2 Objetivo En el Diseño de un Sistema de Control existe una fase previa al Diseño del Controlador...

Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2014. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.

Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Clase 19 – 21 Versión 1 - 2014

Contenido:

Compensación dinámica

Lugar de las Raíces

Compensador de adelanto (Lead)

Compensador de banda estrecha (Notch)

Diseños de Sistemas de Control con compensadores

Compensador de atraso (Lag)

2

Objetivo

En el Diseño de un Sistema de Control existe una fase previa alDiseño del Controlador que se llama: Compensación Dinámica

Esta fase consiste en darle al proceso características dinámicas más adecuadas para facilitar el diseño del futuro controlador

La compensación dinámica usa 3 estructuras básicas:

Compensador de adelanto de fase (lead)

Por ejemplo: una cierta amortiguación, más rapidez, menos sensibilidad, etc., tal que le de más flexibilidad al futuro SC, es decir, una mayor claridad y comprensión entre causa y efecto

Compensador de atraso de fase (lag)

Compensador de banda estrecha (notch).

3

s

-4

-6

-5 0

0

4

2

6

-2

-2.5

jwEstructuras del Compensador

Dlead(s) = Ks+z

s+p

Dlag(s) = Ks+z

s+p

Comp. de atraso de fase

Comp. de banda estrecha

Comp. de adelanto de fase w0

-w0

-z

-z

-p

-p

z=sen q q

-wo

Todos tienen grado relativo igual a cero (FT bipropias)(s+0)2

Dnotch(s) =s2+20s+0

2

4

(Aplicación: para mejorar el Transitorio)

(Aplicación: para mejorar el ee)

(Aplicación: para suprimir dinámicas parciales que son oscilantes indeseables)

Compensación Dinámica Lead en LR

Sea la planta: G(s) = 1

s (s+1)D(s) = K(s+2), y el compensador PD:

0

4

2

-2

-4

-6

6

-4 4-2 0 2

jw

s

Se desea:

z0.5

wn=2 (circunf.)

Se calcula elK según lo esta-blecido en LR, finalizando el diseño

y se verifica que:

D(s) amplifica elruido del sensor !

Desventaja:

z0.5

wn=2

5

(p esta en -)

s

jw6

-6

-4

-2

4

2

0

0-20 -10 -2 -4-6-8 -12-14-16-18


s(s+1), y el compensador: D(s) =

K(s+2)(s+p)

p=-20

p=-13

p=-3

p=-2

p=-5

p=-10

p=-12p=-14

Diseño de CD con Adelanto (lead)FCR M.Jordan6

Esta relación p=z equivaleal caso sin compensador

Alejamos p hacia la izquierdapara entender el desplazamiento de los polos de LC

s

jw6

-6

-4

-2

4

2

0

0-20 -10 -2 -4-6-8 -12-14-16-18

p=-20

p=-13

p=-3

p=-2

p=-5

p=-10

p=-12p=-14

Compensación Dinámica Lead en LRUna característica de los sistemas con una compensación PD con poloes que existen varias soluciones de diseño de z=cte si z es alto.

Mientras que para bajo amortiguamiento la solución es única.

7

-6-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-4

-2

0

2

4

6

x xx

K=48.4, =0.7, n=6

K=19.4, =0.7, n=2.2

K=5.4, =0.7, n=1.0

8

Analizando el LR, seleccionamos por ej. p=-10 en el CD en adelanto

La selección final de K dependeráde otras condiciones, en general:


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Res

pues

ta e

scal

ón

Tiempo en seg)

K=48.4,=0.7, wn=6K=5.4, =0.7, wn=1.0

K=19.4, =0.7, wn=2.2

=0.7, n=1.06

Sistema base de 2do. orden

=0.7, n=2.2


=0.7, n=6.0


9

Nota: el sistema base es un sistema dinámico ficticio compuesto solamente por el par de polos complejos conjugados (sin cero y sin polo real)


y el mismo sistema pero con un cero añadido (1/) (s+),tiene una FT:

Ga(s) = + s2 + 2 ns +n

2

s n21

0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo

Respuestas impulsivas

n2

s2 + 2 ns +n2

RECORDAR que un sistema dinámico de 2o orden tiene una FT:

G(s) =

Efecto del Cero en un Sistema Subamortiguado

n2

s2 + 2 n s +n2

s n2

s2 + 2 ns +n2

1

s2 + 2 ns +n2

n2

Ga(s) (suma de ambos)

10

Conclusión: Un cero dominante, junto al sistema básico, aumentará Mp y n (o tr)

- pz

/ 1- z2

s

jw

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

0

Primera Forma de Diseño de CD con lead


s (s+1), y el compensador: D(s) =

K(s+2)

(s+10)

Especificaciones: Mp 0.2 y tr 0.23 s .

e 0.2 z 0. 5 y wn 1.8/0.23 = 7.8

Con el LR y el CD:

D(s) = K(s+2)

(s+10) 34o

z=0.56

z=0. 56

wn=7.72 rad/s

Se eligen aproxima-damente:

s=-4.32

resultando:

s=-4.3

wn=7.7

p1=-4.32 +j 6.40p2=-4.32 - j 6.40

Entonces:

11

0s

jw

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Diseño de Compensación Dinámica LeadLuego se extrae K=70 empleando el producto de segmentos desde los polos 0, -1 y -10 al polo complejo indicado, dividido por la longitud del segmento del cero en -2.

Finalmente se extrae la raíz faltante a través de K=70 empleando el producto de segmentos desde los polos 0, -1 y -10 y el cero en -2 hasta un punto s0 apropiado.

s=-4.3

34o

z=0.56

Así resulta p3=-2.4.

12

-10

-6

-2

2

6

10

-10 0 -4 -2 -8 -6

s

jw

-10

-6

-2

2

6

10

-10 0 -4 -2 -8 -6

s

jw

Validación del diseño de CD Lead

Sistema base para el diseñoSistema real del diseño

El polo y el cero están muy cerca, susefectos se cancelan aproximadamente! Se concluye que el diseño

aproximado es bueno!Aunque el cero es dominante y susefecto de derivación aumenta el soprepico!

13

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo

Glc(s) = 59.7

s2+2*0.56*7.72+59.7

Glc(s) = 70(s+2)

s(s+1)(s+10)+70(s+2)

Validación a través de la Respuesta al Escalón

Sistema base

Sistema real compensado

FCR M.Jordan14

Segunda forma de Diseño con CD Lead


s(s+1), y el compensador de tipo: D(s) =

K(s+z)(s+p)

Especificaciones: se desea un sistema de control con 2 polos en:

z 0. 5 y wn =7

p2=-3.5 -j 3.5 3

p1=-3.5 +j 3.5 3

Esto implica:

Mp 20% y tr 0.26

Además, se supone que el sensor adolece de ruido de alta frecuencia

de intensidad significativa a partir dew =20 rad/s.

y recordando:

Se llega a:

Mp = e-pz / 1- z

2 0.2 y

15

1.8

n

tr

Cómo se prosigue con el diseño del compensador dinámico?

Segunda forma de Diseño con CD de adelanto

El polo del compensador de adelanto se fija en p=-w=-20, ya que a partir deesta frecuencia de corte se filtrará el ruido en la realimentación

Además si se quiere que los polos elegidos de la FTLC no sean influenciadospor el cero z del compensador, éstos deben ser por lo tanto dominantes y el cero z alejado del polo p= -20.

Procedimiento de Diseño

-10

-6

-2

2

6

10

-20 0 -10

s

jw

? y f2

f1f3

y =180+f1+f2+f3Con la condición de fase:

se encuentra la posición del cero en z=-5.4 (alejado de -20!)

Quedando el diseño del CD:

D(s) =K(s+5.4)(s+20)

s0

|s0| |s0 -[-1, 0]T| |s0 -[-20, 0]T|

|s0 -(-5.4,0)T| =127y K=

Primeramente se fuerza al LR a contener los 2 polos deseados yal cero del SCLC

16

K=127

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo

Glc(s) = 49

(s+3.5)2+3.52x3

Glc(s) = 127(s+5.4)

s(s+1)(s+20)+127(s+5.4)

Respuesta al escalón del sistema real y el básico

Sistema base

Sistema real

FCR M.Jordan17

La diferencia es significativa debido a la cercanía del cero a los polos complejos conjugados.

Se puede correr el cero a la derecha obligando al lasramas del LR a acercarse más al cero y bajar el sobrepico. Por ej. se prueba con z=-3 y se reduce Mp a menos del 20% quedando conforme con el diseño final.

Sistema final

Notas sobre los dos diseños de la CD en adelanto

FCR M.Jordan18

En el primer diseño se eligen el polo y cero del compensador basado a un estudio comparativo de los dos LR’s, a saber: el LR de laplanta realimentada con ganancia K y el LR de la planta realimentada con el compensador de adelanto respectivamente.

En este primer diseño, se eligen la especificaciones temporales y se Determinan dos polos complejos conjugados del SCLC que las cumplen.Finalmente se estima la ganancia K en el LR y demás polos reales del SCLC, si existieran.

En el segundo diseño no se cuenta con el LR de la planta compensada.Sólo se disponen los polos complejos conjugados deseados.

Luego, el polo de la CD en adelanto, se elige poniendo atención en el fenómeno de ruido del sensor. Mientras que el cero del compensadorse elige empleando la Condición de Fase. Con ello el LR es forzadoa pasar por estos polos deseados. Finalmente se calcula K y demás polos reales del SCLC, si existieran.

Sea un compensador de tipo: D(s) =K(s+z)(s+p)

con z>p

Por el contrario, la inclusión de una CD con atraso es necesaria cuando el sistema planta (o planta compensada con CD-adelanto) no reúne condiciones apropiadas de estado estacionario (es decir, de baja frecuencia)

En general los SC son de Tipo 1. Esto significa que se cumple:

p/señal rampa e () = lim ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s2=

1Kv

0 y < (>- )ess=

donde:

lims 0

Kv= s D(s)G(s)

Diseño de CD de Atraso (lag)19

Se vio que la inclusión de un compensador en adelanto, mejora el transitorio

Diseño de CD de Atraso (lag)

Si el sistema compensado con adelanto resulta con una Kv pequeña,se puede transformar a dicho sistema apropiadamente tal que cumpla:

(s+z)(s+p)

lims 0

Kv= s D(s)G(s) > Kv0 siendo Kv0 un valor alto prefijado.

zp

lims 0

Kv= s D(s)G(s)

Para un buen diseño, es suficiente cumplir z>>p (basta con una relación de 3 a 10). De esta manera el seguimiento de rampas es más preciso.

Para definir z es necesario no alterar la planta compensada previa-mente con un adelantador de fase, es decir el par z y p del compensador de retraso debe estar alejados del par cero-polo del compensador de adelanto.

Esto obliga a ubicar el polo p cerca del origen (es decir, un polo muy dominante) a fin de aumentar significativamente la ganancia de baja frecuencia.

20

Sus características de frecuencia son tales que ante entradassinusoidales, (s+z)/(s+p) produce atraso de fase de su salida.

Diseño de CD de Atraso (lag)

f = tan-1(w/z) – tan-1(w/p) < 0o para toda >0w

Esta fase en la frecuencia es la fase de su función de transferencia frecuencial en estado permanente:

Nuevamente el diseño de un compensador puede ser estudiado en pro-fundidad con LR.

Veamos el ejemplo anterior de una planta compensada con retraso eimpongamos especificaciones en estado estacionario.

21

Sin embargo, este desfasaje no es tan grande debido a la presencia deun cero cercano

Diseño de un SC con CD de atraso (lag)

Sea la planta: , y el compensador de adelanto: D(s) =K(s+z)(s+p)

Especificaciones: Primeramente se desea un SC con polos en:

z 0. 5 y wn=7

p2=-3.5 -j 3.5 3

p1=-3.5 +j 3.5 3

Esto le confiere al sistema base

tr 0.26 y Mp 20%

Además, elegir p del CD de adelanto se tiene en cuenta el ruido de gran intensidad del sensor a partir de frecuenciasw =20 rad/s.

De aquí resulta el SC de tipo 1 con compensación de adelanto de fase:

la que aproximadamente reúne las especificaciones del sistema base.

Glc(s) = 127(s+5.4)

s(s+1)(s+20)+127(s+5.4)

Glc(s) = 49

(s+3.5)2+3.52x3

(en donde p=-20 y z=-5.4),

G(s) = 1

s(s+1)

22

lassiguiente especificaciones de diseño:


Luego, la constante de error de velocidad del sistema compensado es:

lims 0

Kv= s KD(s)G(s) = lims 0

s+5.4

s+20s 127

1

s(s+1)= 34.3

ess= 1/Kv = 0.03(es decir, para una entrada rampa con pendiente 1,la salida del SCLC la sigue en ee con pendiente 1,pero retrasada en un error de 0.03).

Ahora supongamos que las especificaciones de estado estacionariorequieren que Kv sea por lo menos 100 (o sea ess 0.01)

Por tanto elegimos: z/p=3p=-0.01 z=-0.03

Si bien el polo en p=-0.01 es dominante, su efecto se cancela en transitorios debido a la proximidad del cero z=-0.03. El efecto es lento pero imperceptible.

Ambos en conjunto están alejados del valor para 4 (wn=7.2 rad/s), que marca la dominancia de los polos complejos conjugados del SCLC.

Diseño de un SC con CD de atraso (lag)23

30

-30

-20

-10

20

10

0

0-20 -10 -2 -4-6-8 -12-14-16-18

s

jw

El polo dominante de la FTLC (es decir, el más cercano a s=0), está muy próximo al cero de la mismaFTLC. Con ello el sistema de LC tampoco modifica su transitorio original dada por la CD de adelanto.


5x

5x

DG(s)lead-lag =127(s+5.4)(s+0.03)

s(s+1)(s+20)(s+0.01)Lead-lag

DG(s)lead =127(s+5.4)

s(s+1)(s+20) Lead

Los LRs de ambos sistemas de control compensados son:

FCR M.Jordan24

Prácticamente no se produjo alteración del transitorio,y sí una marcada precisión en el seguimientoa una rampa


Cuidados en la localización de p y z en la CD de atraso

Al elegir p y z muy pequeños, la dominancia de estos es alta, aunquesu efecto se compensa (es decir, su contribución en la respuestatemporal transitoria de y(t) es muy baja)

Esta contribución perdura mucho tiempo, pues la respuesta componentees muy lenta pero es de muy baja intensidad.

Si son muy bajos sus valores, el tiempo de establecimiento ts se hacemuy largo cuando la precisión requerida es alta.

En definitiva, su elección resulta de un compromiso entre el objetivode no alterar demasiado la planta compensada previamente (lead) y, por otro lado, del requerimiento de no causar un excesivo tiempo de establecimiento.

Al aumentar z y p demasiado, los polos complejos cerca al eje se alejan, aumentando s y por lo tanto disminuyendo ts.

En la respuesta a una perturbación w, el cero no estará presente y estalentitud se notará, pues-Y/W=G/(1+GD) y no como en Y/R=GD/(1+GD)

25

Objetivo:

Diseño de CD de banda pasante (notch)

El objetivo de una compensación dinámica de banda pasante consisteen filtrar una componente frecuencial no deseada de la dinámica dela planta y de este modo atenuar su efecto indeseado en la respuesta temporal del SCLC.

Esta componente está generada por un par de polos complejos Conjugados con coeficiente muy pequeño, y el efecto de la CD-notch es desplazar estos polos lo más posible a la izquierda en el plano complejo s, de tal manera que su efecto en la respuesta temporal pierda intensidad.

Este procedimiento de diseño se llama ESTABILIZACIÓN DE FASE y emplea como herramienta al LR

Otro procedimiento que resulta de atenuar la ganancia justamente en la banda frecuencia indeseada, se llama ESTABILIZACIÓN DE GANANCIA y emplea como herramienta al Diagrama de Bode

26

Propiedades de los 2 diseños:


En la ESTABILIZACIÓN DE FASE, se inserta un par de ceros complejos

conj. alrededor de la frecuencia de resonancia indeseada, es decir z jw. Esto atrae a las ramas que pasan por el par de polos complejos del SCLC, llevándolas al interior del semiplano izq. y dándole más amortiguamiento.

En la ESTABILIZACIÓN DE GANANCIA, se emplea una CD de atraso con

influencia en la banda frecuencial indeseada, es decir se eligen:

|z| > w > |p|, donde . Esto puede causar una respuesta temporal muy lenta y eventualmente intolerable.

Un caso común en control son las flexibilidades no-alojadas (non-allocated). Por ejemplo el eje flexible de un motor que une el rotor con elcabezal de una lectora-escritora de CD. En cada pulso súbito de reposición del cabezal, éste puede oscilar a alta frecuencia en formadébilmente amortiguada. Con una estabilización de fase, se atenúa este efecto. Otro ejemplo es el manchón en un acople de ejes.

Ante incertidumbres o variaciones de la frecuencia de resonancia, la EdeG es más robusta que la EdeF.

-wo

w0

-w0

z=sen q q

s

jw

Recordar: Compensador NotchPolos muy dominantes de la DG(s)

27

Diseño de EdeF basado en LR:Se intenta atraer las ramas que se generanen esos dos polos dominantes a los dos ceros del filtro notch pero de tal manera que éstas pasen lo más alejadas posible del eje imaginario.

s

jw

|G|,db

Propiedades de ambos diseños Notch28

Ante incertidumbres o variaciones de la frecuencia de resonancia, la EdeG es más robusta que la EdeF.

-wo

X

X

X

X

Pero, por otra parte, la solución del filtrobasado en EdeF ofrece una mejorperformance que solución de EdeG.

Planta

Filtro EdeG

La solución EdeF, es la que estudiaremos a continuación.

inestableestable

n0

EdeG

EdeF

n1n

Ejemplo de diseño:


Sea la planta:

con una marcada oscilación en w=50 rad/s y una bajísima relación de amortiguación de la dinámica parcial de los polos complejos, que es igual a =0.01 ( = 0.57º)

Ahora, se propone un filtro notch de la forma:

2500

s(s+1)(s2+s+2500)G(s)=

Dnotch(s) =s2+2 zw s+w2

(s+ w )2o

o

o

Dnotch(s) =s2+s+3600

(s+60)2

¿Dónde elegir w0 respecto a w=50 rad/s? Rta: se elige w =60 rad/s y

=0.0083, quedando:o

127(s2+5.4s+0.03)

(s2+20s+0.01)Dlead-lag(s)=

La planta se compensó previamente para satisfacer especificaciones temporales a través de:

29

-120 -100 -80 -60 -40 -20 20

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0

D(s)G(s) =

FCR M.Jordan

notchnotch

laglag

s2+1s+3600

(s+60)2

notch

127(s2+5.4s+0.03)

(s2+20s+0.01)

lead-lag

2500

s(s+1)(s2+s+2500)

planta

LR:

leadlead

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 x10

-3

-6

-4

-2

0

2

4

6

x10

-3

laglag

30

-0.005-0.054

FCR M.Jordan

¿Por qué se proponen ceros con w0=60 rad/s ?En las dos alternativas: wo>wn u wo<wn , la clave está en verificar en los LR´s

respectivos el ángulo de partida de los polos complejos conjugados cerca del eje.

-150 -100 -50 0 50 100

-150

-100

-50

0

50

100

150

wo=60

wo=40

fdep

Concluimos que para wo>wn las ramas de los 2 polos complejos

dominantes del LR se dirigen hacia el interior del simi-plano izquierdo. Por ello se elige este diseño.

31

Es decir, la pregunta práctica es si n=50 rad/s, por qué elegir w0=60 rad/s por

exceso y no w0=40 rad/s por defecto?

0 50 100-150

-100

-50

0

50

100

150

-100 -50-150

Lugar de las Raíces: Compensación Dinámica progresiva

s2+1s+3600

(s+60)2

2500

s(s+1)(s2+s+2500)D(s)G(s) =

127(s+5.4)

(s+20)

(s+0.0056)

(s+0.0005)

Planta Lead Lag Notch

FCR M.Jordan32

Por lo tanto, existe una ganancia K baja parala cual el lazo se puede cerrar alrededor de DG y el sistema de control es estable

FCR M.Jordan

50 60

Fa

se e

n o

Ga

nan

cia

en

dB

D(s)G(s) =

notch

s2+0.8s+3600

(s+60)2

127(s2+5.4s+0.03)

(s2+20s+0.01)

lead-lag

2500

s(s+1)(s2+s+2500)

planta

RF:

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4-450

-360

-270

-180

-90

Planta compensada con Notch

Planta compensada sin Notch

Análisis en la frecuencia (Diagrama de Bode)

log10 w

33

K=1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo s

Respuesta temporal del Sistema de Control con CD

SC sin CD Notch

SC con CD Notch

FCR M.Jordan34

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