2. El Grupo Fundamental y El Teorema de Seifert-Van Kampen

7/23/2019 2. El Grupo Fundamental y El Teorema de Seifert-Van Kampen

1/19

Topologa

El grupo fundamental y el teorema de Seifert-van Kampen

C. Eugenio Echague; Gisela Tartaglia

Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

25 de julio de 2008

1


2/19

Topologa

Indice

1. Homotopa de caminos 3

2. El grupo fundamental 4

3. Espacios recubridores 6

4. El grupo fundamental del crculo 8

5. Retracciones 10

6. Retractos de deformacion y tipo de homotopa 10

7. El grupo fundamental de Sn 14

8. El grupo fundamental del toro 15

9. El teorema de Seifert-van Kampen 16

9.1. Productos libres de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.2. El teorema de Seifert-van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10.Apendice 19

Departamento de matematica - UNLP Hoja 2 de 19


3/19

Topologa

1. Homotopa de caminos

Definicion. Sif yf son aplicaciones continuas del espacio topologicoXen el espacio topoloficoY, decimos quef eshomotopica af si existe una aplicacion continuaF :X IY tal que

F(x, 0) =f(x) F(x, 1) =f

(x)para cadax X, dondeI= [0, 1]. La aplicacionFse conoce como homotopa entref yf. Si

f es homotopica af, escribimosf=f. Sif=f yf es una aplicacion constante, decimos quef es homotopicamente nula.

Si pensamos al parametro t como representante del tiempo, la homotopa F describe una de-formacion continua de la aplicacion fen la aplicacionf, cuando t se mueve de 0 a 1.

Consideremos ahora el caso en que f es un camino desde x0 a x1, es decir, f : [0, 1] Xes una aplicacion continua tal que f(0) = x0 y f(1) = x1. Decimos tambien que x0 es el puntoinicial y quex1 es el punto final del camino f. Ahora bien, definimos una relacion mas fuerte que lahomotopa, en el caso de caminos. Por convencion llamaremosI= [0, 1] a lo largo de todo el trabajo,

y llamaremos los espacios topologicos X, Y, Z simplemente espacio X, Y y Zrespectivamente.

Definicion. Dos caminosf yf, que aplican el intervalo I enX, se dice que sonhomotopicos porcaminos si tienen el mismo punto inicial x0 y el mismo punto final x1 y si existe una aplicacioncontinuaF :I IX tal que

F(s, 0) =f(s) F(s, 1) =f(s)F(0, t) =x0 F(1, t) =x1

para cadas I. La aplicacionF recibe el nombre de homotopa de caminos entref yf. Sifes homotopico por caminos af escribimosf=p f

.

Observacion. Las relaciones =y =p son de equivalencia.

Observacion. Sea A un subespacio convexo de Rn, es decir, dados dos puntos a y b de A, elsegmento de recta que los une esta en A. Entonces, dos caminos cualesquieraf , g en A de x0 a x1son homotopicos por caminos en A, ya que la funcion F :I IA dada por

F(x, t) = (1 t)f(x) + tg(x)

es una homotopa de caminos entref y g. A esta funcion Fse la conoce como homotopa porrectas.

Definicion. Sif es una camino en X de x0 a x1 y g un camino enX dex1 ax2, definimos elproducto f g def yg como el camino h dado por las ecuaciones

h(s) =f(2s) s 0, 12

g(2s 1) s12 , 1

La aplicacion h esta definida y es continua, por el lema del pegamiento; es un camino de x0 a

x2. Pensemos en h como el camino cuya primera mitad es el camino fy cuya segunda mitad es elcamino g .

La operacion producto de caminos induce una operacion bien definida sobre las clases de ho-motopa de caminos, dada por la ecuacion



4/19

Topologa

[f] [g] = [f g]

Para comprobar esta afirmacion, basta ver que si f=pf yg =p g

entoncesf g=pf g. Sea

F homotopa de caminos entre f y f y sea G una homotopa de caminos entre g y g . Definimos

H(s, t) =F(2s, t) s 0, 12

G(2s 1, t) s12 , 1

En efecto, esta bien definida, es continua por el lema del pegamiento y es la homotopa requerida.

La operacion sobre las clases de homotopa satisface propiedades de grupoide. Una diferenciarespecto de las propiedades de grupo es que [f] [g] no esta definida para cualquier par de clases,sino unicamente para aquellos pares [f], [g] para los que f(1) =g(0).

Lema. La operacion tiene las siguientes propiedades

1. Asociatividad. Si [f] ([g] [h]) esta definida, entonces tambien lo esta ([f] [g]) [h] y soniguales

2. Neutro a izquierda y a derecha. Dado x X, denotemos por exel camino constante ex: IXque lleva todo Ial punto x. Si fes un camino en X desde x0 hastax1, entonces

[f] [ex1 ] = [f] y [ex0 ] [f] = [f]

3. Inverso. Dado el caminofenXdesdex0hastax1, seafel camino definido porf(s) =f(1s),que se conoce como inverso de f. Entonces

[f] [f] = [ex0 ] y [f] [f] = [ex1 ]

2. El grupo fundamental

El conjunto de clases de homotopa de caminos en un espacioXno es un grupo con la operacionporque el producto de dos clases de equivalencia no esta siempre definido. Si tomamos un puntox0 de Xcomo punto base y nos restringimos a aquellos caminos que comienzan y terminan en x0,el conjunto de sus clases de homotopa si es un grupo con la operacion . Este sera denominadogrupo fundamental de X.

Definicion. SeaXes un espacio topologico yx0 un punto deX. Un camino enX que comienza

y termina en x0 se llama lazo basado en x0. El conjunto de las clases de homotopa de caminosasociadas a lazos basados enx0, con la operacion se denomina grupo fundamental deX relativoal punto base x0. Se denota por1(X, x0).

Definicion. Sea un camino enX dex0 ax1. Definimos la aplicacion

: 1(X, x0) 1(X, x1)por la ecuacion



5/19

Topologa

([f]) = [] [f] []Esta aplicacion esta bien definida, porque la operacionesta bien definida.

Teorema 1. La aplicacion es un isomorfismo de grupos.Demostracion. Veamos que es un morfismo de grupos

([f]) ([g]) = ([] [f] []) ([] [g] [])= [] [f] [g] []=([f] [g]).

Veamos que es inversible. Si denota el camino , que es el inverso de , entonces es elinverso para

. En efecto

([h]) = [] [h] [] = [] [h] [],(([h])) = [] ([] [h] []) [] = [h]

De manera similar se muestra que(([f])) = [f] para todo [f] 1(X, x0).

Corolario. Si Xes arco-conexo y x0 y x1 son dos puntos de X, entonces1(X, x0) es isomorfo a1(X, x1).

SeaXes un espacio topologico. SeaCuna componente arco-conexa de Xque contiene a x0. Esfacil ver que 1(C, x0) =1(X, x0), ya que todos los lazos y homotopas enXque estan basados enx0 deben permanecer en el subespacio C. De este modo, 1(X, x0) depende solo de la componentepor caminos de X conteniendo a x0, y no nos ofrece ninguna otra informacion el resto de X.Por esta razon, es muy usual trabajar solo con espacios arco-conexos cuando se estudia el grupofundamental.

Definicion. Un espacio X se dice simplemente conexo si es arco-conexo y 1(X, x0) es el grupotrivial para algunx0 X, y por tanto, para todo x0 X.

Observacion. En un espacio simplemente conexo, dos caminos cualesquiera con los mismos puntos

inicial y final son homotopicos por caminos.

Supongamos que h : X Y es una aplicacion continua que lleva el punto x0 X al puntoy0 Y. Frecuentemente denotamos esta propiedad escribiendo

h: (X, x0) (Y, y0)

Si fes un lazo basado en x0, entonces la composicion h f :IYes un lazo en Y basado eny0. La correspondencia f h fnos conduce a una aplicacion que lleva 1(X, x0) a1(Y, y0).



6/19

Topologa

Definicion. Seah: (X, x0) (Y, y0) una aplicacion continua. Definimos

h: 1(X, x0) 1(Y, y0)

por la ecuacion

h([f]) = [h f].

La aplicacionh se denominamorfismo inducido por h, relativo al punto basex0.

La aplicacionh es una aplicacion bien definida ya que si Fes una homotopa de caminos entref y f, entonces h F es una homotopa de caminos entre entre h f y h f. El hecho de que hsea un morfismo se deduce de la ecuacion

(h f) (h g) =h (f g).

El morfismo h no solo depende de la aplicacion h sino tambien del punto base x0. En el casoen que usemos distintos puntos bases lo haremos notar escribiendo ( hxi) i= 1, 2,...,n.

Proposicion. Si h : (X, x0) (Y, y0) y k : (Y, y0) (Z, z0) son continuas, entonces (k h) =k h. Si i : (X, x0) (X, x0) es la aplicacion identidad, entonces i es el morfismo identidad

Demostracion.

(k h)([f]) =k(h([f])) =k([k f]) = [k (h f)] = [(k h) f] = (k h)([f])

Para probar la otra parte de la tesis, solo es necesario notar que

i([f]) = [i f] = [f]

Corolario. Si h : (X, x0) (Y, y0) es un homeomorfismo entre X e Y, entonces h es un isomor-fismo entre 1(X, x0) y 1(Y, y0).

Demostracion. Seak: (Y, y0) (X, x0) la inversa deh. Entonceskh= (kh) = i, dondei es laaplicacion identidad de (X, x0) y hk= (hk)= j, dondej es la aplicacion identidad en (Y, y0).Dado que i y j son los morfismos identidad de los grupos 1(X, x0) y 1(Y, y0) respectivamente,k es la inversa de h.

3. Espacios recubridores

Definicion. Sea p : E B una aplicacion continua y suryectiva. Un conjunto abierto U de Bse dice que esta regularmente cubierto porp si la preimagenp1(U) puede escribirse como uniondisjunta de conjuntos abiertos V de E tales que, para cada la restriccion de p a V es unhomeomorfismo entre V y U. La coleccion {V} sera denominada una particion de p

1(U) enrebanadas



7/19

Topologa

Definicion. Seap : EB una aplicacion continua y suryectiva. Si todo punto deb deB tiene unentornoUque esta regularmente cubierto porp, entoncesp es dice que es unaaplicacion recubridora

yE es un espacio recubridor deB.

Observacion. Sip : E B es una aplicacion recubridora entonces, para cada b B el subespacio

p1(b) de E tiene la topologa discreta. En efecto, cada revanadaV es abierta en E e interseccaal conjunto p1(b) en un solo punto, por tanto, este punto es abierto en p1(b).

Observacion. Si p : E B es una aplicacion recubridora entonces p es abierta. Efectivamente,supongamos que A es un conjunto abierto de E. Dado x p(A), elejimos un entorno U de x queeste regularmente cubierto por p. Sea V una particion en rebanadas de p

1(U). Entonces, existeun puntoy A tal quep(y) =x, seaVla rebanada que contiene a y. El conjuntoV Aes abiertoen Ey por tanto, es un abierto en V, como p aplica homeomorficamente a V en U, el conjunto

p(VA) es abierto en U, y por tanto, abierto en B; es un entorno de x contenido en p(A) comodeseabamos.

Teorema 2. La aplicacion p : R S1 dada por la ecuacion

p(x) = (cos(2x), sin(2x))

es una aplicacion recubridora.

Observacion. Podemos represeantarp como una aplicacion que enrolla la recta real Ralrededordel crculo S1 y, en el proceso, aplica cada intervalo [n, n + 1] sobre S1.

Demostracion. Condideremos, por ejemplo, el subconjunto U seS1consistenete de aquellos puntosque tienen la primera coordenada positiva. El conjunto p1(U) consiste en aquellos puntos x paralos que cos(2x) es positivo, es decir, es la union sobre los n Zde los intervalos

Vn= (n 1

4, n +

1

4),

Ahora bien, la aplicacion p, restringida a cualquier intervalo cerrado Vn, es inyectiva porquesin(2x) es estrictamente monotona en tales intervalos. Ademas p lleva Vn suryectivamente sobreU yVn sobreU, por el teorema de los valores intermedios. Dado que Vn es compacto y p|Vn es unhomeomorfismo entre Vn y U. En particular, p|Vn es un homeomorfismo entre Vn y U.

Podemos aplicar un razonamiento similar a las intersecciones deS1 con los semiplanos abiertossuperior e inferior, y con el semiplano abierto izquierdo. Estos conjuntos abiertos recubren S1 y cadauno de ellos esta regularmente cubierto por p. Por tanto,p : R S1 es una aplicacion recubridora.

Observacion-Definicion. Si p : E B es una aplicacion recubridora, entonces p es un home-

omorfismo local entre E y B. Es decir, cada punto e E tiene un entorno que se aplica por phomeomorficamente sobre un subconjunto abierto de B. Sin embargo, la condicion de que p seaun homeomorfismo local no es suficiente para asegurar que p sea una aplicacion recubridora, comomuestran algunos ejemplos

Teorema 3. Si p : E B y p :E B son aplicaciones recubridoras, entonces

p p :E E B B

es una aplicacion recubridora.



8/19

Topologa

Demostracion. Sea (b, b) B B. Entonces existenUyU entornos debyb, respectivamente, queestan regularmente cubiertos por p y p, respectivamente. Sean V y V

particiones en rebanadas

de p1(U) y (p)1(U), respectivamente. Entonces la pre-imagen mediante pp del entorno deU U(que es un entorno de (b, b)) es la union de todos los conjuntos de V V

. Estos conjuntos

son abiertos disjuntos en E E, y cada uno de ellos se aplica homeomorficamente sobre U U

por p p.

Una aplicacion directa de este teorema nos permite encontrar un espacio recubridor del toroS1S1. Ya hemos presentado una aplicacion recubridora mediante la cual R es un espacio recubridordeS1. Luego, el producto de esta aplicacion consigo misma sera una aplicacion recubridora mediantela cual R2 es un espacio recubridor del toro.

4. El grupo fundamental del crculo

Definicion. Seap : E B una aplicacion. Si f es una aplicacion continua de algun espacio X

enB, un levantamiento def es una aplicacionf :XE tal quep f=f.E

p

X

f

fB

La existencia de levantamientos cuando p es una aplicacion recubridora es una herramientaimportante en el estudio de los espacios recubridores y el grupo fundamental.

Lema. Sea p : EB una aplicacion recubridora con p(e0) =b0. Cualquier camino f : [0, 1] Bcomenzando enb0 tiene un unico levantamiento a un caminof enEque comienza en e0.Lema. Sea p : E B una aplicacion recubridora con p(e0) = b0. Sea F : II B unaaplicacion continua conF(0, 0) =b0. Existe un unico levantamiento deFa una aplicacion continuaF :I IEtal queF(0, 0) =e0. SiFes una homotopa de caminos, entoncesFtambien es unahomotopa de caminos.

Teorema 4. Sea p : E B una aplicacion recubridora con p(e0) = b0. Sean f y g dos caminosen B de b0 en b1, y seanf yg sus respectivos levantamientos a caminos en Ecomenzando en e0.Si f y g son homotopicos por caminos, entoncesf yg terminan en el mismo punto de E y sonhomotopicos por caminos.

Demostracion. Sea F : II B la homotopa de caminos entre f y g. Entonces F(0, 0) = b0.SeaF :I IEel levantamiento de F aEtal queF(0, 0) =e0. Por el Lema anterior ,Fes unahomotopa de caminos, de manera queF(0 I) ={e0}yF(1 I) es un conjunto unipuntual{e1}.

La restriccionF|I 0 deFal lado inferior de I Ies un camino en Ecomenzando en e0 y quees un levantamiento de F|I 0. Por la unicidad de los levantamientos de caminos, debemos tenerqueF(s, 0) =f(s). Analogamente,F|I 1 es un camino en Eque es un levantamiento de F|I 1y comienza ene0 porqueF(0 I) =e0. Por la unicidad de los levantamientos ,F(s, 1) =g(s). Porlo tanto ,f yg terminan en e1 yF es una homotopa de caminos entre ellos.



9/19

Topologa

Definicion. Sea p : E B una aplicacion recubridora y b0 B. Elijamos e0 de forma quep(e0) =b0. Dado un elemento [f] de1(B, b0), seafel levantamiento def a un camino enE quecomience ene0. Denotemos por([f]) el punto finalf(1) def. Entonces es una aplicacion biendefinida

: 1(B, b0) p1(b0).

Denominamos a correspondencia del levantamiento derivada de la aplicacion recubridora p.Claramente depende de la eleccion del punto e0.

Teorema 5. Sea p : E B una aplicacion recubridora con p(e0) = b0. Si E es arcoconexo,entonces la correspondencia del levantamiento

: 1(B, b0) p1(b0)

es suryectiva. Si Ees simplemente conexo, entonces es biyectiva.

Demostracion. Si Ees arcoconexo entonces, dado e1 p1(b0), existe un caminof en E de e0 a

e1. De modo que f=p fes un lazo en B con base b0 y ([f]) =e1, por definicion.Supongamos ahora que E es simplemente conexo. Sean [f] y [g] dos elementos de 1(B, b0)

tales que ([f]) = ([g]). Seanf yg los levantamientos de f y g, respectivamente, a caminos enEcomenzando ene0; entoncesf(1) =g(1). ComoEes simplemente conexo, existe una homotopade caminosF en E entref yg. Entonces p F es una homotopa de caminos enB entre f y g, yas [f] = [g].

Teorema 6. El grupo fundamental de S1 es isomorfo al grupo aditivo de los enteros.

Demostracion. Seap : R S1 la aplicacion recubridora del Teorema (ver), pongamos e0= 0 y seab0= p(e0). Entonces el conjuntop

1(b0) es el conjunto Z de los enteros. Dado que R es simplementeconexo, la correspondencia del levantamiento

: 1(S1, b0) Z

es biyectiva. Probemos que es un morfismo y el Teorema quedara demostrado.

Dados [f] y [g] en1(S1, b0) , seanf yg sus respectivos levantamientos a caminos en Rcomen-

zando en 0. Sean n =f(1) y m=g(1), entonces ([f]) =n y ([g]) =m, por definicion. Seag elcamino

g(s) =n +g(s)en R. Como p(n+ x) = p(x), para todo x en R, el caminog es un levantamiento de g que

comienza enn. Entonces el productofg esta definido y es el levantamiento de f g que comienzaen 0. El punto final de este camino esg(1) =n + m. Entonces,

([f] [g]) =n + m= ([f]) + ([g]).



10/19

Topologa

5. Retracciones

Probaremos ahora algunos resultados que se deducen del conocimiento del grupo fundamentalde S1.

Definicion. Si A X, una retraccion de X en A es un aplicacion continua r : X A tal quer|A es la aplicacion identidad deA. Si existe dicha aplicacionr, decimos queA es un retracto deX.

Lema. Si A es un retracto de X, entonces el morfismo de grupos fundamentales inducido por lainclusionj : A Xes inyectivo.

Demostracion. Si r : X A es una retraccion, entonces la aplicacion compuesta r j es igual ala aplicacion identidad de A. Se sigue que rj es la aplicacion identidad de 1(A, a), de maneraquej debe ser inyectiva.

Teorema 7. (Teorema de la no-retraccion) No existe una retraccion de B2 enS1.

Demostracion. Si S1 fuera un retracto de B2, entonces el morfismo inducido por la inclusionj: S1 B2 sera inyectivo. Pero el grupo fundamental deS1 es no trivial, y el grupo fundamentalde B2 es trivial (por ser el espacio simplemente conexo).

6. Retractos de deformacion y tipo de homotopa

Veremos ahora un metodo que nos permite reducir el problema de calcular el grupo fundamentalde un espacio al problema de calcular el grupo fundamental de algun otro espacio, preferiblemente,uno que sea mas familiar.

Lema. Sean h, k : (X, x0) (Y, y0) dos aplicaciones continuas. Si h y k son homotopicas y si laimagen del punto basex0de Xpermanece fija eny0 durante la homotopa , entonces los morfismosh y k coinciden.

Demostracion. Por hipotesis, existe una homotopaH :XIY entrehyktal queH(x0, t) =y0,para todo t. Por lo tanto, si fes un lazo en Xbasado enx0, la composicion

I I fid

X I HY

es una homotopa entre h f y k f; es una homotopa de caminos porque fes un lazo en x0y H aplicax0 I eny0.

Teorema 8. La aplicacion inclusion j : Sn Rn+1 0 induce un isomorfismo de grupos funda-mentales.

Demostracion. Sea X= Rn+1 0 y b0 = (1, 0,..., 0). Sea r: XSn la aplicacion r(x) =x/ x.

Entoncesr j es la aplicacion identidad de Sn, de manera que rj es el morfismo identidad de1(S

n, b0).Consideremos ahora la composicion j r, la cual aplica Xen s mismo;

X rSn

jX.



11/19

Topologa

Esta aplicacion no es la identidad deX, pero es homotopica a la aplicacion identidad. En efecto,la homotopa por rectas H :X IX, dada por

H(x, t) = (1 t)x + tx/ x,

es una homotopa entre la aplicacion identidad deXy la aplicacionj r. El puntob0permanecefijo durante la homotopa ya que b0 = 1. Se sigue por el Lema precedente que el morfismo(j r)= j r es el morfismo identidad de 1(X, b0).

Que hace que la demostracion anterior funcione? Hablando a grandes rasgos, su realizacion esposible porque disponemos de una manera natural de deformar la aplicacion identidad de Rn+1 0a una aplicacion que colapsa todo Rn+1 0 sobre Sn. La deformacion H colapsa gradualmentecada recta radial que parte del origen al punto donde se corta con Sn; cada punto deSn permanecefijo durante esta deformacion.

Estos comentarios nos conducen a formular una situacion mas general en la cual se aplica el

mismo procedimiento.

Definicion. Sea A un subespacio de X. Decimos que A es un retracto de deformacion de X sila aplicacion identidad deX es homotopica a un aplicacion que lleva todo X enA y tal que cadapunto deA permanece fijo durante la homotopa. Esto significa que existe una aplicacion continuaH : XI X tal que H(x, 0) = x y H(x, 1) A, para todo x X, y H(a, t) = a, para todoa A. La homotopa H se llamaretracto de deformacion de X en A. La aplicacion r : X Adefinida porr(x) =H(x, 1) es una retraccion deX enA yHes una homotopa entre la aplicacionidentidad deXy la aplicacionj r, dondej : A X es la inclusion.

Teorema 9. Sea A un retracto de deformacion de X y x0 A. Entonces la aplicacion inclusion

j : (A, x0) (X, x0) induce un isomorfismo de grupos fundamentales.

Demostracion. Como A es retracto de deformacion de X, existe H :X IX tal que

H(x, 0) =x,H(x, 1) =r(x) A,H(a, t) =a a A.

Sea j : (A, a) (X, a) la aplicacion inclusion de A enX, luego tenemos la siguiente situacion:

A jX

rA

Como r es una retraccion de X en A, tenemos que r j=idA; y por lo tanto rj = (idA).

Esto nos dice quej es monomorfismo.Por otro lado, j r : (X, a) (A, a) es homotopica a la aplicacion identidad en X. En efecto,

H(x, t) es la homotopa requerida pues (j r)(x) =r(x). Ademas el puntoa permanece fijo durantela homotopa, luego por el lema anterior,j r= (idX), con lo cual j es epimorfismo.

Ejemplo. Llamemos B al eje z de R3 y consideremos el espacio R3 B . Este tiene, como unretracto de deformacion, al plano xy agujereado (R2 0) 0. La aplicacion H definida por laecuacion



12/19

Topologa

H(x,y ,z ,t) = (x,y, (1 t)z)

es un retracto de deformacion;este colapsa gradualmente cadsa recta paralela al eje z en el puntodonde la recta interseca al plano xy. Concluimos que el espacio R3 B tiene grupo fundamentalcclico infinito.

Definicion. Sean f : X Y y g : Y X dos aplicaciones continuas. Supongamos que laaplicacion g f : X X es homotopica a la aplicaci on identidad de X y que la aplicaci onfg : Y Y es homotopica a la aplicacion identidad de Y. Entonces las aplicaciones f y g sedenominan equivalencias homotopicas y cada una de ellas se dice que es una inversa homotopicade la otra.

Observemos que si A es un retracto de deformacion de X, entonces A tiene el mismo tipo dehomotopa que X. Efectivamente, sea j : A X la aplicacion inclusion y sea r : X A laaplicacion retraccion. Entonces la composicion r j es igual a la aplicacion identidad de A y lacomposicion j r es, por hipotesis, homotopica a la aplicacion identidad de X (y de hecho cada

punto de A permanece fijo durante la homotopa).

Vamos a demostrar ahora que si dos espacios tienen el mismo tipo de homotopa, entonces susgrupos fundamentales son isomorfos. Con esta finalidad, necesitamos estudiar que sucede cuandotenemos una homotopa entre dos aplicaciones continuas de X en Y tales que el punto base de Xno permanece fijo durante la homotopa.

Lema. Sean h, k : X Ydos aplicaciones continuas con h(x0) = y0 y k(x0) =y1. Si h y k sonhomotopicas, entonces existe un camino en Y de y0 a y1 tal que k = h. Ciertamente, siH :X IY es la homotopa entre h y k , entonces es el camino (t) =H(x0, t).

1(X, x0) h

k

1(Y, y0)

1(Y, y1)

Demostracion. Seaf :IXun lazo en Xbasado enx0. Debemos probar que

k([f]) =(h([f])).Esta ecuacion afirma que [k f] = [] [h f] [], o equivalentemente , que

[] [k f] = [h f] [].

Comprobemos esta ultima ecuacion.Para empezar, consideremos los lazosf0 y f1 en el espacio X Idados por las ecuaciones

f0(s) = (f(s), 0) y f1(s) = (f(s), 1).

Consideremos tambien el camino c en X Idado por la ecuacion

c(t) = (x0, t).

EntoncesH f0= h f y H f1 = k f, mientras que H c= .SeaF :I IX Ila aplicacionF(s, t) = (f(s), t). Consideremos los siguientes caminos en

I I, los cuales se mueven a lo largo de los cuatro lados de I I:



13/19

Topologa

0(s) = (s, 0) y 1(s) = (s, 1)0(t) = (0, t) y 1(t) = (1, t).

EntoncesF 0= f0 y F 1= f1, mientras que F 0= F 1= c.

Los caminos rectos a trozos0 1 y 0 1 son caminos en I Ide (0, 0) a (1, 1); como I I

es convexo, existe una homotopa de caminos G entre ellos. Entonces F G es una homotopa decaminos enX I entre f0 c y c f1. YH (F G) es una homotopa de caminos enY entre

(H f0) (H c) = (h f) (H c) (H f1) = (k f),

como queramos probar.

Corolario. Sean h, k : X Y aplicaciones continuas homotopicas satisfaciendo h(x0) = y0 yk(x0) =y1. Si h es inyectiva, suryectiva o trivial, entonces tambien lo esk.

Corolario. Sea h : X Y una aplicacion. Si h es homotopicamente nula, entonces h es elmorfismo trivial.

Demostracion. La aplicacion constante induce el morfismo trivial. Luego, si tomamos en el Lemaanterior ak como la aplicacion constante homotopica ah, podemos concluir que h es el morfismotrivial, ya que k= h ( y es isomorfismo). Teorema 10. Sea f : X Y continua con f(x0) = y0. Si f es una equivalencia homotopicaentonces

f: 1(X, x0) 1(Y, y0)

es un isomorfismo.

Demostracion. Sea g : Y X una inversa homotopica paraf. Consideremos las aplicaciones

(X, x0) f(Y, y0)

g(X, x1)

f(Y, y1),

donde x1= g(y0) e y1 = f(x1). Tenemos los correspondientes morfismos inducidos:

1(X, x0)(fx0)1(Y, y0)

g

1(X, x1) (fx1)1(Y, y1)Ahora bien,

g f : (X, x0) (X, x1)

es, por hipotesis, homotopica a la aplicacion identidad, de manera que existe un camino enX tal que

(g f)= (iX) =.Departamento de matematica - UNLP Hoja 13 de 19


14/19

Topologa

Se sigue que (g f)= g (fx0) es un isomorfismo.

Analogamente, dado quef g es homotopica a la aplicacion identidad iY, el morfismo(f g)= (fx1) g es un isomorfismo.

Lo primero implica que g es suryectiva, y lo segundo que g es inyectiva. Por lo tanto, g es unisomorfismo. Aplicando la primera ecuacion una vez mas, concluimos que

(fx0)= (g)1 ,

de forma que (fx0) es tambien un isomorfismo.

Observemos que, aunque g es una inversa homotopica para f, el morfismo g no es un inversopara el morfismo (fx0).

7. El grupo fundamental de Sn

Teorema 11. Supongamos queX=UV, dondeUyVson conjuntos abiertos de X. Supongamosque U V es arco-conexo y que x0 U V. Sean i y j las aplicaciones inclusion de U y V,respectivamente, enX. Entonces las imagenes de los morfismo inducidos

i : 1(U, x0) 1(X, x0) j: 1(V, x0) (X, x0)

generan1(X, x0)

Demostracion. Este teorema establece que, dado un lazof enXbasado en x0, este es homotopicopor caminos a un producto de la forma (g1 (g2 (... gn))), donde cada gi es un lazo en X basadoenx0 enteramente contenido en U o enV .

Paso 1. Probemos que existe una subdivision a0 < a1 < ... < an, del intervalo [0, 1] tal quef(a1) U V y f([ai1, ai]) esta contenido en U oV , para cada i.

Para comenzar, elijamos una subdivision b0, b1,...,bm de [0, 1] tal que, para cada i, el conjuntof([bi1, bi]) este contenido en Uo en V(utilizando el lema del numero de Lebesgue). Si f(bi) UV,para cadai habremos terminado. Si no es as, seai un subndice tal que f(bi /U V. Cada uno delos conjuntos f([bi1, bi]) y f([bi, bi+1]) esta contenido en U o en V. Si f(bi) U, entonces ambosconjuntos deben estar en U; si f(bi) V, ambos conjuntos deben estar en V. En cualquier caso,podemos suprimir bi obteniendo una subdivision c0,...,cm+1 que sigue satisfaciendo la condicionde que f([ci1, ci]) este contenido en U o en V, para cada i. Un numero finito de repeticiones nospermite conseguir la subdivision deseada.

Paso 2Dado f, sea a0,...,an la subdivision antes construda. Definamos fi como el camino en

Xigual a la aplicacion lineal de [0, 1] en [ai1, ai] compuesta con f. Entoncesfi es un camino queesta contenido enU o enV , y por un teorema anterior

[f] = [f1] [f2] ... [fn].

Para cada i elegimos un camino i en UV de x0 a f(ai). Dado que f(a0) = f(an) = x0,podemos escoger que 0 y n sean ambos el camino constante x0. Ponemos ahora

gi= (i1 fi) i



15/19

Topologa

para cada i. Entonces gi es un lazo en Xbasado en x0 cuya imagen esta contenida en U o enV. Es claro que

[g1] [g2] ...[gn] = [f1] [f2] ...[fn] = [f]

Corolario. Supongamos que X=U V, dondeU yV son conjuntos abiertos deXtal que U Ves arco-conexo y no vaco. Si U y V son simplemente conexos X es simplemente conexo.

Teorema 12. Si n 2, la n-esferaSn es simplemente conexa.

Demostracion. Sea p = (0, 0, ..., 1) Rn+1 y q = (0, 0, ..., 1) el polo norte y el polo sur de Sn,respectivamente.

Paso 1 Veamos que Sn {p} es homeomorfa a Rn.Definimos f :Sn {p} Rn por la ecuacion

f(x) =f(x1,...,xn+1) = 11 xn+1

(x1,...,xn)

La aplicacion f se denomina proyeccion estereografica. Se comprueba que f es un homeomor-fismo viendo que la aplicacion g : Rn (Sn {p}) dada por

g(y) =g(y1,...,yn) = (t(y)y1,...,t(y)yn, 1 t(y)),

donde t(y) = 21+y , es la inversa de f.

Observar que la reflexion (x1, x2,...,xn+1) (x1, x2,..., xn+1) es un homeomorfismo entreSn {p} y Sn {q}, de manera tal que este espacio tambien es homeomorfo a Rn.

Paso 2Probemos el teorema. Sean U yV los conjuntos abiertos U=Sn {p}y V =Sn {q}

de Sn.Observemos primero que, para n 1, la esfera Sn es conexa por caminos. Esto de deduce del

hecho de que U y V son conexos por caminos por ser homeomorfos a Rn y tienen en comun elpunto (1, 0, ..., 0) de Sn.

Probemos ahora que para n 2, la esfera Sn es simplemente conexa. Los espacios U y Vson simplemente conexos al ser homeomorfos a Rn. Su intereseccion es igual Sn {p, q} que eshomeomorfo a Rn {0}. Este ultimos espacio es conexo por caminos ya que todo punto de Rn {0}puede unirse con un punto de Sn1 por un segmento de recta y Sn1 es conexo por caminos.

Entonces, se aplica el lema anterior.

8. El grupo fundamental del toro

Teorema 13. 1(X Y, (x0, y0)) es isomorfo a 1(X, x0) 1(Y, y0)

Demostracion. Sean p : X Y X y q : X Y Y las aplicaciones proyeccion. Si utilizamoslos puntos base indicados en el enunciado del teorema, tenemos los morfismos inducidos

p: 1(X Y, (x0, y0)) 1(X, x0),



16/19

Topologa

q: 1(X Y, (x0, y0)) 1(Y, y0).

Definimos un morfismo

: 1(X Y, (x0, y0)) 1(X, x0) 1(Y, y0)por la ecuacion

([f]) = (p([f]), q([f])) = ([p f], [q f]).

Veamos que es un isomorfismo. Es claro que es un morfismo de grupos.La aplicacion es suryectiva. Seag un lazo en Xbasado en x0 yh un lazo enY basado eny0.

Definimos f :IX Y por la ecuacion

f(s) = (g(s), h(s))

entoncesfes un lazo en X Ybasado en (x0, y0) y

([f]) = ([p f], [q f]) = ([g], [h])

como deseabamos.El nucleo de es trivial. Supongamos que fes un lazo en X Y basado en (x0, y0) tal que

([f]) = ([p f, q f]) es el elemento neutro. Esto significa que p f=p ex0 y q f=pey0 ; seanG

yH las respectivas homotopas de caminos. Entonces la aplicacionF :I IX Ydefinida por

F(s, t) = (G(s, t), H(s, t))

es una homotopa de caminos entre fy el lazo constante e(x0,y0)

Corolario. El grupo fundamental del toro T =S1 S1 es isomorfo al grupo Z Z.

9. El teorema de Seifert-van Kampen

9.1. Productos libres de grupos

Sea G un grupo. Si {G}J es una familia de subgrupos de G, diremos que estos gruposgeneran G si todo elemento de G puede escribirse como un producto finito de elementos de losgrupos G. Esto significa que existe una sucesion finita (x1,...,xn) de elementos de los grupos Gtal quex = x1...xn. Tal sucesion de denomina palabra(de longitud n) en los grupos G; se dice que

representael elemento x de G.Si xi y xi+1 pertenecen al mismo grupo G podemos agruparlos para obtener la palabra

(x1,...,xixi+1,...,xn)

de longitud n 1 y que tambien representa a x. Ademas, si cualquiera de los xi es igual a1, entonces podemos suprimir xi de la sucesion, obteniendo de nuevo una pa-labra mas corta quetambien representa a x.

Aplicando estas operaciones de reduccion repetidamente, podemos obtener en general una pa-labra representando a x de la forma (y1,...,ym) donde no existe ningun grupo G que contenga a



17/19

Topologa

dos elementos consecutivos yi e yi+1, y donde yi = 1 para todo ndice i. Tal palabra se denominapalabra reducida. Utilizaremos el convenio de que el conjunto vaco es una palabra reducida (delongitud cero) que representa al elemento neutro de G.

Definicion. SeaG un grupo, sea{G}Juna familia de subgrupos que generanG. Supongamos

queGGesta formado solo por el elemento neutro cuando =. Diremos queG es el productolibre de los gruposG si para cadax G existe una unica palabra reducida en los gruposG querepresenta ax. En este caso escribiremos

G=

JG

o, en el caso finito, G= G1 ... Gn.

Lema. Sea G un grupo y {G} una familia de subgrupos de G. Si G es el producto libre de losgrupos G, entonces G satisface la siguiente condicion:

Dado cualquier grupo H y cualquier familia de morfismos h : G H, existe un morfismoh: G Hcuya restriccion a G coincide con h para cada .

Ademas h es unico.

9.2. El teorema de Seifert-van Kampen

Retomamos ahora el problema de determinar el grupo fundamental de un espacioXque puedeescribirse como la union de dos subconjuntos abiertos U y V que tienen interseccion arco conexa.Ya hemos probado que si x0 UV, las imagenes de los grupos 1(U, x0) y 1(V, x0), bajo losmorfismos inducidos por la inclusion, generan el ultimo grupo. En esta seccion probaremos que1(X, x0) esta de hecho, completamente determinado por estos dos subgrupos inducidos por lainclusion. Este es un resultado basico acerca de grupos fundamentales.

Teorema 14. (Teorema de Seifert-van Kampen) Sea X=U V, dondeU yVson abiertos en X;supongamos queU, V, y U Vson arco conexos; sea x0 U V. Sea Hun grupo y sean

1: 1(U, x0) H y 2: 1(V, x0) H

morfismos. Seani1,i2,j1,j2los morfismos indicados en el siguiente diagrama, cada uno de ellosinducido por la inclusion.

1(U, x0)

j1

1

1(U V, x0)

i1

i2

1(X, x0)

H

1(V, x0)

j2

2

Si 1 i1= 2 i2, entonces existe un unico morfismo : 1(X, x0) Htal que j1= 1 y j2= 2.

Teorema 15. (Version clasica del teorema de Seifert-van Kampen) Supongamos las hipotesis delteorema precedente. Sea

j : 1(U, x0) 1(V, x0) 1(X, x0)



18/19

Topologa

el morfismo del producto libre que extiende los morfismos j1 y j2 inducidos por la inclusion.Entoncesj es suryectivo y su nucleo es el menos subgrupo normalNdel producto libre que contienetodos los elementos representados por palabras de la forma (i1(g)

1, i2(g)), parag 1(U V, x0).

Demostracion. Como1(X, x0) esta generado por la imagenes de j1 y j2, entoncesj es suryectiva.

Probemos queNker j. Comoker j es normal, entonces es suficiente probar que i1(g)1i2(g)pertenece aker j para todog 1(U V, x0). Sii : U V Xes la aplicacion inclusion, entonces

ji1(g) =j1i1(g) =i(g) =j2i2(g) =ji2(g).

Entoncesi1(g)1i2(g) pertenece al nucleo de j .

Se deduce entonces que j induce un epimorfismo

k: 1(U, x0) 1(V, x0)/N1(X, x0).

Probaremos queN=ker j demostrando quek es inyectivo. Para ello sera suficiente con probar

quek posee una inversa por la izquierda.Sea H el grupo 1(U, x0) 1(V, x0)/N. Definamos 1 : 1(U, x0) H igual a la inclusion de

1(U, x0) en el producto libre compuesta con la proyeccion del producto libre en su cociente conN. Sea 2: 1(V, x0) Hla aplicacion definida de modo analogo. Consideremos el diagrama

1(U, x0)

j1

1

1(U V, x0)

i1

i

i2

1(X, x0) Hk

1(V, x0)

j2

2

Es facil ver que 1 i1 = 2 i2. Si g 1(U V, x0), entonces 1(i1(g)) es la clase i1(g)N enH, y 2(i2(g)) es la clase i2(g)N. COmo i1(g)

1i2(g) N, las clases son iguales.

Se deduce del teorema anterior que existe un morfismo : 1(X, x0) Htal que j1 =1y j2 = 2. Veamos que es un inverso por la izquierda de k. Sera suficiente con demostrar que k actua como el elemento neutro sobre cualquier generador de H, esto es, sobre cualquier clasede la forma g N, donde g 1(U, x0) o 1(V, x0). Pero si g 1(U, x0), tenemos

k(gN) =j(g) =j1(g)

de modo que

(k(gN)) = (j1(g)) =1(g) =gN

como deseabamos. Un razonamiento similar se aplica si g 1(V, x0).

Corolario.Supongamos las hipotesis del teorema de Seifert-van Kampen. Si U Ves simplementeconexo, existe un isomorfismo

k: 1(U, x0) 1(V, x0) 1(X, x0).



19/19

Topologa

10. Apendice

Lema. (Lema del pegamiento). SeaX=A B, dondeA y B son cerrados en X. Seanf :A Yyg : B Yaplicaciones continuas tal que f(x) =g(x)x A B. Entonces la funcionh : XYdada por

h(x) =

f(x) si x A

g(x) si x B

es continua.

Demostracion. Sea C cerrado en Y. Luego

h1(C) =f1(C) g1(C).

Dado que f y g son continuas f1(C) es cerrado en A y por lo tanto, cerrado en X y g1(C)es cerrado en B y por lo tanto, cerrado en X, ya que A y B son cerrados en X. Luego h1(C) escerrado enX.

Lema. (Lema del numero de Lebesgue). SeaA un cubrimiento del espacio metrico (X, d). SiXescompacto, existe >0 tal que para cada subconjunto de X con diametro menor que , existe unelemento de A que lo contiene.

Demostracion. Sea A = {U}Icubrimiento por abiertos del espacio compacto X.Supongamos que >0, A Xtal quediam(A)< y A no esta contenido enU I.

Luego,n N, A1/n X tal que diam(A1/n)< 1/ny A1/n no esta contenido enU I.Sea (xn)nN sucesion en X tal que xn A1/n. Por ser Xcompacto, existe

xnj

jN

tal que

xnj converge a x X. Luego 0 I tal que x U0 . Dado que U0 es abierto, r > 0 tal que

Br(x) U0 .Por convergerxnj a x, j0 Ntal que j j0

xnj Br/2(x).

Ademas, por arquimedianidad, j1 Ntal que j j1

1

nj< r/2.

Tomemosj max {j0, j1}y veamos que

A1/nj Br(x).En efecto, dadoy A1/nj ,

d(y, x) d(y, xnj ) + d(xnj , x)< r

2+

r

2 =r.

Como Br(x) U0 , tenemos que A1/nj U0 , lo cual es absurdo.


2. El Grupo Fundamental y El Teorema de Seifert-Van Kampen

Documents

Transcript of 2. El Grupo Fundamental y El Teorema de Seifert-Van Kampen