2. Aplicaciones lineales

APLICACIONESLINEALESCurso2020-2021

1. ProblemasdeaplicacioneslinealesdirectosFebrero2014

Septiemrbre2012

Febrero2010

Noviembre2012

Febrero2011

Septiembre2011

APLICACIONESLINEALESVERANO2020

(Noviembre2016parcialMathematica)

(Septiembre2015)

(Febrero2015)

(Septiembre2014)

(Febrero2014)

(Enero2013)

Matematica Aplicada

Departamento de Matematica Aplicada

Graduado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales

Examen Parcial de ‘Algebra lineal’ - 30 de noviembre de 2015 - Curso 15/16

Apellidos y Nombre: DNI:

Firma:

Normas del examen:1. El alumno debera colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre, y rellenar sus datos en cada folio que

entregue. 2. Podra usarse el software Mathematica para la realizacion de ciertos calculos, pero no para la obtencion deconclusiones. 3. La solucion de cada problema debe estar completamente explicada y razonada, incluso aquellos resultadosobtenidos con el mencionado software. 4. La presentacion, orden y claridad en las respuestas sera tenido en cuenta en lapuntuacion final. 5. La duracion maxima del examen sera de dos horas.

⇧

Problemas

Problema 1 Dado un subespacio vectorial U1 de un espacio vectorial V , se denomina subespacio complementario a otroU2 tal que U1 � U2 = V . Consideremos el espacio vectorial R3[t] y el subespacio U = h{1 � 2t + t3, 1 + t � t2,�1 + t +2t2 + t3, 1+ t2 +2t3}i. ¿Que dimension tiene U? Determine las ecuaciones implıcitas de U ası como las de un subespaciocomplementario suyo en R3[t], para lo que se pide mostrar que se verifican las condiciones para ser suma directa.

Problema 2 Considere las aplicaciones g, h : R4 ! R4 dadas por g(x, y, z, t) = (2x� y, 3x+ z, 0, t+ z) y h(x, y, z, t) =(x+ t, x+ z, 3, y � z). Justifique cual de ellas es una aplicacion lineal, y con ella determine: su nucleo y su imagen (unabase de cada subespacio cuando sea posible y sus ecuaciones implıcitas), ası como la interseccion de estos subespacios ysu suma. Determine la nulidad y el rango. ¿Es directa esta suma? ¿Es la aplicacion lineal inyectiva o sobreyectiva? ¿Esun isomorfismo?

Problema 3 Sea f 2 End(R4), con A = M(f,Bc) del que se sabe que f(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 1), el nucleo de f esh{(0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0)}i y A2 = 0, donde las coordenadas estan dadas en la base canonica. Determine el poli-nomio caracterıstico de f y sus raıces con sus multiplicidades algebraicas y geometricas. Justifique con todo rigor, con loselementos algebraicos necesarios, cual es la forma canonica de Jordan asociada J , ası como una base de R4 en la que lamatriz de f sea dicha J . Determine la matriz de f en la base canonica. ¿Es f diagonalizable?

Problema 4 Sea Bc = {e1, e2, e3} la base canonica de R3 y f el endomorfismo que tiene por matriz

0

@↵+ 1 �↵ �2↵↵ 1� ↵ �2↵0 �↵ 1

1

A

en la base {�e1 + e2 + e3, e2,�e1}. Determine la matriz M de f en la base canonica. ¿Cual es el polinomio caracterısticode A? ¿Y el polinomio mınimo? Analice con todo rigor, con todos los elementos algebraicos necesarios, cual es la formacanonica de Jordan de M , y en que base, en funcion de ↵.


Universidad de Malaga

Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Industrial

Examen de Algebra lineal - 9 de septiembre de 2015 - Curso 14/15

Apellidos: Nombre:

Grupo: DNI:

Firma:

Normas del examen:

1. El alumno debera escribir su Nombre, Apellidos y DNI en cada uno de los folios que entregue. 2. El alumnodebera colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre. 3. No esta permitido el uso de ningun tipo decalculadora o smartphone. 4. La puntuacion maxima del examen es de 6 puntos, siendo necesario un mınimo de3 puntos para que se tengan en cuenta el resto de puntuaciones de la asignatura. 5. La puntuacion maxima decada uno de los problemas es de 1 punto. 6. La solucion de cada problema debe estar completamente explicada yrazonada.

⇧

Problemas

Problema 1 Consideremos los subespacios de R3 dados por: U = {(x, y, z) 2 R3 : x + y + az = 0}, W =h(a, 0, 1), (a+ 1, a� 1, 1)i

a. Encuentre una base y dimension de cada subespacio.

b. Calcule el valor de a para que UT

W tenga la mayor dimension posible.

c. Determine U+W en funcion de a.

Problema 2 En el espacio vectorial M2⇥2(R) consideremos la aplicacion f :M2⇥2(R) ! M2⇥2(R) definida porf(M) = M �M t

a. Demuestre que es una aplicacion lineal.

b. Calcule la matriz de f en la base canonica de M2⇥2(R), C = {✓1 00 0

◆,

✓0 10 0

◆,

✓0 01 0

◆,

✓0 00 1

◆}.

c. Calcule una base y la dimension de Ker(f) e Im(f). ¿Que tipo de matrices pertenecen a Ker(f)? ¿Que tipode matrices pertenecen a Im(f)? Estudie si f es un monomorfismo o epimorfismo.

2 Algebra lineal

Problema 3 Sea f el endomorfismo del espacio vectorial R4 cuya matriz en la base canonica es:

A =

0

BB@

3 0 1 04 �1 5 00 0 3 0�4 4 �3 a

1

CCA .

a. Determine si es diagonalizable en funcion de a.

b. Para a=3, calcule su forma canonica de Jordan ası como una matriz de paso, utilizando los elementosalgebraicos necesarios.

Problema 4 Sea q : R3 ! R la aplicacion dada por: q(x, y, z) = 2x2 + y2 � 2xz � 3z2

a. Compruebe que se trata de una forma cuadratica.

b. Determine su matriz en la base canonica.

c. Sea f su forma polar asociada y consideremos el subespacio U = {(x, y, z) 2 R3 : x+ y � z = 0}. ¿Podemosafirmar que R3 = U � U?f ?

d. ¿Es un producto escalar?

e. Busque una base ortogonal respecto a f.

Problema 5 Clasifique, mediante el estudio del polinomio caracterıstico y sus raıces, el movimiento en el espacioafın euclıdeo R2 de ecuaciones (x0, y0) = (2, 0) + (�y,�x). Determine los elementos geometricos asociados.

Problema 6 Mediante diagonalizacion ortogonal clasifique la cuadrica de ecuacion x2 + 2y2 + z2 + 6xz � 2x �4y � 4z + 6 = 0, encontrando su ecuacion reducida

Examen de Algebra lineal - 9 de septiembre de 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso 14/15




Examen de Algebra lineal- 10 de febrero de 2015 - Curso 14/15

Apellidos: Nombre:

Grupo: DNI:

Firma:

Normas del examen:


⇧

Problemas

Problema 1 Se consideran, en el espacio vectorial de polinomios R2[t], los subespacios U = {a + bt + ct2 :a+ b� c = 0} y V = h1 + t, t2i.

a. Determine la dimension de cada uno de ellos, el subespacio U \ V y U + V . ¿Es directa la suma?

b. Se define el conjunto B = {1, t�↵, (t�↵)2} con ↵ 2 R. Demuestre que es una base y que cualquier polinomiop(t) en R2[t] puede expresarse en dicha base como

p(t) = p(↵) + p0(↵)(t� ↵) +p00(↵)

2!(t� ↵)2.

Problema 2 Sea f : R3 ! R4 la aplicacion lineal dada por f(x, y, z) = (z, z, z, x� y+ z) con respecto a las basescanonicas.

a. Determine el nucleo y la imagen de f y respectivas bases de dichos subespacios cuando sea posible. ¿Cuales su rango (dimension de la imagen) y nulidad (dimension del nucleo)? ¿Que relacion verifican estas dosmagnitudes?

b. Analice el caracter inyectivo, sobreyectivo y biyectivo de f . Determine la matriz de f en las bases B ={e2, e3, e1} y B0 = {e4, e3, e2, e1}, dadas en funcion de las bases canonicas.

2 Algebra lineal

Problema 3 Sea el endomorfismo f :R3 ! R3 cuya matriz en la base canonica es:

0

@2 0 �1

2� a 0 a� 12 0 �1

1

A .

a. Estudie para que valores del parametro a 2 R el endomorfismo es diagonalizable.

b. Para a = 1, calcule su forma canonica de Jordan J , ası como una matriz de paso. Calcule la exponencial deJ .

Problema 4 Consideremos la forma bilineal simetrica f :R3 ⇥ R3 ! R definida por

f((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y1 � x1y2 + 3x2y2 � x2y1 + x2y3 + x3y2 + x3y3.

a. Diagonalice encontrando una matriz de paso y vea que la forma cuadratica asociada constituye un productoescalar.

b. Aplique el proceso de Gram-Schmidt, con este producto escalar, a la base canonica.

Problema 5 Determine la ecuacion matricial en el sistema de referencia canonico de R3 que represente al mo-vimiento que consiste en realizar una rotacion de angulo 3⇡

2 con respecto al eje de ecuacion r ⌘ (x, y, z) =(0, 0, 0) + h(1, 0, 1)i compuesta con una traslacion de vector (�2, 0,�2). ¿De que tipo de movimiento se trata?

Problema 6 ¿Cual de las siguientes matrices

✓1/p2 1/

p2

1/p2 1/

p2

◆,

✓1/

p2 1/

p2

�1/p2 1/

p2

◆,

✓1/p2 1/

p2

0 1

◆,

puede usarse como cambio de base para clasificar la conica de ecuacion x2 + y2 � 6xy + 4x + 4y = 0? Usela yencuentre la ecuacion reducida.

Examen de Algebra lineal - 10 de febrero de 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso 14/15



Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Industrial. Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales.Examen de Extraordinario de Algebra Lineal. 1 de septiembre de 2014.

Nombre: DNI: Grupo:

Problema 1 En R3 se consideran los subespacios vectoriales U =< (α, 0,α) >, con α ∈ R y V = 〈(3, 2, 3), (1, 1, 1)〉.Determine los subespacios vectoriales interseccion y suma dependiendo del parametro α. Determine un subespaciovectorial suplementario de V .

Problema 2 De un endomorfismo f de R3 sabemos que:

Ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}

El vector (1, 0,−1) es un vector propio asociado al autovalor λ = 2

Se pide:

1. Determine la matriz del endomorfismo en la base canonica.

2. Calcule una base y la dimension del nucleo y la imagen del endomorfismo.

3. ¿Es R3 suma directa de dichos subespacios?.

Problema 3 Sea f ∈ End(R4) cuya matriz asociada en la base canonica es:

A =

2 1 1 10 2 0 10 0 2 −10 0 0 2

1. Estudie si dicho endomorfismo es diagonalizable.

2. Calcule su forma canonica de Jordan J y una matriz de paso.

3. Calcula eJ .

Problema 4 Consideremos la aplicacion f : R3 × R3 → R dada por:

f((x1, x2, x3), (y1, y2, y3) = 4x1y1 + 2y1x3 + 6x2y2 + 2x1y3 + 4x3y3

1. Compruebe si es un producto escalar.

2. En caso afirmativo, calcule una base ortonormal a partir de la base canonica.

Problema 5 Clasifique el movimiento de ecuaciones:

y1 = −1− x3,y2 = 1 + x2,y3 = −2− x1,

determinando los elementos geometricos correspondientes.

Problema 6 Clasifique ortogonalmente la cuadrica de ecuacion 2xy−4x−2y−2z+4 = 0 encontrando su ecuacionreducida.



Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Industrial. Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales.Examen de Algebra Lineal. 5 de febrero de 2014.

Nombre: DNI:

Problema 1 Consideremos en R3 los siguientes subconjuntos:

U = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 0}

V = {(x, y, z) ∈ R3 : xy = yz}

W = {(α,α,α) : α ∈ R}Se pide:

1. Determine si son o no subespacios vectoriales de R3.

2. Calcule una base y la dimension de los que sean subespacios vectoriales.

3. Calcule la suma e interseccion de los que sean subespacios vectoriales.


Problema 2 Sea la aplicacion lineal f : R2 → R3 dada por f(x, y) = (x+ y, x− y, 3y) con respecto a las respectivasbases canonicas.

a) Determine la matriz de f con respecto a las bases canonicas de R2 y R3. Defina nucleo e imagen de una aplicacionlineal y calcule una base y la dimension del nucleo y de la imagen de la aplicacion lineal f . Estudie si es unmonomorfismo o un epimorfismo.

b) De la expresion matricial que relaciona la matriz de f en las bases canonicas con la matriz de f en las basesB = {(1,−1), (0, 1)} y B′ = {(1, 3, 4), (0, 1, 2), (−1, 0,−1)}.

Problema 3 Sea el endomorfismo f : R3 → R3 cuya matriz en la base canonica es de la forma

A =

1− a 0 −a0 1 0a 0 a+ 1

a) Estudie en funcion del parametro a cuando es diagonalizable.

b) Calcule su forma canonica de Jordan y una matriz de paso en el caso en que no sea diagonalizable.

Problema 4 Sea q la forma cuadratica de R3 dada por q(x, y, z) = −6xy + 8y2.

a) Calcule la forma bilineal simetrica asociada a q.

b) Encuentre una base ortogonal para q.

c) Obtenga la matriz asociada a q relativa a la base del apartado anterior. De explıcitamente la relacion entredicha matriz y la matriz asociada a q en la base canonica.

d) Clasifique la forma cuadratica q.

Problema 5 Calcule las ecuaciones en el sistema de referencia canonico del movimiento helicoidal obtenido tras

girar en primer lugarπ

2radianes respecto al eje x = 2, y + z = 1 y luego componer con la traslacion de vector

(0, 2,−2).

Problema 6 Halle la ecuacion reducida de la cuadrica:

2(x2 + y2 + z2)− 2xz + x = 7.

Explique que movimiento hemos hecho para convertir la cuadrica original en la de la ecuacion reducida.


(Septiembre2012)

(Enero2012)

(Enero2011)


(Enero2011)

(Febrero2010)

GradoenIngenieríadelaEnergía

(Septiembre2012)

(Noviembre2012)


(Enero2011)

(Febrero2010)


(Septiembre2012)

(Noviembre2012)


GradoenIngenieríaMecánica,Eléctrica,ElectrónicayenDiseñoIndustrial

(Noviembre2010)

H I, J, K = −J + K,−I + J, I + J

LM H = {N ∈ P, Q ∈ R H Q = N}

H S, T, T = (T,−S, S)

H T, S, T = (−S, T, S)

H T, T, S = (S, S, T)

UVWXT −S S−S T SS S T

~UVWXT T ZT S SS S T

= [

(Febrero2011)


2. ProblemasdeaplicacioneslinealesdependientesdeparámetrosEnero2013

Enero2012

Enero2011

Septiembre2012


(Febrero2011–problemaquevaporlibre)

(Septiembre2011)

(Febrero2012)

(Septiembre2012)

(Noviembre2012)


(Diciembre2012parcial)


(Noviembre2012)



Examen de Algebra lineal’ - 13 de diciembre de 2012 - Curso 2.012/13

1o Grado en Tecnologıas Industriales - Grupo E

Apellidos: Nombre:

DNI:

Normas del examen:

1. Debe escribir su Nombre, Apellidos y DNI en cada uno de los folios que entregue.

2. Colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre.

3. No esta permitido el uso de ningun tipo de calculadora ni dispositivos multimedia.

4. La puntuacion maxima de cada uno de los problemas es de 1 punto.

!Problemas

Problema 1 Sea f : R3 → R2 una aplicacion lineal de la que sabemos:

f(1, 0, 0) = (3, 4)

f(1, 2, 0) = (1, 8)

f(−1, 1, 3) = (−4, 7)

Se pide:

a. Determina la matriz de f en las bases canonicas.

b. Determina la matriz de f en las bases B1 = {(1, 0, 0), (1, 2, 0), (−1, 1, 3)}, y B2 = {(1, 2), (2, 2)}.

c. Determina una base de Ker(f) y otra de Im(f). ¿Es inyectiva?. ¿Es sobreyectiva?.

d. Considera el subespacio de R3, U = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}. Calcula f(U).

Problema 2 Dada la matriz A =

2 0 3 01 2 0 30 0 2 00 0 1 2

a. Determine la forma canonica de Jordan J de la matriz A.

b. Determine una matriz inversible P tal que PAP−1 = J .

c. Calcule eJ .


(Septiembre2012)

(Enero2012)

(Enero2011)


(Enero2011)

(Febrero2010)


(Septiembre2012)

(Noviembre2012)


(Enero2011)

(Febrero2010)


(Septiembre2012)

(Noviembre2012)


3. Problemasdeaplicacioneslinealesconpolinomios

Noviembre 2016

4. ProblemasdeaplicacioneslinealesconmatricesDiciembre 2012

Enero 2011

Noviembre 2012




(Noviembre2012)





Apellidos: Nombre:

DNI:

Normas del examen:





!Problemas


f(1, 0, 0) = (3, 4)

f(1, 2, 0) = (1, 8)

f(−1, 1, 3) = (−4, 7)

Se pide:






2 0 3 01 2 0 30 0 2 00 0 1 2



c. Calcule eJ .


(Enero2011)

(Febrero2010)


(Septiembre2012)

(Noviembre2012)


Ejercicio

5. Problemasdeaplicacioneslinealesinversos,enlosquetedanunainformaciónytienesqueobtenerlaexpresióndelaaplicaciónlineal.

Diciembre2012

Septiembre2012

Relacion de problemas propuestos

1. En el espacio vectorial de polinomios reales de dimension menor o igual que dos, R2(x), se consideran los

elementos 2� x+ x2, 2x+ x2, y 4� 4x+ x2

• Estudie si el elemento 4�4x+x2 se puede expresar como combinacion lineal de 2�x+x2 y 2x+x2.

2. Dados los vectores A =

✓1 �1

2 0

◆, B =

✓1 0

0 �2

◆, C =

✓0 �1

2 2

◆del espacio vectorial M2(R), estudie

si A se puede expresar como combinacion lineal de B y C.

3. Determine a, b 2 R para que el vector (1, 0, a, b) pertenezca al subespacio generado por el sistema de vectores

{(1, 4,�5, 2), (1, 2, 3,�1)}

4. Estudie si el sistema {(1, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 0, 3)} genera todo R3.

5. Estudie para que valores a, b 2 R es linealmente independiente el sistema {(a, 1, a), (b, a, b), (1, b, a)}.

6. En el espacio vectorial M2(R)

(a) Se considera el subconjunto E =

n✓a b+ c

�b+ c a

◆| a, b, c 2 R

o

• Pruebe que E es un espacio vectorial

• Pruebe que B =

n✓1 0

0 1

◆,

✓0 1

�1 0

◆,

✓0 1

1 0

◆oes una base.

(b) Se considera el subconjunto A formado por las matrices de la forma

✓a b

�b a

◆

• Demuestre que A es un subespacio vectorial de M2(R).• Halle una base de A.

7. Estudie si los subconjuntos siguientes son subespacios vectoriales del espacio vectorialM2(R) de las matrices

reales de dimension 2⇥ 2.

(a) U = {A 2 M2⇥2(R) | det(A) = 0}(b) W = {A 2 M2⇥2(R) | A2

= A}

8. Demuestre que {1 + x, �1 + x, x2} es una base de R2(x).

9. En R4se consideran los vectores

~u1 =

0

BB@

1

2

1

0

1

CCA , ~u2 =

0

BB@

�1

1

1

1

1

CCA , ~w1 =

0

BB@

2

�1

0

1

1

CCA , ~w2 =

0

BB@

1

�1

3

7

1

CCA

(a) Calcule la base de la suma de los subespacios U = L�~u1, ~u2

�y W = L

�~w1, ~w2

�

(b) Compruebe el teorema de la dimension.

10. En R4se consideran los subespacios U = L(~u) y W = L(~w), donde ~u =

0

BB@

2

1

0

0

1

CCA y ~w =

0

BB@

�1

2

1

0

1

CCA

• Halle U \W y U +W.

• Estudie si la suma de U y W es suma directa.

11. Demuestre que los subespacios U y W definidos abajo son suplementarios

U =

n~x =

0

BB@

x1x2x3

1

CCA 2 R3�� x1 � x2 = 0

x1 � x3 = 0

oW = L

⇣0

@�1

1

0

1

A ,

0

@�1

0

1

1

A⌘

1

��




(Noviembre2012)





Apellidos: Nombre:

DNI:

Normas del examen:





!Problemas


f(1, 0, 0) = (3, 4)

f(1, 2, 0) = (1, 8)

f(−1, 1, 3) = (−4, 7)

Se pide:






2 0 3 01 2 0 30 0 2 00 0 1 2



c. Calcule eJ .


6. ParticularidadesFebrero 2010

Diciembre2011


(Noviembre2016parcialMathematica)

(Septiembre2015)

(Febrero2015)

(Septiembre2014)

(Febrero2014)

(Enero2013)

Matematica Aplicada


Graduado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales

Examen Parcial de ‘Algebra lineal’ - 30 de noviembre de 2015 - Curso 15/16

Apellidos y Nombre: DNI:

Firma:

Normas del examen:1. El alumno debera colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre, y rellenar sus datos en cada folio que

entregue. 2. Podra usarse el software Mathematica para la realizacion de ciertos calculos, pero no para la obtencion deconclusiones. 3. La solucion de cada problema debe estar completamente explicada y razonada, incluso aquellos resultadosobtenidos con el mencionado software. 4. La presentacion, orden y claridad en las respuestas sera tenido en cuenta en lapuntuacion final. 5. La duracion maxima del examen sera de dos horas.

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Problemas

Problema 1 Dado un subespacio vectorial U1 de un espacio vectorial V , se denomina subespacio complementario a otroU2 tal que U1 � U2 = V . Consideremos el espacio vectorial R3[t] y el subespacio U = h{1 � 2t + t3, 1 + t � t2,�1 + t +2t2 + t3, 1+ t2 +2t3}i. ¿Que dimension tiene U? Determine las ecuaciones implıcitas de U ası como las de un subespaciocomplementario suyo en R3[t], para lo que se pide mostrar que se verifican las condiciones para ser suma directa.

Problema 2 Considere las aplicaciones g, h : R4 ! R4 dadas por g(x, y, z, t) = (2x� y, 3x+ z, 0, t+ z) y h(x, y, z, t) =(x+ t, x+ z, 3, y � z). Justifique cual de ellas es una aplicacion lineal, y con ella determine: su nucleo y su imagen (unabase de cada subespacio cuando sea posible y sus ecuaciones implıcitas), ası como la interseccion de estos subespacios ysu suma. Determine la nulidad y el rango. ¿Es directa esta suma? ¿Es la aplicacion lineal inyectiva o sobreyectiva? ¿Esun isomorfismo?

Problema 3 Sea f 2 End(R4), con A = M(f,Bc) del que se sabe que f(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 1), el nucleo de f esh{(0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0)}i y A2 = 0, donde las coordenadas estan dadas en la base canonica. Determine el poli-nomio caracterıstico de f y sus raıces con sus multiplicidades algebraicas y geometricas. Justifique con todo rigor, con loselementos algebraicos necesarios, cual es la forma canonica de Jordan asociada J , ası como una base de R4 en la que lamatriz de f sea dicha J . Determine la matriz de f en la base canonica. ¿Es f diagonalizable?

Problema 4 Sea Bc = {e1, e2, e3} la base canonica de R3 y f el endomorfismo que tiene por matriz

0

@↵+ 1 �↵ �2↵↵ 1� ↵ �2↵0 �↵ 1

1

A

en la base {�e1 + e2 + e3, e2,�e1}. Determine la matriz M de f en la base canonica. ¿Cual es el polinomio caracterısticode A? ¿Y el polinomio mınimo? Analice con todo rigor, con todos los elementos algebraicos necesarios, cual es la formacanonica de Jordan de M , y en que base, en funcion de ↵.




Examen de Algebra lineal - 9 de septiembre de 2015 - Curso 14/15

Apellidos: Nombre:

Grupo: DNI:

Firma:

Normas del examen:


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Problemas

Problema 1 Consideremos los subespacios de R3 dados por: U = {(x, y, z) 2 R3 : x + y + az = 0}, W =h(a, 0, 1), (a+ 1, a� 1, 1)i

a. Encuentre una base y dimension de cada subespacio.

b. Calcule el valor de a para que UTW tenga la mayor dimension posible.

c. Determine U+W en funcion de a.

Problema 2 En el espacio vectorial M2⇥2(R) consideremos la aplicacion f :M2⇥2(R) ! M2⇥2(R) definida porf(M) = M �M t

a. Demuestre que es una aplicacion lineal.

b. Calcule la matriz de f en la base canonica de M2⇥2(R), C = {✓1 00 0

◆,

✓0 10 0

◆,

✓0 01 0

◆,

✓0 00 1

◆}.

c. Calcule una base y la dimension de Ker(f) e Im(f). ¿Que tipo de matrices pertenecen a Ker(f)? ¿Que tipode matrices pertenecen a Im(f)? Estudie si f es un monomorfismo o epimorfismo.

2 Algebra lineal

Problema 3 Sea f el endomorfismo del espacio vectorial R4 cuya matriz en la base canonica es:

A =

0

BB@

3 0 1 04 �1 5 00 0 3 0�4 4 �3 a

1

CCA .

a. Determine si es diagonalizable en funcion de a.

b. Para a=3, calcule su forma canonica de Jordan ası como una matriz de paso, utilizando los elementosalgebraicos necesarios.

Problema 4 Sea q : R3 ! R la aplicacion dada por: q(x, y, z) = 2x2 + y2 � 2xz � 3z2

a. Compruebe que se trata de una forma cuadratica.

b. Determine su matriz en la base canonica.

c. Sea f su forma polar asociada y consideremos el subespacio U = {(x, y, z) 2 R3 : x+ y � z = 0}. ¿Podemosafirmar que R3 = U � U?f ?

d. ¿Es un producto escalar?

e. Busque una base ortogonal respecto a f.

Problema 5 Clasifique, mediante el estudio del polinomio caracterıstico y sus raıces, el movimiento en el espacioafın euclıdeo R2 de ecuaciones (x0, y0) = (2, 0) + (�y,�x). Determine los elementos geometricos asociados.

Problema 6 Mediante diagonalizacion ortogonal clasifique la cuadrica de ecuacion x2 + 2y2 + z2 + 6xz � 2x �4y � 4z + 6 = 0, encontrando su ecuacion reducida

Examen de Algebra lineal - 9 de septiembre de 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso 14/15




Examen de Algebra lineal- 10 de febrero de 2015 - Curso 14/15

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Normas del examen:


⇧

Problemas

Problema 1 Se consideran, en el espacio vectorial de polinomios R2[t], los subespacios U = {a + bt + ct2 :a+ b� c = 0} y V = h1 + t, t2i.

a. Determine la dimension de cada uno de ellos, el subespacio U \ V y U + V . ¿Es directa la suma?

b. Se define el conjunto B = {1, t�↵, (t�↵)2} con ↵ 2 R. Demuestre que es una base y que cualquier polinomiop(t) en R2[t] puede expresarse en dicha base como

p(t) = p(↵) + p0(↵)(t� ↵) +p00(↵)

2!(t� ↵)2.

Problema 2 Sea f : R3 ! R4 la aplicacion lineal dada por f(x, y, z) = (z, z, z, x� y+ z) con respecto a las basescanonicas.

a. Determine el nucleo y la imagen de f y respectivas bases de dichos subespacios cuando sea posible. ¿Cuales su rango (dimension de la imagen) y nulidad (dimension del nucleo)? ¿Que relacion verifican estas dosmagnitudes?

b. Analice el caracter inyectivo, sobreyectivo y biyectivo de f . Determine la matriz de f en las bases B ={e2, e3, e1} y B0 = {e4, e3, e2, e1}, dadas en funcion de las bases canonicas.

2 Algebra lineal

Problema 3 Sea el endomorfismo f :R3 ! R3 cuya matriz en la base canonica es:

0

@2 0 �1

2� a 0 a� 12 0 �1

1

A .

a. Estudie para que valores del parametro a 2 R el endomorfismo es diagonalizable.

b. Para a = 1, calcule su forma canonica de Jordan J , ası como una matriz de paso. Calcule la exponencial deJ .

Problema 4 Consideremos la forma bilineal simetrica f :R3 ⇥ R3 ! R definida por

f((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y1 � x1y2 + 3x2y2 � x2y1 + x2y3 + x3y2 + x3y3.

a. Diagonalice encontrando una matriz de paso y vea que la forma cuadratica asociada constituye un productoescalar.

b. Aplique el proceso de Gram-Schmidt, con este producto escalar, a la base canonica.

Problema 5 Determine la ecuacion matricial en el sistema de referencia canonico de R3 que represente al mo-vimiento que consiste en realizar una rotacion de angulo 3⇡

2 con respecto al eje de ecuacion r ⌘ (x, y, z) =(0, 0, 0) + h(1, 0, 1)i compuesta con una traslacion de vector (�2, 0,�2). ¿De que tipo de movimiento se trata?

Problema 6 ¿Cual de las siguientes matrices

✓1/p2 1/

p2

1/p2 1/

p2

◆,

✓1/

p2 1/

p2

�1/p2 1/

p2

◆,

✓1/p2 1/

p2

0 1

◆,

puede usarse como cambio de base para clasificar la conica de ecuacion x2 + y2 � 6xy + 4x + 4y = 0? Usela yencuentre la ecuacion reducida.

Examen de Algebra lineal - 10 de febrero de 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso 14/15



Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Industrial. Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales.Examen de Extraordinario de Algebra Lineal. 1 de septiembre de 2014.

Nombre: DNI: Grupo:

Problema 1 En R3 se consideran los subespacios vectoriales U =< (α, 0,α) >, con α ∈ R y V = 〈(3, 2, 3), (1, 1, 1)〉.Determine los subespacios vectoriales interseccion y suma dependiendo del parametro α. Determine un subespaciovectorial suplementario de V .

Problema 2 De un endomorfismo f de R3 sabemos que:

Ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}

El vector (1, 0,−1) es un vector propio asociado al autovalor λ = 2

Se pide:

1. Determine la matriz del endomorfismo en la base canonica.

2. Calcule una base y la dimension del nucleo y la imagen del endomorfismo.


Problema 3 Sea f ∈ End(R4) cuya matriz asociada en la base canonica es:

A =

2 1 1 10 2 0 10 0 2 −10 0 0 2

1. Estudie si dicho endomorfismo es diagonalizable.

2. Calcule su forma canonica de Jordan J y una matriz de paso.

3. Calcula eJ .

Problema 4 Consideremos la aplicacion f : R3 × R3 → R dada por:

f((x1, x2, x3), (y1, y2, y3) = 4x1y1 + 2y1x3 + 6x2y2 + 2x1y3 + 4x3y3

1. Compruebe si es un producto escalar.

2. En caso afirmativo, calcule una base ortonormal a partir de la base canonica.

Problema 5 Clasifique el movimiento de ecuaciones:

y1 = −1− x3,y2 = 1 + x2,y3 = −2− x1,

determinando los elementos geometricos correspondientes.

Problema 6 Clasifique ortogonalmente la cuadrica de ecuacion 2xy−4x−2y−2z+4 = 0 encontrando su ecuacionreducida.



Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Industrial. Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales.Examen de Algebra Lineal. 5 de febrero de 2014.

Nombre: DNI:

Problema 1 Consideremos en R3 los siguientes subconjuntos:

U = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 0}

V = {(x, y, z) ∈ R3 : xy = yz}

W = {(α,α,α) : α ∈ R}Se pide:

1. Determine si son o no subespacios vectoriales de R3.

2. Calcule una base y la dimension de los que sean subespacios vectoriales.

3. Calcule la suma e interseccion de los que sean subespacios vectoriales.


Problema 2 Sea la aplicacion lineal f : R2 → R3 dada por f(x, y) = (x+ y, x− y, 3y) con respecto a las respectivasbases canonicas.

a) Determine la matriz de f con respecto a las bases canonicas de R2 y R3. Defina nucleo e imagen de una aplicacionlineal y calcule una base y la dimension del nucleo y de la imagen de la aplicacion lineal f . Estudie si es unmonomorfismo o un epimorfismo.

b) De la expresion matricial que relaciona la matriz de f en las bases canonicas con la matriz de f en las basesB = {(1,−1), (0, 1)} y B′ = {(1, 3, 4), (0, 1, 2), (−1, 0,−1)}.

Problema 3 Sea el endomorfismo f : R3 → R3 cuya matriz en la base canonica es de la forma

A =

1− a 0 −a0 1 0a 0 a+ 1

a) Estudie en funcion del parametro a cuando es diagonalizable.

b) Calcule su forma canonica de Jordan y una matriz de paso en el caso en que no sea diagonalizable.

Problema 4 Sea q la forma cuadratica de R3 dada por q(x, y, z) = −6xy + 8y2.

a) Calcule la forma bilineal simetrica asociada a q.

b) Encuentre una base ortogonal para q.

c) Obtenga la matriz asociada a q relativa a la base del apartado anterior. De explıcitamente la relacion entredicha matriz y la matriz asociada a q en la base canonica.

d) Clasifique la forma cuadratica q.

Problema 5 Calcule las ecuaciones en el sistema de referencia canonico del movimiento helicoidal obtenido tras

girar en primer lugarπ

2radianes respecto al eje x = 2, y + z = 1 y luego componer con la traslacion de vector

(0, 2,−2).

Problema 6 Halle la ecuacion reducida de la cuadrica:

2(x2 + y2 + z2)− 2xz + x = 7.

Explique que movimiento hemos hecho para convertir la cuadrica original en la de la ecuacion reducida.


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2. Aplicaciones lineales

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