UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRALPRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “A”

3 de Diciembre de 2010 Semestre 2011-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen

antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función cuya gráfica está representada en la figura

12 puntos

2. Calcular, si existe: limx

x x→∞

−

2

11

15 puntos

1EF2011-1A

3. Efectuar las integrales:

) lna x dx∫2

2)

1

xb dx

x+∫ 3 2

)9

dxc

x x−∫

24 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor del

eje de las abscisas, la región limitada por las gráficas de las funciones

3( ) ( )g x x y f x x= =

18 puntos

5. Si la altura de un cilindro circular recto crece a razón de 0.2 centímetros por segundo y su

radio decrece a razón de 0.3 centímetros por segundo, calcular con qué rapidez se está

modificando el volumen del cilindro en el instante en el que su altura mide 4 centímetros y

su radio 6 centímetros.

16 puntos

6. Calcular ( )

( , )f

de f x y x ey x

∂=

∂ ∂

2

x y

1, ln2

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍACÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Final ASemestre 2011 – 1

1. Si el valor medio esta dado por ( )

( )

b

af x dx

f cb a

=−

∫ de la interpretación geométrica de

la integral y de la figura se tiene que:

5

0

11 1 3 14( ) 7

2 2 2

7( )

5

f x dx

f c

⋅= + = =

=

∫

12 puntos

2. Al evaluar se obtiene 1∞

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

3

2

3

ln lim

2

1 11 ln ln 1

1ln 1

0lim(ln ) lim

1 0

2

11

ln lim lim1

2

4ln lim lim 0 ln lim 0

1

x

x

x x

x x

y

x x x

si y y xx x

xy

x

x

xy

x

y y ex x

→∞

→∞ →∞

→∞ →∞

→∞ →∞ →∞

= − ⇒ = −

− ⇒ = =

− ⇒ = −

− ⇒ = = ⇒ = ⇒ = −

0

2

1lim 1 1

x

x

e

x→∞

− =

15 puntos

por lo que se pude aplicar

L’Hôpital

S1EF11-1A

3.a)

2

2

2 22

2

2

ln 2 2 ln

ln

2

12 ln ln

2 2 2

1 1ln ln

2 2

si u x u x udu dx

u udu u udu por partes

w u dv udu

du udw v

u

u uI u udu u u C

I u u C I x x C

= ⇒ = ⇒ =

⇒ =

⇒ = =

= =

⇒ = − = − +

= − + ⇒ = − +

∫ ∫

∫

b) Por sustitución trigonométrica

( )

( )

2

2 22 2

2 2

3 3

3

1

2

3

1

tan

sec

tan sec1 sec tan sec

sec

tan

sec sec sec sec

sec

sec sec

sec tan tan

1sec tan sec sec sec tan sec

2

x

dx d

x I d

x

I d d d

I d por partes

u dv d

du d v

I d I d

θ

θ θ

θ θθ θ θ θ

θ

θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

=

=

+ = ⇒ = =

=

⇒ = − = −

⇒ =

= =

= =

= − − = − + =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

( )2 2

1sec tan sec

2

1 1sec tan sec sec

2 2

1 11 ln 1

2 2

d

I d d

I x x x x C

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

+

= + −

= + − + + +

∫∫ ∫

S1EF11-1A

c) Por fracciones parciales

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2 2

2

11 9 9

9 9

0 91 1 1

1 1 10 101 19 81 81

9 81

1 1 1

81 9 81 9

1 1 1 1 9 1ln ln 9 ln 1

81 81 9 81 9

A B CAx x B x Cx

x x x x x

si x si x

si x A AB C

dx dxI x dx

x x

I x x C I Cx x x

−

= + + ⇒ = − + − +− −

= == − = − − − − + ⇒ = −

⇒ = − ⇒ =

⇒ = − + − + −

= − + − + + = − + +

∫ ∫ ∫

24 puntos

4. Al hacer simultáneas las ecuaciones se obtienen los puntos (0,0) y (1,1)

( ) ( ) ( )1

2 721 23 6

0

0

3

2 7

1 1 5

2 7 14

x xV x x dx x x dx

V u

π π π

π π

= − = − = −

= − =

∫ ∫

18 puntos

5. Si

[ ] [ ]

2

2

3

6 4

2 0.2 / 0.3 /

3 2 2 1 1 22 6 4 36 36 36 36

10 10 5 5 5 5

36/

5

v r h

dv v dr v dh

dt r dt h dt

si r cm h cm

dv dr dh dh drrh r cm seg cm seg

dt dt dt dt dt

dv

dt

dvcm seg

dt

π

π π

π π π π π

π

=

∂ ∂⇒ = ⋅ + ⋅

∂ ∂= =

⇒ = + = = −

− ⇒ = ⋅ + = − + = −

= −

16 puntos

S1EF11-1A

6. Sea

[ ]

2

22

2

(1,ln 2)

2 2

4 ln 4

xy xy

xy xy xy

xy xy xy

fxye e

x

fxyxe xe xe

y x

fx ye xe xe xy

y x

f

y x

∂= +

∂

∂⇒ = + +

∂ ∂

∂⇒ = + = +

∂ ∂

∂= +

∂ ∂

15 puntos