2º B,D SEMEJANZA

2) Dibuja dos rectángulos de modo que su base sea exactamente el doble que su altura. ¿Son semejantes

las figuras que has dibujado? ¿Cuál es la razón de semejanza?

Son semejantes y la razón de semejanza es el cociente de las bases.

3) Se ha ampliado una fotografía que medía 10 cm × 15 cm a 16 cm × 24 cm. ¿Cuál es la razón de

semejanza aplicada en la ampliación?

Es 16 : 10 = 24 : 15 = 1,6

4) Las medidas de un rectángulo son 5 y 10 cm. Calcula las medidas de otro rectángulo semejante al

anterior si su lado mayor mide 8 cm. 𝟏𝟎

𝟖=

𝟓

𝒙 ; 𝒙 = 𝟖 ∙ 𝟓 ∶ 𝟏𝟎 = 𝟒. Las medidas del otro rectángulo son 4 y 8 cm.

5) Las rectas 𝑎 y 𝑏 del dibujo son paralelas. Comprueba utilizando el teorema de Thales si también lo es la recta 𝑐.

¿ 𝟏,𝟓

𝟐,𝟒=

𝟐,𝟓

𝟒 ? Sí, porque 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟒 = 𝟔 y 𝟐, 𝟒 ∙ 𝟐, 𝟓 = 𝟔

6) Calcula las longitudes de los segmentos desconocidos.

a) 𝟏,𝟖

𝟏,𝟓=

𝒚

𝟏,𝟒𝟓 ; 𝒚 = 𝟏, 𝟖 ∙ 𝟏, 𝟒𝟓 ∶ 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟕𝟒

𝟏,𝟖

𝟏,𝟓=

𝟎,𝟗

𝒙 ; 𝒙 = 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟎, 𝟗 ∶ 𝟏, 𝟖 = 𝟎, 𝟕𝟓

b) 𝟔

𝟖=

𝟑,𝟖

𝒚 ; 𝒚 = 𝟖 ∙ 𝟑, 𝟖 ∶ 𝟔 = 𝟓, 𝟎�̂�

7) Calcula la longitud del segmento AC de la figura.

𝑨𝑩

𝟓=

𝟐𝟒

𝟏𝟓 ; 𝑨𝑩 = 𝟓 ∙ 𝟐𝟒 ∶ 𝟏𝟓 = 𝟖

𝑨𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝟖 + 𝟐𝟒 = 𝟑𝟐

8) Explica por qué los triángulos que aparecen en la siguiente figura son triángulos en posición de Thales

Porque tienen un vértice en común y los lados opuestos a ese

vértice son paralelos.

9) Comprueba si estos triángulos son semejantes.

𝟐𝟕

𝟓,𝟒 = 𝟓 ;

𝟐𝟏,𝟓

𝟒,𝟑 = 𝟓 ;

𝟐𝟖,𝟓

𝟓,𝟕 = 𝟓

10) Calcula la longitud de los lados desconocidos x e y del siguiente triángulo

Los dos triángulos son semejantes:

𝟐

𝟐+𝟑=

𝒙

𝟔 ; 𝒙 = 𝟔 ∙ 𝟐 ∶ 𝟓 = 𝟐, 𝟒

𝟐

𝟐+𝟑=

𝟒

𝒚 ; 𝒚 = 𝟓 ∙ 𝟒 ∶ 𝟐 = 𝟏𝟎

11) Comprueba, aplicando los criterios de semejanza, si los siguientes triángulos son semejantes.

Los dos triángulos tienen un ángulo en común: 𝟔𝟑°

y los lados que lo forman proporcionales : 𝟐𝟐𝟎

𝟏𝟕𝟔=

𝟒𝟎𝟎

𝟑𝟐𝟎 = 𝟏, 𝟐𝟓

12) Isabel está aburrida esperando a una amiga al lado de una farola y observa que su sombra mide 40 cm

y la de la farola, 60 cm. Si ella mide 1,6 m, ¿cuál es la altura de la farola?

𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒇𝒂𝒓𝒐𝒍𝒂 𝒆𝒏 𝒎

𝟏,𝟔 𝒎 =

𝟔𝟎 𝒄𝒎

𝟒𝟎 𝒄𝒎 ; 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒇𝒂𝒓𝒐𝒍𝒂 = 𝟔𝟎 ∙ 𝟏, 𝟔 ∶ 𝟒𝟎 = 𝟐, 𝟒 𝒎

13) Para representar cada una de las siguientes situaciones, indica si utilizarías un mapa, un plano o una

maqueta.

a) La disposición de los asientos en un teatro……… Un plano

b) Una locomotora de vapor……. Una maqueta

c) La forma de llegar desde tu ciudad al pueblo de un amigo……… Un plano

d) Los ríos y sus afluentes europeos……… Un mapa

e) Las conexiones internas de uno de los microchips de tu ordenador……. Un plano

f) Las salidas de incendio de un hospital……… Un plano

14) ¿Qué tipo de representación es cada una de las siguientes?

a) Maqueta

b) Mapa

c) Plano

d) Plano

15) La escala de un mapa es 1:50 000.

a) Calcula la distancia real que separa dos puntos si en el mapa están separados por 3,2 cm.

𝟑, 𝟐 𝒄𝒎 ∙ 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎 = 𝟏, 𝟔 𝒌𝒎

b) Dos puntos en la realidad están separados por 1250 m. ¿Qué distancia los separará en el mapa?

1m en el mapa ……………… 50.000 m en la realidad

x = 1.250 : 50.000 m =0,025 m=2,5cm

x ……………. 1.250 m

1) Comprueba si las siguientes figuras son semejantes entre sí. Justifica tu respuesta en cada caso.

a) 2º Criterio : Un angulo común de 𝟗𝟎° y los

lados que lo forman proporcionales:

𝟔

𝟗=

𝟕

𝟏𝟎,𝟓

b) Los ángulos parecen iguales, pero me

faltan medidas de lados.

2) Las siguientes ternas de números representan las longitudes de los lados de una pareja de triángulos.

Estudia, en cada caso, si son o no semejantes. En caso afirmativo, determina la razón de semejanza.

Son semejantes y la razón es 4

No son semejantes: 𝟒,𝟓

𝟑=

𝟔

𝟒≠

𝟖,𝟓

𝟔

Son semejantes y la razón es 3

3) Calcula el valor de los segmentos desconocidos en cada una de las siguientes representaciones.

𝒙

𝟐=

𝟓

𝟒 ; 𝒙 = 𝟓 ∙ 𝟐 ∶ 𝟒 = 𝟐, 𝟓

X=1

𝑨𝑩

𝑨𝑪=

𝑩𝑬

𝑪𝑫 ;

𝟏

𝟐,𝟓=

𝒚

𝟏.𝟔; 𝒚 = 𝟏, 𝟔 ∶ 𝟐, 𝟓 = 𝟎, 𝟔𝟒

4) Comprueba que los dos triángulos que forman el cartabón de la figura son proporcionales. Calcula la medida de todos los lados e indica la razón de semejanza.

Los triángulos son semejantes porque los ángulos son iguales.

El cateto del triángulo grande desconocido es √𝟏𝟎𝟐 − 𝟓𝟐 = √𝟕𝟓 ≈ 𝟖, 𝟔𝟔

Sea c el cateto del triángulo pequeño desconocido.

√𝟕𝟓

𝟒,𝟑𝟑=

𝟓

𝒄 ; 𝒄 = 𝟒, 𝟑𝟑 ∙ 𝟓 ∶ √𝟕𝟓 ≈ 𝟐, 𝟓

Hipotenusa del triángulo pequeño=

≈ √𝟒, 𝟑𝟑𝟐 + 𝟐, 𝟓𝟐 = √𝟏𝟖𝟕, 𝟓𝟒 ≈ 𝟓

La razón de semejanza es 2

5) Las siguientes ternas de números representan las longitudes de los lados de una pareja de triángulos

semejantes. Calcula, en cada caso, la razón de semejanza y los valores de los lados desconocidos.

𝟒,𝟓

𝟑=

𝒙

𝟒 ; 𝒙 = 𝟒, 𝟓 ∙ 𝟒 ∶ 𝟑 = 𝟔

𝟒,𝟓

𝟑=

𝒚

𝟔 ; 𝒚 = 𝟒, 𝟓 ∙ 𝟔 ∶ 𝟑 = 𝟗

razón = 1,5

𝒙

𝟐=

𝟒

𝟐 ; 𝒙 = 𝟒

𝟒

𝟐=

𝟑

𝒚 ; 𝒚 = 𝟑 ∙ 𝟐 ∶ 𝟒 = 𝟏, 𝟓

razón = 2

𝒙

𝟏𝟐=

𝟖

𝟐𝟓 ; 𝒙 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟖 ∶ 𝟐𝟓 = 𝟑, 𝟖𝟒

𝒚

𝟐𝟎=

𝟖

𝟐𝟓 ; 𝒚 = 𝟖 ∙ 𝟐𝟎 ∶ 𝟐𝟓 = 𝟔, 𝟒

razón = 0,32

6) Del polígono ABCDE de la siguiente figura se conocen las medidas:

a) Calcula la razón de semejanza de los dos polígonos

𝑫𝑬

𝑰𝑬=

𝟒𝟓 𝒎𝒎

𝟐 𝒄𝒎=

𝟒𝟓 𝒎𝒎

𝟐𝟎 𝒎𝒎 = 𝟐, 𝟐𝟓

b) Halla los lados desconocidos de EFGHI

𝑬𝑨

𝑬𝑭 = 𝟐, 𝟐𝟓 ; 𝑬𝑭 = 𝑬𝑨 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 ≈ 𝟏𝟏, 𝟏 𝒎𝒎

𝑨𝑩

𝑭𝑮 = 𝟐, 𝟐𝟓 ; 𝑭𝑮 = 𝑨𝑩 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟐𝟕 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐 𝒎𝒎

𝑩𝑪

𝑮𝑯 = 𝟐, 𝟐𝟓 ; 𝑮𝑯 = 𝑩𝑪 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟑𝟎 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 ≈ 𝟏𝟑, 𝟑 𝒎𝒎

𝑯𝑰 = 𝑪𝑫 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟑𝟎 ∶ 𝟐, 𝟐𝟓 ≈ 𝟏𝟑, 𝟑 𝒎𝒎

7) En la figura, los lados CD y BE son paralelos. Se sabe que:

AB = 3 AE = 2 BC = 1 BE = 2

a) ¿Cómo son los triángulos ABE y ACD? Son semejantes ( primer criterio)

b) Calcula las medidas de los segmentos AD, ED y CD.

𝑨𝑫

𝑨𝑬=

𝑨𝑪

𝑨𝑩 ;

𝑨𝑫

𝟐=

𝟒

𝟑 ; 𝑨𝑫 = 𝟒 ∙ 𝟐 ∶ 𝟑 = 𝟖 𝟑⁄

𝑬𝑫 = 𝑨𝑫 − 𝑨𝑬 = 𝟖

𝟑 −𝟐 =

𝟐𝟑

𝑨𝑪

𝑨𝑩=

𝑪𝑫

𝑩𝑬 ;

𝟒

𝟑=

𝑪𝑫

𝟐 ; 𝑪𝑫 = 𝟖 𝟑⁄

8) Estudia si estos pares de triángulos son semejantes

𝟐,𝟓

𝟐≠

𝟑

𝟐,𝟓 No son semejantes

2º Criterio: 𝑨 = 𝑫 = 𝟗𝟔° y 𝟐𝟎𝟑𝟎

= 𝟑𝟎𝟒𝟓

Son semejantes

𝟑𝟐,𝟓

𝟐𝟔=

𝟐𝟕,𝟓

𝟐𝟐=

𝟑𝟖,𝟕𝟓

𝟑𝟏 Por el tercer criterio son semejantes

𝑨 = 𝟓𝟏° = 𝑬

𝑩 = 𝟓𝟑° = 𝑭

𝑪 = 𝟕𝟔° = 𝑫 Son semejantes (primer criterio)

9) Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.

a) Todos los cuadrados son semejantes. Verdadero

b) Todos los rectángulos son semejantes. Falso

c) Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Verdadero

d) Todos los triángulos rectángulos son semejantes. Falso

e) Todos los triángulos isósceles son semejantes. Falso

f) Todos los triángulos rectángulos e isósceles son semejantes. Verdadero

10) Un edificio de cinco plantas de igual altura proyecta, en cierto instante, una sombra de 22 m. Calcula la

altura de cada planta si se sabe que en ese mismo momento un árbol de 3 m de altura proyecta una

sombra de 4,5 m.

𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒅𝒊𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐

𝟑𝒎 =

𝟐𝟐 𝒎

𝟒,𝟓𝒎 ; 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒅𝒊𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑 ∶ 𝟒, 𝟓 = 𝟏𝟒, �̂�

𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂 = 𝟏𝟒, �̂� ∶ 𝟓 ≈ 𝟐, 𝟗 𝒎

11) El cuarto de Javier es un rectángulo de dimensiones 3,15 m × 3,78 m. ¿Qué dimensiones tendrá su

representación en un plano con escala 1:21?

𝟑, 𝟏𝟓 ∶ 𝟐𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝒎 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎

𝟑, 𝟕𝟖 ∶ 𝟐𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟖 𝒎 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎

En el plano tendrá unas dimensiones de 𝟏𝟓 𝒄𝒎 𝒙 𝟏𝟖 𝒄𝒎

12) Las dimensiones de un jardín rectangular en un plano de escala 1:125 son 24 cm y 32 cm.

a) Calcula las dimensiones reales del jardín y expresa los resultados en metros.

𝟐𝟒 𝒄𝒎 ∙ 𝟏𝟐𝟓 = 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎 = 𝟑𝟎 𝒎

𝟑𝟐 𝒄𝒎 ∙ 𝟏𝟐𝟓 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎 = 𝟒𝟎 𝒎

Las dimensiones reales del jardín son 30 m y 40 m

b) Calcula el perímetro y el área del jardín

El perímetro es 𝟐 ∙ (𝟑𝟎 + 𝟒𝟎) = 𝟏𝟒𝟎 𝒎. El área es 𝟑𝟎 𝒎 ∙ 𝟒𝟎 𝒎 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝟐

13) La distancia entre Badajoz y Lisboa en línea recta es de 230 km. Calcula la distancia que separa ambas

ciudades en un mapa con escala 1:1 200 000.

𝟐𝟑𝟎 ∶ 𝟏. 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ≈ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟗 𝒌𝒎 = 𝟏𝟗 𝒄𝒎

14) Se ha realizado una maqueta de 25 cm de la estatua de un parque para colocarla en el centro de

exposiciones del colegio. Calcula la escala de la maqueta si la altura real de esa estatua es de 2 m.

𝟐𝟓 𝒄𝒎 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒂

𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅=

𝟏

𝟖 La escala es 1 : 8