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AMHXXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

Introducción

En sistemas hidráulicos como los de abastecimiento de agua potable, riego, drenaje, plantas de tratamiento, etc. se requiere administrar de manera eficiente el uso del agua para satisfacer las correspondientes demandas; por ello, es común que en estos sistemas se requiera cuantificar el caudal que conduce un canal, de manera relativamente fácil y precisa.

Un método de aforo en canales que comúnmente se emplea en estos sistemas es el de la Caída Libre; aunque este método se basa en estudios teóricos y experimentales realizados durante más de cinco décadas, todavía después del año 2000 se han publicado trabajos donde se reportan más investigaciones con respecto a la cuantificación del caudal con estas estructuras hidráulicas. Por ello, en este trabajo se presentan las contribuciones de los trabajos más recientes con respecto al funcionamiento hidráulico de este tipo de estructuras.

Un método alternativo de aforo en canales de algunos sistemas hidráulicos, el cual es propuesto por los autores del presente trabajo, consiste en emplear los tirantes conjugados de un salto hidráulico para calcular el correspondiente caudal. En este trabajo se presentan las bases y la verificación del método propuesto; para ello se emplean varias series de mediciones de laboratorio que están reportadas en prestigiadas revistas de circulación internacional.

A continuación, primero se presenta el método de la caída libre, donde se incluye las investigaciones más recientes, y después el empleo del salto hidráulico para aforar un canal.

Caída Libre

Se considera que se tiene una caída libre en un canal, cuando la plantilla del mismo presenta un escalón brusco y descendente, como se ilustra en la figura 1.

Figura 1. Esquema de un canal con caída libre

Las bases de este método de aforo han sido investigadas ampliamente desde que Rouse (1936), publicó sus estudios y experimentos que realizó para mostrar la utilidad de la caída

libre como estructura de aforo. Desde entonces, se han publicado gran cantidad de trabajos que se refieren al mismo fenómeno, lo que demuestra la utilidad e importancia de este tipo de estructura.

A manera de resumen, a continuación se describen de manera breve algunas de las principales contribuciones realizadas durante las pasadas décadas.

Rouse (1936), publicó sus resultados experimentales obtenidos al estudiar la llamada caída libre en un canal de sección rectangular y plantilla horizontal con ancho de 0.50 m, longitud de 5 m, 0.70 m de profundidad y descarga confinada, es decir, las paredes del canal continuaban aguas abajo de la sección donde estaba localizada la caída.

Se aclara que en el caso de que las paredes laterales del canal terminen donde está la caída, se dice que la descarga es no confinada.

Puesto que las paredes del canal eran de vidrio, se considera a éstas como lisas. Una de sus principales contribuciones fue relacionar al tirante justo en la caída con el tirante crítico por medio de la expresión siguiente

ye

yc

=0.715(1)

donde ye es el tirante que se presenta justo en la caída, en m

(véase la fig 1); y yc es el llamado tirante crítico, en m, del

cual no se conoce con precisión su localización.

Al disponer de la medición del tirante ye, con (1) se calcula

el tirante crítico, y el gasto unitario se obtiene con la expresión siguiente

q=√ g yc3/2

(2)donde q es el caudal por unidad de ancho que conduce el canal, en m2/s.

Al sustituir el tirante crítico de la ec (1)en la ec (2) se

obtiene la expresión para calcular el gasto unitario q en

función del tirante ye

q=1.654 √g ye3/2

(3)

Con respecto a este sencillo método de aforo en canales, se han publicado muchos trabajos tanto teóricos como experimentales, donde uno de los resultados finales es el valor del coeficiente. Entre los trabajos publicados que han servido para reconfirmar la expresión (1), y también de manera

AFORO EN CANALES CON FLUJO RÁPIDAMENTE VARIADO

Jiménez Castañeda Amado Abel, Luna Reyes Aldo y Berezowsky Verduzco Moisés

Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, 04510, México, D. F.

[email protected]; [email protected]; [email protected]



simultánea la ec (3) obtenida originalmente por Rouse (1936), están: Fathy y Shaarawi (1954), Kraijenhoff y Dommerholt (1977) y Ferro (1999). Sin embargo, no todos los resultados publicados coinciden; por ejemplo, Ferro (1992)

obtuvo de manera experimental que el cociente de ye y yc es

de 0.76, pero se aclara que la condición de descarga de los correspondientes experimentos fue del tipo no confinada.

En otras investigaciones experimentales se ha estudiado el efecto de la relación ancho de plantilla - tirante en la ley de descarga, también la rugosidad de la plantilla del canal y su pendiente, la forma de la sección transversal, la cual también puede ser trapecial, circular, triangular, entre otras.

En cuanto a la relación ancho - tirante, Ferro (1992) concluye que esta relación no tiene influencia en la ley de descarga.

Con respecto al efecto de la pendiente de la plantilla del canal y su rugosidad, Kraijenhoff y Dommerholt (1977) concluyen que estas variables no influyen en la ley de descarga del canal, mientras la pendiente de la plantilla sea del tipo subcrítica. El mayor valor que emplearon para la pendiente de la plantilla en sus experimentos fue de 0.0025.

A continuación se presentan las expresiones propuestas por diferentes autores para estimar el caudal en un canal de sección rectangular, plantilla horizontal, paredes lisas y con caída libre confinada y no confinada.

La Organización Internacional para Estandarización recomienda emplear la expresión siguiente (ISO 3847, 1977), la cual es válida cuando la descarga es confinada

q=1.66√ g ye3/2

(4)Cuando la descarga no está confinada se recomienda la expresión siguiente

q=1.69√g y e3 /2

(5)En la fig 2 se incluye la comparación de los resultados obtenidos con las expresiones (3) y (4), donde se nota que desde el punto de vista práctico, no hay diferencias en los caudales unitarios calculados; en cambio, con la ec (5) que corresponde a la condición de descarga no confinada, el caudal es ligeramente mayor que con la descarga confinada.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Cau

dal

unit

ario

q, e

n m

2 /s

Tirante ye, en m

Figura 2. Leyes de descarga en una Caída Libre

Ahmad (2003) presenta un análisis teórico - experimental desarrollado para obtener una expresión que permita calcular el caudal en un canal se sección rectangular con caída libre. La expresión obtenida para condiciones de descarga confinada es la siguiente

q=1.453√g ye3 /2

(6)En el caso de que la descarga no esté confinada se tiene

q=1.514 √g ye3/2

(7)En la fig 2 también se incluyen los resultados obtenidos con

las ecs (6 ) y (7 ); ahí se nota que para el mismo tirante el

caudal es menor que el calculado con cualquiera de las expresiones anteriores, y que de manera similar al caso anterior, con la condición de descarga confinada el caudal es menor que el obtenido cuando la descarga es no confinada.

Parece ser que el trabajo desarrollado por Tigrek et al (2008), es la publicación más recientemente con respecto al estudio de la descarga de un canal rectangular con caída libre. En este trabajo se estudia nuevamente el efecto de la pendiente de la plantilla del canal y la rugosidad de la paredes en la ley de descarga, para condiciones de flujo subcrítico y supercrítico en el canal. En el trabajo se hace notar que el canal donde se hicieron los experimentos fue de 1 m de ancho y 12.06 m de longitud, con descarga no confinada; estas características indican que se cumple ampliamente con las condiciones propuestas por la Norma ISO 3847 con respecto a las características del canal.

Tigrek et al (2008) concluyen que para condiciones de flujo con régimen subcrítico en el canal, los resultados experimentales demuestran que no hay efecto de la pendiente de la plantilla en la ley de descarga, y tampoco de la rugosidad del canal, lo cual coincide con estudios experimentales reportados en años anteriores, como por ejemplo los de Kraijenhoff y Dommerholt (1977).

Sin embargo, Tigrek et al (2008) encontraron que el cociente del tirante medido justo en la caída y el tirante crítico es ligeramente menor que el reportado por Rouse (1936), esto es

ye

yc

=0.683(8)

Al emplear este resultado para estimar el caudal que descarga un canal con régimen subcrítico, ellos obtienen la expresión siguiente

q=5.55 ye3 /2

(9)En la fig 2 también se incluyen los resultados obtenidos al

emplear la ec (9 ); ahí se nota que con esta última expresión se

obtienen caudales mayores que los obtenidos con cualquiera de las formulaciones anteriores.

La comparación de resultados mostrados en la fig 2 da lugar a que se tenga incertidumbre con respecto a cuál expresión es la más recomendada para su aplicación. Loa autores del presente

Napa no confinada

Rouse (1936)

Tigrek et al (2008)

Ahmad (2003)

ISO 3847 (1977)



trabajo consideran que la expresión de Rouse (1936), que es prácticamente la misma expresión recomendada por la norma ISO 3847, es la más recomendable, pues en años anteriores, diferentes investigadores han realizado trabajos experimentales como los de Rouse, y en sus conclusiones coinciden con los resultados obtenidos por Rouse (1936). Sin embargo, estos resultados dan lugar a la posibilidad de hacer otros experimentos de laboratorio, con tecnología de punta, que permita volver a validar las expresiones disponibles.

Salto hidráulico

El cálculo de cualquiera de los tirantes conjugados de un salto hidráulico se hace con las conocidas ecuaciones de Bélanger, cuya aplicación es válida para un canal de sección rectangular y plantilla horizontal. Estas ecuaciones se obtienen al emplear la ecuación del Momentum a un volumen de control, donde se tiene un salto hidráulico, véase la fig 3.

La expresión de Bélanger que se utiliza para calcular el tirante conjugado mayor es la siguiente

y j+1

y j

=12

[√1+8 Fr j2−1 ] (10 )

donde y j+1 es el tirante conjugado mayor, en m; y j, el tirante

conjugado menor; y Fr j el número de Froude asociado al

tirante conjugado menor, el cual se calcula para canales con sección transversal de forma rectangular como

Fr j=V j

√ g y j

= qy j √g y j

(11)

donde V j es la llamada velocidad media, en m/s, del flujo en

la sección j , asociada al tirante conjugado menor (ver la fig 3), y q es el gasto por unidad de ancho, en m2/s.

Figura 3. Salto hidráulico en un canal horizontal

Este es un tema clásico que se explica con detalle en cualquier libro de hidráulica de canales; véase por ejemplo, Henderson (1966), French (1988) ó Chaudhry (2008). La ec (5) de Bélanger ha sido ampliamente verificada, véase por ejemplo Bradley y Peterka (1957) y Hughes y Flack (1984), quienes reportaron sendos resultados experimentales, los cuales se incluyen en la fig 4. Sin embargo, se han hecho otros estudios de laboratorio, como los publicados por Hager y Bremen (1989), Hager et al (1990) y Carollo et al (2007); en estos últimos trabajos se hace notar que los tirantes conjugados mayores calculados con la ec (5) de Bélanger, son más

grandes que los medidos en laboratorio, véase nuevamente la fig 4; por ello, Carollo et al (2009) proponen la expresión siguiente para calcular el tirante conjugado mayor

y j+1

y j

=1+√2 ( Fr j−1 )0.963 (12 )

En la fig 4 se nota que la ec (7) representa en forma adecuada las mediciones de Hager y Bremen (1989), Hager et al (1990) y Carollo et al (2007).

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20

y j+

1/y j

Número de Froude, Frj

Figura 4. Relación de tirantes conjugados y el número de Froude

Es interesante notar que las ecs (10) y (12) están expresadas en forma adimensional, y que el número de Froude es función del caudal y del tirante conjugado menor, por lo que en ambas expresiones están como variables únicamente los tirantes conjugados y el caudal por unidad de ancho.

Además, los autores del presente trabajo notaron que en la deducción de la ec (10), se presenta una expresión que permite calcular el gasto unitario en función de ambos tirantes conjugados; dicha expresión es la siguiente

q=√ g2

y j y j+1 ( y j+ y j+1 )(13)

Se aclara que esta expresión es la misma ec (10) de Bélanger, pero escrita de manera diferente.

Al observar la ec (13 ) se propuso revisar su bondad con base

en los conjuntos de los resultados obtenidos en laboratorio que están reportados en Bradley y Peterka (1957), Hughes y Flack (1984), Hager y Bremen (1989), Hager et al (1990) y Carollo et al (2007); los datos empleados corresponden a la terna de valores dada por el caudal unitario, q, y los correspondientes tirantes conjugados de cada experimento. Esta información se utilizó para calcular los gastos unitario q dado por la ec (13). En la fig 5 se comparan los valores calculados con los medidos en laboratorio.

Bradley y

Peterka (1957)Carollo

Hughes y Flack (1984)

Hager y Bremen (1989)

Hager et al (1990)

Ec 5 de Bélanger

Ec. 7 de Carollo et al (2009)



0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

q (m

²/s)

cal

cula

do

q (m²/s) medido

Fig. 5 Comparación de gastos unitarios medidos y calculados

con la ec. (13) de Bélanger

Otra manera de obtener el gasto unitario se basa en emplear la ec (12), de donde se despeja q para obtener

q=√ g y j

32 [[ 1

√2 ( y j+1

y j

−1)]1

0.963+1](14)

En la fig 6 se incluye la gráfica de la ec (14 ), donde se nota

que se ajusta de manera adecuada a los valores experimentales obtenidos por Hager et al (1990) y Carollo et al (2007).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

q (m

²/s)

cal

cula

do

q (m²/s) medido

Fig. 6 Comparación de gastos unitarios medidos y calculados

con la ec. (14) de Carollo

En ambas figuras, la 5 y la 6, se nota que los resultados calculados con las fórmulas de Bélanger y Carollo son bastante similares cuando el caudal unitario es menor que 0.25 m/s2; esto también se nota en la fig 4, donde se observa que para números de Froude menores que ocho ambas leyes son casi iguales; sin embargo, la diferencia entre los modelos numéricos aumenta de manera lineal con el número de Froude. Estos resultados permiten establecer el límite de confiabilidad de ambas expresiones para su aplicación práctica.

Conclusiones y recomendaciones

Se considera que ambos métodos de aforo en canales con flujo rápidamente variado, son una alternativa adecuada para cuantificar el caudal en un canal de sección rectangular, pero se debe tener cuidado de cumplir con ciertas restricciones: con respecto al empleo del método de la caída libre, es recomendable tomar en cuenta que se cumplan las especificaciones propuestas por la norma ISO 3847 para obtener resultados confiables. En cuanto al empleo de los tirantes conjugados para el cálculo del gasto, se debe hacer dentro de los límites ya citados.

Los análisis de los casos presentados en este trabajo, que forman una pequeña parte del tema del flujo rápidamente variado, continúan siendo de enorme interés. La comparación de los resultados experimentales que han sido reportados con diferencias de más de cinco décadas, dan lugar a que se continúe con el estudio de estos temas, pero ahora empleando la nueva tecnología disponible tanto para el trabajo experimental como en la elaboración, calibración y verificación de modelos matemáticos.

Referencias

1.- Ahmad, Z. (2003). “Quasi-theoretical end-depth-discharge relationship for rectangular channels". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 129, No. 2, April, pp. 138-141.

2.- Bradley, J. N. and Peterka, A. J. (1957). “The hydraulic design of stilling basins: hydraulic jumps on a horizontal apron (basin I)”. Journal of Hydraulic Division, ASCE, Vol. 83, No. 5, October, pp. 1401(1-24).

3.- Chaudhry, M. H. (2008). Open-Channel Flow, Springer, USA.

4.- Carollo, F. G. Ferro, V. and Pampalone, V. (2007). “Hydraulic jumps on rough beds”. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 133, No. 9, September, pp. 989-999.

5.- Carollo, F. G., Ferro, V. and Pampalone, V. (2009). “New solution of classical hydraulic jump”. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 135, No. 6, June, pp. 527-531.

6.- Fathy, A. and Shaarawi, M. (1954). “Hydraulics of the free overfall”. Proc., No. 564, ASCE, Vol. 80, December pp. 1-12.

7.- Ferro, V. (1999). “Theoretical end-depth-discharge relationship for free overfall”. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 125, No. 1, January/February, pp. 40-44.

Bradley y Peterka

(1957)

Hager et al (1990)

Carollo et al (2007)

Hughesy Flack (1989)

Bradley y Peterka

(1957)

Hager et al (1990)

Carollo et al (2007)

Hughesy Flack (1989)



8.- French, R. H. (1985). Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill Book Company. New York.

9.- Hager, W. H.. and Bremen, R. (1989). “Classical Hydraulic Jump: sequent depths”. Journal of Hydraulic Research, Vol. 27, No. 5, pp. 565-585.

10.- Hager, W. H. and Bremen, R. and Kawagoshi, N. (1990). “Classical Hydraulic Jump: lenght of roller”. Journal of Hydraulic Research, Vol. 28, No. 5, pp. 591-608.

11.- Henderson, F. M. (1966). Open channel flow. MacMillan Publishing Co. New York.

12.- Hughes, W. C. and Flack, J. E. (1984). “Hydraulic Jump properties over a rough bed”. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 110, No. 12, December, pp. 1755-1791.

13. ISO 3874, (1977). "End Depth method for estimation of flow in rectangular channels with a free overfall", International Organization for Standarization, Geneva, Switzerland.

14.- Kraijenhoff, D. A. and Dommerholt, A. (1977). “Brink depth method in rectangular channel”. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 103, No. 2, June, pp. 171-177.

15.- Rouse, H. (1936). “Discharge characteristics of the free overfall”. Civil Engineering, ASCE, Vol 6. No. 4, April, pp. 257-260.

16.- Tigrek, S., Firat, C. E. and Ger, A. M. (2008). “Use of brink depth in discharge measurement”. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 134, No. 1, February, pp. 89-95.

Reconocimientos

Se agradece al personal de la Unidad de Servicios de Información, del Instituto de Ingeniería, UNAM, por su apoyo para obtener la mayor parte de las publicaciones que se incluyen en las referencias del presente trabajo.

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