Capítulo 2. Celosías isostáticas

Estructuras isostáticas de nudos articulados

2.1 Definición de estructuras articuladas planas o celosías planas Son estructuras formadas con barras que presentan articulaciones en los extremos. Para su

análisis se suponen las siguientes hipótesis:

• Articulaciones sin rozamiento

• Cargas sólo en los nudos

• Barras de directriz recta

• Estructura y cargas en un plano

Si se cumplen estas hipótesis, las barras sólo pueden estar sometidas a esfuerzos de tracción

o compresión. No sufrirán momentos flectores ni cortantes.

En la práctica:

1. Las articulaciones no suelen ser perfectas. De hecho se suelen utilizar nudos que en

realidad presentan una determinada rigidez, bien sea mediante soldadura o mediante

uniones atornilladas. La condición que, teóricamente, deben cumplir dichos nudos es que

los ejes de las barras concurran en un punto o casi.

Nudos próximos a la articulación real Nudos no articulados pero asimilables

2. Hay casos en los que las cargas no se encuentran solamente en los nudos. Entonces hay

que trasladarlas a estos. Para ello se sustituyen las cargas sobre la barra por las reacciones

que se generan en los nudos de una barra biarticulada cambiadas de signo:

Cuando se hace esta simplificación es necesario tener en cuenta tras el análisis de la

celosía el efecto en forma de momentos flectores o esfuerzos cortantes que tiene la

carga sobre la barra. Por tanto, en estos casos sí que existirá tanto el diagrama de

momentos como el diagrama de cortantes.

P

P

P

P/2

P/2

P/2

P/2

q

qL/2 qL/2

qL/2

q

q

qL/2

3. Las estructuras son generalmente construcciones tridimensionales, sin embargo muchas

veces pueden aislarse partes de ellas para ser estudiadas en 2D como estructuras planas.

Esto implica:

a) Que las cargas situadas fuera del plano deben trasladarse al plano y, más en concreto,

a los nudos.

b) Que debe hacerse un estudio adicional para asegurarse de que la estructura está

suficientemente arriostrada en la dirección perpendicular al plano considerado. Debe

ser estable y resistir las cargas que le pudiesen llegar en esa dirección.

Ejemplo típico de puente:

Dos estructuras en celosía

arriostradas en la parte superior

mediante cruces de San Andrés

(en X).

Nótese que las vigas sobre las

que descansará la losa del

puente transmiten su carga a los

nudos inferiores de las celosías.

Supongamos que la carga

superficial que debe soportar el

puente es de qs kN/m2, el ancho

del puente es B y la distancia

entre los nudos inferiores L.

Carga lineal que se llevaría cada

una de las dos celosías:

q = qsB/2 [kN/m]

Carga en cada uno de los nudos de

la celosía a estudiar:

P = qL= qsBL/2 [kN]

2.2 Usos de las celosías Los usos de las celosías son muy variados (puentes, naves, soportes de depósitos o tolvas,

torres eléctricas, etc.) pero, en general, se utilizan como solución ligera para salvar grandes

vanos cuando el uso de elementos de una pieza como vigas de alma llena supondría un peso

excesivo. El ahorro de material que supone el uso de una celosía se ve, en parte,

contrarrestado por el mayor coste en mano de obra, por tanto sólo suele ser interesante usar

P P P P P

P/2 P/2

Vigas de piso

Arriostramientos

Arriostramientos en cruz de S. Andrés Arriostramientos para rigidizar el pórtico

formado por las dos celosías y la

estructura superior de las cruces.

este tipo de estructuras cuando las cargas a soportar o los vanos a salvar sean relativamente

grandes.

2.3 Tipos y partes principales de celosías planas Según sean son de canto variable o no, las celosías se dividen en vigas en celosía y cerchas.

Vigas en celosía:

Actúan en su conjunto como vigas biapoyadas y mantienen el mismo canto en toda su

longitud.

Cerchas:

Presentan doble inclinación en la parte superior, lo que hace que actúen como vigas

biapoyadas de canto variable. Esto permite que se ajusten mejor a los diagramas de momentos

flectores correspondientes a cargas verticales centradas o repartidas en elementos

biapoyados, puesto que el conjunto de la cercha tiene un mayor canto (mayor momento de

inercia) en el centro.

PL/8 P/2

P/2

PL/4 P/2

P/2

Barras en una celosía:

A pesar de que pueden encontrarse diferentes denominaciones, algunas de ellas complejas.

Las barras normalmente se dividen en cordones y barras de relleno.

Cordones: barras alineadas que bordean superior e inferiormente la celosía. Generalmente se

disponen de una pieza aunque para el análisis pueda suponerse que cada uno de sus tramos es

una barra biarticulada. Estas barras son las que soportan principalmente los momentos

flectores a los que se ve sometido el conjunto de la celosía.

Barras de relleno: barras situadas entre los cordones. Si están perpendiculares a alguno de

los cordones se denominan montantes y, si no, diagonales. Estos elementos son los que

soportan principalmente los cortantes a los que se ve sometido el conjunto de la celosía.

2.4 Formas de generación de celosías

Celosías simples:

Son celosías isostátocas (grado de hiperestaticidad total cero) obtenidas mediante

triangulación, es decir, creando estructuras de nudos articulados que se están formadas por

triángulos adosados (que comparten un lado)

Cordón superior

Cercha Viga en celosía Cordón inferior

Diagonal

Montante

Montante Cordón superior

Cordón inferior Diagonal

Simples de generación externa:

• Se parte de dos apoyos fijos (por eso se consideran de generación externa).

• Se van añadiendo 2 barras no alineadas que concurran en un nudo.

Simples de generación interna:

• Se parte de un triángulo básico de barras articuladas.

• Se van añadiendo 2 barras no alineadas que concurran en un nudo. Así se obtiene una

estructura internamente isostática.

• Cuando la estructura está completa se añaden los apoyos. Estos deben presentar 3

reacciones no concurrentes para que la estructura sea extermente isostática.

Celosías compuestas

Son aquellas que se componen a partir de la unión de conjuntos triangulados simples y barras.

El modo de composición es igual que el de las celosías simples. También pueden obtenerse

celosías compuestas a partir de dos conjuntos triangulados unidos por tres barras no

concurrentes ni paralelas.

Celosías complejas

Cuando la forma de generación no se corresponde con los esquemas anteriores de celosías

simples o compuestas.

(1) (2) (3) (4)

(1) (2) (3) (4)

Generación interna Generación externa Unión por tres barras

2.5 Caracterización estática y cinemática

Caracterización estática

Se refiere la relación entre el número de incógnitas estáticas y el número de ecuaciones de

equilibrio que podemos aplicar. La hiperestaticidad, como se vio en el primer tema, puede ser

interna si se tiene un exceso de barras o externa si se tiene un exceso de vínculos en los

apoyos (exceso de reacciones).

Grado de hiperestaticidad en celosías planas=Nº de barras+Nº de reacciones-2x(Nº de nudos)

GH=B+R-2N

Hipoestática: GH<0

Isoestática: GH=0

Hiperestática: GH>0

Caracterización cinemática

Está íntimamente ligada a la caracterización estática y se puede interpretar como una

valoración del funcionamiento de la estructura como un mecanismo.

Variante: es aquella estructura que se comporta como un mecanismo. Cuando se aplican

fuerzas sobre algunos de sus elementos no se puede obtener el equilibrio y por tanto se

produce un movimiento acelerado de partes de la estructura. Una estructura variante es

hipoestática.

Invariante: es una estructura que actúa como tal consiguiendo el equilibrio estático. Las

celosías con las que trabajemos deben ser invariantes. Las estructuras invariantes pueden ser

isostáticas o hiperestáticas.

Estructura de variación instantánea: en ellas es imposible obtener el equilibrio si no se

produce un mínimo desplazamiento. Se dan cuando hay nudos a los que llegan sólo dos barras

alineadas o las reacciones posibles concurren en un punto y, por tanto es imposible obtener el

equilibrio de momentos.

Las celosías simples de generación interna o externa y las celosías compuestas son

invariantes e isostáticas siempre que no haya nudos a los que llegan sólo 2 barras alineadas o

los vínculos (las reacciones) no tengan líneas de acción concurrentes.

F F

F

Variante Invariante Variación instantánea

2.6 Cálculo de esfuerzos en celosías isostáticas.

Método de los nudos

Se basa en las ideas básicas siguientes:

1. Las barras de las celosías sólo transmiten esfuerzos axiles o normales.

2. Las fuerzas que llegan a los nudos deben estar en equilibrio.

• Equilibrio de fuerzas verticales: ∑FV=0

• Equilibrio de fuerzas horizontales: ∑FH=0

Este equilibrio puede plantearse también de modo gráfico o vectorial. Así, la suma de todos

los vectores de fuerza que actúan sobre el nudo, teniendo en cuenta acciones, reacciones y

esfuerzos normales de las barras debe ser nula. Esto significa que los vectores forman un

polígono cerrado.

3. Al plantear el equilibrio en los nudos los esfuerzos de compresión se consideran fuerzas

que llegan al nudo y los de tracción serán fuerzas que salen del mismo. En general, si

desconocemos el esfuerzo se supondrá que sale del nudo. Así, si se obtiene un resultado

positivo será una tracción y si el resultado es negativo se tratará de un esfuerzo de

compresión.

4. Existen barras de esfuerzo 0 en las que no es necesario ni plantear el equilibrio y que se

pueden eliminar del cálculo de esfuerzos.

a) 2 barras no alineadas que concurren en un nudo sin carga: barras de esfuerzo 0.

B

F

Nudo con 2 barras alineadas

Equilibrio imposible en el nudo A Líneas de acción de las reacciones concurrentes

Equilibrio de momentos imposible respecto a B

CELOSÍAS DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

A F

NI NII

R F F

NI R NII

F

Fuerzas sobre el nudo Equilibrio de vectores de fuerza

I II

NI=Tracción NII=Compresión

R F

b) 3 barras concurren en un nudo sin carga, estando dos de ellas alineadas. La barra no

alineada será una barra de esfuerzo 0 y puede eliminarse el nudo.

Los pasos del método, por tanto son:

1) Obtener las reacciones, mediante el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio de

fuerzas verticales, horizontales y momentos.

2) Eliminar las barras de esfuerzo 0.

3) Plantear el equilibrio vertical y horizontal de fuerzas (2 ecuaciones) en un nudo al que

lleguen sólo 2 barras (2 axiles incógnita), obteniendo así los esfuerzos en dichos

elementos.

4) Apoyándose en los resultados de nudos anteriormente resueltos se resuelven del

mismo modo el resto de nudos hasta conocer todos los esfuerzos normales en las

barras.

Ejemplo de aplicación del método de los nudos

Se tiene una viga en celosía tipo Warren de canto L con dos tramos de longitud 2L y una

carga P en cada uno de los nudos centrales superiores. Obténganse los esfuerzos en las

barras.

(a)

F F

(b)

0

0

0

F

Eliminación sucesiva de barras de esfuerzo 0

F

P P

2L 4L

L

El primer paso es obtener las reacciones aplicando

las condiciones de equilibrio.

∑Fv=0 RV1+RV3-P-P=0

∑FH=0 RH1 =0

∑M1=0 RV3·4L-P·3L-P·L=0

RV1=P ; RV3=P

Estas reacciones son evidentes desde un principio,

dada la simetría. Una estructura simétrica debe

tener reacciones simétricas.

En segundo lugar, se eliminan las barras de

esfuerzo cero. Hay dos parejas de barras en la

celosía propuesta que concurren en nudos (nudo 4

y nudo 7) que no tienen ninguna carga. Todas ellas

serán barras de axil nulo.

Se comienza el proceso de plantear el equilibrio en

nudos por un nudo al que sólo lleguen dos barras

con esfuerzo no nulo (nudo 1). ��� +������45° = 0� +������45° = 0���� = −�√2��� = �

Continuamos por otros nudos utilizando los

resultados obtenidos. Dibujamos siempre las

tracciones saliendo del nudo y las compresiones

llegando al nudo.

��� +������45° + �√2���45° = 0

�√2���45° − � −������45° = 0���� = −���� = 0

Los esfuerzos normales en una estructura simétrica con cargas simétricas deben ser simétricos,

por tanto el resultado final de esfuerzos en las barras es:

P P

3L

4L

L

RV1 RV3

RH1

L 1 2 3

4

5 6

7

P P

P P

0

0 0

0

1 2 3

4

5 6

7

P

Nudo 5

N56

45º

Solución nudo 5

45º N52

-P √2

P P -P √2

P

Nudo 1

N15

N12

45º

-P

-P √2

P

Solución nudo 1

0

0 0

0

-P

+P +P

-P √2 -P √2 0 0

0

0 0

0

-P

+P +P

-P √2 -P √2

De modo simplificado:

0 0

Método de las secciones o de Ritter

Es un método de cálculo de esfuerzos en barras de celosía que se aplica cortando la estructura

por una sección y planteando el equilibrio en el trozo aislado.

Los pasos del método, por tanto son:

1) Obtener las reacciones, mediante el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio de

fuerzas verticales, horizontales y momentos.

2) Eliminar las barras de esfuerzo 0.

3) Aislar un trozo de celosía cortando un máximo de 3 barras (3 incógnitas de axiles). Las

3 barras no pueden concurrir en un mismo punto. Hay casos con algunas barras

concurrentes donde se pueden cortar más de 3 barras y llegar a la solución

igualmente.

4) Plantear 3 ecuaciones de equilibrio en el trozo aislado. Lo más sencillo, cuando se

pueda, suele ser plantear varios equilibrio de momentos con respecto a puntos por los

que pasen 1 o 2 incógnitas de esfuerzo (así se eliminarán dichas incógnitas de la

ecuación).

Se puede combinar el método de las secciones con el método de los nudos, iniciando la

resolución de la celosía con uno y concluyendo con el otro, según sea más conveniente.

P

0

0 P

V R

H

V

H

N1

N2

N3

A

B

∑MA=0 → N3

∑MB=0 → N1

∑FV=0 → N2

Considerar barras de esfuerzo 0 y obtener

reacciones

Método de las secciones

0

0 P

V R

H

C

B

∑MB=0 → N5

∑MC=0 N2 ∑FV=0 N3 ∑FH=0 N4

Otra posibilidad de sección:

Corta 4 barras con esfuerzo no nulo, pero 3 de ellas concurren en B y así es posible resolver

planteando inicialmente ∑MB=0

N2

N3

N4 N5

R

2.7 Métodos específicos para vigas en celosía Cuando tenemos una viga en celosía de canto constante sometida a cargas principalmente

perpendiculares a su eje podemos asimilarla a una barra sometida a flexión tanto para el

cálculo de esfuerzos como para el cálculo de desplazamientos.

La metodología de asimilación a vigas es válida para vigas en celosía tanto isostáticas como

hiperestáticas y se basa en las siguientes hipótesis:

• Los cordones soportan el momento flector del conjunto de la celosía.

• Los montantes y las diagonales soportan el cortante.

Esfuerzo en cordones

Como se puede ver en la figura, al seccionar la viga en celosía los únicos esfuerzos que pueden

ser equivalentes a un momento alrededor del centro de gravedad de la sección Ms son los

normales en los cordones Ncord. Así, los normales en los cordones son un par de fuerzas Ms/h

que generan el momento Ms.

Ncord= Ms/h

Pero los esfuerzos no tienen que ser idénticos en los dos cordones. Sabemos que los esfuerzos

normales en las barras serán constantes en cada elemento, sin embargo ¿Cuál debe ser el

valor de momento flector Ms que debemos tomar si éste es variable en el tramo? Para

solucionar este pequeño problema debemos fijarnos en cuál es el momento en el punto que

utilizaríamos en el método de Ritter para calcular directamente el normal buscado mediante

un equilibrio de momentos. Otra opción es, simplemente, considerar qué esfuerzo normal

debe ser mayor, el del cordón superior o el del inferior, teniendo en cuenta que la

componente horizontal del esfuerzo en la diagonal debe ser contrarrestada.

S

MS

VS

MS VS

NcordS

NcordI

Ndiag

α

h

El signo de los esfuerzos en los cordones puede verse rápidamente conociendo el signo de los

momentos del conjunto de la viga en celosía:

Cordón superior comprimido e inferior traccionado.

Cordón superior traccionado e inferior comprimido.

Esfuerzo en diagonales

La única fuerza que tiene componente en la dirección del cortante es el esfuerzo en la diagonal

seccionada. Como su componente vertical debe cumplir Ndiag·senα=Vs:

Ndiag=Vs/senα

El signo del normal en la diagonal puede verse rápidamente conociendo el signo del cortante.

Cálculo aproximado de desplazamientos

Se puede realizar el cálculo de desplazamientos en una viga en celosía asimilándolos a los

desplazamientos debidos a momentos de una viga de alma llena de momento de inercia I. Para

ello, se suelen realizar las siguientes simplificaciones:

• Aproximar el momento de inercia total de la viga en celosía al 75% del momento de

inercia de los cordones. Se usa este factor 0,75 porque realmente en vigas de este tipo

no es despreciable el efecto del cortante.

I=0,75·Icordones

• El momento de inercia de los cordones, siendo dos cordones iguales de sección A

puede calcularse aplicando el teorema de Steiner. Normalmente puede despreciarse el

momento de inercia de los cordones respecto a su eje I0, pues es pequeño comparado

con el factor de Steiner.

Icordones=2·[I0+A(h/2)2]≈2A(h/2)

2

NcordS

MA

A

B

NcordI

Ndiag

Para obtener NcordS por Ritter plantearíamos equilibrio de momentos respecto a B, por tanto:

NcordS= MB/h

MB Para obtener NcordI por Ritter plantearíamos equilibrio de momentos respecto a A, por tanto:

NcordI= MA/h

Obsérvese que en este ejemplo NcordS es mayor que NcordI, lo que contrarresta la componente horizontal hacia la derecha de Ndiag.

Tracción Compresión

Compresión Tracción

2.8 Consideraciones en el diseño de celosías Si hay cargas sobre barra deben trasladarse a los nudos como se comentó al principio del

tema. Después de resolver la celosía hay que tener en cuenta los momentos flectores y los

cortantes que generan dichas cargas sobre barra.

Las barras a compresión que tengan una esbeltez excesiva pueden sufrir PANDEO. Esto implica

que siempre es preferible que las barras comprimidas sean lo más cortas que sea posible.

Los elementos que estemos seguros de que, considerando las cargas posibles, van a trabajar

únicamente a tracción pueden disponerse esbeltos. Incluso pueden ser tirantes.

2.9 Estructuras articuladas espaciales La forma de trabajo con este tipo de estructuras es la misma que en las celosías 2D sólo que

hay que tener en cuenta más posibilidades de reacciones y de direcciones de los esfuerzos.

Simples de generación interna:

Se parte de 3 apoyos fijos (3 reacciones cada uno).

Se añaden sucesivamente 3 barras que concurran en un

nudo.

Simples de generación externa:

Se parte de un tetraedro básico

Se añaden sucesivamente tres barras que concurran en

un nudo.

Se añaden los vínculos (apoyos) de modo que se tengan 6

reacciones.

Fórmula de hiperestaticidad:

En el caso de estructuras articuladas espaciales, la fórmula será GH=B+R-3N

Métodos de análisis:

Son los mismos que se presentaron para estructuras planas (Nudos, Ritter, asimilación a vigas

de alma llena), pero más laboriosos.

Rz