UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “C”

31 de Mayo de 2010 Semestre 2010-2 INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función ( ) ( )32 1f x x= − − en el intervalo

[ ]0 2, y obtener el o los valores de C tal que cumplan con el Teorema del

Valor Medio del Cálculo Integral

10 puntos

2. Obtener 1x

dydx =

si ln x

xy e=

10 puntos

3. Determinar si la siguiente integral converge o diverge 0

12 1

dxx

−+∫

10 puntos

1EF10-2C

4. Efectuar

2

2 22 1

2 3sen x cos x xa ) dx b ) dx c ) dxsen x cos x x x x

+ −

− + +∫ ∫ ∫

20 puntos

5. Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar

alrededor del eje de las abscisas la región limitada por las gráficas de las

funciones ( ) ( )2 22f x x g x x= − + =

15 puntos

6. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación

2 2 4z x y= + − en el punto ( )2 1 1, ,

20 puntos

7. Obtener el dominio de la función f

y representarlo gráficamente

( ) ( )2 1f x ,y ln x y= + −

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Final Tipo “C”

Semestre 2010 – 2

1.

( )( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )

23

0

24

0

3

2 1

2

11 1 1 1 12 4 0 4 22 4 2 4 4 2

2

2 1 2 1

1

x d xE l v a l o r m e d i o e s f c

xf c x

f c , e n t o n c e s

f c C C

R e s u l t a d oC

− − =

− ⇒ = − = − − − = =

⇒ =

= − − = ⇒ =

=

∫

10 puntos

2. Si la función la escribimos como 1xy x=

( )

( )

( )( )

1

2

2

2

1

1

1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 0

1

x

x

x

l n y l n xx

y ' l n xy x x x

y ' y l n xx

y ' x l n xx

y '

R e s u l t a d oy '

=

=

⇒ =

⇒ = + −

⇒ = − ⇒ = −

= −

=

i

10 puntos

S1EF10-2C

3. Es impropia

( )12

0 0

10 01

0

1 11 2 12 2

1 1

1

I l im x d x lim x

I lim p o r lo q u e la in t eg ra l co n v erg e

R e su lta d oI p o r lo q u e la in t eg ra l co n v erg e

εε εε

εε

−

− +→ →− +

→

= + = +

= − =

=

∫

10 puntos

4. a)

( )

( )

sen x c o s x d x d ire c tase n x c o s x

I ln se n x c o s x C

R e su lta d oI ln se n x c o s x C

+

−

= − +

= − +

∫

b)

( )( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

2 22 12 3

2 2 1 22 1 2 1

1 2

2 22 2

2 1

1 2

12

d x se p u e d e esc r ib ir d xx xx x

p o r fra cc io n es p a rc ia le sA B A x B x

x x x xS i x S i x

B A

I d xx x

I ln x ln x C

R e su lta d o

xI ln Cx

+ ++ +

= + ⇒ = + + ++ + + +

= − = −

⇒ = ⇒ = −

− ⇒ = + + +

= + − + +

+ = +

+

∫ ∫

∫

c)

2

2

2

1

P o r s u s t i tu c ió n tr ig o n o m e tr íc ax s e n

x c o s

c o s d c o t d c s c ds e n

I c o t a n g s e n C

θ

θ

θθ θ θ θ θ

θ

θ θ

=

− =

⇒ = = −

= − − +

∫ ∫ ∫

5.

(1 1

1 0

3

2 2 4 4

8 83 3 3

V x x d x x d x

xV x u

π π

π π π

−

= − − = −

= − = =

∫ ∫

6.

( )

( ) (0 0 0

, , 0 , 4 0

2 , 1 , 1P P

Sea F x y z x y zla ecuación del plano está dada pora x x b y y c z z donde

F F Fa b c Px y z

a b c

= + − − =

− + − + − =

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

= = =

( )2 2

2

1

1

P o r s u s t i tu c ió n tr ig o n o m e tr íc a

d c o t d c s c d

I c o t a n g s e n C

R e s u l ta d o

xI a n g s e n x Cx

θ θ θ θ θ

θ θ

= = −

= − − +

−= − − +

∫ ∫ ∫

) ( ) ( )1 1

2 22 2 2

1 0

133

0

3

2 2 4 4

2 1 68 83 3 3

R e1 63

V x x d x x d x

xV x u

su lta d o

V u

π π

π π π

π

= − − = −

= − = =

=

∫ ∫

) ( )

( )

2 2 2

0 0 0

, , 0 , 4 0

0

2 , 1 , 1

2 , 1 , 1P PP

Sea F x y z x y zla ecuación del plano está dada pora x x b y y c z z donde

F F Fa b c Px y z

= + − − =

− + − + − =

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

S1EF10-2C

I a n g s e n x C= − − +

20 puntos

3

15 puntos

[ ]

( ) (

2 2 2

4 , 2 , 2

4 2 2 1 2 1 04 8 2 2 2 2 04 2 2 8 0

2 4 0

P

F xi yj zk

F

x y zx y zx y z por lo que la ecuación es

x y z

∇ = + −

∇ = −

⇒ − + − − − =

− + − − + =

+ − − =

+ − − =

7.

( ) ({( )2

2 2

1

fD x, y ln x y

ln x y

x y e por lo que y e x

= + − ≥

⇒ + ≥

⇒ + ≥ ≥ −

) ( )

2 2 2

4 2 2 1 2 1 04 8 2 2 2 2 04 2 2 8 0

Re2 4 0

F xi yj zk

x y zx y zx y z por lo que la ecuación es

sultadox y z

− + − − − =

− + − − + =

+ − − =

+ − − =

) }2

2 2

1 0

1

D x,y ln x y

x y e por lo que y e x

= + − ≥

+ ≥

+ ≥ ≥ −

S1EF10-2C

2 4 0

20 puntos

15 puntos