1a-84 Matemática (pp....

MATEMÁTICA

Total de horas clase: 200Frecuencia semanal: 5 horas clase

Lic. Nilda León FiguerasLic. Miriam Villalón Incháustegui

Lic. Rosa Lidia Peña GálvezProf. Margarita Bello Domínguez

Dra. Celia Rizo Cabrera

Revisión y actualización:Lic. Iovanat García Enríquez

M.C. José Elías Bermúdez BritoLic. Luis Castillo Castillo

Lic. Luisa Elvira Varela Piloto

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Tratamiento metodológico general de la asignaturaen el grado

La enseñanza de la matemática en el cuarto grado completa una etapa impor-tante en la formación matemática de los alumnos en relación con el estudio de losnúmeros naturales y el cálculo en este dominio numérico, así como en la etapapreparatoria, perceptual y práctica en el trabajo con los conceptos geométricos.

El desarrollo de habilidades de cálculo continúa siendo también el centro delas exigencias en el cuarto grado, el cual tiene significativa importancia por ser elgrado en que culmina el primer ciclo de la educación primaria.

Los conocimientos y habilidades matemáticas tratados en los tres primerosgrados deben mantenerse e integrarse a los conocimientos y habilidades que seintroducen en este; ello debe posibilitar que los contenidos esenciales de cadadirectriz de la asignatura se sistematicen. Por ello la sistematización de los co-nocimientos y habilidades adquieren notable fuerza en este grado.

Los métodos y procedimientos utilizados deben contribuir a que los alum-nos puedan comparar y relacionar lo nuevo con lo ya conocido, deben propiciarque los alumnos expliquen cada vez con mayor grado de independencia, lasrelaciones que existen y las formas de proceder.

Es imprescindible utilizar vías metodológicas adecuadas para lograr quelos alumnos conozcan las características de los números naturales y del sistemade posición decimal mediante el reconocimiento de las centenas, decenas y uni-dades y las relaciones entre estas, pues sobre esta base estará sustentado eldesarrollo de habilidades de cálculo.

La interiorización de los procedimientos escritos de cálculo con las cuatrooperaciones fundamentales ampliado al trabajo con números hasta un millón,debe asegurar que estas habilidades constituyen la base para el cálculo en otrosdominios numéricos en los grados siguientes.

En la introducción de los nuevos contenidos es importante asegurar la rea-lización de variados ejercicios y actividades que contribuyen a consolidarlos yposteriormente otros que propicien su aplicación.

El sistema de ejercicios que proponen los materiales para el alumno y parael maestro ofrecen posibilidades de un trabajo variado y al mismo tiempo con-tribuyen a la participación activa de los escolares, al mostrar diferentes posibili-dades de realización. La inclusión de ejercicios interesantes tienen la intenciónde propiciar la discusión y el análisis para el reconocimiento de aspectos impor-tantes del contenido; no obstante deberán ser enriquecidos con ejercicios rela-cionados con la vida práctica, así como aquellos que desarrollen el pensamientoreflexivo y la creatividad en el escolar. El arte y la imaginación del maestro serándecisivos en este sentido.

Los alumnos deberán reconocer además la importancia de reafirmar y sis-tematizar los conocimientos sobre magnitudes que han venido estudiando en elciclo, de modo que puedan aplicarlos con facilidad en el trabajo con conversio-nes que toma mayor fuerza en este grado. Las habilidades para estimar debentambién ser desarrolladas en el grado.

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El trabajo con los conceptos y habilidades geométricas completan la etapapropedéutica; se debe lograr una primera sistematización de los polígonos estudia-dos y el reconocimiento de características esenciales de las figuras planas y cuer-pos estudiados, lo que les permitirá adquirir nuevos conocimientos acerca de lasfiguras y cuerpos ya conocidos. Las posibilidades de profundización están dadasno solo en el sistema de conceptos sino en el desarrollo de habilidades, lo queincluye el trazado de figuras planas haciendo uso de los instrumentos requeridos.

El trabajo con problemas en el cuarto grado tiene por objetivo continuardesarrollando habilidades en el razonamiento de los alumnos en favor de la com-prensión de las relaciones fundamentales con el significado práctico de las ope-raciones de cálculo con números naturales y su vinculación con la vida diaria.

Los alumnos deberán resolver ejercicios con textos y problemas sistemá-ticamente durante el curso. El nivel de independencia en la solución de proble-mas lo irán adquiriendo paulatinamente y a ello contribuirán la forma de trabajoque propicie el maestro.

Se hace necesario en este grado utilizar procedimientos y técnicas de tra-bajo que ayuden a los alumnos a establecer comparaciones, a reconocer y rela-cionar situaciones similares o diferentes; en el caso de los ejercicios con textoestas relaciones matemáticas están explícitas y contribuyen a reconocer másadelante estas relaciones en situaciones más complejas, como los problemas.

Por ello recomendamos que se realice un análisis de los ejercicios propues-tos en el texto para cada período y podrán comprobar como ellos satisfacen ladoble función de ejercicios para el desarrollo del pensamiento y para la aplica-ción de las habilidades de cálculo logradas.

La solución de ejercicios con texto y fundamentalmente la solución deproblemas requiere por parte del alumno de la apropiación de un procedimientogeneralizado que integre a su vez diferentes técnicas que el alumno ha venidoadquiriendo a través de los diferentes grados del primer ciclo.

El libro Aprende a resolver problemas aritméticos, del Dr. Luis Campistrousy la Dra. Celia Rizo propone las fases siguientes para ese procedimiento genera-lizado.

Leo Lectura global1. ¿Qué dice? Lectura analítica

Releo Modelación

2. ¿Puedo decirlo Reformulo Lectura analíticade otra forma? y reformulación

3. ¿Cómo lo puedo Busco la vía de Lectura analítica y reformulaciónresolver? solución Modelación

Determinación de problemas auxiliaresTanteo inteligenteAnalogía

Resuelvo

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⎧⎨⎩

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Es necesario que el maestro reconozca la estrecha relación entre todasestas etapas, que no pueden verse aisladas, sino integradas en todo el proceso desolución.

Algunos problemas que se presentan en la primera unidad se relacionancon el dominio de los números naturales, similares a los siguientes:– El número de alumnos de la escuela “Frank País“ es el sucesor de 389 y el

número de alumnos de la escuela “José Martí” es el antecesor de 300. ¿Cuán-tos alumnos tienen las dos escuelas juntas?

– La cantidad de libretas que llegó al almacén de la escuela según nos dijo ladirectora la puedes saber si escribes el número formado por 3 centenas y5 unidades. ¿Cuántas libretas llegaron al almacén?

Algunos problemas simples se plantean mediante situaciones o palabrasque no ayudan a reconocer la operación, por ejemplo:

En el año 1991 mis abuelos cumplieron 35 años de casados. ¿En qué año secasaron mis abuelos?

Ellos deben explicar por qué hay que sustraer.El tratamiento de problemas a través de todo el curso requiere que el maestro

no pierda de vista este trabajo, que aunque no constituye una unidad de enseñanzaindependiente, es contenido de enseñanza en todos los grados del ciclo, y en par-ticular las etapas antes mencionadas; así como las diferentes técnicas.

Se deben buscar recursos que posibiliten el reconocimiento por los alum-nos de la situación, de lo que se pregunta y desarrollar en ellos el hábito deanalizar la posibilidad o no de su solución.

A veces se presentarán en el texto problemas que no pueden resolver y losalumnos deben reconocer y fundamentar por qué no tienen solución.

Pudiera ser porque les falta algún dato o porque los datos que ofrece lasituación son “contradictorios”. Por ejemplo:

Compré 80 artículos entre gomas y lápices por $ 5,00; 50 lápices a 5centavos y las gomas a 10 centavos. ¿Cuántas gomas compré?

Este ejercicio los alumnos intentarán resolverlo calculando la diferencia delos artículos y los 50 lápices para conocer el número de gomas y este cálculo noposibilita la solución pues

80 – 50 = 30

50 lápices a 5 centavos 30 gomas a 10 centavos50 · 5 centavos = 250 centavos 30 · 10 = $ 3,00

= $2,50

Si se adiciona $ 3,00 + $ 2,50 = $5 ,50. La suma es mayor que $ 5,00. Deello se deduce que este problema no se puede solucionar con los datos que seofrecen por ser contradictorios.

Ejercicios como estos son muy importantes, para discutir con los alumnos;por ello se encontrarán algunos en el texto. También es conveniente promoverla discusión para que el alumno se dé cuenta que manteniéndose la situación, sise cambian los datos, surge un problema que sí puede resolverse. Por ejemplo

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en este caso si en vez de 80 artículos se compran 75 o también si en vez de$ 5,00 el importe de la compra es $ 5,50.

También a los alumnos se les presentarán problemas incompletos, a loscuales les falta la pregunta, la cual deben elaborar los propios alumnos y des-pués acometer su solución.

La variedad en la presentación de las exigencias en la solución de proble-mas, contribuye al poder de concentración de los alumnos, a la seguridad antesus razonamientos, así como a la posibilidad de la aplicación de las habilidadesde cálculo logradas.

Se ha intentado que en el texto donde se presentan, por ejemplo, la adi-ción y la sustracción, muchos de los problemas que se incluyen en la ejercitaciónse resuelvan mediante estas operaciones, pero además aparecen otros de mul-tiplicación o de división, de modo que no se mecanice el razonamiento de losescolares.

Es importante destacar que los alumnos deben resolver muchos ejercicioscon una misma operación de cálculo (variando la situación). El maestro debetener presente esto y además incluir otros con operaciones de cálculo ya trata-dos para retroalimentarlas, presentando estas en variadas situaciones, por lo quees necesario que el maestro elabore problemas similares a los que se ofrecen enel texto y de esta forma consolidan lo aprendido.

La dosificación de las dificultades desde el punto de vista aritmético tendráen cuenta el número de operaciones: una operación, dos o más operaciones parasu solución. Además inicialmente pueden combinarse la adición y la sustrac-ción; después la multiplicación con las anteriores y la división con las anteriores,por lo que puede apreciarse la diversidad de posibilidades que se ofrecen para lapráctica y ejercitación de los problemas con dos pasos de solución o más.

Es necesario reconocer ejercicios en los que las operaciones no dependenuna de la otra y otros en que los cálculos son dependientes. En la solución deestos últimos es imprescindible la aplicación de la técnica de la búsqueda deproblemas auxiliares. En la búsqueda de estos subproblemas auxiliares intervie-ne el análisis conjunto de lo que le piden, con lo que le dan a partir de la pregunta:¿Qué necesito saber para contestar la pregunta del problema? Si no lo sé, formu-lo un problema auxiliar y vuelvo a hacerme la misma pregunta, hasta que llego aun subproblema que puedo resolver.

En el libro de texto se ofrecen algunos problemas para los cuales losalumnos deben mantener las habilidades logradas en el grado anterior y apli-carlas al cálculo con nuevos números; tal es el caso de los problemas cuyosdatos se dan en tablas. Estos problemas les permiten analizar los datos que seofrecen, reconocer la situación, exponerlos, acometer la solución del proble-ma y responder. En este grado se presentan problemas que se solucionan através de “reducción a la unidad”, idea previa a la proporcionalidad y que sonmuy “útiles para resolver problemas de la vida cotidiana cuando se conoceuna información sobre un grupo de cosas y se tiene que concluir la mismainformación sobre otra cantidad.

Ejemplo: LT, página 133, el problema 66. En su solución contribuye el usode tablas como forma de modelación.

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En otros casos ellos también utilizan recursos como representaciones consegmentos u otros esquemas que puedan ayudarlos a resolver una situación plan-teada.

Es importante por tanto que los maestros resuelvan todos los problemasque van a plantear en sus clases, de modo que analicen las exigencias de cadasituación y la forma de presentarlas a sus alumnos.

Es necesario que en este grado, se continúe el trabajo de control o compro-bación de los resultados del problema. Este no es solo la revisión de las opera-ciones para determinar la corrección en el cálculo, sino el análisis de la lógica dela respuesta en relación con lo que se pregunta; si el cálculo o los cálculosrealizados son los verdaderamente necesarios para ofrecer una respuesta co-rrecta, incluso poder analizar si se hubiera intentado otra vía para llegar al mis-mo resultado. Todas estas valoraciones contribuyen al desarrollo del pensa-miento lógico.

Al solucionar los problemas en cuarto grado al igual que en los anterioresnos interesa que los alumnos razonen y encuentren la vía de solución adecua-da. Es más importante que ellos puedan calcular y dar respuesta a los proble-mas que se les planteen por la vía aritmética, pues con ella el alumno reconocela operación u operaciones, que intervienen en su solución, las plantean ycalculan.

La vía algebraica (mediante el planteamiento de las ecuaciones) contribu-ye también a modelar el razonamiento de la situación, pero en este grado lautilizaremos solamente en aquellos ejercicios y problemas que así lo requieran,para su mejor comprensión.

Esta posibilidad de plantear la ecuación se prestaría por ejemplo para ejer-cicios como:

Un sumando es 325 y la suma es 492.¿Cuál es el otro sumando?325 + x = 492

Aunque este ejercicio también puede calcularse por la vía aritmética al ex-presar directamente la sustracción.

492 – 325 492– 325

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Es de gran importancia que el maestro comprenda que una correcta for-mulación de problemas por los alumnos se apoya en la comprensión y solu-ción de problemas con diferentes grados de dificultad; los alumnos puedenformular problemas cuando estos han adquirido seguridad en la solución deltipo de problema en cuestión y ello constituye al mismo tiempo una vía para lafijación y desarrollo de procesos lógicos del pensamiento y también al desa-rrollo del pensamiento lateral proporcionándole la creatividad y la imagina-ción de los niños.

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Tratamiento metodológico por unidades

1 Los números naturales (38 h/c)

1.1 La sucesión de los números naturales (33 h/c)

Observaciones preliminares para el tratamiento de la unidad

El desarrollo de esta primera unidad del programa incluye como condiciónindispensable una serie de horas clase dedicadas a reafirmar los números natu-rales hasta 10 000, lo que debe propiciar no solo el nivel de partida en el estudiode los números hasta 1 000 000 sino que posibilita la obtención de los nuevosnúmeros con una participación cada vez mayor de los alumnos. Este grado deconciencia de la obtención de los nuevos números mediante un mismo princi-pio, debe llevar a los alumnos al final de esta unidad a comparar, relacionar y,por tanto, sistematizar sus conocimientos en este dominio numérico.

Es importante que el maestro y los alumnos reconozcan, además, la inten-ción del programa de Matemática de este grado, de no solo dedicar estas prime-ras horas del curso escolar a consolidar el conocimiento de los números natura-les, sino que paralelamente al estudio de los números mayores que 10 000 sedeben realizar múltiples actividades para mantener las habilidades en los ejerci-cios del cálculo oral y en los procedimientos escritos de las cuatro operacionesde cálculo fundamentales.

Paralelamente se continuará trabajando en el conocimiento de las centenas,decenas y unidades en números dados; así como en el principio fundamental deque 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

Al trabajar en la comprensión y estructura de los números se debe tenerpresente, identificar el lugar decimal que corresponde a cada cifra dentro delmismo; así como la cantidad de un orden que contiene el mismo.

Ejemplo: 23 4532 decenas de millar3 unidades de millar4 centenas5 decenas3 unidades

Pero si preguntamos: ¿Cuántas decenas de millar, unidades de millar, cente-nas, decenas y unidades tiene exactamente el número 23 453? La respuestasería:

23 453 tiene 2 decenas de millar23 unidades de millar234 centenas2 345 decenas23 453 unidades

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El conocimiento de los nuevos números incluirá la introducción de las po-tencias de 10 hasta 1 000 000 inicialmente y con ello la centena de millar y launidad de millón; más adelante como profundización se representarán númerosmayores que un millón, trabajo que se continuará en quinto grado.

La formación de los nuevos números se realizará por los alumnos y deforma similar al grado anterior, ya que se obtendrán primero los múltiplos dediez mil y los múltiplos de cien mil; una vez que estos se dominan se estudiaránlos demás números de cinco y seis lugares.

El estudio de los números de cinco y seis cifras se debe apoyar en un ampliotrabajo para la comprensión del número y su estructura. Es importante destacar elvalor posicional de las cifras en cada número que se estudia, a ello contribuye eltrabajo en las tablas de posiciones, así como el reconocimiento de unidades, dece-nas, centenas y las unidades, decenas y centenas de millar.

Se hace necesario el incremento de ejercicios de lectura y escritura de núme-ros de modo que se desarrollen habilidades con los números hasta 1 000 000.

Es contenido esencial además, el dominio del orden de los números natura-les, que incluye ejercicios de comparación, de ordenamiento, de determinaciónde los números que están entre dos números dados. Se refuerza en este momen-to el procedimiento para la comparación de números y ejercicios para completarseries numéricas.

Es importante el trabajo que debe realizarse en esta unidad para la obten-ción de las reglas de redondeo de números (por exceso y por defecto) y que losalumnos reconozcan su importancia en la práctica. La introducción de este con-tenido es conveniente para la comprensión de datos expresados en forma redon-deada y como preparación para el estimado que de manera opcional se realiza enla multiplicación y la división. Para el trabajo con el redondeo el maestro sepuede apoyar primeramente en el LT de tercer grado, páginas 42 a la 44, para sutratamiento; así como posteriormente los que aparecen en el LT de cuarto.

La unidad incluye además un epígrafe de consolidación de las habilidadesde cálculo escrito de las cuatro operaciones, no obstante que estos contenidosse repasan desde el inicio del curso.

Es indispensable el repaso de los pasos de trabajo en cada uno de los pro-cedimientos, que servirá de base para el cálculo con números de cinco o seislugares.

Es necesario recordar que esta unidad se culmina con el reconocimientodel principio de elaboración de los números mediante la representación de nú-meros de siete, ocho y nueve lugares en la tabla de posiciones y se resumenpropiedades importantes del sistema de numeración decimal.

En el desarrollo del contenido se incluirá el trabajo con problemas simplesy compuestos en los que se apliquen las habilidades de cálculo ya adquiridas enel grado anterior.

Ejemplos de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria

1. Lee: 42, 420, 9 006, 8 060, 6 842, 2 031.2. Indica los múltiplos de 1 000 que están entre 3 000 y 9 000.3. Calcula el doble de: 8, 15, 400, 3 000.

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4. Calcula:a) 20 + 30 b) 80 – 60 c) 300 + 600 d) 700 – 300

40 + 50 90 – 30 400 + 200 500 – 40060 + 70 120 – 60 8 000 + 2 000 9 000 – 3 00080 + 30 150 – 70 5 000 + 3 000 7 000 – 5 000

5. a) 4 + x = 9 b) 8 – x = 5 c) x – 2 = 66 + x = 15 7 – x = 1 x – 3 = 88 + x = 12 12 – x = 6 x – 5 = 7

6. Ejercicios orales en cadenaa) 9 + 6 + 3 + 2 + 6b) 7 + 3 + 6 + 2 + 5

7. a) 348 + 648b) 6 217 + 906c) 649 – 318d) 6 009 – 889

8. Calcula:a) 3 · 7; 9 · 4; 8 · 6

5 · 8; 7 · 7; 4 · 6b) 9 : 3; 16 : 4; 24 : 3; 30 : 10; 27 : 9; 18 : 6

9. Una semana tiene 7 días. ¿Cuántos días tienen 8 semanas?10. Calcula:

a) 30 · 2 50 · 4 90 · 3 70 · 5b) 6 · 20 9 · 40 8 · 70 4 · 60

11. a) 40 · 2 + 2 + 10 b) 40 + 5 · 6 c) 9 · 3 + 220 · 3 + 20 60 + 3 · 5 6 · 7 + 550 · 2 + 50 80 + 6 · 2 4 · 4 + 6

12. Descompón estos números como suma:514, 604, 81, 899, ... ,

13. Escribe los números:a) Quinientos ochenta y sieteb) Ochocientos nueve

14. Escribe los números formados por:a) 5 decenas de millar, 3 centenas y 4 unidadesb) 9 centenas de millar, 2 decenas de millar y 8 unidades de millarc) 42 unidades de millar y 32 decenas

15. Observa el número 302 049. Marca con una cruz (×) la respuesta correcta:a) La cifra 2 ocupa el lugar de las centenas b) La cifra 2 ocupa el lugar de las unidades de millar c) La cifra 2 ocupa el lugar de las decenas de millar

16. Dado el número 342 832a) ¿Cuántas unidades de millar hay exactamente?b) ¿Cuántas decenas de millar hay exactamente?c) ¿Cuántas decenas hay exactamente?

17. Dado el número 438 042a) ¿Cuántas centenas hay exactamente?b) ¿Cuántas centenas de millar hay exactamente?

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18. Marca con una cruz (×) las respuestas incorrectas.El número 2 343 está formado por:a) 23 centenas y 43 unidadesb) 23 decenas y 43 unidadesc) 234 centenas y 3 unidadesd) 2 343 unidades

19. Si el número formado por 54 decenas y 3 unidades se divide por 3, se obtiene:a) 181 unidadesb) 181 decenasc) 181 centenasd) no tiene solución

20. Compara:a) 89 y 101 b) 468 y 491 c) 6 273 y 6 249

390 y 410 998 y 2 315 8 096 y 8 099d) 232 unidades de millar y 232 decenas

21. Continúa cada sucesión de números. Nombra cinco números más en cadacaso:a) 2, 4, 6, ...,b) 5, 10, 15, ...,c) 3, 6, 9, ...,

22. Ordena:a) Comienza por el número menor

367, 92, 651, 9, 215b) Comienza por el número mayor

459, 812, 6 090, 6 236, 47023. Calcula. Compara ambos resultados

764 + 624 y 219 + 1 16924. a) Adiciona el número formado por 42 centenas y 3 unidades de millar

b) Sustrae a 17 unidades de millar, el número formado por 23 decenasc) ¿Se le puede sustraer a 32 centenas, 32 centenas de millar?

25. Calcula:a) 700 · 6 b) 748 · 8

900 : 3 692 · 6900 · 2 3 408 · 7

26. Calcula:a) 800 : 2 b) 863 : 3

1 200 : 3 288 : 81 500 : 3 6 430 : 5

27. Redondeaa) A múltiplos de 100

347 , 518, 891, 438, 685b) A múltiplos de 1 000

2 644, 5 209, 7 589, 9 026, 6 84228. En saludo al 4 de abril los pioneros recogen materia prima para el CDR. Un

grupo recogió 294 pomos y otro grupo 328. ¿Cuántos pomos se han recogi-do en total?

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29. Para un cumpleaños colectivo se han confeccionado 148 sombreritos y eldoble de carteritas. ¿Cuántas carteritas se han confeccionado?

30. A una escuela se enviaron 1797 libretas rayadas. De ellas se deben guardarcomo reserva la tercera parte y el resto repartirla a los estudiantes. ¿Cuántaslibretas se deben guardar?

1.1.1 Consolidación de los números naturales hasta 10 000Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Representación de números de dos, tres y cuatro lugares en la tabla de posicio-

nes. Determinar el lugar que ocupa cada cifra que componen el número yexpresar cuántos millares, centenas, decenas o unidades tiene un número dado.

• Representación de números como suma y como suma de productos.• Composición y descomposición de números.• Lectura y escritura de números de tres y cuatro lugares.• Escritura de cómo se lee el número, o sea, su expresión numeral.• Ejercicios de cálculo escrito con estos números.• Determinación del antecesor y sucesor de números dados.• Comparación de números, determinación de números que están entre dos nú-

meros dados.• Completamiento de series numéricas.• Ordenamiento de números de tres y cuatro lugares.• Ejercicios con texto y problemas.

Se trabajará con las páginas de la 2 a la 7 del libro de texto y de la 1 a la 4del cuaderno de trabajo.

Recomendaciones metodológicas para el desarrollode las clases

En el desarrollo de los contenidos de estas primeras clases del curso debepredominar la iniciativa de cada maestro para asegurar el nivel de partida en susalumnos.

La estructuración de las clases debe ofrecer posibilidades al maestro paraconocer en qué aspectos de la materia debe hacer mayor énfasis de acuerdo conlas necesidades de sus alumnos, no obstante, es recomendable que al retornar altrabajo con los números naturales de grados anteriores se comience por el tra-bajo con los múltiplos de potencias de 10. Cada alumno debe estar seguro delsignificado de estos múltiplos. Por ejemplo:

60, 600 y 6 000

• Ellos deben tener idea clara de su representación de forma concreta:60 (seis tiras de 10 cuadrados)600 (seis cuadrados de 100 cuadritos)6 000 (seis tiras de 1 000 cuadritos cada una del papel milimetrado)

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• Deberán además reconocer el lugar que ocupan las centenas, decenas y uni-dades; así como la cantidad exacta de estas unidades que forman los númerosdados. La representación concreta con tiras de 10 cuadrados, cuadrados de100 cuadraditos y tiras de 10 cuadraditos (papel milimetrado); así como lasfichas de 10, 100 y 1000 pueden contribuir a esta comprensión.

• Deben reconocer y expresarlos como productos:60 = 6 ⋅ 10 600 = 6 ⋅ 100 6 000 = 6 ⋅ 1 000

• Estos múltiplos pueden compararsea) 60 y 40 b) 600 y 4 000 c) 8 000 y 6 000d) 8 unidades de millar y 5 unidades de millar

• Deben saber determinar los números que están entre dos números dadosa) múltiplos de 10 que están entre 40 y 80b) múltiplos de 100 que están entre 500 y 900

• Deben saber ordenarlos comenzando por el menor o por el mayor:7 000, 600, 400, 60, 6 000

• A continuación es que deben consolidarse los números que están entre estosmúltiplos. Se sugiere reafirmar los números de dos lugares si fuera necesarioy también usarlos como puntos de partida para la comprensión del principiode obtención de los números mediante la adición de:a) (Un múltiplo de 10 y un número de un lugar)

60 + 7 = 67 40 + 9 = 49 80 + 6 = 86b) (Un múltiplo de 100 y un número conocido)

300 + 60 = 360 400 + 27 = 427 500 + 7 = 507c) (Un múltiplo de 1 000 y un número conocido)

6 000 + 400 = 6 400 3 000 + 538 = 3 5387 000 + 9 = 7 009Este trabajo debe realizarse con la utilización de la tabla de posiciones, que

permitirá que los alumnos realicen de manera consciente la composición y des-composición de los números y comprendan su estructura, que es la base en estegrado para la obtención de números mayores que 10 000.

Es de suma importancia que se incluyan en estas clases ejercicios variadosde lectura y escritura de números, ejercicios en los que se reconozcan las unida-des, decenas, centenas y millares en números dados, así como también ejerciciosen los que escriban cómo se lee el número, es decir, su expresión numeral. Ejerci-cios como estos aseguran el conocimiento de los números de tres y cuatro cifras.

Los alumnos deben reafirmar el conocimiento del valor posicional de lascifras. Reconocen, por ejemplo, como en un número la cifra 3 tiene un valorsi está en el lugar de las centenas y otro valor si está en las unidades, o en lasdecenas o las unidades de millar. En la realización de ejercicios encaminadosa dominar el orden de los números hasta 10 000 los alumnos realizan activida-des que les permiten reconocer el sucesor y el antecesor de números dados,

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así como otros para determinar los números que están entre dos númerosdados. Al comparar nuevamente números de tres y cuatro lugares, reafirmanel procedimiento, que luego deberán aplicar al comparar números mayoresque 10 000.

Las actividades de los alumnos con estos contenidos deben estructurarsede modo que ellos trabajen el mayor tiempo posible en forma independiente yparticipen activamente en la explicación de estas actividades, en el estableci-miento de relaciones, planteando nuevos ejemplos.

1.1.2 Potencia de 10 hasta 1 000 000Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:

• Elaboración de las potencias de 10 hasta 1 000 000.• Ampliación de la tabla de posición (utilización de los términos unidad de millar,

decenas de millar, centenas de millar y unidad de millón).• Obtención de los múltiplos de diez mil y cien mil hasta un millón.• Comparación y ordenamiento de las potencias de 10 hasta 1 000 000 y sus

múltiplos.• Reafirmación de las potencias de 10, lectura y escritura de múltiplos de diez y

cien mil y escritura de expresiones numerales.

Se trabajará con las páginas 8 a la 15 del libro de texto y de la 5 a la 9 delcuaderno de trabajo; así como con otros ejercicios creados por el maestro, sobretodo vinculados con la realidad circundante.

Para el tratamiento de este contenido lo primero es la elaboración de laspotencias de 10 hasta 106, ampliación de la tabla de posiciones (utilización delos términos unidad de millar, decena de millar, centena de millar y unidad demillón). Otras clases pueden dedicarse a la obtención de los múltiplos de diezmil y cien mil hasta un millón. En las últimas puede realizarse la comparación yordenamiento de las potencias de 10 hasta 106 y sus múltiplos y la reafirmaciónde las potencias de 10, lectura y escritura de múltiplos de diez mil y cien mil yescritura de las expresiones numerales.

Recomendaciones metodológicas para el desarrollo de las clases

El conocimiento de las potencias de diez posibilita que los alumnos com-prendan el sistema de numeración decimal. Ellos deben reconocer a partir de losnúmeros ya estudiados que diez unidades de un orden forman una unidad delorden inmediato superior, y pueden recordar fácilmente que con 10 unidades seforma una decena, con 10 decenas se forma una centena y con 10 centenas seforma un millar. El aseguramiento del nivel de partida pudiera apoyarse inclusocon las representaciones utilizadas en grados anteriores. (La representación deuna decena con una tira de 10 cuadrados, una centena con 10 tiras de 10 cua-drados y un millar con 10 cuadrados de 10 cuadritos de papel milimetrado. Es

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fácil para ellos poder representar estas potencias de 10 en la tabla de posicionesy también expresarlas como productos. Por ejemplo:

1 000 100 10 1

10 = 1 · 10 1 0100 = 10 · 10 1 0 0

1 0 0 0Es importante destacar a partir de este momento el principio de formación

de los números 10, 100, 1 000, 10 000 e informarles a los alumnos que estosnúmeros que se obtienen con el número 10 como factor (una vez, dos veces, tresveces, o más) reciben el nombre de potencias de 10.

Se les puede hacer observar que ya ellos conocen varias potencias de 10:10 (una vez 10)

100 = 10 · 10 (dos veces 10 como factor)1 000 = 10 · 10 · 10 (tres veces 10 como factor)

10 000 = 10 · 10 · 10 · 10 (cuatro veces 10 como factor)Este es el momento propicio para mostrarles que existe otra forma de ex-

presar las potencias de 10, en una forma más breve:100 = 10 · 10 = 102

100 = 102

Podemos llamar la atención que en lugar de expresar el producto podemosescribir el 10 que es el factor que se repite y arriba a la derecha el número deveces que este se repite.

Por lo que de ahora en adelante pueden representar el número 100 de unaforma breve, como potencia de 10 (100 = 102) y se destaca la forma de lectura“diez elevado a dos”.

De la misma forma se podrán expresar las potencias de 10 ya conocidas,representarlas en la nueva forma y leerlas.

1 000 = 10 · 10 · 10 1 000 = 103

= 103 “mil” o “diez elevado a tres”10 000 = 10 · 10 · 10 · 10 10 000 = 104

= 104 “diez mil” o “diez elevado a cuatro”Es el momento de invitar a los alumnos a conocer otras potencias de diez que

les permitirán formar nuevos números con mayor cantidad de lugares o cifras.Ellos estarán motivados para obtener por sí mismo las próximas potencias

de 10.El maestro pudiera llamar la atención nuevamente de que cada nueva potencia

de 10 también ha surgido de multiplicarse por 10 la potencia anterior. Por ejemplo:10 diez10 · 10 = 100 cien

100 · 10 = 1 000 mil1 000 · 10 = 10 000 diez mil

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La próxima potencia de 10 se forma al multiplicar 10 000 · 1010 000 · 10 = 100 000 (cien mil)Puede preguntarse ¿Cuántas veces tiene este número a 10 como factor?100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= 105

Es posible entonces que los propios alumnos formen la próxima potenciade 10.

1 000 000 · 10 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10= 106

1 000 000 = 106

“un millón” o “diez elevado a seis”Reconocen que este nuevo número tiene a 10 como factor 6 veces y se les

informa que esta potencia de 10 representa “un millón”.Es muy importante en este trabajo hacer un uso adecuado del pizarrón o de

una lámina previamente preparada con una tabla de posiciones, de modo que sevea que al obtener nuevas potencias de 10, necesita ir ampliando la tabla haciala izquierda y, por tanto, estamos representando números con una mayor canti-dad de lugares o cifras.

Es conveniente continuar utilizando las expresiones: decenas de millar, cen-tena de millar y unidad de millón en la obtención de estos números, destacandoque la centena de millar, la decena de millar y la unidad de millar forman elbloque de los millares y que las unidades de millón dan inicio a un nuevo bloque,el de los millones.

Resulta necesario en el desarrollo de este contenido que cada alumno pue-da representar estas potencias de diez hasta 106 en la tabla, leerlas, así comoexpresarlas en forma abreviada.

Es importante, además, que los propios alumnos puedan generalizar lo plan-teado en la página 9 del libro de texto (recuadro) y reconocer que si multiplica-mos por 10 cada potencia de 10 se obtiene la siguiente potencia de 10.

Sería muy útil también llamar la atención sobre la escritura de las poten-cias de 10 en forma breve y su correspondencia con la cantidad de ceros (comose muestra al final de esta página del libro de texto).

Se recomienda que una vez introducidas estas potencias de diez hasta 106, losalumnos pueden escribirlas según les dicte su maestro y representarlas en la tabla ofuera de ella, de esta forma fijan, por ejemplo, que cuando escriben 100 000 estenúmero tiene seis cifras y de ellas cinco son ceros, cuando se les plantea 1 000 000,saben que esa potencia de 10 tiene seis ceros y es un número de siete cifras.

Una vez que se dominan estas potencias de 10 los alumnos están prepara-dos para obtener los múltiplos de estas potencias y después los demás númerosde cinco y seis lugares.

El libro de texto puede utilizarse como ayuda para resumir muchos de losaspectos de este contenido y para que los alumnos expliquen cómo proceden. Elcuaderno de trabajo presenta ejercicios que contribuyen al reconocimiento y

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fijación de las potencias de diez, así como para la escritura de cómo se leen, esdecir, su expresión numeral.

Es muy necesario que los alumnos puedan obtener como resumen un cua-dro con todas las potencias de 10 obtenidas. Por ejemplo:

1 · 10 = 10 (diez)10 · 10 = 100 = 102 (cien)

100 · 10 = 1 000 = 103 (mil)1 000 · 10 = 10 000 = 104 (diez mil)

10 000 · 10 = 100 000 = 105 (cien mil)100 000 · 10 = 1 000 000 = 106 (un millón)

Al estudiar los múltiplos de las potencias de diez, 104 y 105 puede comen-zarse con la reafirmación de la obtención de los múltiplos de potencias de 10 yaconocidas. Como actividad preparatoria se sugiere comenzar con ejercicios comolos que se plantean en el libro de texto.

Es necesario que los alumnos lleguen a inferir que de forma análoga a comose obtuvieron estos múltiplos, pueden obtenerse los múltiplos de 10 000 y losmúltiplos de 100 000. Ellos deben reconocer que al multiplicar una potencia de 10determinada por los números de una cifra se obtienen los múltiplos de esa potencia.

Es importante que de forma conjunta y después en forma individual losalumnos formen los múltiplos de 10 000.

1 · 10 000 = 10 000 diez mil2 · 10 000 = 20 000 veinte mil3 · 10 000 = 30 000 treinta mil

10 · 10 000 = 100 000 cien milAdemás deben escribir cómo se leen estos números. Cuando los alumnos

dominen estos múltiplos de 10 000 (los leen, los representan en la tabla, los escri-ban al dictado) estarán preparados para cada vez con mayor grado de independen-cia obtener de la misma forma los múltiplos de 100 000 y realizar ejercicios delectura y escritura de estos números, así como escribir su expresión numeral.

Es importante que los alumnos reconozcan que con los múltiplos de 10 000representan las decenas de millar y con los múltiplos de 100 000, las centenas demillar.

Es conveniente además, que los alumnos conozcan que estos múltiplos de10 000 y de 100 000 también pueden expresarse como productos en formaabreviada.

Ellos deben recordar que 100 000 = 105 y por tanto los múltiplos de estapotencia de 10 también pueden representarse abreviadamente así:

100 000 = 105

200 000 = 2 · 105

300 000 = 3 · 105

400 000 = 4 · 105

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Para adiestrarse en la identificación de esta forma breve de representarestas potencias de diez, pudieran realizarse ejercicios; por ejemplo, en tarjetascon la escritura abreviada y los alumnos dicen el número o viceversa.

2 · 105 “doscientos mil”

8 · 105 “ochocientos mil”

El libro de texto y el cuaderno de trabajo ofrecen variadas posibilidadespara que los alumnos realicen ejercicios para la fijación de este contenido.

La comparación y ordenamiento de los múltiplos de potencia de 10 podrárealizarse por los alumnos fundamentalmente sobre la base de ejercicios.

Es importante que ellos puedan reconocer mediante ejemplos que: losmúltiplos de las potencias de diez también están ordenados.

Se recomienda que se planteen ejemplos de ejercicios de comparación, demodo que al realizarlos de forma conjunta se reafirme el procedimiento conocido.

Los alumnos deben reconocer que al comparar dos múltiplos de 10 000 ode 100 000 se procede de forma análoga a la comparación con los múltiplos de100 y de 1 000 y se reduce a la comparación de números de un lugar:

20 000 < 60 000 700 000 > 600 0002 < 6 7 > 6

Después que saben realizar ejercicios como estos se presentan otras activi-dades para la fijación del aspecto ordinal de estos números.

Los ejercicios para determinar los múltiplos de 10 000 y 100 000 queestán entre otros dados, pueden plantearse de diversas formas por ejemplo:a) ¿Qué múltiplos de 10 000 faltan?

40 000 80 000

b) Determinar los números múltiplos de 10 00030 000 < x < 90 000

c) Escribe los múltiplos de 10 000 desde 30 000 hasta 70 000.De la misma forma se procede con los múltiplos de 100 000.En los ejercicios de ordenamiento de los múltiplos de las potencias 104 y

105, puede partirse de la reafirmación del procedimiento con múltiplos de 10,100 y 1 000, si se considera necesario y al ordenar múltiplos de 10 000 y múltiplosde 100 000 deben reconocer que se atiende al orden de los números del 1 al 10.

Deben realizarse ejercicios tanto en orden ascendente como descendente.Al final pueden incluirse actividades variadas que incluyan ejercicios de

representación de las potencias de 104 y 105 y sus múltiplos, así como otrasrelativas al orden.

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Es importante el mantenimiento de habilidades logradas en el cálculo, por ellolas páginas del texto ofrecen ejercicios de cálculo y algunos problemas con este fin.

Como parte de los ejercicios con múltiplos de potencias de diez es conve-niente que los alumnos mantengan algunas de las habilidades de cálculo conestos números que serán necesarios posteriormente para el cálculo de algunosestimados.

Es importante que se reconozca por analogía que con los múltiplos depotencias de diez se calcula fundamentalmente aplicando los ejercicios básicosy la multiplicación y división por 10, 100 y 1 000.

Pudieran resolverse colectivamente los primeros y los restantes puedencalcularlos los alumnos en forma independiente. Por ejemplo:a) 3 + 2 = 5 b) 7 – 3 = 4

3 000 + 2 000 = 5 000 7 000 – 3 000 = 4 00030 000 + 20 000 = 50 000 70 000 – 30 000 = 40 000

300 000 + 200 000 = 500 000 700 000 – 300 000 = 400 000c) 4 · 2 = 8 d) 6 : 3 = 2

4 000 · 2 = 8 000 6 000 : 3 = 2 00040 000 · 2 = 80 000 60 000 : 3 = 20 000

400 000 · 2 = 800 000 600 000 : 3 = 200 000e) 4 000 · 20 = 80 000 f) 6 000/ : 30/ = 200

40 000 · 20 = 800 000 60 000/ : 30/ = 2 000600 000/ : 30/ = 20 000

1.1.3 Los números de cinco y de seis lugaresPara el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Elaboración de los números de cinco lugares, su representación, lectura y

escritura.• Obtención de los números de seis lugares, su representación, lectura y escritura.• Ejercitación de los números naturales de cinco y seis lugares.• Ejercicios en los que se indiquen las centenas, decenas, unidades y las cente-

nas, decenas y unidades de millar que los forman, ejercicios de composición ydescomposición de números.

• Solución de problemas.Se trabajará con las páginas 16 a la 24 del libro de texto y 10 a la 13 del

cuaderno de trabajo, así como incluir ejercicios como los que se sugieren en“Ejemplos de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria” del 15 al19, de estas propias orientaciones metodológicas.

Después que los alumnos han aprendido todos los múltiplos de las poten-cias de diez hasta 106 deben estudiarse los números hasta 1 000 000.

Es objetivo de este contenido continuar el estudio de la sucesión de losnúmeros hasta un millón a partir de los múltiplos de potencias de diez que yaconocen, mostrar distintas formas de representación y reconocer la utilidad delconocimiento de los números en la vida diaria.

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Para el aseguramiento del nivel de partida pudieran realizarse algunosejercicios con los números de tres y cuatro cifras, que ya han estudiado:dictado de números, lectura de números, formación de números, como suma,en estas formas:

a) 3 · 1 000 + 2 · 100 + 7 · 10 + 5 · 1 = 3 275b) 3 unidades de millar, 2 centenas, 7 decenas y 5 unidades forman el número

3275, y también ejercicios de descomposición de números.

Este momento es favorable para introducir con los números de cuatrolugares la escritura de estos como suma en forma abreviada.

3 275 = 3 · 1 000 + 2 · 100 + 7 · 10 + 5 · 1= 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 5 · 1

Esta reafirmación o aseguramiento de condiciones previa está en depen-dencia del grado de preparación de los alumnos y los resultados del diagnósticoaplicado por el maestro.

Es importante, como sugiere el texto en la página 16, recordar el princi-pio de formación de los números de dos, tres y cuatro lugares como suma(20 + 8, 300 + 28, 4 000 + 828), deben observar que se han obtenido comosuma de múltiplos de potencias de diez y números ya conocidos.

Para motivar la obtención de los nuevos números de cinco y seis lugarespudieran utilizarse distintas posibilidades:

– Mostrar algunos datos de la economía nacional con números que estén entre10 000 y 1 000 000 y escribirlas en el pizarrón.

Ante la interrogante de cómo se leen estos números, no todos los alumnospodrán hacerlo y surgirá el motivo para estudiar números mayores que 10 000.

Otra posibilidad sería plantearles a los alumnos un grupo de ejerciciosde cálculo entre ellos uno cuyo resultado sea un número mayor que 10 000,de modo que reconozcan que para poder leer correctamente no sólo lossumandos sino también la suma es necesario aprender los números mayoresque 10 000.

Para introducir los números de cinco lugares puede llamarse la atención deque los números de cuatro cifras, que ya ellos conocen son los que están entrelos múltiplos de 1 000, es decir, todos los números naturales que están entre1 000 y 2 000, entre 2 000 y 3 000 y así sucesivamente hasta 10 000. Esimportante esta idea de la sucesión de los números.

Los alumnos deben reconocer ahora que con los múltiplos de 10 000 y losnúmeros de uno, dos, tres y cuatro lugares se forman los números de cinco lugares.

Con ayuda de varios ejemplos como el siguiente que pueden plantear lospropios alumnos se puede generalizar el principio de formación.

30 000 + 5 247 = 35 24730 000 + 247 = 30 24730 000 + 47 = 30 04730 000 + 7 = 30 007

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Es necesario que los alumnos reconozcan que al representar estos númerosse ocupan cinco lugares en la tabla de posiciones, se reconoce nuevamente que latabla se amplía hacía la izquierda como se hizo para representar en ella los múltiplosde 10 000. Se representan en ella números de cinco lugares y se realiza su lectura.Es conveniente que también realicen ejercicios en los que expresen cómo estánformados estos números (decenas de millar, unidades de millar, centenas, decenasy unidades), y precisar la ampliación del bloque de los millares.

Los ejercicios de formación y de descomposición de números como sumason muy necesarios para que los alumnos comprendan la estructura de losmismos.

Es importante aclarar que existen varias formas de expresarlos y cada nú-mero puede representarse en cualquiera de estas posibilidades, ya que signifi-can lo mismo, por eso cuando se pide a los alumnos que expresen un númerocomo suma, puede aceptarse cualquiera de ellas y reconocer que también ahorapueden hacerlo en la forma más breve. En todos los casos, si los alumnos loexpresan correctamente en una de estas posibilidades nos dan muestra de lacomprensión de la estructura de los números, por ejemplo:a) 42 637 = 40 000 + 2 000 + 600 + 30 + 7b) 42 637 = 4 · 10 000 + 2 · 1 000 + 6 · 100 + 3 · 10 + 7 · 1c) 42 637 = 4 · 104 + 2 · 103 + 6 · 102 + 3 · 10 + 7 · 1d) 42 637 está formado por 4 decenas de millar, 2 unidades de millar, 6 cente-

nas, 3 decenas y 7 unidades.Es conveniente que los ejercicios de formación y descomposición de nú-

meros se realicen estrechamente relacionados con la tabla de posiciones, puesello contribuye a la comprensión, por tanto asegura que estos ejercicios no serealicen mecánicamente y cumplan su función. Dado el número de la tabla, losalumnos pueden descomponerlo más fácilmente. Es posible también comenzarpor la forma abreviada de escritura de las potencias. Por ejemplo:

Millar

C D U C D U

105 104 103 102 10 1

2 7 9 3 4

27 934 = 2 · 104 + 7 · 103 + 9 · 102 + 3 · 10 + 4 · 1= 2 · 10 000 + 7 · 1 000 + 9 · 100 + 3 · 10 + 4 · 1

Se debe continuar insistiendo en que al escribir números en la tabla deposiciones debe comenzarse por la cifra de la mayor potencia de diez, es decir,de izquierda a derecha.

Con la realización de ejercicios como estos los alumnos estarán en condi-ciones de leer y escribir al dictado cualquier número de cinco lugares, escribir,

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su expresión numeral e incluso expresar oralmente cómo está formado esenúmero.

La suficiente cantidad de ejercicios de representación de números de cincolugares propiciará su consolidación. Se sugieren en las páginas del texto y en lasdel cuaderno de trabajo distintos ejemplos de actividades para este contenido.

La obtención de los números de seis lugares se realizará por analogía con laelaboración de los números de cinco lugares y los alumnos deberán intentar porsí mismos formar los números de seis lugares a partir de los múltiplos de 100 000que ya conocen y los números de cinco, cuatro, tres y dos y una cifra.

Algunos de ellos pueden ofrecer los ejemplos y otros forman los números.Se ampliará la tabla para representar los números de seis lugares y recono-

cerán al mismo tiempo que con los múltiplos de 100 000 se forman las centenasde millar.

Es necesario que los variados ejercicios para el estudio de los números(lectura, escritura, composición y descomposición de números como suma, es-critura de su expresión numeral) se realicen con sistematicidad y cada vez conmayor grado de independencia por los alumnos.

Para la representación clara de los números y propiciar una lectura correc-ta podemos destacar la conveniencia de separar en grupos de a tres las cifras deque consta el número, que a su vez conforman el bloque de las centenas, dece-nas y unidades de los diferentes órdenes.

Ejemplo:Millares

C D U C D U

4 3 2 8 5 6

Cuatrocientos treinta y dos mil Ochocientos cincuenta y seisAl estudiar los números de seis lugares debe destacarse, además, algunas

características importantes del sistema de numeración decimal, con el valorposicional de cada una de las cifras en un número natural y la determinación decantidades de centenas, decenas y unidades de los diferentes órdenes que exacta-mente contiene un número. Pudieran plantearse ejercicios como los siguientes:a) ¿Qué valores de posición tiene la cifra 3 en este número?

342 3873 centenas de millar (300 000)3 centenas (300)

b) Lee el número 342 387• ¿Cuántas centenas de millar tiene exactamente el número? R/ 3 centenas de

millar• ¿Cuántas decenas de millar tiene exactamente el número? R/ 34 decenas de

millar

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• ¿Cuántas unidades de millar tiene exactamente el número? R/ 342 unidadesde millar

• ¿Cuántas centenas tiene exactamente el número? R/ 3 423 centenas• ¿Cuántas decenas tiene exactamente el número? R/ 34 238 decenas• ¿Cuántas unidades tiene exactamente el número? R/ 342 387 unidades

No siempre es necesario preguntar por todas las unidades de los diferentesórdenes, ni hacerlo según el orden en que aparecen.

En el libro de texto no aparecen ejercicios similares al inciso b), es impor-tante que el maestro los elabore.

La ejercitación del estudio de los números de cinco y seis lugares puederealizarse a partir de este momento con ejercicios como se plantean en el texto y elcuaderno, así como otras actividades y juegos que pueden elaborar los maestros.1.1.4 El orden de los números naturales hasta 1 000 000

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• El orden de los números naturales hasta un millón.

Primeramente debe reafirmarse el procedimiento para la comparación y orde-namiento de números naturales hasta 10 000; así como, la determinación delsucesor y antecesor de números de cinco y seis lugares.

• La comparación y el ordenamiento de números naturales hasta 100 000.• Ejercicios de comparación y ordenamiento de números naturales hasta

1 000 000, determinación de números que están entre dos números dados, ejer-cicios de conteo y de cálculo escrito para el mantenimiento de las habilidades.

Se trabajará con las páginas 25 a la 30 del libro de texto y 14 a la 17cuaderno de trabajo.


Al iniciar el tratamiento del orden de los números naturales hasta un mi-llón debemos partir del repaso del orden de los números hasta diez mil. Pue-den presentarse ejercicios para la determinación del antecesor y sucesor denúmeros de dos, tres y cuatro lugares y después presentar ejercicios para lacomparación y el ordenamiento de números hasta diez mil, con ello debe re-pasarse la vía algorítmica que ya conocen y los alumnos deben describir cómose procede.

Los alumnos conocen que de dos números, es mayor el que tiene mayorcantidad de cifras y si los dos números tienen la misma cantidad de cifras co-mienzan a comparar por la izquierda hasta llegar a las primeras cifras desigua-les, reconociendo así, qué número es mayor o menor, por lo que están en condi-ciones de aplicar estos conocimientos en la comparación de números de cinco yseis cifras.

Después que han ejercitado la comparación de números de cinco y seislugares con la suficiente cantidad de ejercicios los alumnos estarán en condicio-

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nes de realizar ejercicios para el ordenamiento de esos números. Es importanteque a través de las actividades que se realicen los alumnos reconozcan que losnúmeros hasta 1 000 000 también pueden ordenarse y que se procede de igualforma que cuando ordenaron números hasta 10 000. Deben aplicar y generalizarel procedimiento ya conocido.– Observar los números dados.– Mentalmente primero agrupar los números según la cantidad de cifras.

• los de tres cifras;• los de cuatro cifras;• los de cinco cifras.

– Luego se comparan entre sí y se ordenan.– Por último escriben los números ordenados según el criterio que se pide.

El libro de texto además de recordarles los pasos que se deben tener encuenta para la comparación y el ordenamiento de los números, les ofrece unsistema de ejercicios que ayudan a sistematizar este contenido. Aparecen ejer-cicios para que los alumnos digan de dos números dados cuál es menor, o cuáles mayor; para hallar el antecesor y el sucesor; de conteo, de determinar losnúmeros que están entre dos números dados y para hallar entre qué múltiplosconsecutivos se encuentran, también son convenientes ejercicios como el 18 y19 de la página 29 del libro de texto donde los alumnos aplican los conoci-mientos que poseen sobre la comparación de números sin necesidad de quecompleten las cifras que faltan. En el cuaderno de ejercicios también aparecenejercicios novedosos, que se pueden utilizar y enriquecer con otros creadospor el maestro.

Es necesario que en estas clases se incluyan ejercicios de cálculo con elprocedimiento escrito y se mantengan las habilidades en los ejercicios básicosde las cuatro operaciones de cálculo fundamentales; para ello en el libro detexto y en el cuaderno aparecen sugerencias de ejercicios de cálculo vinculadoscon la numeración, que el maestro debe tener presente, ya que siempre que seaposible y la actividad lo propicie debe mantener activo ejercicios cómo esos ensus alumnos.1.1.5 Redondeo de números naturales

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Introducción del redondeo de números y la ejercitación del redondeo a múltiplos

de 100 y de 1 000, analizando previamente entre qué múltiplos de 100 (o de1 000) está el número dado y determinando el más próximo.

• Reglas del redondeo de números de dos, tres y cuatro lugares a múltiplosde 10.

• Aplicación de la regla del redondeo de números de tres y cuatro lugares amúltiplos de 100 y de número de cuatro lugares a múltiplos de 1 000.

• Ejercitación y aplicación de las reglas del redondeo de números a múltiplos de10, 100 y de 1 000.

• Ejercicios de cálculo escrito para el mantenimiento de las habilidades.

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Se trabajará con las páginas 41 a la 44 del libro de texto de tercer grado ylas páginas 31 a la 35 del libro de texto y de la 18 a la 19 del cuaderno de trabajoambos de cuarto grado.


Para la introducción del redondeo se requiere un conocimiento seguro de losnúmeros naturales y su orden ya que es indispensable que los alumnos puedandeterminar con facilidad el múltiplo de 100 o de 1 000 anterior y posterior anúmeros de tres y cuatro lugares, respectivamente. También deben saber determi-nar a qué múltiplos de 100 o de 1 000 se encuentra más próximo un número dado.

Es importante que los alumnos comprendan la necesidad de utilizar valo-res aproximados al expresar datos en la vida diaria y reconozcan que general-mente los datos que se ofrecen en muchos casos en la prensa son números re-dondeados.

Se debe partir del análisis de una situación cercana a la vida de los alum-nos. Puede presentarse un ejemplo:

En una escuela estudian 496 alumnos. En el transcurso del año escolaringresan algunos alumnos y otros se trasladan. Con frecuencia se indica sola-mente el número aproximado de alumnos que están matriculados en la escuela yexpresamos: Hay alrededor de 500 alumnos.

0 100 200 300 400 500 600

496

En este caso se redondea: 496 ≈ 500.En otra escuela hay 327 alumnos. Para expresar aproximadamente el nú-

mero de alumnos, se puede redondear 327 ≈ 300.Debe explicarse que para expresar de forma aproximada la cantidad de

alumnos que hay en la escuela, se puede redondear el número. Se introduce elsigno y se lee correctamente.

Es importante que los alumnos aprendan los pasos para el redondeo denúmeros; deben reconocer que los dos primeros pasos ya son conocidos.1. Buscamos entre qué múltiplos consecutivos de 100 está el número dado.2. Determinamos cuál de esos múltiplos está más próximo al número dado.3. Redondeamos.

A forma de motivación, se les informará al alumno que para aligerar eltrabajo existen las reglas del redondeo las cuales les serán presentadas.

Para la obtención del redondeo de números por defecto y por exceso esconveniente partir de ejemplos sencillos en los cuales se puede saber el resulta-do y lograr la comprensión de las reglas con mayor facilidad. Pudiera obtenerseun cuadro resumen a partir de la observación de un rayo numérico.

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o también se puede formar este escribiendo los números en el pizarrón poco apoco:

53 1 ≈ 530 – La última cifra es 1, 2, 3, 453 2 ≈ 530 – Se sustituye por cero53 3 ≈ 530 – La cifra anterior se mantiene53 4 ≈ 53053 5 ≈ 54053 6 ≈ 540 – La última cifra es 5, 6, 7, 8, 953 7 ≈ 540 – Se sustituye por cero53 8 ≈ 540 – La cifra anterior aumenta en 153 9 ≈ 540

Se guía la observación y se va completando la otra parte del cuadro. Porejemplo:– Observa, compara la última cifra antes y después del redondeo.– Esta última cifra ¿por qué número se sustituye al redondear?– ¿Qué ocurre con la cifra anterior? Luego se puede guiar la observación en el

libro de texto y generalizar las reglas para el redondeo por defecto y por exceso.Es muy útil realizar ejercicios por grupos para aplicar las reglas estudiadas.

Por ejemplo:a) Redondea a múltiplos de 10

Se reconoce que debemos atender a las cifras de las unidades para saber siredondeamos por exceso o por defecto. En todos los casos hay que poner elsigno de aproximadamente.– Número de dos lugares:

62 ≈ 60 85 ≈ 90 94 ≈ 90 77 ≈ 80 98 ≈ 100*– Número de tres lugares:

354 ≈ 350 878 ≈ 880 642 ≈ 640 597 ≈ 600*– Número de cuatro lugares:

6 268 ≈ 6 270 5 371 ≈ 5 370 4 285 ≈ 4 290 3 995 ≈ 4 000*b) Redondeo a múltiplos de 100

Se hace observar que debemos atender el lugar de las decenas para saber siredondeamos, por exceso o por defecto.– Con números de tres lugares:

368 ≈ 400 926 ≈ 900 853 ≈ 900 980 ≈ 1 000*

530 535 536 537 538 539 540531 532 533 534

90

– Con números de cuatro lugares:4 295 ≈ 4 300 5 379 ≈ 5 400 8 254 ≈ 8 300 9 973 ≈ 10 000*

c) Redondeo a múltiplos de 1000Se destaca que se debe atender a la cifra de la centena7 328 ≈ 7 000 5 987 ≈ 6 000 4 597 ≈ 5 000 9 873 ≈ 10 000*

Los ejercicios marcados con asteriscos en cada uno de los grupos de ejerciciosseñalados anteriormente contienen un nivel de dificultad mayor (ejercicios límites),ya que fueron aproximados por exceso se modifica además de la cifra que corres-ponde al múltiplo al cual se indicaba la que está a la derecha de la misma.

Es importante que al final los alumnos puedan concluir que para redondeara múltiplos de 10, 100 y 1 000 se procede de la misma forma. Ejercicios pararedondear un mismo número a múltiplos de 10, después a múltiplos de 100 y amúltiplos de 1 000 pueden resultar atractivos para los alumnos. Por ejemplo:

Redondea: 6 847a) A múltiplos de 10: 6 847 ≈ 6 850b) A múltiplos de 100: 6 847 ≈ 6 800c) A múltiplos de 1 000: 6 847 ≈ 7 000

También entre los ejercicios pueden presentarse números en los que apa-rezca cero en la cifra que hay que observar para determinar la regla que seaplica. Por ejemplo:

2 307 ≈ 2 300; 6 024 ≈ 6 000Es necesario mantener el desarrollo de habilidades en el redondeo a través

de todo el curso, de modo que pueda tener su continuidad al realizar el estimadoen algunos ejercicios de cálculo.

Los ejercicios marcados con asteriscos en cada uno de los grupos de ejerci-cios señalados anteriormente contienen un nivel de dificultad mayor (ejercicioslímites), ya que para aproximarlo por exceso se modifica además de la cifra quecorresponde al múltiplo al cual se indicaba, la que está a la derecha de la misma.

En estas clases deben incluirse ejercicios para que los alumnos ejerciten elcálculo escrito con las cuatro operaciones fundamentales.1.1.6 Cálculo escrito con números hasta 1 000 000

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Ejercitación del cálculo escrito de adición y sustracción con números hasta

10 000 y su ampliación con números hasta 1 000 000.• Ejercicios de cálculo escrito de multiplicación por un número de un lugar y de

ejercicios de división en que el divisor es un número de un lugar, con númeroshasta 10 000 y su ampliación con números hasta 1 000 000.

• Ejercicios variados de cálculo escrito con las cuatro operaciones y solución deproblemas.

91

Se trabajará con las páginas 36 a la 43 del texto y 20 a la 31 del cuaderno detrabajo.


Al desarrollar este contenido es imprescindible que desde las primeras cla-ses del curso se haya propiciado el mantenimiento de las habilidades de cálculooral con los ejercicios básicos de las cuatro operaciones y con el cálculo con losprocedimientos escritos con los números hasta 10 000 (números de tres y cuatrocifras).

Al desarrollar habilidades en el cálculo de la adición, sustracción, multipli-cación y división con números hasta 1 000 000 (números de cinco y seis cifras)los alumnos deben reconocer que utilizarán el procedimiento aprendido en elgrado anterior pero con números de una mayor cantidad de lugares.

Los procedimientos que se utilicen para profundizar en el cálculo de lascuatro operaciones en forma escrita deben posibilitar una activa participaciónde los alumnos, tanto al explicar la forma de proceder, como al realizar activida-des de aplicación de las habilidades logradas.

La variedad en la presentación de los ejercicios es condición indispensablepara hacer atractivas estas clases; el texto y el cuaderno sugieren algunos ejem-plos. Es importante que se realicen muchos para consolidar el procedimientocon números de cinco y seis lugares y después es que se introducirán ejerciciosde aplicación como igualdades, tablas con variables, ejercicios con texto y pro-blemas.

Se sugiere que se trabaje inicialmente con la adición y sustracción, se ejer-citen estas dos operaciones, para lo que pueden tomarse ejercicios del texto yotros que elabore el maestro que permitan trabajar independientemente con losnúmeros hasta un millón y aplicar así los pasos de cálculo que ya conocen.

Después se presentan la multiplicación y división de números de cinco yseis lugares por números de un lugar, en los que se consolida el procedimiento yal final los alumnos pueden realizar ejercicios de las cuatro operaciones y aplicarestas habilidades al cálculo con cantidades, la solución de ejercicios con texto yproblemas.

En estas clases se sugiere que se planteen a los alumnos algunos ejerciciosde sustracción que no tienen solución, de modo que reconozcan que el minuendodebe ser mayor o igual que el sustraendo para poder calcular. También puedenpresentarse algunos ejercicios resueltos para que los alumnos comprueben si loscálculos han sido correctos, de esta forma deben volver a calcular y controlar elejercicio dado; ejercicios en los que se combinan las diferentes operaciones y enlos que debe aplicarse lo aprendido sobre el orden de realización de las mismas.

Otro aspecto importante es el trabajo con problemas; en relación con estecontenido es necesario que los alumnos continúen razonando problemas conuno y dos pasos de cálculo con las cuatro operaciones, así como que elaborenproblemas y en otros ejercicios formulen preguntas para situaciones dadas yluego calculen y respondan.

92

1.1.7 Los números naturales mayores que 1 000 000Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Reafirmación de los números naturales hasta 1 000 000.• Elaboración de las potencias de 10 mayores que 106 y ampliación de la tabla

de posiciones.• Representación de algunos números mayores que 1 000 000 en la tabla de

posiciones.• Lectura y escritura de números de siete, ocho y nueve lugares en la tabla de

posiciones.En la última clase se hace necesario realizar un resumen de las características

esenciales del sistema de posición decimal y la solución de ejercicios variados.Se trabajará con las páginas 44 a la 48 del libro de texto y la página 32 del

cuaderno de trabajo.


El desarrollo de estas clases se dedicará a que los alumnos aprendan la estruc-tura de los números naturales mayores que un millón y que comprendan que pode-mos pensar en números naturales con muchas cifras de forma ilimitada. Ellos pue-den sentirse motivados a reconocer cómo estos números de más de seis cifras seforman siguiendo el mismo principio para los números hasta un millón, aunque en lapráctica no son siempre muy utilizados. Reconocen la importancia de su estudiopara poder generalizar propiedades que se cumplen para los números naturales.

Pudiera comenzar con una reafirmación de los números naturales de cincoy seis lugares con las actividades que cada maestro considere necesarias para sugrupo. Si ya se han elaborado las potencias de diez hasta 106 ahora correspondecontinuar la ampliación de la tabla de posiciones mediante la elaboración depotencias de diez mayores que 106.

Ellos conocen que si multiplicamos por 10 una potencia de diez obtenemosla siguiente, por tanto, pueden a partir de 106 (millón) obtener 107 (decena demillón) y 108 (centena de millón).

Recuerden que:

100 000 · 10 = 1 000 00010 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 (un millón)

Si 1 000 000 = 106

Si 1 000 000 · 10 = 10 000 000= 107 (diez millones)

Si 10 000 000 · 10 = 100 000 000= 108 (cien millones)

93

Mediante el trabajo en la tabla, ellos deben reconocer que 106, 107 y 108 sonpotencias de 10 que representan millones.– un millón (unidades de millón)– diez millones (decenas de millón)– cien millones (centenas de millón)

Se puede realizar algunos ejercicios para la representación de múltiplos deestas potencias de 10 en la tabla de posiciones.a) 5 000 000, 8 000 000, 6 000 000b) 30 000 000, 70 000 000, 40 000 000c) 200 000 000, 500 000 000, 300 000 000

En ocasiones en la prensa u otros materiales aparecen números grandesque pueden utilizarse en la clase. Es necesario que se realice la lectura de núme-ros de 7, 8 y 9 lugares con ayuda de la tabla y que los alumnos puedan leer estosnúmeros, aunque el desarrollo de habilidades en el trabajo con los númerosmayores que un millón se realizará en quinto grado.

Las actividades en la clase deben propiciar la comprensión de la estructurade estos números, a reconocer que la forma de obtención es la misma, sobre labase de los múltiplos de potencias de diez y los números conocidos.

Deben percatarse que al hablar de: uno, dos, tres, hasta nueve millones,estos números tienen siete cifras. Si nombramos decenas de millones: diez mi-llones, veinte millones hasta noventa millones, estos números tiene ocho cifras ysi representamos centenas de millones: cien millones estos números tienen nue-ve cifras y así sucesivamente se continúa la ampliación de la tabla.

En estas clases también debe mostrarse cómo al escribir estos númerosgrandes fuera de la tabla resulta conveniente escribirlos en los bloques de trescifras: 687 504 321.

Pueden reconocer que en cada grupo de tres cifras están representadas uni-dades, decenas y centenas.

Se deben aprovechar estas clases además para resumir propiedades impor-tantes de los números naturales, que aparecen resumidos en la página 46 dellibro de texto.

Sugerencias de tipos de ejercicios que pueden ser utilizados para comprobarel logro de los objetivos1. Escribe los números:

a) 3 · 100 000b) 106

2. Ordena. Comienza por el menor40 000, 200 000, 30 000, 600 000, 1 000 000, 80 000

3. Escribe los números:a) Cuarenta y ocho mil quinientos nueveb) Trescientos veinticinco mil ochocientos cuarenta

4. Compara:32 809 ( ) 32 599 11 606 ( ) 111 606

94

5. Ordena. Comienza por el número menor15 024, 125 032, 42 191, 8 999, 300 017, 85 014

6. Redondea al múltiplo que se indicaa) 649 b) 3 861 c) 5 342

7. Adiciona 15 690 al sucesor de 29 8198. Calcula: 31 776 : 89. Escribe un número de 6 lugares que cumpla con las siguientes condiciones:

a) En el lugar de las centenas de millar el sucesor del número 2b) En las unidades de millar el duplo del número 4c) En las unidades el antecesor del número 6d) Completa los restantes lugares con la cifra 0e) Escribe como se lee el número que formaste

10. Julian dice que 3 000 es mayor que 999Pedro dice que 999 es mayor que 1 000Kenia dice que el sucesor de 10 001 es 10 002Raúl considera que 3 254 tiene 325 decenas.¿Quién se equivocó?

11. Al redondear el número 3 456 a un múltiplo de 100, se obtiene:A. — 3 500B. — 3 400C. — 3 000D. — 3 460

1.2 Los números romanos


En este grado se presentan los números romanos de manera informativapara que los alumnos los conozcan como otro sistema de numeración que no esposicional y, por lo tanto, sólo se exigirá de los alumnos que reconozcan ypuedan leer algunos de estos números, aunque no se desarrollarán habilidadesen la escritura de los mismos, sí se hace necesario conocerlos pues algunos aúnse siguen utilizando en la práctica.

Los alumnos conocerán que el sistema de los números romanos emplea sietesímbolos numéricos, los cuales tienen el mismo valor aunque estén en lugaresdiferentes, pues su valor no depende de la posición, es un sistema aditivo.

Ejemplos de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria1. Une según convenga

a) 1 X b) 1 000 C5 I 100 D

10 L 500 M50 V

95

2. CompletaXII XVLX DC

3. Escribe el número indicadoXL IVIX CD

4. Une según convengaa) 29 LIII b) 100 DXXI

96 XXIX 304 C53 XV 521 MCMLIII47 XCVI 1 953 CCCIV15 XLVII 1 961 MCMLXI

5. Lee los siguientes números romanosXXV DVIII CXLIXIV LIX MCMLIIIDCX XXXV MCMLIX

Para el tratamiento de esta unidad debe tener en cuenta abordar los siguien-tes contenidos:• Repaso de las características del sistema de posición decimal, incluyendo ejer-

cicios de lectura y escritura de números y del trabajo en la tabla de posiciones.• Introducción de los símbolos del sistema de numeración romana y el principio

de formación de estos números.• Ejercicios de lectura de números romanos hasta 100. También se le dará al

alumno la información de algunos números mayores que 100, por encontrarseestos en fachadas de edificios antiguos, en textos, etcétera.

• Ejercitación variada que incluya la representación, lectura y escritura de losnúmeros naturales.

Se trabajará con las páginas 49 a la 51 del libro de texto y la 33 del cuader-no de trabajo.


Antes de la introducción de los números romanos se sugiere partir de unrepaso de la lectura y escritura de números naturales, los cuales se representan,leen, descomponen como suma y se escriben en una tabla de posiciones. Entodo este trabajo preparatorio es importante destacar el valor posicional de lascifras que forman el número; en algunos casos deben presentarse números quetengan cifras iguales repetidas para analizar su diferente significación.

Por ejemplo: 333

100 100 100 10 10 10 1 1 1

300 + 30 + 3 102 10 13 · 100 + 3 · 10 + 3 · 1 3 3 3

96

Después de realizado este trabajo en este caso con el número 333 el alumnollegará a reconocer que este número está formado de la siguiente manera.

3333 centenas3 decenas3 unidades

Para motivar la introducción de los números romanos se sugiere, llevar alaula láminas donde aparezca un reloj con números romanos o un edificio quepresente en su fachada estos números, y explicar muy sencillamente sobre elsurgimiento de estos números y el por qué debemos conocerlos. (Si el maestrolo cree conveniente pudiera llevar un mapa o esfera para ubicar a Roma).

Seguidamente se mostrarán los siete símbolos y se explicará qué represen-tan cada uno, para esto pudieran mostrarse en una cartulina o utilizar la página49 del libro de texto.

Es importante que los alumnos se familiaricen con el principio de forma-ción de estos números pues los mismos se forman partiendo de estos siete sím-bolos y adicionando hacia la derecha o sustrayendo hacia la izquierda estosmismos símbolos según el número que se quiere formar.

Por ejemplo:III 1 + 1 +1 = 3 VII 5 + 1 + 1 = 7XII 10 + 2 = 12 LV 50 + 5 = 55LXVIII 50 + 10 + 5 + 3 = 68 CX 100 + 10 = 110Podemos destacar a los alumnos que a diferencia del sistema de numera-

ción decimal de cifra “I” (el uno romano), por ejemplo, significa 1 no importadonde esté colocado, esto se comprenderá mejor si comparamos las cifras paralos números 4 y 6; 9 y 11.

IV 5 – 1 = 4 IX 10 – 1 = 9VI 5 + 1 = 6 XI 10 + 1 = 11Siguiendo este principio de formación los alumnos llegarán a comprender

que el sistema de posición decimal es más fácil que el utilizado en la formaciónde los números romanos.

Se continuarán trabajando los números romanos en diferentes actividadesen tarjetas, láminas y utilizando la variedad de ejercicios que aparecen en ellibro de texto y en el cuaderno de trabajo, así como otros que elabore el maestro.Sugerencias de tipos de ejercicios que pueden ser utilizados para comprobar ellogro de los objetivos1. Lee los siguientes números romanos

XII, LVIII, LXX, XLII2. Une según convenga

XXVIII 61LXXIV 106LXI 28CVI 74

97

3. CompletaXXXVI LIXLXXIV CVXCII LXVII

4. Lee las siguientes expresiones en que los datos numéricos están expresadoscon números romanos.• La llegada de Cristóbal Colón a América ocurrió en el siglo XV.• En Sydney se efectuaron los XXVII Juegos Olímpicos.

2 Cálculo con números naturales

2.1 Trabajo con magnitudes (14 h/c)


El disponer de una unidad dedicada al trabajo con las magnitudes permiteun trabajo sistemático y facilita resumir el contenido abordado en el ciclo sobreeste complejo de materia. Se establecerán analogías así como las diferenciasque existen en los procesos de medir, convertir y estimar con las unidades demedidas de las diferentes magnitudes tratadas.

Los contenidos esenciales tratados y resumidos en esta unidad deben se-guir siendo utilizados en ejercicios y problemas de las restantes unidades delprograma a lo largo de todo el curso escolar.

En el transcurso de la unidad los alumnos deben profundizar en el conceptode medir, comprendiendo que significa comparar con una cierta cantidad que setoma como referencia y a la cual le hemos dado el nombre de unidad de medida.Debe además conocer diferentes instrumentos que podemos utilizar para realizarlas mediciones en dependencia de la magnitud correspondiente (la regla, la cintamétrica, la balanza, la balanza escolar, el reloj, el cronómetro, etcétera). Debenapropiarse de la idea de que los valores que se obtienen por mediciones nunca sonexactos sino sólo aproximaciones de la verdadera medida.

Es importante que el alumno tenga un concepto claro de las diferentesunidades de medidas estudiadas y que puede tener representantes para cada unade ellas. Se hace necesario la realización de ejercicios para desarrollar la habili-dad de estimación de cantidades de magnitud por constituir una necesidad en larelación del hombre con su medio; por ello el maestro debe enseñar algunasestrategias que faciliten el logro de estas habilidades.

El trabajo metodológico que se realice debe permitir también la compren-sión semántica de la conversión y posteriormente el establecimiento de reglasque permitan realizar ejercicios de este tipo de manera rápida y correcta. Debejustificarse a través de ejemplos la necesidad de desarrollar habilidades en estesentido.

Se hace necesario conversar con los alumnos sobre el seguimiento de lasunidades de medida a través de las diferentes civilizaciones y muy especialmen-te sobre la historia del Sistema Internacional de Unidades (SI), cuyas relacio-

98

nes entre las unidades de medidas generalmente son similares al principio deformación del sistema de posición decimal.

Es importante también, desde el punto de vista metodológico, el trabajo quese realice para establecer y fijar las relaciones entre unidades de una mismamagnitud, para que los alumnos puedan realizar conversiones de una manerarápida y correcta. En el caso de las de longitud y la masa la vía es completamen-te análoga y en el texto se dan dos variantes (el segmento dividido de 10 en 10y la escalera donde cada escalón representa 10 unidades) que el maestro puedeutilizar para que fijen el procedimiento de conversión.Ejemplos de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria1. Mide en centímetros (en centímetros y milímetros) la longitud de los seg-

mentos representados:

2. Traza segmentos que midan aproximadamente:4 cm; 6 cm; 7 mm

3. Convierte en decímetros (centímetros, milímetros):a) 1 m, 5 m, 8 m,b) 4 m; 80 dm; 3 m 7 dm; 5 m 80 cm

4. Convierte en metros (gramos):4 km (4 kg); 20 km (20 kg); 5 km, 3 m (5 kg 3 g)

5. Convierte en kilómetros (kilogramos):2 000 m (2 000 g); 28 000 m; (28 000 g); 132 000 m (132 000 g)

6. Convierte en una unidad menor (mayor):a) 3 km 3 000 m; 5 dm; 30 cm; 5 m 25 000 mmb) 2 kg 5 000 g; 10 dg 40 cg; 1 g 42 000 mg

7. Convierte en pesos (horas):300 ¢ (360 min) 2 800 ¢ (4 800 min.)

8. Convierte en centavos:$ 5,68; $ 10 y 32 ¢.

9. Convierte en minutos:6 h 24 min; 2 h 31 min

10. Convierte en días (semanas):240 h (28 días)

11. Convierte en meses (años):930 días (36 meses)

12. Calcula:a) 637 dm + 385 cm b) 181 km + 3 524 mc) 32 m + 9 dm + 1 cm d) 21 km + 12 m — 20 dme) 181 kg + 3 528 g f) 32 t + 13 528 kgg) 41 g + 128 cg h) 21 dg + 2 028 mgi) 28 kg – 121 g + 24 cg j) 1 h + 28 mink) 3 h + 2 min + 20 s l) $ 5,28 – $ 1,32

13. Elsa compra 2 m 25 cm de elástico y Yolanda 5 m 50 cm:a) ¿Cuánto compraron entre las dos?b) ¿Quién compró más? ¿Cuánto más?

99

14. Cuántos cartuchos de 1 000 g de arroz cada uno pueden llenarse con:a) 3 kg b) 9 kg c) 2 t

15. Una pastilla está compuesta por 21 mg de un medicamento y 9 mg de otro.¿Cuántos centígramos componen la pastilla?

16. ¿Cuántos años transcurrieron desde el nacimiento de Colón en 1451 hasta eldescubrimiento de Cuba en 1492? ¿Qué edad tenía Colón al descubrir a Cuba?

17. El reloj marca las 9:30 a.m. ¿Cuánto falta para que marque las 6:45 p.m. esemismo día?

18. Tengo $ 5,48 ahorrado. Me regalan $ 2,50 en mi cumpleaños y de ellos gasto$ 1,25 en caramelos. El resto lo guardo. ¿Cuánto tengo ahora ahorrado?

19. El peso de tu mochila llena de libros puede ser aproximadamente de:A. 6 kgB. 6 cgC. 6 mgD. 6 kg

20. La tabla muestra los resultados alcanzados por tres niños en la prueba desalto largo con impulso.

Iván 12 dmJavier 116 cmDavid 1 020 mm

¿Quién ganó la prueba?21. Tres niños miden la longitud de su aula contando los pasos que necesitan

para cruzarla de un extremo al otro.La siguiente tabla muestra la cantidad de pasos que necesitó cada uno.

Julián 13 pasosAndrés 14 ”Carlos 15 ”

a) ¿Quién tiene el paso más largo?b) ¿Qué unidad de medida se utilizó para la medición?c) ¿Qué unidad de medida de forma convencional utilizaron para medir?

2.1.1 Unidades de longitudPara el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Repaso y sistematización de las unidades de longitud insistiendo en el pleno

dominio de las unidades de medidas para lo cual el alumno debe tener repre-sentantes para ellas y conocer y aplicar sus relaciones.

• La estimación, medición, así como también se aplicarán ejercicios de conver-sión y cálculo con cantidades.

• Ejercicios con cantidades expresadas en una misma unidad o en dos unidades.• Ejercicios con texto y problemas.

Se trabajará con las páginas 53 a la 61 del LT y 34 a la 36 del CT.

100


En las unidades de longitud no se introduce ninguna nueva unidad pero síse sistematizan las ya conocidas y hay un aumento de exigencia en cuanto a laejercitación pues deben desarrollar habilidades en la medición, estimación,conversión y en el cálculo con cantidades y su aplicación en la solución deproblemas.

En el repaso y sistematización de las unidades de longitud debe lograrse deuna forma activa que los alumnos recuerden las unidades conocidas. El ordenen que estas sean recordadas no es determinante aunque sí es necesario despuésorganizarla de mayor a menor (o viceversa) y establecer claramente las relacio-nes entre ellas.

El dominio de las unidades estudiadas estarán también dados en la posibi-lidad de mostrar representantes para las mismas, así como realizar ejercicios deestimación.

Para que los escolares se percaten de la importancia de este contenido yespecialmente del conocimiento de las diferentes unidades de medidas pudieranutilizarse datos de la prensa y de la propia actividad de los escolares. Deberánpresentarse situaciones concretas que requieran el uso de las diferentes unida-des de medidas.

Al medir por ejemplo en centímetros, puede hacerse ver que lo que estánhaciendo es contar las veces que un centímetro está contenido en un segmen-to dado. Si la regla está graduada en milímetros pueden destacar cómo cadacentímetro se puede dividir en 10 partes, cada una de ellas representan 1 mm.Pueden medir nuevamente el segmento en centímetros y milímetros. Con ellose logra más aproximación de la verdadera longitud del segmento pero debeanalizarse que también pueden intervenir otros factores que afectan la medi-ción, como la vista y el instrumento que se utilice.

Procediendo de esta forma se pueden recordar todas las unidades conoci-das y sus relaciones entre ellas. Para recordar la representación del kilómetro esconveniente que conozcan que generalmente la longitud de una cuadra es aproxi-madamente 100 m (10 · 100 m = 1 000 m) y por tanto 1 km es aproximadamente10 cuadras. Pueden incluso caminar 5 cuadras (ida y vuelta) para que no se lesolvide cuánto es aproximadamente 1 km. Después de realizar actividades comoestas el maestro puede conjuntamente con los alumnos, elaborar en el pizarrónun resumen de las unidades menores que el metro, como el que aparece en lapágina 54 del texto o remitir a los niños a su libro de texto para que lo analicen.

Es muy importante destacar que del metro al milímetro se va pasando de10 en 10, es decir cada unidad es 10 veces la anterior (y viceversa cada unidades la décima parte de la anterior). Esto explica por qué cuando se pasa de unaunidad menor a la inmediata se divide por 10 y en el caso contrario se multiplicapor 10. Debe destacarse que la unidad fundamental de longitud es el metro.

Estas ideas básicas para conversiones se pueden resumir en un modelo queel alumno debe memorizar para que le facilite realizar esta actividad. Este mode-lo puede ser el esquema ya conocido del segmento dividido en partes iguales

101

que representan 10 unidades cada una o la escalera en la que cada escalónrepresenta 10 unidades.

Siempre hay una idea básica que debe memorizarse:

Cuando se pasa de una unidad mayor a una menor se multipli-ca y en el caso contrario se divide.

En este grado puede resultar inexplicable para el alumno que del metro alkilómetro haya que subir tres escalones pues hay dos unidades intermedias queno conoce. Esto se le puede informar a los alumnos y decirles que en el quintogrado las van a conocer, por eso es importante reforzar la memorización de larelación km–m y su aplicación en ejercicios de conversión, que incluso algunospueden realizar en forma oral.

La realización previa de actividades prácticas debe llevar a la comprensiónintuitiva de que el número en la cantidad aumenta en la misma medida en que launidad que se seleccione sea menor y viceversa. Por ejemplo:– Medir el ancho del aula utilizando como unidad de medida:

a) El metro; su resultado es 4m.b) El decímetro; su resultado es 40 dm.c) El centímetro; su resultado es 400 cm.

Posteriormente al realizar conversiones puede tener presente el esquema(el segmento o la escalera) y se limite a multiplicar o a dividir según lo exija elejercicio y finalmente que realicen las conversiones a partir del dominio de lasrelaciones fundamentalmente entre las unidades.

El cálculo oral se debe seguir ejercitando en situaciones de mayor exigen-cia donde aparezcan cantidades dadas en dos unidades en ejercicios como el 14y 15 de la página 59 y el 16 y 17 de la 60. Si es necesario estos últimos, al igualque el 18 de la propia página pueden hacerse por escrito.

Para enriquecer este trabajo inicial el maestro puede también seleccionaractividades en las páginas 34 y 35 del cuaderno de trabajo.

Como norma debe lograrse que en todas las clases de ejercitación se dedi-quen algunos minutos iniciales a los ejercicios orales de conversión, si es nece-sario aún manteniendo el esquema aunque el maestro debe trabajar para lograr lamemorización. Si esto no se logra desde el principio en las clases dedicadas alas unidades de masa se trabajará con un esquema análogo, se puede seguirinsistiendo en la memorización.

Es muy importante que para concluir las actividades relacionadas con lasunidades de longitud, realicen problemas como los que aparecen en la página 61del libro de texto en las páginas 36 y 37 del cuaderno. En el ejercicio 16 del librode texto (página 60 del texto) el alumno debe darse cuenta que las cantidades seexpresan en diferentes unidades y deben ser convertidas a la unidad menor antesde calcular. Ejemplo:

21 m + 8 dm + 5 cm 21 m = 21 · 100 cm = 2 100 cm= 2 100 cm + 80 cm + 5 cm 8 dm = 8 · 10 cm = 80 cm= 2 185 cm

102

Hay otros ejercicios en los que puede utilizar dos vías de solución:Convertir en la unidad menor Convertir en la unidad mayor

(En este caso en los ejemplos seleccio-nados no puede aparecer la comadecimal)

587 m + 4 900 cm 587 m + 4 900 cm= 58 700 cm + 4 900 cm = 587 m + 49 m= 63 600 cm = 636 mTambién hay ejercicios en los que el alumno puede calcular directamente

dos unidades pues las operaciones que intervienen son la adición y la sustrac-ción como sucede con el 1 de la página 37 del cuaderno. En este tipo de ejerci-cio también existe otra vía de solución y es reducir todo a la menor unidad. Elalumno debe comprender las diferencias en el procedimiento pero reconocerque llega al mismo resultado.• Al realizar ejercicios de estimación se deberá tener en cuenta que la presencia

del representante para la unidad de medidas y del objeto a medir puede facili-tar la corrección de esta actividad, por lo que en los primeros ejercicios debenestar dadas estas condiciones.

• Entre las estrategias a seguir estarían aquellas que a partir de un modelo delongitud conocido se establecen las comparaciones con relación a ello. Por ejemplo:Julito tiene 110 cm de altura; Pedro es algo más alto, debe medir 115 cm.

• También conocida o estimada la longitud de una parte elevar esta sobre toda lalongitud a estimar. Por ejemplo:La puerta de un aula tiene 120 cm de ancho, esta longitud cabe aproximada-mente 4 veces en el largo de la misma, la longitud estimada estaría alrededorde los 5 m.

+ 24 m 5 dm 24 m 5 dm = 245 dm + 245 dm+ 19 m 3 dm 19 m 3 dm = 193 dm + 193 dm+ 43 m 8 dm + 438 dm

438 dm = 430 dm + 8 dm= 43 m + 8 dm

El ejercicio 2 de la página 37 del cuaderno es muy importante pues es elalumno el que debe formular la pregunta y luego resolverlo.

2.1.2 Unidades de masaPara el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Repaso de las unidades de masa conocidas.• Introducción de las unidades decigramo, centigramo y miligramo y las rela-

ciones entre ellas. Sistematización de estas unidades, así como la realizaciónde actividades que posibiliten tener representantes para las mismas y la realiza-ción de algunos ejercicios de estimación.

103

• Ejercicios de conversión.• Ejercicios de cálculo.• Solución de ejercicios con texto y problemas.

Se trabajará con las páginas 62 a la 68 del LT y 38 a la 40 del CT.


El trabajo con las unidades de masa, a diferencia del realizado con longitu-des, incluye la introducción de los submúltiplos del gramo que no son conoci-dos por los alumnos.

La vía metodológica para el repaso de las unidades conocidas puede seranáloga a la realizada con longitudes. Primero tratar de recordar las unidadesconocidas, para ello puede leer datos de la prensa o de revistas que estén expre-sadas mediante esas medidas que son la tonelada (métrica) y el kilogramo y elgramo.

Otra variante puede ser pedirle a los alumnos que digan las unidades querecuerden. Es importante que en este trabajo se recuerde con qué instrumentosse puede medir la masa o cantidad de sustancia que tiene un objeto. Si el maestrono posee una balanza puede confeccionarla con un perchero, seis pedazos dealambre de igual longitud y dos tapitas.

Para su uso deben tener en cuenta que cuando dos objetos tienen igualmasa y se colocan uno en cada platillo, la balanza queda equilibrada, es decir,la barra (parte inferior del perchero) queda paralela al plano de la base. Puedehacer un experimento poniendo un objeto liviano en una balanza y utilizándo-lo como “unidad de medida” medir otros objetos como por ejemplo, gomas,frijoles, fósforos. Ya explicamos que buscar representantes para las unidadesconocidas no es fácil pero se pueden encontrar. Para la tonelada hay que ha-cerlo mediante relaciones, o sea, conocido un representante para el kilogramoconsiderar 1 000 iguales a ese. Realizado este trabajo inicial con las unidadesconocidas deben introducirse, mediante relaciones, los submúltiplos del gra-mo. Para ello puede hacerse referencia, tal como se hace en el libro de texto,página 63, a objetos que pesan mucho menos que un gramo como son loscomponentes de una pastilla y un gramo de sal o de arena. Introducidas lasunidades y sus relaciones deben compararse con los submúltiplos del metropara que vean la similitud en la forma de escribirse y las relaciones que son lasmismas.

Para fijar estas ideas de lo que significa pesar1 puede proponerse el ejerci-cio 1 de la página 38 del cuaderno de trabajo y el 1 de la página 39 del propiocuaderno.

1 El maestro puede observar que tanto en el libro de texto como en estas orientaciones seutilizan indistintamente las palabras peso y masa. En la realidad estos son dos conceptosdiferentes y su diferencia el alumno la aprenderá posteriormente, pero aquí la usamos comosinónimos pues es la forma más común de usarlas en la práctica.

104

Después de introducidas las nuevas unidades de masa se debe proceder arealizar conversiones utilizando actividades y modelos similares a las de longitud (elsegmento y la escalera) y se recomienda que una buena parte del tiempo en lasprimeras clases se realice de forma oral escogiendo ejercicios del LT, página 66 (del1 al 6) en los que se realizan conversiones ya conocidas, como las de las páginas 67y 68 (del 12 al 19) en los que se relacionan las nuevas unidades introducidas. En larealización de estos ejercicios se deben tener en cuenta las recomendaciones que sedieron antes para los ejercicios similares en la parte de longitud.

Para la ejercitación además de continuar realizando ejercicios orales dondese realicen conversiones, deben proponerse ejercicios con texto y problemasque contribuyan a fijar los conceptos y relaciones introducidas.

Aunque la combinatoria no es lo esencial de esta parte del contenido, unejercicio que no debe dejar de proponerse es el 9 de la página 67. En él, ademásde contribuir al desarrollo del pensamiento combinatorio se fija la idea de medirmasas. En este ejercicio estas son las respuestas que los niños pueden dar almismo y si no las dan todas, estimularlos para que las encuentren. En ejercicioscomo estos, es importante el uso de la técnica “tanteo inteligente”.

Las soluciones son:a) 2 g, 2 g, 2 g, 2 g b) 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 2 g

2 g, 2 g, 4 g 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 4 g4 g, 4 g 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 4 g, 4 g8 g 2 g, 2 g, 2 g, 2 g, 8 g

2 g, 2 g, 4 g, 4 g, 4 g2 g, 2 g, 4 g, 8 g4 g, 4 g, 8 g8 g, 8 g

Aquí se puede apreciar el procedimiento de búsqueda:• Se inicia con todas las posibilidades con el 2 g.• Después cada dos de 2 g se tiene una de 4g y cada dos de 4g se tiene una de 8 g.

El ejercicio 2 de la página 40 del cuaderno también tiene como objetivobuscar combinaciones convenientes lo cual contribuye mucho al desarrollodel pensamiento. En este caso se dispone de una sola pesa de cada tipo ycomo:

32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 63 < 100es necesario en la pesada que se haga incluir la pesa de 64 g.

Una posibilidad es:64 g + 32 g + 4 g = 100 gNo hay otra posibilidad pues:16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31; 31 < 36 que es lo que falta a 64 para obtener 100

y en la variante 64 g + 32 g + 4 g = 100 g no hay manera de obtener 4 g comosuma de dos o más de las pesas dadas.

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En los ejercicios de estimación de la masa de un cuerpo en los casos quesea posible se debe insistir en que el niño pondere el cuerpo antes de determinarla cantidad de masa. Por ejemplo:

Para estimar la masa de su libro de Matemática debe tomarlo en su manopara luego dar su posible peso.2.1.3 Unidades monetarias y de tiempo

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Repaso de las unidades de tiempo.• Ejercicios de conversión, cálculo y problemas.• Repaso y realización de ejercicios variados y problemas con las unidades mo-

netarias.Se trabajará con las páginas 69 a la 72 del libro de texto y 41 a la 47 del

cuaderno de trabajo.


Las clases dedicadas a las unidades de tiempo deben comenzar con unrepaso de las principales unidades, ya conocidas por los alumnos y sus relacio-nes. Un resumen, como el que aparece al inicio de la página 69 del libro de texto,es conveniente que se haga o se analice con los alumnos el que aparece en eltexto. En relación con ello es importante informar a los alumnos la existencia deaños de 366 días, los llamados bisiestos y que en ese caso el mes de febrerotiene 29 días.

En maestro debe saber que el calendario que se utiliza actualmente, deno-minado gregoriano en honor al papa Gregorio XIII, que fue quien lo estableció apartir del año 1582, plantea que los años bisiestos son todos los que son múltiplosde 4, excepto los que terminan en dos ceros que para que sean bisiestos tienenque ser múltiplos de 400. Por eso el año 2000 es bisiesto.

Tanta información no es necesaria darla a los alumnos pues se han escogi-do para los problemas aquellos años que son bisiestos por ser divisibles por 4.

Para la selección de los ejercicios hay que tener en cuenta que tengan quehacer conversiones tanto de manera formal como en situaciones variadas, comoestá previsto en los ejercicios del 1 al 9 de la página 71 del libro de texto y del10 al 12 de las páginas 71 y 72. En las páginas 41 y 42 del cuaderno tambiénencontrarán actividades interesantes para proponer.

El ejercicio 8 de la página 71 aunque tiene asterisco y eso supone que seproponga a los alumnos más aventajados, puede ser propuesto a todos los alum-nos si se le da una indicación de que confeccionen un calendario de los meses demarzo, abril, mayo, junio y julio del año 2000, a partir del conocimiento de queel primero de marzo es miércoles (el 29 de febrero es martes).

Hay ejercicios como el 10, 11, y 12 de las páginas 71 y 72 del texto quesuponen cierto conocimiento de la hora en el reloj, por lo que si hay alumnos

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que aún tienen dificultades en esto, deben proponérsele ejercicios adicionales delectura de la hora y de poner los relojes en una hora dada.

En las clases donde se tratan las unidades monetarias se puede pedir pre-viamente a los alumnos que lleven algunas monedas de las que se utilizan, lasque pueden ser complementadas por otras que lleve el maestro y por las ilustra-ciones que aparecen en la página 70 del libro de texto.

La relación que más van a utilizar es la de peso-centavo que es muy cono-cida por los alumnos.

La ejercitación, al igual que en los casos anteriores debe incluir conversio-nes y ejercicios y problemas variados, los que se pueden seleccionar de la pági-na 72 del libro de texto y de la 43 y la 44 del cuaderno de trabajo.

En las páginas 46 y 47 del cuaderno de trabajo se han incluido dos ejerci-cios, relacionados el primero con los calendarios y los días de la semana, queson muy instructivos pues preparan a los alumnos en la lectura y confección degráficas de barras. Pueden ser propuestos como actividades extraclases y des-pués exponer los mejores trabajos.Sugerencias de tipos de ejercicios que pueden ser utilizados para comprobar ellogro de los objetivos1. Convierte:

a) 5 km en mb) 70 dm en cmc) 7 cm en mmd) 6 kg en ge) 2 000 g en kgf) 7 g en dgg) $ 8 en centavosh) 5 h en minutos

2. Convierte en la unidad menor:a) 6 km 4 000 mb) 8 dm 30 cmc) 7 m 4 000 mmd) 3 kg 2 000 ge) 8 dg 30 cg

3. Calcula:a) 125 dm + 25 cmb) 23 g + 241 cgc) 13 km + 421 md) 3 h + 15 min

4. Al convertir 6 km en metros obtienes como resultado:a) 50 mb) 500 mc) 5 000 m

5. Al convertir 8 m en la unidad inmediata inferior obtienes como resultado:a) 80 dg

107

b) 800 dmc) 80 dm

6. Selecciona la cantidad de medida que corresponde a:a) La altura de una palma real 12 sb) El peso de un bebé de un año 1 hc) La carrera de 100 m planos 8 dg

8 kg8 m8 km

7. ¿Cuántos cartuchos que contengan 3 kg cada uno pueden llenarse con1 242 kg de azúcar?

8. Una lata de conserva pesa 500 g. ¿Cuántos kilogramos pesan 8 latas comoesas?

9. Para el desfile por el Primero de Mayo se confeccionan banderas. Con unmetro de tela se confeccionan 4 banderitas. ¿Cuántas banderitas puedenconfeccionarse con 35 m de tela? ¿Cuántos metros de tela se necesitan paraconfeccionar 468 banderitas?

2.2 El procedimiento escrito de la adición y la sustracción(26 h/c)


Desde el primer período del curso escolar los alumnos están calculandoejercicios de adición y sustracción mediante el procedimiento escrito, con nú-meros hasta 1 000 000. En esta unidad los alumnos deben estar preparados parapoder resumir características esenciales y propiedades de la adición y la sus-tracción y consolidar sus habilidades en los procedimientos de cálculo, así comoaplicar estas en la solución de ejercicios más complejos; por ello una de lasnuevas exigencias del contenido lo constituye el cálculo de ejercicios de adiciónde varios sumandos y ejercicios con sustracciones sucesivas.

Con esta unidad se continúa el desarrollo sistemático de las habilidades delos alumnos en el cálculo con números naturales. Al reafirmar los conceptosfundamentales de la adición y la sustracción y el nexo entre estas operaciones,estos conocimientos teóricos deben combinarse siempre con el perfeccionamientode las habilidades de cálculo. Al reafirmar las propiedades que ellos conocen seintroducen las expresiones “propiedad conmutativa” y “propiedad asociativa”de la adición y las continúan aplicando en la realización de un cálculo en formaventajosa, en el control de los resultados y en la solución de ejercicios donde secombinan las operaciones.

La estructuración de las clases para el desarrollo de este contenido debepropiciar el interés de los alumnos y lograr su participación activa en la explica-ción de los procedimientos, así como un mayor nivel de independencia en elcálculo de estas operaciones y en su aplicación en la solución de ejercicios va-riados.

108

Ejemplos de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria

1. a) 8 + 7 b) 12 – 6 c) 630 + 40800 + 700 120 – 60 2 600 + 300

8 000 + 7 000 1 200 – 600 8 500 + 2002. a) 42 + 30 + 9 b) 50 + 39 + 10 c) 25 + 8 + 253. a) + 327 b) 6 814 c) + 3 486 d) + 25 607

+ 451 + 382 + 8 205 + 348 902

3. e) – 297 f) 4 685 g) – 8 247 h) – 38 697– 265 – 932 – 3 829 – 12 946

4. a) Calcula la suma de 2 427 y 32 908.b) La diferencia es 4 087 y el sustraendo 935. ¿Cuál es el minuendo?

5. a) 4 + 8 + 6 + 3 b) 14 + 7 – 2 – 3 c) 700 – 100 + 809 + 8 + 0 + 4 90 – 20 – 8 + 4 900 – (500 – 300)7 + 7 + 9 + 8 85 – 32 + 17 600 – 100 – 300

6. Calcula:a) 1 342 + 826 + 48b) 2 406 + 25 416 + 142 + 316c) 9 kg + 325 kg + 21 kg + 4 205 kg

7. Calcula y controla:a) 7 421 + a = 9 013b) x – 618 = 213c) 1 321 – y = 823

8. Un contingente de la construcción debe construir 536 km de carretera; si yaha construido 489 km ¿Cuántos kilómetros le faltan por construir para cum-plir la meta?

9. Un teatro tiene 1 200 capacidades. Para una función ha vendido 216 entradaspara niños y 489 para mayores. ¿Cuántas entradas faltan por vender paracubrir todas las capacidades disponibles?

2.2.1 Adición escrita con números naturales hasta 1 000 000. Adiciónde varios sumandos

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:

• Reafirmación de los significados prácticos de la operación de adición, suspropiedades y el repaso de ejercicios básicos de adición y de sustracción.

• Ejercitación de cálculo escrito de la adición con números hasta un 1 000 000.• Ejercicios de aplicación de la adición escrita como ecuaciones, tablas, ejerci-

cios con cantidades, ejercicios con texto y problemas.• Adición escrita de varios sumandos y su ejercitación.

Se trabajará con las páginas de la 73 a la 83 del libro de texto y de la 48 a la57 del cuaderno de trabajo.

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Recomendaciones motodológicas para el desarrollode las clases

Para el desarrollo de este contenido es conveniente partir del repaso delconcepto de la operación de adición a través de los diferentes significados prác-ticos donde además de actividades como las que muestran el texto se pudieranincluir representaciones pictográficas y de segmentos, insistiendo en la relaciónpartes y todo. Ejemplo:

¿ ? ¿ ?5 + 3 = 8 5 + 3 = 8

Deben reconocerse los términos y propiedades de esta operación. Los alum-nos pueden dar ejemplos de ejercicios de adición sencillos, también expresaralgunos con números de 3 y 4 lugares o más y reconocer al mismo tiempo quepueden adicionar siempre dos números naturales cualesquiera. El texto ofrecealgunos ejemplos similares a los que pueden plantear los alumnos y que lespermitirá generalizar y resumir lo que se muestra en el recuadro.

La adición de números naturales siempre puede realizarse.

Al recordar las propiedades que se cumplen para esta operación es reco-mendable que a partir de ejemplos que el maestro puede plantear en varias tarje-tas o en el pizarrón, los propios alumnos deben expresar que los sumandos pue-den intercambiarse y la suma es igual. Corresponderá al maestro dar a conocerque esta propiedad que venimos trabajando desde primer grado es la “propiedadconmutativa”.

Los alumnos también pueden realizar de forma independiente algunas ac-tividades en las que apliquen esta propiedad similar a las que sugiere el libro detexto.

De forma análoga pudiera tratarse la propiedad asociativa, a partir de ejem-plos que ayuden a los alumnos a reconocer otra propiedad con la que han venidotrabajando:

Los sumandos pueden asociarse de diferentes maneras. La suma es igual.

Lo nuevo lo constituye conocer que esta es la “propiedad asociativa” de laadición.

Es importante también que en estas clases se reafirmen ejercicios básicos yde cálculo oral que utilizarán con frecuencia al calcular ejercicios más complejos.

La ejercitación del cálculo de ejercicios de adición de dos sumandos connúmeros hasta 1 000 000 pueden incluir inicialmente ejercicios formales connúmeros de cuatro, cinco y seis lugares, de modo que los alumnos automaticen

5 3

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

110

el procedimiento de solución; además pueden incluirse otros ejercicios de apli-cación como la solución de tablas con variables, ejercicios con texto, cálculocon cantidades así como ejercicios interesantes en los que deben completar consignos al comparar y que requieren un cálculo previo de ejercicios o un razona-miento lógico. No deben olvidarse los ejercicios de selección múltiple, parea-miento.

Por ejemplo:Comparaa) 787 + 354 ( ) 797 + 344b) 9 007 + 678 ( ) 9 007 + 578

Estos ejercicios sirven para llamar la atención de los alumnos, ya que algu-nos acometerán de inmediato la solución mediante el cálculo de los ejercicios,pero otros discutirán que pueden escribir el signo aun sin calcular. En el primerejemplo se puede apreciar que el primer sumando aumenta en 10, pero el segun-do disminuye en 10, luego el resultado de ambas sumas será igual. En el otroejemplo el primer sumando es igual en ambos ejercicios, pero el segundo su-mando en uno de los ejercicios aumenta en 100, luego la suma del primer ejerci-cio es mayor que la del segundo. Pudieran comprobarlo al final mediante elcálculo. Ejercicios interesantes como este y otros que sugiere el texto, así comoalgunos que elabore el maestro, elevarán el entusiasmo por calcular y propicia-rán la variedad requerida en las clases de ejercitación y aplicación; además posi-bilitan el mantenimiento de las habilidades en el trabajo con los números, pues enejercicios como estos se utiliza la comparación.

El cuaderno de trabajo también ofrece posibilidades para la ejercitación yaplicación del cálculo de la adición mediante ejercicios presentados en tablas,juegos didácticos y ejercicios para completar como el siguiente:

( ) 3 ( ) 5 + 5 ( ) 4 ( )

7 1 2 0y otros que contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico de los escolares.

Son también importantes ejercicios como:• Marca con una cruz (×) la respuesta correcta.

96 + 4 725 + 756a) 4 467 b) 5 567 c) — 5 577 d) 5 477.

• Une con una línea el ejercicio con la respuesta correcta.1. 799 + 873 + 422 a) 42 unidades de millar y 495 unidades.

b) 209 decenas y 4 unidades2. 22 342 + 13 425 + 6 728 c) 42 485

Además en estas clases dedicadas a la aplicación de habilidades logradas sedeben presentar ejercicios con texto y problemas, así como ejercicios para laformulación de problemas.

111

La introducción de la adición de varios sumandos puede iniciarse con lareafirmación de ejercicios de cálculo oral con varios sumandos (8 + 3 + 4;4 + 9 + 8 +7;...).

Si es necesario estos ejercicios previos pudieran consolidarse desde variosdías antes a la presentación de este nuevo contenido, ya que su dominio y rapi-dez en el cálculo es una condición previa indispensable.

Es importante que en el tratamiento de la adición escrita de varios sumandoslos alumnos reconozcan que se utiliza el mismo procedimiento que en la adi-ción de dos sumandos. Es necesario llamar la atención sobre la colocación delos sumandos uno debajo de otro. Esta es una de las posibilidades de consolidarel conocimiento del valor posicional de las cifras en el sistema de numeracióndecimal.

En el tratamiento de estos ejercicios es recomendable tener en cuenta elorden siguiente:1. Ejercicios cuya suma Ejemplos:1. en cada lugar sea a) + 135 2 + 1 + 5 = 8; 8 < 201. menor que 20 + 321 1 + 2 + 3 = 6; 6 < 20

+ 412b) 3 401 2 + 6 + 9 + 1 = 18; 18 < 20

159 2 + 7 + 1 + 4 = 12; 12 < 2026

+ 712

2. Ejercicios cuya suma a) 1 322 3 + 6 + 9 + 2 = 20; 20 = 202. en uno o más lugares 2 839 9 + 5 + 8 + 3 = 25; 25 > 202. sea igual o mayor 2 5062. que 20 + 1 913

b) 2 497 5 + 7 + 9 + 7 = 28; 28 > 20869 2 + 9 + 8 + 6 + 9 = 34; 34 > 2087

+ 795

También en el orden de presentación de los ejercicios, debe cuidarse que:a) Los sumandos tengan la 5 612

misma cantidad de lugares 3 427+ 9 348

b) Los sumandos tengan diferente 206 405 86cantidad de lugares 56 009 3 814

+ 7 203 527+ 17 612

Las clases que se dediquen a la aplicación del cálculo escrito de la adicióncon varios sumandos deben incluir actividades que posibiliten el trabajo inde-pendiente de los escolares. En el libro de texto y el cuaderno de trabajo se

112

ofrecen variados ejercicios que pueden incrementarse con otros elaborados porel maestro.

En las clases de ejercitación del cálculo escrito de la adición se debe forta-lecer el trabajo con problemas, en necesario dedicar algunas clases completas ala solución de problemas como los que sugiere el texto. En ellos hay diferentesexigencias. Hay problemas en los que se pueden tomar los datos de una tabla,otros en los que a partir de datos dados en una tabla, los alumnos deben elaborarproblemas; y resolver con un paso y con dos pasos de solución.

La formulación de problemas por los alumnos se está trabajando desdeprimer grado, pero es necesario reconocer que ello debe sustentarse en untrabajo sistemático en el que reconozcan aspectos esenciales como: que entodo problema hay una situación, que se ofrecen dos o más datos entre losque se establece una relación que está expresada por la operación u operacio-nes que deben realizarse; y existe una pregunta que es la que fundamentalmen-te determina lo que se debe calcular y responder. Con estos elementos y apo-yados en el desarrollo logrado en las habilidades de cálculo los alumnos debenpoder plantear, cada vez con mayor grado de independencia, problemas elabo-rados por ellos.

En el texto y cuaderno se sugieren algunos ejercicios en los que este trabajode formulación de problemas se dosifica. (Se formulan a partir de datos dados;o a partir de un ejercicio de cálculo determinado.) En otros pudieran formularsenuevos problemas a partir de otros datos (variando la pregunta, variando losdatos, etcétera).2.2.2 Sustracción escrita con números naturales hasta 1 000 000

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Reafirmación del significado práctico de la operación y su relación con la

adición.• Repaso de los ejercicios básicos de ambas operaciones.• Ejercicios de sustracción con números hasta 1 000 000.• Introducción del cálculo de ejercicios de sustracción utilizando el proceso

sustractivo.• Ejercicios con cantidades, ecuaciones, con operaciones combinadas.• Ejercicios con texto y problemas.

Se trabajará con las páginas de la 84 a la 91 del LT y de la 58 a la 61 del CT.


Al reafirmar el concepto de la operación de sustracción es importante quelos alumnos vuelvan a reconocer los términos de la operación, no solo con nú-meros hasta 100 sino frente al planteamiento de la sustracción con números detres, cuatro, cinco o seis lugares. El maestro podrá realizar actividades con va-rios pares de números, de modo que los alumnos puedan recordar como aspec-

113

to esencial que la sustracción de números naturales puede realizarse solamentecuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.

Otro aspecto importante que debe consolidarse con diferentes tipos deactividades es la relación entre la adición y la sustracción.

Pudiera iniciarse este recordatorio a partir de los ejercicios básicos, ya quea partir de una igualdad de adición pueden obtenerse dos de sustracción.

8 + 7 = 15

15 – 8 = 7 15 – 7 = 8Es útil que ellos reconozcan esta relación con otros números. Por ejemplo:

600 + 200 = 800

800 – 200 = 600 800 – 600 = 200También pudieran incluirse ejercicios en los que se desconoce un suman-

do, para reconocer cómo se aplica también esta relación al calcular ejercicios deeste tipo.

Por ejemplo:Un sumando es 46 y la suma es 66. ¿Cuál es el otro sumando?46 + x = 66Ellos pueden pensar de esta manera:

46 + x = 66 46 + x = 6646 + 20 = 66 o también 46 + x = 66 – 46

x = 20 46 + x = 20

Los alumnos deben reconocer que esta relación también la aplican al con-trolar los ejercicios de sustracción, mediante la adición. Esto debe analizarsenuevamente en ejemplos como:

– 23 892 Control– 523 +23 369– 23 369 + 523

+23 892

En la ejercitación de la sustracción escrita se deben calcular muchos ejerci-cios. Debe discutirse nuevamente con los alumnos la forma de proceder me-diante la utilización del proceso aditivo. Debe enfatizarse que en el cálculo de lasustracción escrita, “en cada lugar se piensa en un ejercicio de adición en que sedesconoce un sumando”. Por ejemplo:

– 3 465 8 + a = 15 escrito 7 y adiciono 1 en el – 1 228 8 + 7 = 15 próximo lugar del sustraendo 7

Después de haber realizado suficientes ejercicios, debe informarse a losalumnos que también puede calcularse de otra forma, si ya han memorizado los

114

ejercicios básicos de sustracción, pueden pensar en ellos en cada columna yentonces calcular el ejercicio de sustracción utilizando los ejercicios básicos desustracción. Debe mostrarse en detalles la forma de proceder, como se muestraen el texto.

Esto no implica que el alumno deba cambiar su forma de proceder, si noque es el momento de prepararlo para reconocer otras vías para calcular unmismo ejercicio y que ellos decidirán cuando la pueden utilizar como otra posi-bilidad.

El cálculo de ejercicios donde se presentan rectas sucesivas puede presen-tarse a partir del cálculo de ejercicios en los que se combinen las operaciones deadición y sustracción, como se sugiere en el texto página 86.

Es necesario hacer énfasis en el aspecto que se resume en el recuadro:Los ejercicios en los que se combinan la adición y la sustracción se calcu-

lan en el orden en que aparecen estas operaciones.Al presentar el ejercicio con restas sucesivas, como un ejercicio más de

este tipo, es necesario que los alumnos comprendan que pueden proceder deuna de estas formas.1. Sustraer sucesivamente siguiendo el orden en que aparecen las operaciones.2. Adicionar los dos sustraendos y la suma obtenida, se resta del minuendo.

Los alumnos deben hacer varios ejercicios de este tipo por una u otra vía.En la ejercitación y aplicación, los propios alumnos deciden de qué forma van acalcular.

Es necesario que aclaremos a los maestros que hay ejercicios donde secombinan la adición y la sustracción que no deben presentarse a los alumnos,pues en el dominio de los números naturales no se pueden solucionar.

Por ejemplo:5 + 13 – 36 + 21En este ejemplo si se calcula en el orden en que aparecen las operaciones

se efectúa el ejercicio 5 + 13 = 18 sin dificultad, pero al querer calcular 18 – 36el alumno se enfrenta a un ejercicio de sustracción que no puede realizar porqueel minuendo es menor que el sustraendo.

Se recomienda que las clases de ejercitación y aplicación de la sustracción,incluyan ejercicios con cantidades de longitud, masa y de tiempo, así comotablas, ecuaciones, ejercicios con texto y problemas. Es necesario que se reali-cen también ejercicios en los que indistintamente calcule con la adición o lasustracción y otros, en los que estas operaciones se combinen. Es necesarioincluir ejercicios de selección múltiple y de pareamiento.

2.2.3 Ejercitación de la adición y la sustracción escrita con números naturalesPara el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Ejercitación de la adición y sustracción escrita.• Ejercicios en que se combinen estas operaciones.

115

• Reafirmación de la relación entre la adición y la sustracción, fundamentalmen-te mediante el control de ejercicios de sustracción.

• Solución de ecuaciones.• Solución de ejercicios variados de adición y sustracción, cálculo con cantida-

des, problemas y resumen de características o propiedades de estas operaciones.Se trabajará con las páginas de la 92 a la 96 del libro de texto y de la 62 a

la 65 del cuaderno de trabajo.


Las clases de ejercitación y consolidación de la adición y la sustracción,requieren de una cuidadosa preparación, ya que cada maestro establece la estra-tegia requerida para reafirmar los contenidos esenciales. Teniendo en cuenta losresultados del diagnóstico, y al mismo tiempo debe analizar las exigencias de losdiferentes ejercicios, así como la variedad de los mismos, de modo que los alum-nos se sientan interesados por mostrar sus habilidades. Los ejercicios de aplica-ción también deben ser dosificados de acuerdo con la muestra que sugieren eltexto y el cuaderno de trabajo y es muy valiosa la selección que realice el maes-tro, así como la creación de otros que resulten necesarios para su grupo. Des-pués de practicar con muchos ejercicios, estas habilidades se aplicarán.

En el libro se ofrecen ejercicios interesantes, que sirven para discutir y losalumnos deben analizar muy bien cada ejercicio, pues encontrarán algunos queno pueden calcularlos, en otros casos se les mostrarán ejercicios con errorespara que los encuentren y rectifiquen el error.

Estos ejercicios contribuyen al análisis, al poder de concentración, a laseguridad en la toma de decisiones y a la seguridad en sus conocimientos, portanto, contribuyen al desarrollo intelectual de los escolares.

Al solucionar ecuaciones se continúa reafirmando la relación entre la adi-ción y la sustracción, pues si comparan algunos ejercicios de este tipo puedenreconocer nuevamente que para obtener el término desconocido en una ecua-ción de adición, se apoyan en la sustracción y si se desconoce el minuendoutilizamos la adición. Por ejemplo:a) 8 296 + y = 10 690

y = 10 690 – 8 296 Si de la suma se sustrae el sumando cono-cido, se obtiene el otro sumando.– 10 690– 8 296– 2 394se comprueba+ 8 296+ 2 394+ 10 690

116

b) x = 321 = 219 Si a la diferencia se adiciona el sustraendo,x = 219 + 321 se obtiene el minuendo.x = 540 + 219

+ 321+ 540se comprueba– 540– 321– 219

Los alumnos también deben reconocer que en las ecuaciones donde sedesconoce el sustraendo, este se halla mediante la sustracción. Por ejemplo:

614 – n = 203 Si al minuendo se le sustrae la diferencia,614 – 203 = n se obtiene el sustraendo.614 – 2 n = 411 – 614614 – 411 = 203 – 203

– 411se comprueba– 614– 411– 203

Ejercicios de los antes mencionados además de solucionarse de formaalgebraica utilizando ecuaciones como se mostró anteriormente, también pue-den ser presentados a través de problemas sencillos donde aparezca la relaciónparte-todo y se utilicen modelos lineales como ayuda para la búsqueda de lasolución. Un ejemplo sería:

Carlos debe recorrer 835 m de su casa a la escuela, ya recorrió 300 m.¿Cuánto le falta por recorrer?

300 m ¿?

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

835 mEntre los problemas que se ofrecen en el texto para la ejercitación y aplica-

ción de este contenido se incluyen algunos en los que se aplica el cálculo concantidades de longitud, de masa y de dinero que reflejan situaciones de la prác-tica y cercanas al alumno, que contribuyen a su educación.

El cuaderno de trabajo ofrece posibilidades no solo para realizar nuevosejercicios y juegos didácticos, sino que incluye ejercicios para el mantenimien-to de las habilidades en el trabajo con los números naturales. Esto ha de tenerlopresente el maestro, de modo que cada vez que considere oportuno podrá in-cluir algunos de ellos como son: lectura de los números que se ofrecen como

117

sumandos, lectura de los resultados; descomposición como suma de algunosresultados. En otros casos puede hacer la escritura del antecesor y del sucesorde una diferencia obtenida y otros que el maestro considere oportuno.Sugerencias de tipos de ejercicios que pueden ser utilizados para comprobar ellogro de los objetivos1. Calcula

a) 34 609 + 3 918b) 346 207 + 9 842 + 25 340c) 968 704 – 89 718

ch) 348 616 + 87 010 – 51 014d) 759 808 – 216 112 – 15 025

2. a) Adiciona los números 27 009 y 39 912b) Sustrae 97 618 de 116 848c) Sustrae de 87 535 la suma de 15 911 y 25 034

3. Solucionaa) 14 390 + 2 = 28 600b) y – 2 438 = 15 012c) 848 – c = 219

4. De los 215 varones y 312 hembras de mi escuela fueron de vacaciones a laplaya 185 y el resto a las bases de campismo. ¿Cuántos alumnos fueron alcampismo?

2.3 El procedimiento escrito de la multiplicacióny división (35 h/c)


Desde el primer período del curso escolar, los alumnos han venido calculan-do ejercicios de multiplicación y división escrita donde un factor y el divisor es unnúmero de un lugar. Han desarrollado habilidades en cálculo de estos ejercicios yhan aplicado sus conocimientos en variados ejercicios. El objetivo fundamentalde esta unidad es la ampliación de estos procedimientos escritos al cálculo, dondeun factor y el divisor es un número de dos cifras y la aplicación de las habilidadesde cálculo en la solución de tablas, ecuaciones, ejercicios con operaciones combi-nadas, cálculo con cantidades, ejercicios con texto y problemas.

Como preparación para el tratamiento de estos contenidos está el perfec-cionamiento de las ejercitaciones diarias en el mantenimiento de las habilidadesen el cálculo de los ejercicios básicos y el repaso de las operaciones de multipli-cación y división, mediante actividades prácticas y ejercicios. Se debe tener encuenta la atención a la diversidad.

Se introducen las expresiones “propiedad conmutativa y asociativa de lamultiplicación” y “propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a laadición”. Estas propiedades se utilizan para la fundamentación matemática dela multiplicación escrita.

118

Con relación a la divisibilidad se profundizarán en su contenido, pues ade-más de mantener las habilidades logradas en tercer grado en aplicar la regla dedivisibilidad de 10 y 100, se introducirá el trabajo con la divisibilidad de 2, 5 y1 000, así como la utilización de la división para determinar si un número esdivisible o no por otro de forma general. Ello, conjuntamente con el cálculo depromedio permitirá un dominio más profundo sobre la división escrita.

Mediante la solución de variados ejercicios y problemas en forma inde-pendiente, los alumnos deben estar en condiciones de aplicar sus conocimientosy habilidades. En estos momentos deben saber seleccionar del texto de los pro-blemas, las relaciones matemáticas, plantear y calcular los ejercicios, así como,poder explicar los resultados obtenidos, comprobar su veracidad y formularcorrectamente la respuesta. Ellos deben además formular problemas.

De forma sistemática y vinculado a los ejercicios de multiplicación y divi-sión escrita, deben ejercitarse los conocimientos sobre números naturales.

Al trabajar la multiplicación y división por números de dos lugares se de-berá tener en cuenta de forma especial que el estimado que se puede realizar delcálculo como una forma de control es un contenido de carácter opcional en estegrado.

Ejemplos de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria.1. a) 8 + 6 b) 5 · 7 c) 6 · 8 d) 56 : 7

14 – 6 35 : 5 3 · 9 72 : 82. Calcula

a) 3 · 625 b) 50 : 325 c) 49 · 62407 – 7 147 · 6 000 1 043 · 37

d) 8 432 : 6 e) 42 536 : 232 413 : 8 13 425 : 37

3. 125 m · 54; 342 kg · 19; 1 872 L : 48; 13 472 t : 324. Calcula

a) 125 + 247 · 35 b) 45 · (2 754 – 342)c) 321 · (726 – 726) d) 325 · 58 – 816 · 1e)10 368 : (805 – 724) f) 7 959 + 14 819 : 73

5. Al producto de 416 y 29 réstele 424.6. En el almacén de un restaurante hay 152 botellas de vino blanco, si el nuevo

envío contiene 123 cajas de 35 botellas cada una. ¿Cuántas botellas de vinohay ahora en el restaurante?

7. Se quieren envasar 1 104 pañuelos en cajas de 24 pañuelos cada una, ¿cuán-tas cajas se necesitan?

8. Efectúa:a) Multiplica 12 unidades de millar, 5 unidades por 6 decenas, 3 unidades.b) 36 centenas, 15 unidades por 24 unidades.c) 1 millar, 4 centenas, 26 unidades por 3 decenas.

9. En la multiplicación dada: ¿Cuál es la cifra de las decenas de millar del factordesconocido.

· 31 1 1 1 1 1

119

10. Puedes ordenar de mayor a menor, los números siguientes:a) 8 · 105 + 9 · 103 + 3 · 1b) 36 decenas de millar y 4 centenas por 3 decenas y 6 unidadesc) 828 899 – 6 156 · 52

11. Marca con una cruz la respuesta correcta 536 340 es:A. El cociente de dividir 89 345 entre 3.B. La diferencia de 536 340 y 36 401.C. El resultado de multiplicar 15 324 por 35.

12. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? Fundamenta tu res-puesta.a) El producto de 18 345 · 49 es 897 905.b) Si a, b y c son números naturales cualesquiera se cumple que

a(b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c . Esta propiedad recibe el nombre de asociativa.2.3.1 La multiplicación escrita de números naturales por números de doslugares, hasta 1 000 000

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Reafirmación de la operación de multiplicación y sus propiedades.• Repaso de ejercicios básicos de multiplicación y ejercicios de multiplicación

escrita por un número de un lugar.• Solución de ejercicios de multiplicación escrita en que un factor es un número

de dos lugares, múltiplo de 10 y su transferencia a la multiplicación pormúltiplos de potencias de 10.

• Introducción de la multiplicación escrita por un número de dos lugares.• Ejercitación de la multiplicación escrita por un número de dos lugares y ejer-

cicios de aplicación en el cálculo con cantidades.• Ejercicios con texto y problemas.• Ejercicios en los que se combinen las operaciones adición, sustracción, y mul-

tiplicación.• Solución y formulación de problemas.

Se trabajará con las páginas de la 97 a la 108 del libro de texto y de la 66 ala 75 del cuaderno de trabajo.


La reafirmación del concepto de la operación de multiplicación puederealizarse con una actividad práctica como la que sugiere la actividad de lapágina 97 del libro de texto donde con el trabajo con conjunto se plantea unaigualdad de sumandos iguales y a esta se le hace corresponder una igualdad demultiplicación. El significado práctico de la multiplicación en términos de larelación parte-todo en que las partes son iguales, así como el significado deárea utilizando un cuadrado cualquiera como unidad deben ser también reafir-mado.

120

Deben destacarse los términos factor y producto y lo que significan. Estostérminos pueden ejercitarse con la ayuda de ejercicios con texto.

Los ejercicios básicos de multiplicación deben consolidarse de forma diná-mica y mediante variadas formas; se pueden usar tarjetas, juegos didácticos,formación de grupos o pares de ejercicios y también presentarlos combinadoscon otras operaciones de forma oral en ejercicios en cadena y realizarlos enforma de juego; por ejemplo:

8 + 6 maestro: “ocho más seis”14 : 2 alumno: “catorce” 7 · 8 maestro: “entre dos”

56 – 2 alumno: “siete”54 : 6 maestro: “por ocho”9 · 9 alumno: “cincuenta y seis”

81 – 1 .80 : 10 .8 · 6 .

48 – 8 .40 · 0 .

Estos ejercicios deben ser cuidadosamente preparados y en su realizacióndebe lograrse que todos puedan escuchar el resultado del cálculo y a partir de él,cumplir la indicación por el maestro del nuevo ejercicio para poder continuar elcálculo sin que se “rompa” la cadena.

En la ejercitación de los ejercicios básicos debe tenerse en cuenta la multi-plicación por cero y por uno. Se debe recordar que al multiplicar un número porcero, siempre el producto es cero y que al multiplicar un número por uno, seobtiene como producto el mismo número.

A partir de la realización de varios ejercicios de multiplicación, en quecada vez los números son mayores, como los que sugiere el texto, se puedelograr que los alumnos planteen que la multiplicación de números naturalessiempre puede realizarse. Deben comprender también que a dos factores se leasocia siempre un solo producto.

También pueden observar a través de ejemplos que a varios pares de facto-res se les puede asociar un mismo producto. Por ejemplo:

a) 1 · 12 b) 156 · 22 · 6 104 · 33 · 4 78 · 4

52 · 639 · 8

La reafirmación de las propiedades que se cumplen en la multiplicacióndebe realizarse a partir del análisis y la solución de ejercicios. Para los alumnossolo es nuevo el nombre de las propiedades: “Propiedad conmutativa de lamultiplicación” y “propiedad asociativa de la multiplicación”. Deben recono-

31212

121

cer la utilidad de ambas propiedades y aplicarlas en la solución de ejercicios y alhacer un cálculo ventajoso.

Especial atención debemos dar a la propiedad distributiva de la multiplica-ción; respecto a la adición, ya que la utilizaremos como base en la fundamentaciónde la multiplicación escrita; por eso es que a través de varios ejercicios se debeconducir al dominio seguro de esta propiedad. Además es importante que com-prendan, sobre la base de ejemplos, que la propiedad distributiva de la multipli-cación también se cumple cuando un factor está dado mediante una diferencia.

Puede utilizarse para controlar la posibilidad de tapar con una hoja el cál-culo ya realizado, de manera que se vea solamente el ejercicio planteado; sevuelve a calcular y en la hoja se escribe el resultado. Posteriormente se comparacon el cálculo ya realizado; esto permite constatar si el alumno controló real-mente. La educación de los alumnos en el control de los resultados obtenidos esmuy importante para todo trabajo exitoso.

La multiplicación escrita en que un factor es un número de dos lugaresmúltiplos de 10, se introduce como condición previa para la multiplicación porun número de dos cifras.

La regla conocida para la multiplicación por 10 y la propiedad asociativa dela multiplicación constituyen la base para la multiplicación por múltiplos de 10.

En la presentación de los ejercicios de multiplicación por números de doslugares múltiplos de 10, es importante que los alumnos comprendan que multi-plicar un número cualquiera (316) por un múltiplo de 10 (40).

316 · 40 Significa:Multiplicar primero por 4 y después el producto obteni-do multiplicarlo por 10 porque 40 = 4 · 10, es decir:

316 · 4 · 10

Por eso al realizar el cálculo mediante el procedimiento escrito:

316 · 40 – se multiplican por 4 como si el cero no estuviera (puede1264 – taparse con una tarjeta)

316 · 40 – después se agrega un cero a ese producto que signifi-12640 – ca que se ha multiplicado por 10.

Después que los alumnos han realizado suficientes ejercicios de este tipo, esta-rán en condiciones de ampliar sus conocimientos al transferir este mismo proce-so a la multiplicación por múltiplos de otras potencias de diez. Igualmente debepartirse de la aplicación de las reglas de la multiplicación por 100 y por 1 000 ymostrar mediante el cálculo de ejercicios que se utiliza el mismo procedimientoque en la multiplicación por múltiplos de diez. Deben comprender que al multi-plicar un número por un múltiplo de potencias de 10, se multiplica primero porun número de una cifra y luego se agregan tantos ceros como corresponda.

122

Como se sugiere en el libro de texto es posible que los propios alumnos genera-licen y comenten el procedimiento de solución.

Para la comprensión del procedimiento escrito de la multiplicación en queun factor es un número de dos lugares, debe fundamentarse el procedimientomediante la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación, comose sugiere en el libro de texto. Es conveniente que el desarrollo del ejercicio serealice en el pizarrón, con la participación de los alumnos.

Al presentar el cálculo del ejercicio mediante el procedimiento escrito, losalumnos deben reconocer que se aplican los mismos pasos de trabajo que yaconocen y que se amplían, pues ahora uno de los factores tiene dos lugares. Sedestaca que deben comenzar a calcular por el factor de 10 del número de doslugares (las decenas) y después multiplicar por el factor de 1 (las unidades); debemostrarse bien la colocación de los productos parciales que se obtienen y cómo serealiza la suma de ambos productos parciales para obtener el resultado o producto.Mediante este proceso más abreviado los alumnos deben reconocer que se proce-de de igual forma que en el ejercicio desarrollado en el pizarrón, es decir, se aplicala propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

Es necesario que los primeros ejercicios que se realicen, sean comentadospor los alumnos para que se fije el procedimiento. Debe informarse que el cerodel producto parcial que se obtiene al multiplicar por la cifra de las decenas, noes necesario escribirlo; pero que sí es importante dejar el lugar que le correspon-de y tener esto en cuenta al comenzar a escribir el otro producto parcial para queno se altere el resultado. También debe destacarse que cada producto parcialdebe comenzar a escribirse debajo de la cifra, por lo cual se multiplica y de laforma que ya el alumno conoce, de derecha a izquierda. Por ejemplo:

Si se decide introducir el contenido opcional sobre el cálculo de estimadodebe destacarse nuevamente que mediante su realización obtenemos una ideacercana del resultado y que también facilita el control. Debe tenerse en cuentaademás que en el cálculo del estimado hay que trabajar con números que permi-tan un cálculo mental, por eso una posibilidad para realizarlo, es que al redon-

multiplica por las cifrade las unidades

323 · 421292

646multiplica por la cifra delas decenas

323 · 421292

adiciono dos productos parciales

323 · 421292

64613566

123

dear ambos factores el que tiene dos cifras se redondea al múltiplo de 10 y elotro se redondea al múltiplo de la mayor potencia de 10 del número. Por ejem-plo:

323 · 42 Estimado300 · 40

1 841 · 31 2 000 · 30

895 · 78 900 · 80

Es importante que los alumnos sientan la necesidad de realizar el control delos ejercicios para comprobar si calcularon correctamente, por eso es que de-ben volver a calcular. Pueden colocar, como ya conocen, una hoja sobre elproducto obtenido, calcular nuevamente, escriben el resultado y después com-paran.

La ejercitación de la multiplicación por un número de dos cifras, debe in-cluir inicialmente muchos ejercicios formales que permitan practicar el proce-dimiento y adquirir seguridad. Solo después que los alumnos dominan el proce-dimiento es que se deben presentar ejercicios con otras complejidades, tablas,ejercicios en que se combinan las operaciones, ejercicios de cálculo con canti-dades en los que tengan previamente que realizar conversiones, juegos didácticosy problemas.

En estas clases de ejercitación deben presentarse algunos ejercicios en quetengan que multiplicar por cero o por uno, para que recuerden las propiedades alcalcular por estos números. Esto lo aplicarán también en algunos ejercicios dondese combinan las operaciones.

En los ejercicios con operaciones combinadas, debemos habituar a los alum-nos a que mediten primero qué operaciones van a calcular y después en quéorden van a realizarlas. Es necesario que con ayuda de ejemplos se analice conlos alumnos el recuadro de la página 99 del libro de texto y se apliquen estoscontenidos en la solución de ejercicios.

En el desarrollo de este contenido se incluyen ejercicios de cálculo concantidades en los que previamente deben realizarse conversiones (que requie-ran de multiplicaciones) por ello deben ofrecerse indicaciones claras que permi-tan a los alumnos conocer un procedimiento seguro para poder actuar ante estetipo de ejercicio. Es indispensable en primer lugar saber realizar las conversio-nes, de ello debe asegurarse el maestro antes de plantearlo. Por ejemplo:

Ante el ejercicio 4 h + 7 min + 12 s

Debe observarse que hay que adicionar tres cantidades, que como las uni-dades son diferentes (hora —minuto — segundo) hay que convertirlas en unamisma unidad para poder calcular. Debe entonces ahora analizarse a cuál de las

124

unidades conviene hacer la conversión para hacerlo con más facilidad, rapidez yque el alumno pueda efectuar el cálculo. Una posibilidad puede ser:• Convertir las horas y los minutos en segundos

4 h + 7 min + 12 s 60 · 4 = 2404 h = 240 min 240 · 60240 min = 14 400 s 144007 min = 420 s 60 · 7 = 420

• Calcular:+ 14 400 s+ 420 s+ 12 s+ 14 832 sentonces: 4 h + 7 min + 12 s = 14 832 s

Se debe tener cuidado al seleccionar a cuál unidad se va a convertir paraefectuar el cálculo, pues solamente en pesos y centavos el alumno calcularáutilizando la coma decimal.

En el desarrollo de este contenido se incluyen algunos ejercicios que con-tribuyen a que los alumnos interpreten y consideren el significado de la multi-plicación, por ejemplo, un ejercicio donde se les pregunta cómo pueden calcu-lar con rapidez una suma en la que 328 aparece 48 veces como sumando.

En estos momentos los alumnos deben solucionar en forma independienteejercicios con texto, problemas simples y compuestos, como los que ofrecen enel texto.

Debe tenerse especial cuidado en aquellos ejercicios y problemas dondeprimero hay que convertir para después efectuar los cálculos. Además debenelaborar problemas a partir de los datos que se ofrecen.

Es importante que vinculados a los ejercicios de multiplicación escritos seejerciten los conocimientos sobre numeración. Debe tenerse en cuenta los ejer-cicios que reafirman tanto el carácter cardinal de los números como el ordinal.En las páginas correspondientes a este contenido en el cuaderno de trabajo seofrecen algunas sugerencias de ejercicios que deben realizarse, además los alum-nos pueden leer los ejercicios y los resultados, de un grupo de ejercicios, decircuál resultado es mayor o menor, decir el antecesor o sucesor de un resultadoobtenido o escribir cómo se leen algunos resultados entre otras actividades.2.3.2 La división escrita de números naturales por número de dos lugares

hasta 1 000 000Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Reafirmación sobre el concepto de la operación de división.• El cálculo de ejercicios básicos y ejercicios de división de un lugar.• Introducción del cálculo de promedio y su aplicación en situaciones prácticas.• La divisibilidad o no de un número por otro y el tratamiento de la regla de

divisibilidad.

125

• Ejercitación del cálculo de la división por un múltiplo de potencia de 10.• La división escrita por un número de dos lugares múltiplos de 10.• Introducción de la división por números de dos lugares y su ejercitación.• Ejercicios en los que se combinen las operaciones de cálculo.• Solución de problemas

Se trabajará con las págs. 109 a la 128 del L.T y de la 76 a la 102 del C.T.


El tratamiento de la división puede iniciarse con el repaso de los significa-dos de la operación de división y de los términos dividendo, divisor y cociente.Este repaso se puede realizar, como se muestra en el texto, mediante la descom-posición de un conjunto en subconjuntos equipotentes disjuntos en sus dos va-riantes:a) El cociente representa la cantidad b) El cociente representa la cantidad dede elementos de cada subconjunto. subconjuntos.Diez cuadraditos se reparten por igual Se reparten 10 cuadraditos de modo queentre dos tiras. ¿Cuántos cuadraditos en cada tira haya dos cuadraditos.hay en cada tira? ¿Cuántas tiras se pueden formar?

10 : 2 = 5

Es importante destacar que para ambas situaciones se ha formado la mismaigualdad. En el primer ejemplo se averigua la cantidad de cuadraditos que tienecada tira y en el otro ejemplo se determina la cantidad de tiras que se puedenformar.

Análogamente a como se realizó en el tratamiento de la multiplicacióndebe repasarse el significado práctico de la división en términos de la relaciónparte-todo: repartir en partes iguales el todo, hallar el contenido de cada parte ohallar la cantidad de partes.

El momento también es propicio para el repaso de los términos de la opera-ción y sus respectivos significados.

La relación entre la multiplicación y la división puede repasarse con ayudade un ejemplo mediante la obtención de dos igualdades de división a partir deuna de multiplicación y utilizar esta relación en la solución de ecuaciones dondese desconoce uno de los factores. Nuevamente se reitera que la división es laoperación inversa de la multiplicación y que los ejercicios de división se contro-lan con la multiplicación.

Es necesario que en todas estas clases se logren habilidades seguras conlos ejercicios básicos de multiplicación y división, ya que constituyen unapremisa importante para la división escrita, así como también debe realizarseuna amplia ejercitación de la división con divisores de una sola cifra en la que

126

se precisen los pasos y las condiciones para la realización de la división. Esconveniente repasar nuevamente mediante ejemplos, que el dividendo debe sermayor o igual que el divisor, que el resto siempre debe ser menor que el divisory que cuando se obtiene un dividendo parcial menor que el divisor se escribecero en el lugar correspondiente del cociente, esto es importante discutirlo conlos alumnos, pues frecuentemente por no tener en cuenta estos aspectos secometen errores.

La introducción del cálculo de promedios debe realizarse con una situa-ción de la vida práctica, como la que se muestra en el texto, pues el objetivo desu tratamiento es precisamente resolver algunas de las situaciones que se dan enla vida cotidiana.

Los alumnos deben aprender el concepto de promedio, primeramente ensentido de una distribución uniforme y luego se caracteriza atendiendo a susignificado general, es decir, mediante el cálculo. En la determinación del pro-medio los alumnos repasan sus conocimientos sobre la adición y consolidansobre todo la división, en este caso la división por divisores de un lugar.

Con un ejercicio sencillo se puede dar la idea de la distribución uniforme.Por ejemplo: En la playa tres niños recogen caracoles. Elena recoge 7 caracoles,Tania recoge 11 y Sonia 6. Después quieren repartir los caracoles por igual, osea, de modo uniforme para tener todos la misma cantidad. ¿Cuántos caracolesrecibe cada niña?

Se les pide a los alumnos buscar posibilidades de solución. Puede ser re-partir los caracoles uno por uno de niña en niña. Para ello pueden utilizarsepiedrecitas, palitos o hacer un dibujo con rayitas para simbolizar a los caracoles.

Se destaca que: 7 + 11 + 6 = 24 caracoles y que estos 24 caracoles debenser repartidos uniformemente entre las tres niñas, o sea, 24 : 3 = 8.

En un resumen que se hace a continuación se destaca que a través de larepartición uniforme, pero también a través del cálculo, se puede determinarcuántos caracoles recolectó cada niña como promedio, pues todas no recogie-ron la misma cantidad.

Si es necesario pueden realizarse otros ejemplos similares tomados del mediode los alumnos.

Es importante que el maestro recuerde que aunque el promedio puede apa-rentemente ser un concepto abstracto, está muy relacionado con la práctica, puesse utiliza mucho cuando se quiere conocer el comportamiento medio de una ciertapoblación, aunque cada uno de sus componentes se acerquen o se alejen mucho ala media. Por ejemplo, es útil conocer la edad promedio de los jugadores de unequipo de pelota, el promedio de calificación de un grupo y así saber qué alumnosestán por encima o por debajo de la media, etc. En el propio libro de texto se ilustraun uso del promedio en alumnos que practican baloncesto.

Aunque no es el caso que abordamos con los alumnos, es posible mostrarleen algún ejemplo que también en el cálculo del promedio puede aparecer ladivisión con resto. En estos casos se debe indicar un valor aproximado adecua-do y en la respuesta debe reflejarse, por ejemplo: Como promedio se recolecta-ron aproximadamente 16 frascos o la edad promedio de los alumnos del aula esaproximadamente 10 años.

127

Debe quedar bien claro para los alumnos que en el cálculo de promedios sedivide la suma de todos los datos por la cantidad de datos.

La divisibilidad de números naturales debe ejercitarse teniendo en cuentaque:a) Se utiliza la división para determinar si un número es divisible o no por otro.b) Se aplican las reglas de divisibilidad por 2, 5, 10, 100 y 1 000.

Por ello es aconsejable el repaso de los conceptos divisible y no divisibleque conjuntamente con la regla de divisibilidad de 10 y 100 fueron ya trabaja-dos en tercer grado. En este repaso se pueden utilizar ejemplos en que se reparteequitativamente y no sobre ningún elemento y en relación con estos ejemplosdeterminarse que un número es divisible por otro solamente cuando este núme-ro es su múltiplo.

Para la obtención de la regla de divisibilidad por 2, 5 y 1 000 se debetener en consideración que constituyen enunciados generales. Debe partirsede cierta cantidad de ejemplos para obtener la generalización; los alumnospudieran reconocer cada regla por sí mismos y formularlas con sus propiaspalabras.

Es necesario que en los ejercicios que se presenten el alumno medite pri-mero si debe aplicar las reglas de divisibilidad conocidas o si debe realizar ladivisión. En los ejercicios en que tenga que dividir debe precisarse bien que si elresto es cero entonces el número es divisible por el número dado, es decir, eldividendo es múltiplo del divisor. En ejercicios como estos deben utilizarse lasexpresiones: “es divisor de”, “es divisible por”, “es múltiplo de”, al igual quelas expresiones correspondientes. Si al realizar la división el resto que se obtie-ne es diferente de cero, es decir, “no es divisor de”, “no es divisible por”, “no esmúltiplo de”.

Entre los ejercicios que se realicen es conveniente utilizar tablas de “si —no” para reflejar si determinados números son o no divisibles por números da-dos, con ellos se profundizan los conocimientos sobre las relaciones existentesen el dominio de los números naturales.

El tratamiento de la división escrita en este grado requiere de una prepara-ción cuidadosa, por eso es tan importante que antes de iniciarla el maestro valo-re si están bien creadas las condiciones previas.

Los alumnos deben tener pleno dominio de los ejercicios básicos de multi-plicación y división, la división escrita por números de un lugar, así como losprocedimientos escritos de la adición, sustracción y multiplicación. Tambiénincluimos como actividades preparatorias la división en forma oral, de ejerci-cios en que el divisor es un múltiplo de potencia de 10 como se muestra en lapágina 114 del libro de texto. En ejercicios como estos es importante destacarque se divide al dividendo y al divisor por la misma potencia de 10, que corres-ponde en cada caso, por ello se elimina la misma cantidad de ceros y entonces elalumno debe reconocer que ahora debe calcular un ejercicio ya conocido por él,que en unos casos es un ejercicio básico y en otros un ejercicio en que el divisores un número de un lugar. Deben presentarse suficientes ejercicios que facilitenla comprensión del procedimiento en ejercicios como éstos.

Maritza

Nota

conclusiones

128

En este grado la división escrita contempla los siguientes niveles de difi-cultad.1. El dividendo y el divisor es un múltiplo de potencia de 10, (se reduce a la

división por un número de un lugar, 690 : 30; 13 800 : 600)2. El divisor es un número de dos lugares:

a) Múltiplo de 10 (8 649 : 20).b) No múltiplo de 10 (8 988 : 42; 3 612 : 27).

En estos ejercicios en los que el divisor es un número de dos lugares cua-lesquiera se ha tenido en cuenta al realizar la dosificación o, partir del ejercicioen que al realizar el cálculo del estimado, el divisor debe ser redondeado pordefecto y después ejercicios en que el divisor se redondea por exceso, así comopresentar para su discusión y cálculo, ejercicios con cero en el cociente y ejer-cicios en los que hay que rectificar una y más de una cifra en el cociente.

En el cálculo de ejercicios en que el dividendo y el divisor son múltiplos depotencias de 10, es necesario que los alumnos comprendan que para simplificarla división pueden dividir ambos términos por 10, ya que el resultado es el mis-mo, no varía y para ello se eliminan los ceros correspondientes, entonces elejercicio se convierte en un ejercicio ya conocido, es decir, en una división porun número de un lugar:

Por ejemplo en el ejercicio 12 900 : 6012 900/ : 6 0/ Como el divisor es múltiplo de 10. Se elimina (se tacha)

el cero.Como el dividendo es múltiplo de 10 se elimina el último cero.En la práctica lo que se hace es calcular el ejercicio 1 290 : 6. Es conveniente

que en la libreta del alumno en el ejercicio queden los ceros tachados. Por ejemplo:12 900/ 60/12 21509

630300

pues el ejercicio dado es 12 900 : 60Al concluir el cálculo y leer el ejercicio y el resultado deben expresar “doce

mil novecientos entre sesenta es igual a doscientos quince”.Este mismo procedimiento se transfiere al cálculo escrito de la división en

ejercicios donde, por ejemplo, el dividendo y el divisor son múltiplos de 100,1 000 o de otra potencia de 10, como se muestra en el texto.

La división escrita de números naturales por múltiplos de 10 constituye eleslabón entre la división de números naturales por divisores de un lugar y la ex-tensión de ese procedimiento a divisores de dos lugares cualesquiera, por eso esnecesario que los alumnos adquieran habilidades en el cálculo de estos ejercicios.

129

Al presentar el nuevo ejercicio 8 649 : 20 es importante que se analice conlos alumnos que en ejercicios como estos no es posible la eliminación de ceros(pues el dividendo no es múltiplo de 10). En el análisis además deben reconocerque ahora van a dividir por un número de dos lugares, múltiplo de 10 y que seaplican los mismos pasos ya conocidos.

Previa a la solución del ejercicio debe explicarse cómo se realiza el cálculodel estimado y la función que tiene para obtener una idea aproximada del resul-tado antes de efectuar el cálculo. Por ejemplo:

Ejemplo:

8 649 : 20 Como el divisor es un múltiplo de 10, se mantiene igual(20)Ahora se busca de forma conveniente un múltiplo deldivisor (8 000)Entonces el estimado es:

8 000 : 20 = 400

El resultado del ejercicio es aproximadamente 400. Es necesario recordarque esta forma de control es un contenido opcional en el grado.

Debe informarse que el estimado debe realizarse de modo que el cálculopueda efectuarse mentalmente. Aunque generalmente se escribe para despuésutilizarlo en el control.

La explicación de cómo calcular el ejercicio debe hacerse en forma deta-llada como se refleja en el texto. Es necesario precisar nuevamente que:

1. Al determinar cada dividendo parcial, este debe ser mayor o igual que eldivisor.

2. Para controlar se multiplica o también se puede comparar con el estimado.Deben realizarse suficientes ejercicios que permitan fijar los pasos de traba-jo y preparar así las condiciones para la presentación de la nueva dificultad.Dentro de estos pasos es importante que se destaque una idea esencial delprocedimiento de solución:

“Se trata de reducir las divisiones parciales a un ejercicio donde el divisorsiempre tiene una sola cifra y el dividendo una cifra o dos (en el caso de que laprimera sea menor que el divisor). Esta búsqueda de los cocientes parciales es,en la práctica, una actividad mental y que aunque no siempre conduce al cocien-te parcial buscado (en ocasiones hay que hacer rectificaciones) es la vía mássimple de obtenerlo.”

En el procedimiento de solución se debe mantener el orden siguiente:1. Cálculo del estimado (mentalmente, aunque puede escribirse) (opcional).2. Cálculo del cociente.3. Control del resultado. Por medio de la multiplicación (o mediante la compa-

ración con el estimado).

130

En este grado la división escrita por números de dos lugares debe conver-tirse en un conocimiento seguro en los alumnos, por eso es necesario que todaslas condiciones previas estén creadas y además la explicación que se brinde alos alumnos sobre el procedimiento de solución sea detallada y precisa, de modoque facilite su comprensión.

La introducción de la nueva dificultad puede hacerse a partir del análisis ysolución de un problema. Por ejemplo:

En una tabla gimnástica participarán 1 428 estudiantes. ¿Cuántos ómnibusse necesitan para transportarlos a la vez si cada uno dispone de 42 asientos?

El análisis conduce al planteamiento del ejercicio 1 428 : 42. Momentopropicio para informar a los alumnos que van a aprender a calcular ejercicios dedivisión en que el divisor es un número cualquiera de dos lugares.

Al proponer la realización del cálculo del estimado debe hacerse observara los alumnos que como el divisor ahora no es múltiplo de 10, hay que redon-dearlo.

Se aplican las reglas conocidas, en este caso se redondea por defecto 42 ≈ 40.Ahora se procede de la forma ya conocida, es decir, se busca conveniente-

mente un múltiplo del divisor redondeado, puede ser 1 200. Entonces el estima-do es:

1 200/ : 40/ = 30 (opcional)En la aplicación detallada debe analizarse:1428 42 El primer dividendo parcial es 142, como el divi-126 34 sor redondeado es 40, utilizamos la cifra de las168 decenas (4) para determinar las cifras del cociente.168

0 14 4 Calculamos de la forma ya conocida (se multi-3 plica y se resta).

Se compara el resto obtenido con el divisor comoel resto es menor, se baja el 8 y se forma el próxi-mo dividendo parcial (168), la otra cifra del co-ciente se determina de la misma forma.16 4 y se continúa calculando.

4El control se efectúa de la forma ya conocida, es decir mediante la multipli-

cación o comparando con el estimado (34 ≈ 30).Debe darse la respuesta al problema planteado: Se necesitan 34 ómnibus

para transportar a los estudiantes.Otra posibilidad para la introducción del nuevo ejercicio puede ser me-

diante la presentación de tres grupos de ejercicios.Por ejemplo:

1. 576 : 6 2. 480 : 60 3. 8 988 : 426 240 : 8 2. 5 672 : 50 506 : 22

131

Al comparar estos ejercicios entre sí, los alumnos pueden plantear que yasaben calcular los ejercicios del grupo 1 y 2, pero que los del grupo 3 todavía nolo han estudiado.

Se aprovecha la oportunidad para realizar la orientación hacia los objetivose informarles que estos nuevos ejercicios se calculan de forma similar a losanteriores. Se analiza la explicación detallada como se refleja en el libro detexto y los del primer y segundo grupo pueden solucionarse en la clase u orien-tarse como tarea para la casa, haberse orientado como tarea del día anterior yutilizarse como condición previa en esta clase.

Al presentar ejercicios como 3 612 : 27 hemos querido destacar que en elestimado, redondea el divisor (27) por exceso (27 ≈ 30) luego la cifra de lasdecenas que se utiliza para determinar las cifras del cociente es (3) como semuestra en el ejemplo del texto. Esto es importante que el alumno lo observe,pues debe tenerlo en cuenta para determinar con más precisión las cifras queforman el cociente.

Es frecuente que los alumnos cometan errores cuando una de las cifras delcociente es cero, por ese motivo debe darse especial atención a ejercicios dondeesto ocurra. En el análisis deben comprender que cuando el dividendo parcial esmenor que el divisor, siempre se escribe cero en el cociente. Si es necesario sedebe mostrar completo el procedimiento, aunque esta situación la conocen desdetercer grado. Debe alertarse en los ejercicios donde el último dividendo parcial esmenor que el divisor, es decir, donde el cero es la última cifra que se determina enel cociente, pues este es uno de los errores más frecuentes que se cometen.

Una dificultad con la que hay que enfrentar a los alumnos en este grado escon la división en que hay que hacer rectificaciones en alguna cifra del cociente.Debe comenzarse por la situación más sencilla, es decir, donde hay que haceruna sola rectificación como se muestra en la página 120 del texto.

En ejemplos como este es necesario que comprendan que hay que rectifi-car, en este caso, disminuyendo en 1 la cifra del cociente, ya que el productoque se obtuvo es mayor que el dividendo parcial y por tanto no se puede efec-tuar la sustracción correspondiente, por lo que para buscar un número menor oigual a ese cociente parcial se disminuye esa cifra del cociente.

Sólo después que han comprendido el por qué y cómo se procede en ejer-cicios como éstos, y además que se hayan realizado suficientes ejercicios es quese debe presentar ejercicios donde haya que rectificar más de una vez.

En estos ejemplos deben comprender que es el mismo procedimiento quese repite en un mismo ejercicio.

En ejercicios donde hay que rectificar cifras en el cociente hay que tenerpresente que:

67173 3264 209 31 3317 10

9

1. Si la cifra que determinamos es 10;esta no es la que corresponde, puessiempre los cocientes parciales sonnúmeros de una sola cifra o dígitos.

Dificultad. Ejemplos

132

Para fundamentar que no es conmutativa deben reconocer que ellos sólosaben calcular ejercicios de división cuando el dividendo es mayor o igual queel divisor y que ejemplos como (2 : 8) ellos todavía no lo saben calcular.

Con otro ejemplo contrario puede mostrarse que no se cumple la propiedadasociativa. Por ejemplo:

(16 : 2) : 2 16 : (2 : 2)8 : 2 16 : 1

4 16En estos ejercicios se obtienen resultados diferentes: 4 < 16A través del análisis y discusión con los alumnos se debe concluir que en

la división el divisor no puede ser cero, pues la división por 0 no puede reali-zarse.

Este análisis debe apoyarse en el concepto que tienen de la multiplicación,así como en el conocimiento que poseen de que la división se fundamenta en lamultiplicación. Puede utilizarse un ejemplo como el siguiente:

Se quiere calcular un número natural X tal que:26 : 0 = x es decir que 26 = 0 · x· x no puede ser 0 pues 0 · 0 no es igual a 26· x no puede ser 26 pues 0 · 26 no es igual a 26· x no puede ser 1 pues 0 · 1 no es igual a 26Podemos probar con cualquier otro número natural, pero no vamos a en-

contrar ningún valor para x que satisfaga que 26 = 0 · x pues cualquier número

147’3 47 14 594 2 253 resto parcial

53 > 47147’3 47141 3

6271’78 34306 9 27 3

9306 > 271 8

7271’78 34272 8272 > 271271’78 34238 733

2. Hay ejercicios en los cuales en vez dedisminuir en 1 la cifra del cociente,hay que aumentar en 1. (Esto ocurrecuando el resto parcial es mayor oigual que el divisor.)

3. Hay ejercicios en los cuales hay quedisminuir en 1 la misma cifra del co-ciente, más de una vez.

133

multiplicado por 0 es igual a 0 (0 · x = 0). Se concluye nuevamente que en ladivisión el divisor no puede ser 0. Sin embargo, el dividendo si puede ser en esecaso 0.

0 : 26 = xeso significa que0 = 26 · xy esa ecuación tiene la solución x = 0 pues 26 · 0 = 0luego 0 : x = 0 y x : 0 no se puede realizarEn los ejercicios de división con cantidades debe mostrarse a los alumnos

como deben proceder.Por ejemplo 12 616 m : 83

1. Se calcula el ejercicio 2. Se da la respuesta126’1’6’ 83 2. 12 616 m : 83 = 152 m83 152431415166166

02.3.3 Ejercitación y aplicación de la multiplicación y división escrita

de números naturalesPara el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-

guientes contenidos:• Ejercicios de multiplicación y división por números de dos lugares.• Ejercicios de multiplicación y división con cantidades y tablas.• La solución de ejercicios con texto, ecuaciones y problemas.• Ejercicios en que se combinan las operaciones de cálculo.

Se trabajará con las páginas de la 129 a la 134 del libro de texto y de la 103a la 106 del cuaderno de trabajo.


En estos momentos ya los alumnos deben estar en condiciones de aplicarlos conocimientos en la división escrita. Deben aplicar la relación que conocenentre la multiplicación y la división y reafirmar la necesidad del control. Aquí sedebe recordar que con ayuda de la multiplicación se puede comprobar la exacti-tud de un cociente. Por eso es conveniente que al presentar ecuaciones ademásde dar la orden de que calculen, también le pidamos a los alumnos que com-prueben el resultado hallado. Se les puede informar que al cálculo del control enecuaciones se le llama “prueba”. Un control de este tipo se desarrolla mediante

134

la colocación de la solución en el lugar de la variable en la ecuación de partida;esta comprobación debe hacerse en cada ecuación que se realice.

En el completamiento de tablas los alumnos deben meditar qué valores de lavariable tienen y qué deben calcular. Deben, reconocer que en unos casos, tie-nen, por ejemplo, el dividendo y el divisor y deben calcular el cociente; pero enotros casos tienen el divisor y el cociente y mediante la multiplicación determi-nan el dividendo. También hay tablas donde se da un factor y el producto ycalculan el otro factor mediante la división. Es importante el completamiento detablas como las que ofrece el texto para que los alumnos apliquen los conoci-mientos sobre la relación entre la multiplicación y la división.

Otro aspecto donde los alumnos deben aplicar con seguridad sus conocimien-tos sobre las cuatro operaciones de cálculo es en los ejercicios donde se combinanestas operaciones. Es necesario que tengan dominio del orden en que deben efectuarlas operaciones planteadas, por eso es conveniente que en estas clases de ejercitacióny aplicación se discuta en forma colectiva algún ejercicio para que los alumnosexpresen y fundamenten cómo proceden en ejercicios como estos.

Son también propicias estas clases para realizar ejercicios de conversionesdonde aplican los conocimientos sobre la multiplicación y la división. Intere-santes resultan los ejercicios donde, por ejemplo, tengan que determinar cuán-tos días y cuántas horas son 287 horas.

La solución de ejercicios con texto y problemas brinda la oportunidad paraque los alumnos apliquen sus conocimientos en forma consciente e indepen-diente. Deben estar en condiciones de interpretar lo que se les pide (lo que sepregunta), de relacionar los datos que tiene con lo que se pregunta, si hay algúndato que no es necesario para la solución o si no puede solucionar el problemaporque faltan datos. Debe estar en condiciones de hacer el planteamiento para lasolución, calcular y formular la respuesta.

Es importante presentar algún problema que no pueda ser solucionado por-que le falten datos. Con ello se profundiza en el razonamiento que debe hacersey en la relación que se debe establecer entre los datos que se tienen y lo que sepregunta. Tal es el caso del problema 65 de la página 133 y el 72 de la página134 del libro de texto. Para casos como estos debe valorarse cuál es el dato quefalta, debe hacerse una proposición que pueda partir de los propios alumnos yentonces con el dato sugerido, darle solución al problema planteado. Problemascomo estos no deben quedar sin solución, ya que los alumnos también estánpreparados en la formulación de problemas y pueden aplicar sus conocimientospara completar problemas como éstos y darles solución.

Recordamos el valor que tiene el mantenimiento de las habilidades en losejercicios sobre numeración, con actividades como las que ya se han sugeridoen epígrafes anteriores.Sugerencias de tipos de ejercicios que pueden ser utilizados para comprobar ellogro de los objetivos.1. Determina y fundamenta los números que son divisibles:

a) por 7 b) por 101 267, 146, 490, 1 563, 4 100

135

2. Calculaa) 425 · 27; 1 242 · 53b) 7 222 : 23; 203 359 : 47

3. a) Un factor es 57 y el otro es 1 025. ¿Cuál es el producto?b) El divisor es 43 el dividendo es 13 888. ¿Cuál es el cociente?

4. Calcula y controla63 · x = 77 994 m · 52 = 12 220

5. Un tabaquero hace en un día aproximadamente 250 tabacos.¿Cuántos tabacos debe hacer en 26 días?

6. Se quieren envasar 1 908 frascos de medicina. Si en cada caja se colocan 36frascos: ¿Cuántas cajas se necesitan?

3. Consolidación y aplicación (38 h/c)

3.1 Ejercicios variados con números naturales. (38 h/c)


El desarrollo de esta última unidad del programa dispone una serie de horasclase dedicadas a consolidar y aplicar los contenidos fundamentales del grado ya integrar los conocimientos y habilidades adquiridas en el ciclo.

Aunque se ha dividido en tres epígrafes es una unidad que cuenta con granflexibilidad para que el maestro consolide los contenidos según las necesidadesde su grupo.

La unidad incluye un epígrafe de ejercicios en los que se aplica una operaciónde cálculo, otro en el que se propone el trabajo con ejercicios en los que se aplicauna y más de una operación de cálculo y un tercer epígrafe de sistematización en elcual no se propone contenido para darle la flexibilidad al maestro de seleccionarlos ejercicios y pueda brindarle una atención adecuada a cada uno de los alumnos.

Es importante que el maestro tenga presente los objetivos fundamentalesdel ciclo: el dominio de los números naturales y el desarrollo de habilidades decálculo. Para ello en el libro de texto y en el cuaderno de trabajo aparecen varia-dos ejercicios con el fin de consolidar y aplicar los conocimientos fundamenta-les. El maestro debe elaborar otros ejercicios que le posibiliten al alumno aplicarlas habilidades logradas y que estén encaminados al desarrollo del pensamiento,al razonamiento y a la creatividad.

Para aplicar las habilidades logradas en el procedimiento escrito de lascuatro operaciones de cálculo se incluirá en el desarrollo del contenido la solu-ción de ecuaciones, tablas con variables, ejercicios con cantidades, ejercicioscon texto y el trabajo con problemas (simples y compuestos).3.1.1 Ejercicios en los que se aplica una operación de cálculo

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Consolidación de los ejercicios en los que se aplica una operación de cálculo.

136

• Ejercicios de numeración y completar series numéricas.• Solución de ejercicios formales de cálculo con las cuatro operaciones funda-

mentales.• Solución de ejercicios variados en los que se realiza el cálculo de una sola

operación.• Cálculo de ejercicios con cantidades.• La solución de ejercicios con texto y problemas.

Se trabajará con las páginas de la 136 a la 149 del libro de texto y de la 107a la 128 del cuaderno de trabajo.


En el desarrollo de los contenidos de estas clases debe predominar la crea-tividad del maestro para el trabajo con las particularidades de sus alumnos ydarle la atención adecuada a cada uno de ellos para lograr que puedan culminarel grado con el dominio de los contenidos y cumplidos los objetivos fundamen-tales que nos proponemos. La estructura de las clases debe ofrecer posibilidadesde trabajar los números naturales en relación con el cálculo y mantener unaactiva participación de la totalidad de los alumnos en cada uno de los ejerciciosque se presenten en clases, para ello pueden valorarse de diferentes formas detrabajo que faciliten agilizar y controlar todas las respuestas, como es: el uso decomponedor, la libreta de cálculo, el cálculo semiescrito (donde el alumno soloescribe el resultado obtenido), el trabajo en equipo, etcétera.

El enunciado: “Lo que ya sabemos sobre números naturales” ofrece en eltexto ideas al maestro cómo resumir características y propiedades de los núme-ros naturales que se han venido trabajando desde el inicio del curso. Correspon-de al maestro instrumentar las actividades buscando nuevas formas.

El conocimiento de cualquier número natural puede representarse con lascifras del 0 al 9, pudiera consolidarse con ejercicios como:– Forma con las cifras 3, 5 y 2 tres números de cuatro lugares.– Escribe cuatro números diferentes con 5 lugares en los que una de las cifras

sea 0.La reafirmación de los números de cinco y seis lugares incluirá ejercicios

que demuestran el contenido de las estructuras del número. Por ejemplo:a) Dado un número de seis lugares descomponerlo en centenas de millar, dece-

nas de millar,..., unidades.b) Formar números a partir de una suma 300 000 + 40 000 + 9 000 + 800 + 20 + 2.c) Descomponer números presentados en una tabla.d) Tomar números al dictado, leer números.

Además deben realizarse una serie de ejercicios que consoliden el ordende los números naturales; comparar; ordenar números, determinar números queestán entre dos números dados, el antecesor y el sucesor de los números dados.

137

En dependencia de las necesidades del grupo, estos ejercicios de consoli-dación de los números naturales pueden presentarse así y además combinadoscon las operaciones de cálculo, como algunos de los que aparecen en la página139 del libro; y resultar más interesante para el alumno.

Por ejemplo:– Suma 3 521 con su antecesor. ¿Es la suma par o impar?– Réstale al mayor número de cinco lugares el número 25 314.

¿Cuál es la diferencia?– Escribe el menor y el mayor número de cuatro lugares que tenga 0 en la cifra

de las decenas. Calcula la suma. Léela.En las páginas del texto también se resume la sucesión de pasos para la

comparación de números, que los alumnos deben generalizar al comparar dosnúmeros naturales cualesquiera, y ellos deben practicarse.

99 642 < 123 501 Es mayor el que tiene más dígitos.

2 3 5 947 > 2 3 5 692 Si tienen la misma cantidad de dígitos comien-zo a comparar por la izquierda lugar por

235 979 > 6 lugar. Los primeros dígitos que se diferenciannos dicen cuál es el mayor de los númerosdados.

Este trabajo con la comparación de números permitirá a los alumnos reali-zar también correctamente el ordenamiento de varios números dados. Se debenresumir las características del sistema de numeración decimal.

Otro aspecto importante en estas clases de sistematización lo constituye elanálisis y discusión de los cuadros resúmenes que ofrece el texto en las páginas137 y 138. Ellos permiten recordar y relacionar características y propiedades delas operaciones con números naturales (adición, sustracción, multiplicación ydivisión). Esto crea premisas importantes para poder en otros grados, conocerotros dominios numéricos. La seguridad en el trabajo con los números naturalesy el cálculo, es la base con la que cuenta el trabajo de profundización que serealizará en quinto grado.

Al consolidar los conocimientos de las cuatro operaciones de cálculos fun-damentales se plantearán ejercicios con una operación de cálculo, pero en estasclases pueden estructurarse los ejercicios con cualesquiera de las operaciones.El maestro pudiera seleccionar del texto un grupo de ejercicios que se resuelvanmediante la adición, otros de multiplicación y otros de división.

Para esta actividad se puede dividir el aula en equipos, los alumnos de unequipo resolverán individualmente los de la operación que se le asigne. Porejemplo:

Equipo 1 adición; el 2 sustracción; el 3 multiplicación y el 4 división.Se presentan a los alumnos el grupo de ejercicios y con ello se obliga a

todos los alumnos a analizar todos los ejercicios y calcular los que les corres-ponde.

Al final un equipo debe controlar las operaciones del otro.

138

Esta y otras ideas posibilitan la consolidación de las habilidades logradas ydespierta el interés de los escolares por formas de trabajo diferentes.

El maestro debe tener resueltos todos los ejercicios que indique, para poderrealizar un control dinámico de la actividad.Ejemplos de ejercicios que pueden plantearse para desarrollar la actividad porequipos antes mencionada1. Los factores son 1 528 y 42. ¿Cuál es el producto?2. A 23 851 se le añade 16 521. ¿Qué número se obtiene?3. En cuánto excede 9 015 a 6 686.4. ¿Cuántas veces 2 890 contiene a 34?5. 991 190 – 100 4386. 7 895 · 627. 25 340 + 5 678 + 540 + 4818. Halla el número que sumado con 325 621 da como resultado 512 309.9. 80 · y = 4 800

10. 25 504 + c = 30 99511. Suma al mayor número de cuatro lugares el mayor número de tres lugares.12. c – 15 209 = 8 69413. En una caja hay 180 jabones. ¿Cuántos jabones habrá en 15 cajas como

estas?14. Si tenemos 4 200 lápices y deben envasarse en cajas de 12 lápices. ¿Cuán-

tas cajas se pueden llenar?15. Calcula el triplo de 509.

En este caso, por ejemplo, si se trabaja por equipos, el equipo 1 debe reco-nocer que los ejercicios que le corresponden son los que se plantean en 2, 7, 8y 12 y así de igual forma el resto de los equipos.

En las páginas de la 139 a la 149 del texto se ofrecen múltiples ejerciciosque se resuelven con una operación de cálculo y que posibilitan el trabajo conmagnitudes, el trabajo en tablas con variables, ecuaciones, ejercicios con textoy problemas que facilitan la estructuración de clases variadas.

Como parte de la ejercitación si el maestro lo considera, puede prepa-rar clases completas para la solución de problemas y también para la solu-ción de ejercicios con texto con las diferentes operaciones de cálculos,para lograr agilidad en la identificación de la operación correspondiente parala solución.

En alguna clase debe trabajarse como contenido fundamental, ejercicios decálculo con cantidades, pero presentando distintos tipos de ejercicios, de con-versión, de cálculo y también problemas. Es decir puede analizarse toda unaserie de variantes para que este conjunto de clases dedicadas a sistematizarconocimientos y a lograr destrezas en el desarrollo de habilidades de cálculo,muestre formas amenas de trabajos para los alumnos.

Estas clases también pueden incluir ejercicios para discutir, que tambiéncontribuyen a consolidar los conocimientos y a adquirir seguridad en las deci-siones tomadas.

139

Por ejemplo:6 802 · 0 · 25 805 Ejercicios como este sirven para consolidar

que al multiplicar cualquier número natural por0 el producto es cero.

Y tabla como esta:

a b a + b a – b a · b a : b86 9340 7 692

2 308 0

(En el cálculo con cada par de números dados el alumno debe reconocer laposibilidad o no de solución en cada uno de los ejercicios que se planteen.)

Es importante desarrollar en los alumnos determinados hábitos de trabajo,de modo que estén atentos para determinar si un ejercicio o un problema tiene ono solución; este tipo de actividad para discutir resulta interesante para ellos.3.1.2 Ejercicios en los que se aplican una o más de una operación de cálculo

Para el tratamiento de este epígrafe debe tener en cuenta abordar los si-guientes contenidos:• Cálculo de ejercicios formales con una y más de una operación de cálculo.• Cálculo con cantidades de longitud, masa, tiempo y dinero con las cuatro ope-

raciones de cálculo y en las que se combinen dos de ellas cada vez.• La solución de ecuaciones y la solución de tablas con variables en las que se

combinen dos operaciones.• La solución de ejercicios con texto en los que se plantean dos o más operacio-

nes (independientes y dependientes).• La solución de problemas compuestos (independientes y dependientes).

Para el desarrollo de estos contenidos se utilizarán las páginas 150 a la 163del libro de texto, y de la 129 a la 142 del cuaderno de trabajo.


Al proyectar y estructurar las clases para este contenido el maestro conti-núa poniendo de manifiesto su creatividad, y debe velar por el máximo aprove-chamiento del tiempo en la clase, así como desarrollar una estrategia al selec-cionar las actividades que le permita combinar ejercicios que requieren unaoperación de cálculo con otros que exigen más de una operación. Distribuirá elcontenido según necesite y de acuerdo con las exigencias del grupo. Sugerimosque se inicie con cálculo oral de dos o más operaciones que se combinan y serecuerden aspectos esenciales del orden de realización de las operaciones. Eltexto ofrece posibilidades en la página 150 para que los alumnos puedan expre-

140

sarse sobre lo que conocen del orden de las operaciones y lo expresen conayuda de ejemplos.

Las primeras clases podrán incluir muchos ejercicios formales, fundamen-talmente de adición y sustracción, lo que les permitirá agilizar el cálculo escrito.

Es importante incluir en las actividades ejercicios que los adiestren paracalcular con rapidez. La ejercitación del cálculo escrito podrá dosificarse conuna misma operación y después combinar ambas operaciones.

Por ejemplo:a) 343 + 2 318 + 32 500 + 812b) 38 540 – 12 539 – 9 604c) 48 695 – 18 082 + 9 306d) 62 346 + 15 042 – 4 706

Pueden estructurarse algunas actividades que contribuyan a consolidar pro-cedimientos:a) (4 + 3) · (6 + 7) b) (32 541 – 1 940) + (6 000 – 2 315)

Estos dos ejercicios pueden compararse, de modo que los alumnos con-cluyan que el ejercicio a) puede calcularlo oralmente y el otro en forma escrita,pero en ambos deben calcular primero los ejercicios que están dentro de losparéntesis.

En las clases que incluyan la solución de ejercicios con texto también puedenproponer actividades para que los alumnos analicen y discutan posibles soluciones.

Pueden presentarse dos ejercicios como estos:a) A los números 8 690 y b) A la diferencia de 9 875 y 6 392,

3 512, réstales 985. adiciónale 427.Ellos deben reconocer y expresar después de analizarlos que en ambos

ejercicios hay que calcular más de una operación. Además pueden reconocerque en el primer caso a cada uno de los números hay que sustraerles 985, ya queun cálculo es independiente del otro. Al compararlo con el b) ellos reconocenque en este calculan también dos operaciones, pero en este caso una depende dela otra, deben calcular primero la diferencia antes de adicionar.

En la solución de ecuaciones los alumnos aplicarán sus habilidades decálculo, pero pueden también en este momento del curso explicar la forma deproceder y ello contribuye a su fijación.

Pudiera proyectarse una actividad de trabajo independiente para la soluciónde diferentes tipos de ecuaciones. Al controlar la actividad deben explicar lasvías utilizadas.

Por ejemplo:a) 2 349 + x = 6 293 c) m – 4 305 = 1 384b) z + 32 504 = 42 211 d) 8 426 – a = 932

Al solucionar estos grupos de ecuaciones ellos pueden explicar: Para darsolución a las ecuaciones del tipo a) y b) utilizo la operación inversa: la sustrac-ción (al total le resto uno de los sumandos y obtengo el otro sumando).

141

En las ecuaciones del ejercicio c), como se desconoce el minuendo, seutiliza la adición. (Adiciono la diferencia al sustraendo y obtengo el minuendo).

En el ejercicio d) se desconoce el sustraendo, luego en este caso si alminuendo le resto la diferencia obtengo el sustraendo.

Este análisis comparativo es valioso para la fijación de los procedimientosde solución estudiados.

Actividades similares a las que se sugieren para calcular ejercicios de adi-ción y sustracción en las que estas operaciones se combinan, deben realizarsetambién con la práctica de la multiplicación y la división, tanto en forma oralcomo escrita.

Después pueden combinarse indistintamente las cuatro operaciones.También deben incluirse en muchas de las clases, ejercicios para el mante-

nimiento de las habilidades con los números naturales; la página 155 del textopresenta algunos de ellos que pueden resultar de interés para los alumnos.

El trabajo con tablas con variables también contribuye a variar la forma depresentación de algunos ejercicios de cálculos y propicia además la compara-ción y el análisis de los resultados; así como facilita el cálculo de una y de másde una operación.

Ejemplo:

a b c a · b a : b a · b + c16 170 35 29410 656 32 136

Se deben utilizar ejercicios sugeridos en unidades anteriores de selecciónmúltiplos, pareamiento donde es importante la imaginación y creatividad delmaestro pues no aparecen con frecuencia en el LT y CT.

El trabajo con problemas en esta etapa debe ofrecer posibilidades a losalumnos para reconocer cuándo un problema determinado requiere de una o demás de una operación para su solución. Es importante que ellos resuelvan mu-chos problemas, que les permitan reconocer las relaciones aritméticas que secumplen para situaciones que requieran más de una operación de cálculo ypuedan acometer con éxito su solución.

Deben incluirse problemas en los que deben calcularse promedios, proble-mas en que los alumnos deben completar: otros en los que deben realizar con-versaciones para poder calcular; otros con varias preguntas y otros que ofrezcanlos datos en una tabla.

El cuaderno de trabajo ofrece para el desarrollo de este contenido de reca-pitulación una serie de ejercicios que en forma de juegos didácticos estimulan alos alumnos. Por ejemplo:

Ejercicios como el de la página 132 del CT, propician el análisis y discusiónpor los alumnos de la forma de proceder. Ellos deben reconocer que en la prime-ra hilera de la izquierda se conoce sólo un sumando y en las otras dos sumandosen todos los casos la suma es 390. El análisis es similar si se observan las filas.

142

¿Por dónde debe comenzarse? Es fácil reconocer que las filas e hileras condos sumandos nos llevan al resultado más fácilmente, pues sumo estos y comoconozco la suma (390) puede obtener el otro sumando calculando la diferencia.Al calcular por ejemplo la primera fila (de arriba) obtengo el sumando que ne-cesito para calcular la primera hilera de la izquierda y así sucesivamente.

También aparecen otros ejercicios que se aplican en forma sencilla la esca-la con ayuda de la medición de segmentos, así como juegos didácticos que con-tribuyen al logro de habilidades de cálculo, a la memorización de los ejerciciosy al desarrollo del pensamiento.3.1.3 Ejercicios para consolidar los contenidos esenciales del grado

En el desarrollo de las clases correspondientes a este epígrafe debe tenerseen cuenta los contenidos que están propuestos en el programa, el repaso de loscontenidos de Geometría, así, como otros que se consideren necesarios.

4 Geometría (29 h/c)

Observaciones preliminares para el tratamiento de las unidades

Con este capítulo se concluye el tratamiento de la geometría intuitivaoperativa en la escuela de Educación General. En los cuatro grados del primerciclo se han ido estudiando todas las figuras y cuerpos elementales que el niñodebe conocer en su formación básica, así como mediante una vía muy perceptual(vista y tacto fundamentalmente) se han ido introduciendo sus propiedades ca-racterísticas.

A esta geometría se le denomina intuitiva operativa porque se basa en elestudio de conceptos y propiedades mediante actividades experimentales (medir,trazar, superponer, calcar) y en la cual el alumno opera con los conceptos en elsentido de que él recorta, arma, desarma o desarrolla, construye modelos.

En este grado, se sistematiza lo aprendido en grados anteriores y se com-pleta esta formación básica con la introducción de algunos conceptos y relacio-nes necesarias como son: el concepto de cuadrilátero (cuadriláteros iguales),paralelogramos, (paralelogramos iguales), trapecio, rombo, pirámide, cono,semirrectas, entre otros.

Dado el carácter de la geometría en este ciclo las vías metodológicas quese empleen deben ser inductivas fundamentalmente y con el apoyo de muchosmodelos que representan los conceptos y relaciones que se van a introducir,esto no significa que no puedan emplearse vías deductivas para el tratamiento dealgunos conceptos como por ejemplo el de trapecio, el de rombo e inclusocombinaciones de ambas vías, como es el caso del propio trapecio.

Es bueno que el maestro conozca que en este grado no se pretenden dardefiniciones de los conceptos que se repasan o se introducen, pero sí que elalumno los pueda identificar y describir sus propiedades características, aunqueestas resulten excesivas desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, paradefinir paralelogramo basta decir que es un cuadrilátero que tiene sus lados

143

opuestos paralelos, pero a los efectos del trabajo en este grado se requiere que elniño no sólo discuta esto como propiedad sino que también, cuando se refiere aél, diga que sus lados opuestos son iguales. Así debe lograrse con cada concep-to que se trabaje siempre que sea posible.

Es importante también continuar el desarrollo de habilidades en el trazado y lamedición así como en el reconocimiento de figuras en diferentes situaciones,especialmente cuando forman parte o están contenidas en otras figuras o cuerpos.Ejemplo de tipos de ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria.1. Traza 4 rectas, dos que se corten y dos que no se corten. Denótelas.2. Traza 4 puntos A, B, C y D que no estén en una misma recta.

a) ¿Cuántas rectas puedes trazar que pasen por A?b) ¿Cuántas rectas puedes trazar que pasen por A y B?c) Traza el cuadrilátero ABCD.

3. ¿Cuántas semirrectas hay en la figura? Nómbralas.

A

O

B

CD

F

G E

4. ¿Cuántos segmentos hay en?a) Un triángulo b) Un cuadrado c) Un cubo

5. Nombre los segmentos de la figura.

W VT

SR

U

6. ¿Cuánto camina Jorge para ir casa de Oscar?

Jorge Oscar

Escala: 1 cm = 20 m

144

7. Nombra las semirrectas que aparecen representadas. ¿Cuáles son opuestas?

8. Forma con varillas un paralelogramo. Forma con las mismas varillas otroparalelogramo.

9. Traza un paralelogramo con regla y cartabón.10. Forma cuadriláteros con varillas:

a) Los lados consecutivos deben ser de diferente color.b) Los lados opuestos deben ser de igual color.

11. Traza dos rectas que sean paralelas:a) Continúa el trazado de manera tal que obtengas un rectángulo.b) Continúa el trazado de manera tal que obtengas un cuadrado.

12. Denota los triángulos. Nombra sus lados.

13. Traza dos triángulos que tengan un lado común.14. Traza en el papel cuadriculado:

a) Un trapecio b) Un paralelogramo c) Un cuadrado

Mide con tu regla los lados del cua-drilátero.a) Comprueba que es un paralelo-

gramoc) Clasifícalo. Fundamenta.

S R

QT

U V

P

b)

D

a) E

BCO

A

G

F E A B C Fc)

145

15. ¿Cuántas caras tiene?a) Un prisma cuya base es un triángulo.b) Una pirámide cuya base es un polígono de seis lados.

16. Traza una circunferencia de radio OA donde:a) OA = 1 cm; OA = 4 cm

17. Nombra los radios y los diámetros en la figura.A

E

D

C

BO

18. a) Traza los diámetros en la circunferencia. ¿En qué punto se cortan?

19. Si la base de un cilindro es un círculo de 3 cm de radio, ¿cuál es el radio delotro círculo base? ¿Por qué?Sugerencias para la inclusión de los grupos de clases de Geometría y los

lugares del programa donde deben trabajarse

b) Si un diámetro mide 6 cm, ¿cuánto mide el otro?¿Cuánto mide el radio?

Unidad de Clase Después AsuntoGeometría del epígrafe

4.1 1 1.1.4 Repaso del concepto de recta.Relaciones entre rectas.

(7 h/c) 2 1.1.4 Introducción del concepto semirrectaNotación.

3 1.1.4 Ejercicios sobre semirrectas.4 1.1.6 Repaso del concepto segmento.

Medición.5 1.1.6 Introducción de la escala.

6 y 7 1.1.6 Ejercicios sobre la escala.Primer período

O

146

4.2 1 y 2 2.2.1 Introducción del concepto plano.(4 h/c) Relaciones entre planos. Ejercitación.

3 y 4 2.2.2 Introducción del concepto semiplano.Ejercitación.Segundo período

4.3 1 2.3.1 Introducción del concepto cuadrilá-(10 h/c) tero. Cuadriláteros iguales. Lados

consecutivos de un cuadrilátero.Reconocimiento.

2 2.3.1 Introducción del concepto polígono.Polígonos conocidos.

3 2.3.1 Repaso de triángulos. Triángulosiguales. Reconocimiento de algunosde sus elementos.

4 2.3.1 Introducción de paralelogramo. La-dos opuestos y consecutivos. Reco-nocimiento y trazado de paralelo-gramos.

5 2.3.2 Repaso de rectángulo y cuadrado.Rectángulos iguales y cuadradosiguales. Trazado de rectángulos ycuadrados.

6 2.3.2 Repaso de cuadriláteros. Introduc-ción del trapecio.

7 2.3.2 Repaso de paralelogramo. Introduc-ción del rombo.

8 2.3.2 Ejercitación y sistematización deparalelogramo.

9 2.3.3 Ejercitación y sistematización de loscuadriláteros.

10 2.3.3 Repaso del concepto prisma. Intro-ducción de la pirámide. Ejercitación.Tercer período

4.4 1 3.1.1 Repaso de los conceptos circunferen-(8 h/c) cia y círculo. Centro y radio. Traza-

do de circunferencias.2 y 3 3.1.1 Circunferencias iguales. Diámetro.

Propiedades. Ejercitación.4 y 5 3.1.2 Repaso del cilindro y la esfera. In-

troducción del cono. Ejercitación.

Unidad de Clase Después AsuntoGeometría del epígrafe

147

6 3.1.2 Sistematización de los cuerpos redon-dos.

7 3.1.2 Resumen de las figuras y cuerposestudiados.

8 3.1.2 Ejercitación variada.Cuarto período

4.1 Recta. Semirrecta y segmento

Sugerencias para una posible distribución del contenido

Para el tratamiento de las rectas, semirrectas y segmentos se sugieren 7clases. La primera puede dedicarse al repaso del concepto recta, trazado, nota-ción y relaciones entre rectas. En la segunda y tercera clase se puede introducirel concepto semirrecta, su notación y ejercitar consecuentemente el conceptointroducido, la cuarta clase puede utilizarse para el repaso del concepto segmen-to, trazado y medición de segmentos y a partir de la quinta clase introducir laescala y ejercitación del trabajo con escalas en mapas y planos.

Se trabajará con las páginas 165 a 173 del libro de texto y 143 a 152 delcuaderno de trabajo.


En el repaso del concepto recta se debe lograr que sea el propio alumno,mediante actividades que proponga el maestro, el que recuerde lo que se conocesobre ellas. Por ejemplo, de la indicación de que el alumno trace una recta utilizan-do la regla además de lograr que él comprenda que el proceso de trazar una rectasiguiendo el borde de la regla lo puede seguir haciendo de modo que la recta sea tan“larga” como uno quiera. Esto significa que la recta es ilimitada aunque uno siem-pre represente una porción de ella pues en la práctica no existe otra posibilidad.

De igual forma se le puede pedir que trace rectas que se corten, rectas queno se corten (paralelas), rectas perpendiculares, etc. Durante una actividad comoesta el maestro debe ir precisando:• Formas de denotar una recta (por una letra minúscula o dos mayúsculas).• Las rectas pueden cortarse o ser paralelas.• Hay rectas que se cortan perpendicularmente (pueden comprobar con el car-

tabón).• Por un punto pasan tantas rectas como se desee.• Por dos puntos pasa una sola recta.

Estas ideas aparecen resumidas en el texto, el alumno las puede encontrarallí, aunque siempre es bueno que previamente, mediante su propia actividad,vaya concluyendo esas ideas importantes. Los ejercicios de la página 166 deltexto pueden contribuir a lograr lo antes expresado.

Maritza

Nota

1clase repaso recta

Maritza

Nota

2da clase semirrecta

Maritza

Nota

3era clase repaso segmento

148

Para introducir el concepto semirrecta basta marcar un punto en una rectay destacar que ese punto “divide” a la recta en dos partes: a partir del puntohacia un lado o a partir del punto hacia el otro.

En este momento se puede informar que cada una de las partes es unasemirrecta. Se debe precisar que en toda semirrecta hay un punto que es suorigen y a partir de él queda una porción de recta que es ilimitada (se prolongatanto como uno desee).

La notación y el reconocimiento de semirrectas es importante. Primerodeben reconocerse en situaciones donde esté dada la recta:

Si O es el origen, hay dos semirrectas que se pueden nombrar con las letrasdadas: OA y OB. (En este caso las semirrectas son opuestas pues tienen elorigen común y están sobre una misma recta). Se debe destacar que la letra delorigen es la primera que se escribe.

Después ya no es necesario que esté dada la recta, por ejemplo:

O AB

A

O

E

B

D

C

Semirrectas OA, OB, OC, OD y OE.En este caso todas tienen el mismo origen O, pero solo OB y OE están

alineadas.En este caso se puede decir que son opuestas.Después es bueno que reconozcan en una misma recta varias semirrectas

determinadas por puntos diferentes:

Semirrectas AB, BA, BC, CB, CD, DA.Aquí se debe destacar que por ejemplo, CA y CB es la misma semirrecta,

aunque denotada de diferentes formas (tienen el mismo origen y en amboscasos es la porción izquierda de la recta). No sucede así con CA y CD ni conAC y CA.

C DA B

149

En el primer caso tienen el mismo origen pero son opuestas y en el segundono tienen el mismo origen, luego no puede ser la misma semirrecta.

Para fijar estas ideas pueden proponerse ejercicios como los que apare-cen en la página 168 del texto. El ejercicio 4 es importante pues tiende a fijarla idea de que todo punto en una recta determina dos semirrectas. Si los alum-nos presentan dificultades para su solución, el maestro puede mostrar con unlápiz, siguiendo la recta, las 4 semirrectas que se forman en el inciso a), (dos deorigen A y dos de origen B). En el inciso b) ya deben comprender que alagregar un punto, en este caso C, se forman dos nuevas semirrectas de origenC y en total son 6 porque 2 · 3 = 6.

Si se trazan 6 puntos, como se pide en el inciso c), se determinan 2 · 6 = 12;12 semirrectas.

Si se siguen determinando puntos en la recta siempre se obtiene el doble desemirrectas.

Para el repaso del concepto segmento puede de nuevo utilizarse un proce-dimiento de trabajo mediante el cual el alumno active sus conocimientos, eneste caso recuerde cómo se determina un segmento, cómo se traza y cómo semide utilizando la regla.

Este trabajo puede iniciarse indicando a los alumnos que tracen una recta ydeterminen en ella dos puntos A y B. Se puede después indicar colorear la por-ción de recta comprendida entre los dos puntos.

Si no recuerda como se denomina una porción de recta determinada pordos puntos, el maestro lo puede recordar así como se denota. Lo importantees que el alumno ha realizado el concepto, es decir, ha determinado un seg-mento.

Para la completa comprensión del concepto debe diferenciarse del concep-to semirrecta.

La semirrecta está determinada por un solo punto que es su origen y elsegmento necesita dos, que son sus extremos. La semirrecta a partir del origenes una figura ilimitada, el segmento es una figura limitada por sus extremos.

Esta última idea es muy importante pues por ello el segmento se puedemedir y la semirrecta (al igual que la recta) no se puede medir.

Fijadas estas ideas pueden reconocer, nombrar y trazar segmentos. En elcaso del trazado y la medición debe utilizarse la regla graduada.

Este trabajo de medición y trazado debe hacerse con cuidado por la reper-cusión que va a tener después. Por lo antes planteado debe lograrse al medir queel alumno comprenda que el resultado de medir por lo general está influenciadopor el instrumento que se utilice (si la regla solo está graduada en centímetros larespuesta solo se puede dar en centímetros, pero si está graduada en centíme-tros y milímetros se puede lograr más precisión). De todas formas también eseproceso de medición puede estar influenciado por la vista del alumno, el controlde sus manos, entre otras cosas. Por todas estas razones, cuando se mide, porlo general no se obtiene la medida exacta de lo que se está midiendo, sino soloun valor aproximado. Es importante dar esta idea a los alumnos incluso ellospueden comprobarlo y se les indica medir un segmento cualquiera y podráncomprobar que hay diferencias entre las respuestas.

150

Otra idea que hay que lograr es que muchas veces es necesario aproximaruna medición en una cierta unidad. Por ejemplo, en los segmentos siguientes:

2 3 41

Como B está más cerca de 3 que de 4, al medir uno responde: A–B– = 3 cm.Es decir se aproximó a 3 cm (por defecto).

0

01

23

45

67

8

P

Q

Como Q está más próximo a 7 que a 6, uno responde: P–Q– = 7 cm.En este caso se aproxima a 7 cm (por exceso).Quiere decir que al medir, también se aproximó igual que se hace en aritmé-

tica, en este caso a la cantidad más próxima. Este trabajo de medición tiene unautilización inmediata en la escala. Ya en este grado es necesario que los alumnosse familiaricen con la escala y nuestra asignatura hace su contribución.

Para la introducción de la escala hay que partir de los conocimientos que elalumno tenga por otras vías, o por otras asignaturas. De no tener ningún antece-dente es fácil motivarlos mostrándoles un mapa de Cuba de los que aparecen enlos atlas escolares. Es fácil que el niño se dé cuenta que nuestro país no tiene esetamaño, y que en un mapa lo que aparece son representaciones planas de luga-res mucho más pequeños de lo que son en realidad. Esto puede ser suficientepara explicar que para hacer esas reducciones se utilizan escalas que expresan larelación entre la medida real en el terreno y la que aparece en el plano. Porejemplo:

1 : 100Significa que cada 1 cm del plano, representa 100 cm de la realidad.Pueden, para fijar esta idea, utilizar el ejemplo que aparece en la página 171

del libro de texto. Es importante que el alumno interiorice que la búsqueda de laverdadera longitud es también un proceso que induce a soluciones aproximadas,por lo que aplican lo que ya antes se explicó sobre la medición. En el ejemplo de

A B

151

la distancia que hay entre el Cabo de San Antonio y la Punta de Maisí el alumnorealiza un procedimiento que será válido para otros ejercicios y en el que debe:1. Analizar la escala que le dan, es decir la unidad de medida en el plano y la

unidad correspondiente en la realidad.2. Medir la distancia en el plano en la unidad de medida que da la escala. Por lo

general es en centímetros y aproximar en esa unidad.3. Multiplicar la medida en el plano por su equivalencia en la realidad, según

indique la escala.Reiteramos que este trabajo conduce a soluciones aproximadas de la ver-

dadera longitud.Para completar la idea pueden volver a trabajar con el ejemplo del plano de

un aula que aparece en la página 171 del texto y que utiliza una escala diferentea la del ejemplo anterior.

La ejercitación relativa a la escala aparece tanto en el texto como en elcuaderno de trabajo y el maestro puede también buscar otros ejemplos e inclusi-ve, proponer a los alumnos que traigan de sus casas mapas o planos para, cono-cida la escala, investigar la verdadera longitud de distancias dadas.

4.2 Plano y semiplano


Para el tratamiento de este contenido se sugieren 4 clases. La primera clasepuede dedicarse a la introducción del concepto plano y a las relaciones entreplanos, la segunda a una ejercitación sobre lo relativo a plano. En la terceraclase se puede introducir el concepto semiplano e iniciar la ejercitación corres-pondiente al tratamiento de este concepto, que se continuará en la cuarta clase.Se trabajará con las páginas 174 a 179 del libro de texto y del cuaderno a partirde la 153 (sin incluir los ejercicios sobre ángulos y clasificación de triángulosque se trabajarán en quinto grado).


El concepto plano es uno de los tres conceptos básicos de la geometríaeuclidiana (punto, recta y plano).

Para su introducción es conveniente primero lograr que el alumno diferen-cie una superficie curva de una plana, noción que desde tercer grado se trabaja.Para ello el maestro puede utilizar un libro, el pizarrón, o la parte superior de lamesa y una regla. El alumno puede ver que en cualquier parte que el maestrocoloque la regla siempre va a estar toda en contacto con el libro (si es más largoque la regla), la mesa o la pizarra. Si hace lo mismo con un vaso, una pelota ocualquier otro objeto curvo, el alumno puede observar que habrá posiciones enlas que la regla no se puede poner toda en contacto con la superficie del objeto

152

de que se trate. Esto último sucede porque esos objetos están formados porsuperficies que no todas son planas, sino curvas.

Esta idea de superficie plana ya fue tratada cuando se estudió la escala,aquí se profundiza con su comparación con las superficies curvas.

Realizado este trabajo se puede solicitar a los alumnos que pongan ejem-plos de su aula que representen superficies planas (paredes, piso, techo, por-tadas de libro y libretas, etc.). A partir de ese conocimiento y utilizando porejemplo la portada del libro de Matemática, se puede decir al alumno que ade-más de los puntos y rectas que ya él conoce, en geometría son muy importan-tes los planos y que la idea o noción de lo que es un plano se lo puede dar lareferida portada.

En este momento es importante destacar que realmente los planos no sonlimitados como es el caso de la portada de su libro, sino que ellos se prolongantanto como uno pueda imaginarse. Se puede volver sobre la misma idea desuperficie plana y pedir a los alumnos que den nombres de objetos que le den laidea de plano (además de los ya mencionados pueden referirse a las hojas de sulibreta, al mar cuando está tranquilo, etcétera).

Una actividad que se puede también realizar con los alumnos es que dibu-jen puntos y rectas en una hoja de papel que va a representar un plano. Despuésse le debe preguntar:• ¿Cuántos puntos trazaron? ¿Cuántos pueden trazar?

De lo antes planteado debe concluirse que en un plano se pueden trazartantos puntos y tantas rectas como uno desee.

Introducido el concepto de plano deben llevarse modelos de los cuerposestudiados: prismas de varios tipos (ortoedros, cubos, de base triangular) y tam-bién un cilindro. Deben reconocer en esos cuerpos las áreas que son superficiesplanas y el maestro destacar que todas esas caras están incluidas en planos dife-rentes y que hay caras que están en planos que se cortan y caras que están enplanos paralelos. En el caso del cilindro solo las bases son superficies planas yestán en planos paralelos.

En esta actividad el alumno debe reconocer qué pares de caras están enplanos que se cortan (siempre tienen una arista en común) y qué caras no estánen planos que se cortan, es decir son paralelas.

153

El maestro debe aprovechar para establecer las analogías y diferencias queexisten entre las relaciones de posición entre rectas y entre planos:

Las rectas se cortan o Analogía Los planos se cortan oson paralelas son paralelos

Las rectas se cortan Diferencia Los planos se cortan enen un punto una recta

Otra analogía también es que las rectas pueden cortarse perpendicularmen-te (los lados cortos del cartabón se pueden hacer coincidir con ellas) y los pla-nos también se cortan perpendicularmente. Para comprobarlo puede utilizarsetambién un cartabón como se indica en la ilustración que aparece en el texto.Pueden comprobar en el aula que las paredes y el piso se cortan perpendicular-mente, buscar donde se cortan las paredes entre sí y ver que también se cortanperpendicularmente. En ambos casos puede utilizarse el cartabón.

Para fijar estas ideas, pueden realizarse otras actividades similares a lasindicadas con anterioridad o seleccionar ejercicios del libro de texto. Entre es-tos ejercicios es importante el 5 de la página 176.

En el mencionado ejercicio aparece representado el desarrollo de un cuboy visto así todas sus caras están sobre un plano. Se le pregunta al niño que si loarma, es decir, si forma el cubo, ¿qué pares de caras se cortan perpendicular-mente y qué pares son paralelas?

Si el niño no se da cuenta al principio, el maestro puede dar algunosimpulsos:

¿Qué caras tienen aristas comunes? C y D, D y F. C y B aparecen clara-mente en el gráfico, luego ellas se cortan y como es un cubo, son perpendicula-res. Faltaría sólo la pareja A y D que tienen una arista común pero como es la decorte, no se ve.

¿Qué caras no tienen aristas comunes? B y D, E y F, A y C. Si con lasindicaciones aún no lo ven, se puede hacer un modelo y armarlo para que locomprueben experimentalmente.

Para introducir el concepto semiplano se puede seguir la idea del libro detexto: Trazar una recta en una hoja de papel y doblarla por esa recta.

El plano representado por el papel ha quedado dividido por la recta en dosregiones o semiplanos.

Puede establecerse cierta analogía con la semirrecta.

Un punto en una recta determi- Una recta en un plano determina dosna dos semirrectas. El punto semiplanos. La recta es el bordees el origen

Tanto la semirrecta como el semiplano está limitado por una parte (por el puntoen la semirrecta y por el borde en el semiplano) pero ilimitado por otra, o sea seprolonga tanto como uno pueda imaginarse.

154

Las dos semirrectas que se Los dos semiplanos que se obtienenobtienen son opuestas son opuestos

Estas ideas por analogía sirven para profundizar en lo ya aprendido y fijarlo nuevo que se está estudiando, además de que facilita su comprensión.

La última idea importante que el maestro debe destacar, es que si dos pun-tos están en semiplanos opuestos el segmento por ellos determinado corta alborde, de lo contrario no lo corta. Esto lo puede obtener como conclusión de lospropios alumnos si realiza actividades como las siguientes:

Traza una recta r. Traza puntos A, B y C de modo que:

A y B estén en el mismo semiplano de borde r.A y C estén en distintos semiplanos de borde r.¿Cuál de los segmentos AB y AC corta a r? ¿Cuál no la corta?

En el libro de texto aparece una buena variedad de ejercicios para fijar estasideas y en el cuaderno de trabajo también. El maestro debe hacer una selecciónde ellas para proponerlos en clases o como tarea.

4.3 Polígonos y cuerpos con caras planas


Para el tratamiento de este contenido se sugieren 10 horas clase, la primerapuede dedicarse a la introducción del concepto cuadrilátero y el reconocimientode sus lados consecutivos. En la segunda clase se introduce el concepto polígo-no y sus elementos, así como la identificación de polígonos conocidos (triángu-los y cuadriláteros). La tercera clase al repaso del triángulo, sus elementos ynotación. La cuarta clase puede utilizarse para la introducción del paralelogramo,así como a su reconocimiento y trazado con regla y cartabón; en la quinta clasese repasa el concepto de rectángulo y cuadrado y se introduce su trazado conregla y cartabón. La sexta clase puede tomarse para un repaso de los cuadriláte-ros y la introducción del trapecio y en la séptima se repasan los paralelogramospara introducir el rombo, en las dos clases siguientes se ejercitarán y sistematizaránlos paralelogramos y cuadriláteros. En la última clase se repasarán el prisma y seintroducirá la pirámide.

Esta parte del contenido aparece en las páginas 186 a la 195 del libro de textode cuarto grado y 160 a la 168 del cuaderno de trabajo y de la 182 a la 195 delpropio cuaderno; pero es importante tener en cuenta que aquellos ejercicios que serefieran al concepto ángulo y a la clasificación de triángulos según sus lados seaneliminados pues no constituyen contenido de este grado. Además debenseleccionarse ejercicios del libro de segundo grado correspondientes al contenidocuadriláteros y del libro de tercer grado del contenido paralelogramo las páginas157 a la 159 y del contenido de rectángulo y cuadrado de la página 156 a la 163, eincluirse ejercicios para completar series con figuras.

155


Para la introducción del término cuadrilátero se observarán objetos y figu-ras en las que se muestre este y se introducirá el término. Una confrontación detriángulo y cuadriláteros les permitirá a los alumnos reconocer las característi-cas comunes y las diferencias. Ellos pueden reconocer que: tanto un triángulocomo un cuadrilátero están formado o delimitado por segmentos, pero se dife-rencia por el número de segmentos y de vértices, deben identificar en figurasdadas lados y vértices de los cuadriláteros. Trazará cuadriláteros y realizaránactividades para reconocer cuadriláteros iguales, ‘congruentes’. Es importanteel reconocimiento de lados consecutivos en cuadriláteros dados.

El concepto polígono puede ser introducido utilizando diferentes variantesmetodológicas. Una de ellas, por vía inductiva, puede ser presentar diferentesmodelos de figuras planas, limitadas por segmentos o por líneas curvas, comopor ejemplo:

123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345

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21 46

Dado el conjunto de figuras una regla heurística importante en la elabora-ción es distinguir las características comunes y no comunes de los representan-tes dados. En este caso, el maestro debe dirigir la atención de los alumnos demodo que observen que:• En todos los casos son figuras que representan regiones del plano limitadas

por líneas rectas o curvas (características comunes).Encontrada las características comunes debe dirigirse la atención hacia lo

que puede constituir diferencias. En este caso es bastante evidente que hayfiguras en que todo el borde está determinado por segmentos y otras en el que al

1234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567

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3

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5 8

156

menos hay alguna parte del borde que es curvo (no recto). Esto separa en dosgrupos a las figuras dadas:Figuras Figuras1, 2, 4, 6, 7, y 8 3 y 5

El segundo paso importante en la vía inductiva es la generalización. Eneste caso se debe dirigir la atención hacia el primer grupo de figuras que son“regiones del plano limitadas completamente por líneas rectas” (segmentos)” yconcluir que figuras de este tipo se denominan polígonos.

Hecho este trabajo se puede entonces precisar los elementos (lado y vérti-ces), notación e identificación de polígonos conocidos (triángulos y cuadriláte-ros). Otras vías pueden ser considerada constructiva o una combinación de lasvías deductivas e inductivas a partir de la elaboración previa del concepto líneapoligonal.

Puede hacerse mediante actividades:• Traza varios segmentos consecutivos (sólo tienen un extremo común).

Puede suceder que las tracen alineadas o no alineadas.

En este caso todas las trazadas son abiertas, pues no limitan una región delplano. Si eso sucede se puede indicar que las “cierren”, si es posible, por ejem-plo en el último caso bastaría trazar un segmento del primer extremo al últimoextremo.

Como se puede apreciar el alumno ha realizado el concepto, sin conocerlopreviamente, mediante indicaciones. Esto debe tener una conclusión destacando:• Qué es una línea poligonal y cuándo es abierta y cuándo es cerrada, tal como

se hace en el libro de texto.• Qué es un polígono.

157

Aquí también se concluye con un proceso de generalización y es entoncesconveniente dar representantes conocidos y no conocidos del concepto. Laspropias ilustraciones iniciales del libro de texto, en la página 186 y el recuadrode la página 187 pueden ser utilizadas.

Dentro de los representantes conocidos está el triángulo. Esto puede serutilizado para reconocer al triángulo como un polígono de tres lados y destacarsus elementos. Es importante insistir en los lados, nombrarlos y proponer a losalumnos ejercicios de trazado de triángulos para que ellos mismos los denoten ynombren sus vértices, sus lados y sus ángulos.

Para el tratamiento del concepto paralelogramo pueden partirse del recono-cimiento de cuadriláteros en objetos del medio o en figuras. Puede pedirse queseñalen en ellas los lados que son opuestos, después se puede mostrar en uncartel, una hoja de trabajo o en el pizarrón un grupo de cuadriláteros entre losque se encuentren varios paralelogramos; se le pide a los alumnos que comprue-ben con regla y cartabón cómo son los lados opuestos.

En el análisis se deben señalar los que tengan los lados opuestos paralelos,después se les orienta que comprueben cómo son las longitudes de esos ladosopuestos; para ello pueden usar la regla o una tirilla de papel. Observan quetienen la misma longitud, es decir son iguales. Se informa que estos cuadriláte-ros que tienen los lados opuestos paralelos e iguales se llaman paralelogramos.

A continuación puede orientarse la formación de paralelogramos con ayu-da de varillas, así como el reconocimiento de paralelogramos entre otras figurasy también en objetos del medio.

En el trazado de paralelogramos con la regla y el cartabón los alumnosaplican las habilidades desarrolladas en el trazado de rectas paralelas, por lo quedebe partirse de su reafirmación. Se insiste en cómo deben colocarse los instru-mentos.

La construcción de un paralelogramo debe explicarse y mostrarse con cla-ridad en el pizarrón, haciendo un uso correcto de los instrumentos y ejecutandoen forma precisa la sucesión de pasos como se muestra en la página 158 deltexto de tercer grado. Debe analizarse que en la práctica lo que se hace es trazardos veces un par de rectas paralelas que se cortan.

Los alumnos deben practicar el trazado de paralelogramos con regla y car-tabón, y en los primeros ejercicios deben comentar los pasos que van realizandoen la construcción.

Las actividades de reconocimiento de paralelogramos en objetos del me-dio y en figuras son de gran valor. En algunos ejemplos debe pedirse a losalumnos que fundamenten por qué una figura señalada es un paralelogramo,con ello queremos que expresen con sus palabras las características estu-diadas.

Deben ser variadas las actividades que se realicen para el reconocimientoy construcción de paralelogramos iguales y la utilización de estos términos.Para ello pueden realizarse ejercicios en que los alumnos tengan que trazar,recortar y superponer paralelogramos, por ejemplo, con la plantilla, en papelde colores; también pueden utilizar un modelo que coloquen y tracen variasveces, le den color, lo recorten y superpongan para comprobar que al coinci-

158

dir son paralelogramos iguales. Con ellos pueden posteriormente construirfiguras ornamentales.

Otra actividad que puede realizarse es utilizar una hoja de trabajo en la quese presenten varios paralelogramos para que reconozcan cuáles son iguales.Para ello pueden utilizar un papel fino o transparente para realizar la comproba-ción al calcar una de las figuras que a simple vista consideren sean iguales yrealizar después la superposición en la otra o en las otras si son varias las queson iguales y entonces señalar las que al superponerlas coinciden.

A fin de continuar ampliando los conocimientos sobre el rectángulo y elcuadrado puede partirse del análisis de varios cuadriláteros (entre los que seencuentren paralelogramos, rectángulos y cuadrados). Se les pide a los alumnosque señalen cuáles son paralelogramos. En algunos pueden fundamentar. Si lasfiguras se presentaron en el pizarrón, pueden borrarse las que no sonparalelogramos, si es en cartulina se pueden separar o tachar, para trabajar sola-mente con las que representen paralelogramos. Se le pide a los alumnos quecomprueben cuáles tienen los lados consecutivos perpendiculares; esto lo pue-den realizar colocando adecuadamente el cartabón. Nuevamente se borran, se-paran o tachan las que no tengan los lados consecutivos perpendiculares (que-dan solamente el rectángulo y el cuadrado). Del análisis se concluye que elrectángulo y el cuadrado son paralelogramos que tienen sus lados consecutivosperpendiculares.

Con la ayuda de 4 varillas del mismo largo se le pide a los alumnos queformen un rectángulo. Se analizan las características antes mencionadas(paralelogramo con sus lados consecutivos perpendiculares). Se reconoce queun cuadrado es un rectángulo con sus cuatro lados iguales. En la ejercitaciónpueden incluirse ejercicios de reconocimiento de rectángulos y cuadrados enobjetos del medio.

En el trazado de rectángulos y cuadrados con la ayuda de la regla y elcartabón, los alumnos aplican sus conocimientos sobre las características delrectángulo y el cuadrado, así como sus habilidades en el trazado de rectas para-lelas y perpendiculares, por eso deben estar bien aseguradas estas condicionesprevias.

La construcción del primer rectángulo debe realizarse en el pizarrón paraque sirva de modelo a los alumnos. Deben utilizarse los pasos de trabajo deltexto. Después en otro ejercicio debe valorarse que pueden seguirse otros pasospara su construcción. Por ejemplo, puede trazarse una recta r, después trazardos rectas m, n perpendiculares a r y luego trazar una recta paralela a la recta rque corte a las rectas m y n.

En el trazado del cuadrado con la regla y el cartabón, debe tenerse cuidadoen la construcción, pues al aplicar los pasos anteriores hay que tener en cuentaque los cuatro lados son iguales.

159

Pueden seguirse los pasos siguientes:1. Traza una recta r y una recta s perpendiculares a r (fig. A).

s

r

Fig. A

1 2 3

Fig. B

2. Determina en r y s un segmento de igual longitud (fig. B).

s

r0

160

3. Traza una recta m paralela a la recta s y que pase por el punto señalado (fig. C).

En el trazado de rectángulos y cuadrados con regla y cartabón en que sedan las longitudes de sus lados, se procede de forma similar al ejercicio anterior;pero al determinar la longitud de los lados, esta no es arbitraria, sino que se tieneen cuenta la longitud de los lados que se indican en el ejercicio.

Las actividades para reconocer rectángulos iguales y cuadrados igualespueden ser similares a las orientadas para paralelogramos iguales.

Deben realizarse también actividades para el reconocimiento de figurascontenidas unas en otras; así como actividades para la formación de nuevas

Fig. C

s m

r

4. Traza otra recta paralela a la recta r y que pase por el otro punto señalado(fig. D). De esta forma hemos construido el cuadrado, EFGH.

Fig. D

s m

r

H G

E F

161

figuras a partir de otras dadas, como las que se sugieren en el libro de texto detercer grado.

Para el repaso de los cuadriláteros debe procederse de una forma activa,indicando trazar varios cuadriláteros, identificando cuadriláteros dentro de unconjunto de polígonos o mediante cualquier otra actividad que el maestro puedacrear con ese fin. Al igual que en el triángulo, debe destacarse que son polígonos(ahora de cuatro lados) y ejercitarse su notación y los elementos que lo compo-nen (vértices, lados).

Realizado este trabajo inicial debe procederse a la sistematización de lostipos de cuadriláteros estudiados a la vez que se incluyen nuevos tipos no estu-diados (trapecio y rombo).

Para organizar esta sistematización pueden también utilizarse diferentesvariantes. Es bueno comenzar con ejemplos de cuadriláteros que no tienen nin-guna propiedad especial, como por ejemplo:

Pueden los alumnos observar que todos tienen 4 lados pero que estos ladosno tienen ninguna propiedad especial: No son paralelos, no son perpendiculares,no son iguales. A partir de este cuadrilátero más general, puede empezarse en-tonces a ir estudiando los casos especiales en la medida que entre sus lados sepuedan ir estableciendo relaciones. Esto puede constituir una motivación para elestudio de los tipos especiales de cuadriláteros.

Una primera idea puede ser imponer como condición que tengan un par delados paralelos. El maestro puede ir guiando estas ideas de modo que presente laposibilidad de elaborar el concepto trapecio.

Para elaborar este concepto nuevo pueden utilizarse varias vías:1. Dar muchos modelos de cuadriláteros para obtener los representantes que

satisfagan la característica de tener un par de lados paralelos.

162

Se denomina a esa clase con el nombre de trapecio. Es necesario que obser-ven que dentro de ellas hay que incluir los paralelogramos (y sus casosespeciales).

2. Partir de lo que es un trapecio y que el alumno los identifique dentro de unconjunto de modelos que pueden satisfacer o no las características del con-cepto. Pueden usar una hoja de trabajo o partir del análisis del esquema queaparece en la página 190 del libro de texto. Debe tenerse cuidado en incluirdentro de los modelos a los paralelogramos (y casos especiales).

3. Mandar a trazar pares de rectas paralelas.

Formar cuadriláteros cortando esas rectas por otro par de rectas en cadacaso.

123456123456123456123456

1234512345123451234512345

1234567812345678123456781234567812345678

Destacar que se han construido cuadriláteros con (al menos) un par delados paralelos. Denominarlos trapecio. Se reconoce a los paralelogramos comotrapecio.

Después de fijar el concepto trapecio con ejercicios adecuados y aprove-chando que los paralelogramos son casos especiales de trapecio, la sistematiza-ción debe continuar con el repaso de los paralelogramos. En este caso es unafigura conocida aunque es conveniente mandar a realizar ejercicios de trazado ode reconocimiento, que incluyan sus clases especiales conocidas (rectángulo ycuadrado).

Para continuar la idea inicial del estudio de los cuadriláteros imponiendocondiciones a sus lados, puede ahora analizarse dentro de los paralelogramos losque tengan sus lados consecutivos perpendiculares (los alumnos deben recono-cerlos como rectángulos pues desde el primer grado lo conocen) y los que

163

tengan todos sus lados iguales. Aquí surge una situación nueva que puede mo-tivarse usando varillas iguales articuladas:

Surge así una figura con sus cuatro lados iguales y que no es un cuadrado.Puede entonces elaborarse el concepto de rombo siguiendo ideas similares

a las dos primeras dadas para el trapecio. En este caso el trazado es más difícil,por lo que no se recomienda utilizarlo para la elaboración.

Es importante destacar que el cuadrado satisface a la vez las condicionesdel rectángulo (lados consecutivos perpendiculares) y las del rombo (lados con-secutivos iguales).

El resumen esquemático de la página 192 del libro ayuda a que los alum-nos fijen las clases de cuadriláteros estudiados.

En el texto y el cuaderno hay variados ejercicios para fijar las ideas esencia-les relativas a triángulos y a cuadriláteros. Es muy interesante el ejercicio de lapágina 183 del cuaderno donde el alumno debe descomponer, mediante recorte,un paralelogramo en diferentes figuras, igual sucede con el de la página 187 quedesarrolla mucho la imaginación geométrica.

Estas clases deben concluir con el tratamiento de los cuerpos limitados porpolígonos. El trabajo que aquí se desarrolla tiene que ser muy perceptual y uti-lizar la mayor cantidad de modelos posibles. Los prismas ya los conocen, deellos deben destacarse que sus dos bases son polígonos iguales y sus caras sonrectángulos (ellos solo estudian los prismas rectos).

Deben reconocer a los ortoedros (y cubos) como prismas. Las pirámidesdeben introducirse mediante modelos y establecer las analogías y diferenciasentre ellas y los prismas:

Analogías:PrismasPirámides

Diferencias:

Son cuerpos limitados por superficiesplanas (polígonos).El prisma tiene caras rectangulares y lapirámide triangulares.El prisma tiene dos bases y la pirámideuna sola.

164

La composición y descomposición de prismas y pirámides (arme y desar-me de modelos) es una actividad fundamental que debe realizarse. El cuadernode trabajo ofrece posibilidades para recortar (páginas 189 a 195) y armar estoscuerpos. Es importante también que en los desarrollos, que son superficies pla-nas reconozcan las formas de las caras y la base. El ejercicio de la página 168del cuaderno puede contribuir a la identificación antes mencionada.

4.4 Figuras y cuerpos redondos. Sistematización


Para el tratamiento de este contenido se sugieren 8 clases. La primerapuede dedicarse al repaso de los conceptos circunferencia y círculos, suselementos y al trazado de circunferencia. En la segunda se continuará traba-jando con la circunferencia y se destacará la relación que hay entre la igualdadde los radios y la igualdad de las respectivas circunferencias, así como seintroducirá el concepto diámetro y sus propiedades. La tercera clase se puedeutilizar para la ejercitación del contenido relacionado con circunferencia ycírculo.

La cuarta clase se puede utilizar para el repaso de los cuerpos redondosconocidos (cilindros y esfera) y para introducir el cono, la quinta clase seejercitarán cuerpos redondos y en la sexta clase se continuará la ejercitaciónrealizando una sistematización de lo estudiado. En las dos últimas clases sehará un resumen sistemático de las figuras y cuerpos elementales estudiadosy se realizará una ejercitación variada que integre, en lo posible, todo elcontenido.


Para el repaso de los conceptos de circunferencia y círculo puede partirsede actividades prácticas como las siguientes:• Trazar un punto A. Traza una circunferencia de centro A y radio que mida

2 cm. Colorea el círculo.• Traza un segmento A–B– = 3 cm. Traza una circunferencia de centro A cuyo

radio sea A–B– . Colorea el círculo.Puede también realizarse una actividad práctica como la que se explica en

la página 196 del texto.Cualquiera que sea la vía escogida debe guiarse la atención de los niños

hacia lo siguiente:• Al trazar con el compás una circunferencia con un centro y radio dados,

queda limitada una región del plano. Esa región y la circunferencia que es suborde, es a lo que se denomina círculo.

165

• Si miden la longitud de los segmentos determinados por el centro y un puntocualquiera de la circunferencia, podrán concluir que todas son iguales.

• Esto significa que todos los puntos de la circunferencia están a la mismadistancia del centro, o sea, todos los radios de una circunferencia son iguales.

• Como fijación en esta primera parte debe indicarse trazar circunferencias dediferentes radios, a identificar o trazar radios en una circunferencia dada, etc.Después puede indicarse trazar circunferencias iguales, si los alumnos no sa-ben cómo actuar ante esta orden se les pueden dar impulsos como por ejem-plo:

• ¿Cómo tienen que ser los radios para que las circunferencias sean iguales?• Si dos circunferencias son iguales, ¿qué sucederá si las recortamos y las tra-

tamos de superponer? ¿Cómo deben ser entonces sus radios?Debe entonces concluirse que dos circunferencias (círculos) son iguales

solamente cuando sus radios son iguales, luego si se desea trazar circunferen-cias iguales basta considerar centros diferentes, pero formar igual el radio.

Para completar el tratamiento de la circunferencia y el círculo debe elabo-rarse el concepto de diámetro. Es muy sencillo y los propios niños puedenrealizarlo si se le dan indicaciones similares a las siguientes:

En la circunferencia de centro A:

Traza un radio ABTraza otro radio AC de modo que AB y AC estén enla misma recta

Otro puede ser, con la misma circunferencia anterior:• Traza una recta que pase por A.• Llámale C y D a los puntos donde corta a la circunferencia.

En ambas actividades pueden ver que en una circunferencia pueden tener-se muchos pares de radios que están cada uno de ellos en una misma recta, osea, que están alineados. El maestro debe entonces informar que a ese segmentose le denomina diámetro y que por lo tanto:• Los diámetros miden el doble de lo que mide el radio.• En una circunferencia todos los diámetros miden lo mismo, luego son iguales.• Todos los diámetros pasan por el centro de la circunferencia.

El maestro debe seleccionar del texto y del cuaderno de trabajo ejerciciosque permitan fijar estas ideas esenciales aquí recogidas.

El tratamiento de los cuerpos redondos, debe hacerse en forma análoga acomo se hizo con el prisma y la pirámide, es decir, presentar modelos quepermitan reconocerlos de forma perceptual. Sobre la esfera no se va a estudiarninguna propiedad características pero sí destacar que, a diferencia de los pris-mas y las pirámides, ella no tiene bases ni caras y está completamente formadapor superficies curvas. Esto se puede demostrar haciendo la experiencia de la

A

166

regla (antes descrita) mediante la cual pueden observar que como quiera quecoloquen la regla nunca está completamente en contacto con la esfera. Es buenotambién que se muestren simultáneamente modelos de círculos y de esferaspara que vean como el primero esta todo contenido en un plano y la esfera no.Esto es importante pues los alumnos tienden a confundir estos dos conceptos.

El cilindro también es conocido por los alumnos. Es bueno que se destaqueque, a diferencia de la esfera, el cilindro está limitado por dos superficies planasque son los círculos de sus bases, y el resto es una superficie curva. El conopuede entonces presentarse mediante modelos y destacar su diferencia con elcilindro: tiene una sola superficie plana que también es un círculo y a la quetambién se le denomina base.

Para fijar bien estas ideas los alumnos deben ver los desarrollos de estosdos cuerpos y armar y desarmar modelos de cilindros y conos. Para lo antesplanteado pueden utilizar las páginas 199 y 201 del cuaderno en las que puedenrecortar y armar los cuerpos.

En la página 175 del propio cuaderno también hay actividades de reconoci-miento de cuerpos a partir de su desarrollo en el plano, que es muy importanteque se hagan para fijar completamente las ideas básicas. Para el resumen siste-mático de los cuerpos puede utilizarse el esquema de la página 201 del libro detexto en el que se presentan todos los estudiados.

Puede aprovecharse para destacar analogías, y diferencias, especialmentecaracterísticas de sus caras y bases. Estas últimas son las figuras estudiadas lascuales también pueden resumirse.

Por último el maestro debe proponer ejercicios variados en los que el alum-no tenga que aplicar los contenidos geométricos esenciales del grado, los quepuede seleccionar del propio libro, del cuaderno de trabajo o elaborarlos tenien-do en cuenta los objetivos propuestos.

Sugerencias de tipos de ejercicios que pueden ser utilizados para comprobarel logro de los objetivos1. Mide con tu regla los segmentos representados. Denótalos primero.

167

2. Calcula la distancia que hay de la escuela a la casa de Alberto y de allí a labodega. Cada centímetro representa 6 m en la realidad.

B O D E G A ESCUELA

3. En el cubo de la figura, nombra dos caras paralelas y dos caras que secorten.

H G

D C

E F

A B

4. Identifica tres triángulos en la figura. En uno de ellos nombre sus vértices ylados.

C

E

BDA

168

5. Completa la tabla: en la primera columna coloca el número que correspondey en las restantes di sí o no según corresponda.

Tiene Tiene Tienelados lados todos sus

Números opuestos opuestos ladosde lados paralelos iguales iguales

CuadriláteroRectánguloTrapecioRomboCuadradoTriángulo

6. Traza un trapecio que no sea paralelogramo. Denótalo y nombra los ladosque son paralelos.

7. a) En el rombo de la figura al ladoAB = 3 cm. ¿Cuánto miden los restanteslados? ¿Por qué?

A

B

C

D

8. Traza una circunferencia de 2 cm de radio. Traza otra circunferencia igual ala anterior.

1a-84 Matemática (pp....

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