tlt ' t5664

PROPORCIONATIDAT)DIRECTA.

LA FORMA Y EL NMERO

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Funciones y grficasJordi Deulofeu Piquet, Carmen Azcrate Gimnez

Azar y probabilidadJuan Daz Godino, Carmen Batanero Bernabu, M." Jess Caizares Castellano

Encuestas y preciosAndrs Nortes Checa

HeurlsticaFernando Cerdn Prez, Luis Puig Espinosa

Ordenador y educacin matemtica: algunas modalidades de uso

Jos A. Cajaraville Pegito

Prensa y matemticasAntonio Fernndez Cano, Luis Rico Romero

Juegos y pasatiempos pera la enseanza de la matemtica elementalJosefa Fernndez Sucasas, M." Ins Rodrguez Vela

Pensamiento algortmicoCandelaria Espinel Febles, Casiano Rodriguez Len

Recursos en el aula de matemticasFrancisco Hernn Siguero, Elisa Carrillo Quintela

Consejo editor:Luis Rico Romero, Josep M." Fortuny Aymemi' Luis Puig Espinosa

PROPORCIONALIDADDIRECTA.

LA FORMA Y EL NMEROM.u Lursn, Flor Mona

Josrp M." FonruNy AyMEM

EDTORNLSINTESIS

lqr,+-rfto- cooigb e-arias IFcrma de adquisicin, l-tffi$mnraFecha de adqursrcin Donacin

Da

tqeedon

Primera reimPresin: octubre 2000

Diserlo de cubierta: Juan Jos Yzquez

Reservados todos los derechos' Est prohibido' bajo las

Editorial Sntesis, S' A.

@ M." Luisa Fiol MoraJoseP M.n Fortunuy Aymem

O EDITORIALSNTESIS, S. A.Vallehermoso, 34' 28015 MadridTelfono 91 593 20 98http://www.sintesis.com

Depsito legal: M-36'058-2000ISBN: 84-7738-081-3

Impreso en Espaa - Printed in Spain

ndice

lntroduccin

l. Hablando de proporcionalidad 131.1. Las matemticas y el lenguaje 131.2. La proporcionalidad y el lenguaje 191.3. Lenguaje de relacin nio-adulto 2l

Marco terico de la proporcionalidad entre magnitudes .2.1. Magnitudes y medida2.2. Proporcionalidad entre magnitudes2.3. Constante de proporcionalidad2.4. Razones entre magnitudes .2.5. Teora de la proporcin .2.6. Notas histricas . .2.7. Investigaciones y ejercicios ....

Ut i l izacin y apl icacin : . . ." . .3.1. Geometria. Tcnica. Economia

3.1.1. La proporcionalidad de segmentos . . . . .3.1.2. Clculo de medidas indirectas3.1.3. Clculo comercial

3.2. Arte. Ciencia. Ecologa3.2.1. La divina proporcin3.2.2. Las constantes fisicas3.2.3. La densidad de poblacin

3.3. Clculo numrico. El nmero ft . . . .3.4. Astronoma y clculos numricos3.5. Microcosmos. Estimacin y clculo de dimensiones . .. .. .3.6. Investigaciones y ejercicios ....

3.6.1. Talleres de medidas de distancias,inaccesibles . . . .

292931333638404l

4545454849525254555762707474

2.

838384848790

959598

104r09113

tt7tt7t2rr22r24t25r27

5.

6.

4. Sintetizando fenmenos4.1. El lenguaje funcional4.2. Procesos de traslacin4.3. Grltcas lineales4.4. Dependencia lineal .4.5. Invest igaciones y ejercic ios . . . '

Desarrollo del conocimiento .5.1. Etapas en la psicologia gentica5.2. La proporcionalidad. Un esquema operatorto5.3. La investigacin de Piaget sobre proporcin .5.4. Desarrollo del conocimiento de proporcionalidad '5.5. Investigaciones posteriores. Una visin general ' ' ' '

Aspectos didcticos6.1. Por qu ensear la proporcionalidad?6.2. Propuesta didctica

6.2.1. Partiendo de aspectos geomtricos6.2:2. Familia de rectngulos '..6.2.3. Comparar otras longitudes. . .6.2.4. El PROP6.2.5. Aplicaciones

Introduccin

El trabajo de los que nos dedicamos a la Didctica de las Matemticastiene dos aspectos bien diferenciados.

En cierto aspecto es agradecido, ameno, agradable, instructivo, vivo, etc.,puesto que para comprender la relacin enseanza-aprendizaje nos vemoscada da ms y ms abocados a muchas y diversas reflexiones. Algunas vecescentradas en el nio, otras en el concepto, su estructura matemtica, suestructura psicolgica, la utilizacin que se hace del concepto en la vidaprctica, el lenguaje o los lenguajes utilizados en la relacin de transmisinde los alumnos entre s o del maestro-alumno, la historia de las distintassituaciones a partir de la cual va tomando cuerpo el concepto, propuestasmetodolgicas a seguir, etc.

En el polo opuesto tenemos el otro aspecto. Son tantos los cabos que hayque atar, tantas variables a tener en cuenta que a veces se tiene la impresinque cuanto ms se profundiza en el tema ms preguntas -referidas sobretodo a la interrelacin de las partes- van surgiendo. euedan as preguntaspor contestar, temas intuidos e insinuados, trabajos por realizar. Esperemosque, perfeccionando la investigacin, nsistiendo en el anlisis y la sntesispodremos desarrollar y extender algunas de estas cuestiones.

Dicho esto, veamos cmo finalmente ha quedado organizado el libro.Este, en realidad, tiene su clula originaria en el captulo 6: y la

lircron surgiendo a lo largo del trabajo y linalmente las reflexiones posterio-lus ir su publicacin nos han llevado a una aproximacin al concepto derr ororcionalidad desde diversos ngulos.

lil concepto de proporcionalidad, que parte de la visualizacion del espa-cio rcal o de conceptos cotidianos como cambios de monedas, cambio decscirlas, cuantihcacin de mezclas, determinacin de ndices, etc., debe expre-sursc: primero cualitativamente, ms adelante cuantitativamente. Esta expre-sitin pasa por un vehculo que es, en primer lugar el lenguaje cotidiano paraincidir ms adelante en el lenguaje grfico (captulo 1).

La nocin de proporcionalidad demanda una teora matemtica quecmpieza hablando de magnitudes y proporcionalidad de magnitudes (captu-lo 2).La formalizacin contina estudiando la funcin lineal (captulo 4), unaimportante herramienta de sntesis.

Tanto en la teora matemtica como en las aplicaciones tan diversas(captulo 3), algunas veces referidas a determinaciones de constantes, otrascentradas en ndices antropomtricos, econmicos, clculos astronmicos,etc. se nos desvela como un concepto potente, con un amplio espectro deaplicabilidad y de gran importancia en la matemtica.

Pero la proporcionalidad tiene importancia tambin desde el punto devista epistemblgico, punto centrado en las investigaciones realizadas porPiaget e Inhelder (captulo 5). Seguramente, y posteriormente a su trabajo, loms interesante ha sido el cambio de punto de vista desde dnde ste empeza desarrollarse. Se ha pasado de considerar el razonamiento proporcionalcomo una manifestacin de una estructura cognitiva global, a un trabajoms diferenciado centrado en el estudio de los procedimientos usados deforma espontnea por los alumnos en la resolucin de diversos problemas.Esto ha llevado a estudiar las soluciones dadas por los alumnos desde unpunto de vista epistemolgico (Piaget, 1955) y desde un punto de vista de laeducacin matemtica (Karplus, 1977; Hart, 1983, etc.), a estudiar sus estra-tegias de resolucin sean stas correctas o no, y las variables que intervienenen esta resolucin.

El problema desde Didctica de las Matemticas, se nos presenta alquerer relacionar investigacin y aprendizaje. Cuando se quiere, no sloobtener informacin de los alumnos. sino obtener esta informacin en unfeed-bak de transmisin de ideas. En el fondo lo que se plantea es unproblema de Metodologa.

La estructuracin en la metodologa (c4ptulo 6) que proponemos requie-re hacer una brecha en el trabajo cotidiano en el aula.

Hay que buscar los puntos centrales de un concepto, conectar con aspec-tos del entorno (sean geomtricos, numricos, fisicos...), graduar el trabajosegn los procedimientos o habilidades que se requieran y hnalmente ponera los alumnos en situacin de plantearse problemas y buscar respuestas.

No slo se trata de manipular material, aspecto que en cierta forma corre

l0

el peligro de resultar anecdtico, sino que lo ms importante es que estematerial sirva de vehculo para que el alumno pueda poner palabras alconocimiento intuitivo del mundo que le rodea.

se trata de establecer un puente de relacin entre lo que se intuye con loque puede llegar a explicitar a travs de la manipulacin y del trabajo engrupo, especialmente a travs del lenguaje.

Bien, he aqu pues, el libro. Al que ponemos en estos momentos puntofinal, cuando, irnicamente, se nos han abierto tantas preguntas! Faltahablar de proporcionalidad en relacin con la msica, de la probabilidad,hablar ms de la proporcionalidad inversa, quizs relacionar ms la idea deproporcin con los estudios realizados hasta el momento con fracciones, erc.Pero hay que acabar ya,para pasaros a vosotros, a ustedes, el gusto-disgustode plantearse-resolver las preguntas. Que los dioses os sean propicios.

l l

\

Hablando de proporcionalidad

Ra s'entn de dues maneres: la una s ag per quhom s home, e I'altra s la semblanga de la realitat laqual l'enteniment pren en s mateix com entn algunacosa.

(Ramon Llull.)

1.I. LAS MATEMATICAS Y EL LENGUAJE

El esfuerzo por entender y expresar nuestro {Jniverso, el mundo que nosrodea, empez en los albores de la historia.

Desde los ms remotos tiempos las personas, en su intento de compren-der el mundo que les rodeaba fueron desarrollando un lenguaje para descri-birlo. Al describir los elementos, objetos, relaciones y fenmenos de la natu-raleza fue surgiendo, poco a poco, la necesidad de crear un lenguaje mscomplejo con signos y reglas propias que result tener un gran poder desntesis. Era el lenguaje lgico-matemtico.

Su desarrollo se efectu a medida que se sintieron nuevas necesidades deinterpretacin de lo cotidiano. Desde los clculos de las dimensiones delUniverso conocido a la iniciacin a la Optica o la reflexin sobre la estructu-ra de la materia, por ejemplo.

Paralelamente a la relacin entre la Ciencia y la Matemtica, que resulta-ba cada vez ms frtil, se hacan esfuerzos para estructurar este nuevolenguaje, esta potente herramienta. As tenemos, por ejemplo, los trabajosrealizados en este sentido por Thales, Pitgoras o Euclides.

Paso a paso, al extenderse el conocimiento cientfico, al ganar en profun-didad. se ha necesitado una herramienta matemtica cada vez ms sohstica-da. Y hnalmente, nos encontramos ahora, que tras los ltimos cien aos dedesarrollo espectacular, lo que surgi bsicamente a partir del desarrollo de

t3

la Astronoma y de la Fsica ha podido aplicarse a otras Ciencias como sonla Geologia y la Biologia, asi como a las Ciencias Econmicas, Sociales, etc.

Aunque, por otra parte, la metodologia para el estudio y descripcin delmundo que nos rodea ha continuado siendo'bsicamente la misma. Hay que:

l. hallar principios cualitativos que parezcan ser propiedades funda-mentales del fenmeno que se estudia;

2. hallar principios cuantitativos, y3. relacionar estos datos englobndolos en un modelo matemtico

(axiomas, teoremas, ...) ms amplio, que nos permitir deducir mspropiedades de otro fenmeno que se pueda estudiar desde el mismomodelo.

Desde la Didctica de las Matemticas y considerando el lenguaje lgico-matemtico. es necesario hacer una diferencia entre las matemticas comosistema sintctico y/o semntico.

. Como un sistema sintctico

El lenguaje lgico-matemtico tiene sus signos y reglas especficas, portanto siempre cabe la posibilidad de interpretarlo como un sistema sintcti-co, o sea un lenguaje en que los significados son irrelevantes. Se dicen cosas,pero no interesa sobre qu se dicen cosas.

Algunas personas dan este sentido a las Matemticas, trabajan entoncescon signos desligados de lo real que tienen unas reglas propias. Una vezabstradas las reglas que rigen las relaciones entre los elementos de la teora(axiomas, teoremas, etc.) puede desarrollarse sta sin tener la necesidad dedar un significado concreto, incluso ms an, intentando trascender unsignifrcado concreto, inten tand o gener alizar.

Pero, en el polo opuesto de la cuestin est llegar a la conclusin de quelos signos no dicen nada, no tienen ningn significado (aqu en sentidopeyorativo) y las relaciones que se establecen entre ellos son mgicas, notienen sentido, se interpretan .

A nivel didctico habr que tener en cuenta que, aunque llegar a trabajarcon el lenguaje lgico-matemtico como sistema sintctico puede ser paraciertos alumnos y en ciertos niveles deseable, desde prvulos hasta por lomenos el ciclo superior (adquisicin de las operaciones formales) una formula-cin apresurada puede llevar a un bloqueo. Ocurre entonces que el alumnoconsidera la matemtica como una fuente de conocimiento hermtico que nopuede utilizarse como vnculo de relacin (lo que a la larga la situar en lacategoria de materia ), se producen sentimientos de hostilidad y sevive como un lenguaje impuesto: ((como si me hablasen en chino>, o sea queno dice nada, que no expresa nada.

l4

. Como un sistema semntico

Todo lenguaje, como sistema semntico, ha nacido para decir, contar,expresar algo. En el fondo ste es el sentido cotidiano que damos a lapalabra lenguaje, un sistema semntico donde cada signo, ya sea oral ogrfico, escrito o dibujado, tiene asignado un significado (a cada signifrcantesu significado).

lncluso ms, y segn Piaget, el lenguaje (en trminos generales ahora)est ntimamente relacionado con la asimilacin de la experiencia, con laestructuracin de lo real. As ahrma que la experiencia adquirida y el lengua-je son factres que, a lo largo de -la maduracin biolgica ei nio vanestructurndose simultneamente. No se puede hablar de causa y efecto.

Wartofsky llega a decir:

Por lo tanto: conocimiento de lo real y lenguaje frente a frente, influyn-dose mutuamente en una relacin simtrica en su desarrollo.

Es interesante considerar que el lenguaje y el pensamiento (o cognicin)estn ntimamente relacionados. En cierta forma la ndole de esta relacinpuede dehnirse como determinista, partiendo de la base de que el lenguajedetermina el pensamieto, y adems, como comunicador, en el sentido deque el lenguaje refleja ylo comunica el pensamiento.

Desde ambos puntos de vista el lenguaje es un elemento esencial delconocimiento y, por tanto, es una herramienta bsica en la investigacin yreflexin de los fenmenos, situaciones y problemas que se nos plantean en laenseanza-aprendizaj e.

Ya a finales de la dcada de los cincuenta, la psicologa cognoscitiva sehaba convertido en un campo activo de la investigacin en el que el para-digma del tratamiento de la informacin -paralelamente a lo que estabasucediendo en AI (inteligencia artificial)- constitua un buen instrumento enla investigaciir de los procesos de conocimiento.

Antes, el lenguaje, haba sido tradicionalmente tema de estudio slo paralos lingistas, quienes centraban sus esfuerzos en discernir, por una parte suselementos, y por la otra las reglas que se utilizaban para combinar estoselementos a fin de cgnseguir un conjunto estructurado.

El trabajo de Chomsky (1957) represent un importante adelanto en lacomprensin de las interrelaciones entre lengua y psicologa.

Actualmente la ciencia que estudia esta interrelacin -la Psicolingsti-ca- tiene tres campos bsicos de investigacin:

. Los procesos de comprensin.

t5

. La produccin del lenguaje.

. Su adquisicin.Puntos que, desde la Didctica de la Matemtica resultan muy sugesti-

vos, y ms si se tiene en cuenta que en los procesos de comprensin dellenguaje hay que tener en cuenta tres aspectos:

. Entender el lenguaje.

. Comprender la sintaxis.

. Comprensin semntica, o sea, comprender el signihcado del lenguaje.Como pregunta bsica nos queda, en esta interrelacin entre lenguaje y

conocimiento, discernir en qu medida la formacin de conceptos est rela-cionada con, y depende del, desarrollo del lenguaje. Esta pregunta incluye ens misma otra: si el desarrollo de la terminologa es prerrequisito, o no, parael crecimiento del conocimiento.

Es importante reflexionar sobre la manera cmo las matemticas sonexpresadas y escritas.

Si, volviendo de nuevo al lenguaje lgico-matemtico, tenemos en cuentaque surge y es utilizado para descubrir, describir el mundo que nos rodea,que busca y estudia determinadas propiedades a partir no slo de los obje-tos, sino especialmente de las acciones que se ejercen sobre/entre ellos,entonces desde la Didctica de las Matemticas deberemos trabajar enfati-zando la relacin entre el binomio experiencia-lenguaje.

Pero adems, no podemos pretender que surja un lenguaje a partir deuna experiencia en sentido pasivo, por ejemplo mirar y manipular fisica-mente diversos materiales; sino ms bien de una experiencia activa que ue deuna forma constructiva, reflexiva y que, por tanto pasa por expresarse, pasapor un lenguaje como sistema semntico.

As que, resumiendo, debemos considerar las matemticas como un len-guaje sintctico, como un lenguaje semntico y adems habr que tener encuenta que en la accin enseanza-aprendizaje utilizamos nuestro lenguajecotidiano. Esto nos lleva a plantearnos, a dos niveles distintos y entre otrosestos problemas:

e Cmo organizar el trabajo para que, por lo menos a nivel de hiptesis,aseguremos la relacin entre la experiencia y la palabra o representacinsimblica a fin de recorrer diversos tramos en el camino hacia la formaliza-cin?

En realidad, la mayora de laboratorios de matemticas, talleres o rinco-nes que proliferan estos ltimos aos en primaria y secundaria pretendencontestar a esta pregunta a travs de la utilizacin de una metodologaexperimental (vase esquema 1.1).

Hay que tener en cuenta que la estructura de laboratorio enfatiza el

f\

focalizado en el proceso de aprendizaje, ms que en un proceso de ensean-za> (Kidd y otros, 1970).

Las experiencias son diseadas para ayudar al arumno a aprender mani-pulando (vista y tacto) y expresndose (hablando, dibujando y escribiendo)para que construya los conceptos de forma gradual y personal.

. otro de los problemas planteados se reliere a las palabras que seutilizan. Es pues, una reflexin sobre el propio lenguaje.

con frecuencia en matemticas utilizamos palabras que tambin apare-cen en el lenguaje coloquial, pero casi nunca con el mismo y nico significa-do. Tomemos como ejemplo la palabra repartir. para un adulto o un niosuficientemente aleccionado la palabra quiere decir

b.3) Tamao.b.4) Cantidad o medida.

c) Como expresin de una comparacin o relacin.c.l) Accin de .c.2) Entre dos nmeros.c.3) Comparando fracciones.c.4) comparando dos magnitudes, sean stas explicitadas o no.c.5) Como tasa, ndice o tanto por ciento.(ver esquema 1.2)

. Lenguaje grficoEn nuestra cultura er lenguaje grrrco, a partir de dibujos, diagramas,

esquemas...' es mucho ms cotidiano de lo que nos puede parecer en unaprirnera reflexin sobre el tema.Nadie que vea de buena maana una foto del prsidente pensar que es

as de pequeo (!). Lo mismo ocurre si hay una fotb de un baico en la costade Mallorca, de unos grandes almacenes, etc. Sin darse cuenta, de formatotalmente automtica, interpreta que se trata de unas reproduccones redu-cidas de objdtos que s_on mulho ms grandes, y hasta es posible dar argunainformacin' aunque sta sea aproximada, de ius dimensiones.

La interpretacin de estas informaciones a partir de reproducciones, seanestas fotos o dibujos, es tan inmediata, tan natural, que hasta nos resultaobvia. No olvidemos que el nio al mirar, desde los primeros das de su vida,aprende a ver. Este aprendizaje requiere unas condiciones y un tiempo.Desde lo que vemos directamente, a simple vista, a lo que u"-o, en ras fotos,hasta lo que leemos en distintos grlicoi hay una grauacin.

Pero, qu diferentes signos grficos son utilizados para expresar laproporcionalidad?Podemos diferenciar cuatro tipos de representaciones:a) El dibujo de lo real y la fotografia.b) La representacin de magnitudes distintas, continuas o discretas

tomando agrupaciones.c) Las magnitudes expresadas a travs de otras.d) La representacin grfica de una funcin lineal en que prima la

representacin de la relacin.

a) El nio, mientras aprende a ver y aprende a ver dibujos, va aprenjdiendo a dibujar. En ste aprender a dibujar pasa po,r diversas eiapas hastalograr, primero que los dibujos de sus objetos sean proporcionaos en larelacin de sus partes, segundo que aparezca en ellos una determinadaperspectiva.

20

b) El hecho de agrupar, tan importante en la elaboracin de los siste-mas de numeracin aparece tambin como primeros intentos en la represen-tacin grifrca proporcional, conectada con la nocin de cambio.

Algunas veces las agrupaciones se expresan a travs de signos convencio-nales (Fig. 1.1), de colores distintos, etc.

c) Con los diagramas de frecuencia (rea proporcional a la altura o a labase) (Fig. 1.2),con sectores circulares (rea proporcional al arco) (Fig. 1.3), obien representando la magnitud con reas proporcionales de diferentes pol-gonos (Fig. 1.4). Mencin aparte merecen los mapas. Slo hay que notar que,puesto que la Tierra es casi esfrica, no se puede dar un mapa-mundi contotal exactitud. Forzosamente hay que introducir algunas distorsiones omodihcaciones. Dos extremos de estas distorsiones son: la proyeccin deMercator (1569) y la de Peters (1977). La proyeccin ms utilizada es el de Winkel que mantiene reas iguales y es relativamente proporcio-nal.

d) A un nivel ms formal tenemos las representaciones cartesianas de larelacin entre variables proporcionales (Fig. 1.5).

. Lenguaje formal

Finalmente nos queda el lenguaje formal, que ser el tema de estudio enlos tres prximos captulos. En stos se recorre un amplio espectro. Desdelos lenguajes ms formalizados que empiezan hablando de magnitudes yproporcionalidad de magnitudes para pasar de los lenguajes propios de lasnumerossimas aplicaciones prcticas del concepto de proporcionalidad, alos lenguajes de relacin que estudian la proporcionalidad como una fun-cin: la funcin lineal.

Pero antes de abordar el aspecto formal queda un aspecto importante alque no podemos dejar de hacer referencia.

13. .LENGUAJE DE RELACIN NIO.ADULTOEl lenguaje como vehculo de transmisin juega un papel fundamental en

el acto enseanza-aprendizaje.Pero habiendo reflexionailo sobre el lenguaje cotidiano y el lenguaje

grfico y llegando al lenguaje formal..., est claro que estamos hablando dellenguaje o lenguajes de los adultos.

Concretando en el caso de la proporcionalidad, no debe olvidarse que elnio est desde los primeros momentos de su vida sumergido en una reali-dad que tiene aspectos topolgicos, pero tambin aspectos mtricos. Poco apoco aprende a interpretar los mensajes que recibe a travs de sus sentidos, a

2l

a.1) Parte, trozo

(O. Harris & K. young: Antropologa y feminismo.la.2) De forma, de manera

(4. C. Doyle: Sherlock Holmes. O_bras completas (I),Grande. maestros del crimen j ,irl"rio.l

a.3) Segn("' en tares sociedades "ra participacin de la mujer con una parte fundamen*l deltrabajo socialmenre necesario, no.tus'reffi

" "',ii'i,iiti,l"l esclavitud, rar como sucede en

#,.H:t:LXa";lasista, sino qur 1.. propi"ioid#ia", decisivo, proporcionar a su

rheorigin"ji!Hii,iii;,!)tff )ff i:i,i,i"':,2i1\

c l) Relativizar

(Agatha Christie: El misterio de Ia gua de Ferrocarriles\

c.2) Entre dos nmeros

AMPLIACIN DE CAPITAL T POR 2

.

Proporcin: una accin nueva por cada dos antiguas. Los accionistas que no renandoscciones, podrn agruparse con otros accionists a efectos d;;;;.;;.- '-'

Derecho prefrente: A favor de ros accionistas, negociables en ta soiJ ; Madrid,mediante estamDillado.

Desembolso:'800 por 100 del valor nominal, es decir,4.000 pesetas por accin.(De tm anuncio aparecido en La Vanguardia, el da I de iulio de l9gg.)

c.3) Comparando fracciones

..

nqn industrial inquer parlant de la sobrassada diu: "Noltros seguim la mateixarormula, res mateixes proporcions, el que passa s que Ia primera ma-[eria ja no s la

matetxa...>)(Miguel Segura: >. Setze.l

c.4) Comparando dos magnitudes (que sean explicitas).

(8. Ortner: Es Ia mujer con respecto al hombre lo que la naturalezacon respecto a la cultura?, en Antropologa y feminismo.)

c 5) Como tasa, ndice o tanto por ciento.

El progresivo descenso de la natalidad bati en 19g7 todos los riords registrados, entiempos de paz, en catalua. La rasa de natalidad baj hasta un 9,g por l.oo eLfaiaaoao. es decir. nacieron 2.500 nios menos que en 19b6.

La tasa de natalidad baj en 1987 hasia un 9,g por 1.000 frente al le2 del aoanterior. El nmero de hijos.por pareja es en Catalua de 1,35, es decir, se ha iguatado aBalses como Alemania, donde se ha registrado el ndice menor en los ltimos iez aos.(4. Jasanada, J. M.o de la Bellacasa:

AmricaLatina

Oceania

rr icaW

Asia 8ffiffirr-r.*

2 nacimientos poru 1.000 habitantes

Mundo

o 2 muertes oorI l.ooo habintes

mmffiml||tffirm*l

ffifmffipffiffifffiffiffimffi

Amricadel

norte

U.R.S.S.

Europa

Figura 1.1. Tasas de natalidad y mortalidad a escala continental y subcontinental (1974\.

PIRMIDE DE POBLACIN

Hombres

% 109 8 7 6 5 4 3 2 | 0 012 3 4 5 6 7 8 910 %

+85

Nuclear 2,3 7o

Carbn 27,loA p"161s 46yo

. Gasnatural

Figura 1.3. Consumo energtico mundial (1978)'

= 10 millones: l milln

Figura 1.4. participacin de los estados en la poblacin mundial (1977). (Fragmento de un

24

Figura 1.2mapa mundi.)

DESARROLLO DEL CAMBIO

r80 2W 220Figura 1.5. Desarrollos bsicos (km/h por cada 1.000 rpm): l.^ 7,94; 2.' 14,29; 3." 21,00; 4.'28,5'l;5.^ 36,1. Rgimen mnimo utilizable: 1.500 rpm Par mximo: 3.500 rpm. Potencia mxi-ma: 5.600 rpm. Limite momentneo: 6.500 rpm.FueNrs: Autopista nm. 1319,27 octubre 1984.

identificarlos y a compararlos. Aprende a ver lo que es importantsimo,porque quiere decir que adems de mirar debe interpretar la informacin querecibe. Deber ms adelante relacionar la informacin que ya posee conel lenguaje que desde el adulto se le pide. Debe poner palabras. Ade-cuar su conocimiento intuitivo de lo geomtrico a las expresiones cuanti-tativas.

Y puesto que no basta decrselo, sino que debe asimilarlo, ser necesariointeriorizar estas ideas, relacionarlas con los conceptos que ya posee, con-trastarlas y/o modificarlas, si es preciso.

O sea, no se trata slo de lo que dice el adulto sino tambin de lo quepuede decir el nio, de lo que tiene significacin para 1.

Puesto que tanto en primaria como en secundaria, no se trata de dardefrniciones, el trabajo deber centrarse en precisar signilicados de una formaconstructiva. Esto requiere un cierto margen de libertad en cuanto a lasformas de expresin. Pasa a ser ms importante expresarse, que expresarsebien.

Unir el significado y el significante es una construccin de la mentehumana nada trivial.

26

Quizs el procedimiento de partir' entre otras' de situaciones geomtricas

uuc sean fcilmente "#;li'"b[t' "vt+ en este sentido'

l'lsta es' por '"

,n",,'t"'i'"i' " iJipott* " n""ttro modelo didctico

(crrpitulo 6)' .-- ^^ a^'nomento, a estudiar el aspecto terico de la

proporcio-Pcro, pasemo:,:",1#i:^;;'"]

"upiiuro siguiente.

rrulidad, el lenguale to

101401208060N20

27

Marco terico de laproporcionalidadentre magnitudes

L'homme y passe d trauersdes f6ret de symbolesqui I'obseruent aaec desregards familiers

(Ch. Baudelaire.)

2.I. MAGNITUDES Y MEDIDA

Por magnitud, entendemos un conjunto no vaco M con una relacin deorden (

5. Propiedad conmutatiua

a*b:b+a

6. Diferencia

a < bsi y slo si existe un c tal que a * c : b7. Diuisibilidad

Paracada aen Myn nmero naturalexiste un b, b e M,tal que a : n. bdonde nb : b + ... + con z_sumanaos.con estas condiciones M admite la multiplicacin y ra divisin pornmeros naturales y en consecuencia por nmeros racionales positivos p+.

8. Postulado de ArqumedesPara cada c y d e M existe un nmero natural n tal que d < n.c.A los elementos de }1 los llamaremos cantidades.Elegimos on M un elemento e al que llamaremos unidad.cada a e M permite dividir a e* , e acuerdo con su orden, en dos partes:

Ct:{Qee*lq.ea}

Estos dos conjuntos determinan lo que se llama una cortadura en e+. Estacortadura determina un nmero ,"ul , . R, de la ,igui"ni. _"n".u,

r : Sup {qee*lq.e { a} : Suples decir, r es la cota superior mnima de I

Por definicin r representara medida de a con respecto a e. Es decir, ernmero r puede tomarse como una representacin de la cantidad a.Como nomenclaturas formales indicaremos:

med"(a) : ; m"(4) : r ; a : r. e ; r : I Gurtnentre cantidades). Si r es un nmero racional se dice que las cantidades a y e sonconmensurables (esto es, con medida comn).Sea r :

T, "" tiene entonces que a contiene z partes alcuotas o

30

flivisiones n-simas de e. Recprocamente a todo nmero racional L "o.r"r-

ron

Basta para ello distinguir los sigurentes casos:1. reN, 2. ree*, 3. reR*\e*

1. Sirel / , , -n; e=n.e:e+.1 .+,

y por tanto

f(a) : f(e + .'i. + ") : .f(e) + .L + .f(e) : n..f(e)

2. SireQ+, r : ! : !* ' ' * )

y como

f (e) : tH: rG" + ! ! . : ) : rG). : :por tanto

En efecto todas las operaciones de medida de con unidad e, se funda-mentan en las relaciones de desigualdad y suma las cuales se conservanntegramente en la correspondencia establecida. Por tanto, Ios resultadospara medir con unidad e sern los mismos que para medir f(al con launidad f(e) y, por consiguiente, las medidas obtenidas sern iguales.

Este resultado permite reducir la medida de ciertas cantidades a las deotras proporcionales a ella, con lo cual se justifica Ia medida indhecta decantidades.

2.3. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

Sean M y N ds magnitudes proporcionales continuas, wa f la corres-pondencia entre sendas cantidades e y u dos unidades respectivas e M y N.

f :M "+ N

, e+u

Podemos escribir /(e) : k' uDiremos entonces que k es la constante de proporcionalided respecto de

las unidades e y u.En este sentido la constante de la proporcionalidad es unarepresentacin de la correspondencia y por eso la denotaremos por:

k : lfl {r} {"}

Como las magnitudes M y ,l pueden ser descritas completamente por susmedidas ffi" y ffi- respectivamente, entonces la proporcionalidad f pueeexpresarQe como una aplicacin g de R* en R*, especficarnente

E: f f iuofom"r

asi g(r) : m"(f(r' e)1.Por lo tanto g satisface la ecuacin funcional de Cauchy (182U

g(x + y) : S@) + C0) con x,yR v.rly al ser g montona, es decir que conserva el orden, admite como nicasolucin, que caracteriza la proporcionalidad:

.'G)4D:)n"t

y por tanto

tr, : \T "):,G" * !: **) ):4: ) .:, .,G)- ;'f(e)

3. Si r e R+ \ O*, significa que a es inconmensurable con e.Sea (cr, cr) la cortadura sobre los nmeros racionales definida por r, siformamos las clases Cr-.e, C, j

"

.""'.i"rin""cin es una cortadura en elconjunto de las cantiades "n,nr*urJtl, y a"nn" segn er axioma decontinuidad, una nica cantidad . r.p"."ion. Tal cantidad tiene evidente-mente como medida el nmero dado por (Cr, C).Por ranto, de ra monoronia def y'iirii condiciones I y II se verificarautomticamenre la condicin III,; ";;iiq: r.e entonces

-f(a) : f(r.e);#?,;' j::l ll,Hl,l: o" r(, ";; l," n"i,.;il;ffi" que ra32

g(r) :k ' r conreR*

33

por tanto

c(r) : rH:rG* ' , . ; ) : ' ( ; ) * ' r * , ( ; ) : " ,G)

r(T) : ' ( : ." * ) : ' ( ; ) * j r * ,0 : ^ ,G):! s(r)

. .

Efectivamente, para cualquier constante k, g(r) : fr.r, satisface la ecua_cin [2.1].

Recprocamente, si g es montona y satisface la ecuacin [2.1], dados dosnmeros naturales fr, fr ) 0 se cumple

son las cantidades homlogas respecto de una proporcionalidad/con medi-das correspondientes {/y r'2, ttt, ..., r',} respecto de la unidad l entonces setiene

f ' t -y '2 -

rL rz/ '

- ... :

"u : ..- - kconstante de proporcionalidad

13 rn

Este nmero k. cociente de las medidas de la magnitud N por las medidasde la magnitud M es frja para cada proporcionalidad, pero vara de una aotra, y siive para caracterizat cada porporcionalidad. Dos proporcionalida-des se dicen iguales cuando son iguales los cocientes k de la medida de lascantidades correspondientes.

Este nmero k se puede a su vez tomar como medida de una nuevamagnitud Z que se llama razn entre magnifudes. Si las unidades de ambas

son e y u, la nueva unidad u se representar simblicamente asi '

: !'e

En el caso particular de que las magnitudes M y N sean homogneas, esdecir, M : N, la constante de proporcionalidad es independiente de launidad elegida:

k : lfl* : lff""para cada e, u e M

En efecto, para cualquier unidad a la medida m con respecto a u cumple lassiguientes propiedades.

' I. m es una biyeccin entre M Y R+. II. a < bimplica m (a) < m(b)

III. m(a * b\ : m(a) + m(b\IV. m(e) : 1V. m(qa) : qm(a\ para q e Q*

Estas propiedades aseguran que tn es una proporcionalidad entre M yR+ por tant tas medidai de las cantidades correspondientes f(e)' m(f(e))con unidades correspondientes e y m(e) respecto a m son iguales'

med"f(e) : rted,1" ^V@)

k : lfl"" : med"f'(e): med'r"r[",(f ('))] - nV@ : #P

es decir, para cualquier nmero racional positivo r : Ln

cV):k ' r con k:s0)Por ltimo, como todo nmero real viene determinado por cortaduras

sobre los nmeros racionales definidos mediante la relacin d orden, al ser gmontonq, so cumplir la expresin anterior sobre los nmeros reales.

La aplicacin g se llama la funcin lineal representante de la proporciona-lidad. Se cumple que ft : g(1) : mlk), es precisamente la constante en laproporcionalidad f. Evidentemente lflr"x

Ahora si e : r' E se tendr que f(e) : rf(u) y en consecuencia

r t1 _ *"d:!llI _ r.med, f(ulLJ J"" : =;-med"(r- u) r.medummo s quera dernostrar.

En resurnen la constante de proporcionalidad entre dos rnagnitudes ho-mogneas, es la razn de sus cantidades y es igual a la de sus medidastornadas con la misrna unidad.

2.{ RAZONES TNTRE MAGNITUDESDadas dos cantidades a, b, la raz6n entre ambas se puede definir sin

Lacer eferencia directa a la medida.Basta para ello considerar la cortadur a (p ,, p r) sobre los nmeros racio-

nales positivos;

entonces el nmero real r que define sera la raz6n entre dichas cantidades a v. Indicaremos simblicamente que

alb:r

To,da razn entre cantidades determina una proporcionalidad entre lascantidades de la rnisma magnitud.

En efecto, definimos f"n@) : c si y slo si

alb : 9, para a, b, c, d en Md

dirernos que {a b, c" d} son proporcionales y a la cantid ad c La llamaremos lacvarta, proporcional.

fap es va automorhsmo en M, efectivamente.O Dt D

sea - : -

: pata ur, Lt21 u1. D2, de M, se tendr queoutu2

Q 0,*a"t :

"U a portantof 'pfut * uz): ut I ur: f"p{or) t f"tur)

36

Se cumple tambin que si u 1 r, f,rc(u) < f'p(r).Asi f,,o ser una proporcionalidad en MLa constante de proporcionalidad de fo,, coincidir precisamente con su

razbn.En efecto sea ft : l f",o),.,para u unidad en M.

'f"n@) : k' uahora por la definicin de f",o se tendr simblicamente

, , KuAIO:-

u

es decir que (a, b)y (ku, a) dehnen la misma cortadura y como la cortaduradefinida por (ku, u) es k, se concluye que k : r, razon de (a, b)'

A ms a ms como la cortadura (Pr, Pr) es equivalente a la cortadura (Cr,Cr) donde

Cr:{QeQ*lq 'b>a}

Cz:{qeQlq'b nr entonces nc > md.-Si na : mb entonces nc : md.--Si a < mb entonces nc < md.

Esta dehnicin es equivalente a decir que (a, b; c, r/) son proporcionales, es decit, a y btfcterminan la misma cortadura qw c y d. La cortadura determinada para dos cantidades a y sobre los nmeros racionales positivos es: (P,, Pr), (vase [J Dhombres, 1978, pgs. 28-56])

,

Pn : {T' rn, n e ulna < mb}"

" : {Ttm'neulna>mbl

JI

esquema (algoritmo de Euclides) que sirve para calcular eldivisor de sus correspondientes m;dida. "

u'r.mximo comn

- cociente- resto

que cumple:

L Propiedad de simetra

P(a, b) : P(b, a), Para todo q, b e M.

II. Propiedad de semeianza

P(ra, rb) :, P(a, b), Para todo r > 0 Y a, b e M

.t3

r2s2f l

J1

tSn- 2fn- !

J- 1

fn-2

J

fn- I

J* I

rt,s,ri

fn- 2 rn

l< i (nIII. Aditiuidad

P(a, b\ * P(a, c)s i a4by ... van disminuyendo, pronto llegan a no serapreciables' si desprecia-oJ por ejempro "i ,"gurfoo ;il; tenemosI

rr -F _

como valor aproximado de la razn.s2

2.5. TEORIA DE LA PROPORCINDadas dos cantidades a y , se define la proporcin de (a,) como elcociente

P(a, b): m4x (s' 4' min (s, l)siendo s, r las medidas respectivas de a y en una unidad determinada.La proporcin es unaaplicacin p qe, a todo par de cantidades, asignaun nmero mayor o igual que 1, es decir.-

P:M x M- (1, +o)(a, b)

-+ p(a, b)

, ' lo

P(a, b) > P(a, a) : I P(a, b) : P16, o

Iv

.n-- P(d- b,) : P(a, b)

a

a ( b,a { cP(a, b) + P(a, c) : P(a, b + c)

38

Figura 2.1.

39

En efecto, si se define:p(a, b') : mx (s, /)/min (s, t) 2 l.

l. p(a, b) : mx (r, ,)/mn (s, r) : mx(t, s)/min (1, s : p@, a)rr mx (rs, rt) max (s, t)tl. plra, rb) : :Z:- -- : : p(a, b) si r > 0min (rs, rt) mn (s, t)

III. Si a ( mn (, c) entonces resultap(a,b) * p(a,c) : t ' l * t '1) +

-1*" '1) = ' r t r rmr"(rJ) *rnr6,r) : ;+; : "

:P(a'b * c)

si m(a) : s, m(b) : t, m(c) : y

tv. lim p(an, bn) : 1i^mx !sn' n)-@ mln l . tr?, n)

^e*(n^sn, t i - r )\ r+@ r+@ /

: t?^ t' t) : p@, b)mn (s, l)

De hecho es.tas propiedades geomtricas de la proporcin son esenciales,es decir, caracterizan la frmula usual del cociente di la dimensin mayoipor la menor (vase V. Alsina y E. Trillas, 1984, pg.259-260).

Asi podemos concluir que la proporcin de dos magnitudes es la raznentre la mayor y la menor.

2.6. NOTAS HISTRICASLa nocin de proporcin viene asociada desde la antiguedad con la idea

de precisar cuantitativamente la nocin de semejanza, la cual bajo la formadel teorema de Thales (636 a 546 a de c.) se remonta ala ms alta anti-gedad y es de uso corriente entre los arqultectos.

Esta nocin vaga de semejanza tiene sus antecedentes en la de compararcosas de la misma especie, de hallar sus razones en el sentido corriente deltrmino, es decir, de querer medir sus magnitudes.

En los documentos babilnicos, egipcios y chinos, se encuentran siemprelas razones y las proporciones en situaciones particulares, eventualmentellamadas medidas (peorr1 g):

- La proporcin de la medida geomtrica (aual"oyr-a).a-b

- La proporcin armnica (de origen musical): =

:a

b

- La proporcin aritm ri"ut fi

-in (r- ,n, tim ,)\ r+@ 4r@ /

Las, bases de la idea general de raz6n son expuestos en el libro V de losElementos de Euclides (300 a. de C.) utilizando el mtodo axiomtico delencadenamiento de las axiomas, definiciones y proporciones. Esta metodolo-ga permite hacer una descripcin general de las proporciones sin utilizardirectamente las nociones aritmticas de los nmeros racionales e irraciona-les y las geomtricas de la semejanza. Se obvian las nociones de limite o decontinuo para salvarse de las paradojas de Zen6n.

La delinicin esencial del libro V es la nm. 6 transcrita en el lenguajeactual en la seccin 3 del presente captulo, que describe la nocin deproporcin (i"yoq). Esta complicada delinicin se mantiene hasta el sigloxx. Al final de la Edad Media se le da una connotacin prctica, entendien-do que hay proporcin cuando existe una misma parte . Estaversin prctica es retomada en el inicio del siglo xx afirmando que (a, b, c,d) forma una proporcin si se cumple que:

entonces fi4 : t/t'

Lo que conduce a aceptar slo los valores racionales de alb, lo cual represen-ta una seria incomprensin del texto de Euclides. Posteriormente es Dede-kind (1831-1916) quien dar su formulacin actual va las cortaduras, talcomo se describe en las anteriores secciones.

En este rpido recorrido histrico sobre la evolucin de las ideas deproporcin hay que mencionar los tratados medievales de Nicole Oresme(1323-1382) Algorismus proportionum y las de Lucas Pacioli (1,145-1514)Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita y De Diui-na Proportione especie de enciclopedia del saber matemtico de la poca,donde se recoge la teoria de las proporciones de Euclides.

2.7. INVESTIGACIONES Y EJERCICIOSl. Comentar las siguientes defrniciones de magnitud:

a)

c) (P. Puig Adam, 1947, pg. 98).

d) (C. Chamorro y J. M. Belmonte, 1988, pe. 142).

Enumerar y justificar el cumplimiento de las propiedades (1) a (9) de la seccip Ipara las siguientes situaciones:

a) Sensaciones internas (por ejemplo, el dolor hsico o moral).b) Sensaciones perifricas (tctiles, visuales, auditivas).c) Conjunto de las directrices de las rectas del plano. Conjunto de las clases de segmentos congruentes (longitud).e) Conjunto de las clases de segmentos congruentes (amplitud).f) La pensantez (cualidad genrica de los objetos que se equilibran en la

balanza: pesos i guales).d Los nmeros naturales como cardinales de los conjuntos frnitos.h) El conjunto de los nmeros racionales.i) El conjunto'de los nmeros reales.) Conjunto de las clases de hguras (o cuerpos) equivalentes en rea (o volu-

menr.Las fuerzas.La ertergia.La intensidad de la carga elctrica.El color.La temperatura.El tiempo horario.La velocidad.Los sucesos aleatorios.

Deducir razonadamente la proporcionalidad o no de las siguientes corresponden-clas:

a) Pesos de cuerpos homogneos + volmenes.b\ Coste postal de una mercanca + peso.c\ Costes joyeros de un brillantes

-

nmero de quilates.d) Cuerdas de una circunferencia + arcos correspondientes.e) Razones corporales de un beb + razones corporales de un adulto.n Arcos de una circunferencia

-

ngulos centrales correspondientes.d Ley de la palanca: potencia y resistencia

-

brazos correspondientes.h) Dilatacin del mercurio en un termmetro + temperatura.

En las relaciones proporcionales anteriores, determinar e interpretar las corres-pondientes constantes de proporcionalidad.

Comprobar que las medidas de una misma cantidad con unidades dist'intas estnen razn inversa de dichas unidades. Deducir tambin que la nueva medida deuna cantidad es igual a la antigua multiplicada por la medida de la nueva unidadcon la antiqua.

Medir las siguientes cantidades con lassiguiente tabla.

unidades que se indican. Completar la

7. Calcular en forma de fraccin continua las medidas del ejercicio anterior.

Comparar las medidas aritmticas, geomtrica y armnica, ordenndolas demenor a mayor.

Demostrar que un rectngulo tiene proporcin conmensurable si y solo si es lareunin de cuadrados iguales no solapantes.

.

2.

k)D

m)n)o)p)s)r)

3.

8.4.

5.9.

Cantidad Unidad Medida

Longitud de ladiagonal de uncuadrado.

Lado del cuadrado.

Amplitud del ngulode un tringuloequiltero.

Angulo recto.

Grado centesimal.

Peso en cm3 de aguadestilada a 4" enParis

n

Diezmillonsima partedel cuadrante delmeridiano terrestreque pasa por Pars.

Extensin deldodecaedrormbico. 2

0 lkm 6.340

{r ,2. 3, 4, s, 6)t12

4243

Esta es la teora matemtica, el lenguaje formal, que utilizamos parahablar de proporcionalidad.

Pasemos ahora (captulo 3) al estudio de la utilizacin y aplicacin delconcepto de proporcionalidad tanto en Ia tcnica como en la ecnomi4 en elarte, etc.

Paralelamente se trabaja en el crilculo numrico determinando el valor dealgunos nmeros irracionales espec'ialmente relevantes o calculando distan-cias innaccesibles: grandes y pequeas distancias (por lo tanto con grandes ypequeos nmeros).

4Fig. 3.1).

45

Utilizacin y aptric&clon

Defrnimos la correspondencia

f : M --+ M'

tal que f(AB) : A'B'entonces/cumple las siguientes pro-piedades:

l. La correspondencia es biuni-voca:

si f(AB) : f(CD)entonces AB : CD

pues si r y r'son paralelas se tendrAB : A'B', CD : C'D', y al serA',B', : f(AB) : f(CD) : C',D' sesigue que AB : CD. Si r y r'no sonparalelas, se efecta la traslacin deltrapecio ABB'A' eu.e hace coincidirAB con CD; el segmento A'B' setransformar en A" B" comprendidoentre las palarelas CC" y DD' conlo que se tendr A'B' : A" B" (portraslacin) y A"B" : C'D'(por seg-mentos de paralelas comprendidosentre paralelas), con lo que se puederepetir el razonamiento del caso an-terior.

2. "f(AM + MB) : f(AM) + f(MB), pues si Mes interior a AB,laparalela por M estar en la banda limitada por las paralelas AA, y BB,, por

tanto M'ser interior a A'B'. As si lB : AM + MB

f(AM) + f(MB) : f(AB) : A'B' : A'M' : f(AM) + f(MB)

anlogamente se verificar:3. f(AM) < .f(AB) si AM < AB.En consecuencia f ser una proporcionalidad (vase captulo 2), y por

tanto existir una constante de proporcionalidad:

, f(ABlk - ----:---_____

AB

fin general, teniendo en cuenta las propiedades aritmticas de las propor-ciones se cumplir:

AB A'B' AB A'B': o_

, 'fi :

E- para todo A, B, C, D en r

Aunque el teorema de Thales sea la aplicacin ms signihcativa de larrgporcionalidad a la Geometra, su utilizacin ms prctica en este campo,y sobre todo en la Tcnica y la Ciencia (como veremos ms adelante), loconstituye los siguientes resultados:

A'B' OB'l) ;: *

(para todo A, B, P en r y A', B', P' en r' paralela a r

?,f AP : A'P' .y PP" AA'y BB' pasando por el punto f i jo o) '

OP OP'Al esquema grhco de la figura 3.2, lo llamaremos esquema PROP, de

umplia repercusin didctica como se describir detalladamente en el Labo-ratorio de Proporcionalidad (captulo 6).

Para comprobar las proporciones 1) y 2) trazaremos por B la paralelaBB" a OAA'y apliquemos el teorema de Thales a la conltguracin (Fig. 3.3)que resulta de girar la figura 3.2. Se tendr

A'B' OB'A'8"

_

OB

Figura 3.2 Figura 3.3

y, por ser A'8" : ,48 se seguir la proporcin 1) y anlogamente, permutan-do los medios resultar la proporcin 2).

De la observacin directa del esquema PROP se sigue la determinacingrfrca de la longitud c cuarta proporcional de tres longitudes dadas a, b, d:

a _

c.

bd

Figura 3.1

4647

Basta para ello tomar los segmentos b : Op, a : Ap y d : Op, enlaproporcin 2) y observar la hgura 3.4.

(Ntese que la inclinacin del segmento a con respecto a es arbitraria yen particular puede ser perpendicular.)

El esquema PROP (Fig. 3.2) admite otra interpretacin desde el punto devista de tringulos asociados T y T':

med,(c) : ! ^ed'(o') siendo a'

: f(a)

3.1.3. Clculo comercial

En las aplicaciones a la vida cotidiana, economa' sociedad"'' es usualpr."iru, tu p.oporcionulidad entre cantidades de una misma magnitud por

Figura 3.4

Es eviderite; ue T y I, tienen sus ngulos asociados iguales y sus ladosasociados proporcionales, lo cual equivale a decir que los dos tringulos z yZ'son semejantes-

En general, dados dos ternas de puntos (O, p, A) y (O,, p,, A,) encorrespondencia tal que

O'P' P'A' A'O'oP: pA: Ao:*

queda determinado el concepto de semejanza como transformacin s. Asdos figuras F, F'se dioen semejantes si existe una semejanza tal que J(Fr) :Fr. La relacin

medio del tanto por ciento,es decir, el producto de la constante de proporcio-nalidad por cien.La expresin del tanto por c iento: no :100.k indica que es lamedida de la cantidad homloga a la que tiene 100 como medida expresadas

en la misma unidad. Formalminte se escribe:

,

n : mJ@) tal que m"(a) : 1gg

f:M-M siendo k: l " f f ._ a,eeM

Describimos a continuacin el ejempro caracterstico de tanto por cientoen clculo comercial. En las situacines comerciales que conlrevan ahorro o.d entre el capital C (dinero invertido oucido o recargado), dentro de ciertosroducen o reducen r unidades al ao,tr ciento llamado rdito, se representa

por 106. Cada unidad rr proouce , : 100_-, es decir, el tanto por uno.

El inters,producido por un capital c al cabo de un ao es por consi-guiente:

ci :9!100

Esta flrmula sirve tambin para averiar el descuento D de una letra decambio, es decir, el dinero que obra un banco comercial por negociarra:

D:y' t100

donde N es el varor nominal o capital importe de ra letra de cambio. Erdescuento D sustituye al inters af cabo ie los aos que faltan para elvencimiento. Er nmero de aos puede ser entero o fraccionario; en estel t imocasosueleexpresarsenmeses: t : ! oendas , : ! Hacien_do el adecuado cambio de variabre ,e outieln2e .,0"r*"","

"-r'"1""0,"",..Existen multitud de otras situaciones cotidianas donde el 'tanto porcrento se utiliza como ndice de deduccin, por ejempro de cuo ntegra dellmpuesto sobre la renta de las personas fisicis, como lmpuesto sobre el valoraadido (IVA), como descuentb en compras y ventas, aumentos de salarios,tarifas, resultados, composrcrones, produccin, etc. En captulo dedicado al50

l,uboratorio de Proporcionalidad se analiza con detalle el tratamiento didc-tico del tanto por ciento.

Otro uso cotidiano y fundamental de la proporcionalidad, lo constituyenkrs repartos proporcionales. Tal como el propio nombre indica, se trata dercpartir una cierta cantidad de una determinada magnitud en cantidadesprcfijadas de otra magnitud que se supone proporcional a la primera.Paraladcterminacin de las cantidades correspondientes se hace uso de la lineali-tlad respecto a la suma y de la constante de proporcionalidad.

Formalmente se da una cierta cantidad n de N que se quiere repartirproporcionalmente a varias cantidades conocidas, a ..., e6 de otra magni-tud M que se supone proporcional. Hay que determinar las cantidadescorrespondientes a las a,, es decir,f(ar) para (1 < t ( z). Tomando medidascn ambas magnitudes y sin cambiar de notacin, se tendr

f (ar+. . ' ia^) :nPor la linealidad ."rp".to'd. la suma

n: f (ar) + . . . + f (a^): nt + . . . + nn con n, : f (a)Por otra parte, sea t la constante de proporcionalidad de I se tendr

paracada(l ( i ( ln)y al cabo de f aos: Cil : ?

100 n,- f(a,) f(at + '.. * o^)ei a, I ' . . *a^ ar+.. .+an

asr

niaL+.. '+an e

de donde

tt : :--l------;--:-. a para cada i tal que I ( i ( zQr+.. .+An

Con lo que quedan unvocamente determinadas las cantidades correspon-dientes. Para su tratamiento didctico se remite al lector al Laboratorio deProporcionalidad.

5l

3.2. ARTE, CIENCIA Y ECOLOGA

3.2.t. L divina proporcin

La proporcionalidad er el Arte y en la Arquitectura en particular tienedos objetivos bsicos: uno visual que consiste en crear un ) aparentepor repeticin de figuras semejantes y otro formal basado en (relaciones)entre formas. El establecimiento de deterrninadas proporciones viene condi-cionado por conceptos tradicionales, estticos, morfolgicog antropolgicos,histricos, constructivog etc. La proporcin ms clebre en la historia delarte, que ha rcalzad,o los conceptos anteriores es sin duda la divina propor-cin o nmero de oro.

un rectngulo de lados a y b se dice con proporcin divina o urea si1+ /7 r-- f con la mano

izquierda y el brazo extendido y colocar delante de ste uno con lamano derecha, intentando que un rectngulo tape al otro.

Cuando los tengas todos aparejados completa el siguiente cuadro.

semeJante a

Encima de la mesa, colocando un rectngulo sobre su pareja, intentaencontrar nuevos mtodos para aparejarlos.

Descubrimientos:

A B c D E F c H I J

PROPORCIONALIDAD I.2. Nombre:

Material:Los diez rectngulos de la actividad anterior (1.1).

Trabajo a realizar:Mide en centmetros los lados de cada rectngulo y para cada pareja de

rectngulos semejantes completa las siguientes tablas:Nota: Convencionalmente, siempre llamaremos al lado de mayor

longitud y al lado ms corto.

A H

20 cm cm

l6 cm cm

ood

138 139

Lzrgo

Ancho

Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD 1.3. Nombre: Fecha:

Material:Los rectngulos C e 1 de las fichas anteriores'

Trabajo a realizar:Aprovechando los descubrimientos de las frchas anteriores, ampla la fami-

lia de los rectngulos C e I con dos miembros ms.Explica los mtodos que has utilizado.

Explicacin:

PROPORCIONALIDAD I.4.

Material:

Nombre:

Los rectngulos que t mismo has construido en el ejercicio anterior. Hojade papel milimetrado con unos ejes de coordenadas.

Trabajo a realizar:1. Coge todos los rectngulos y ordnalos de menor a mayor'2. Sobre el papel milimetrado coloca el rectngulo ms pequeo de mane-

ra que la anchura se apoye sobre el eje horizontal x y la largura sobreel eje vertical y. A continuacin, resigue los otros dos lados de maneraque el rectngulo quede dibujado en el papel. Seguidamente,hazlomismo con los otros rectngulos.

3. Observa los vrtices. Qu ha sucedido?4. Dibuja sobre los ejes de coordenadas un rectngulo que no sea seme-

jante a los anteriores. Qu sucede con ste?Descubrimientos

Fecha:

PROPORCIONALIDAD I.5.

Material:

Nombre: Fecha:

Los rectngulos de la actividad anterior (1.4), cartulina, regla y tijeras.

Trabajo a realizar:1. Mide en centmetros la anchura y la largura de todos los rectngulos,

ordenados del ms pequeo al ms grande.Completa la siguiente tabla:

Dibuja y recorta dos rectngulos de la misma familia que los anterio-res, es decir, que sean semejantes. El primero ha de medir 10 cm deancho y el segundo 21 cm de largo.

Completa la siguiente expresin:

3612,-4-T- 12 tr 16 100

n10

3. Explica todos los mtodos que conozcas para resolver la pregunta 2.

Explicacin: t

PROPORCIONALIDAD 1.6.

Material:

Nombre: Fecha:

Los rectngulos de la actividad anterior (1.5), regla y tijeras.Trabajo a realizan

1. Recorta todos los rectngulos por la diagonal. Te quedarn dos colec-ciones de tringulos iguales.

2. Toma una de las colecciones y tal como hiciste en la ficha 1.4 dibujasobre unos ejes de coordenadas todos los tringulos, de manera que labase (antes

45l5

618t5

o)73l

10215

- :

n)

s)

'10

PROPORCIONALIDAD 2.I.

Material:

Nombre: Fecha:

Unos 60 palillos y una hoja de papel milimetrado.Trabajo a realizan

l. a) Construye un cuadrado que tenga un palillo por lado. Cuntospalillos has utilizado?

b) Construye otro cuadrado que tenga dos palillos por lado. Cun-tos palillos has utilizado?

c) Haz lo mismo con tres i cuatro palillos por lado.d) .Con los datos que tienes completa la tabla correspondiente.

2. Ahora haz exactamente lo mismo, pero en vez de construir rectngulosconstruye tringulos equilteros.

3. Sobre unos mismos ejes de coordenadas, dibuja las dos grficas querelacionan el lado con el permetro, en el cuadrado y en el tringuloequiltero.Sobre el eje horizontal, coloca los lados y sobre el vertical los per-metros.

Nota: Para que te quepa debes tomar por cada palillo el valor deI crn.

Descubrimientos

r42 t43

PROPORCIONALIDAD 2.2. Nombre: Fecha:

Material:Unos 60 palillos y una hoja de papel milimetrado.

Trabajo a realizar:1. Construye un rectngulo de2 x 5 palillos. Sin desmontarlo construye

otro aadiendo un palillo a la largura y otro palillo a la anchura.El nuevo rectngulo, es semejante al primero? Por qu?Dibuja esta situacin en una hoja militrada.2. Volviendo a partir del rectngulo de 2 x 5 palillos, aade un

solo palillo a la anchura.Cuntos palillos has de aadir a la largura para que el nuevo rectn-gulo sea semejante al primero? (Si lo crees conveniente rompe unpalillo.)

3. Si aades un solo palillo a la largura del rectngulo de2 x 5. Cuntospalillos has de aadir a la anchura para que tambin sea semejante?Dibuja sobre el papel milimetrado las situaciones presentadas en estosdos ejercicios.

Descubrimientos:

Podrias haber previsto el resultado sin hacer el grhco?

PROPORCIONALIDAD P.2. Nombre: Fecha:

l. Sobre el esquema (E-1) dibuja, tan slo con la ayuda de la escuadra,un rectngulo S de 30 mm de ancho que sea semejante a R.

2. Sobre el mismo esquema y con la ayuda del mismo utensilio, dibujaun rectngulo T, de 33 mm de largo que sea semejante al rectngulo R.

3. Leyendo el esquema (E-l), completa la siguiente tabla:

Largoen mm

Anchoen mm

R 30 20sT

De esta serie de etiquetas adhesivas comprueba cures son semeiantes:Son semejantes las etiquetas

siguientes:

5. Las hojas de papel que normalmente tienes en las manos tienen unasmedidas muy determinadas, ya que la industria de las artes grhcas seha puesto de acuerdo para que esto sea as. Incluso tieni nombre

Pega los cinco rectngulos de manera que grficamente quede demostradoque son semejantes.

Completa la siguiente tabla:

curiosidad: El cociente no da nunca exacto. saca 6 decimales y elvalo alcuadrado.

4.

r44 r45

Qu nmero resulta? (muy aproximadamente).

q2: =

Coge una hoja que no sealo mismo.

DIN (folio por ejemplo) y comprueba si sucede

PROPORCIONALIDAD 3.I.

Material:

Nombre: Fecha:

El aparato que llamaremos y varillas de larguras diferentes: 5 cm,l0 cm. 15 cm.

Trabajo a realizar:Mantener la escala vertical hja a 50 cm del punto cero de la escala

horizontal. Sita la varilla de l0 cm a 20 cm del punto cero. Coloca la goma demanera que, partiendo del punto cero, pase justo por la punta de la varilla.Con la mxima precisin posible anota el resultado numrico de la escalavertical.

Haz lo mismo con las varillas de 5 y de 15 cm.Completa la siguiente tabla:

Descubrimientos:

A partir de todo lo que has hecho, completa los esquemas de la hoja depapel milimetrado. Para que te quepa haz corresponder a cada 5 cm de larealidad I cm en el papel.

Loneitud de la varilla

PROPORCIONALIDAD 3.2.

Materil:

Nombre:

El mismo de la frcha anterior.

Trabajo a realizar:Sita la varilla de l0 cm, a 40 cm del punto cero.sabras decir -sin poner la goma- En qu punto de la escala ser la

proyeccin?Calclalo y despus verificalo con la goma.

Explicacin:Tal como has hecho en la ficha anterior, haz un esquema de la situacin

sobre el papel milimetrado.Repite el proceso con las varillas de 5 cm y de 15 cm.

PROPORCIONALIDAD 3.3.

Material:

Nombre: Fecha:

El mismo de la ficha anterior.

Trabajo a realizar:Mantener la escala vertical fija a 50 cm del punto cero y la varilla de l0 cm

a 40 cm.Con la varilla de 5 cm hars una prediccin: En qu punto la tiene que

colocar para que tape a la varilla de l0 cm? Es decir, para que la goma pasejustamente por encima de las dos varillas.Comprueba si la prediccin que has hecho es correcta.Repite el ejercicio poniendo en primer lugar la varilla de l5 cm.

Explicocin:

Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD 3.4.

El mismo de las hchas anteriores y una regla.

146 t47

Trabajo a realizar:Coloca la varilla de 5 cm en la divisin 20 cm de la escala horizontal y la

varilla de l0 cm en la divisin 40 cm.Qu distancia hay del punto cero a los extremos superiores de la varillas?Repite el ejercicio con las varillas de l0 y 15 cm.

Explicacin:

Descubrimientos:

Qu relacin hay entre las distancias?

PROPORCIONALIDAD P-3 Nombre: Fecha:

l. Dado un tringulo de l0 cm de base y 14 cm de altura, calcula la alturade un tringulo semejante a ste que tenga 12 cm de base.

Cul es la razn altura/base?2. Como seguramente ya sabes, la isla de Sicilia tiene una forma que

recuerda fcilmente un tringulo rectngulo. En un Atlas observamosque la (base) (costa Norte) mide 7 cm y la

3. La hipotenusa de un tringulo de 3 cm de base y 4 cm de altura mide 5cm (puedes comprobarlo grficamente).

Cunto medir la hipotenusa de un tringulo semejante a ste quetenga 9 cm de base?

Qu base y qu altura tendr un tringulo semejante a los anterio_res si su hipotenusa mide 18 cm?

Hazlo aritmticamente y, despus, comprubalo mediante un dibu_jo.con los datos del problema anterior has podido construir tres tringu-los semejantes: de pequeo a grande los llamaremos Tr, Try fr. Cof,iaen tu hoja la tabla siguiente y compltala con los datos que t pidin

4.

Esto es un esquema que te servirde calculadora automtica. Tansolo hace falta adaptarla, es decir,poner los . Busca los que sean adequa-dos para los tringulos de esteproblema y ponlo en funciona-miento.

MDULO

Se puede montar sobre un cartn o maderaconsistencia.

Trabajo a relizanBuscar en el grfico el 50 % de 70.

para proporcionarle mas

Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD /3 Nombre:

Mterial:El descrito en la ficha anterior.

Trabajo a realiznl. Busca el 50 % de 80

2. Busca el 50oA de 120

40%, de 302Oo/o de 90lOYo de 45

4OYo de 14020'A de 16010 % de 180

Compara los resultados grficos con los numricos.Qu observas?

3. Busca el 10 % de 15

l0oA del0Yo de

150 l5 l

Qu observas?4. Busca el 20oA de

30 oA de 2.40050 % de 3.000

Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD /S Nombre: Fecha:

Problemas sobre porcentajes1. Un chico tiene en su biblioteca ocho libros de texto, doce de aventuras

y cinco cuentos. Calcula qu tanto por ciento sobre el total representacada tipo de libro.

PROPORCIONALIDAD >/4 Nombre:

Material:El de la ficha anterior Y un comPs.

Ejemplo:Cunto habremos de pagar por un objeto que vale 160 ptas. si nos hacen

un descuento del 15 oA?

Primero, busca el 7o correspondiente.Segundo, con el comps haz la resta.

Trabajo a realizan1. Si el objeto anterior vale 70 ptas., cunto habremos de pagar?2. Y si vale 700 ptas.?3. Cunto costar un objeto de 200 ptas. si se aumenta el 2o/o? Qu

hars con el comps?4. Cuanto costar un objeto de 2.500 ptas. si se aumenta el 30oA?

Descubrimientos:

Fecha:

2. Si me dan el 50 %o de un pastel, qu parte me dan?Y si me dan el 25 Yo?Y si me d,an el 75oA?Qu parte del pastel representa el 20oA?Y el 80 %?Dibuja cada una de las situaciones.

Al comprar un televisor de 60.000 ptas. me hacen un dscuento delt5 %.

a) Qu tanto por ciento del precio habr de pagar?b) Cuntas pesetas me ahorro?c) Cunto habr de pagar?Un comerciante carga sobre el precio de los articulos que compra alpor mayor un 30 7o.

a) Por cuntas pesetas vender un artculo que le cuesta 100?b) Y uno que le cuesta 1.000 ptas.?c) Y uno que tan slo le cuesta 50 ptas.?d) Y uno que le cuesta 1.150 ptas?Clculo rpido5.

6. Clcula:

l0% de 30 :5V" de 360 :

l5Yo de 360 :2O%o de 160 :30% de 360 :

I 'A de 4.200 :0,5 % de 4.2ffi =2.5 oA de 4.2 :

3 Vo de 4.3ffi :5 %. de 4.2ffi :

90% de 360 :95 oA d.e 360 :85%de30:80% de 360 :70oA de t6O :

99 o/o de 4.200 :99,5 oA de 4.200 :97,5o4 de 4.200 :

97'/o de 4.2O0 :95 "/o de 4.200 :

PROPORCIONALIDAD /6 Nombre: Fecha:

Material:Una hoja de papel milimetrado y una regla.

Trabajo a realizar:Dibuja dos ejes de coordenadas en un lado del papel milimetrado.Marca sobre el eje horizontal el punto de graduacin 60 mm y sobre el

vertical el punto 100 mm. A continuacin traza la recta que une el origen conel punto de coordenadas (60, 100).

152

L Siguiendo la recta que has dibujado, cules son las graduaciones sobreel eje vertical correspondientes a las graduaciones 12, 18 y 30 mm deleje horizontal? partir del dibujo, sabras repartir 100 caramelos entre tres amigos silal aportaciones de cada uno han sido de 12, 18 y 30 pesetas?Si la letra x designa el nmero de pesetas y la letra )' el nmero decaramelos, comPleta las mquinas lineales siguientes.

X Y

12 *- tr18

---a G

30 tr 1_I60

--fi

1-{

Mquina l-[l lineal

J.

X Y

r_( " l_lT-n

I\18 JI[L ,, )60 100

Mquina [] tlneal

PROPORCIONALIDAD

sabemos que el que tiene dos aos le corresponden 80.000 ptas. Quedad tiene el hermano mayor? Cunto le toca a cada uno?

4. A, B y C han fundado un negocio de manera que I tiene el doble decapital invertido que B, y B los 213 de C. Al cabo de un ao hanobtenido un benehcio de 72.000 ptas. Qu cantidad corresponde acada uno?

5. La construccin de un puente cuesta 31.500.000 ptas. El Estado sub-venciona el 25oA de los gastos y la Autonoma un 15 o%. Los dospueblos comunicados por el puente tienen que pagar el resto de mane-ra proporcional al nmero de habitantes, que son 860 y 1.140 respecti-vamente. Calcula la cantidad que debe pagar cada pueblo.

Nota: Para realizar estos problemas utiliza el siguiente esquema:

Incgnitas

Gtfica x

J

Mquina[]

PROPORCIONALIDAD /8 Nombre:

Problemas sobre cambios de monedas

Fecha:

1.

2.

I Dlar USA . 175 ptas.I Franco suizo . 67 ptas.

100 Liras italianas 9 ptas.100 Yens japoneses 67 ptas.

I Franco francs 18 ptas.Cuntos dlares me darn en un banco se cambio 35.000 ptas? Quvalor tiene la constante de proporcionalidad para pasar de pesetas adlares?A cuntas pesetas equivalen 100 francos suizos?Por qu nmero he de multiplicar?A cuntas pesetas equivalen 100 yens japoneses?Cunto vale la constante?

v

aq k

r54 r55

Un franco suizo a cuntas pesetas y a cuntos yens japoneses equiva-le? Rellena los espacios de la siguiente:

A cuntos yens equivalen 30 francos suizos?A cuntos francos suizos equivalen 2000 yens?

Por 36.000 pesetas, cuntas liras italianas me darn?Cunto vale la constante de conversin?Veinticinco francos franceses a cuntas liras italianas equivalen? Com-pleta la siguiente:

MDULO ESCALAS

Ficha 1: Actividad de introduccin.Ficha 2: Actividad de consolidacin.Ficha 314: Problemas.

PROPORCIONALIDAD /l Nombre:

Material:

Una cinta de cassette y una regla graduada.

o o oo

o

Trabajo a realizar:En esta hcha hemos dibujado una cinta de cassette como la que se te peda,

pero al hacerlo hemos reducido sus dimensiones. Con la regla mide las dimen-siones de Ia realidad y del dibujo y completa la tabla.

Recuerda las primeras fichas de y contesta: Cmo sonlos dos entre si? Por qu?

Explicacin:

Qu relacin se establece entre una dimensin del dibujo y su homlogade la realidad?

Fijate que ahora no comparamos diferentes dimensiones de un mismorectngulo, sino que comparamos una misma dimensin y, por tanto, larelacin que te da dibujo/realidad no tiene nada que ver con la razn (quesera la misma para los dos).

Ya que la unidad del dibujo equivale a dos unidades de la realidad diremosque el dibujo lo hemos hecho a ESCALA l:2 (uno es a dos).Ejercicio:Dibuja la cinta cassette a escala l:3 y a l:4.

PROPORCIONALIDAD /2

Material:Una regla graduada, Mapa de la ciudad de

Trabajo a realizar:l. Busca en el plano el Paseo Vara del Rei.2. Mide en cm su longitud sobre el plano.3. Sabiendo que la longitud real del paseo es de 200 m, determina cuntas

veces ms pequeas son las dimensiones sobre este plano.

Nombre:

156 157

4. Expresa los resultados en el siguiente cuadro:

Largos reales 200m | 100m lm cmLargos planos cm cm cm 1cm

Ten cuidado en no equivocarte cuando cambies de

Descubrimientos:Como un cm del plano equivale a ... cm de la realidad, podemos decir que

est dibujado a ESCALA 1:-El cuadro anterior se puede representar de una manera mucho ms sencilla

y prctica mediante lo que se llama >.Se trata de dibujar un segmento con las divisiones de centmetro y medio

centimetro, e indicar al lado cul es la distancia que equivale en la realidad atodo el segmento dibujado.

La escala grfica del dibujo de la cinta de cassette dibujada en la fichaanterior sera sta:

0t--r--r4 cm

Dibuja debajo del plano la escala grfica correspondiente.

PROPORCIONALIDAD

Completa el cuadro-resumen siguiente:

Escala grlica Cuntas veces se corresponde unaunidad del plano a la realidad

Escalanumrica

0 4cmr ,

r l . r I

0 200m0 1.000 2.000m0 5 lOkm

PROPORCIONALIDAD /4 Nombre: Fecha:

Problemas de escalas:1. Busca un atlas o un mapa de carreteras que est dibujado a una escala

comprendida entre 1:5.000.000 y 1:1.000.000.a) Con la regla y un curvmetro (o un cordel si no tienes), mide las

distancias que te piden en el cuadro siguiente. A continuacincalcula las dimensiones reales.

Barcelona-Ibiza Ibiza-Valencia Valencia-Barcelonapor autopista

Plano

Realidad

b) Cul es la poblacin de la costa peninsular que est ms cerca deIbiza? Expresa la distancia en millas marins.

(Una milla marina : 1.852 metros)

Consulta el problema nm. 2 del P-3. A qu escala est dibujada laisla de Sicilia?Calcula la escala en que ha sido construido un coche miniatura respec-to al de verdad si la distancia entre los ejes'es de 2 cm y 280 cmrespectivamente.Haz un plano a escala 1:20 de tu habitacin y de los elementos mslmportantes.

4.

158 159

En la maqueta recortable del Nou Camp podemos medir las dimensio-nes siguientes:

Altura tribuna: . cmLongitud total: cmAnchura total: cmDimensiones del terreno de juego:

Sabiendo que la maqueta est realizada a escala 1:500, calcula lasdimensiones reales.

Calcula tambin cuntos mm habr de medir la figura de un juga-dor que tenga un altura real de 1,80 metros.

6. Cul es la distancia real entre estas Poblaciones?

Barcelona-Madrid (escala 1:1.000.000) 18,4 cmLrida-Viella (escala 1:500.000) '.... 32,0 cmManresa-Vic(escala 1:2).000). . . . . . l8 '4cm

MDULO DE PROPORCIONALIDAD DE SUPERFICIES G,)

Ficha 1: actividad de introduccin.Ficha 2: Problemas.

PROPORCTONALIDAD k'?ll

Material:Figuras geomtricas planas, regulares e irregulares, hechas a escala 1:2 y

l :3.

Trabajo a realizar:1. Con cada una de las parejas de figuras semejantes realizalo siguiente:

mide los lados de las dos hguras.2. Busca cul es la distancia sobre la escala horizontal en que la hgura

pequea tapa la grande.3. Halla la razn de semejanza entre los lados.4. Calcula cuntas veces la hgura pequea cabe en la grande.5. Construye una tercera frgura ms pequea, en la misma escala que las

antenores.6. Halla cuntas veces esta hgura pequea cabe en la mediana y en la

grande.

Descubrimientos:

Nombre: Fecha:

PROPORCIONALIDAD k'?l2 Nombre: Fecha:

l. Sabiendo que un pentgono regular cabe dentro de otro 64 veces,calcula dnde lo habr de colocar sobre la escala horizontal del pRop si elgrande lo sito en la divisin 80.

2. En una mapa de Catalunya, vemos la siguiente escala grfica:

I r r l r r l0 5 10 15 20 25 30km

Qu significa?Si Ia superficie de Catalunya es de 32.000 km2, cul es el rea del mapa?

Por qu?

3. Un diseador grfico ha rcalizado un cartel publicitario que mide l0 mde ancho por 5 m de alto. Posteriormente se han hecho reproducciones quemiden 50 cm de ancho por 25 cm de alto.

A qu escala est hecho el cartel pequeo respecto al grande?Cuntos carteles pequeos necesitaramos para tapar el grande?

Descubrimientos:

APLICACIONES A LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

Densidad

PROPORCIONALIDAD Densidad/l

Material:Una probeta graduada.Seis tuercas de hierro y un tornillo (mtrico 8 o l0).Balanza de precisin.Hilo de nyln.

Trabajo a realizanl. Llena la probeta de agua hasta la mitad. Con cuidado y ayudndote

del hilo introduce de una en una las tuercas.Cunto sube el nivel del agua?Completa la siguiente tabla:

Numero de tuercasVolumen (cm3)

2 3 4

Nombre:

160 l6 l

2. Con la ayuda de las balanzas sustituye el nmero de tuercas por supeso. Haz la representacin grfica y la tabla que relacionan las dos magnitu-des.

Peso (gr)

Volumen (cm3)

Utilizando slo la probeta, sabras calcular el peso del tornillo?En cualquiera de los casos, cul es el cociente Peso/Volumen?Toma cualquier otro material homogneo (grava, aluminio, ...) y estu-dia la relacin Peso/Volumen.

3.4.).

PROPORCIONALIDAD Densidad/2 Nombre: Fecha:

Problemas sobre densidad:l. Calcula la densidad de un material del cual 30 cm3 pesan 330 gr.2. Calcula el volumen de 30 gr de zinc (densidad: 7,1 grlcm3).

Calcula el columen de 50 kg de cemento (densidad: 2,8 grlcm2).3. A menudo, cuando se hacen piezas grandes de metal con la tcnica del

fundido, quedan burbujas de aire.Conociendo la densidad de un determinado metal, piensa un mto-

do para averiguar si en su interior hay burbujas de aire o por locontrario es macizo del todo.

4. Qu ocupar ms volumen, 1 kg de hierro (densidad 7,9 gr/cm3) o Ikg de cobre (densidad 8,9 gr/crn3)?

3. Una caja de cerillas de cocina tiene una capacidad de 96 cm3. Calculacunto pesar si la llenamos sucesivamente con los materiales siguien-tes:

agua (densidad I grlcm3)mercurio (densidad 13,6 gr/cm3)oro (densidad 19,3 gr/cm3)plomo (densidad ll,3 grlcm3)aluminio (densidad 2,7 grlcms)

6. Sabiendo que la densidad mediana del cuerpo humano es de 1,15grfcm3 calcula el volumen de tu cuerpo.

PROBLEMAS SOBRE GULLIVER

En Swift (1982) a partir de la pgina 117 se describe Brobdingnag. Puederesultar entretenido plantearse y resolver los siguientes problemas:

1. Averiguar algo ms sobre la extensin de Brobdingnag.

2. Podras comentar el mapa?Datos que pueden ayudar:

Milla terrestre : 1.609 m.Area de Asia: 44.186.000 km2.Area del O. Pachco: 180.000.000 km2

Estudiar a qu montaas equivalen las descritas. Son muy altas?

J.

162 163

4. Corresponde realmente y a escala a una ballena de nuestro mundo?(Dato: una ballena puede medir unos 25 m de larga y pesa cerca

de 1@ toneladas)

5. Cmo de grande sera el palacio real? Completar los datos de lahabitacin.

La torre del templo principal de la capital de Brobdingnag eramucho ms baja que el campanario de Salisbury?

(Dato: el campanario de la catedral de Salisbury mide 122 me-tros).

Cmo sera una cocina semejante a la descrita?

Exagera Swift al hacer la descripcin de los tamaos? O al contra-rio son proporcionales segn la raz6n l2:l?

6.

8.

ENTRETENIMIENTOS

Las excavadoras. Si 10 excavadoras en 10 horas cavan 10 metros dezanja, cuntas excavadoras sern necesarias para cavar en 100 horas, 100metros de zanja?

Los gatos: Una variacin del anterior en cuanto a la redaccin y tam-bin en cuanto a la forma de razonamiento necesario para hallar la solucin,viene dado por el siguiente enunciado: Si 3 gatos cazan 3 ratones en 3minutos, cuntos gatos sern necesarios para cazar 90 ratones en 90 minu-tos?

IJn vaso de agua y un vaso de vino. Supongamos que tenemos dos vasos:Un vaso de agua y uno de vino. Tomamos una cucharada de agua del primervaso y lo echamos en el vino, removiendo. Tomamos a continuacin unacucharada de la mezcla y la echamos en el vaso de agua. Hay ms agua enel vaso de vino que vino en el vaso de agua? o sucede al revs?

Reproduciendo la torre Eiffel. La torre Eiffel que mide 300 m de altura,est hecha toda de hierro y pesa 8.000 toneladas.

Supongamos que reproducimos la torre. Si queremos hacer un modelotambin de hierro que pese en total I kilo, qu altura deber tener? Serms alta o ms baja que un envase brick de leche?

Menos 500 pesetas. Ana tiene el doble de dinero que Pedro. Ambos dana Andrs 500 ptas. que es menos de la mitad de lo que tiene cada uno deellos. Contina teniendo Ana el doble que Pedro?

Hombre alto, hombre bajo. Imaginemos ahora dos hombres, uno midedos metros de altura y el otro un metro. Si suponemos que ambos tienen lasmismas proporciones anatmicas, o sea que son semejantes en sentido geo-mtrico y que el alto puede levantar una carga de 120 kilos, cuntos kilospodr levantar el hombre bajo?

El cartabn y el marco. En un cartabn de dibujo los tringulos ex:e-rior e interior, son semejantes? y en un marco de un cuadro son semejanteslos rectngulos exterior e interior?

Dos sandas. Se ponen a la venta dos sandas de igual longitud perodistinta anchura. Si suponemos que una de ellas es la cuarta parte ms anchaque la otra que son de la misma calidad y que la ms ancha cuesta una vez ymedia ms cara, cul de las sandas es preferible comprar?

Dos cacerolas. Tenemos dos cacerolas de acero inoxidable de igualforma y con las paredes del mismo espesor. Si suponemos que la capacidadde una de ellas es 8 veces mayor que la otra, cuntas veces es ms pesada lamayor que la pequea?

164

Dos calderas. Consideremos ahora dos calderas de distinto tamao,pero igual forma y construidas con el mismo metal. Si suponemos que eneste mismo instante acaban de llenarse de agua hirviendo y las dejamosenfriar cul de las dos se enfriar antes?

Un da fro. Un da de mucho fro una persona mayor y un nio-quizs un padre y su hijo estn dando una vuelta por el parque. Sisuponemos que ambos van igualmente vestidos cul de los dos tiene msfro?

La lente biconvexa. Con una lupa, que aumenta cinco veces, se estnobservando dos rectas que forman un ngulo de cinco grados. Con quemagnitud se ve el ngulo?

La racin de comida. La norma que los liliputienses establecieron res-pecto a la comida de Gulliver fue: .

En que clculo se basaron para establecer una racin tan grande?

La bebida. .

Cuenta tambin Gull iver que los cubos de los l ihputienses (no eranmayores que un dedal grande nuestro)).

Es posible que los barriles fuesen tan pequeos?

Los animales de Liliput. Acerca de los animales Gulliver cuenta: y de los toros,cavas, etc., dice que se los meta en el bolsillo.

No son muchos caballos? Es el tamao descrito proporcionalmentecorrecto?

Un duro colchn. Los liliputienses, muy amables, prepararon la cama aGulliver que describe la preparacin del colchn: .

Exagera Gulliver al contar esto?

165

6.4. GUIA DIDCTICA

FICHA PROPORCIONALIDAD

Objetivos:L Descubrir mediante la manipulacin, diferentes mtodos geomtricos

que sirvan para o rectngulos semejantes.

Resultados a preveer:

En relacin al mtodo propuesto en la ficha:La mayor parte de alumnos aparejan correctamente. Los errores se sitan

en aquellas parejas de rectngulos con una razn de semejanza casi igual (C-Iy D-J razn 312 y 815, respectivamente).

Se descubren variantes de este mismo mtodo.Colocar uno en el suelo con un foco haciendo sombra.Antes de utilizar ningn mtodo ya hay una intuitiva de

aquellas parejas ms evidentes.Respecto a otros mtodos, son frecuentes:a) .

El rectngulo sobre el , centrndolo de maneraque las diagonales trazadas previamente coincidan (vase la Fig. 6.15).

b) .Hacer coincidir los dos rectngulos sobre un vrtice y vase cmo

la diagonal coincide (vase la Fig. 6.16).

Centro en comn Vrtice encomn

c) Algunos alumnos comprueban cuntas veces el rectngulo >est comprendido en el . En el caso de la pareja A-H, elresultado es exactamente 4 veces. Ellos mismos se dan cuenta de queesto no es generalizable.

d) Espontneamente algunos alumnos toman la regla y miden las dimen-siones de los rectngulos. Curiosamente no comparan lo largo o loancho, sino que comparan por cociente las dos reas hecho que no leslleva a ninguna conclusin.

Dificultades a tener en cuenta3

Respecto al material, hay una dificultad inherente al mtodo propuesto: lapoca precisin.

Es importante, sin embargo, que ellos mismos se den cuenta de esta limita-cin, ya que esto los motiva para descubrir mtodos ms precisos.

Expresin escrita: hay difrcultades de redaccin a la hora de explicar losmtodos utilizados.

Ejemplo:

(sic).

(sic).

FICHA I.2.

Objetivos:I Descubrir que, a partir de cada pareja de rectngulos semejantes, se

obtiene una proporcin numrica comparando sus dimensiones.2. Completar los mtodos geomtricos con recursos aritmticos.

Resultados a preveer:En algunos casos descubren relaciones parcializadas; es decir, que las

dimensiones de un rectngulo son el doble o bien el triple de las de su pareja.Asimismo, algunos alumnos encuentran un mtodo que les sirve para todos

los casos: el de . Este mtodo es una aplicacin de lapropiedad de las fracciones equivalentes. No obstante, los chicos no lo relacio-nan y el mtodo encontrado no pasa de ser un truco que funciona.

Observaciones:Espontneamente algunos chicos utilizan la palabra .

Ejemplo: (sic).

En el espacio:

PROPORCIONALIDAD

[. Aguantando los dos rectngulos(Fig. 6.17).

2. Apoyando el rectngulo grandeen el suelo para conseguir msexacti tud (Fig. 6.18).

t66 t61

En el plano:

1. Haciendo coincidir los centros ylas diagonales (Fig. 6.19).

Haciendo coincidir un vrticeuna diagonal (Fig. 6.20).

/ /

Adems, algunos alumnos, segn los rectngulos que hayan construido,observan los incrementos siempre iguales del crecimiento de la largura y laanchura.

(sic).

Dificultades a tener n cuenta:

De comprensin: La linea que une los vrtices tiene que hacerse solamentecon los rectngulos semejantes. El rectngulo que no es semejante se ponedespus.

l8 cm

12cm

La colocacin de los datos puede ayudar a la comprensin.

Ejemplos de resolucin:

Mtodos para emparejarlos rectngulos

FICHA 1.4.

Objetivos:1. El objetivo se consigue de forma grfrca:. que toda familia de rectngu-

los semejantes define la misma pendiente, razn entre las dos dimensio-nes.

Resultados a preveer:

La totalidad de los alumnos resuelve correctamente lo que se propone en laficha.

32

PROPORCIONALIDAD

l8 cm

FICHA 1.3. PROPORCIONALIDAD

Objetivos:1. Darse cuenta de que para construir una familia de rectngulos seme-

jantes se puede utilizar una serie de fracciones equivalentes.2. Proceder por induccin para pasar de una proporcin a una serie de

fracciones equivalentes.3. Buscar definiciones operativas de rectngulos semejantes (multiplicar

en cruz, cociente igual...).

Resultados a preveer:

Aplican las relaciones parciales descubiertas en la ficha anterior. Como nose les pide ninguna medida concreta aplican el mtodo de multiplicar o dividirlas dimensiones de los rectngulos dados por nmeros naturales.

r68r69

FICHA 1.5. PROPORCIONALIDAD

Objetivos:1. Darse cuenta de que toda serie de fracciones equivalentes se puede

representar mediante puntos del plano alineados.2. Utilizar simultneamente el recurso grfico y el aritmtico para deter-

minar relaciones de dependencia entre dos variables.

Resultados:La mayoria de los alumnos recurren a mtodos geomtricos, como

el del centro en comn, o bien aprovechan la ficha anterior paraencontrar de una manera rpida la medida que se les pide.

Algunos chicos aplican el mtodo de

Antes de dibujar, es necesario manipular los palillos.

Ejemplo de resolucin:

+: un pal i l lo

h

FICHA 2.2. PROPORCIONALIDAD

Objetivos:1. Aprovechar la grfica de Ia funcin lineal como una

tanto se puede hablar de tringulos semejantes como de rectngulossemejantes.

Es necesario tener presente que para esquematizar la situacin, seha de reducir a escala. Esto no comporta ninguna dificultad adicional.

Ejemplo de resolucin:Familia

125cm 2 ^.a t0

'

25 Simplificar laDrimera fraccinb2050

FamiliaJ

437,5 cma 15 t7,5b2050

FamiliaI

12,5 cm a5b20

_

r2,550

FICHA 1,2,3 y 4. CALCULO COMERCIAL

Objetivosl. Aplicar la grfrca de la funcin lineal para resolver

porcentaJes.

20cm 5".

FICHA I.

Objetivos:CLCULO COMERCIAL

1. Aplicar la grfica de la funcin lineal para resolver problemas deporcentaJes.

Resultados y observaciones:A la mayor parte de alumnos les sorprende este mtodo para encontrar el

tanto por ciento. En algunos casos, alumnos con dificultades de clculo traba-jan ms seguros con este mtodo que no implica ningn trabajo memorsticode clculo numrico.

Ejemplo de resolucin:l) Cinco amigos compran 100 caramelos por 60 pts. La contribucin de cada uno ha

sido de 15, 3, 12, 18 y 12 pts. Cuntos caramelos tocan a cada uno?

Datos5 amigos 100 c-60 pts.Cada uno 15,3,12,18, 12 p.c.u.

v100 c

3 121518 60 pts.1!4452

,'-\,'a.,'a'-y1002552030x601531218\--V----

! !43452

IncgnitaN." de caramelos que tocana cada uno de ellos

xy

Operaciones

60loelm10-56-!zo6

! r ,6! ro610-206

t2

15

l8

t2

Tocan 25, 5,20,30 y 20caramelos resDectivamente

FICHAS 3.4 v 3.5 PROPORCIONALIDAD

Obietivos:l. Introducir la hipotenusa en relacin a los catetos del tringulo que

forman, y generalizar y consolidar la idea de proporcin.

Resultdos a preveenAl tratarse de una ficha bastante dirigida, lo resuelven correctamente.

Observaciones:Estas dos frchas no son imprescindibles para continuar el trabajo. De

hecho, son planteadas como refuerzo. Tambin se pueden utilizar como unaprimera iniciacin al tema del Teorema de Thales.

Atencin!:Aqui tambin es necesario poner en comn los resultados y trabajar la

consolidacin resolviendo los problemas P-3.

174

problemas de

175

Resultados y observaciones:

A la mayora de alumnos les sorprende este mtodo para hallar el tantopor ciento. En algunos casos, alumnos con dificultades de clculo trabajan msseguros con este mtodo que no implica ningn trabajo de clculo numrico. 't

FICHA 5. CALCULO COMERCIAL

Objetivos:1. Extender la utilizacin de las hchas anteriores a situaciones diversaS,

prestando especial atencin al clculo rpido. Relacionar el trabajo detanto por ciento con otras fracciones equivalentes simplihcadas.

Relaciones y observaciones:

En el ejercicio nm. 3 confunden un 7o de descuento sobre un producto,con el valor hnal que se ha de pagar.

En el ejercicio nm. 5 y nm. 6, no se dan cuenta que los %o de las doscolumnas son complementarios, con lo cual se les hubiera agilizado el clculo.

Se dan cuenta que cuando los tantos por ciento pedidos son mltiples odivisores tambin lo son los resultados una vez efectuado el o/o.

I-_= fir ,l - lI -x-

-x|_ |

r t -

I I t t

Mquina El neal

Mquina @ lineal

FICHA 6.

Obietivos:

CALCULO COMERCIAL

1. Utilizar la propiedad aditiva y multiplicativa de la funcin lineal.2. Conseguir el proceso algortmico que comporta la funcin lineal (m'

quina [l lineal y mquina [! lineal).

Resultados y observaciones:En el momento de hacer la representacin sobre los ejes de coorde-

nadas surgen dos maneras de colocar los datos: una parte siempre delorigen, la otra va a continuacin y aplica en realidad la propiedad de lamquina I lineal.

Esquemas propuestos parala resolucin de problemas.

Ejemplo de resolucin:1. Cinco amigos compran 100 caramelos para 60 personas, la

contribucin de cada uno ha sido de t5,3, 12, 18 y 12 pesetas.Cuntos caramelos tocan a cada uno?

FICHAS 7 y 8.

Objetivos:

CALCULO COMERCIAL

L Resolver problemas de reparto proporcional utilizando simultnea-mente mtodos grficos y algortmicos introduciendo, adems, la nomenclatu-ra de FACTOR DE CONVERSIN.

Resultados y observaciones:Hemos observado que cuando se trabaja con la mquina de Factores de

Conversin hay dihcultades en el momento de hacer los inversos.

Nota:El esquema propuesto para la resolucin de problemas de aplicacin al

clculo comercial se puede extender a diversas reas de las Matemticas y delas Ciencias Experimentales y Sociales. Como ejemplo, presentamos un con-junto de hchas que el lector puede utilizar para trabajar los temas de escalas,proporcionalidad de superficies, densidad, etc.

r76 177

6.5. MAPA CONCEPTUAL

CONCEPTO MAGNITUD

A:B

A;B < C:D

J. A' .8 : C:D

A:C : B:DB:A: