2 la aguja de buffon 3
-
Upload
neutron-hadron -
Category
Education
-
view
277 -
download
1
Transcript of 2 la aguja de buffon 3
![Page 1: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/1.jpg)
La aguja de Buffón
Héctor René Vega-Carrillo Ua Estudios Nucleares de la UAZ
Buzón-e: [email protected] URL: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html
Facebook: http://www.facebook.com/neutron.hadron
Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ingeniería Nuclear Septiembre 2012
![Page 2: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/2.jpg)
Contenido
►Introducción.
Cálculo de p.
Fundamento del cálculo.
►Experimento con palillos.
►Otra idea.
►Otro experimento.
![Page 3: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/3.jpg)
Introducción
►Georges Louis Leclerc Compte de Buffon (1707-1788) propuso un método para determinar el valor de p.
► Se trazan líneas paralelas con una separación L y se lanzan, al azar, un conjunto de agujas de longitud L.
► Se cuentan aquellas que al caer cruzan una de las líneas paralelas (éxitos) y se divide entre el total de agujas lanzadas (ensayos)
![Page 4: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/5.jpg)
►Al hacer esto las posiciones extremas de las agujas es 0 y 180 grados.
►En una posición intermedia,
![Page 6: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/6.jpg)
► El cateto opuesto es
►Trazando f(q)
► El área bajo la curva de f(q) es,
pqq ,0:,Sen2
L
p
qqq
0
)(fdSen
2
La
![Page 7: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/7.jpg)
Encerrando la función dentro de un rectángulo
![Page 8: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/8.jpg)
► El rectángulo tiene dimensiones de L/2 por p.
► Por lo tanto el área del rectángulo es,
L x p/2
![Page 9: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/9.jpg)
►La razón entre la figura envuelta y la envolvente es,
ppp
qqp
q 2
22
20)(
L
L
L
dSenL
A
a
RECTÁNGULO
f
![Page 10: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/10.jpg)
► Si sobre la figura trazamos puntos al azar,
►No se observa ningún patrón.
![Page 11: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/11.jpg)
► Si trazamos más puntos,
► Notamos que el número de puntos está relacionado con el tamaño de las áreas, es decir entre mayor sea el área tendrá una mayor cantidad de puntos.
![Page 12: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/12.jpg)
► Si trazamos un número muy grande, digamos infinito, las áreas quedarán totalmente cubiertas, y si los puntos que yacen fuera de f(q) los hacemos de un color y los que están dentro de f(q) los pintamos de otro color observamos lo siguiente,
![Page 13: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/13.jpg)
►Si al número de puntos dentro de f(q) le llamamos n, y al total de puntos trazados (fuera y dentro de f(q)) lo denominamos N.
►Podemos establecer que existe una relación entre la razón n/N y la que existe entre las áreas af(q)/ARECTÁNGULO.
N
n
A
a
RECTÁNGULO
f
p
q 2)(
![Page 14: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/14.jpg)
► Por lo tanto el valor de p se puede estimar mediante,
► donde n es el total de puntos dentro de f(q) (éxitos) y N es el total de puntos producidos (ensayos).
n
N2p
![Page 15: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/15.jpg)
EXPERIMENTO
CON
PALILLOS
![Page 16: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/16.jpg)
►Trace un conjunto de líneas paralelas cuya separación sea del tamaño de la longitud de los palillos.
►Repita el siguiente procedimiento N veces:
Seleccione 20 palillos y arrójelos sobre las líneas.
Cuente aquellos que crucen alguna de las líneas (éxitos) e1, e2, etc.
![Page 17: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/17.jpg)
►Al finalizar los N ensayos, sume el total de éxitos: n = e1, e2, …, ei.
► Estime el valor de p de la siguiente forma,
p
i
ie
N202
![Page 18: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/18.jpg)
!OTRA IDEA¡
![Page 19: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/19.jpg)
►Vamos a estimar el valor de p utilizando sopa de pasta.
►Pero antes vamos a los fundamentos del método.
►Si tenemos un círculo de radio R.
![Page 20: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/21.jpg)
► El área del círculo es,
► Si encerramos al círculo dentro de un cuadrado de lado 2 R.
2
CirculoRA p
![Page 22: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/23.jpg)
► El área del cuadrado será 2 R x 2 R, es decir, 4 R2.
► La razón entre las áreas será,
p
p
4
R
R4
A
A2
2
Círculo
Cuadrado
![Page 24: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/24.jpg)
►Despejando p,
![Page 25: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/25.jpg)
Si lanzamos, en forma aleatoria, las sopas sobre la figura y solo tomamos en cuenta las que caen dentro del cuadro (N), algunas yacerán dentro del circulo (n). El área del cuadro será proporcional a N, mientras que el área del círculo será proporcional a n.
![Page 26: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/26.jpg)
Por lo tanto, el valor de p se puede estimar mediante,
![Page 27: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/27.jpg)
►Para hacerlo aún más simple seleccionemos un cuadrante de la figura,
![Page 28: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/28.jpg)
►Trace un cuadrado y dentro de él una cuarta parte del círculo.
►Repita el siguiente procedimiento N veces. Tome un número fijo de sopas, digamos 50.
Láncelas en la figura y cuente aquellos que se encuentren dentro de la sección circular (éxitos), e1, e2, …, ei.
Algunos caerán fuera de la figura, esos réstelos de los 50 lanzados, (50 – Total que cayeron fuera) a la cantidad que resulte llámele h.
![Page 29: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/29.jpg)
►Registre sus datos en una tabla como la siguiente,
![Page 30: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/30.jpg)
► Estime el valor de p mediante,
![Page 31: 2 la aguja de buffon 3](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022042518/55c42c2fbb61eb2e038b483c/html5/thumbnails/31.jpg)