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TRABAJO COLABORATIVO 2.

ALGEBRA LINEAL

CÓDIGO DEL CURSO100408

GRUPO 5

TUTOR:CAMILO ARTURO ZUÑIGA G

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD2011

MAYO 17 DE 2011



INTRODUCCIÓN

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una ampliaaplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en laadministración existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento ysolución de tales sistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de lascarreras administrativas de la UNAD, en la materia Algebra lineal, se incluya eltema solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán, por las ventajas que este ofrece.

Recordemos que en las últimas décadas el. Algebra Lineal se ha convertido enuna parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al

desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo giraactualmente en torno a los sistemas computacionales.

Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referentemuy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo deeducación autónomo.

La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejerciciospresentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, através de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminacióngaussiana, regla de cramer, empleando la factorización y la matriz inversa.



OBJETIVOS

Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana,

factorización LU, la matriz inversa, rectas en R 3, planos, espacios vectoriales,

entre otros, ponerlos en práctica reconociendo su importancia y aplicabilidades.

Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en práctica y con

las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las

herramientas apropiadas.



1. Utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan, para encontrar todas las

soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1. 2x-4y-7z = -7

5x-7y-z = -1

-8x+y+6z = 6

2 4 75 7 1 8 1 6

716

2 5 4 2 4 70 6 330 1 5 2 2

73322

2 6

22

1 2 7 / 20 1 33/60 0 363/6 7/233/6363/6 1 2 7 / 20 1 3 3 / 60 0 1 7/233/61 33/6 7/2

1 2 00 1 00 0 1001 2 1 0 00 1 00 0 1001 ENTONCES

0 0 1

Reemplazamos:

1) 2x – 4y – 7z = -72(0) – 4(0) – 7(1) = -7

-7 = -7

2) 5x – 7y – z = -15(0) – 7(0) -1 = -1

-1 = -1

3) -8x +y +6z = 6-8(0) + 0 + 6(1) = 6

6 = 6

1.2. 3x-4y-z+4w = 11

5x-10y-z-2w = -18



3 4 15 1 0 1 42 1118

1 4/3 1/35 10 1 4/32 11/318

5

1 4/3 1/30 10/3 2/3 4/326/3 11/3109/3

1 4/3 1/30 1 1/5 4/313/5 11/3109/10

4/3 1 0 7

0 1 1 / 5 88

13/5 1457

109/10

La matriz A ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que elmétodo finaliza allí.

Escribamos el sistema resultante:

x – 7z + 88w = 1457

y – 15

135

10910

Note que las variables z y w están presentes en las dos ecuaciones. A: z y w lasllamamos variables libres. Para encontrar un vector que satisfaga las dosecuaciones se requiere asignarle a z y w, valores arbitrarios con eso obtenemoslos valores para x y.

• Despejamos x en la primera ecuación

X= 1457+7z-88w

• Despejamos y en la segunda ecuaciónY=

z y w son arbitrarias (cualquiera). Recuerde que lo que buscamos es un vector,, ,, que satisfaga el sistema por lo tanto podemos escribirlo asi:



1457 7 88,

,, (1)

Observe que cada valor que se le asigne para z y w (variables libres) se obtieneun vector que satisface las dos ecuaciones.

Como podemos asignar a z y w, todos los valores que deseemos, se trata pues uncaso de infinitas soluciones. La forma de solución escrita en (1), recibe el nombrede solución general, ya que contiene la forma de todas las posibles soluciones.Si deseamos encontrar un vector cualquiera que satisfaga el sistema, leasignamos un valor a z y w (cualquiera) a este vector lo llamaremos soluciónparticular.

Veamos pues una solución particular:

1457 7 88, 10910 15 135 , , Por ejemplo si z=0 y w=0, resulta.

1457, ,0,0 Solución particular 1.

Otra solución particular si z=2 y w=1, resulta.

1383, ,2,1 Solución particular 2.



2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utiliceel método que prefiera para hallar A-1)



3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1. Contiene a los puntos P= (-5,-1,2) y Q= (-1,5,-3)



3.2 Contiene a P= (5,3,-7) y es paralela a la recta



4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1. Contiene a los puntos P= (-8,4,0) , Q= (-1,-8,3) y R=(-3,-2,-1)



4.2 Contiene al punto P= (-1,-8,-3) y tiene como vector normal a:

= 3̂ 2 ̂ 5



5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

: 5 8 10,y,

: 7 8 2



BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFIA

Módulo Algebra Lineal, UNAD 2010

http://cmap.ihmc.us/download

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