2 - Introducción a la Geoestadística Minera

8/13/2019 2 - Introduccin a la Geoestadstica Minera

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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERACuando y donde nace

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERACuando y donde naceEl padre de la Geoestadstica

Prof. George Matheron [1930-2000] fue el que desarroll el cuadro terico y

prctico de la Geoestadstica.

Ingeniero de Minas, dirigi en los aos 50 el servicio geolgico minero en Algeria

antes de volver a Pars, en el BRGM (Bureau des Recherches Gologiques et

Minires) en el comienzo de los 60. En 1968 fundo el Centre de Gostatistique et

Morphologie Mathematique a lEcole des Mines di Parigi, que dirigi hasta suretiro. Desarroll la Teora de las Variables Regionalizadas,

el verdadero nombre de la Geoestadstica, en la

bsqueda de una solucin a los problemas de

evaluacin de las reservas mineras. La Teoria,pronto, se revel un instrumento ideal para tratar una

serie mucho ms amplia de problemas , mineros y

no mineros (Petrleo, Ambiente, Hidrogeologa,Geotecnia, ...)


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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAEl Origen y El Papel

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAEl Origen y El Papel

La Geoestadstica naci para estudiar los fenmenos naturalesespaciales, normalmente a partir de muestrasEn particular, la Geoestadstica:

Estudia la variabilidad espacial de las grandezas que

describen los fenmenos no regulares. Extrae las reglas y los parmetros numricos en el interior de

un cuadro modelstico de referencia.

Utiliza estas reglas para resolver problemas concretos y

especficos, como por ej,. La estimacin de los yacimientos.


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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes adems de los

modelos

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes adems de los

modelos

Variables Regionalizadas.

Variables de dispersin.

Selectividad y efecto soporte.


5/42Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos Conceptos Importantes: Las VR

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos Conceptos Importantes: Las VR

Los Fenmenos Regionalizados

Distribuciones de elementos en uno dposito

Superficie de contacto entre capas.

Variables Regionalizadas

Contenido (3D, 1D).

Espesor de una capa (2D).

Profundidad de un contacto (2D). Cota topogrfica (2D).

Porosidad (3D, 1D).


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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR

INTRODUCCION A LA


Una VR es una variable definida en cada punto de un dominioespacial (espacio 1D, 2D, 3D).

Variavel Regionalizada

1

10

100

1000

10000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

x

z(x)

Marcamos la coordenada con x.

La VR se escribe z(x). El trmino regionalizada

especifica que la funcin

numrica depende de la

localizacin.


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INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Soporte

Es el volumen v(x), la superficie s(x), el segmento l(x)donde la VR z(x)es medida.

Es caracterizado por la dimensin y forma.

l(x)s1(x)

s2(x)

v1(x)

v2(x)

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Si las dimensiones fueran

pequeas en relacin la escalera

de trabajo, el soporte puede ser

considerado puntual.

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


LL

ll

JJll

El mismo testimonio, si referido al

sondeo, tiene soporte no nulo,

normalmente lineal.

Ejem: Un testimonio y el yacimiento

Soporte

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INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Variables adictivas

Subdividimos Ven Nelementos iguales vi

Una variable es aditiva se

Valor medio = Meda de los valores

V

vi

( ) ( ) ( ) == Vi dxxzVVzouvz

NVz )(

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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : as VR

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : as VR

Variables aditivas: respuestaVariables aditivas: respuesta

Cuota topografica (m, 2D)

Cuota de un horizonte geologico, acufero

(m, 2D)

Techo o leto de una tarima (m, 2D) Espesor de una tarima (m, 2D)

Densidad de una roca (t/m3, 3D)

Acumulacion metalica de una camada

mineralizada (kg/m2, 2D)

Tenor en metal de una tarima

mineralizado (%, = kg/t ou ppm, 2D)

Concentracin de una sustancia (2-3D)

Tenor de metal (kg/t, 3D)

Tenor metal volumtrico (kg/m3, 3D)

Fraccin granulomtrico (%, 3D)

Variablel indicatriz (0/1) :

de la litofacies (3D)

de corte

Porosidad (%, 3D) Permeabilidad (Darcy, 3D)

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Al cambiar del soporte cambiala variable.

Regolarizzazione oro

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40

Au (g/t)

x(m)

1 m

4 m

Los tenores de Audetestimonios de 1 m constituyen

una VR, z1(x) Los tenores medios de 4

testimonios consecutivosconstituyen una diferente , z4(x)

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


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Las caractersticas de la VR

Una VR z(x)es una funcin puramente determinista, que

toma un valor fijo en cada punto del espacio.

Tiene un movimiento irregular queno permite un estudio matemtico

directo.

Pero tiene tambin unavariabilidad estructurada: cerca

de puntos con elevado tenor

probablemente se encuentran

tenores elevados.


1

10

100

1000

10000

100000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

x

z(x)


1

10

100

1000

10000

100000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

x

z(x)

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INTRODUCCION A LA


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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes

adems de los modelos

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantesadems de los modelos


Variable de dispersin.


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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin Revision estadstica

Datos z1, z2, z3, , zn

Media

Varianza

Desviostandard

=

=n

i

izn

m1

1

( ) == ==n

i

i

n

i

i mzn

mzn 1

22

1

22 11

2 =

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INTRODUCCION A LA


V

vi

Dispersin de ven V

s2(v|V) = 1/N i[z(vi) Z(V)]2

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INTRODUCCION A LA


1

3

2

4

2

6

Dispersin de unidades de desmonte de mismovolumen v en un panel V

Z(V) = ?

o s2(v|V) = ?

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INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Dispersin de unidades de desmonte de mismovolumen v en un panel:

Z(V)=1/6 (1+3+2+4+2+6)=18/6=3

s2(v|V) = 1/6 (12+32+22+42+22+62) -32 =

= 1/6 70 9 = 8/31

3

2

4

2

6

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INTRODUCCION A LA


Dispersin de bloques 2v en un panel

Z(v2) = ?

o s2(v2|V) = ?

1

3

2

4

2

6

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2

3

4

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INTRODUCCION A LA


Dispersin de bloques 2ven un panel

Z(v2) = {2,3,4}

s2(v2|V) = 1/3 [4+9+16] 9 = 2/3

1

3

24

2

6

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INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Dispersin meda de unidades de desmonte en los bloques

v2

s2(v|v2

) = 1/3 [ (1+9) 22+

+ (4+16) 32+

+ (4+36) 42] =

= 1/3 [1 + 1 + 4 ] = 2 1

3

24

2

6

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INTRODUCCION A LA


Las dispersiones son adictivas

s2(v|V) = s 2(v|v2) + s2(v2|V)

8/3 = 2 + 2/3

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INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


La aditividad de las dispersiones es un resultadogeneral.

Una sub-particin, de una particin v, de un campo V

respetan la regla de aditividad.

s2(o|V) = s2(o|v) + s2(v|V)

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INTRODUCCION A LA GEOESTADSTICA

MINERA

INTRODUCCION A LA GEOESTADSTICA

MINERAUnos conceptos importantes

adems de los modelos


Variables de dispersin.


INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICAINTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA25


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Selectividad y soporte

Un yacimiento es

perfectamente conocido

Subdividido en 100 elementos,

es visualizado en clases devaloresm=1.54 %; s2=1.63

INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICAMINERA

Unos conceptos importantes : la Selectividad

INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICAMINERA

Unos conceptos importantes : la Selectividad

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Dispersin

Reagrupando cuatroelementos, se puede

subdividir el yacimiento en 25

bloques.

m=1.54 %; s2=0.99

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad

INTRODUCCION A LA



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La cubicacin de las

reservas cambia?

La superposicin de las dos

curvas evidencia las

diferencias:Para un mismo cut-off las

cubicacin corresponsales

varan.

Para una misma

cubicacin, los cut-off

corresponsales varan.

Cubicagen / Cut-offCubicagen / Cut-off

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


(100)(100)

Bloques

Grandes (25)

Bloques

Grandes (25)

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La cantidad de mineral Q(z)?

Consideramos la cantidad de metal contenido: q=t*v

De cada bloque grande (qi i=1,25)

De cada bloque pequeo (qj j=1,100)

La funcin Q(z) = ? qi : zi>z representa la cantidad de metal

presente en la parte seleccionada del yacimiento, T(z), con

concentracin mayor o igual la z.

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


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El metal de las reservascambia?

La superposicin de las dos

curvas evidencia las

diferencias:

Para un mismo cut-off las

cantidadescorrespondientes de metal

varan.

y vice versa.

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Metal / Cut-offMetal / Cut-off

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El Beneficio Convencional

El cut-off, z, representa la concentracin lmite: el valor de la unidadde volumen coincide con el coste propio de la explotacin.

El costo total para extraer las T(z) toneladas seleccionadas, por lotanto ser proporcional: z ?T(z)?

Las recetas totales sern proporcionales a la cantidad de metalseleccionada, Q(z)?

Se puede definir el beneficio convencional como: :

B(z) = Q(z) z T(z)

Quiere decir la cuarta parte de metal que genera el beneficio (a otraparte sirve para cubrir los costos).

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


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El efecto de soporte El beneficio convencional es

mayor en el caso de losbloques pequeos.

El resultado es general:para un mismo cut-of, elbeneficio disminuye al subir

de la dimensin de losbloques de seleccin.

Beneficioconvencional / cut-off

Beneficioconvencional / cut-off

Bloques

Grandes (25)

Bloques

Grandes (25)

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


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La variabilidad espacial

Variables aleatorias.

Funciones Aleatorias.

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERADe la Variable Regionalizada a la Funcin Aleatoria

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERADe la Variable Regionalizada a la Funcin Aleatoria

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Las VR en practica son conocidas slo en los puntos mostrados, pero

los problemas tpicos, por ej. seleccin de las reservas, necesitan de

conocer las VR en todo el campo.

Hay que estimarcantidades que realistamente nunca sernconocidas. Surge el problema de la gestin de la incertidumbre.

Un enfoque correcto tiene que considerar todos esos elementos: tipo

de variabilidad, conocimiento limitado, gestin de la incertidumbre

El enfoque correcto es probabilista, basada en las FuncionesAleatorias (FA).

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial

INTRODUCCION A LA


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INTRODUCCION A LAINTRODUCCION A LA


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A correlacin espacial

Antes de enfrentar el abordaje probabilista, caracterizamos

intuitivamente la variabilidad espacial mediante conceptos clsicos

como varianza, co-varianza y correlacin.

z(x): VR de soporte puntual, conocida en todos

puntos.

S : rea extensa cientos de metros. x, x + h: par de puntos alejados de h (vector).

|h| = h1: pequeo en comparacin la S (ej. 1 m).

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: a Variable Espiral

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: a Variable Espiral

Xi

Xi

Xi+hi

Xi+hi

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La correlacin de los pares

El par describe n posiciones xi (i =1,n) en S

La nube de correlacin entre los pares de valores z(xi),z(xi+h) y el coeficiente de correlacin evidencian el gradode semejanza entre par alejados de h1.

Para h pequeos

las diferencias sern

pequeas: la nubeaproxima la rectala 45.

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Xi

Xi

Xi+hi

Xi+hi

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La covarianza y coeficiente de correlacin

Cuantitativamente la covarianza emprica mide la

correlacin entre los pares de valorz(xi) y z(xi+h)

Hasta mejor es el coeficiente de correlacin .

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


Xi

Xi+hi

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La correlacin cambia

Al subir de hla nubequeda ms dispersa.

Covarianza y coeficiente

de correlacin disminuyen. A partir del un valor

grande de hla correlacinqueda nula.

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La correlacin en funcin de h

Para h=0 los dos puntos del par coinciden y el

coeficiente de correlacin vale 1.

Despus baja:

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La correlacin en funcin de

Para h=0los dos puntos del par coinciden y el

Coeficiente de correlacin vale 0 =1 Depus baha hasta =0

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GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial

INTRODUCCION A LA


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El crecimiento espacial

Una otra manera de estudiar

la correlacin espacial: elcrecimiento=z(xi+h)-z(xi)

Para cada hel crecimientotiene una distribucin cuya

varianza sube al crecer delalejamiento.

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


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La varianza del incremento

La varianza del crecimiento enfuncin de hes complementarla correlacin.

Para h=0el crecimiento es nuloy consecuentemente suyavarianza.

Al subir de h, normalmente lavarianza del crecimiento sube.

INTRODUCCION A LA


INTRODUCCION A LA


2 - Introducción a la Geoestadística Minera

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