2 Numeros Signados

7/23/2019 2 Numeros Signados

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Sistemas Digitales 1

NUMEROS CON SIGNOCODIGOS DETECTORES Y

CORRECTORES DE ERROR


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Representacin de Nmeros con Signo:

El signo de los nmeros almacenados bajo los sistemas

digitales se especifica mediante un dgito llamado bit designo, que por lo general se coloca en la posicin extremaizquierda de los dgitos del nmero. Los nmeros positivosse indican con un digito de signo igual a cero, y los

negativos, con un digito de signo distinto de cero (para elcaso binario 1).

Nmeros con Magnitud y Signo: El mtodo ms sencillo esrepresentar los nmeros con signo es el de magnitud ysigno. Sin embargo, el empleo de este mtodo requierecircuitos aritmticos y algoritmos con un costo mayor entrminos de componentes y de tiempo de clculo.

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Se puede escribir un nmero con signo, en el formatomagnitud y signo como sigue:

N = (san-1...a0.a-1...a-m)r

Donde: s=0 si N es positivo y s=r-1, si N es negativo.

Ejemplo:

+ 13 = 0,1101 -13 = 1,1101+ 127 = 0,1111111 -127 = 1,1111111+ 0 = 0.0000000 -0 = 1,0000000

Un entero en magnitud y signo de n bits est en el rangode: (2n-1-1) a +(2n-1-1), con dos posiblesrepresentaciones del cero.

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Sistemas Numricos Complementarios: En estossistemas, los nmeros positivos se representan de lamisma manera que en un sistema de magnitud y signo,mientras que los nmeros negativos se representan comoel complemento del numero positivo correspondiente.1. Complemento a la Base:

El complemento a una base [N]r de un nmero (N)r dado,

se define como:[N]r = rn - (N)r

Donde n = # de dgitos de (N)r

El complemento a 2 es un caso especial para nmerosbinarios.

[N]2 = 2n - (N)2

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Este es el formato ms comn de uso para nmeros consigno en los sistemas digitales.

Ejemplo

(N)2 = (01100101)2

[N]2

= [01100101]2

= 28 - (01100101)2

= (100000000)2 - (01100101)2

= (10011011)2Regla Practica: Para obtener el complemento a dos de unnumero, se complementan los bits y se aade 1 al resultado.

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2. Complemento a la Base Disminuida:

El complemento disminuido a una base [N]r-1de unnmero (N)r se define como:

[N]r-1=rn-(N)r-1

Donde: n = # de dgitos de (N)r

El complemento a uno es un caso particular delcomplemento disminuido a una base para los nmeros

binarios (r=2) y est dado por:[N]2-1=2n-(N)2-1

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Ejemplo:

(N)2 = (01100101)2[N]2-1 = 28 - (01100101)2 - 1

= (100000000)2 - (01100101)2 - (00000001)2

= (10011011)2 - (00000001)2= (10011010)2

Regla Practica: Para obtener el complemento a uno de unnumero,se complementan todos los bits del numero dado.

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OPERACIONES ARITMETICAS:1. Suma y Resta de nmeros no decimales: La tablamuestra la suma y resta para nmeros binarios.

Cin o bin x y Cout S bout D

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 10 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

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Cdigos para Deteccin y Correccin de Errores:

Un error en un dato binario se define como un valor

incorrecto en uno o ms bits, los errores pueden debersea fallas de hardware, interferencia externa (ruido) uotros eventos no deseados.

Si I y J son palabras de informacin binaria de n bits. Elpeso de I, W(I), se define como el nmero de bits de Iiguales a 1. La distancia entre I y J, o d(I,J), es igual alnmero de posiciones de bit en que difieren I y J.

Ejemplo determinar los pesos y la distancia de:I=01101100, J=11000100W(I)=4, W(J)=3d(I,J)=3

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Propiedades generales de los cdigos de deteccin ycorreccin de errores

Si la distancia entre dos palabras de cdigo de uncdigo C es mayor o igual que dmin. Las propiedades de deteccin y correccin de

errores de un cdigo quedan determinadas en parte porsu distancia mnima. En general, un cdigo permite corregir t errores ydetectar s errores adicionales si y slo si se cumple lasiguiente desigualdad:

dmin 2t+s+1

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PALABRA DE ERROR

PALABRA DE CDIGO

VLIDA

dmin=2 dmin=3

dmin=4



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Cubos - n y Distancia

Una cadena de n bits puede visualizarse geomtricamente

como un vrtice de un objeto llamado cubo n, en lafigura se muestra cubos n para n=1,2,3,4. Un cubo ntiene 2n vrtices, cada uno de los cuales est rotulado conuna cadena de n bits. Las aristas se dibujan entrevrtices adyacentes. Para valores razonables de n, loscubos n facilitan la visualizacin de ciertos cdigos y delos problemas de minimizacin lgica.

Los cubos proporcionan una interpretacin geomtrica

para el concepto de distancia llamada la distancia deHamming. El concepto de distancia es fundamental en eldiseo y comprensin de los cdigos detectores de error.



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0 1 10 11

00 01

110 111

010

100

101

001000

011

0110

0010

0000

0100

0001

0101

0011

0111

1000 1001

1101

1111

1011

1110

1010

1100

0110 0111

0011

0101

00010000

1000

1010

0010

1110

1100

0100

1001

1101

1111

1011



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Cdigos de Hamming:

En 1950, Richard Hamming public la descripcin de unaclase de cdigos para correccin de errores que hantenido amplio uso. Se pueden ver como una extensin delos cdigos de paridad simple, en el sentido de que seutilizan varios bits de paridad o bits de verificacin. Cadabit de verificacin se define sobre un subconjunto de losbits de informacin de una palabra. Los subconjuntos setraslapan de modo que cada bit de informacin est en al

menos dos subconjuntos.



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Para datos de 4 bits, es decir

se generan los bits de paridad: P1P2P4, donde:P1: Se selecciona de modo que se establezca la paridadpar sobre los bits: 3,5,7.P

2: Se selecciona de modo que se establezca la paridad

par sobre los bits: 3,6,7.P4: Se selecciona de modo que se establezca la paridadpar sobre los bits: 5,6,7.

Ejemplo: Hallar el caracter codificado de acuerdo aHamming que corresponde al caracter de informacin:

X3X5X6X7 = 1010

X3X5X6X7



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Luego la cadena Hamming queda:

El proceso de correccin en el extremo receptor es muyconveniente, puesto que se debe suponer que slo un bit

est equivocado. La localizacin de este bit se logracomprobando la paridad impar en las mismas combinacionesde bits, para las cuales se estableci la paridad par, comosigue:

= 1011010P1P2X3P4X5X6X7



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Donde, si por ejemplo C1 = 1 debe haber un error enuno de los cuatro bits 1,3,5,7 y as sucesivamente.El bit errneo se puede determinar de la siguientemanera:

C4 Paridad impar sobre 4,5,6,7 0 0 0 0 1 1 1 1

C2 Paridad impar sobre 2,3,6,7 0 0 1 1 0 0 1 1C1 Paridad impar sobre 1,3,5,7 0 1 0 1 0 1 0 1

Bit errneo X 1 2 3 4 5 6 7



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Para palabras de datos de 8 bits, se incluyen 4 bits deparidad, de modo que se arreglan 12 bits de la siguientemanera:

Los bits de paridad se obtienen:

P1P2X3P4X5X6X7P8X9X10X11X12



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La paridad se verifica con la misma combinacin de bits,incluyendo el bit de paridad. Estos bits se evalan de lasiguiente manera:

Un resultado C8C4C2C1=0000 indica que no ha ocurridoningn error.



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C8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

C4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

C1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

BITERRNEO X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - - -

El bit errneo se determina de la tabla:



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En el mercado se pueden conseguir C.I. que se valen de

un Cdigo Hamming modificado para generar yverificar bits de paridad de un esquema de correccinde un solo error y deteccin de errores dobles. Unoque emplea una palabra de datos de 8 bits y una

palabra de verificacin de 5 bits es el C.I. 74637. Sedispone de otros C.I. para palabras de datos de 16, 32bits.



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CODIGOS DE BLOQUES Y CONVOLUCIONALES:

En los cdigos de bloques, un bloque de k dgitos dedatos se codifica mediante una palabra de cdigo de ndgitos ( n > k). Para cada sucesin de dgitos de datos,existe una palabra de cdigo distinta de n dgitos.

En los cdigos convolucionales, la sucesin de n dgitoscodificada depende no solo de los k dgitos de datos sinotambin de los anteriores N-1 dgitos de datos (N > 1).Por lo tanto, la sucesin codificada para un cierto grupode k dgitos no es nica sino que depende de los N-1dgitos de datos anteriores.



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Si k dgitos de datos se transmiten mediante una palabra

de cdigo de n dgitos, el numero de dgitos decomprobacin es m = n k. La eficiencia del cdigo (ndicedel cdigo) es k/n. Este cdigo se conoce como (n, k).

Para encontrar la relacin entre n y k, se observa quevrtices o palabras se encuentran disponibles parapalabras de datos, y - son vrtices redundantes.

2n

2k2n 2k



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n k Cdigo Eficiencia3 1 (3, 1) 0,334 1 (4, 1) 0,255 2 (5, 2) 0,46 3 (6, 3) 0,57 4 (7, 4) 0,5715 11 (15, 11) 0,7331 26 (31, 26) 0,83810 4 (10, 4) 0,415 8 (15, 8) 0,53310 2 (10, 2) 0,215 5 (15, 5) 0,3323 12 (23, 12) 0,52

Algunos ejemplos de cdigos de correccin de errores:

Correccin de unsolo error

t = 1dmin = 3

t = 3, dmin = 7

Correccin dedoble errort = 2, dmin = 5



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Cdigos Lineales de Bloque: Una palabra de cdigo constade n dgitos, y una palabra de datos consta de k dgitos.

Luego:En general en los cdigos lineales de bloque, los n dgitosde c se forman mediante combinaciones lineales de kdgitos de datos.

Un caso especial en el cualY los dgitos restantes de son combinacioneslineales de se conoce como cdigosistemtico.

Luego en estos cdigos, los k primeros dgitos de la palabrade cdigo son los dgitos de datos, y los ltimos m = n-kdgitos son los dgitos de comprobacin de paridad.

c = (c1

, c2

, . . . , cn

) d = (d1

,

d2

, . . , dk

)

c1 = d1, c2 = d2, . . , ck = dkck+1 a cnd1, d2, . . . . ., dk



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c1 = d1

c2 = d2

.

.

.c

k

= dk

ck+1 = h11d1+h12d2+. . . +h1kdkck+2 = h21d1+h22d2+ . . . +h2kdk. . .cn = hm1d1+hm2d2+ . . . +hmkdk

Luego:

O equivalentemente: c = d.G, donde la matriz G deorden kxn se llama Matriz Generadora.



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La matriz G se puede separar en una matriz identidad deorden k, y una matriz P de orden kxm, llamada matriz deparidad. La palabra de cdigo se puede expresar por:

c = dG

= d[Ik P]

= [d dP]

= [d cp]

Siendo la matriz fila de m dgitos de comprobacin deparidad:

cp

cp = dP



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Decodificacin: En el proceso de decodificacin, sedefine la matriz H llamada matriz de comprobacin deparidad. Luego si:

Entonces:

Si c es una palabra de cdigo, se verifica:Todas las palabras de cdigo deben satisfacer laecuacin anterior.Si se recibe la palabra r, y debido a errores causados

por el ruido del canal, r en general difiere de la palabrade cdigo c que se transmiti, siendo:

cHT= O



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Donde e es un vector de error de n elementos. Si elmensaje llega sin errores, entonces:Pero si el mensaje llega con error, se define:

rHT= O

Donde la matriz fila s se llama sndrome, la cual ser unvector nulo si el dato recibido no presenta error.



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SUMAS DE CONTROL (CHECKSUM): Otro mtodo dedeteccin consiste en generar todas las palabras dedatos en un bloque, por ejemplo, sumando sus valoresASCII, luego dividiendo entre algn numero fijo. Elresiduo que resulte de esta divisin se transmite al finaldel bloque. El receptor lleva a cabo la misma divisin ydebe obtener el mismo residuo.

El protocolo XMODEM usa este mtodo.

COMPROBACION DE REDUNDANCIA CICLICA: Loscdigos CRC (Cyclic Redundant-Checksum) se utilizan en

muchos sistemas digitales complejos, como en el CD. Estetipo de cdigo de correccin utiliza una forma derealimentacin en el que el estado de cada bit de mensajedepende del estado de los bits previos en el bloque.



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Los cdigos CRC son particularmente buenos para detectarrfagas de errores, en los que varios bits consecutivos

faltan o son incorrectos. Los cdigos CRC se generan alcalcular un polinomio a partir de los bits de mensaje. Seconsidera al mensaje completo como un polinomio y sedivide entre un polinomio fijo llamado polinomio generador

y se obtiene un cociente y un residuo. El residuo se anexaal mensaje y se transmite como un carcter decomprobacin de bloque (Block Check Character, BCC). Enel receptor se repite el calculo y se comprueba el residuo.Pueden implantarse en Hardware y Software.

Compresin de Datos y Criptografa.


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