La circunferencia y sus elementos

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1

2

3

4

6 Dibujen una circunferencia de 10 cm de diámetro.

a. Con una regla, tracen una recta que no tenga puntos en

común con la circunferencia.

b. Tracen una recta que tenga dos puntos en común con la

circunferencia.

c. Tracen una recta que solo tenga en común con la cir-

cunferencia el punto P, donde O es el centro de la misma.

¿Qué ángulo forma esta recta con el radio OP?

d. ¿Es posible trazar una recta que tenga tres puntos en

común con la circunferencia?

En una circunferencia de 5 cm de radio, tracen:

a. en azul, tres diámetros distintos;

b. en rojo, tres radios distintos;

c. en verde, tres cuerdas que no sean radios de la circunferencia.

En una circunferencia de radio 7 se trazó uno de sus diámetros. ¿Cuál es la medida

de dicho diámetro? ¿Por qué?

¿Es posible trazar en una circunferencia de 5 cm de radio una cuerda que mida 11 cm?

¿Por qué?

Dibujen un cuadrado de 8 cm de lado y tracen las diagonales. Llamen P al punto donde

se cortan las diagonales del cuadrado. P es el centro del cuadrado.

a. ¿Están todos los puntos del cuadrado a igual distancia del centro P?

b. ¿Cuáles son los puntos más cercanos al centro del cuadrado? Márquenlos con rojo.

c. ¿Cuáles son los puntos más lejanos al centro del cuadrado? Márquenlos con verde.

d. Dibujen todos los puntos del plano que estén a 4 cm del centro del cuadrado.

Enzo y sus amigos encontraron un viejo plano realizado por antiguos exploradores es-

pañoles. En él se dan algunas pistas acerca de dónde enterraron un valioso tesoro.

En la playa hay tres palmeras. Exactamente 20

metros hacia el oeste de la palmera del cen-

tro y 10 metros hacia el sur, hay una roca.

El tesoro está enterrado a menos de 5 metros

de dicha roca.

a. Indiquen la posición de la piedra.

b. Utilizando los elementos de geometría que

crean convenientes, dibujen la zona donde

puede estar escondido el tesoro. 10 metros

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Calculen la longitud de una circunferencia cuyo radio mida 8.6 cm.

Dibujen con el compás una circunferencia cuya longitud sea 21.98 cm.

Leonardo trabaja en una carpintería y le en-

cargaron que fabricara un marco para una ven-

tana que está formada por un rectángulo y un

semicírculo, tal como se muestra en el dibujo

de la derecha. ¿Cuántos metros mide el perí-

metro de la ventana?

7

8

9

Longitud de la circunferencia

Calculen el perímetro de las siguientes figuras.

.b .a

Calculen el perímetro de la región verde, sa-

biendo que el diámetro de la circunferencia

mayor mide 14 cm.

La televisión, los teléfonos celulares, Internet, y otros sistemas de co-

municación funcionan gracias a satélites artificiales que giran alre-

dedor de la Tierra recibiendo y retransmitiendo señales. ¿Cuál es la dis-

tancia que recorre, en una vuelta, un satélite artificial que gira alrededor

del ecuador a 15 km de la superficie terrestre? (El radio terrestre es

de aproximadamente 6 378 km.)

Las ruedas de la bicicleta de Inés tienen un diámetro de 60 cm. ¿Cuántos

kilómetros recorre al dar 300 vueltas completas?

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10

11

Datos: OA y OB son radios perpendiculares.OA mide 5 cm.

Datos:AB mide 6 cm.

A

B

O

A

B

150 cm

80 cm

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Polígonos regulares inscritos en una circunferencia

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17

Utilizando el compás y el transportador, determinen cuáles de los siguientes polí-

gonos son regulares.

a. b. c. d.

a. En una hoja cuadriculada, dibujen un cuadrado de 6 cm

de lado.

b. Determinen el centro del cuadrado; luego, con un com-

pás, inscriban el cuadrado en una circunferencia.

c. Utilicen el cuadrado anterior para dibujar un octógono

inscripto en una circunferencia.

Construyan, con regla y compás, un hexágono regular de 6 cm de lado.

Utilicen el dibujo de la actividad anterior para inscribir en una circun-

ferencia un triángulo equilátero.

Actividad resuelta

En el pentágono regular ABCDE se trazaron los radios que tienen a los

vértices como extremos. Calculen la medida del ángulo AOB.

Solución:

Los triángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA son iguales entre sí. Observen,

por ejemplo, que los segmentos AO, OB y OC tienen la misma medida

por ser radios, y AB = BC por tratarse de un polígono regular. Por lo tan-

to, cada uno de los cinco ángulos centrales tiene la misma medida, y to-

dos ellos suman 360°, con lo cual el ángulo AOB mide = 72°.

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19 Completen la siguiente tabla.

Triángulo

Cuadrado

Hexágono

Octógono

Decágono

Polígono regular Nº de lados Ángulo central

^

^

B

C

D

O

E

A

eyp°g

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Actividades integradorasInscriban un decágono regular en una circunferencia de 8 cm de radio. Además de

la regla y el compás, usen un transportador para medir los ángulos centrales.

Un hexágono regular está inscripto en una circunferencia. Sabiendo que su perímetro

es de 33 cm, calculen la longitud de la circunferencia.

La recta r es tangente a la circunferencia en el pun-

to P y la recta s pasa por el centro de la circunferen-

cia. Si s y r se cortan en el punto Q, tal como mues-

tra el dibujo, clasifiquen el triángulo OPQ según sus

ángulos. Expliquen su respuesta.

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21

22

Tracen una circunferencia de 5 cm de radio y marquen sobre ella dos puntos, P y

Q, que no estén sobre un mismo diámetro. Las rectas tangentes a la circunferen-

cia en P y Q se cortan en un punto que se llama R. ¿Qué tipo de cuadrilátero es el

POQR? (utilicen el compás para tomar las medidas).

Sobre una recta, elijan un punto O y tracen una circunferencia de 4 cm de radio.

a. ¿A qué distancia de O, sobre la misma recta, debe estar un punto Q para que

sea el centro de una circunferencia de 6 cm de radio y para que tenga solo un pun-

to en común con la circunferencia de centro en O?

b. ¿A qué distancia debe estar Q para que las circunferencias anteriores no se corten?

c. ¿Es cierto que si Q está a menos de 10 cm de O las circunferencias se cortan en

dos puntos?

Calculen el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el ra-

dio de la circunferencia mide 8.5 cm.

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25

26

P

Q

Os

r

Lean en grupos y comenten entre todos el siguiente texto.

El número πLas antiguas civilizaciones que desarrollaron la matemática descubrieron que existe una relación

entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Mediante distintos métodos (experimentales o

teóricos), observaron que al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro se obtenía el mis-

mo resultado, independientemente de la circunferencia que usaran.

Los egipcios calcularon que dicho valor era 3.16, mientras que algunos griegos utilizaron como

aproximación la fracción WWJ . Desde el siglo XVIII se sabe que la razón entre la longitud de una circun-

ferencia y su diámetro es un número al que se llamó π, el cual no se puede escribir en forma comple-

ta, ya que tiene un desarrollo decimal que nunca termina (es infinito) y, además, no es periódico. Sus

primeras cincuenta cifras decimales son: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...

Pero π continúa y continúa y continúa...

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Para hacer con mate

MaterialesVarios objetos que tengan algu-

na base con forma circular (tapas

de frascos, latas, vasos, etcétera).

Un centímetro o un hilo de no

más de 1 metro de longitud.

Calculadora.

Una cartulina o un cartón rectan-

gular.

Mediciones circularesEn este tema, utilizaron en varios problemas la fórmula c= π x d, que

relaciona el diámetro de una circunferencia con la medida de su contorno,

es decir, de su longitud.

En esta actividad veremos cómo podemos establecer dicha relación

realizando mediciones.

Para hacerlo, hay que seguir estos pasos:

Paso 1. Midan las longitudes de las circunferencias de

los objetos circulares con un centímetro. En lugar de un

centímetro pueden utilizar un hilo. Para ello deben rodear

el objeto con el hilo; luego, lo estiran, y con una regla mi-

den la longitud del hilo.

Paso 2. Cada vez que realicen una medición, completen

las dos primeras columnas de una tabla como la siguiente.

Paso 3. Midan el diámetro de cada circunferencia y com-

pleten la tercera columna de la tabla.

Para saber cuál es el diámetro, tomamos el ángulo recto

de una cartulina y apoyamos su vértice sobre la circunfe-

rencia. Los lados del ángulo se cruzan con la circunferen-

cia en los puntos A y B. Estos puntos son los extremos

del diámetro.

Paso 4. Calculen el cociente indicado en la cuarta co-

lumna, y complétenla. Utilicen la calculadora.

Observen que los valores de la cuarta columna deben ser parecidos, aunque seguramente no

todos iguales. Esto se debe a que en toda experiencia de medición se cometen pequeños errores

inevitables.

El cociente entre la longitud L de cualquier circunferencia y su diámetro es, siempre, aproxi-

madamente 3 14.

ObjetoLongitud de la

circunferencia (c)Diámetro de la

circunferencia (d) d

A

B

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c

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.

El baúl matemático

La poetisa polaca Wislawa Szymborska, premio Nobel de Literatura en el

año 1996, dedicó una poesía al número π, en la que van apareciendo sus

primeras cifras decimales. Estos son los primeros versos:

El admirable número pi,

tres coma uno cuatro uno.

Las cifras que siguen son también preliminares,

cinco nueve dos porque jamás acaba.

No puede abarcarlo seis cinco tres cinco la mirada,

ocho nueve ni el cálculo,

siete nueve ni la imaginación,

ni siquiera tres dos tres ocho un chiste, es decir, una comparación

cuatro seis con cualquier otra cosa

dos seis cuatro tres de este mundo (...).

Polígonos récord

En 1832, Richelot y Schwendenwein construyeron el polígono regular de

257 lados. Otro matemático, J. Hermes, dedicó diez años de su vida a cons-

truir un polígono regular de 65 537 lados. En la Universidad de Göttingen

(Alemania), hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone di-

cha construcción.

Polígonos con regla y compás

π en la poesía

A los diecinueve años de edad, el matemático alemán Carl Gauss fue la

primera persona en construir con regla y compás un polígono regular de 17

lados. También dio una demostración respecto de cuáles son los polígonos

regulares que pueden ser construidos con regla y compás.

El día de πEn los Estados Unidos, para escribir la fecha de manera

numérica, primero se menciona el mes y luego el día. Debido

a ello, el 14 de marzo se ha convertido en el día de π: 3.14.

Algunos consideran más preciso conmemorar el 14 de marzo

a la 1.59, en reconocimiento a la aproximación 3.14159. Los

más fanáticos también festejan el 22 de julio (22/7), día de la

aproximación (griega) de π, ya que 22 : 7 = 3.142857142857…

Carl Gauss.

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