1esomaes Lp Esu11

7/25/2019 1esomaes Lp Esu11

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Formas geomtricas

I N TRODUCC IN

PROGRAMACINDIDCTICA 11

OBJET IVOS

Identificar y establecer relaciones entre ngulos que permiten calcular unos a partir deotros conocidos.

CR I TER IOS DE EVALUAC IN

Reconocer y calcular ngulos complementarios y suplementarios, y ngulos inscritos y cen-trales en una circunferencia.

Establecer relaciones de igualdad entre ngulos opuestos por el vrtice o de lados para-lelos.

Identificar y construir la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo, y aplicarsus propiedades a la resolucin de problemas.

Identificar las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y entre dos cir-

cunferencias.

Aplicar la frmula del clculo de la longitud de una circunferencia y de un arco para re-solver problemas.

En esta primera unidad de geometra plana se estudian los ngulos, la circunferencia yalgunos tipos de rectas.Conviene empezar recordando que el punto es el elemento bsico de la geometra y queda lugar a los otros: rectas y planos; es necesario insistir en el concepto de ngulo paraque no se identifique solo con el arco que lo representa en el dibujo, y repasar las unidadesde medida de ngulos y sus operaciones bsicas.Es importante que aprendan los nuevosconceptos: de tipos de ngulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vrtice,

de lados paralelos, inscritos, centrales, circunferencia, crculo, figuras circulares y los demediatriz y bisectriz, y que los identifiquen en los dibujos y en la realidad.Tambin deben adquirir destrezas para trazar mediatrices, bisectrices, rectas paralelas yperpendiculares, as como para dibujar y medir ngulos.El clculo de la longitud de una circunferencia y del arco de una circunferencia es de granimportancia en la resolucin de ejercicios y problemas que en ocasiones son extrados desu contorno inmediato.

La programacin didcticase encuentra en el CDde Programacin

Usar correctamente el lenguaje geomtrico para representar la realidad de manera cla-ra, concisa, precisa y rigurosa.


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INTRODUCCIN

El bloque de geometra plana se inicia con una mencin a los puntoscomo elementos bsicos para construir rectas y con el estudio de lasposiciones relativas de las mismas.Partiendo del concepto de ngulo y recordando el sistema sexagesimalde medida, se definen los ngulos complementarios y suplementarios.Tambin se estudia la igualdad de ngulos en los casos en que estos son

opuestos por el vrtice o de lados paralelos.Despus se distingue entre circunferencia y crculo, definiendo suselementos y las figuras circulares para posteriormente estudiar lasposiciones de una recta y una circunferencia y de dos circunferencias.En este momento se pueden definir los ngulos asociados a unacircunferencia, centrales e inscritos, y establecer la relacin de medidaque existe entre ellos.Todos los conocimientos anteriores permiten introducir dos tipos derectas: la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo, estudiar

sus propiedades y su construccin.Finalmente se da una idea grfica de la longitud de la circunferencia yse introduce la frmula para su clculo y el de la longitud de un arcode circunferencia.

NGULOS RECTAS

BISECTRIZ MEDIATRIZ

CIRCUNFERENCIA

Y CRCULO

POSICIONESRELATIVAS

LONGITUDES

FORMASGEOMTRICAS


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CONTENIDOS DEL EP GRAFE

Puntos y rectas.Determinacin de una recta.Rectas secantes y paralelas.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS

Los conceptos del epgrafe ya son conocidos por los alumnos. Sin embargo,se debe insistir en la determinacin de una recta con dos puntos.

Deben afianzar los conceptos de rectas secantes y rectas paralelas, y trazarcon soltura rectas secantes o paralelas a una dada.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

1. a) Tantas como se quiera.b) Secantes porque se cortan todas en ese punto.

2.

ATENCIN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 1 y 2. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra.

Ampliacin

Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESOGeometra.

A

B

r

Nota s :


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ngulo. Sus elementos: vrtice y lados.Medida de un ngulo: sistema sexagesimal.ngulo agudo y ngulo obtuso.ngulo cncavo y ngulo convexo.

ngulos complementarios.ngulos suplementarios.


Es importante recordar el concepto de ngulo, ya que tienden a asociarlocon el arco que lo representa en el dibujo y tienen cierta dificultad paracomprender que se trata de una regin del plano.

Recordar tambin el sistema sexagesimal de medida y repasar las

operaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin y divisin, puesto que seutilizarn a lo largo de la unidad.

Distinguen fcilmente un ngulo agudo y un ngulo obtuso, pero no lesresulta tan sencillo comprender los conceptos de convexo y cncavo. Poreso es recomendable poner varios ejemplos, haciendo que sean ellos losque participen de la solucin.

Por ltimo, trabajar la notacin para que vayan acostumbrndose a utilizarel lenguaje matemtico.

Son dos conceptos nuevos que a los alumnos les cuesta aprender porquelos confunden entre s. Dedicando ms tiempo a aprender y afianzar uno

de ellos e introduciendo despus el otro, se minimiza la posibilidad deconfusin.

Nota s :


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Bsico Libro del alumno: actividades 3, 4, 41, 45 a 47 y 82. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra.

Ampliacin Libro del alumno: actividad 87. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra.


3. Como no suman 180, no son suplementarios.4. a) El complementario de A mide 39 30.

b) El suplementario de A mide 129 30.

Nota s :


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ngulos iguales.ngulos opuestos por el vrtice.ngulos de lados paralelos.


El concepto de igualdad de ngulos es fcil de entender y tampoco resultadifcil que entiendan qu son y que reconozcan ngulos opuestos por elvrtice.

Pero los ngulos de lados paralelos s presentan dificultad, por eso convienehacer muchos ejemplos y que construyan ngulos con los lados paralelosa un ngulo determinado y los midan.

Proponer a los alumnos que dibujen y recorten un ngulo cualquiera y que,

ayudndose de l (puesto que lo pueden cambiar de posicin), busquenentre varios los que tienen los lados paralelos a l con la misma medida.

De igual forma, pueden encontrar el suplementario de lados paralelos consolo ponerlo junto a l y comprobar que forman un ngulo llano.

Nota s :

ATENC IN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 5, 6, 42 y 48.

Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESOGeometra.

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 1.

Ampliacin

Libro del alumno: actividades 49, 50, 88 y 94. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 1, 3 y 6.


5. B 120A 60C 60

6. A 135B 45


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7. 3 cm8.

Es un sector circular.9.

Es una corona circular.


Bsico Libro del alumno: actividades 7, 8 y 9. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra.

Ampliacin



Circunferencia y crculo.Elementos de la circunferencia.Figuras circulares.


Insistir en que la circunferencia es solo el borde de la figura y distinguirladel crculo.

En cada actividad, insistir en que dos radios determinan dos sectorescirculares y en que una cuerda determina dos segmentos circulares.

Es importante que aprendan a observar, orientndoles al principio, hasta quese convierta en algo habitual.

O 5 cm

O

1,5 cm2 cm


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Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.


Son conceptos sencillos, pero como las rectas secantes se cortan en unpunto, a veces, cuando la recta es tangente a una circunferencia, laconsideran secante.

Conviene hacerles notar la diferencia antes de que cometan el error, eindicarles que la palabra secante tiene que ver con el hecho de que secorten, y no con el de tener un punto comn.

Nota s :


Bsico

Libro del alumno: actividades 10, 11, 12, 13 y 51. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 2.

Ampliacin

Libro del alumno: actividades 53 y 79.


10. ry qson exteriores a la circunferencia.sy tson secantes.py uson tangentes.

11. La recta es exterior a la circunferencia.12. La recta es exterior a la circunferencia.13. La recta es tangente a la circunferencia.


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14.

15. Interiores.16. Tangentes interiores.


Bsico

Libro del alumno: actividades 14, 15, 16, 52, 54, 55 y 78.

Cuaderno n.o

5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o

ESOGeometra.

Ampliacin


Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 7.


Posiciones de dos circunferencias.


Como ya han trabajado las posiciones con rectas y circunferencias, losconceptos en s resultan sencillos.

Para conseguir la participacin de los alumnos en esta actividad, se lespuede pedir que dibujen dos circunferencias de distinto tamao. Luego, querecorten la ms pequea y que la siten respecto a la mayor de formatangente, exterior, interior o secante, o simplemente en las distintas formasque se les ocurran. Entre todos conseguirn todas las posiciones posibles.

Con lo anterior y poniendo una medida, se les puede pedir que siten losradios a una distancia determinada y expliquen qu posicin tienen lascircunferencias. Eso ayuda a que, al resolver ejercicios, visualicen la situacin

prctica y les resulte ms fcil la tarea. Preparar unas transparencias con la circunferencia pequea recortada y

proyectar las distintas posiciones tambin puede ayudar en la resolucin deejercicios.

Tangenteexterior

Tangenteinterior

Secante

Interior


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Mediatriz de un segmento.


Utilizar el plegado como se muestra en la pgina para que dibujen lamediatriz de un segmento.

Es interesante que aprendan la propiedad de la mediatriz de que todos suspuntos estn situados a la misma distancia de los extremos del segmento.Por ello conviene que lo comprueben en cada ejercicio midiendo ladistancia desde varios puntos de la misma a los extremos.


Bsico



Ampliacin

Libro del alumno: actividad 59. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra.


17. 18. 5 cm

19. a) b) Se comprueba con la reglaque el punto de corte demediatriz con el segmento,M, est a la misma distanciade A que de B, 3,5 cen-tmetros.

A B

6 cm

C D

4 cm

A

B


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La utilizacin del plegado para construir bisectrices tal y como se muestraen la pgina es muy prctica, ya que si no doblan bien, el ngulo noqueda dividido en dos iguales.

Es importante que aprendan la propiedad de que los puntos de la bisectrizse encuentran a la misma distancia de los lados del ngulo (aunque paraque lo hagan bien es necesario explicarles que la distancia hay que medirlade forma perpendicular a la recta). Y por ello conviene que se les pidacomprobarlo en algunos ejercicios.


Bsico

Libro del alumno: actividades 20, 21, 22, 23, 37, 56, 57, 80 y 81. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO


Ampliacin

Libro del alumno: actividad 95. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 2.


20.

21. 4522. 9023. a) b)

35o

A

B


Bisectriz de un ngulo.

250


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ngulos centrales.Medida de un ngulo central y su arco.


Es tan importante el concepto de ngulo central como calcular su medida,puesto que se utiliza despus para el clculo de ngulos inscritos y en lospolgonos regulares.

Pedir que, una vez calculado, comprueben con el transportador de ngulosque el resultado es correcto.

Si alguna vez se les olvida cmo calcularlo, se pueden ayudar deltransportador para que, a partir de la solucin, deduzcan las operacionesque han de hacer para llegar a ella y las escriban. Pero este instrumento

debe ser utilizado slo para este objetivo, y no como forma de resolver elejercicio.


Bsico


Geometra.

Ampliacin Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra.


24. a) A 360 95 160 105b) A 360 97 130 30 103

25.

26. a) 144b) 12027. 180

90o

3 cmO

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251


ngulos inscritos.Medida de un ngulo inscrito.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Conviene que al principio dibujen el ngulo central y el inscrito

correspondiente al mismo arco y que observen que el inscrito es mspequeo que el central.

Se puede proponer que los alumnos descubran por s mismos la relacinque existe entre ambos. Con varios ejemplos y la ayuda del transportadorpueden medir los ngulos y sacar conclusiones. Si no lo consiguen, se lespuede orientar con preguntas sencillas que conduzcan al objetivo.


Bsico

Libro del alumno: actividades 28, 29, 30, 38, 39, 43, 60, 83 y 84. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra.

Ampliacin

Libro del alumno: actividades 62, 63 y 92. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 5.


28. 10829. 9030. 360

A

O

Nota s :

252


15/24

252


Longitud de la circunferencia.Longitud de un arco de circunferencia.Clculo de la longitud de una circunferencia.Clculo de la longitud de un arco.

Nota s :


El significado de la longitud de una circunferencia se puede aprender deforma experimental tal y como se indica al principio de la pgina.

Tambin se puede utilizar el experimento para obtener la frmula quepermite calcularla. Es sencillo, y siempre resulta ms fcil recordar lo quese aprende por experimentacin.

La frmula del clculo de la longitud de un arco de circunferencia no es

fcil de recordar. Por ello se les puede pedir que lean el subepgrafecorrespondiente y traten de explicar a los compaeros sus conclusiones. Razonar y ser capaces de conseguir las frmulas de otra manera que no

sea simplemente memorizando ayuda a obtenerlas cuando se han olvidadoy ensea a buscar otros caminos de resolucin de problemas distintos alos aprendidos.

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253


Bsico

Libro del alumno: actividades 31 a 34, 40, 64, 65 y 85. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra.

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.Ampliacin

Libro del alumno: actividades 90, 91 y 93. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 4, 8 y 9.

Nota s :


31. 56,52 cm32. 57,46 m33. 12,56 cm34. 5,93 dm

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ESTRATEG IAS Y TCN ICAS

Antes de empezar a resolver un problema, es muy importante insistir en:1. Leer el enunciado. Para lo que se les puede pedir que, una vez ledo,

expliquen al resto de compaeros el problema sin recitarlo textualmente.2. Realizar un dibujo que represente la situacin propuesta en el problema,

especialmente en geometra, que siempre es posible.Para encontrar la solucin: Hay que distinguir entre los datos y lo desconocido. Establecer relaciones entre ellos teniendo en cuenta los contenidos de la unidad.Es interesante la bsqueda de distintas formas de resolucin para que sedecida la mejor de ellas.En muchas ocasiones, la resolucin grfica aproximada del problema ayudaa establecer esas relaciones que permiten encontrar la solucin. Lo importantees que, una vez conseguido el dibujo aproximado, sean capaces de explicarde forma ms rigurosa cmo resolverlo.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES PROPUESTAS

35.

36.

BA

r

BA

r

Se fijan dos puntos A y B en la

recta r.

Se traza una recta perpendicular

a r por B.

BA

r

C

BA

r

45o

C

Con centro en B, se lleva la dis-tancia ABsobre la perpendiculara r.

El ngulo CABq mide 45, porqueel tringulo ABC es isscelesrectngulo.

BA

r

BA

r

Se fijan dos puntos A y B en larecta r.

Con centro en A se traza un arcode radio AB, y lo mismo en B.

BA

r

60o

C

BA

r

120o

C

Se determina C. El ngulo CABqmide 60.

El ngulo suplementario de Apmide 120.

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ORGANIZA TUS IDEAS

Hay que procurar que el alumno note la importancia de los esquemashacindole preguntas referidas a la unidad que debe resolver ayudndose slode la informacin de esta hoja.Es interesante que ellos elaboren sus propios esquemas, pero como puederesultar difcil, para empezar, se les puede pedir que copien y completen ensu cuaderno el que aparece en esta pgina.Se realiza uno de los apartados en clase de forma dirigida y ellos elaboranlos dems en casa.Para completar el primer apartado, realizar los siguientes pasos:1. Buscar en la unidad los epgrafes correspondientes a los tipos de rectas que

hay en el esquema.2. Observar lo que no est anotado y que puede ser importante para resolver

ejercicios.Si no se les ocurre nada, se les puede dar alguna pista: dibujar la mediatriz

y la bisectriz con regla y comps, sealar el punto medio del segmento dela mediatriz o indicar que con la bisectriz el ngulo queda dividido en dosiguales

3. Anotar debajo de cada tipo de recta lo que se les ocurri en el paso anterior.Es importante ensearles a escribir las cosas utilizando, siempre que se pueda,el lenguaje matemtico. As observan cmo se pueden expresar las frases dellenguaje habitual de forma simplificada y lo aprenden poco a poco.

Nota s :

256


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CLCULO MENTAL

37. a) 20 c) 90b) 60 d) 105

38. a) 60 c) 120

b) 100 d) 16039. El apartado a, 30, ya que el ngulo inscrito mide la mitad que su arco

central correspondiente.40. 3,14 cm41. 3042. B 160 y D 2043. Porque son tres ngulos inscritos que abarcan el mismo arco.44. 5 cm

EJERCICIOS PARA ENTRENARSE

ngulos45. a) Obtuso y convexo. c) Obtuso y cncavo.

b) Agudo y convexo. d) Obtuso y convexo.46. a) Complementario: 64 45. Suplementario: 154 45.

b) Complementario: No se puede calcular porque es mayor de 90.Suplementario: 72

c) Complementario: 55 23. Suplementario: 145 23.d) Complementario: 30. Suplementario: 90 30.

47. No, porque B ya es mayor de 90.

ngulos iguales

48.

49. B 80, C 100 y D 10050. BF E 75

G D H C 105

B

C

Nota s :

257


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Posiciones de rectas y circunferencias

51. La recta es exterior a la circunferencia.52.

53.

54. Secantes.55. a) Tangentes exteriores. b) Secantes.

Mediatriz y bisectriz

56. B 70 5457.

Las bisectrices son iguales.58. La mediatriz de AC es la recta

que pasa por BD, y la mediatrizde DBes la recta que pasa porAC.

59.

ngulos centrales y ngulos inscritos

60. a) A 110 b) B 15061. a) A 160 b) A 7762. a) A 36 b) A 2063. A 60; B 90; D 120; E 60; F 30

Longitud de circunferencia y arcos

64. a) 43,96 cm b) 56,52 dm c) 6,28 m65. a) 1,57 cm b) 6,28 cm c) 2,36 cm d) 4,71 cm

r

2 cmO

r

s

A

B

BD

A

C

B

A

r

M

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PROBLEMAS PARA APLICAR

66. 2,83 m67. 8 partes.68. B 27

C

6369. Rosa y Luis deben situarse a 5,5 centmetros de distancia.70.

71. a) 30

b) 372. 75,36 cm73. 39,25 cm74. 6,28 mm

Para poder calcular las longitudes hay que hallar primero el dimetrode cada una de las monedas.

75. a) 30b) 2,09 dm

76. 3,8 m

77. El radio mide 6 369,43 kilmetros.

Nota s :

72o

54o

36o

18o

259


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REFUERZO

Posiciones relativas

78. Tangentes exteriores.79. Exterior a la circunferencia de 2 cm de radio y secante a la de 6 cm de

radio.Mediatriz y bisectriz

80.

81. Son iguales.ngulos: iguales, centrales e inscritos

82. No.83. Iguales.84. A 40

Longitudes de arcos y circunferencias

85. a) 60 b) L 4,19 cm86. L 12,56 cm

AMPLIACIN87. El ngulo de 45 es igual a su complementario, y el de 90 es igual a

su suplementario.88. B 142 C A 3889. a) 90 b) 4590. L 2,83 cm91. a) L 312 cm b) d 99,36 cm92. a) A 120 B 90 C 30

b) A 36 B 108

93. a) L

18,84 cm b) r

3 cm94. A C E G 47; F H B D 133

Bisectriz

Bisectriz

r1

r2

Nota s :

260


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PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

95. a) C5b) D4 y D6

96. a) No se puede en todos los casos.

b) Si sera posible.

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IN

1. La recta es tangente a la circunferencia.2. 1683. a) Complementario: 58 Suplementario: 148

b) Complementario: 26 55 Suplementario: 116 55c) Complementario: 3 Suplementario: 93

4. a) A 90 b) B 605. L 17,27 cm6.

Cada ngulo mide: 4

2

5

22 30

7. A y B son opuestos por el vrtice, y C tiene los lados paralelos a A.8. L 12,56 dm9. L 100,48 cm

10. L 15,7 cm

Nota s :

45o

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MURAL DE MATEMT ICAS

Con las actividades de esta pgina se puede impulsar el trabajo en equipo,exponiendo luego el vocal de cada uno sus resultados en clase y eligiendoentre ellos la solucin ms adecuada.De esta forma se fomenta la igualdad de gnero, la educacin cvica y moraly la educacin para la paz y la cooperacin.

Existen libros que contienen actividades ldicas parecidas y que contribuyena afianzar conocimientos geomtricos.Las nuevas tecnologas tambin aportan opciones interesantes y tienen laventaja de que la herramienta utilizada, el ordenador, es muy atractiva paralos alumnos.Entre ellas, destacar algunas unidades desarrolladas en el programa Descartesdedicadas a 1.o de ESO:a) http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htmb) http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/

index_Policir.htmDe esta pgina interesa la parte correspondiente a crculos que contieneel estudio de los ngulos de la circunferencia, las posiciones relativasentre dos circunferencias, entre una recta y una circunferencia, y lalongitud de una circunferencia.

c) http://www.pntic.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/matefoto/libro/frame.htmLa fotografa tambin es una herramienta muy til para estudiar lageometra. Aqu se pueden observar algunos conceptos tratados en launidad y puede servir de apoyo para la obtencin de nuestras propiasfotografas.

Las curiosidades se pueden utilizar como herramienta para despertar el interspor la geometra del mundo que nos rodea y proponerles la bsqueda deelementos geomtricos en el aula, en el centro, etc.

JUGANDO CON LAS MATEMT ICAS

Nota s :

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