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Conceptos GeneralesConceptos Generales(*)(*)

(*) Basado en Boyd y Vandenberghe. Convex Optimizationhttp://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

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Problemas de optimizacinProblemas de optimizacinElementos generales de un problema de optimizacin La variable a determinar La funcin objetivo Un conjunto de restriccionesEl problema de optimizacin es entonces

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Solucin ptima GlobalSolucin ptima Global Dado el problema

Se dice que el vector x* es la solucin ptima global si entre todos los vectores z que satisfacen las restricciones se cumple

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ptimo localptimo local Una solucin xl se llama un ptimo local si para

todo z dentro de un vecindario de radio se cumple

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Tipos de problemasTipos de problemasde optimizacinde optimizacin

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Optimizacin linealOptimizacin lineal La funcin objetivo y las restricciones son

funciones lineales

Las funciones tienen la forma

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Solucin de programas linealesSolucin de programas lineales Existen varios mtodos eficientes de solucin

Simplex (usualmente muy eficiente, peor caso exponencial)

Interior-point (orden n2m, mn) Ellipsoid (tiempo polinmico)

No hay una solucin analtica

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Problemas cuadrticosProblemas cuadrticos Problemas de mnimos cuadrados (regresin)

Tienen solucin anlitica

Complejidad computacional: kn2

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Programacin cuadrticaProgramacin cuadrtica Caso general

Buenas y malas noticias Si es convexo, tiene solucin en tiempo polinmico En otros casos, dependiendo de Q, el problema

pertenece a la clase NP-Hard.

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Optimizacin ConvexaOptimizacin Convexa Volviendo a la forma general del problema de

optimizacin

Se dice que el problema es convexo si todas las funciones son convexas, i.e.

La programacin lineal y los mnimos cuadrados son casos particulares.

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Mtodos de solucin de problemas Mtodos de solucin de problemas convexosconvexos

No existe forma analtica general, pero existen mtodos muy eficientes en la prctica. E.g. Mtodos de punto interior (interior-point) Variedad de mtodos numricos

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Optimizacin no linealOptimizacin no lineal Cuando bien sea la funcin objetivo y/o algunas

de las restricciones no son convexas. Generalmente muy dficiles de resolver, por lo

cual los mtodos de solucin se concentran en encontrar ptimos locales.

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Optimizacin CombinatoriaOptimizacin Combinatoria Las variables de decisin son discretas: E.g. , , binarias.

No son aplicables conceptos topolgicos: Continuidad, Diferenciabilidad, Convexidad.

En algunos casos tienen solucin eficiente, e.g. encontrar la ruta ms corta, rbol de cubrimiento mnimo.

En muchos casos no se conoce ningn mtodo de solucin eficiente: Coloreado, Ubicacin de facilidades, Cubrimiento de conjuntos, etc.

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Optimizacin multiobjetivoOptimizacin multiobjetivo Muchos problemas involucran ms de un

objetivo a la vez. Dado el vector de variables La funcin objetivo

Y las restricciones

(Observar que restricciones multi-valor se llevan fcilmente a restricciones simples).