2 Material de Apoyo Para El Alumno Examen Planea Parte 2 2015 (1)

FORTALECIMIENTO EN HABILIDADES MATEMÁTICAS

275

Fuera

Izquierda

Derecha

Delante

Abajo

Arriba

Dentro


SITUACIÓN PROBLEMÁTICA

Si se observa la figura desde la parte lateral izquierda, ¿qué imagen se vería?

Parte lateral izquierda Parte lateral derecha

Parte frontal

¿Qué imagen se verá si se observa desde la parte superior?¿Cómo se observará desde la parte lateral derecha?¿Qué sucederá si se ve desde la parte frontal?¿Cómo se verá desde la parte posterior?Si se le aplica una rotación de 90° que en el sentido de las manecillas del reloj, ¿cómo es la imagen que se presenta?

¿Lograste contestar todas las preguntas?

Si tu respuesta es afirmativa, ¡Enhorabuena!, ya tienes los conocimientos del tema.

Si contestaste algunas preguntas, entonces, necesitas fortalecer tus conocimientos sobre este tema.

Para dar respuesta a este tipo de cuestionamientos y otros, es importante el estudio del desarrollo y activación de la inteligencia y el razonamiento lógico que te permita adquirir, ejercitar y perfeccionar una serie de habilidades para el desarrollo cognitivo dentro del área de Matemáticas, encaminadas a la consecución de aprendizajes, que ayudan a la resolución de problemas.

276

A

B C

D


PERCEPCIÓN Y VISIÓN ESPACIALES

Una manera de estimular el desarrollo cognitivo en el área de Matemáticas es promover las habilidades de Percepción Espacial (capacidad de realizar rotaciones y comparaciones bidimensionales y tridimensionales) y de Visión Espacial (habilidad de reconocer piezas tridimensionales mediante plegado y desplegado de sus caras). Veamos algunos casos.

Ejemplos1. Observa la siguiente serie de figuras.

¿Qué figura continúa?

Solución:

Asignemos a la figura letras en los vértices

El cuadrado negro pequeño que se encuentra en el centro del cuadrado ABCD se traslada al vértice B, posteriormente el cuadrado pequeño que está en el centro se traslada al vértice D; después el cuadrado pequeño que se encuentra en el vértice C se traslada al centro de la figura y por último el cuadrado negro que se encuentra en el vértice A se traslada al centro.

2. Si se hace una vista desde la parte superior qué figura se observa:

Solución:Para determinar la figura que se refleja trazamos líneas verticales desde los vértices del cubo

que al unirlos forman un hexágono.

277

A

B C

D A

B C

D A

B C

D A

B C

D


3. Tienes un cubo de 10 unidades, el cual está pintado a los lados de color gris. Si a dicho cubo lo divides en “cubitos”, cada uno de dos unidades por lado, ¿cuál es el número de “cubitos” interiores que no tienen color en ninguna de sus caras?

A) 9B) 12C) 27D) 36

Solución:Primero, divide el cubo de color gris en cubitos de 2 unidades por lado y observa que se forman 125 cubitos.

Ahora retira la tapa frontal.

Quita la tapa superior

Ahora quita la tapa lateral derecha.

Seleccionamos la tapa lateral izquierda.

Seleccionamos la tapa trasera.

Finalmente, quitamos la tapa inferior

27 cubos

278


4. Analiza la siguiente figura, ¿qué imágenes se observan viéndola de frente, de lado derecho, de lado izquierdo, de la parte detrás y de la parte superior?

Parte Superior

Lado izquierdo Lado derecho

FrenteSolución:

Se construye una plantilla paso a paso para determinar la imagen del frente.

Por lo que la imagen frontal es

Las otras vistas son:

EJERCICIOS

1. Si se hace girar la circunferencia que contiene al punto sobre la circunferencia mayor, ¿qué trayectoria realizaría el punto?

279

Frente

Derecha

Superior

Izquierda


A)

B)

C)

D)

280


2. Observa la siguiente figura.

¿Cuál es la imagen simétrica?

A)

B)

C)

D)

3. La figura que completa la serie es:

281


1 2 3 4 5 6 7 8

A)

B)

C)

D)

282


4. El cuadrado que se muestra mide dos unidades por lado

2 u

Si primero se le quita la mitad, a lo que queda se le quita la mitad y esta parte se le quita la mitad y así sucesivamente, como se muestra en las figuras siguientes:

1/2 Un medio del anterior

1/2

La mitad del anterior

1/2 La mitad del anterior 1/2 …

¿Qué parte del cuadrado sobra?

A) 0

B) 1/2

C) 1/4

D) 1

5. ¿Qué figuras geométricas generan la siguiente imagen?

283


A)

B)

C)

D)

6. Observa la siguiente imagen.

¿Desde qué punto es posible tomar la siguiente fotografía?

A) 1B) 2C) 3D) 4

7. Con la siguiente plantilla.

284

1

2

4

3


La figura que se puede armar con ella es:

A)

B)

C)

D)

8. ¿A qué figura tridimensional corresponde las siguientes vistas superior, frontal y lateral derecha?

A)

285


B)

C)

D)

9. ¿Con que poliedros se realiza la siguiente construcción?

A)

286


B)

C)

D)

10. Se colocan estratos extendidos de diferente tamaño sobrepuestos verticalmente, el modelo de cada estrato se muestra en la figura siguiente:

Al colocar 13 estratos, ¿qué vista tiene la figura si se observa desde la parte superior?

A)

287


B)

C)

D)

288


Solución a los ejercicios

1.

Continuando con el mismo proceso, se concluye que la trayectoria que describe el punto es B)

2. Para determinar la figura simétrica se marca con una flecha la diferencia.

Diferente

Diferente Diferente

Al colocar enfrente Al colocar B Figura C la figura A

La Figura D coincide completamente, por lo tanto, es la repuesta correcta.

289


3. Toma las imágenes 1 y 2 únelas.

Observa que arriba del punto A existen dos rombos

Ahora a la figura anterior únele la imagen 3.

Nota que bajo el arco B se encuentran dos octágonos.

Al unir a la figura anterior la imagen 4 tenemos.

Inspecciona arriba del punto A y descubre que existen dos rombos y dos triángulos.

Une la figura 5 con la anterior y obtendrás.

Advierte que a la izquierda del arco C se encuentran dos rombos.

Ahora une la figura 6 con la anterior y obtendrás:

Examina las imágenes después del punto A y detecta que existen dos rombos, dos triángulos y dos elipses.

Si unes la figura 7 con la anterior tendrás que:

Advierte que a la izquierda del arco D se encuentran dos triángulos.Observa que en la figura se tiene una secuencia de dos octágonos, dos rombos y por último dos triángulos.

Con base a la serie ubicada al centro del círculo y a la serie cercana a la circunferencia, tendrás que definir el contenido de la última sección.

En el caso de la serie cercana al centro tenemos dos rombos, dos triángulos, dos elipses y por lo tanto debe haber dos octágonos.En la serie cercana a la circunferencia tenemos dos octágonos, dos rombos, dos triángulos, por lo tanto, debe haber dos elipses.

La respuesta es el inciso A).

4. Se unen uno a uno, por su lado mayor, los rectángulos eliminados. Se observa que cubren totalmente el cuadrado y no sobra nada, por lo cual la respuesta es A).

290

A

A

B

A

A

C

A


5. Si sobreponemos las figuras de la opción B) observamos que coinciden completamente

6. La fotografía sólo se puede tomar desde el punto 1, inciso A)

7. El poliedro que aparece en la figura del inciso D)

Se forma un poliedro (dodecaedro),sólo con pentágonos como caras.

8. La figura del inciso B) ya que por la parte frontal y por la parte posterior se observan pentágonos y a los lados cinco cuadrados.

291

1

2

4


9. C)

10. Observando desde la parte superior los 13 estratos, el estrato inferior representa un rectángulo, el estrato siguiente es triángulo más pequeño y así sucesivamente, por lo que la imagen que se observa son 13 rectángulos, uno dentro del otro (respuesta B).

292


RESOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA

Nuevamente observa la figura y determina la imagen que se vería desde la partes lateral izquierda, lateral derecha, frontal, posterior y también, rotándola 90° en el sentido de las manecillas del reloj.

Parte lateral izquierda Parte lateral derecha

Parte frontal

Compara tus respuestas con la siguiente tabla.

Parte lateral

izquierda

Parte superior

Parte lateral derecha

Parte Frontal

Parte posterior

Giro de 90° a la derecha

293


EVALUACIÓN DEL TEMA

INSTRUCCIONES: lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y encierra en un círculo la letra de la opción correcta. Compara tus respuestas con la clave que se incluye al final.

112.3.1 Observa la serie de figuras.

¿Cuál es la figura que completa la serie?

A)

B)

C)

D)

294




A)

B)

C)

D)



A)

B)

C)

D)

114.3.1 Se tienen cubos que miden por arista cuatro unidades.

295


4 uSi se duplica el tamaño de la arista, el volumen es:

A) 24 u3 B) 64 u3 C) 96 u3 D) 256 u3

114.3.2 Observa la forma en que los cuadrados han sido sombreados.

Si el sombreado se continúa de manera indefinida, ¿qué parte del cuadrado queda sombreada?

A) 1/5B) 1/4C) 1/3D) 1/2

114.3.3 ¿Cuántos cubos se necesitan para llenar la figura?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 16

296


115.3.1 ¿Qué figuras corresponden al armado del cuerpo geométrico que se presenta?

A)

B)

C)

D) 115.3.2 Analiza la siguiente imagen e indica cual de las opciones corresponden a las

piezas marcadas con I, II y III.

A)

297

II

I


B)

C)

D)

115.3.3 ¿Con qué piezas se arma el automóvil?

A)

B)

C)

D)

122.3.1 Analiza la figura

298


¿Qué imagen se observa desde el frente?

A)

B)

C)

D)

299


122.3.2 Observa las figuras.

3

2

4

1

¿Desde qué posición es posible observar la siguiente imagen?

A) 1B) 2C) 3D) 4

300


122.3.3 Observa la ubicación de las figuras sobre la mesa.

4

1 3

2

¿Desde qué punto se observa la siguiente fotografía?

A) 1B) 2C) 3D) 4

123.3.1 La plantilla con la que se puede construir la siguiente figura es:

123.3.2 La plantilla con la que se puede construir la siguiente figura es:

301

A) B)

C) D)


A) B)

C) D)

302


123.3.3 ¿Con qué plantilla se puede construir la figura siguiente?

A) B)

C) D)

124.3.1 ¿A qué figura tridimensional corresponden las siguientes vistas: lateral derecha superior y frontal, en ese orden?

A)

B)

C)

D)

124.3.2 ¿Qué tipo de sólido se obtiene con las vistas: lateral derecha, superior y frontal, con las siguientes figuras y en ese orden?

303


A)

B)

C)

D)

124.3.3 Las tres imágenes representan las vistas frontal, lateral derecha y posterior de una figura.

La figura tridimensional a la que corresponden las vistas es:

304


A)

B)

C)

D)

126.3.1 ¿Con qué poliedros se realiza la siguiente construcción?

A)

305


B)

C)

D)

126.3.2 ¿Con qué piezas se construye la siguiente figura?

A)

B)

306


C)

D)

126.3.3 ¿Con qué piezas se construye la siguiente figura?

A)

307


B)

C)

D)

127.3.1 La vista superior del prisma es:

A)

B)

C)

D)

308


127.3.2 Si se toma una fotografía aérea del automóvil, ¿qué imagen se muestra?

A)

B)

C)

D)

127.3.3 ¿Qué fotografía corresponde a la vista aérea (S)?

A)

B)

C)

D)

309

S

F


CLAVE DE RESPUESTA

No. DE REACTIVO

RESPUESTA CORRECTA DESCRIPCIÓN

112.3.1 D)La línea de abajo a la izquierda gira de una figura a otra 45° en el sentido de las manecillas del reloj, la línea de arriba a la derecha gira 90°.

112.3.2 A)El círculo y el cuadrado giran en el sentido de las manecillas del reloj, el círculo cambia de color en cada ocasión. El triángulo gira en movimiento contrario a las manecillas del reloj.

112.3.3 C)

Las imágenes describen la forma en que la figura es rotada de 90° en 90°.

114.3.1 D)

V = l3 = 83 = 512 u3

114.3.2 C)

Cada cuadro sombreado es la tercera parte, tomando en cuenta los cuadros del mismo tamaño que no lo están, por lo tanto la región sombreada es 1/3.

114.3.3 C)

Para cada sección se requieren cuatro cubos, como son tres secciones entonces se requieren doce cubos.

310

90º

90º 90º

90º

4 CUBOS

AQUÍ 4 CUBOS

PARA ESTA PARTE 4 CUBOS


CLAVE DE RESPUESTA

No. DE REACTIVO


115.3.1 C) El pentágono es la base del poliedro y el triángulo es la parte del frente del mismo, las piezas forman los lados izquierdo y derecho del poliedro.

115.3.2 A)

115.3.3 D) Al sobreponer las piezas del inciso D) se observa que todas coinciden completamente.

122.3.1 B) La perspectiva de la figura vista desde en frente es:

311

III

I III3


No. DE REACTIVO


122.3.2 C) Si observas las figuras desde la posición tres puedes notar que el cono queda enfrente del cilindro y a la derecha, que el prisma rectangular horizontal está frente al prisma rectangular vertical y a la izquierda.

3

122.3.3 D)

Desde el punto cuatro la esfera queda a la derecha, la pirámide triangular al centro y el cubo a la izquierda D).

4

1 3

2

123.3.1 A)

312


No. DE REACTIVO


123.3.2 A)

A) B) Diferente

B) D) DiferenteDiferente

123.3.3 D)

En el inciso A) esta pieza no coincide

Inciso B) diferente

Inciso C) diferente

El inciso D) coincide completamente

124.3.1 B)

Vista superior

Lateral derecha

Vista frontal

124.3.2 C)

Vista superior

313


No. DE REACTIVO


Correcta C) Lateral derecha

Vista frontal

124.3.3

B)

En la vista frontal de la figura, la circunferencia grande queda a la derecha, en la vista lateral derecha se observa un rectángulo y una “ele” invertida y en la parte posterior la circunferencia grande queda a la derecha.

126.3.1 D)Los cubos del inciso D)

126.3.2 A)

Al sobreponer las figuras del inciso A) se observa que embonan perfectamente

126.3.3

A) Las piezas del inciso A)

314


No. DE REACTIVO


127.3.1 D)

La figura que se observa es un hexágono que en el centro contiene un punto y hacia los vértices líneas continuas (aristas) de la altura del prisma.

127.3.2 B)

Vista superior

127.3.3 A)

El inciso B) no corresponde quedan del mismo lado

Inciso C) están invertidos

Inciso D) quedan del mismo lado

Al analizar la figura que coincide es la del inciso A)

315


316



Resuelve el siguiente problema.

Si , y son los vértices de un triángulo. Obtén:

a) Las pendientes de cada una de los lados.b) El punto medio de cada lado.c) Las ecuaciones de las mediatrices para los lados BC y AC.

Para dar solución al problema debes de saber los conceptos de pendiente, mediatriz, punto medio, ¿los sabes?

¿Recuerdas las formas de la ecuación de la recta?

¿Calculaste el valor de las pendientes o lograste calcular alguna de las ecuaciones de las mediatrices?

Si resolviste todos los incisos del problema anterior ¡TE FELICITAMOS!, ya que posees los conocimientos suficientes del tema.

Sin embargo, si contestaste alguna de las preguntas, entonces necesitas reforzar tus conocimientos sobre el tema.

Si no lograste contestar ni un solo inciso, no te preocupes, al final del estudio y comprensión del tema estarás en condiciones de resolver el problema.

317


LÍNEA RECTA

En el Álgebra elemental la ecuación de una recta se puede determinar si se conoce: un punto y la pendiente de la recta, dos puntos por donde pase dicha recta, o bien si sabemos su pendiente y ordenada al origen, con cualquiera de esta información se puede determinar la ecuación de una recta en el plano cartesiano.

Concepto de pendiente

En la Figura 1 observamos que el cambio vertical (cambio en y) del segmento se encuentra dado por y el cambio horizontal (cambio en x) es , la razón de cambio se le denomina pendiente y se simboliza con la letra con subíndice correspondiente al segmento de recta que se refiere, entonces la pendiente para la figura 1 es:

Figura 1.

La pendiente de un segmento de recta con extremos en los puntos A y

B es la razón: siempre que .

Ejemplos

El segmento tiene como extremos en los puntos indicados, ¿cuál es el valor de su pendiente?

a) A y B b) A y B

c) A y B d) A y B

Solución:

a) A y B : sean , , y , entonces

318

B

A Avanza

Sube

x

y


b) A y B : sean , , y , entonces

c) A y B : sean , , y , entonces

d) A y B : sean , , y , entonces

Punto medio

Las coordenadas del punto medio del segmento de recta con A y B son:

y

Ejemplos

El segmento tiene como extremos en los puntos indicados, ¿determina el valor de las coordenadas del punto medio?

a) A y B b) A y B

Solución:

a) A y B : sean , , y , entonces

Entonces la coordenada del punto medio es: .

319


b) A y B : sean , , y , entonces

Entonces la coordenada del punto medio es: .

Formas de la recta

Punto – Pendiente:

Punto – Punto:

Pendiente – ordenada al origen:

Donde: = pendiente y = ordenada al origen.

Para determinar la ecuación de una recta se deben conocer los siguientes datos:

Un punto y la pendiente de la recta (utilizar la forma punto - pendiente). Dos puntos de la recta (utilizar la forma punto - punto).

Es preciso aclarar que las dos formas antes mencionadas son equivalentes ya que lo

único que cambia es que se sustituye en la forma punto pendiente para

obtener la forma punto – punto, así que solo basta recordar la forma punto – pendiente y a partir de estas dos formas podemos determinar la forma pendiente – ordenada al origen.

Ejemplos

1. Determina la ecuación de la recta en las formas punto – pendiente y pendiente -ordenada al origen, si la recta pasa por el punto A y su pendiente es .

Solución:

Se utiliza la forma punto pendiente ya que contamos con un punto y la pendiente de la recta.

A : sean , y , sustituimos los valores en:

320


Forma punto - pendiente.

Para determinar la forma pendiente - ordenada al origen se despeja de la forma punto - pendiente.

Forma pendiente - ordenada al origen.

2. Determina la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente, pendiente -

ordenada al origen, si la recta pasa por el punto A y su pendiente es .

Solución:

Se utiliza la forma punto - pendiente ya que contamos con un punto y la pendiente de la recta.

A : sean , y , sustituimos los valores en:

Forma punto - pendiente.

Para determinar la forma pendiente - ordenada al origen se despeja de la forma punto - pendiente.

Forma pendiente - ordenada al origen.

3. Sean A , B , C los vértices de un triángulo. Determina la ecuación del lado en forma punto - pendiente y pendiente - ordenada al origen.

321


Solución:

Graficando las coordenadas en el plano cartesiano se tiene la siguiente gráfica:

Para determinar la ecuación del lado se utilizan los puntos A y C y la forma punto – punto.

A y C sean: , , y , sustituimos los valores en:

Forma punto – pendiente.

Para la forma pendiente - ordenada al origen, se despeja de la forma punto – pendiente.

322


Forma pendiente – ordenada al origen.

4. Sea la siguiente gráfica:

Determina la expresión algebraica que satisface los datos representados de la gráfica.Solución:

Para determinar la expresión algebraica tenemos como datos los puntos de la gráfica, elegimos dos puntos de la gráfica y aplicamos la forma punto – punto para encontrar dicha expresión algebraica.

Seleccionando los puntos:

A y B sean: , , y , sustituimos los valores en:

Expresamos la ecuación en la forma pendiente – ordenada al origen, entonces despejamos

323


Finalmente la expresión algebraica que satisface los datos de la gráfica es:

5. Sea la siguiente gráfica:

Determina la expresión algebraica que satisface los datos representados de la gráfica.

Solución:

Para determinar la expresión algebraica tenemos como datos los puntos de la gráfica, elegimos dos puntos de la gráfica y aplicamos la forma punto – punto para encontrar dicha expresión algebraica.

Seleccionando los puntos:

A y B sean: , , y , sustituimos los valores en:

324


Expresamos la ecuación en la forma pendiente – ordenada al origen, entonces despejamos

Finalmente la expresión algebraica que satisface los datos de la gráfica es:

6. Obtener el valor de la pendiente ( ) y la ordenada al origen ( ) de la recta que se muestra en la gráfica. Determina su expresión algebraica.

Solución:

Paso 1. Identificamos dos puntos cualesquiera de la gráfica, en este caso son las coordenadas de las intersecciones con los ejes “y” y “x”:

A ( 0, 3 ) y B ( -3, 0 )

Paso 2. Sustituimos los valores de las coordenadas en la fórmula de la pendiente y determinamos su valor.

RECORDANDO

325


Ordenada al origen: es la distancia que hay desde el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas, al origen del sistema de ejes cartesianos.

Paso 3. Observando de la gráfica la distancia que hay desde el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas, se obtiene la ordenada al origen.

Por lo que = 3

Entonces los valores de y son:

y

Paso 4. Finalmente sustituimos los valores de “ = 1” y “ = 3” en la forma pendiente –ordenada al origen.

Entonces la expresión algebraica es:

326

x

y

b = 3


7. Obtener el valor de la pendiente ( ) y la ordenada al origen ( ) de la recta que se muestra en la gráfica. Determina su expresión algebraica.

Solución:

Paso 1. Identificamos dos puntos cualesquiera de la gráfica:

A ( -2, 1 ) y B ( 2, -5 )

Paso 2. Sustituimos los valores de las coordenadas en la fórmula de la pendiente y determinamos su valor.

Paso 3. Observando de la gráfica la distancia que hay desde el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas, se obtiene la ordenada al origen.

Por lo que

Entonces los valores de y son:

327

x

y

b = - 2


y

Paso 4. Finalmente sustituimos los valores de “ = ” y “ ” en la función

lineal.

Entonces la expresión algebraica es:

8. La siguiente gráfica muestra la población de Oregón al final de los últimos doce años.

¿Cuál será la población en 1990?

Solución:

Determinamos la ecuación de la recta con dos puntos cualesquiera de la gráfica,

y sean: , , y , sustituimos los valores en:

Despejamos para obtener la forma pendiente – ordenada al origen.

328

Población a partir de 1970 en miles

1970

Años después de 1970


Entonces “ ” es la población en miles y “ ” el número de años.

Para determinar que población habrá en 1990, observamos que a partir de 1970 a 1990 existen 20 años, entonces sustituimos en la ecuación anterior para obtener la población en ese año.

Entonces habrá 150 mil habitantes en el año de 1990.

9. La compañía ZARDOS está planeando producir lápices. A la compañía le costará $ 2.00 hacer cada lápiz y los venderá a $5.00 cada uno. La ganancia por cada lápiz vendido se muestra en la siguiente gráfica.

¿Cuál será la ganancia si se venden 297 lápices?

Solución:

Determinamos la ecuación de la recta con dos puntos cualesquiera de la gráfica, y sean: , , y , sustituimos los

valores en:

329

Número de lápices

Ganancia

en

$



Entonces “ ” es la ganancia por cada lápiz vendido y “ ” el número de lápices vendidos.

Para determinar la ganancia si se venden 297 lápices, entonces sustituimos los valores en la ecuación anterior para obtener el valor de la ganancia.

Entonces la ganancia será de $891.00 por vender 297 lápices.

330


10. En una reciente competición de precios, la compañía de alquiler de automóvil A no cobra cuota inicial por alquiler de automóvil y cobra una cantidad fija por kilómetro recorrido. Para poder competir la compañía B cobra cuota inicial y los primeros 3 kilómetros son gratis. Después del tercer kilómetro se cobra una cuota constante.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el número de kilómetros por el costo de cada compañía.

¿Cuál es la expresión algebraica del número de km recorridos (x), de tal forma que el costo sea el mismo en ambas compañías?

Solución:

Para determinar dicha expresión algebraica, se deben determinar las ecuaciones de ambas rectas que representan cada compañía, elegimos dos puntos de cada recta y utilizamos la forma punto – punto, posteriormente obtenemos la forma pendiente - ordenada al origen de cada recta y las igualamos porque queremos conocer la expresión algebraica del número de km recorridos (x), de tal forma que el costo (y) sea el mismo en ambas compañías.

Compañía A



-----(1)

331

------- Compañía A- - - - Compañía B

Número de km recorridos

Costo en $


Compañía B



----- (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:

Finalmente

11. Un viernes de una semana se inauguran dos bares, el bar “los nacos” no cobra cover por entrar pero cobra una cantidad fija por cerveza consumida. El bar “las changas” cobra un cover por entrar y las 3 primeras cervezas son gratis. Después de la tercera cerveza se cobra un precio constante por cerveza.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el número de cervezas consumidas y el costo para cada bar.

332

------- Los nacos- - - - las changas

Número de cervezas

Costo en $


¿Cuál es la expresión algebraica del número de cervezas consumidas (x), de tal forma que el costo sea el mismo en ambos bares?

Solución:

Para determinar dicha expresión algebraica, se tiene que determinar las ecuaciones de ambas rectas que representan a cada bar, elegimos dos puntos de cada recta y utilizamos la forma punto – punto, posteriormente obtenemos la forma pendiente ordenada al origen de cada recta y las igualamos porque queremos conocer la expresión algebraica del número de km recorridos (x), de tal forma que el costo (y) sea el mismo en ambos bares.

Bar los nacos



-----(1)

Bar las changas


333



----- (2)

Finalmente, igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:

Ecuaciones equivalentes

Existen ecuaciones con distinta representación pero corresponden a la misma ecuación, tales ecuaciones se denominan ecuaciones equivalentes. Las ecuaciones equivalentes a otra ecuación dada se obtiene multiplicando (o dividiendo) en ambos miembros de la ecuación por el mismo número.

Ejemplos

12. Determinar dos ecuaciones equivalentes para .

Solución:

Multiplicando por dos ambos miembros de la ecuación.

Ecuación equivalente.

Para obtener la otra ecuación equivalente podemos multiplicar por tres, cuatro, cinco, etc. ambos miembros de la ecuación.

Multiplicando por tres ambos miembros de la ecuación.


13. Determinar dos ecuaciones equivalentes para .

Solución:

334


Multiplicando por dos ambos miembros de la ecuación.


Para obtener la otra ecuación equivalente podemos multiplicar por tres, cuatro, cinco, etc. ambos miembros de la ecuación.

Multiplicando por tres ambos miembros de la ecuación.


Rectas perpendiculares

Las rectas L1 y L2 son perpendiculares (forman ángulos de 90º) si el producto de sus

pendientes es igual a -1; es decir: L1 L2

Ejemplos

14. Determina la pendiente de una recta perpendicular a otra que tiene por ecuación

Solución:

Para poder conocer la pendiente, pasamos la ecuación a la forma pendiente ordenada al origen, entonces despejamos .

Por lo tanto

Si es la pendiente de la recta perpendicular, entonces se cumple que , sustituyendo valores y despejando obtenemos:

335


15. Determina la pendiente de una recta perpendicular a otra que tiene por ecuación

Solución:

Para poder conocer la pendiente, pasamos la ecuación a la forma pendiente ordenada al origen, entonces despejamos .

Por lo tanto

Si es la pendiente de la recta perpendicular, entonces se cumple que , sustituyendo valores y despejando obtenemos:

336



Recordando

Mediatriz. Es la recta perpendicular a un lado de un triángulo (o a cualquier segmento de recta) y que pasa por su punto medio.

Solución:

Graficando los puntos

a) Pendientes de cada uno de los lados.

337


b) Punto medio entre A y B.

Punto medio entre A y C.

Punto medio entre B y C.

c) Ecuaciones de las mediatrices para los lados BC y AC.

La mediatriz del lado BC, pasa por el punto medio y este es , la ecuación de la mediatriz es perpendicular a la recta que pasa por B y C. Entonces y es

la pendiente de la mediatriz, se cumple que , entonces , aplicando

la forma punto – pendiente con y obtenemos:

La mediatriz del lado AC, pasa por el punto medio y este es , la ecuación de

la mediatriz es perpendicular a la recta que pasa por A y C. Entonces y

es la pendiente de la mediatriz, se cumple que , entonces , aplicando la forma punto – pendiente con y obtenemos:

338


339


EJERCICIOS

Resuelve los siguientes problemas y verifica tu solución.

1. Determina una ecuación equivalente para

Solución:

2. Determina el valor de la pendiente ( ) y la ordenada al origen ( ) de la recta que se muestra en la siguiente gráfica.

Solución: ,

3. Montserrat planea leer un libro para un trabajo de la escuela. Pero se salta la introducción y transcurrido dos minutos lleva 6 páginas como se muestra en la siguiente gráfica.

¿Cuántas páginas llevará leídas al transcurrir 103 minutos?

Solución: 107 páginas.

4. Analiza la siguiente gráfica

340


Determina la expresión algebraica que le corresponde.

Solución:

5. Carlos desea ingresar a una escuela de música, llama por teléfono para pedir informes, por lo que recaba la siguiente información:

* La escuela 1, cobra una cantidad fija por cada mes de clases sin tener que pagar inscripción.* La escuela 2, cobra inscripción y las primeras 2 mensualidades son gratis. Después del segundo mes se cobra una colegiatura constante.

Determina la expresión algebraica del número de meses (x), de tal forma que el costo sea el mismo en las dos escuelas.

Solución:

6. Determina la pendiente de una recta perpendicular a otra que tiene por ecuación .

Solución:

7. Determina la ecuación de la recta en forma punto pendiente si y que pasa por el punto .

341

------- Escuela 1- - - - Escuela 2


Solución:

342



INSTRUCCIONES: lee con atención cada uno de los siguientes reactivos subraya la letra de la opción que responde correctamente a cada planteamiento.

65.5.1 ¿Cuál es la ecuación equivalente de la siguiente expresión algebraica?

A)B)C)D)


A)B)C)D)


A)B)C)D)


A)B)C)D)


A)

B)

343


C)

D)

69.5.1 ¿Cuál es el valor de la pendiente ( ) y la ordenada al origen ( ) de la recta que se muestra en la gráfica?

A)

B)

C)

D)


344


A)

B)

C)

D)


A)B)C)D)


345


A)B)C)D)


A)B)C)D)

74.5.1 Ada quiere comprar un celular y su precio es de $200.00 al contado pero si lo compra en abonos se cobra un interés mensual fijo. Los datos de costo en $ (y) y el número de meses (x) los representa en la siguiente gráfica.

346


¿Cuál es el costo que tendrá que pagar si compra el celular a 14 meses?

A) -480B) -228C) 228D) 480

74.5.2 Rosario pide prestado a Luis $500.00. Inés le dice que le da 24 meses de plazo para pagarle cobrando cierto interés por la cantidad prestada. Los datos del total a pagar en $ (y) y el número de meses (x) los representa en la siguiente gráfica.

Si Rosario pagó $ 730.00, ¿cuántos meses tardó en pagar?

A) 11B) 20C) 23D) 25

74.5.3 Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2500 litros, al navegar cada día consume cierta cantidad de combustible. La gráfica muestra la cantidad de combustible (y) que consume por día navegado (x) (suponga que el tanque se encuentra lleno desde el primer día de navegación).

347


¿Cuántos litros de combustible queda en el tanque si navega cinco días el barco?

A) 1700B) 1750C) 1800D) 1850

74.5.4 El señor Ávila renta un auto en $50.0 diarios más cierta cantidad por kilómetro recorrido. La gráfica muestra el costo en $ (y) y el número de kilómetros recorridos (x).

Si se pagó $450.00, ¿cuántos kilómetros se recorrieron?

A) 150B) 155C) 160D) 165

74.5.5 El precio de un radio es de $200.0 al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo. Los datos del total a pagar en $ (y) y el número de meses (x) los representa en la siguiente gráfica.

Si el radio se compra a treinta y seis meses, ¿cuánto se tendrá que pagar?

348


A) 460B) 550C) 560D) 570

81.5.1 Observe la siguiente gráfica:

¿Cuál es la expresión algebraica que satisface los datos presentados en la gráfica?

A)B)C)D)



A)B)C)D)

349




A)B)C)D)



A)

B)

C)

D)


350



A)

B)

C)

D)

87.5.1 Las rectas en la siguiente gráfica muestra la distancia (y) que Ana y Beatriz recorren en una carrera, como Ana es más lenta se le da una ventaja.

¿Cuál es la expresión algebraica del tiempo transcurrido (x), de tal forma que la distancia que recorren ambas personas sea el mismo?

A)B)C)D)

351

Tiempo en min

------- Ana- - - - Beatríz

Distancia en m


87.5.2 Dos automóviles se encuentran circulando en dos autopistas de México, la gráfica representa la distancia (y) que recorren los automóviles A y B antes de impactarse ambos en un crucero.

¿Cuál es la expresión algebraica del tiempo transcurrido (x), de tal forma que la distancia que recorren para impactarse sea el mismo?

A)B)C)D)

87.5.3 Dos compañías se dedican a la renta de estacionamiento para automóviles, las cuales se encuentran en competencia para captar el mayor número de clientes posibles. La compañía A no cobra cuota inicial por la renta del espacio para estacionarse y cobra una cantidad fija por hora transcurrida. Para poder competir la compañía B cobra cuota inicial y la primera hora es gratis. Después de la primera hora se cobra una cuota constante.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo y el costo de cada compañía.

352

Tiempo en horas

Costo en $

------- Compañía A- - - - Compañía B

Distancia en km

Tiempo en min

------- Automóvil A- - - - Automóvil B


¿Cuál es la expresión algebraica del tiempo (x) transcurrido, de tal forma que el costo sea el mismo en ambas compañías?

A)B)C)D)

87.5.4 Ada y Carlos tienen una cita amorosa, pero ambos se encuentran en diferentes puntos de la ciudad. La gráfica muestra la distancia (y) que recorren ambos para encontrarse.

¿Cuál es la expresión algebraica del tiempo transcurrido (x), de tal forma que la distancia que recorren ambas personas sea el mismo?

A)B)C)D)

87.5.5 Dos discotecas abren a la misma hora y para competir entra ambas la discoteca A no cobra cover por entrar pero cobra una cantidad fija por refresco consumido. La discoteca B cobra un cover por entrar y los 3 primeros refrescos son gratis. Después del tercer refresco se cobra un precio constante por refresco.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el número de refrescos consumidos y el costo para cada discoteca.

353

Distancia en m

Tiempo en min

------- Ada- - - - Carlos

Costo en $

------- Compañía A- - - - compañía B

Número de refrescos


¿Cuál es la expresión algebraica del número de refrescos consumidos (x), de tal forma que el costo sea el mismo en ambas discotecas?

A)B)C)D)

133.5.1 ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a otra recta que tiene por ecuación ?

A)

B)

C)

D)


A)

B)

C)

D)


A)

B)

354


C)

D)


A)

B)

C)

D)


A)

B)

C)

D)

134.5.1 El valor de la pendiente de una recta es y las coordenadas de un punto por el que pasa, son . ¿Cuál es la ecuación que representa a esta recta?

A)B)C)D)


A)B)C)D)


355


A)B)C)D)


A)B)C)D)


A)B)C)D)

356


CLAVE DE RESPUESTA

No. DE REACTIVO RESPUESTA CORRECTA65.5.1. D65.5.2. C65.5.3. A65.5.4. B65.5.5. C69.5.1. A69.5.2. C69.5.3. D69.5.4. A69.5.5. C74.5.1. D74.5.2. C74.5.3. B74.5.4. C74.5.5. C81.5.1. A81.5.2. B81.5.3. D81.5.4. A81.5.5. C87.5.1. A87.5.2. D87.5.3. B87.5.4. C87.5.5. C

133.5.1. B133.5.2. D133.5.3. B133.5.4. C133.5.5. C134.5.1. C134.5.2. B134.5.3. B134.5.4. D134.5.5. C

357


CIRCUNFERENCIA

358

Radio

Centro

P (r, y)



La siguiente figura muestra 3 circunferencias que representan los engranes de un reductor de velocidad ¿Cuál es el centro de cada una de ellas?

¿Lograste contestar todas las preguntas del problema?

Si tu respuesta es afirmativa, ¡Felicidades!, ya tienes los suficientes conocimientos del tema.

Si contestaste algunas de las preguntas, entonces necesitas fortalecer tus conocimientos sobre este tema.

Si no lograste contestar ninguna de las preguntas, no te preocupes, ya que al final del estudio y comprensión de este tema, estarás en condiciones de poder resolver el problema

359

3

Y

4C1 C

2

C3

x


LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

Una circunferencia es el lugar geométrico de todos aquellos puntos tales que equidistancia a un mismo punto fijo llamado centro y la distancia de este a cada punto se llama radio.

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

Una circunferencia con centro fuera del origen, tiene su centro en C (h, k)¿Cómo determinar la ecuación de la circunferencia con (h, k)?

Primero debemos calcular el valor del radio, es decir de la distancia entre los puntosC (h, k) y P(x, y). ?

Para ello utilizamos el teorema de Pitágoras.

Así, la ecuación ordinaria de una circunferencia con centro fuera del origen

360

P(x, y)

C (h, k)

h

r

Y

k

x

r

YK

X h


C (h, k), tiene por ecuación ordinaria.

EJEMPLOS DE CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

1. Grafica y calcula la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con centro en (2,-3) y r = 4

La forma de la ecuación ordinaria es:

Como C (2,-3) con h= 2 K=-3 y r = 4Sustitución:

Ecuación Ordinaria Para obtener la ecuación ordinaria general se desarrolla y simplifica igual a cero ecuaciones ordinarias.

La ecuación general.

2. Escribir la ecuación general y grafica de la circunferencia que tiene por ecuación ordinaria.

361


3. ¿Cuál es la grafica de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (-3, -2) y r = 4.

¿Por qué puntos pasa?

¿Cuál es su ecuación ordinaria y general?

Ecuación ordinaria.

Ecuación general.

4. Calcula el centro del radio de la circunferencia, que tiene por ecuación general.

Solución.

Agrupando términos en x y y

Completando cuadrados

Factorizando y simplificando

5. ¿Cuál es la ecuación ordinaria y general de la Circunferencia con centro C (-3, 0) y que pasa por el punto A (1, 3).

El radio es la distancia entre el centro y el punto A

d Utilizando la distancia entre puntos

d= 5; radio de la circunferencia Entonces el c (-3,0) y r = 5

362


Ecuación ordinaria es:

La ecuación general

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Calcula la ecuación de la Circunferencia tangente al eje de las abscisas con centro en (2, -4).

Solución:Si la circunferencia es tangente el eje x esta solo toca al punto a en

Y la distancia del centro al punto A es de 4 unidades entonces r = 4 La ecuación ordinaria de la c es:

Ecuación general.2.- Determinación de la ecuación de la recta que pasa por los centros de las circunferencias cuyas ecuaciones son: y

Solución: Obtener el centro de cada circunferencia, después calcula la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

C1 (-2, 3) r=3 ; C2 (1, 2) r=7La recta L pasa por utilizando

y sustituyendo obtenemos

363


Ecuación de L

C1 (-2, 3) r= 3 C2 (1,2) r = 7

3. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-2, 4) y es concéntrica con la circunferencia que tiene por ecuación circunferencia general

Solución:

Dividiendo entre 2 la ecuación de la circunferencia 2

Obtenemos su centro y su radio.

C (2.5,-2) r = 3.3

Como las circunferencias son concéntricas, entonces tienen el mismo centro Determina la ecuación de la Circunferencia con centro en (2.5, -2) y que pasa por el punto P (-2, 4).

Si la Circunferencia pasa por P (-2,4) entonces debemos calcular la distancia

La cual corresponde a la longitud del radio

r = d (CP) C (2.5,-2) P(-2, 4)

La ecuación de C2 que pasa por P (-2,4) y cuyos centros c (2.5,-2) y radio = 7.5n es

364


Ecuación ordinaria.

La ecuación general

4. Calcula la ecuación de la Circunferencia cuyo diámetro es el segmento que

la ecuación determina con los ejes

coordenados el segmento que se determina con la

ecuación simétrica de la recta está determinando por A

(-2,0) y B (0, con diámetro es dos veces el radio D = 2r

int. Calcula el punto medio del que corresponde al

centro de la circunferencia

Pm

Para calcular la ecuación de la Circunferencia se

necesita conocer la longitud del radio

calcular

d( La ecuación general

5. Cuál es la ecuación de la circunferencia que tiene como centro C(3,4) y su

tangente a la recta L:2x-y+5=0

L : 2x - y+5=0Y =2x+5Calcular la distancia de la recta L al centro ya que esa será la longitud del radio de la Circunferencia.

d( LC)=

Entonces el radio de la Circunferencia esr = 3.1 y c (3, 4)La ecuación general

365


Ecuación general

EJERCICIOS

Resuelve los siguientes ejercicios y verifica tu solución con la que te presentamos.

1. Escribe la ecuación general de la Circunferencia que pasa por P (-8,3) y cuyo centro se halla en la intersección de las rectas x – y + 3 = 0 y x+2y – 1 2=0

Solución

2. El centro de la Circunferencia es C (2, 5) y pasa por P (-8, 3). ¿Cuál es el radio de la circunferencia?

Solución

3. Obtener el centro y el radio de la Circunferencia que tiene por ecuación generalx2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0

Solución: C (1,1) r=1.4

4. Obtén la ecuación de la circunferencia e su forma general cuyos extremos del diámetro son los puntos A (-2, 6) y B (-4, -2)

Solución:

5. Escribe la ecuación general de la circunferencia cuyo constante de la ecuación general tiene los valores D= -6, E = -2, F=9

Solución:

6. Cuál es la ecuación general de la circunferencia que tiene por ecuación ordinaria.

Solución:

366



La siguiente figura muestra 3 circunferencias que representan los engranes de un reductor de velocidad.¿Cuál es el centro, el radio y la ecuación de cada una de las circunferencias?

Para la circunferencia (1) en centro esta en (0, 0), r = 3 y su ecuación es

Para la circunferencia (2), C (4, 3), r = 2 y su ecuación es:

Para la circunferencia (3), C (4, 0), r = 1 y su ecuación es:

367


EVALUACIÓN DEL TEMA:

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y encierra en un circulo la letra de la opción correcta. Muestra tu procedimiento y solución. Compara tus respuestas con la clave que se incluye al final.

90.5.1. ¿Cuál es la ecuación de la Circunferencia con centro en C (4, 0) y que pasa por el punto A (-1, 0)?

A) B) C) D)

90.5.2. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en c (3, 2) y que pasa por el punto P (6, -8)?

A) B) C) D)

90.5.3 ¿Cual es la longitud del diámetro de la circunferencia cuya ecuación ordinaria es ?

A) 9

B) 3

C) 6

D) 8

90.5.4 ¿Cual es la ecuación de la circunferencia en céntrica o la circunferencia que tiene por ecuación y que pasa por el punto P (-2, -8 )?

A) B) C) D)

90.5.5. ¿Cuál es la ecuación de la Circunferencia con centro en C (0. 0) y que pasa por P (- 3, 5)?

A) B) C)

368


D)

135.5.1 ¿Cual es la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C ( 4,0 ) y r = 3?

A)B) C) D)

135.5.2 ¿Cual es la ecuación de la circunferencia cuyo centro en el punto c(2,7) y r =5?

A)B) C) D)

135.5.3 ¿Cual es la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro =8 y su centro es el punto C (0, -3)?

A)B) C) D)

135.5.4 ¿Cual es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la ordenada recta que tiene por ecuación y= 4x-1 y cuyo radio r=2?

A) B) C) D)

135.5.5 ¿Cual es la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (3, 2) y r=4?

A) B) C) D)

369


CLAVE DE RESPUESTA

No. DE REACTIVO RESPUESTA CORRECTA90.5.1 A90.5.2 B90.5.3 C90.5.4 D90.5.5 D

135.5.1 B135.5.2 C135.5.3 D135.5.4 A135.5.5 A

370


371



La gráfica que a continuación se muestra, representa las calificaciones finales del semestre obtenidas por Griselda en sus diferentes materias, para conservar su beca debe tener un promedio mínimo de 8. Interpreta la gráfica y con base en los datos, establece si Griselda conserva o pierde su beca.

¿Lograste resolver el problema?

Si tu respuesta es afirmativa, ¡Felicidades!, ya que tienes los suficientes conocimientos del tema.

Si no conoces el procedimiento para la solución del problema, a continuación se te darán los conceptos básicos y ejemplos para que lo puedas resolver.

372


MEDIA ARITMÉTICA

Llamaremos Media Aritmética al valor promedio de una serie de valores.

La media de una población es el parámetro (que se pronuncia mi). Si hay N observaciones en el conjunto de datos de la población, la media se calcula de la siguiente forma:

MEDIA POBLACIONAL

La media de una muestra es un estadístico (que se lee x - barra). Con "n" observaciones en el conjunto de datos de la muestra, la media se determina de la siguiente forma:

MEDIA MUESTRAL

Ejemplo. Se supone que una muestra de los ingresos por ventas mensuales en miles de pesos de una empresa para 5 meses son de 56, 67, 52, 45 y 67. La media se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo. La siguiente gráfica reporta los rendimientos porcentuales de los fondos de inversión de los últimos 8 años.

Con base en los datos, ¿cuál es el rendimiento promedio de los fondos de inversión de los últimos 8 años?

Solución. Se observan en la gráfica los siguientes rendimientos 5, 35, 20, 25, 30, 15, 5 y 25 para cada año respectivamente por lo que el rendimiento promedio es:

373

La Media Aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus valores dividida por el número total de sus observaciones.


EJERCICIOS. Resuelve los siguientes problemas y verifica tu solución con la respuesta dada.

1. La siguiente gráfica representa la distancia recorrida por un hombre en 5 días.

¿Cuál es la distancia promedio?

Solución:

374


2. La siguiente gráfica muestra el comportamiento de la delincuencia en el robo de autos en el Estado de México en el periodo de enero a septiembre.

NOTA: Las cantidades se encuentran en millares.

¿Cuál es el promedio de autos robados por mes en el periodo de enero a septiembre?

Solución: Autos


A continuación se dará la solución al problema inicial.

En la gráfica se observa que las calificaciones de Griselda son 6, 7, 9, 8, 10, 6, 8 y 8 para cada una de sus respectivas materias, por lo que su promedio de aprovechamiento es:

con este promedio Griselda pierde su beca

375



INSTRUCCIONES: lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y encierra en un círculo la letra de la opción correcta. Muestra tu procedimiento y solución. Compara tus respuestas con la clave que se incluye al final.

72.3.1 La siguiente gráfica muestra el número de alumnos por grupo de 3er semestre de un Plantel de Bachilleres.

Con base en los datos de la gráfica, ¿cuál es el promedio de alumnos por grupo?

A) 30B) 39C) 40D) 45

72.3.2 La siguiente gráfica muestra el número de televisiones vendidas por un

almacén.Con base en los datos de la gráfica, ¿cuál es el promedio de televisiones vendidas por mes de enero a diciembre?

A) 50B) 60C) 65D) 8072.3.3. La siguiente gráfica muestra la cotización anual de diferentes empresas metalúrgicas.

376


Con base en los datos de la gráfica, ¿cuál es el porcentaje promedio de la cotización anual de las empresas?

A) 12.8B) 14.0C) 15.0D) 16.3

377


CLAVE DE RESPUESTA

No. DE REACTIVO RESPUESTA CORRECTA72.3.1 B72.3.2 B72.3.3 A

378


BIBLIOGRAFÍA

Ortiz Campos, Francisco José. MATEMÁTICAS I ÁLGEBRA. Publicaciones Cultural. México 1995.

Bosh Giral, Carlos., Gómez W. Claudia. ÁLGEBRA. Santillana. México 1998.

Phillips, Elizabeth P. ÁLGEBRA CON APLICACIONES. Editorial HARLA. México 1998.

Bello, Ignacio. ÁLGEBRA ELEMENTAL Internacional Thomson Editores. México 2000.

Leithold, Luis. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Editorial HARLA. México 1994.

Jiménez, René. FUNCIONES. Editorial Pearson Prentice Hall. México 2006.

Cuellar Carvajal, Juan Antonio. MATEMÁTICAS IV RELACIONES Y FUNCIONES. Mc Graw-Hill Interamericana. México 2006.

Ortiz Campos, Francisco José. MATEMÁTICAS III GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA. Publicaciones Cultural. México 1996.

Sánchez Domínguez, Víctor Alfonso. MATEMÁTICAS IV. Compañía Editorial Nueva Imagen. México 1997.

Ruiz Basto, Joaquín. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA. Publicaciones Cultural. México 2004.

Fuenlabrada De La Vega Trucíos, Samuel. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Mc Graw-Hill Interamericana. México 2004.

Murray R. Spiegel., Shiller, John., Srinivasan R. Alu. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (Schaum).Mc Graw-Hill Interamericana. México 2004.

379


Material para el participante en el Taller:Fortalecimiento en habilidades matemáticas

10000 ejemplares

Enero de 2009

380

2 Material de Apoyo Para El Alumno Examen Planea Parte 2 2015 (1)

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