Alg~b

1. tey de ponentes

Sa 0

2. I '\

Sia

(ab)• =a"'il",

a"' m - n

-=a ' a•

(a"' )" = a"'",

divisi6nenrre cero no esta definida.

0 - = 0, a

0 = I. 0" = 0 a

a"''" = ra;;;

Para cualquter m1mcro a: a · 0 = 0 · a = 0

3. Quebrados

a c ac a fb a d -a 'a a

b. d = bd' -= - · -cfd b c b = - b = -b''

4. El teorema del binomio Para cualquier enteron p()Silivo.

n (n - I) n(n - l )(n - 2) (a+ b)"= a"+ na"- 1b + a"-2b2 + a"-3b3 +·· · +nab"- ' + b".

l • 2 I · 2 · 3

5. Diferencia de potencias enteras iguales, n > 1

a" - b" = (a- b)(an- l + a"-2b + a"- 3b 2 + · · · + ab"- 2 + b"- 1)

Por eJemplo.

a2 - b2 = (a - b)(a +b).

a3- b;, = (a - b)(a2 + ab + b2

),

a 4- b4 = (a - b)(a 3 + a 2b + ab2 + b3

).

6. Completando el cuadrado Si a # 0.

ax2 + bx + c = a (x2 + ~x) + c

7 La f6rmula cuadratica

(

A b b2 ) ( b2 ) = a x" + - x + - . +a -- + c a 4a2 4a2

b2 c--

4a -Llame a cs1a parte C.

(u = x + (b/ 2a))

Sia#O.

ax2 + bx +c = 0

-b ± .Jb2 - 4ac x = 2a

1. Triangulo

A = lbh 2

4. Paralelogramo

b

A== bh

Geometria

(!\ = area. B = area de Ia base. C = circunfcrencia, S - area lateral o area

superficial, V = volumen)

2. Triangulos semej_pntes

5. Trapezoide

a

I i· ~ b

A = l (a+ b)h 2

3. Teorema de Pitagoras

a

6. Circulo

7. Cualquiel' cilindro o prisma con bases paralelas 8. Cilindro circular recto

T h

1 V =Bh

9. Cualquier cono o piramide

V= l Bh 3

T h

1

10. Cono circular recto 11. Esfera

l h

j_

PRENTICE

HALL

ga. EDICI6N

calculo varias variables

George B. Thomas, Jr.

Massachusetts Institute of Technology

Ross L. Finney

Co.n la colaboraci6n de

Maurice D. Weir Naval Postgraduate School

TRADUCCION:

REVISION TECNICA:

PEARSON -

lng. Jose de Ia Cera Alonso

Profesor titular Universidad Aut6noma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, Mexico

Javier Paez Cardenas Doctor en Ciencias Facultad de Ciencias Universidad Nacional Aut6noma de Mexico

Addison

Lo Wesley

ngman

MEXICO • ARGENTINA • BOLIVIA • BRASIL • COLOMBIA • COSlJ\ RICA • CHILE • ECUADOR

EL SALVADOR • ESPANA • G.UA1"E.MALA • HONDURAS • NTCARAGUA • PANAMA

PARAGUAY • PERU • PliERTO RlCO • REPUBLICA DOMTNlCANA• URUGUAY • VENEZUeLA

AMSTF:RllAM · HARLOW • MT.Al\11• MUNICH • NIJF.VA UCLHI• ME.NLO PAR K • NUEV,\ JeRSEY

NlTF.VA YORK • ONTARIO • PARiS · SINGAl'UR • SYDNEY • TOKIO • TORON'lU • ZUUCH

Datos de catalogaci()n hihliognilica

THOMAS, ,JR. GEORGE B.

CalcuJo varias variables, 9a. cdici6n

Addison Wesley Longman de Mexico, S.A. de C.V.

Mexico. 1<!99

ISBN: 968-444-344-7 Area: Universitarios

Formato: 21 x 25.5 ems Paginas: 504

~crsi6 n en cspafiol de Ia ohra titulada Calculustmd Analvtic Geomelry. Nimh Edition, de George fl. T h oma~ . Jr. y Ross L. Finney. publicada originalmeme en ingles

10r Addison-Wesley Publishing Company. Inc.,

~ea di n g, Massachusetts, E.U. A.

:Sta cdici6n en cspailol es Ia Liuica autorizada.

Jriginal English language tiJ/e by

\ddison Wesley Longman, lnc.

:opyright © 1996

'JJ Rights Reserved

.S.BN 0-201-53174-7

;:did6n en espaiiol:

:.ditDr. Guillermo Trujano Mcndo'.a

~deTroducci6n: L.orena Pomones Durand

~de Producci6n: Alejandro A. Gomez Ruiz

:.dic:i6nenina~:

~ i:ditor. La u ri e R ~too ~ ~em Editor. Mariann~ Le.pp llawging £ditor: Karen Guardino ~r Mar~ring M<mager: An d ~w f.isb~r

'do.rketing CoorriimJtar: Benjam)·n Ri vera

In Buyer. Joseph Vetere ln &#tors: SU.SIUI Lo1ldon-Payne, Conoie I Juh-:c:

ra:t Dtsfng: .M.anha Podrcn. Podrcn Design: Gt:ri Davis, Quadrata, Inc.

A< aDding: Marshall Henrichs 'AreTP/ww; John U10dfrooy Stone World wid<:

ri!cluUaaJ lllu.ttration: Tech Ciraphic:::

:reditos de fotogmfias:

"<i8inas 722. 875 y 1'199: PSSC Physics 2/c, 1965, D.C. Heath & Co., con Educ,ll.inn DevCk>prncnL Center, Inc., r>agina 872: ©Susan Van Etten, AP/Wide World

•bolos, Inc., ptfgirw 889: © 1994 NelsonL. Max, Uoiven;ity of California/Biological Photo Service., Grafiq por Alfred Gray: ptigim1 938: ND Roger-Viollct: p6gi11o

W68: NASNjet Propulsion L11boratory

'<OVEN A ED! CION. 1999

:>.R. © 1999 por AddiS()n Wesley l.o ngm~ n de Mexico. S./1. de C. V.

Calle 4 Num. 25-2do. pi so

Frace. Industrial Alee Blanco

53370 Nauca1pao de Juarez. Edo. de Mexico

::amara Nacional de Ia Industria Editorial Mexjcana Reg. Nli111. 1031.

~escrva dos Lodos lo ~ dcrccho:\: Ni Ia Lotalidac.l ni part" de csta pub li cadt~ n puedcn rcpr()(]udrsc, regisrrarsc o transmltin;e, por un sistema de recuperaci6u de

nfonnaci6n. en ninguna forma ni por ningun medio. sea electr6nico. rnecanico, fotoqufmico. magnetico oelectro6ptico, par fotocopia. grabaci6n o cuaJquicr otro,

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~I prestamo, alquilcr o cualquier mra forma de ccsi6n de uso de estceJcmplar rcqucrira cambi.!n Ia autorizacl6n del editor ode. sus representames.

[SR N 968-444-344· 7

~u p r eso e.n.Mex'ico. Primed int'r!exim.

1234567890 . 0:>0201 0099

'J {-.j . I:;-.

[3~bL

r~) c, , 15

Secciones

c6nicas, curvas

parametricas y

coordenadas

pol ares

Vectores y

geotnetria

analitica en el

espacio

Funciones de

valores vectoriales

y movimiento en

el espacio

indice general

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5 9.6

9.7

9.8 9.9

10.1 10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

11 .1

11.2

11.3

11.4

11.5

Secciones c6nicas y ecuaciones cuadraticas 709

Clasiflcaei6n de las seeciones c6nicas por excentdcidad 723

& uaciones cuadraticas y rotacione.s 728

Parametrizaci6n de curvas planas 734

Calculo con eurvas parametrizadas 744

Coordenadas polares 75.1

Graticas en coordenadas polares 75.6

Ecuaciones polares para.secciones c6nicas 764

lntegracion en coonle.nadas polares 770

f>REGtiNTAS PARA GUIAR·SU REPASO 777 EJERCJCTOS DE PRACTTCA 778

EJERCICIOS ADICIONA LES. Tl:iORiA. E.JbMI'LOS Y APLICACIONES 783

Vectores en el plano 787 CQordenadas ca.rtesianas (rectangulares.) y vectores en el espacio 795

Productos punta 806

Producto cruz 815

Rectas y pianos en el espaci6 822

Cilindros y superficies cuadrieas 829

Coordenadas cilindricas y esfericas 841

PREGCNTAS PARA GUlAR SU REI~<\SO 847 EJERCTCTOS DE PRACTICA 848

E.tERCICIOS AD ICIONALF.S. TEORiA, EJEMPLOS Y ·AI'LICACIONGS 851

hmciones de valores vectodales y cm·vas en el espacio 855

Modelado dc.lmovimicnto de un proyectil 86iS

Longitud de. arco y el vector tatigente unitado T 876

Curvatura, torsion y el sistema de referenda TNB i58 1

Movimi.ento planetario y ~atelites 893

PREGUNTAS PAR'.'\ GUlAR SU REPASO 902 EJERC IC IOS DE I'RAC'nCA 902

EJERCJCJOS i\.DJCIOI\1\LES. TF:ORiA , EJ EMI'I.()S y AI'LI CACIOKES 905

278770 v

vi lndice general

Funciones de

multiples

variables y

derivadas

parciales

Integrates

multiples

lntegraci6n en

campos

vectoriales

12.1 12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

Funcioncs de varias variables 909 Lfmites y continuidad 9'1 7

Derivadas parciales 924

Difereneiabilidad. linealizaei6n y diferencialcs 933

La regia de Ia cadena 944

Derivadas parcialcs con variables restringidas 952

Derivadas di reccionalcs, vectores gradiente y pianos tangentes 957

Valorcs extremes y puntos sil lti 970 Multiplicadorcs de Lagrange 9H9

Formula de Taylor 989

PRE<illf\TAS PARA GUlAR S U REPASO 993 E.JER<.:ICIOS DE PRACTICA 994

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6 13.7

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

EJERCICIOS ADICIONAL.F.S. T F.ORfA. EJE\1PLOS Y API.ICACIONES 998

lntcgrales clobles 1001

Areas. momcntos y centros de masa I 012

Integrates dobles en forma polar 1020

Integrates triples en coordenadas rcctangulares 1026

Masas y momentos en tres dimensiones 1034

Integrales triples en coordcnadas cilfndricas y esfcricas 1039

Sust.ituciones en integrales multiples 1048

PREGLINTAS PA RA GUlAR su REf'ASO 1055 EJERCICIOS l)E f'RAC IICA

EJ F.RCICIOS AD!C.10NALES. T F.OR(A, EJEMPLOS Y APLICACIONF.S 1058

Integrates de lfnea I 061

Campos vcctoriales. trabajo. cir<.:ulaci6n y f1ujo I 067

Independencia de traycctor ias, fu nciones potencialcs

y campos cunscrvativos 1076

Teorema de Green en cl plano 1084

Area de superficie e integralcs de superficie 1096

Superficies parametrizadas II 06

Teorema de Stokes 1114

El tcorcma de Ia divergencia y una tcorfa unificada 11 23

PREG UNTAS i>ARA OUIAR st: REPASO 1134 EJERCIC'TOS DE .PRACTICA

liiERCICtOS ADfCIONAW S. T EORrA. F..I F.MPLOS Y APUCAC ION C.S 1137

Apendices A.1 La ley distributiva para productos cruz de: vectorcs A-1

A.2 Teorema de Euler y reorema del incremento A-2

Respuest as R-1

fndice 1-1

Una breve tabla de i nteg rales T-1

1056

11 ~4

•

Exploraciones y proyectos CAS*

(Ordenados por capitulo y secci6n)

Capitulo 9 Secciones c6nicas, curvas parametricas y

coordenadas polares 9.5 Exploraci6n de Ia geomelrfa de curvas que son definidas

implfcita o explfcitamente .por ecuacioncs paramctricas.

5stimaci6n mnm!rica de las longitudes d'e Lrayecwrias no

elementales

9.8 C6mo cs afpctada la grafica de r = kef( I + e co~ $) por

cambios en e y k. C6mo respnnde la ellpse r = a(l -

e2)/(l = e cos 8 ) a cam bios en a y e

Capitulo 10 Vectores y geometrla analitica

en el espacio 10.6 Observaei6n de superficies cuadniticas desde posiciones

diferenles

10.7 Ecuaciones de esferas en sistemas coordenados cilfndricos,

esfericos y rectangulares: Conversiones coo.r.denadas y gra­

ficas de superficies

Capitulo 11 Funciones de valores vectoriales y

movimiento en el espacio 11.1 Trazo de. tangentes a curvas en el espacio. lnvestigaci6n de

Ia helice general

11.4 Dctemlinaci6n y trazo de cfrculos de curvatura en el plano.

Detenninaci6n de K, 'I, T, N y B para curvas en el cspacio

*CAS, Computer Algebrit Sysrem. ( N~ del E.)

Capitulo 12 Funciones de multiples variables y

derivadas parciales 12.1 Graficaci6n de superficies z. = j(x, y) y curvas de nivel aso­

ciadas. Supcrticics implfcitas y superficies parametrizadas

IV~ Clasificaci6n de puntos crfticos e .identifi<.:aci6I1 de valol'c-s

extrcmos usando informacion obtenida de gn1ficas de

superficies, cnrvas de ni vel y valores (ie discriminantes

t2. 9 Implementation del mctodo de Ips multiplicadores de

Lagrange para funciones de tres y cuatro variables indepcn­

dieiites

Capitulo 13 lntegrales multiples 13.3 Cambio de int.egrales cartesiana~ en i1itegrales pol ares

e.quivalentes p.ara su evaluaci6n

13.4 Evaluacior1 de.integ.rales triples sobre regiones s<'S iidas

Capitulo 14 lntegraci6n en campos vectoriales

14.1 Evaluaci6n numerica de fcf (x. v. z) ds

14.2 Bstimacj6n del trabajo heclw por un campo vectorial a lo

largo de una tr:aycctoria dada en el espacio

lAA Aplicacir\n del teorema de Green para encontrar Ia eircu­

lacion antihoraria

vii

I iii

AI profesor

La importancia de esta nueva edici6n

Durante 40 aiios, se ha usado esta obra de Thomas/Finney como apoyo de eli versos me­todos de ensefianza. desde los tradicionales hasta los experimentales. En respuesta a las

mUltiples e interesantes corrientes de cnsefianza del calculo en los afios 90. esta nueva

edicion es la revision mas cxtensa que se ha hecho del TI1omas/Finney. Basandonos en lo

mejor de ediciones anteriores (excelentes ejercicios, conecci6n matetmitiea, aplicacio­

nes diversas), hemos producido un texto tlexiblc con todos los elementos necesarios

para los difcrentes cursos que se imparten actual mente.

Un Jibro no hace un curso: son e l profesor y los estudiantes quiencs lo hacen. Con

base en esto, hemos cnriquecido Ia 9a. edici6n del Thomas/Finney con algunas carac­

tcrlsticas que lo hacen e llibro de calculo mas flex ible hasta el momento:

A fin de facilitar al maestro Ia asignaci6n de trabajos en casa, han sido rcor­

ganizaclos los ejercicios de una parte de los temas de una secci6n.

Se han aumentado los ejercicios de exploraci6n con herramienta para gnlfi­

cas, todos ellos rcalizables con cualquier calculadora gratica.

Sc han i.ncluido nuevas cxploraciones para programas de algebra simb6lica

(CAS. por sus siglas en ingles). asf como proyecto.s que requicrcn el uso de

CAS. Algunos se pueclen hacer nipidamente. pero otros pueden nccesitar al­

gunas horas. Todos son apropiaclos para el trabajo tanto individual como en

cquipo. Despues del fndice general hay una lista de los ejercicios querequic­

ren el uso de CAS.

• En el texto aparecen notas sobre concxiones con Ia tecnologfa. que sugiercn

cxperimentos que puedcn hacerse con herramicnta para graficas, para com­

plementar la comprension de algun tema. Con elias se pretcnde que los estu­

diantes utilicen esta hcrramienta con regularidad, como si se tratara de un

lapi.z .

Hemos rcvisado las secciones que conesponden al primer semestre y algu­

nas partes de lo correspondientc al segundo y tercero, para ofrecer lo que

creemos que es un libro mas claro, rnas atractivo a la vista y mas accesible.

Con estos cam bios. reafinnamos nucstra conviccion de que Ia meta fundamental de un

libro de calculo es prcparar a los cstudiantes para integrarsc a Ia comunidad ciemit1ca.

{Uenerado por Mathematica)

Esta grafica generada por

computadora de

w =cos (1 .7 X 1Q-2t- 0.2x)e-0.2x

muestra Ia variaci6n estacional de Ia

temperatura abajo del terreno como una

fracci6n de Ia temperatura superficial. En

x = 15ft, Ia variaci6n es solo 5% de Ia

variaci6n en Ia superficie. En x = 30ft,

Ia variaci6n es me nor que 0.25% de Ia

variaci6n en Ia superficie. (Adaptado de los dibujos proporcionados por Norton Starr

para ell ibro de G.C. Berresford "Differential

Equations and Root Cellars", The UMAP

Journal, Vol. 2, No.3 [1981), pags. 53-75.)

AI profesor ix

Los estudiantes encontraran mas apoyo para resolver problemas creativamente

A lo largo dellibro, hemos incluido cjcmplos y amHisis que alentanln a los estudian­

tes a pensar en forma visual y numerica. Casi todos los ejercicios van desde los mas

sencillos hasta los de dificultad media, que rcqucriran que los estudiantes hagan gra-

EJEMPLO 9 La figura 12.9 muestra una gnHica generada por computadora de Ia

funci6n "W = cos (1.7 X w-2,- 0.2x)e-n.2x, dondc testa en clfas y X en pies. La gnl­

fica muestra como, con el tiernpo. varfa Ia temperatura clebajo de la superficie de Ia

Tierra. La variaci6n esta dada como una fracci<~n de la variaci6n en Ia superficic. A

una profunclidad de 15ft, Ia variaci6n (cumbio en amplitud vertical en Ia figura) cs

aproximadamente 5% de Ia variac ion superficial. A 30 ft, casino hay variacion duran­

te el aiio.

La gnifica muestra tambien que Ia temperatura a 15 tt clebajo de la superficie cs­

ta aproximadamente medio aiio desfasada rcspccto a Ia tempe.ratura de Ia supe1ficic.

Cuanclo la temperatura. es m(nima sobre Ia supcrficic (digamos a fines de enero), cs

m<lxima a 15ft debajo de est.a. por lo que podcmos dccir que a esta profundidad las es­

tac.:ioncs cstan invertidas.

ficas y !as interpreten. como un vehiculo para entender relacioncs tanto matematicas

como del mundo real. Much as sccciones adermis cuentan con algunos problemas mas

dificiles. para los estudiantes mas intcresados en las matematicas.

Esta edici6n tiene una gran cantidad de tiguras. con elfin de apclar ala intuici6n

geometrica de los estudiantes. Las lcccioncs de dibujo inc!uidas en estc texro les ayu­

daran con los esquemas en tres dimensiones mas diffciles. para mejorar su capacidad

de pensar en el espacio tridimensional. Tam bien hemos aumentado cl uso de la repre­

sentaci6n visual dentro del amilisis de los temas. Se han utilizado diagramas para

compartir el peso de la ex posicion cuando nos ha parecido que las imagenes y el tex­

to juntos transmiten una idea mas clara que las simples palabras.

5. Una partfcula P dcsprovista de f1icci6n, que parte del reposo en cl

tiempo 1 = 0 en cl pun to (CI. 0, 0), se desliza hacla abajo de Ia bel icc

r (8) = (a cos 8) i +(a sen 8)j + b8k (a,b > 0)

bajo Ia influencia de la gravedad, como se muestra en Ia figura

I 1.46. La e en esra ecuaci6n es Ia coordcnada ci llndrica By Ia be­

lice es Ia curva r = a,<. = b8, 8 2: 0 en coordenadas cilfndricas.

Suponemos que 8 cs una funcion diferenciable de 1 para el movi­

mienro. La ley de Ia conscrvacion de Ia energfa nos dice que Ia ra­

pidez de Ia partfcula dcspues de que ha cafdo tllla disrancia z cs

-.J2gz.. dondc g cs Ia accleracion consLante de Ia gravedad.

a) Encuemre Ia vclocidad angular d8/ dt cuando 8 = 2n.

b) Exprese las coordenadas 9y.:: como funciones de t.

c) Exprese las componemes tangencial y nonnal de Ia velocidad

dr/ dt y de Ia aceleraci6n cf-r j d(! como funciones de 1. £,La

aceleraeidn 1iene alguna componcntc no nul a en Ia direcci6n

del vector binonnal B?

I X

I' L....- La helice

/ j r = a, ~ = IJ9

I - -1--/, I ....

~~/· I_....- Eje z positivo dirigido

• bacia aba jo

La helice circular del ejercicio 5.