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Primera ldici6n .dlt~riil T1enol611ic1 di Coste Rica, 1983

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Camacho Naranjo, Luis Introduccin a la lgica. -- Cartago :

Editorial Tecnolgica de Costa Rica, 1983. 244 p.

1. LOGICA. l. Ttulo

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EDITORIAL TICNOLOOICA DE COSTA RICA, 1183 Instituto T1DnOl6gloo di COltl Rial Apdo, 1511- 7050, Cartego ISBN 8489400-18-4 Hecho 11 d1J)llto de 11v lmpreao en Corta Rlc1

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coNTEN\00 \NTROOUCCION ... ................... 1 A quines se dirige est~ libro .. ... . . ... ..... ..... .

Nocin de \g\ca . . . . . . . ................... \..6glca v f\\osof Ca . .... ........................ . \..6gica y ciencia ... . . ... . ... ........ . ......... . L.6gica v matemtica ... .. . . ........... .. ..... . . \..6g\ca v sem\6tica .. .. .. . .. . . . ... .. . .. .. ... . . 1 L.a \glca V las lgicas ....................... , .. .

Ap6ndice \ Breve historia de la \6Q\ca .. . ........ . vocabularlo ' .. ........................... . vocabu\arlo en contexto .......... . ......... . Recomendaciones b\b\iogrf\cas ............... . Notas .......................... . ........ .

PARTE PRIMERA: ASPECTOS LOGICOS OEL LENGUAJE ORDINARIO EN LENGUAJE ORDI NARIO ...................................... 47

CAPITULO PRIMERO: RAZONAMIENTO, PEN SAMIENTO, LENGUAJE V OEOUCCION .... 49

Algunll nociones bl(sica . .. . . . .. . . . .. .. .. . . 49 Clases y uao del lenguaje . . . .. . .. . . . . . . . . .. . . 61 Acuerdo y desacuerdo .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. 70

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Extensin e intensin ... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Uso y mencin ..... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Trminos y proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 La definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Apndice 11 Ejercicios de deduccin ............. 107 Vocabulario ............................... 108 Vocabulario en contexto ..................... 109 Recomendaciones bibliogrficas ................ 110 Notas ....... ............................. 110

CAPITULO SEGUNDO: FALACIAS .............. 113

Importancia del razonamiento .................... 113 Nocin de falacia ........ . ..................... 115 Clases de falacias .............................. 116

Apndice 111 Anlisis de un caso particular ........ 137 Vocabulario ............................... 137 Notas .................................... 138

CAPITULO TERCERO: CLARIDAD Y VALIDEZ EN RAZONAMIE NTOS MAS FRECUE NTES. ARGUMENTACION ES POR ANALOGIA .......... 141

PARTE SEGUNDA: ASPECTOS LOGICOS DEL LENGUAJE ORDINARIO EN LENGUAJE FOR-MAL ........................................ 147

CAPITULO CUARTO: EL SILOGISMO ............ 149

El lenguaje simblico ................. ............. 149 E 1 silogismo ................................. .

Vocabulario ............................... 176 Vocabulario en contexto .. .................... 177 Notas .................................... 177

CAPITULO QUINTO: CALCULO PROPOSICIONAL O DE ENUNCIADOS ........................... 179

Nociones bsicas ............................... 179

Operaciones ............... .... ............... 180 Frmulas bien formadas .......................... 190 Reglas de inferencias vlidas elementales ............ 192 Reglas de equivalencia .......................... 202 Prueba formal de argumentos ..................... 204 Otras pruebas para argumentos vlidos .............. 212 Prueba de invalidez ............................. 216

Vocabulario ............................... 218 Recomendaciones bibliogrficas ... : ............ 218 Notas .............. ...... . ... .. .......... 218 Solucin de ejercicios ........................ 218

Apndice IV: Oistintos sistemas de smbolos usados can frecuencia .. .. ..... ...... ................ . 221

CAPITULO SEXTO: cuANTIFICACION SIMPLE ... 223

Nociones bsicas ............................... 223 Prueba formal de argumentos cuantificados .......... 239 Prueba de invalidez en argumentos cuantificados ...... 236

vocabulario ...... .............. .... ....... 238 Vocabulario en cantexto ..................... 238 Recomendaciones bibliogrficas ................ 239 Solucin de ejercicios ......................... 239

BIBLIOGRAFIA RECOMENOAOA .............. 241

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INTRODUCCION

A QUIENES SE DIRIGE ESTE LIBRO Desde tiempos de Aristteles, la lgica ha sido asociada

con la habilidad de hacer razonamientos correctos; de ah su caracterizacin como un arta y como un instrumento. Lo primero, en cuanto tiene que ver con el ejercicio de acciones intelectuales que es de esperar se vuelvan habituales; lo segundo, en cuanto facilita la tarea de alcanzar el conoci miento cientfico. En diversas pocas la lgica ha sido incluida como una disciplina auxiliar dentro de los planes de estudio de muchas carreras, particularmente de aquellas en las que se esoera un cierto grado de creatividad intelec tual en el profesional. La tendencia reciente en los pa ses avanzados ha sido en el sentido de promover la adquisicin de hbitos de razonamiento. A este fi n se orientan progra mas como los de rpido desarrollo mediante juegos como el WFF'nProof en los Estados Unidos y sus equivalentes en otros pa ises. 1

En muchas universidades e instituciones semejantes se incluyen cursos con propsitos parecidos al comienzo de carreras tan variadas como la economa, sociologa, demo grafa y administracin de negocios. A esta clase de curso se dirige el presente libro. Se supone que la mayora de los estudiantes que lo usarn no se dedicarn profesionalmente a la lgica ni a la matemtica, aunque por supuesto se espera que no haga dao a los estudiantes de estas disciplinas.

El profesional en la sociedad contempornea suele ser una persona que lee libros, revistas y peridicos; que escucha la radio muchos ratos al da; que ve programas de televisin y que con frecuencia tiene que opinar sobre asuntos impor-tantes. Este libro est escrito con una persona as en mente.

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MODO DE USARLO

Si el lector lo utiliza para estudio independiente, el or-den que siga puede, por supuesto, ser distinto al que aqu se propone. En todo caso se recomienda fo siguiente:

a - hacer uso intenso de los ndices, b - cumplir las tareas y hacer los ejercicios, con cuidado y paciencia; c - no avanzar mientras no se dominen los conceptos fundamentales.

Si el libro se utiliza corno obra de consulta, para el lector sern particularmente tiles, la bibliografa recomen-dada, f os vocabularios que se dan al final de cada captulo y en apndices, y las recomendaciones bibliogrficas que acom-paan cada cap tulo.

Cuando el inters del lector se oriente ms al simbolis-mo, la parte primera puede estudiarse con mayor brevedad. En tal caso se recomienda utilizar algunas de las obras ms tcnicas incluidas en la literatura recomendada.

Si el libro se utiliza como texto para un curso univer-sitario se espera que se cumplan las siguientes condiciones:

a - el profesor procurar seguir las observaciones y sugerencias del texto;

b - e/ estudiante tendr el libro a su disposicin fuera de/ aula, para cumplir con los ejercicios;

c - se dispondr en la biblioteca de otras obras de texto y de referencia que el estudiante pueda consultar. Adems, se espera que, de hecho, se utilizarn otras obras como medio para obtener mayor provecho de este libro.

PROPOSITOS

Al terminar de estudiar esta obra en la forma recomen-dada, se espera que el usuario sea capaz de:

a - distinguir entre razonamientos sencillos vlidos e invlidos, cuando los encuentre en la conversacin ordinaria y en los medios de comunicacin, tanto en los llamados masivos como en cualquier otro tipo de medios de comuni-cacin: informes, proyectos, etc.

10 b - utilizar el vocabulario lgico apropiado.

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c - distinguir entre distintos tipos de lenguaje, desde el punto de vista de la presencia o ausencia de razonamientos;

ch - distinguir entre las afirmaciones y las pruebas de stas.

d - ser capaz de apreciar fa coherencia lgica en el dis-curso y la ausencia de sta cuando sea el caso.

e - ser capaz de proceder con va lidez en sus razona-mientos.

l:JTILIZACION DE SECCIONES COMPLEMENTARIA-$

Se incluyen varias secciones complementarias, cuyo uso como recurso didct ico tender a facilitar e l proceso de enseanza-aprendizaje. Se emplearon principalmente las si-guientes: a.- Ejercicios: son trabajos que el estudiante puede desarrollar en el au la o fuera de ella, segn lo indiq ue el profesor. Se interca lan al final de cada captulo, y en ocasiones, a l final de las secciones. Tienen el propsito de que el estudiante aplique inmediatamente los conceptos expuestos. b.- Sugerencias: intercaladas dentro del texto, aparecern ideas que se consideran tiles para un mejor aprovechamiento del libro . Van dirigidas tanto a l profesor como al estudiante. c.- Apndices: desarrollan aspectos complementarios y suple-mentarios a l texto. Se incluyen a l final de algunos captulos. ch.-Vocabulario: las palabras sea ladas con un asterisco (*) dentro del texto , aparecen a l final del cap tulo respectivo, en orden alfabtico, conformando un vocabu lario bsico cuya funcin es facilitar la comprensin. d.- Vocabulario en contexto: trata de explicar prrafos o frases completas definiendo los trminos que en ellos aparecen, por referencia al prrafo o a la frase como un todo. Los trminos sealados con un doble asterisco (**) aparecen luego en vocabulario en contexto, en orden alfabt ico. Es de desear que el profesor construya otros vocabularios semejantes para secciones y captu_los que resulten difciles de entender. e.- Recomendaciones bibliogrficas: al final de cada captulo, e l lector encontrar indicaciones acerca de otras obras donde

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puede ampliar el terna desarrollado. Se espera que el profe-sor promueva esta actividad -de consulta. f.- Observaciones: dirigen la atencin del lector haca otras par-tes del libro, donde se puede encontrar ms informacin al respecto.

g.- Notas: son la descripcin de la literatura citada en el texto, en oportunidades acompaadas de comentarios.

Al escribir este libro se han tenido muy en cuenta las necesidades de cursos universitarios de nivel introductorio. El autor agradece las sugerencias y aportes hechos por pro fesores y estudiantes de la Escuela de Filosofa y del Centro Universitario de Occidente de la Universidad de Costa Rica, as como tambin de graduados de la Escuela de Filosofa que laboran en otras instituciones dentro y fuera de Costa Rica. Los errores y defectos del libro, sin embargo, son responsabilidad del autor.

Nota: 1 Layman E. Allen. WF F'N PROOF: The Game of Modern Logic. New Haven, Conn.: Autotelic lnstructional Materia Is Publishers, 1970 ..

NOCIONES INTRODUCTORIAS

NOCION DE LOGICA

Son muchas las definiciones que se han dado de la lgi-ca, y en gran medida la diversidad de definiciones refleja dis-tintas etapas histricas y variedad de enfoques.

Consideremos algunas de las definiciones que se han dado:

- Ciencia que estudia las leyes y modos del conocimien-to cientfico. (J. Casares. Diccionario ideolbgico da la lengua espaola. Barcelona: Editorial Gustavo Gii, 1957. p. 655)

- La lgica es la ms general de todas las ciencias; se ocupa de los elementos u operaciones que son comunes a todas ellas. (Morris R. Cohen. lntroduc cln a la 16gk:a. Mxico: Fondo de Cultura Econ6 mice, 1952. p. 20) La 16glca puede definirse brevemente como el es tudio del razonamiento. (Max Black. Critica! Thln king. New York: Prentice-Hall, 1952, p. 3) (traduccin del autor). Lo que afirma la lgica es aquello que se puede afirmar sobre los objetos de cualquier ciencia ... la 16glca es el comn denominador de las ciencias especiales. (Willard Qulne. El sentido de la nueva lgica. Buenos Aires: Ediciones Nueva Visin, 1971. p.7)

Las anteriores definiciones no coinciden en puntos im portantes, pero tienen.en comn el hacer referencia a varios trminos que invariablemente aparecen cuando se intenta de cir qu es la lgica. As tenemos lo siguiente:

13

-*Fiiti;

- Se establece una especial relacin de la lgica con el razonamiento y, n particular, con la validez o invalidez del mismo.

- Se afirma que hay una relacin particular entre la lgi-ca y las ciencias.

En cuanto a lo primero, la relacin entre lgica y razo-namiento puede establecerse de varias formas. Veamos algu-nas:

1.-!,.gico y lgica como _ _adjetivos: en la conversacin ordinaria encotramos con mucha frecuencia la afirmacin "Es -lglco que ... ", o s contraria, "Es figico qUe:;;, o "No es lgico que ... " - -- - -- Por ejemplo:

a.-Es lgico que el Presidente de la Repblica se oponga a la devaluacin de la moneda.

b.-Es lgico que los obreros se quejen. c.-Es ilgico que la Cmara de Ganaderos se oponga al

nuevo proyecto de irrigacin. Se dice de varias cosas que son lgicas o ilgicas y esa

calificacin de la afirmacin a la que acompaa nos remite a algo ulterior, a otras proposiciones previas que sirven de apoyo o de base y de las que se puede derivar aquello que va precedido de la calificacin "lgico". Quiz lo que se quiera decfr en los ejemplos es algo as como:

a.- La devaluacin de la moneda es una medida impo-pular. Las medidas impopulares producen prdidas electorales. Es comprensible, pues, que el Presiden-te de la Repblica se oponga a la devaluacin de la moneda.

b.-Los obreros se quejan cuando el costo de la vida sube y los sueldos se mantienen iguales. Ha habido grandes alzas en el costo de la vida y no ha habido aumentos considerables de sueld.os. De ah que resulte natural la queja de los obreros.

c.- El nuevo proyecto de riego favorece a la ganadera. La Cmara de Ganaderos debera apoyarlo. No en-tendemos cmo justifican su oposicin.

Los seres que nos rodean y los~chos que constatamos en la vida diaria no son propiamente lgicos o ilgicos. Cuari:. 14

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do utilizamos esa expresin la referimos a la posibilidad de i~ferir una- afirmacin a partir de otras. En ese ;~ntido tam-- - -----

bin a veces aplicamos este adjetivo a personas, en la medida en que encontramos consistencia en sus afirmaciones y entre sus afirmaciones y sus actos.

2.-1.a_ lgica ~orno _lenguaje Y~ como teora: I_? l.Qgica puede vers~_E911JO .~n_l~nguaj~e~~es po_sib~ _ex~resar _@lOnan:i_ient2s p, !:J1s exactamen~, ~s_tructuras de_raz9na.-

~tos _9_e ~!:11-~ ~onsistente, Pued_e_ tambin yerse como_ y~ estudio terico de_esa consistencia. En uno y Q_tro caso, 19 [9gica se caract~rjza por_terier que ver con la infer::.eocia ~om_o_ ~u objeto~_*P!Opio: en el primero, para expresarla; en el se-gundo, para estudiarla. Ambos aspectos suelen ir entremez-clados en obras como la presente; lo que podemos encontrar en diferentes captuios es mayor nfasis en uno u otro aspec-to. Ms que un lenguaje completo, la lgica considerada des-de el primer punto de vista consiste en un esquema o, en palabras de CARNAP 2, un "esqueleto" de lenguaje que lue-go se va construyendo con base en los smbolos* introducidos y en las reglas de formacin que se sealen para cada parte.

Si se acepta la definicin de lgica como teora de la inferencia, podemos tambin colocar un nivel ms alto, el del anlisis* de dicha teora. As tenemos la metalgica, a la que nos referiremos ms adelante.

De acuerdo con las observaciones hechas hasta este punto, podemos criticar algunas definiciones de lgica.

GEORG E BOOLE en su obra The Laws of Thought3 defina la lgica como la "ciencia de las leyes del pensa-miento". Consideramos inadecuada sta definicin por la sencilla razn de que las leyes del pensamiento son un objeto emprico*, tema de la psrcologa o de alguna otra ciencia emprica particular. Adems, la nocin de "pensa-miento" es imprecisa en este caso, pues abarca muchas ope-raciones de las que no se ocupa la lgica: en cuanto actos intelectuales, las operaciones del pensamiento constituyen ms bien un tema de la psicologa; en cuanto leyes de la forma como la gente piensa de hecho, puede ser objeto tambin de la sociologa. En ninguno de estos casos la lgica est directamente involucrada. A pesar de lo anterior, es

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todava frecuente encontrar definiciones de la lgica equi-valentes a la que estamos citando.

Otro enfoque que tambin consideramos inadecuado es el de la lgica como el mero arte de pensar bien, y sobre todo cuando este "pensar bien" se identifica con lo que suele conocerse con el nombre de "sentido comn". A partir del siglo XIX, la lgica se convierte en una disciplina sumamente tcnica, que requiere estudio y dedicacin como cualquier otra empresa terica* y abstracta*. A veces los autores hablan de una "lgica natural" que se dara en ma_yor o me-nor grado en diferentes personas, pero que sera comn a todos los seres humanos normales capaces de razonar. Se suele decir, adems, que el estudio de la lgica vendra a completar o perfeccionar esta capacidad natural. Este punto de vista, acertado en cuanto a la existencia de la capacidad mencionada, no basta, sin embargo, para explicar la natura-leza de la lgica como estudio especializado: para citar una sola razn poderosa, tngase en cuenta que con mucha fre-cuencia los mtodos de razonamiento de las ciencias se han alejado totalmente de las inferencias sencillas realizadas den-tro del sentido comn, al que a veces contradicen.

Si bien se puede considerar til la frecuente afirmacin de que la lgica es un instrumento** para las ciencias, la no-cin de instrumento que se emplea en esta expresin debe ser analizada. No se trata de una herramienta intelectual hecha y acabada antes del desarrollo de las ciencias, cuya aplicacin posterior garantice el xito de quienes la usan. La lgica ms bien se ha ido confirmando en una estrecha rela-cin con las ciencias y, en particular, con la matemtica. No ha habido primero una lgica perfectamente desarrolla-da y luego, por aplicacin de la misma, una ciencia como resultado. Si bien la lgica naci hace muchos siglos, en pocas d desarrollo cientf.ico como el siglo XVII, no se encontraba en perodo de esplendor. Tampoco se puede suponer, por otra parte, que las ciencias hayan tenido siem-pre una claridad meridiana en cuanto a sus propsitos y ob-jetivos y que, por consiguiente, hayan buscado el instru-mento ms adecuado. La historia de la ciencia es mucho ms complicada. Por otra parte, si se reduce el mbito de 16

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la aplicacin de la lgica a las ciencias, se excluye el razo-namiento natural o en lenguaje natural, lo que constituye una consecuencia desafortunada.

No hay mucho problema en admitir que la lgica tiene que ver con la inferencia. Tambin hay acuerdo en cuanto a mtodos*, sistemas y resultados de la lgica. Esto no quie-re decir, sin embargo, que todos los lgicos que utilizan m-todos semejantes, que se orientan por sistemas parecidos y que obtienen resultados afines estn de acuerdo cuando se trata de responder a la pregunta "De qu se trata todo es-to?" Las siguientes preguntas vienen a la mente:

Es la lgica algo as como una disciplina prescriptiva o normativa, semejante a los sistemas ticos, cuyo propsito es establecer de qu modo la gente debe pensar?

se relaciona ante todo la lgica con el lenguaje, o con el mundo extralingstico?

Qu son los lenguajes artificiales de los lgicos? lMo-delos que deberan seguir los lenguajes naturales, es decir, los lenguajes que la gente utiliza da tras da (espaol, ingls, chino) y que ha aprendido desde la infancia? sern ms bien sustitutivos para el lenguaje natural? o proyectos para construir mejores medios para comunicarse?

En cuanto a la primera pregunta, podemos admitir sin mayor problema que _@. lgica__n__o_s_olo tr.ata de __ Leyes (en el mismo sentido en que la fsica, por ejem; lo, habla_ de ciertas regularidades que se pueden expresar mediante fr_rnu-las), sino tambin de normas, es decir reglas de procedimiento que sealan cules son los pasos gu~ se deben seguir para obtener determinados resultados. Cuando los razonamientos son sencillos, la aplicacin de reglas o normas no suele ser problemtica, aunque no quiere esto decir que no nos equivo-quemos en razonamientos sencillos. Pero cuando los razona-mientos son complicados, las reglas expresadas en lenguajes simblicos altamente tcnicos nos ayudan a proceder con paso firme. La utilizacin del clculo proposicional, por ejemplo, es un recurso muy valioso en la solucin de proble-mas que se presentan en razonamientos complicados4

En cuanto a la segunda pregunta sealada arriba, la re-

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racin entre lgica y lenguaje podra plantearse de diferentes maneras, en gran medida complementarias:

-Lgica y lenguaje son manifestaciones del carcter raciona/ del ser humano.

-Aunque puede darse una cierta lgica de actos no lin-gfSticas, observable en el comportamiento, no Podramos sistematizar nuestras observaciones al respecto, ni menos an comunicarlas, sin el uso de algn tipo de lenguaje**.

-Las caractersticas de un lenguaje natural (griego, latn espaol, ingls, etc) pueden condicionar las teoras lgicas cuando stas se formulan de modo que no trascienden** dicho lenguaje. As, por ejemplo, la estructura sujeto-predi-cado del griego, latn v lenguajes derivados, ha condicionado la lgica aristotlica, puesto que el silogismo -modelo de razonamiento dentro de ese sistema- se basa esencialmente en dicha estructura.

En cuanto a la tercera pregunta, el problema trasciende los lmites de este texto introductorio. fil_sim~e utiliza aqu~oocibe conlO..un...ins.tento p~ra ayudar al razonamiento forlJ!M.!a.do en.Je~/: ~e entera~~. Qj_pLe.teode .~nstituj~ ~ lerJ_guaje.; iJ!!plemente 2!Pira a ser til.

EJERCICIOS: 1.- .

Busque en un diccionario los siguientes trminos: -definicin -lenguaje -herramienta -intelectual -tcnica -arte

-tica

2.-Teniendo en cuenta lo que se ha dicho en este apartado, qu opina Vd. de la siguiente definicin?:

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"La lgica es la ciencia que estudia las estructuras de/ pensamien-to''5

LOGICA Y FILOSOFIA

En otros tiempos, la lgica estuvo vinculada ante todo con la filosofa. Desde su aparicin en el mundo occidental en el siglo IV a. de C. hasta el siglo X 1 X, la relacin de la lgica fue ante todo con la filosofa, an cuando durante la Edad Media fue ampliamente utilizada por la teologa, con fines religiosos. La particular relacin con lafilosof a se pue-de ver como parte del proceso mediante el que las diversas ciencias han ido saliendo de la matriz filosfica. El Organon de AR ISTOTELES (conjunto de obras lgicas) fue objeto de estudio, en primer lugar, de los filsofos. Hoy la lgica aparece vinculada ms estrechamente a la matemtica y a las ciencias. El tiempo trascurrido, sin embargo, ha sido dema-siado corto: todava no se habla de una "revolucin en la lgica", como de hecho ha ocurrido, y todava muchas per-sonas siguen pensando en la lgica como si nada hubiera cambiado en el siglo XIX, como si no hubieran vivido BOOLE, FREGE y otros autores. Si ARISTOTELES resu citara hoy, se encontrara con que su Fsica ha sido superada hace tanto tiempo -desde el siglo XV 11, con GAL 1 LE O-que ya nadie la tiene en cuenta como una posible explica-cin cientfica del universo en igualdad de condiciones con otras teoras. No encontrara profesores explicando sus teoras como si fueran correctas, ni siquiera como una parte que pudiera simplemente subsumirse dentro de un sistema moderno ms amplio. En cambio, encontrara que sus obras de lgica se siguen enseando como vlidas en algunos crculos de filsofos y como parte subsumible dentro de modernos sistemas ms complejos en otros crculos de filso-fos y matemticos. Encontrara grandes cambios en mu-chas obras de lgica pero no encontrara intentos de expli carios. Ni siquiera oira de una "revolucin de la lgica" aunque le parecera .. que claramente ha ocurrido alguna, toda-va inconclusa. Quiz se sorprendera por el hecho de que muy diversos grupos de profesionales -abogados, matem

tices, poi ticos, programadores y analistas de computado ras, etc.- hablan de la lgica y a veces parecen referirse a cosas distintas. Le sorprendera tambin que se hable mucho

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en nuestros das de temas como la "lgica de la decisin" , "lgica cuntica", "lgica dialctica", etc. Buscara info rma-dn en alguna historia de la lgica, y tratara de relacionarla con muchos otros factores, tanto internos (de orden terico) como externos.

Es aqu donde parece estar el corazn del problema: lcmo relacionar el desarrollo de la lgica con los progresos en otros campos de la ciencia? l Puede establecerse una relacin directa entre los cambios en la lgica y otros aspec-tos de la actividad humana?

Es bien conocido el proceso por el que d iferentes ramas de la filosofa adquirieron independencia como ciencias separadas, dotadas de autonoma en sus mtodos y conclu-siones. Ya no hablamos de filosofa natural, como se haca hasta NEWTON, sino de fsica. La llamada psicologa racio-nal, que se conceba como parte de la filosofa , ha cedido su puesto a una ciencia llamada psicologa. Al mismo tiempo que se dio -Y se sigue dando- este proceso de independen-cia, se ha dado otro, no menos importante. La idea de que la filosofa era la "ciencia humana universa l y perfecta" o la "ciencia de las ltimas causas" se ha vist o afectada por la revolucin llevada a cabo por KANT. De acuerdo con este autor, la filosofa no es un conjunto de conocimient9s sobre el mundo, sino ms bien una reflexin sobre la posi-bilidad de conocer el mundo. En vez de ser una ciencia qe nos habla de la realidad que nos rodea, la filosofa se convier-te as en una disciplina que trata de responder a la pregunta de cmo dicho conocimiento es posible. De este modo, la filosofa deja de ser un conjunto de conocimiento generales, a la par o por encima de otros conocimientos (los del sentido comn y de las ciencias particulares). Del punto de vista segn el cual la metafsica* jugaba el papel ms importante dentro de la filosofa, se pasa a la concepcin segn la cual ese papel central lo ocupa la epistemologa, o teora del conocimiento. Despus de KANT la posicin de la filosofa dentro del conjunto de actividades humanas y la posicin del filsofo dentro de la sociedad han cambiado mucho. El filsofo no es ya el poseedor de una ciencia universal, sino ms bien el conocedor y practicante de tcnicas de

20

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.C!I.tica, anlisis y sntesi~ gue sirven para conocer la .: _li9ez del conocimiento, cuyos alcances trata de determi

-- -~ ,!lr y cuyas conclusiones trata d'!. conciliar en sn~ J!_a vez ms abarcadoras. De ah i ue la lb ica vuelva a tener la .il:DJ

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muy influyen tes en nuestros das -considrese, Por ejemplo, la llamada "revolucin islmica" en Irn- pero se pueden con-siderar al mismo tiempo sistemas filosficos? iNo sern ms bien movimientos religiosos opuestos a la filoso fa? Si no se oponen, icmo se relacionan esos movimien tos religiosos con la filoso-fa?.

5.- r,.,, de mable"'' cuAJe, son 1., MnpaJ., dde,.nc;., ent,. la Hlo'Df/a anal/ca y el m.'X/smo. Tambin compa,. una u otra, o las dos, con otras corrientes filosficas in fluyen tes en nuestro siglo (existencialismo, fenomenologa, etc. ).

Observaciones: Algunas ideas expuestas hasta ahora quedarn ms

cJa,..s con los esquemas de h!stoda de la lgica que se expondr.Jn en el primer apndice.

Algunas frases que Ud. ha encontrado aparecern ms adelante en la seccin " Vocabulario en contexto ': Procure buscar las informa-ciones adiciona/es necesarias para una mejor comprensin.

LOGICA Y CIENCIA

Hay dos maneras de ver la lgica desde el punto de vista de su relacin con la ciencia. A primera vista Parecen opues. tas pero en el fondo ms bien se complementan

Algunos autores establecen una categor a especia / de ciencias que llaman "formales" y se refieren con este nombre a la lgica y la matemtica. Entre estos autores citemos a RUDOLF CARNAP y MARIO BUNGE7. Se oponen las cien-cias llamadas formales a las fcticas o empricas, que seran todas las dems. Mientras stas proceden mediante el expe. rimento y la observacin, aqullas utilizan ante todo la de-duccin a panir de axiomas. Las ciencias forma/es son analticas (en la terminologa kantiana), mientras las fcticas incluyen proposiciones sintticas~. Se supone que las dos clases de ciencias forman un todo unificado: sin las ciencias formales, las fcticas careceran de estructura; sin las fcticas, las forma/es nunca podran ensearnos nada acerca del mun-do que nos rodea.

Otros autores prefieren reservar el nombre de "ciencia" nicamente para el segundo conjunto anterior, mientras 22

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consideran que la lgica y la matemtica no son ciencias propiamente hablando. Para explicar en qu consisten estas ltimas suele recurrirse a las siguientes afirmaciones:

-A veces se dice que la lgica y la matemtica son los instrumentos que toda ciencia necesita para poder procede r con validez y exactitud. Desde este punto de vista, ambas seran extrnsecas a las ciencias, pero se aplicar an en la realizacin de stas.

-Otras veces se afirma que la lgica y la matemtica constituyen la parte comn de todas las ciencis, lo q ue todas ellas comparten cuando alcanzan cierto grado de madu-rez. Como dice la cita de OUINE al comienzo de este captu-lo, "la lgica es el comn denominador de las ciencias espe-

- -- - -- - -- - - - --ciales" . - --De todos modos, la lgica y las ciencias van unidas tanto en la historia como en el quehacer diario de los lgi-cos y los cientficos, y en esto coinciden las opiniones ante-riores. Esa relacin estrecha entre lgica y ciencia puede expli carse as : si bien no es necesario conocer expl citamen-te la lgica para razona r correctamente en las ciencias pa rti -culares, el conocimiento de la misma ayuda mucho al cient-fico. El ejemplo que suele aducirse para ilustrar esta afirma-cin es senci lla: uno puede manejar un automvil muy bien sin saber nada acerca del funcionamiento de l motor y sin

- -estar enterado de mecnica automotriz. Sin embargo, cuando las dos cosas se juntan el resultado es ptimo. Si el chofer es tambin mecnico, podr enseguida identificar cualquier ruido, cualquier golpe, cualquier anomala que perciba mien-tras conduce su vehculo. Y entonces tambin sabr qu hacer para corregir la situacin.

El desarrollo histrico de la ciencia y el de la lgica no han sido, sin embargo, simultneos. El predominio multi-secular de la lgica aristotlica fue criticado en muy diversos perodos, sobre todo a partir del Renacimiento*. Autores como OCKHAM y LEIBNIZ trataron de completar o susti-tuir la lgica tal como se enseaba en sus das, pero no hay una revolucin en la lgica paralela a la Revolucin Cientfi-ca de los siglos XVI y XVII. No es sino hasta el siglo XIX cuando sta se produce: una vez iniciado el movimiento de

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cambio con BOOLE, un gran nmero de autores dedican gran parte de sus vidas y energas al desarrollo de la nueva lgica. (Vase el apndice histrico al final de este captulo). Tambin se puede decir que el cambio ha trado consigo un estrechamiento de las relaciones entre lgica y ciencia con-tempornea, que se refleja en las numerosas aplicaciones cientficas de la lgica simblica. Desde la lgica de la pre-ferencia hasta la lgica cuntica, pasando por la lgica de la decisin, de las computadoras y otras muchas ramas, la lgica en nuestros das tiene todo el aspecto de la vitalidad de una actividad humana que ha pasado por un largo perodo de revisin, innovacin y consolidacin. Y durante toda esta etapa, la estrecha relacin con las ciencias y la matemtica ha sido en especial vivificante.

LOGICA Y MATEMATICA

l~libros_y artculos de lgica en nuestros das se pare-cen ante to.do aJos d~ matemtica. El uso de un simbolismo especializad_o, ~ teFmlri_o lo_gf- que~ emp~a, los mtodos gue se si gu~~_y_, E vec~s,Jncl.LJSO el._conten ido_,_ggrecen coincidir, La relacin entre lgica y matemtica es tan estrecha que con mucha frecuencia los cursos de lgica estn a cargo de mate-mticos. Sin embargo, no siempre fue as . La coincidencia es el producto de una convergencia en la que podemos sea-lar tres motivos: la evolucin de la matemtica, la evolucin de la ciencia y la aplicacin de la matemtica a la lgica. La evolucin de la matemtica: a partir del siglo XV 111 se deja sentir en matemtica, la necesidad de mayor rigor y de abstraccin ms depurada. El perodo inmediatamente anterior haba sido iniciado por ~ ENA TO DESCARTES (1596-1650 ), PIERRE DE FERMAT (1601-1665) e ISAAC NEWTON (1642-1727) quienes, dejando atr:s_lou:nt_odos y problemas clsico~, co.!lSQ.Uieron hacer .. un_ gran_ nmero de descubrimientos que revelaron la interacci_n constante entre matemtica terica y_ todas las_ rarnas _dg la fsica y la a_s.!rQ!19ma. A partir de LEONHARD EULEH (1707-1783), quien culmina este perodo, se inicia la etapa de bsqueda

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1

de rigor y abstraccin. En este nuevo perodo se percibe una base comn a todas las ramas de la matemtica y as se empieza a buscar el fundamento lgico y operativo de todo el sistema. La fecundidad extraordinaria del per odo anterior (de DESCARTES a EULER) da paso en esta poca, que empieza a fines del siglo XVI 11, a la bsqueda de solidez, de bases firmes, de fundamentos. Las consecuencias de esta bsqueda nos benefician todav a hoy. Entre otras cosas, la l_Q.qica si 111blifa_ o_matem-.@..a...destaca c_gm_~.l Rfoducto de una necesidad histrica de la matemtica. El deseo de una funcralentacinPara - los ~-dos matemticos- e~ evid~nte en autores-del siglo XI X y XX . Citemos, por ejemplo, a J.W.R. DEDEKIND (1831-1916) quien, en el prefacio a su ensayo La continuidad y los nmeros irracionalesB nos cuen-ta cmo, en su categora de profesor de clculo diferencial en Zrich , sinti "ms intensamente que nunca antes" la ca-rencia de una fundamentacin realmente cientfica para la

matemtica. La vinculacin de la matemtica ms con la forma y la

estructura que con el contenido o las caractersticas mate-riales individuales o especfi cas no es ideas nueva. Aparece, por ejemplo, en TOMAS DE AQUI NO (1224-1274)9. Pero la manera de entender esta idea ha variado mucho . En los esco-lsticos la matemtica es una ciencia abstracta,~s_sibstraj;t~ ~la fsica, porque prescinde del carcter individual y especfico de las cosas individuales para consCle"a nicamen-~ la materia en cuanto gue se puede entender en-forma muy abstracta, en cuanto que es inteligible.

Tenan claro estos autores que la matemtica no trata de cosas individuales, ni siquiera consideradas desde el punto de vista de la especie. _Al contar, por ejemplo, no importa si lo que se cuenta son naranjas o dinosaurios. La matemtica no est interesada ni en esta naranja o aquel dinosaurio indivi-dualmente consideradps ni en las naranjas como conjunto o los dinosaurios como especie zoolgica. Tienen que ver las operaciones matemticas con propiedades de la materia, pero propiedades consideradas muy abstractamente.

Por otra parte, la idea de que la matemtica trata ante todo con nmeros y figuras prevalece durante muchos siglos.

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En nuestros das, en cambio, la idea de que la matemtica tiene que ver con la forma, ha asumido una nueva manera de explicacin: la matemtica trata con estructuras, nocin que ha sido analizada en los lt imos dos siglos. Los librns recientes aparecen con numerosos trminos que todava no hace mucho parecan ajenos a la matemtica: grupos, con-juntos, anillos, campos, homomorfismo, isoformismo, etc. El matemtico ha descubierto que las operaciones con las que todos estamos fami liarizados (suma, resta, mu ltiplicacin, divisin) no son propiedad exclusiva de los nmer.os y trata entonces de estudiarlas en la forma ms genera l.

Un estudio de este t ipo, aplicado a operaciones lgicas, es el que realiza BOOLE en su obra The Laws Of Thought (1854), donde BOOLE expone su idea de que es tpico de operaciones lgicas que funcionan con dos valores (verdade-ro, falso) el hecho de que la repeticin de una variable equivale a la enunciacin simple de la misma. En otras palabras, BOOLE seala que en lgica nos encontramos con que

X X=X

mientras que en matemtica normalmente esperaramos que xx=x2

Sin embargo, lo primero se da cuando x= O, o a 1, de modo que las operaciones lgicas por l analizadas se pueden tomar como una aplicacin matemtica en que trabajemos nica-mente con dos valores, a saber, O y 1. La evolucin de la ciencia: hay una relacin entre el desarro-llo de la ciencia y el de la matemtica, por un lado, y el de ambas con el de la lgica, por otro. El gran desarrollo cient-fico que conocemos en nuestro tiempo empieza en los siglos XVI y XVII y se suele sealar el nombr~ de GALILEO (1564-1642) como lnea de s.eparacjfu entre 19~ influida ante todo por los antiguos y .la ciencia.J.fuenida que se lanza a nuevas conqJ.L~tas. ~ rt.li.sma_pru:;_a,_el ingls FRANCIS BACON (1561-1626) critica1'metodologa inspirada en la lgica antigua y establece en su ob.ra Novum 0J:Qan1l.J.as bases de una nueV.&l__ffietod.Qlog a~ c~licacin hara mucho ms fecunda la labor de los cientficos. El

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gran desarrollo de la ciencia a partir del siglo XVI 1 y de la tecnologa* a partir del XV 111 motiva un cambio de menta-lidad, hacia la ampliacin y aplicacin de la ciencia en cam-pos cada vez ms extensos. La ciencia, adems, se apoya cada vez ms en las bases matemticas y luego se orienta, en el siglo XIX, hacia la bsqueda de fundamentos ms slidos, hacia una consolidacin mayor de su validez.

No hay una relacion mecnica** entre el desarrollo de la ciencia y el de la lgica, pues no encontramos grandes lgicos en la misma poca de los grandes cientficos de los siglos XVI y XVII. Sin embargo, en esa poca encontramos quejas relativas a la pobreza de la lgica que entonces se en-seaba. El deseo de una nueva lgica (ARISTOTELES haba escrito el Organon; BACON escribe el Novum Organon) no ser satisfecho por varios siglos. Como hemos visto, es en el siglo XI X cuando empieza verdaderamente el cambio. La aplicacin de la matemtica a la lgica: la introduccin de nociones y mtodos de la matemtica para tratar proble-ms lgicos no empieza con BOOLE, pues algunos autores anteriores haban hecho pequeos ensayos. Pero es con las dos obras de dicho autor Anlisis matemtico de I lgic.a ( 184 7) y Las leyes del pensamiento ( 1854) donde esta nueva manera de ver laS-cosasse aplica- a-; un modo sistem-tico. El resultado es una matematizacin de la lgica que luego, a finales del sigla XIX can G FREGE (1848-1925) da un giro completo para plantear ya, en trminos estrictos, lo que se buscaba confusamente desde antes: la fundamen-tacin lgica de la matemtica. Se trata entonces de derivar la aritmtica (en el caso de FREGE) y toda la matemtic~ (ms tarde. con BERTRAND RUSSELL y A.N .WHITE-HEAD) a partir de nociones lgicas. Aparece as el progrnma logicista, segn el cual la matemtica es reducible a la lgica. Este punto de vista en nuestros das no suele ser defendido, aunque casi todos admiten una estrecha vinculacin entre ambas disciplinas.

Sin embargo, esta relacin tan intensa no es del agrado de todos. Los matemticos, como la mayora de los grupos y profesiones, tienen sus manas y limitaciones. Una de ellas es, por ejemplo, el nfasis en la axiomatizacin* . Este inte-

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rs no suele atraer mucho a los lgicos cuya formacin bsica no sea matemtica, quienes preferiran plantearse otros problemas, como -por ejemplo- el de la finalidad y utilidad de los clculos lgicos. Otra deformacin de los matemticos es el desprecio por el lenguaje comn y corriente. En este sentido, es frecuente encontrar entre los matemticos que escriben de lgica, un desprecio hacia las aplicaciones de la lgica a razonamientos formulados en lenguajes naturales. Incluso no faltan autores que niegan cualquier conexin entre lgica y razonamiento natural en lenguaje comn y corriente, con lo que se llega al otro extremo de lo que se entenda por lgica en otros tiempos. Mientras haya inferencias en lenguaje natural -Y solo tergiversando* la nocin de infe-rencia se podra sostener lo contrario- y mientras la lgica tenga que ver con la validez de las inferencias habr lgica de la deduccin natural, y no se puede culpar a otros grupos de profesionales, como por ejemplo los filsofos, de que se preo-cupen ms por estas aplicaciones de la lgica que por los juegos axiomticos en los que se encuentran a menudo mues-tras de una frivolidad** puramente formal.

La lgica no es, ciertamente, un mero arte de "penspr bien". Tampoco es, afortunadamente, una simple parte de la matemtica que se agota en s misma y se entretiene en el vaco. Ni la lgica ni la matemtica naciere_!! por capricho: la primera aparece al Is.ido de los primeros esfuerzos tericos por entender el mundo, como un instrumento que ayude al conocimiento cientfico. La segunda aparece desde que se intenta dominar al mundo que nos rodea, vinculada a necesi-dades tan simples como las de llevar cuentas de objetQs y medir extensiones. Recordar estos humildes orgenes tal vez sirva para evitar especulaciones exageradas.

La lgica busca el rigor, y en esto coincide con la matemtica y la ciencia. A -diferencia de estas ltimas, sin embargo, la lgica no trata directamente de hechos. La vali-dez o invalidez de los razonamientos no as un hecho que encontremos en la naturaleza del modo que encontramos la gravedad, el movimiento de los planetas, las propiedades de un compuesto qumico o la anatoma de una especie animal. La lgica sirve para expresar y para analizar inferencias; en

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f.

este sentido se refiere a expresiones de otros lenguajes. El rigor de la lgica y el formalismo de la matemtica encajan de un modo especial; de ah'que la lgica sea "especialmente adecuada para servir de marco al lenguaje de la matemtica"1

Ejercicios: 6.- Con ayuda de diccionarios y otras obras de consulta trate de dar

7.-

8.-

9.-

una definicin de la matemtica.

De acuerdo con la definicin que haya dado, comente las siguien tes definiciones, indicando si est de acuerdo o no con ellas y sealando el porqu de su acuerdo o desacuerdo:

- "Estudio de la cantidad, Ja forma, la disposicin y la magni-

tud" - "Ciencia que trata de las propiedades de la cantidad consi derada abstractamente"

Con ayuda de diccionarios y otras obras de consulta, explique tos siguientes trminos:

-axioma -formalizacin -teorema -formalismo

Resuelva individual o colectivamente el siguiente problema: Un muchacho invita a su novia a dar un paseo en bus. La crisis es tal que no solo deben pase.ar en bus, sino que adems deben regresar a pie, pues no les alcanza el dinero para un viaje de ida y vuelta. Ahora bien: si el bus viaja a nueve kilmetros por hora y ellos caminan a tres kilmetros por hora, a qu distancia pueden llegar de tal manera que puedan regresar ocho horas despus

~~~? .

Sugerencia: en el problema anterior se puede ver el aspecto matemtico, puesto que se trata de un clculo numrico, pero al mismo tiempo se puede comprender el papel muy importante de la deduccin, desde el punto de vista de la validez del raciocinio empleado. Despus de resol verlo, conviene discutir Jos pasos que se siguieron en su solucin, los dibujos y esquemas empleados, as como las inferencias; que se hicieron para encontrar la solucin, y cmo dicha solucin debe ajustarse a los datos dados. En otras palabras, Ja solucin deber ser congruente con los datos y desprenderse de ellos. As se ilustra la idea, que veremos

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ms adelante en detalle, de que un razonamiento vlido es aquel cuya conclusin se desprende de las premisas.

Observacin: muchas de las ideas expuestas en esta seccin sobre las relaciones entre la lgica y la matemtica se aclaran con la lectura del apndice histrico. Despus de leer dicho apndice, conviene volver a esta breve seccin anterior.

LOGICA Y SEMIOTICA

La lgica es un lengu~e, gy,Q__p.-!:Qpsito es el de .... ~1-~.Piegir __!cnicamente y analizar tericamente las inferencias. Un leng_uaje es un sistema de signos. En nuestros das el lengufile es_ oJ?ieto _Qe estudio cientfico por parte de .1.....!l!:!g stica y

lo~~..QQL~on....ab..je1o.._d_e_estlliii.o cte una ciencia, la semitica. Esta se divide, a su vez, en tres partes: sintaxis, semntica y pragmtica. La sintaxis estudia las relaciones de los signos entre s; la semntica considera los signos en relacin con lo que designan y la pragmtica estudia las relaciones entre los signos y los sujetos, tanto individuales como colectivos, que los usan. Los siguientes ejemplos aclaran los tres tipos de relacin mencionados: 1.- La expresin "estoy supuesto a ir" no es correcta en

castellano. 2.- El trmino "inflacin", en economa, designa el fen-

meno que se da cuando mucho dinero anda detrs de pocos bienes.

3. - Los mejicanos llaman "guajolote" lo que en Costa Rica se llama "chompipe'~ Mientras en (1) hay una referencia a reglas de combina-

cin de signos y se dice que unos signos particulares ("estoy supuesto a ir") no encajan dentro del conjunto de signos que constituyen el idioma castellano, en (2) hacemos referencia a lo significado por un trmin. En (3), en cambio, estamos hablando de palabras en cuanto usadas por diferentes comu-nidades. As, pues, la consideracin en (1) es sintctica, en (2) semntica y en (3) pragmtica.

En lgica, como lenguaje especializado, los desarrollos abstractos son ante todo sintcticos y las aplicaciones de los

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clculos lgicos son de carcter semntico, con algunos aspectos pragmticos.

Ejercicios: 10.- Buscar el origen etimolgico de las palabras"sintaxis","semnti

ca", "pragmtica" y "semitica".

11.- Buscar la definicin de la palabra "signo".

12.- Buscar otros ejemplos que aclaren la distincin enrre sintaxis, semntica y pragmtica.

LA LOGICA Y LAS LOGICAS En otros tiempos se hablaba de "lgica", as sin ms.

En cambio hoy difcilmente se encuentra este sustantivo sin algn adietivo que lo califique. As, se habla por ejemplo de "lgica formal", "lgica de la decisin", "lgica aristot-lica", etc. El adjetivo puede hacer referencia a una divisin histrica, geogrfica, temtica, o de orientacin y fundamen-tacin. Sin pretender dar un cuadro completo, intentaremos clasificar diferentes denominaciones se~n esos criterios.

A.- En relacin con criterios geogrficos e histricos 1.-Hay una primera distincin entre lgica oriental y occid~ntal. Si bien no estn claros los 1 mites geogrficos de

+ (l;'r~ la ;~, suele entenderse por tal la que se desarrolla en pases como la India, China y Japn (Vase apndice his-trico). La lgica occidental tiene un claro comienzo en Grecia con ARISTOTELES (384-322 a. de C. .). Esta distin-cin geogrfica en nuestros das tiene poco inters, y ms bien se relaciona con la historia de la lgica. A partir del siglo XIX la lgica moderna se ha extendido a todo el mundo y ha prosperado en pases tan variados como Polonia, la Unin Sovitica, Alemania, Finlandia, Japn, Argentina o Per y a nadie le interesa si estos desarrollos pueden consi-derarse "orientales" u "occidentales'.'

2.-A veces se habla de lqica tradicional, clsica o vieja, y se entiende de diversas maneras, no necesariamente incompatibles. Estos adjetivos se han aplicado a:

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a.-La lgica producida en el perodo entre ARISTOTELES Y la escolstica de la Edad Media; b.-toda la lgica que se desarroll antes de BOOLE; c.-cualquier lgica que no siga las orientaciones de la lgica simblica iniciada por BOOLE, aunque sea expuesta despus de este ltimo autor (por ejemplo, la de JACOUES MARl-TAIN (1882-1973), en su obra El orden de los conceptos); ch.-toda la lgica aristotlico-tomista, que en gran medida sigue sin tomar en cuenta a BOOLE, FREGE, RUSSELL Y otros innovadores.

3 .-Lgica aristotlica: en sentido estricto, la que apa-rece en las obras del Estagirita* ,en sentido amplio, la que se basa en esas obras, sobre todo en el Organon, aunque haya sido expuesta por otras personas. La lgica enseada durante la Edad Media fue en su mayora aristotlica; inclusive la lgi-ca escolstica es de inspiracin aristot lica.

4.-Lgica estoica* (o estoico-megrica): la otra escuela importante de la Antigedad, desarrollada entre los siglos IV y 111 a. de C., sobre todo por CRISIPO (aproximadamente entre los aos 280 y 205 a. de C.).

5.-Lgica medieval: la que se ense y desarroll entre el siglo V (con BOECIO, 480 - 524/ 5 d.C.) y el siglo XV.

6.-Lgica escolstica: el redescubrimiento de AR ISTO-TELES en el siglo XI 1 hizo posible un notable florecimiento en los siglos XI 11, XIV y parte del XV, orientado hacia la teologa*. Este movimiento intelectual, intenso aunque poco original en lo que se refiere a sus principales autores, fue restaurado nuevamente en Espaa en e l siglo XV 1 y exporta-do al Nuevo Mundo justamente en un momento en que se empezaba a producir en otros pases de Europa un movimien-to original mucho ms importante, el de la Revolucin Cien-tfica. Como si una restauracin doble no bastara, de nuevo el siglo XIX se intenta, por parte de muchos autores vincula-dos a la Iglesia Catlica , una nueva restauracin. As aparece la neo-escolstica, como nuevo intento de negar el presente y volver al pasado.

7.-Lgica moderna:a veces se conoce con este nombre el perodo que se inicia en la lgica durante el Renacimiento. Otras veces, el perodo comprendido entre 800 LE y nues-

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1

tros das y para otros historiadores, el perodo que se inicia con FREGE y, en especial con su obra Begriffsschrift (1879) -traducida al espaol con el ttulo Conceptografa, que reco-ge la idea del nombre en alemn- y que llega hasta nuestros d as.

8.-Lgica contempornea: segn algunos, el perodo des-de BOOLE hasta hoy; segn otros, desde FREGE hasta nues-tros das. Incluso algunos restringen e l significado para referirse nicamente a los aos posteriores a la Segunda Guerra Mundia l.

9.-Lgica simblica, matemtica, logstica: la lgica iniciada por BOOLE, FREGE y otros y desarrollada por R USSE L L y toda una larga serie de lgicos de nuestro siglo. Las tres designaciones no son exactamente sinni-mas. Lgica simblica hace referencia nicamente al uso de smbolos especiales; incluso la lgica aristotlica puede volverse simblica con solo emplear smbolos propios. El nombre de lgica matemtica es ms expresivo, pero tiene la desventaja de significar por lo menos dos cosas bastante diferentes:

a) la lgica que ha crecido en contact o con la matemti-ca y

b) la que se aplica solo a la matemtica, como anlisis de las inferencias que se hacen en el la.

Logstica, por otra parte tiene la gran ventaja de ser un nombre sencillo y de tener un significado ms preciso: la lgica simbl ica iniciada en el siglo XI X con los autores ya mencionados y que alcanza en el siglo XX su pleno desa-rrollo. Pero tiene una notable desventaja pues el trmino logstico tiene otro significado ms frecuente y completa-mente diferente: e l arte de aprovisionar un ejrcito.

10.-Lgica formal: algunas veces se ider:rt:ifica la lgi-ca formal con los aspectos ms abstractos, axiomatizados de esta disciplina. A veces se opone a la lgica material. En este caso, la lglca material se puede entender de dos maneras :

a.- como una lgica con contenido, es decir, aplicada Y b.- como una lgica que incluye consideraciones de teora

del conocimiento.

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Otras veces la oposicin se establece entre lgica formal y dialctica y entonces se supone que la lgica tradicional y la moderna constituyen una manera de ver las cosas que ha sido superada por la filosofa de HEGEL (1770-1831). La lgica "dialctica" no es, sin embargo, una "lgica" en sentido estricto 11 .

B.- En relacin con temas o aplicaciones Aqu la diversidad es enorme y tiende a crecer. No solo

porque se habla de lgica aplicada a distintas ciencias, y as tendramos lgica de la geometra, de la biologa, etc.1 2 , sino tambin porque han aparecido ramas especiales de la lgica: lgica de la preferencia, de la decisin, cuntica, para com-putadoras, de los valores, etc. Hay que mencionar aqu algunas ramas o partes de la lgica que aparecen normal-mente en cualquier tratado de lgica: clculo proposicional, lgica de trminos o cuantificada, lgica de relaciones, lgi-ca modal, etc.

C.- En relacin con los fundamentos de un sistema particular El carcter unitario de la lgica ha desaparecido en la

medida en que han hecho su aparicin diferentes sistemas. Se puede construir una lgica, por ejemplo, que supere los 1 mites tradicionales de los dos valores {verdadero-falso) de las proposiciones, para incorporar ms de dos posibilidades. As tenemos entonces la lgica polivalente.

Se han construido sistemas lgicos que incorporan la nocin de desarrollo. As, se habla de lgicas del cambio y del desarrollo13, como posibles sistematizaciones de algo que en trminos generales podramos llamar lgica dialctica, y que se caracterizara por incluir una consideracin expl ci-ta de las oposiciones y contradicciones que se dan en el mun-do real, sobre todo en la sociedad.

A veces se habla tambin de una lgica filosfica, lo que se puede entender de tres maneras: a.- como una lgica que se mantiene apegada a la filosofa, y que no ha aceptado la orientacin reciente; b.- como una lgica aplicada a los problemas de la filosofa, del mismo modo que hay una lgica de la biologa o una lgi-ca de la fsica; c.- finalmente -y ste suele ser el significado ms usual-

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como una reflexin fil osfica sobre la lgica, por lo que coincide con la as llamada fi losofa de la lgica. El problema de la relacin entre la lgica y la realidad, es por ejemplo , uno de los temas de esta lgica filosfica.

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Apndice 1 BREVE HISTORIA

DE LA LOGICA

En Occidente, la lgica nace con ARISTOTELES (384-322 a. de C ). En Oriente aparecen algunas teoras lgicas en los siglos IV y 111 a. de C. Se citan, por ejemplo, la distincin entre uso y mencin de un trmino, que apa-rece en la India con la llamada escuela de los gramticos (siglo IV a. de C ); la distincin entre descripciones y prescripciones y los correspondientes tipos de negacin, tambin desarrollada en la India; las distintas clases de infe-rencias permitidas y una teora sobre los nombres, temas tratados por autores chinos en los siglos IV y 111 a. de C. 14

En lo que a Occidente se refiere, algunos citan a PLA-TON (428-348 a. de C., aproximadamente ) como fundador de la lgica, pero no hay suficiente fundamento para pensar as. Las principales ideas de ARISTOTELES sobre lgica se encuentran mezcladas con consideraciones de otras ndoles en 11na coleccin de obras que reciben el nombre colectivo de Organon. Son seis pequeas obras, que tratan de los siguientes temas: Categoras: trminos, expresiones y tipos de nociones ms generales. Sobre la interpretacin: las proposiciones y su propiedad de ser verdaderas o falsas, elementos de las proposiciones, clases de proposiciones. Analtica primera: el silogismo en general. Analtica posterior.~ el silogismo demostrativo, mediante el que se obtiene la ciencia. Tpicos: mtodo para opinar sin contradecirse sobre asuntos probables. Refutaciones de los sofistas: argumentos invlidos: cmo reconocerlos y evitarlos.

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El sistema lgico aristotlico se impuso sobre los dems por ms de veinte siglos, pero en la Antigedad descollaron otros autores de gran importancia. Los estoicos y megricos* son los ms notables. La escuela de Megara fue fundada por un d isc pulo de SOCRATES. Uno de los estudiantes de esta escuela, ZENON DE CITIO {aproximadamente 336-264 a. de C.) fund, a su vez, la escuela estoica. Sobresale entre estos lgicos e l nombre de CRISIPO (aproximadamente 280-205 a. de C.), quien en su tiempo fue considerado el lgico ms importante, ms an que ARISTOTELES. Tam-bin se recuerda a FILON DE MEGARA, cuya actividad ms notable se sita a lrededor del ao 300 a. de C. Lo ms importante de estos autores es el enfoque: en vez de ocupar-se de trminos y silogismos, su inters se centra en la relacin de implicacin entre proposiciones. Distinguen entre uso y mencin de un nombre y formulan leyes lgicas que encon-tramos posteriormente en el clculo proposicional. Las si-guientes nos sirven de ejemplo: si lo primero, entonces lo se-gundo; o bien, lo primero y entonces lo segundo; o b ien, no lo segundo y entonces no lo p rimero. .

Durante siglos la lgica esto ico-megrica fue preterida en favor de la aristotlica. En la Edad Media, se estudi y coment al Estagirita y se estableci un mtodo de exposi-cin y discusin que enfatiza la claridad y el rigor. Es el m-todo que utiliza, por ejemplo, TOMAS DE AQUINO (1225-1274) en su monumental Suma Teolgica, la obra ms im-portante de este perodo. El mtodo consiste en indicar razones a favor y en contra de cualquier posicin, buscando luego una conciliacin de los extremos al mismo tiempo que se defiende claramente una tesis. La Edad Media es poco original en lgica. Hay que llegar al final de la misma, al siglo XIV, para encontrar algunos nombres de prime r orden en cuanto a originalidad. Nos referimos a GUILLERMO DE OCKHAM (1295-1349), JUAN BURIDAN (muerto poco despus de 1358), ALBERTO DE SAJONIA (1316-1390) y algunos otros autores casi desconocidos en cuanto a detalles de su vida. Este pequeo grupo anticipa, a muchos siglos de distancia, algunos descubrimientos del siglo XIX.

Tenemos que dar otro salto para llegar a G O TTF R 1 E D

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WILHELM von LEIBNIZ (1646-1716), gran precursor de la lgica moderna. LEIBNIZ se propuso constD.!::.J:!!l le!lguaje artifici-L eerf~cto, que reflejase en su e_?.t_r1Jct_ura la estructura

~~ pensa__mieo_to y de-la realidad, eliminando para siempre la ambigedad, la vaguedad, torpeza y superficialidad del len-guaje ordinario. As se llegaran a superar la duda, la ignoran-cia e incluso la lucha entre religiones, fenmeno de la poca que mucho preocupaba y angustiaba a este famoso filsofo y matemtico. LEIBNIZ toma por punto de partida la idea de que las cosas son como nmeros y de que, por consiguien-te, las afirmaciones acerca de cosas complejas pueden deri-varse de afirmaciones acerca de sus elementos constitutivos simples por un proceso de combinacin anlogo al de la combinacin de nmeros. Si pudiramos descubrir los conceptos fundamentales involucrados en toda existencia posible conseguiramos derivar todas las verdades posibles.

LEIBNIZ no consigui llevar a cabo su proyecto. Es preciso llegar a l siglo XIX para encontrar e l comienzo de la nueva lgica vincu lada a la matemtica . Los libros Mathe-matical Analysis of Logic ( 184 7 ) y The Laws of Thought (1854) marcan el inicio de la nueva era, pero BOOLE no es una figura ais lada. El fi lsofo Sir WI LLIAM HAMI L TON (1788-1856) indica clarame_ni_e-!.gu11as id~~~ -~!l _ _la misma direccin: C!Jantificacin d~redicago, redlfcin di la_s proposiciones a ecuaciones. La obra de AUGUSTUS DE MORGAN, Formal Logic (1849) se hace eco de la revolu-cin iniciada. Una nueva manera de entender el lgebra hace posible que el sigQificjido d12_ !as op~aciones _matem-ticas se extienda - hast~ales_:_ a + b = b +a puede entenderse de tal manera que abarque cualquier relacin que satisfaga la ley all expresa-da (el signo "+", por ejemplo, puede significar "unido a" y entonces si a est unido a b, b est unido a a). Esto ya no "suena" a AR ISTOTE LES, pero s a BOOLE. En efec-to, el siguiente paso es igualmente matemtico en el nuevo sentido amplio del trmino: BOOLE toma como propia de la lgica la ley de que xx= x, o sea x2= x, y la inter-preta como el caso particular en que x=O o x= 1. Utili-zando smbolos_prestadgs _d _matemtica podr repre-

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s~.r los difere_ntes tipos d~_proposiciones y tas opera~iones lgicas de COl")junciri__y_ disyuncin.

Posteriormente se desea la obra de C. S. PE 1 RCE (1839-1914), con su teora desarrollada de las relaciones. Pero es sobre todo GOTTLOB FREGE (1848-1925) qu ien lleva a feliz trmino la primera poca de la nueva lgica . En su Begriffsschrift (1879) aparecen los grandes pi lares ~~riemacin moc:l~.rria : e.Lc.lcJ.Jl propo~ciona l veri-tatl_yo-funcional*, el anlisis de la proposicin en trminos de funcin y argumento, la teora de la cuantificacin , la defi -nicin lgica de la nocin de secuencia matemtica, etc. En las otras obras importantes de F B EGE,_ !,..cs_J undamen-tos de la_ar:itmtic"J 1884) a.Lleye~ fundamentales de la aritmtica ( 1893-1903) se intenta fundamentar la aritmtica derivndola de la lgica; lo mismo tratan de hacer, en relacin con toda la matemtica, A.N. WHITE HEAD (1861-1947) y BERTRAND RUSSELL (1872-1970) en su obra conjunta PRINCIP IA MATHEMATICA (1910-1 913), que marca toda una poca.

Una tendencia fi losfica, la llamada analtica,_ tQma la_l.Qg}ca ;-u;~a COlJl.O. instrument o_ de _trabajo fil osfi co y como i_!}~pirac in en cuanto a mtodo.. Los aos si-guientes ven aparecer figuras de primer orden: GOEDEL, TARSKI, OUI NE, CARNAP, etc., y gran nmero de obras lgicas, tan abundantes como origina les.

Ejercicios: 13.- Comentar la siguiente frase de BERTRAND RUSSELL:

"La lgica, en vez de ser como antes un obstculo a las po-sibilidades, se ha convertido en la gran liberadora de la ima-ginacin, presentando innumerables alternativas que se en-cuentran ocultas al sentido co'!ln no reflexivo" 1 5

VOCABULARIO

-Abstracto: consideracin en la que se prescinde de las cosas o hechos particu lares, y en la que, por lo tanto, se aisla o

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1

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separa el asunto de que se trata. Lo contrario de abstracto es concreto. Mientras las teoras, por ejemplo, son abstractas, los hechos y los seres particulares son concretos. Ud., esti-mado lector, es concreto; la idea de humanidad , en cambio, es abstracta. -Anl isis: distincin y separacin de las partes de un todo. Procedimiento por el que se resuelve un problema d istin-guiendo, primero, las distintas partes de que se compone para luego pasar a solucionar lo relacionado con cada parte; al final se hace una reconstruccin del asunto colocando juntas de nuevo todas las partes. -Axiolgico: relacionado con los valores, es decir, con aquello que se estima va lioso y se aprecia. Una lgica axiolgica, por tanto, es un sist ema lgico referido a va lores. -Axiomat izacin: proceso de deducir a partir de axiomas, es decir, a partir de pri ncipios que no se prueban dentro del sistema en cuesti n, puesto que justamente todo lo dems se prueba a partir de e llos. La lgica y la matemtica son los campos del conocimiento en los que con ms xito se ha apli cado la axiomati zacin . -Dentico: lo relacionado con los deberes. Una lgica den-ti ca es, pues, un sistema lgico a pl icado a deberes. -Emprico: (del griego empeira, experiencia) : lo relacionado con los hechos que ocurren en e l mundo tal como ste existe, con toda su riqueza, variedad y cambio. Este trmino suele emplearse para d istinguir entre lo q ue de hecho se da y lo que se afirma necesariamente a partir de algu na definicin o axio-ma. Que los solteros sean no-casados no es un hecho emp ri-co, sino necesario, pues eso significa el trmino "soltero" ; pero que la cantidad de solteros en una ciudad como San Jos sea alto o bajo en proporcin con el resto de la poblacin, s es un hecho emprico, que slo con estadsticas se puede co-nocer.

-Estagirita: nombre que se da a AR ISTOTE LES, debido a su lugar de origen, Estagira en Macedon ia. -Estoicos: escuela filosfica fundada por ZENON DE CITIO (siglos IV-111 a. de C.), nacido en Chipre, y cuya influencia fue muy grande entre griegos y romanos. En lgica, los estoicos son muy notables porque se preocuparon de las

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proposiciones (y no de los trminos) y de reglas de inferencia -Megricos: escuela filosfica griega fundada alrededor del ao 400 a. de C. por EUCLIDES DE MEGARA, discpulo de SOCRATES. Los megricos tenan gran aficin por la lgica y descubrieron las leyes del condicional. DIODORO CRONO Y EUBULIDES son dos de sus principales lgicos. -Metafsica: para ARISTOTELES y los escolsticos, la parte ms abstracta e importante de la filosofa, que trata del ser en cuanto ser. Para otros autores, el estudio de las nociones o categoras ms abstractas. -Mtodo: camino que se debe seguir para obtener algn re-sultado deseado. -Renacimiento: perodo histrico que se inicia en el siglo XV en algunas ciudades de Italia y que se caracteriza por un retorno a valores despreciados en la Edad Media. El arte, la literatura y la ciencia florecen en esta poca. -Smbolo: a veces se identifica con signo; otras veces se entiende como el signo convencional o no natural. Mientras el humo sera signo del fuego, la palabra "fuego", en cambio, sera en espaol el smbolo para dicha realidad fsica. -Tecnologa: conjunto de teoras, aparatos y acciones o acti-vidades destinados a satisfacer necesidades del ser humano mediante la utilizacin de la ciencia. -Teologa: estudio sistematizado y racional izado de las creencias de fe, en la medida en que dichas creencias son aceptadas por quien las considera, utilizando para el lo recur-sos de la razn. Mientras la religin es espontnea, la teolo-ga es el resultado de un esfuerzo de deduccin. -Teora: en cuanto opuesto a accin, sera la consideracin intelectual, abstracta, de algn hecho.

En cuanto opuesto a otros elementos de la ciencia (hip-tesis, leyes, etc) la teora sera el esfuerzo por explicar un campo de la realidad y "terico'.' sera el adjetivo correspon-diente. -Tergiversar: deformar, alterar los hechos o las afirmaciones. -Veritativo -funcional: referente a los dos valores (verdad-

\ fafsedad) de las proposiciones y a lo que ocurre cuando se asignan alternativamente estos dos valores a las variables o / constantes de un clculo. \.

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1

VOCABULARIO EN CONTEXTO

-Analtico-sinttico ("Las ciencias formales son analticas (en la terminologa kantiana), mientras las fcticas incluyen proposiciones sintticas".): mientras las proposiciones ana-lticas son aquellas en las que el predicado est contenido en el sujeto, por ser parte del significado de ste, las sint-ticas son aquel las en las que el predicado no se contiene en el sujeto y, por tanto, es necesario descubrirlo emprica-mente. Las ciencias formales son deductivas, a partir de axiomas cuya significacin determina la cadena de razona-mientos que se siguen. Las ciencias fcticas, en cambio, presuponen un contacto constante con la realidad. -Frivolidad ("se preocupan ms por estas aplicaciones de la lgica que por los juegos axiomticos en los que se encuen-tran a menudo muestras de una frivolidad puramente for-mal"): "frivolidad" es un trmino que hace referencia a superficialidad, falta de seriedad, despreocupacin. En el contexto se dice que a veces la axiomatizacin se vuelve un ejercicio vaco, despreocupado, carente de profundidad. -Instrumento ("se puede considerar til la frecuente afirma-cin de que la lgica es un instrumento para las ciencias"): la palabra "instrumento" nos trae a la mente utensilios, herra-mientas, aparatos, mquinas y otras muchas cosas que tienen en comn el servir de medios para obtener ciertas funciones o resultados que se desean. Aqu no hablamos de cosas fsicas, como las mquinas, sino de instrumentos intelectuales: len-guaje, smbolos, axiomas, teoremas, pruebas, reglas de infe-rencia, etc. El resultado apetecido es obtener razonamientos vlidos. -Lenguaje ("ni menos an comunicarnos, sin algn tipo de lenguaje"): usamos aqu "lenguaje" como un conjunto de smbolos, seales y signos que se han establecido siguien-do normas de combinacin socialmente aceptadas e intersub-jetivamente comprendidas. -Objeto propio ("la lgica se caracteriza por tener que ver con la inferencia como su objeto propio''): la inferencia es el aspecto, tema o asunto que la lgica estudia y que ninguna otra actividad humana considera del mismo modo. As

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como los seres vivos son el objeto propio de la biologa, la inferencia lo es de la lgica. -Relacin mecnica ("No hay una relacin mecnica entre el desarrollo de la ciencia y el de la lgica"): aqu se habla de una relacin inmediata, lineal, constante, sin excepciones, simultnea, y se dice que no se da. De hecho el desarrollo de la lgica y el de la ciencia no coinciden, pues se han dado pocas de gran desarrollo de las ciencias sin un desarrollo paralelo de la lgica. -Trascender ("Las caractersticas de un lenguaje natural pue-den condicionar las teoras lgicas cuando stas se formulan de modo que no trascienden dicho lenguaje"): trascender es ir ms all de cierto 1 mite. La frase mencionada se refiere a las limitaciones de los lenguajes naturales; si no se va ms all de los lmites del lenguaje natural, la lgica que se desa-rrolle estar condicionada por las caractersticas de dicho lenguaje y, puede, por tanto, resultar pobre e inexacta.

RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFICAS

La bibliografa en espaol es tan abundante que cualquier reco-mendacin es, necesariamente, limitada. Incluimos algunas obras en ingls. cuando son particularmente importantes y no conocemos versin en espaol.

Para Ja nocin de lgica: Ferrater Mora, Jos. Qu es la lgica. 3 ed. Buenos Aires: Edicio-

nes Columba, 1965, pp. 2-10 y 16-20. Mates, Benson. Lgica matemtica elemental. Madrid: Tecnos,

1970, cap. l. Quine, W. El sentido de la nueva lgica. Buenos Aires: Ed.

Nueva Visin, 1971, pp. 6-9. Strawson, P.F. Introduccin a una teora de lgica. Buenos

Aires: Ed. Nova, 1969, cap. l. Para ln relacin entre lgica y filosofa:

Langer, Susanne K. Introduccin a la lgica simblica. 4 ed. Mxico: Siglo XXI, 197 5, pp. 281 ss.

Para la relacin entre lgica y ciencias: Quine, W. op. cit., p . 1 O.

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f 1

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1

-

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Cohen, Norris Introduccin a la lgica. M6xico: Breviarios del fondo de Cultura Econmica, 1970, prefacio y cap. I.

Para la relacin entre lgica y matemtica: Ferrater Mora, Jos. op.cit., p. 16 Passmore, John. One Hundred Years of Philosophy Londres:

Penguin Books, 1972. caps. 6,7 y 12. Para la relacin entre lgica y semitica:

Deao, Alfredo. Introduccin a la lgica formal. Madrid: Alian-za Universidad. Textos, 1978. pp. 23-28.

Para el tema la lgica y las lgicas: Haack, Susan. Lgica divergente. Madrid: Paraninfo, 1980, sobre

todo caps. 1 y 3. Lukasiewicz, Jan. Estudios de lgica y filosofa. Madrid: Biblio-

teca de la Revista de Occidente, 1975. Para el Apndice histrico:

Bochenski, I.M. Historia de la lgica formal. Madrid: Ed . Gredas, 1966.

Hasenjaeger, G. Conceptos y problemas de la lgica. moderna. Barcelona: Labor, 1968, cap. l.

Kneale, W.M. El desarrollo de la lgica. Madrid: Tecnos, 1972. Mates, Benson op.cit. cit., cap. 12. Quine, W. op.cit., Introduccin.

NOTAS:

2 R. Carnap. lntroduction to Symbolic Logic 1nd its Applications . Nueva York: Dover Publications, 1958, p. 1.

3 G. Boole. An lnvestig1tion of the Laws of Thought on which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilitis. Nueva York: Dover Publi-cations lnc., 1958. Ch . 1, No. 1. p. 1. Para ms comodidad nos referimos usua-mente a esta obra con el nombre abreviado de The L1ws of Thought. (Las leyes del pensamiento).

4. Relacionado con ello, se puede citar una idea frecuente entre los escols ticos: se trata de la distincin entre cuatro rdenes, que sirve para aclarar la dis-tincin entre ciencia, arte, lgica y tica. Tendramos segn ellos:

-Un orden dado en la naturaleza, que se descubre mediante la investiga-cin y se recoge en la ciencia.

-Un orden que el ser humano establece en el mundo mediante su activi-dad, y que se manifiesta en obras externas. Este es el orden de la tcnica, que en el sentido aqu expresado incluye tambin el irte.

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-Un orden que se debe establecer en conceptos e ideas de la mente, orden propio de la lgica.

-Un cuarto y ltimo orden que se establece en los actos del ser humano en cuanto que stos perfeccionan al sujeto. A este orden se refiere la tica.

5 Vicente Fatone. Lgica e introduccin a la filosofa. Buenos Aires: Ed. Kapelusz, 1951. p. 3.

6 Alfredo Deao. Introduccin a la lgica formal. Madrid: Alian7a Universi-dad. Textos, 1978, pp. 15-16.

7 Vase, por ejemplo, la obra de Bunge La investigacin cientfica: su estra tegia y su filosofa. Trad. castellana de Manuel Sacristn 5 ed. Bafcelona: Ariel, 1976, pp. 38 SS.

8 Este ensayo de Richard Dedekind est incluido en el volumen Essays on the Theory of Numbers. Nueva York: Dover Publications, 1963.

9 Suma teolgica, 1, 44, 1 ad 3

10 Jos Ferrater Mora.Qu es la lgica. 3 ed. Buenos Aires: Ed. Columba, 1965, p. 16.

11 Cf. Luis A. Camacho "Lgica" dialctica y lgica "formal": hacia una precisin mayor en trminos, conceptos y mtodos" en Revista de Filosofa de la Universidad de Costa Rica, V. 16 (44) : 153-157, julio-diciembre 1978.

12 Vase R. Carnap. op. cit . captu los F. G y H. Ya en el siglo XIX encon-tramos algo parecido: Alejandro Bain, Lgica aplicada, traducida por Alfonso Ordax. (Madrid: Imprenta de Diego Pacheco, 1884) con captu los titulados " Lgica de la qumica", "Lgica de la Biologa", etc.

13 Sobresalen los trabajos de Franco Spissani y Bogdan Cecic en gran varie-dad de artculos publicados en la lnternational Review of Logic. Vase Luis A. Camacho "Lgica del cambio-desarrollo y clculo proposicional : anlisis y com-paraciones" en Revista de Filosofa de la Universidad de Costa Rica, v. 17 (45): 49-55, enero-junio 1979.

14 Para las referencias a lgica oriental se han consultado, ante todo, los artculos de J.F . Staal y A.C. Graham en The Encyclopedia of Philosophy, edi-tada por Paul Edwards. Nueva York Macmillan Publishing, vol.3-4, pp. 520-525.

15 Bertrand Russell. An Outline of Philosophy. New York : Meridian Books, 1961. p. 303 (Traduccin del autor)

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Parte primera

ASPECTOS LOGICOS DEL LENGUA...JE ORDINARIO

EN LENGUA..JE ORDINARIO

~-'"' .

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Captulo 1

RAZONAMIENTO, PENSAMIENTO, LENGUA..JE Y DEDUCCION

ALGUNAS NOCIONES BASICAS La lgica tiene que ver con razonamientos, los que a su

vez nos remiten a la nocin de deduccin. Si bien es posible razonar y deducir en el silencio de una actividad intelectual individual y aislaca, la manera normal de detectar la presencia de razonamientos es por medio del lenguaje. Estas nociones, por consiguiente, estn ntimamente entrelazadas.

Cuando hablamos de lenguaje podemos referirnos a lenguajes naturales, recibidos de nuestros padres, aprendidos desde nios, tales como el espaol, el ingts, el chino, etc. O podemos mencionar lenguajes artificiales, que se pueden defi-nir como conjuntos de smbolos creados con propsitos especficos. Ta l es el caso del lenguaje de la matemtica, de la qumica, de los numerosos lenguajes de computacin, etc. Todos ellos intentan ser mucho ms precisos que los lenguajes naturales y han sido inventados teniendo en mente algn uso particular. Presuponen la existencia de lenguajes natura-les y son el instrumento de que se sirven los especialistas.

Tanto los lenguajes naturales como los artificiales siguen reglas que determinan si una frase est bien hecha o no En espaol la siguiente frase sigue las normas de la gramtica:

A.-Los campos se visten de verde. En matemtica la siguiente expresin es correcta, segn

las leyes de dicho lenguaje especfico: B. - a2 - b2 =, (a + b) (a - b) Volvamos a la primera frase. Se trata de una frase con

cierto aspecto potico, inteligible, que se puede completar con la siguiente aclaracin:

C.-Los campos se visten de verde despus de las prime-ras lluvias.

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Esta frase es verdadera cuando estamos hablando de ciertas regiones del globo. Es una frase descriptiva y no hay en ella una deduccin. Veamos, en cambio, lo siguiente:

Ch.-Los campos se visten de verde despus de las pri-meras lluvias.

Han cado ya las primeras lluvias. Por consiguiente, los campos se han vestido ya de verde. Lo anterior es un razonamiento. Contiene premisas y

conclusin. El paso de las premisas a la conclusin es un acto de deduccin, una inferencia deductiva. Mientras las frases A y C no son objeto de la lgica, el proceso ejempfif icado en Ch, en cambio, es el tema central de la lgica: la relacin de inferencia.

Podemos ahora intentar algunas definiciones provisiona-les de los trminos mencionados:

Razonamiento: operacin mediante la que combinamos varias proposiciones (tambin llamadas "enunciados" por al-gunos autores) para obtener otra.

Deduccin: proceso mediante el que, a partir de una o ms proposiciones, obtenemos otra.

Premisas: proposiciones a partir de las que obtenemos una conclusin.

Conclusin: proposicin que se obtiene a partir de otras proposiciones llamadas premisas.

Volvamos al primer trmino, razonamiento, para definir-lo de la siguiente manera: un razonamiento es un conjunto de proposiciones tales que, a partir de una o ms, llamadas pre-misas, obtenemos otra proposicin llamada conclusin.

y qu son las proposiciones? Quienes escriben sobre lgica emplean dos maneras de definir lo que es una proposi-cin. Es frecuente, por un lado, decir que la proposicin es el sentido o significado de una oracin, y que la oracin es un conjunto de trminos con significado dentro de un lengua-je determinado. As tendramos que la oracin "Hace fro" es una oracin en espaol, pues es una combinacin de tr-minos con significado. Precisamente ese mismo significado se conserva en las siguientes oraciones, que corresponden a otros tantos lenguajes naturales:

lt is co/d

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// fait froid Es ist kalt Tendramos as varias oraciones, pero una misma propo-

sicin. La lgica se interesa por las proposociones y no por las oraciones. A veces se dice tambin que la proposicin es el pensamiento expresado en una oracin, y segn eso, las ante-riores oraciones diferentes expresan sin embargo un mismo pensamiento.

Por otra parte, algunos autores no hacen la distincin entre oracin y proposicin y consideran que podemos pres-cindir de las proposiciones, o por lo menos identificar las pro-posiciones con las oraciones. De esta manera simplificara-mos el lenguaje de la lgica. Lo que definira a las oraciones y a las proposiciones es la capacidad que tienen de ser verda-deras o falsas, propiedad que a su vez es de inters para la lgica. Cualquiera de las oraciones antes mencionadas sera verdadera si se renen ciertas condiciones meteorolgi-cas y falsa si eso no ocurre.

En las controversias se pide a los autores que tomen bando, y el autor de este libro considera que la distincin entre proposicin y oracin es til, por lo que aqu vamos a conservarla.

La nocin de verdad y falsedad exige una explicacin detallada, puesto que las proposiciones y oraciones, que nos interesan en lgica, tienen esa propiedad. Al hablar de ver-dad-falsedad tenemos que establecer distinciones entre los ni-veles de propiedades. Cuando decimos el rbol es alto, aplicamos el predicado "alto" a un ser que existe en la natu-raleza, en este caso el rbol. "Alto" es, pues, una propiedad. Podemos apreciar si el rbol es alto o no usando los sentidos y quiz, algn instrumento para medir. Este libro pesa mucho es otro ejemplo de lo mismo. La mayor parte de las afirmaciones que hacen las ciencias son de este tipo. Se hacen en ellas afirmaciones acerca de seres vivos, o de par-tculas subatmicas, o de planetas. Se nos dice que tal o cual estrella se encuentra a cierta distancia de nosotros. En sociologa se nos habla de la interaccin de grupos humanos. En todos estos casos tenemos afirmaciones directamente relacionadas o que se pueden relacionar de algn modo con

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cosas, personas, animales o grupos de cosas, personas o an i-males.

No todas las propiedades son de este tipo. Cuando deci-mos, por ejemplo Es verdad que en octubre en Costa Rica llueve mucho no podemos analizar la propiedad "verdad" o "verdadero" como si fuera igual a " alto" o "rojo". Las cosas son altas o bajas, grandes o pequeas y de diversos co-lores. Pero las cosas en s mismas no son ni verdaderas ni falsas; simplemente son. Nunca encontramos algo en la naturaleza de lo que podamos decir, al verlo, "e.sto es ver-dadero'.'. Vemos perros grandes y pequeos, gordos y flacos, limpios y sucios, pero nunca vemos perros verdaderos y perros falsos . Cuando hablamos de documentos elaborados por los seres humanos, tales como cheques de bancos o es-crituras de propiedades, s les aplica mos el calificativo de "verdadero" o "falso" segn haya o no fondos que respalden los cheques y segn sea el ttulo de propiedad en el caso de escrituras. Esto mismo nos indica que la propiedad de ser verdadero o fa lso tiene que ver con el lenguaje humano y con los productos del lenguaje, como es el caso de docu-mentos escritos. De ah que podamos establecer el siguien-te principio: la propiedad de ser verdadero o falso se aplica a nuestras afirmaciones acerca de cosas, animales o per-sonas, pero no directamente a esas cosas, animales o per-sonas. Para explicar este principio comparemos las dos proposiciones siguientes:

A.-Costa Rica tiene ms de dos millones de habitantes. 8.-Es verdad que Costa Rica tiene ms de dos millones

de habitantes. ~~ientras en A estamos hablando de Costa Rica, en B,

en cambio, estamos hablando acerca de la afirmacin conte-nida en A. Nos encontramos, pues, en otro nivel, en el nivel del conocimiento que se vuelve reflexivo. En lgica no hablamos de propiedades de cosas, animales o personas, sino de propiedades de proposiciones que expresan el cono-cimiento que tenemos acerca de cosas, animales o personas. El conocimiento se expresa normalmente -aunque quiz no siempre- por medio del lenguaje hablado o escrito; de ah que relacionemos estrechamente la lgica con el

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lenguaje. Decimos que algo es "lgico" cuando lo podemos relacionar con una inferencia, es decir, con un razonamiento. Propiamente hablando, los razonamientos son vlidos o invlidos y cuando queremos referirnos a un razonamiento vl ido decimos que es lgico. Las teoras que sirven para expiicar el mundo que nos rodea suelen ser razonamientos muy complejos. Cuando las cosas ocu rren de acuerdo con lo esperado en la teora, decimos entonces que es lgico que ocurran as . Pero las cosas en s mismas no son lgicas ni ilgicas; simplemente son.

Tampoco pod r amos decir que los an imales sean lgicos . En cambio, en cierto sentido decimos que las per-sonas son lgicas o no , en la med ida en que sus comporta-mientos y pensamientos reflejan inferencias bien hechas. Sin embargo, hay una enorme d iferencia entre la propiedad de ser "lgica" cuando se dice de una persona y las otras pro-piedades que podramos llamar "naturales" en el sentido de que son directamente perceptibles. Cuando decimos que una pe rsona es gorda lo que afirma mos se puede constatar f si : amente, utilizando por ejem plo una ba lanza. Cuando decimos que una persona es blanca o negra lo podemos constatar mediante el uso de los sent idos. Son propiedades fsicamente perceptibles . La gordura de una persona aparece tambin en las fotos que se tomen de ella, y se podr aprecia r incluso en un retrato fiel que hiciera un pintor realista . El carcter de ser "lgico", en cambio, no se refiere fsicamente a la persona en cuanto tal; no lo vemos directamente con los ojos; no aparece en una fotografa. Tenemos que hacer refe-rencia a inferencias, a razonamientos hechos por alguien para poder decir de esa persona que es lgica.

Hasta ahora hemos visto dos niveles: el de afirmaciones acerca de cosas, animales y personas, y el de afirmaciones o enunciados acerca de esas primeras afirmaciones. Puede ha-ber, por supuesto ~ otros niveles. El tercer nivel sera el de las afirmaciones o enunciados que se hagan sobre los enunciados que a su vez se refieren a las afirmaciones sobre cosas, anima-les y personas. Esto suena a trabalenguas, por lo que un ejemplo nos ayudar.

Primer nivel: Los gatos comen carne.

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Segundo nivel: 'Los gatos comen carne' es verdadero. Tercer nivel: La proposicin "'los gatos comen carne' es

verdadero" interesa a la lgica. En cada nivel hemos incf u ido entre comillas el nivel

anterior, para indicar que un nivel se refiere al anterior. Podramos seguir creando niveles, posiblemente hasta el infinito.

Es muy importante establecer una clara distincin entre verdad o falsedad, por un fado, y validez e invalidez po r otro. La verdad o falsedad es una propiedad-de las pro-posiciones, segn se ajusten o no a los hechos.

La proposicin Los campos se visten de verde despus de los primeros aguaceros ser verdadera si, una vez cados los prime ros aguaceros vemos que el campo deja de tener un aspecto amarillento y adquiere el color verde. Si esto no ocu-rre, la proposicin es falsa.

Por otra parte, podemos formar razonamientos con pro-posiciones falsas v, sin embargo, obtener una deduccin vli-da. Por ejemplo:

Todos los animales de sangre caliente son mam feros. Todas las araas son animales de sangre caliente. Por tanto, todas las araas son mamferos.

En e l ejemplo anterior las tres proposiciones son falsas. Estn combinadas de tal manera, sin embargo, que la conclu-sin se sigue de las premisas. Si se aceptan como verdaderas las premisas, hay que aceptar tambin como verdadera la conclusin .

Las posibilidades de combinacin de premisas y conclu-sin desde el punto de vista de la verdad o falsedad son muchas. Lo importante en este momento es distinguir entre validez e invalidez por un lado y verdad o falsedad por otro. La constatacin o comprobacin de la verdad o falsedad de las proposiciones no es un asunto de la lgica, sino ms bien de las ciencias particulares. La validez de los razonamientos es, en cambio, tema propio de la lgica. :

Hay dos tipos de proposiciones .que nos interesan de un modo especial aqu. Se trata de las tautologas, o propo-siciones tautolgicas, y las contradicciones, o proposiciones contradictorias. Para explicar mejor estas nociones introdu-54

1 1

1 1

ciremos simultneamente otras que se relacionan entre s y con las primeras. De este modo, veremos en conjunto los siguientes trminos: necesariamente verdadero, necesariamen-te falso, lgicamente verdadero, lgicamente falso, proposi-ciones tautolgicas, contradictorias y contingentes, proposi-ciones a priori y a posteriori, analticas y sintticas

Empecemos por esta ltima distincin entre analticas y sintticas. Sea (p) una proposicin cualqu iera que conste de sujeto (S) y predicado (P). Incluimos dentro de (P) el ver-bo que aparezca en la proposicin, cualquiera qu~ ste sea. Establecemos entonces la siguiente relacin: p es analtica cuando la definicin de sujeto contiene al predicado de esa proposicin. Dicho de otro modo, cuando el predicado est contenido en el sujeto. Un anlisis del sujeto revela al predicado; basta con conocer el significado del trmino que hace de sujeto para obtener el o los trminos del predicado. Veamos los siguientes ejemplos:

-Un soltero es un hombre no casado -El unicornio es un animal parecido