CONTROL AUTOMATICOCAPITULO IIMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

Ing. Juan F. del Pozo L.

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRepresentacin grfica de un sistema en el dominio del tiempoDiagramas FuncionalesSealesBifurcacin de SealesPunto de sumas de SealesInversin de PolaridadBloques de Transferencia

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRepresentacin grfica de un sistema en el dominio del tiempoDiagrama FuncionalControl de velocidad de un auto.Fuerza debido al viento es proporcional a la velocidad: fLFuerza debido a friccin de las llantas es proporcional a la velocidad: fRFuerza debido al peso en direccin del movimiento, es proporcional a la pendiente: fGFuerza de Empuje: fAFuerza Resultante: fres

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRepresentacin grfica de un sistema en el dominio del tiempoDiagrama FuncionalControl de velocidad de un auto.Torque Impulsor del Motor es proporcional a la apertura de la Mariposa del Carburador (y) y a las Revoluciones del Motor (nM): mMTorque en las Ruedas es proporcional al Torque Impulsor del Motor: mRFuerza de Empuje es proporcional al Torque en la Ruedas (mR): fA Voltaje del Regulador de Velocidad es proporcional al Voltaje del Tacogenerador (ux) menos la Referencia (w) : uyEl voltaje del Tacogenerador es proporcional a las revoluciones del eje de la rueda del vehculo (x): nR

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRepresentacin grfica de un sistema en el dominio del tiempoDiagrama FuncionalControl de velocidad de un auto.La Respuesta al Escaln de la Bobina del Regulador corresponde a un sistema de primer orden. El desplazamiento (S2) es proporcional a la Corriente de la Bobina del Regulador (i).El desplazamiento (S1) es proporcional al desplazamiento (S2) .La apertura de la compuerta de la mariposa del carburador es proporcional al desplazamiento negativo de (S1).

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRepresentacin grfica de los sistemas en el dominio del tiempoDiagrama FuncionalControl de velocidad de un auto.La revolucin del eje de la rueda del vehculo (nR) es proporcional a la velocidad del vehculo (x). La revolucin del eje del motor (nM) es proporcional a la revolucin del eje de la rueda del vehculo (nR).De acuerdo a la ley de Newton la velocidad (x) del vehculo es proporcional a la integral de la Fuerza Resultante (fres)

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRepresentacin grfica de los sistemas en el dominio del tiempoDiagrama FuncionalControl de velocidad de un auto.

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComportamiento DinmicoDiagrama Funcional Ecuacin diferencial del sistema

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASModelo del sistema es el resultado del conocimiento referente a la transferencia, almacenamiento, conversin y disipacin de energa y en los mtodos de interconexin de los elementos.Sistema DinmicoEcuaciones DiferencialesLinearizacinTransformada de Laplace (Funcin de Transferencia)Sistemas fsicos:ElctricosMecnicos de traslacin y rotacinHidrulicosTrmicosNeumticos

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASAproximacin lineal de un sistema fsico en estado estacionario.

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASAproximacin lineal de un sistema fsico en estado estacionario.Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva continua en el intervalo de inters

NOTA: a partir de ahora los valores incrementales se los representar sin el delta

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASAproximacin lineal de un sistema fsicoDesarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva continua en el intervalo de intersSi la variable dependiente depende de varias variables de excitacinPara la aproximacin lineal de la serie de Taylor

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASAproximacin lineal de un sistema fsicoDesarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva continua en el intervalo de intersSi la variable dependiente depende de varias variables de excitacinPara la aproximacin lineal de la serie de Taylor.

**Comportamiento Esttico de un SistemaComportamiento esttico de un generadorVelocidad constante: nVoltaje de referencia: Uo=100Corriente de armadura: IAo=30Corriente de excitacin: Ieo=0.6Comportamiento del ReguladorMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**Comportamiento Esttico de un SistemaComportamiento esttico de un generadorOperacin en lazo abierto: uR=0 v.Voltaje Terminales lazo abierto: IA=0 A, U=115 v.IA=60 A, U=76 v.Operacin en lazo cerrado:Voltaje de Referencia: Uo=100 v.IA=0 A, U=104 v.IA=60 A, U=93 v.Factor de Regulacin: RR= DU(lazo cerrado)/DU(lazo abierto)R=(104-93)/(115-76)=0.28R= 28%MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComportamiento esttico de un generador Obtencin del modelo a partir de la linearizacin de su Curva Caracterstica . u = Ky.ie+Kz.iAKy= DU/Die|IA=const. = (100-77)/(0.6-0) = 38.3 v./AKz= DU/Dia|Ie=const. = (100-77)/(30-60 = -0.76 v./A.Constante del Regulador.ie= KR.uRKR= DIe/DUR = (0.6-0)/(0-10)= - 0.06 A/v.Detector de Error.ur = u uo ; pero uo = 0 debido a que U0 = constante

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComportamiento esttico de un generador Factor de Regulacin: RR= u (lazo cerrado) / u (lazo abierto)Lazo Abierto: u (lazo abierto) = Ky.ie + Kz. iA = Kz. iA , debido a: ie = 0Lazo Cerrado: u (lazo cerrado) = Ky.ie + Kz. iAur = u (lazo cerrado) uo = u (lazo cerrado) , debido a: uo = 0ie = KR. u (lazo cerrado) u (lazo cerrado) = Kz/(1-Ky. KR). iA

R = 1/(1-Ky. KR) = 1/(1+38.3*0.06) = 0.30 ; 30%

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComportamiento dinmico de un generador de corriente continua

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**Funcin de Transferencia de un SistemaUn sistema de control puede ser descrito mediante ecuaciones diferencialesCoeficientes constantesCondiciones iniciales cero

MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASSistemax(t)y(t)g(t)X(s)G(s)Y(s)Dominio del tiempo: Ecuaciones DiferencialesDominio del plano s: Ecuaciones AlgebraicasTransformadadirecta deLaplace

Transformadainversa deLaplace

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASFuncin de Transferencia de un SistemaUn sistema de control puede ser descrito mediante ecuaciones diferencialesCoeficientes constantesCondiciones iniciales ceroTransformadade Laplace

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASFuncin de Transferencia de un SistemaTransformadainversade LaplaceMultiplicacinConvolucin

**Aproximacin lineal de un sistema fsicoLa gran mayora de sistemas fsicos se comportan como lineales dentro de algn intervalo de las variables.Cuando el sistema est en reposo, para ser considerado lineal debe cumplir:Con el teorema de superposicin y homogeneidadMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASSistemax(t)x1(t)+x2(t)bx(t)y(t)y1(t)+y2(t)by(t)

MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente ContinuaEl estator, inductorCarcasaPolos principales y auxiliaresDevanado inductorEl rotor, inducidoColector, delgasDevanado inducidoNcleo del inducidoLas escobillas.**

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente ContinuaMotor ideal, sin prdidas.Potencia elctrica desarrollada igual a la potencia mecnica

El voltaje contraelectromotriz es proporcional al flujo y velocidad angular.

El flujo es proporcional a la corriente de campo.Motor CC

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente Continua

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente ContinuaMotor ideal, sin prdidas.

Se presentan dos casos:Mantener constante la corriente de campo, control de armadura

Mantener constante la corriente de armadura, control de campo

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente Continua controlado por CampoL

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente Continua controlado por CampoIa constanteFuncin de transferencia

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente Continua controlado por ArmaduraL

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASMotor de Corriente Continua controlado por ArmaduraIf constanteFuncin de transferencia

**Amplificador Rotativo de dos Etapas, AmplidinaNOTA: El flujo de reaccin de armadura es compensado por el flujo de la bobina LdMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRegulador Hidrulico, servomotor hidrulicoQCaudal del aceiteP Diferencia de presinxDesplazamiento de la vlvula de controlyDesplazamiento del cilindro de potencia

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRegulador Hidrulico, servomotor hidrulicoASuperficie del pistn de

La Funcin de Transferencia:L

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASRegulador Hidrulico, servomotor hidrulicoEncuentre la Funcin de Transferencia Y(s)/E(s). Observe que la barra ABC es flotante, no tiene punto fijo. La Funcin de Transferencia del servomotor hidrulico puede se aproximada en: Y(s)/X(s)= K/s.Observe que el desplazamiento en x es: x = f(e,y), Aplique superposicin: X(s) = Ke.E(s) + Ky.Y(s).

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASSistema de engranajesSistema ideal, potencia de entrada es igual a la potencia de salida, no tiene prdidas

Los dos engranajes recorren la misma distancia lineal

El tamao de los dientes es igual en ambos engranajes

La velocidad angular es proporcional al desplazamiento angular en cada engranaje

**Sistema de engranajesSe incluye la friccin viscosa y la inerciaReferir el sistema al eje del motorMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASSistema HidrulicoSistema ideal, potencia de entrada es igual a la potencia de salida.

La presin hidrulica es la misma, principio de Pascal.

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**Detector de Error utilizando PotencimetrosPotencimetros de 360o, sin topeMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**Tacmetro (tacogenerador)MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASSistema TrmicoLa variacin de la temperatura de salida alrededor de su punto de operacin podr ser debida a un cambio en el calor suministrado por el calentador o por un cambio en la temperatura del fluido entrante. Balance Energticoqe(t)Calor suministrado por calentadorqi(t)Calor del fluido entranteql(t)Calor absorvido por fluidoqs(t)Calor a traves de paredesCtCapacidad trmicakcal/CRtResistencia trmicaC.s/kcalFFlujo lquidokg/scCalor especficokcal/kg.C**

MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASSistema TrmicoBalance Energtico

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**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASControl de VelocidadMotor de Corriente Continua controlado por armaduraSeal de entrada:Valor incremental de velocidad en voltiosSeal de salida:Valor de la velocidad en rpmSensor de velocidad mediante tacmetroConsidere el efecto de una perturbacin de torque en el eje del motor

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASControl de VelocidadMotor de Corriente Continua controlado por armadura

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASControl de PosicinMotor de Corriente Continua controlado por armaduraSeal de entrada:Posicin eje de entradaSeal de salida:Posicin eje de salidaDetector de error a base de potencimetrosConsidere el efecto de la inercia y friccin de la carga conectada al eje del motor mediante engranajes

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASControl de PosicinMotor de Corriente Continua controlado por armaduraSimulacin del sistema utilizando MATLAB y SIMULINKIncluya el efecto de una perturbacin de torque

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASControl de PosicinMotor de Corriente Continua controlado por armadura

**Modelos de diagramas de bloquesLos diagramas de bloques son bloques operacionales y unidireccionales que representan la funcin de transferencia de las variables de intersPara representar un sistema con diferentes variables bajo control, se utiliza una interconexin de bloquesLa transformaciones de diagramas de bloques y las tcnicas de reduccin se las obtiene aplicando el algebra de las variables del diagramaMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASModelos de diagramas de bloquesLos diagramas de bloques son bloques operacionales y unidireccionales que representan la funcin de transferencia de las variables de intersPara representar un sistema con diferentes variables bajo control, se utiliza una interconexin de bloquesLa transformaciones de diagramas de bloques y las tcnicas de reduccin se las obtiene aplicando el algebra de las variables del diagramaEjemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiples

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASModelos de diagramas de bloquesEjemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiplesAplicacin de la regla 4 en el primer grfico

Aplicacin de las reglas 1 y 6 en el segundo grfico

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASModelos de diagramas de bloquesEjemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiplesAplicacin de la regla 6

Aplicacin de las reglas 1 y 6, la Funcin de Transferencia resultante.

**Grficos de Flujo de SealUna grfica de flujo de seales puede definirse como un mtodo grfico para representar las relaciones entrada-salida entre las variables de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.Es una representacin causa y efecto de los sistemas lineales.En los grficos de flujo de seales se usan puntos de enlace o nodos para representar las variables y se los interconecta mediante segmentos lineales llamados ramas de acuerdo a las ecuaciones de causa y efecto.Las ramas tienen ganancia y direccin asociadas a ellas.MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASx1x2a

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASGrficos de Flujo de SealRepresentacin causa y efecto de los sistemas lineales.Los sistemas pueden ser o no ser bidireccionales.Una resistencia, bidireccionalUn amplificador, (amplificador operacional ideal ), direccionalGanancia infinita, impedancia de entrada infinita, impedancia de salida cero.

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASGrficos de Flujo de SealDefiniciones:NudoUn punto que representa una sealTransmitanciaUna ganancia entre dos puntosRamaUne dos nudos y tiene direccinNudo de EntradaSolo tiene ramas que salenNudo de SalidaSolo tiene ramas que entranNudo MixtoTiene ramas que entran y salenLazoEs un camino cerradoLazos DistintosNo tiene nudos comunesTrayecto DirectoVa desde nudo de entrada al nudo de salida pasando una sola vez por cada nudoGanancia de Trayecto DirectoProducto de las transmitancias de las ramas del trayecto directo

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASGrfico de Flujo de Seales a partir de un Diagrama de BloquesDarle nombre a todas las variables

Por cada variable se identifica un Nodo

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASGrfico de Flujo de Seales a partir de un Diagrama de BloquesReducir mediante la eliminacin de Nodos no necesarios

La Funcin de Transferencia

**Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de MasonMODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASConsideremos el siguiente ejemplo:El sistema se lo puede describir mediante el siguiente conjunto de ecuaciones

Empleando la regla de Cramer

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASResolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de MasonEn forma general, la ganancia lineal Tij entre la variable independiente xi (variable de entrada) y una variable dependiente xj (variable de salida) est dada por la siguiente expresin, frmula de Mason:

nNmeros de trayectos directos entre la entrada xi y la salida xjPijkGanancia de la trayectoria directa kDDeterminante del grafoDijkCofactor del trayecto directo Pijk (es el determinante del grafo en el que se han removido los elementos del trayecto directo k)

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASResolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de MasonDDeterminante del grafoSumatoria de todas las ganancias de lazo

Sumatoria del producto de las ganancias de todas las combinaciones posibles de los lazos distintos de dos en dos.Igual que el caso anterior pero para los lazos distintos de tres en tres.

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASResolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de MasonConsideremos el siguiente sistemaSe desea obtener la Funcin de Transferencia Y(s)/R(s)

Nmero de caminos directos:3Nmero de lazos:8Nmero de lazos distintos:4

**Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason

Caminos directos: 3P1=G1G2G3G4G5G6P2=G1G2G7G6P3=G1G2G3G4G8Lazos: 8L1= -G2G3G4G5H2L2= -G5G6H1L3= -G8H1L4= -G2G7H2L5= -G4H4L6= -G1G2G3G4G5G6H3L7= -G1G2G7G6H3L8= -G1G2G3G4G8H3Lazos distintos: 4L3= -G8H1 con L4= -G2G7H2L5= -G4H4 con L7= -G1G2G7G6H3L5= -G4H4 con L4= -G2G7H2

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASResolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de MasonEl determinante del sistema: D=1-(L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8)+(L3L4+L5L7+L5L4)Los cofactores:Para P1 esD1=1Para P2 esD2=1-L5Para P3 esD3=1Finalmente, la Funcin de Trasferencia:

**Comandos de MATLABGeneracin de una funcin de transferenciaSuma de funciones de transferenciasObtencin de los PolosObtencin de los CerosGrfico de los Polos y CerosEjemplo 2.16MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComandos de MATLABObtencin de los PolosObtencin de los CerosGrfico de los Polos y Ceros

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComandos de MATLABCascada de dos funciones de transferenciaSistema de realimentacin unitarioFuncin de transferencia del sistema de realimentacin unitariaEjercicio 2.17

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComandos de MATLABCascada de dos funciones de transferenciaSistema de realimentacin unitarioFuncin de transferencia del sistema de realimentacin unitaria

**Comandos de MATLABSimplificacin de Diagramas de BloquesAplicar las reglas de reduccinPrimer reduccin, mover H2 delante de G4Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la primer reduccinCuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComandos de MATLABSimplificacin de Diagramas de BloquesAplicar las reglas de reduccinEjercicio 2.20Primer reduccin, mover H2 delante de G4Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la primer reduccinCuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComandos de MATLABSimplificacin de Diagramas de BloquesAplicar las reglas de reduccinPrimer reduccin, mover H2 delante de G4Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la primer reduccinCuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3

**MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMASComandos de MATLABSimplificacin de Diagramas de BloquesAplicar las reglas de reduccinSimplificacin de la funcin de transferencia al eliminar los polos y ceros de igual valor.Uso de la funcin minreal

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