por los coeficientes de correlación es: 0,66 (entre embalaje y distribución), -0,55 (entre embalaje y transporte) y 0,75 (entre transporte y distribución). Calcule el valor esperado y la desviación típica del tiempo total de un servicio.

b) Un programa de control de calidad de una línea de ensamblaje requiere que el muestreo de 15 artículos terminados diariamente y contar el número de artículos defectuosos, Y. Si p denota la probabilidad de detectar un artículo defectuoso, entonces Y tiene una distribución binomial. Ahora bien, p varía diariamente y se supone que tiene una distribución uniforme (rectangular) en el intervalo [0,¾]. Calcule la desviación estándar del número de artículos defectuosos.

c) Se inspecciona una muestra de cuatro proyectiles para probarlos. Al dispararlos, se les clasifica de acuerdo a su alcance: corto, medio o largo. En el pasado, el 10% de los proyectiles tuvieron un alcance corto, el 30% un alcance medio y un 60% lograron largo alcance. ¿Cuál es la probabilidad de que, de los 4 proyectiles que forman la muestra, dos logren largo alcance y dos medio alcance? ¿Cuál es el número esperado de proyectiles de corto alcance?

d) De un grupo de 20 personas, donde 5 son niños, 10 adolescentes y 5 adultos, se seleccionan 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en la selección hayan más adolescentes que adultos y a su vez más adultos que niños?

e) Sean X1, X2 y X3 una muestra aleatoria de una población con distribución pX(x) = 6/(11x) con x = 1, 2, 3. Encuentre la distribución del mínimo y del rango.

SOLUCION PROBLEMA 5

a) �(�) = �(�� + �� + ��) = �(��) + �(��) + �(��) = 1,7 + 4 + 2,2

�(�) = 7,9

�(�) = ���´ = (1 1 1) ∗ �0,2 0 00 1 00 0 0,8

� ∗ �1 −0,55 0,66

−0,55 1 0,750,66 0,75 1

� ∗ �0,2 0 00 1 00 0 0,8

� ∗ �111�

�(�) = 2,8711

�� = 1,694

b)

�(�) = ���(�/�)� = �(� ∗ �) = � ∗ �(�) = 15 ∗

34 − 0

2

�(�) = 5,625

�(�) = ���(�/�)� + ���(�/�)� = 15 ∗ �(�) − 15 ∗ [�(�) + �(�)�] + 15 ∗ �(�)

�(�) = 15 ∗ �

34− 0

2�− 15 ∗ �

�34− 0�

12+ �

34− 0

2

�� + 15��34 − 0�

12

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación Ingeniería Civil Industrial Estadística Aplicada 1 (CC-401) 2° Semestre 2008

2 / 3

�(�) = 13,36

�� = 3,66

c) ��: �����������������������������������������������. ��: �������������������������������������������������. ��: �����������������������������������������������.

��, ��, ��~���������(� = 4;�� = 0,1;�� = 0,3; �� = 0,6)

�(�� = 0; �� = 2;�� = 2) =4!

0! 2! 2!0,1� ∗ 0,3� ∗ 0,6�

�(�� = 0;�� = 2;�� = 2) = 0,1944

d) ��: ���������������������.

��: �������������������������������. ��: ��������������������������

��, ��, ��~��(� = 20;�� = 5;�� = 10;�� = 5; � = 5)

�(�� < �� < ��) = �(�� = 0; �� = 4;�� = 1) + �(�� = 0;�� = 3; �� = 2)

�(�� < �� < ��) =�������

����

��

�����

+�������

����

��

�����

�(�� < �� < ��) = 0,1451

e) ���� = min {��, ��, ��}

�(� = 1) = �3

1� ∗

6

11∗

6

22∗

6

22+ �

3

1� ∗

6

11∗

6

33∗

6

33+ �

6

1� ∗

6

11∗

6

22∗

6

33+ �

3

1� ∗

6

11∗

6

11∗

6

22+ �

3

1� ∗

6

11∗

6

11∗

6

33+ �

6

11�3

�(� = 1) = 0,9061

�(� = 2) = �3

1� ∗

6

22∗

6

33∗

6

33+ �

3

1� ∗

6

22∗

6

22∗

6

33+ �

6

22��

�(� = 2) = 0,0879

�(� = 3) = �6

33��

�(� = 3) = 0,0060

�����������������������������:

Y 1 2 3

P�(y) 0,9061 0,0879 0,0060

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación Ingeniería Civil Industrial Estadística Aplicada 1 (CC-401) 2° Semestre 2008

3 / 3

���� = ���{��, ��, ��} − ���{��, ��, ��}

�(� = 0) = �6

11��

+ �6

22��

+ �6

33��

�(� = 0) = 0,1886

�(� = 1) = �3

1� ∗

6

33∗

6

22∗

6

22+ �

3

1� ∗

6

22∗

6

11∗

6

11+ �

3

1� ∗

6

33∗

6

33∗

6

22+ �

3

1� ∗

6

22∗

6

22∗

6

11

�(� = 1) = 0,4328

�(� = 2) = �6

1� ∗

6

33∗

6

22∗

6

11+ �

3

1� ∗

6

33∗

6

11∗

6

11+ �

3

1� ∗

6

33∗

6

33∗

6

11

�(� = 2) = 0,3787 �����������������������������:

R 0 1 2

P�(r) 0,1886 0,4328 0,3787