.....

\

2 Fracciones

e CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

LA EVOLUCIÓN DE LA IMPRENTA

En el año 1440 aproximadamente, Gutenberg inventó la imprenta.

Desde entonces hasta ahora, las máquinas de imprimir han sufrido innumerables modificaciones y se perfeccionan constantemente.

Actualmente, los ordenadores nos permiten escribir textos utilizando un determinado tipo de letra y un tamaño. El tamaño de las letras se mide en puntos (pto).

Un punto equivale a ~ de milímetro.

Investiga

l. Busca el significado de cícero. ¿Qué relación hay entre punto y cícero?

2. Si el tamaño de una letra es de 16 pto, ¿cuál será su altura en milímetros?

CALCULO MENTAL

Restar 1001, 2 001, 3 001. .. Calcula mentalmente.

3638 - 2001 5385 - 1001 = 6917 - 5001 =

- 2001 3514 - 2001 = 8495 - 6001 = ~ _L

3638 - 1638 -+ 1637 - 2000 - 1

5768 - 5001 = 9982 - 7001 =

Restar 999, 1999, 2999 ... Calcula mentalmente.

3718 - 999 5385 - 999 = 4853 - 3999 =

- 999 4574 - 1999 = 9560 - 6999 = ~ __L

3718 - 2718 -+ 2 719 - 1000 + 1

3569 - 2999 = 6666 - 3999 =

29

1 Identificar los términos de una fracción - ------------------------------------

• Una fracción es una expresión de la forma ; siendo a y b números enteros y b distinto de O.

El número a es el numerador de la fracción y el número bes el denominador.

• Para leer fracciones:

- Si el denominador es menor o igual que 10 se lee:

Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lectura medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos

- Si el denominador es mayor que 10 se lee el número del denominador seguido de la terminación -avo.

Denominador 11 12 13 14 15

Lectura onceavos doceavos treceavos catorceavos quinceavos

3 1 . 5 --. se ee tres quintos ;

3 --. se lee siete veintitresavos

20

veinteavos

l. Completa la tabla.

Fracción Numerador Denominador Lectura

4 -5

2 -9

7 -10

11 -19

17 -21

12 -56

2. Escribe las fracciones.

a} Seis octavos ..,_ d} Nueve décimos ..,_

b} Siete doceavos ..,_ e} Nueve sextos ..,_

e} Cinco cuarentaicincoavos ..,_ f} Doce séptimos ..,_

30

\_

L

L

L

L

L

\_

\

\

'

\

'

\

2 Interpretar una fracción

Una fracción se puede interpretar de las siguientes formas:

• Fracción como parte de la unidad. El denominador representa el número de partes iguales en que se divide la unidad y el numerador representa el número de partes que se toman.

• Fracción como cociente. Para calcular su va lor se divide el numerador entre el denominador.

• Fracción como operador o fracción de un número. Para calcular su valor se multiplica el numerador por el número, y el resultado se divide entre el denominador.

Como parte de la unidad: : c · 4 os orno cociente: 5 = ,

4 4 · 120 Como operador: si queremos calcular las 5 de 120 =

5 480

5

3. Completa la tabla.

Parte de la unidad

Como cociente

4. Interpreta cada fracción como un cociente.

7 a) - =

2 b) 1- =

5

5. Interpreta cada fracción como operador.

2 a) 3 de 240 =

6 b) 10 de 750 =

c) Q = 4

4 e) 7 de 350 =

8 d) 15 de 195 =

d) ~ = 8

96

31

3 Clasificar fracciones: propias, impropias e i~uales a la unidad

Fracción propia es la que tiene el numerador menor que el denominador. Representa un número menor que la unidad.

• Fracción impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador. Representa un número mayor que la unidad.

• Fracción igual a la unidad es la que tiene el numerador igual que el denominador. Representa la unidad.

! .,. Fracción propia porque 3 < 5 ! .,. Fracción impropia porque 9 > 4

; .,. Fracción igual a la unidad porque 7 = 7

6. Clasifica las fracciones en propias, impropias e iguales a la unidad .

15 15

10 6

4

17 20

7. Escribe tres fracciones.

13 13

8 8

a) Propias con denominador 5.

b) Impropias con numerador 9.

8. Piensa y escribe.

25 14

5 9

Propias .,.

Impropias .,.

Iguales a la unidad .,.

c) Propias con numerador 9.

d) Impropias con denominador 10.

a) Una fracción igual a la unidad con numerador 12.

b) Una fracción mayor que la unidad con denominador 17.

9. Contesta y explica por qué.

a) ¿Una fracción propia es menor que la unidad?

b) ¿Una fracción impropia es mayor que la unidad?

32

'-

L

'--

L

L

\_,

\.._

\_

1 ~

\

\

\

\

\

'"" \

'

"\

'\

' '

4 Averi~uar si dos fracciones son equivalentes

L f · ª e · 1 t ·b ª e · 1 d b as racc1ones b y d son equ1va en es y se escn e b = d' s1 se cump e que a · = · e

Las fracciones ~ y :1

son fracciones equivalentes porque se cumple que 2 · 21 = 7 · 6 = 42

10. Comprueba si son equivalentes o no las siguientes fracciones.

5 20 b) 9 Y T6"

11. Observa las fracciones y calcula.

8

10

6 9

12 14

18 -21

12 15

16 24

12. Comprueba y contesta.

8 -12

16 20

5 15 c) - y-

7 28

a) Las fracciones equivalentes a ~ ..,.

b) Las fracciones equivalentes a : ..,.

e) Las fracciones equivalentes a ~ ..,.

La fracción ~ es equivalente a la fracción 1~ y la fracción

1~ es equivalente a la fracción

284

.

¿Es la fracción 3

1 equivalente a la fracción ~? Compruébalo.

24

33

5 Obtener fracciones equivalentes

Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada se pueden utilizar estos métodos.

• Amplificación: consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. La fracción obtenida es equivalente a la fracción dada.

• Simplificación: consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. La fracción obtenida es equivalente a la fracción dada.

A l'f' 'ó 5 5 · 3 15 mp 1 1cac1 n: 9 = 9

. 3

= 27

S. l'f' . , 12 12 : 2 6 1mp 1 1cac1on: - = -- = -18 18: 2 9

13. Calcula tres fracciones equivalentes a cada fracción por amplificación.

2 a) - =

5 b) --ª- =

7

14. Completa la fracción equivalente a cada fracción.

15 3 a> 20 = D

15. Calcula .

3 a) La fracción equivalente a 7 de numerador 6.

5 b) La fracción equivalente a 11 de denominador 22 .

10 e) La fracción equivalente a

32 de numerador 5.

d) La fracción equivalente a 45

de denominador 16. 80

24 D e) 32 = 4

5 e) - =

9

16. Escribe tres fracciones equivalentes por amplificación y otras tres por simplificación.

150 a) 200 =

34

b) 320 = 500

400 e) 510 =

L

L

L

\ '--

\._

\__

\_

L

L

L

'--

L

\._

'-

\...

\_

\.

\.

'

\

'

\

\

' ' \

\

\

"\

\

\

\

6 Averi'tuar si una fracción es irreducible

La fracción irreducible de una fracción es la fracción equivalente a la fracción dada en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes excepto el l.

La fracción ! es irreducible porque:

Div (2) = {l, 2} Div (9) = {l, 9}

Como el numerador y el denominador no tienen divisores comunes excepto el 1,

la fracción ! es irreducible.

17. Averigua si las fracciones son o no irreducibles.

8 c) -

12

b) _2._ 90

d) l.!_ 80

15 f) 100

18. Completa el término que falta en cada fracción para que sea una fracción irreducib le y comprueba que hay más de una solución.

D a) -4

D c) -6

D e) -8

b) _5_

D d) __2__

D f) J_Q_

D

19. Piensa y escribe.

a) Tres fracciones irreducibles cuyo numerador es 6.

b) Tres fracciones irreducibles cuyo denominador es 10.

35

7 Calcular la fracción irreducible de una fracción

Para calcular la fracción irreducible de una fracción sigue estos pasos:

l.º Calcula el m.c.d. del numerador y del denominador.

2.0 Divide el numerador y el denominador de la fracción entre el m.c.d.

La fracción resultante es la fracción irreducible de la fracción dada.

Halla la fracción irreducible de ~!: l.º Calcula el m.c.d. factorizando el numerador y el denominador.

12 = 22 • 3 28 = 22 • 7

m.c.d .(12, 28) = 22 = 4

2.º Divide el numerador y el denominador de la fracción entre el m.c.d.

12 12: 4 3 28

= - --+ 7

Fracción irreducible 28: 4

20. Halla la fracción irreducible de cada fracción.

10 a) 24 =

b) 100 = 250

21. Calcula y contesta.

c) 15 = 40

d) 120 = 450

20 e) 45 =

230 f) 520 =

32 g) 54 =

h) 240 = 620

a) La fracción _2._ ¿puede ser la fracción irreducible de una fracción? Explica por qué. 27

b) La fracción --ª- ¿puede ser la fracción irreducible de una fracción? Explica por qué. 17

36

L

L

L

L

L·

L

\_

L

L

\.___

L-

'---·

L

L

L

' '-

\._

\...

\..

\.

\

\.

8

~

Reducir fracciones a común denominador

Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener fracciones equivalentes a las fracciones dadas que tengan el mismo denominador.

Para reducir fracciones a común denominador sigue estos pasos:

l.º Calcula el m.c .m. de los denominadores. Este valor es el denominador común de las fracciones buscadas.

2.0 Divide el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y el resultado multiplícalo por el numerador.

Rd . ' d . d 3 7 e uc1mos a comun enom1na or 4 y 10.

4 = 22 3 3 . 5 15

10 = 2·5 4 20 20

m.c.m. (4, 10) = 22 • 5 = 20 7 7 · 2 14

10 20 20

------ 22. Reduce a común denominador.

\

\

\

' \

\

\

\

' ' '\

' \

2 4 a) - y -

3 9

23. Reduce a común denominador.

1 3 4 a)¡-, 8 Y 10

5 3 c) - y -

6 8

b) 3 5 9 10' 12 Y 15

4 5 e) - y -

6 14

f) 9 8 15 y 20

37

9 Comparar fracciones

Para comparar dos o más fracciones debes tener en cuenta que:

• Si las fracciones tienen igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador.

• Si las fracciones tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.

• Si las fracciones tienen distinto numerador y denominador se reducen a común denominador y después, se comparan los numeradores.

24. Compara y escribe el signo correspond iente.

a)~ D _i_ 3 3

1 D 1 b) - -6 8

25. Compara las fracciones.

1 D 5 a) - -4 6

1 D 5 c) - -4 4

3 D 3 d) - -5 4

3 D 2 b) s 10

26. Ordena las fracciones de menor a mayor.

1 3 6 b) 4'15yl0

38

1 3 4 c) 5'5Yg

1 D 1 f) 10 g

4 D 6 g) - -7 7

9 D 9 h) 10 12

4 D 1 c) 6 15

2 5 6 e) 3'9yl5

3 7 8 o 14'12yl0

L

\.._ __

L

L

\_

L.

\_,

L

\.._

\..

\.

l...

\

' ' ' '

' \

'\

'\

27. Calcula una fracción que cumpla cada desigualdad.

a) 1__ < D < l._ e) l._ < D < 21 1 D s s o

b) 2. > 8

28. Resuelve .

D D

> 1 4

5 d) u > D

D 2 >-7

a) Para merendar, Juan y Andrea han pedido una pizza.

Juan se ha comido ! de pizza y Andrea, ~.

¿Quién ha comido más cantidad de pizza?

5 e) - <

9

8 f) - >

10

D D

D D

5 >

7

b) Pau la recibe todas las semanas la misma paga . La semana pasada se gastó ~ de la paga

y esta semana, ; . ¿En qué semana se gastó menos?

e) Pablo, Lucas y Marta salen juntos para hacer el mismo trayecto en bicicleta. Pablo para cuando

lleva recorrido ! del camino, Lucas cuando lleva recorrido 1~ y Marta cuando lleva ! .

¿Quién llevaba más camino recorrido cuando paró?

39

1 O Sumar y restar fracciones - --------------------------------

• Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

• Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

29. Calcula .

1 4 a)3 +3 =

5 3 b) --- =

8 8

3 2 c) -+- =

5 7

3 2 d) --- =

10 7

30. Resuelve estas operaciones.

3 2 e) -+-=

7 7

10 5 g) -+- =

6 4

5 2 h) --- =

12 9

j) l.Q_ - _2_ 13 13

2 1 8 a) 5+3+3=

2 1 1 d) -----=

3 8 12

3 7 2 g) -+---=

8 10 8

1 1 1 b) --- +- =

2 3 4

8 5 7 c) ---+- =

3 4 6

40

2 5 3 e) -+---=

5 6 10

f) l__~_l__ 2 3 8

i) 4 +2-5 4

7

10

\._

L

\._

L

L

L

L,

\._

L

\._

\..._

\..

\.

'"' Resolver operaciones de suma y resta '"' 11 de fracciones con paréntesis

\

Para calcular sumas y restas de fracciones con paréntesis sigue estos pasos:

l.º Ca lcu la las operaciones que hay entre paréntesis.

2.° Calcula las sumas y restas de izquierda a derecha.

31. Calcula .

a) l._ - (1- + 1-) 2 4 2

b) 2- - (~ _ l_) 6 5 3

3 1 1 2 c) --- - -+-

2 5 2 5

3 1 2 1 d) -------

2 4 9 10

32. Resuelve .

e) 2. - (~ - _i__) 5 3 10

f) l.!_ - (1- + 2-) 2 4 8

16 5 32 10

1 3 2 5 g) -+-+---

2 4 5 8

9

10 9 10

23 10

Pau la tenía una botella con ~ litros de leche. Primero llenó un vaso de ! de litro y después,

1 una taza de 8 de litro. ¿Qué cantidad de leche quedó en la botel la?

41

12 Multiplicar y dividir fracciones

• El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

• Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

L . dlf .,a lf .,b a inversa e a racc1on - es a racc1on -. b a

2 3 5 7

2·3 5.7

6 35

7 2 7 3 7.3 21 8

33. Multiplica.

2 3 a) s·s =

b) 1-.l,l_ = 7 5 4

34. Divide.

1 2 a) - : - =

7 9

35. Calcula.

3 1 a) - · - : 7 =

5 4

3 2 b) 9·- : - =

5 7

36. Resuelve.

-:-=-·-= 4 3 4 2

1 2 c) 7.5 =

3 5 1 d) 4'g'g =

3 5 c) - : - =

4 8

9 7 d) 10 : 12 =

2 3 c) - : - ·6 =

9 5

4 3 d) 8: -·- =

7 5

4·2

6 4 e) 9'7 =

f> I.2.2 = 5 4 8

1 3 e) 10: U=

f) l.Q_ :~= 17 14

a) En un partido de baloncesto se llenan 2 de los asientos. La mitad de los asientos 4

ocupados son de socios. ¿Qué fracción de los asientos está ocupada por socios?

b) En un club deportivo, : de los socios son mujeres y ! de las mujeres tiene menos de 20 años.

¿Qué fracción de mujeres menores de 20 años hay en el club?

42

L

\.._

\.._

L

\.._

\.__

\.._

\.._

L

L

\.__

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

\.__

L

L

L

L

L

\.__

L

\.._

L

L

L

L

\.__

L

L

L

-, 13 Resolver operaciones combinadas de fracciones

------

.----,

Para resolver operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de fracciones sigue estos pasos:

l.º Calcula las operaciones que hay entre paréntesis.

2.° Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen.

3.º Calcula las sumas y restas en el orden en el que aparecen.

37. Calcula.

~ l_. 2_ 2 = ~ ~ 2 = 24 + 25 + 120 = 169 5 + 3 4 + 5 + 12 + 60 60 60 60

1 3 1 2 a) 2+5 ·-¡+6 =

5 1 3 1 b) --- : - -- =

3 4 5 2

1 1 1 2 4 c) - + - - - . - + - =

2 3 6 5 3

2 1 1 1 2 d) - - - . - + - : - =

5 6 3 4 5

38. Calcula estas operaciones combinadas con paréntesis.

c) ( ~ . ! ) : ( ~ - ~ ) =

d) ( ~ + ~ ) : /1 · 3 : ~ =

f) 3 .1- - (1- + 1 - 1-) : 2 = 4 2 4

43

Resolver operaciones combinadas de fracciones 14 con paréntesis

Para resolver operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de fracciones con paréntesis sigue estos pasos:

l.º Ca lcula las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen .

3.º Calcu la las sumas y restas en el orden en el que aparecen.

39. Resuelve estas operaciones.

1 2 1 3 2 1 a) 2·3-5+-¡-5·3 =

7 1 1 3 1 1 1 b) - +-·- - -+- - -·-

5 2 4 5 8 3 2

c) ( ~ + ~ - ~ ) - ~ . ( ~ - ! ) =

40. Calcula.

a) ~ : ( ~ : ~) =

44

L

L

L

L

L -

L

\__

L

L ,

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L ~

L

L

L

L

L

L

L

L

--L.

L

L

L

L

L

L

L

L

--..

--.. ...-,

---..

----- 41. Halla el resultado de estas operaciones.

-----a) (: + 1~) : ~ = ---,

-- 8 9 2 -, b) --- , - =

5 5 3 --._

------. e) ! : ( ~ -! ) =

,-.._

---,.

d) --ª- + _z__ : ~ =

-----2 8 2

---e) [ ( ~ - ! ) . ! ] + ; -,

----' f) [( ~ - ! ) · 5 - 1~] · ! - : =

---g) 8 - ~ · 4 - ~ · ( ! - 1~) = ----.

---. h) 9 - [ ~ · 5 - ~ · ( ~ + ! ) ] = --,.

--..

--- i) ~ - [2:(1 - ~) - ~] = ---..

42. Calcula. --..

~ a) 4 + ~ : ( ~ + ~ ) - ! · ! =

---. --..

b) :1 . ( : - : ) : /1 + 3 . ~ = --..

~

e) 5 - ( ~ + ~ ) : ! + ; · ~ = --..

~

-, d) ( : + ~ ) : 121 . 3 : ~ =

------ e) 1: - ( ! - ~ ) . ! : : = --...

........ f) 5 · ~ · ( 37

- ~) + 7 = ' 9 47 8

45

15 Resolver problemas con fracciones

43. Pedro ha dedicado ~ de su tiempo libre a ver la televisión, ! a jugar y 152

a leer su libro favorito.

¿A qué actividad ha dedicado más tiempo?

44. En la clase de 2.º A han aprobado Matemáticas ! de los alumnos, y en la clase de 2.º B, ~ .

a) ¿En qué clase han aprobado menos alumnos?

b) Si hay 24 alumnos en cada clase, ¿cuántos alumnos han aprobado en cada grupo?

45. En un partido de ba loncesto, Pedro ha encestado la sexta parte de los puntos, Carlos la mitad y Juan el resto.

a) ¿Qué fracción de los puntos ha hecho Juan?

b) ¿Quién ha encestado más puntos?

46. Ana está pintando una pared . Si ya ha pintado la sexta parte, ¿qué fracción le queda por pintar?

46

L

L

L

L

L

\_

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

\_ '

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L ""'

L

L

\_

L

\..._

L

L

L

L

·---

47. En el pueblo de Rocío, las tres cuartas partes de las fincas están sembradas de trigo, un quinto de maíz y el resto no está sembrado.

a) ¿Qué fracción de las fincas están sembradas?

b) ¿Qué fracción de las fincas no lo están?

~ 48. En una excursión , Ana ha traído las ! partes de la comida y Alberto las ~ partes.

1

.--...

'

~ .

a) ¿Cuánta com ida han traído entre los dos?

b) ¿Cuánta comida han traído los demás?

e) Si se han comido las ! partes de la comida, ¿qué fracción sobra?

49. En una clase de 2.0 de ESO hay 25 alumnos: las ~ partes son chicos y el resto son chicas.

a) ¿Cuántas chicas hay?

b) ¿Qué fracción del total representan las chicas?

50. Pedro tiene 63 canicas. Los tres séptimos son verdes, los dos novenos rojas y el resto azu les. ¿Cuántas canicas tiene de cada color?

47

REPASA LO APRENDIDO

f) Calcula por simplificación dos fracciones equivalentes a cada fracción .

40 75 a) 90 e) 90

b) 120 d) 320 230 600

f) Calcula la fracción irreducible.

135 a) 240 =

b) 320 = 410

C) Resuelve estas operaciones con fracciones.

a) : - ( ~ - ~) =

b) 2_ - (---ª- + 1-) = 5 10 3

e) (2- + --ª-) . ~ = 12 8 3

d) (141 - 2) : ~ =

e) ! . (: : ; ) =

f) ~:(:·;) =

C, Calcula estas operaciones.

a) 12 - ( 25

- 2-)- _i__ · ~ = 6 6 18 4

b) ~ + (--ª- - ~) · 2_ - 6 · ~ = 16 6 8 5 8

7 17 7 2 e) 17 · 57 + 6 - 4 + 5 · 8 =

2 32 4 5 d) 32 . 4 . 2 + 45 . 7 =

1 2 2 3 e) - : -+---+4 =

3 5 5 12

f) 4 - (~ + 1-) · ~ - ..2_ = 7 5 3 24

48

500 e) 750 =