2009INSTITUCIN EDUCATIVA MARA AUXILIADORA DE GALAPA DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS MILAGRO ESTHER VILLANUEVA DE MOYA

[LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO DIDCTICO EN LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA]El presente documento permite dar a conocer el proyecto que vincula la papiroflexia como herramienta fundamental en la enseanza de la geometra, desde el grado 6 hasta 9, proyecto que ya se ha extendido a diferentes grados de la institucin

LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO LDICO PARA LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA DESCRIPCIN GENERAL DEL PROYECTO El proyecto titulado LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO LDICO PARA LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA es una experiencia que se viene implementando desde el ao 2005 6 A y 6 B del INEMA, hoy grado 10 de la misma institucin, y que surgi a partir de los problemas de conceptualizacin que mostraron estos mismos estudiantes en cunto a la geometra. A pesar que la geometra tiene muchas ventajas con respecto a otras ramas de la matemtica por su carcter grfico, gran parte de los estudiantes tienden an a confundir lo que en realidad es el objeto de estudio de la geometra con procedimientos propios de un dibujante, logrando nicamente la memorizacin de las propiedades y de algoritmos para el trazado de figuras y no se contrasta esto con los elementos propios y manipulables de su realidad. Algunos estudiantes manifestaron que no prestan atencin a sus clases de geometra por falta de mtodos nuevos y creativos empleados por algunos docentes, otros aunque estn atentos a sus clases no se sienten muy contentos porque la manipulacin de elementos y conceptos geomtricos solo la hacen con su cuaderno o con el tablero. Todo esto impide que la aprehensin de conceptos geomtricos se d en forma inadecuada y no se logren a cabalidad los propsitos trazados en el curso. JUSTIFICACIN Los docentes que laboraban en el grado 6 de la Institucin Mara Auxiliadora de Galapa quisieron presentar a los estudiantes la geometra de una de una manera ms llamativa y divertida buscando superar esa apata y desagrado que mostraron algunos de ellos para el estudio de esta rea de matemtica en general. Pretendan adems que las clases se tornaran ms participativas y productivas para lograr que ellos mejoren notablemente la calidad de la educacin matemtica, sean competentes en la institucin y en su contexto en general. Para conseguir lo anterior han utilizado el origami como esa herramienta didctica en el aula de clase que adems de mejorar el ambiente de aprendizaje, evita que los conceptos aprendidos por los estudiantes no se queden nicamente en el proceso memorstico, sino que trascienda a su realidad inmediata. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA Realizando un diagnstico con los estudiantes de 6 de la Institucin Educativa Mara Auxiliadora de Galapa, se pudo observar que existan dificultades para reconocer elementos geomtricos de su entorno, sin embargo el trazado de figuras geomtricas y repeticin de conceptos se realizaba casi perfecto, siempre y cuando se guiaran por su esquema algortmico establecido, pues al modificar algunos pasos de dicho esquema trazado se truncaba su actividad y les era difcil continuar con ella; lo cual llev a pensar que ste procedimiento se estaba desarrollando de manera memorstica e inadecuada, impidiendo as un eficaz logro de metas trazadas para el curso. A partir de esta situacin surge la inquietud de encontrar una herramienta o mecanismo que facilite la comprensin y aplicacin de conceptos geomtricos en la solucin de problemas cotidianos y que se utilice de una manera ldica en el aula de clase. PROPSITOS 1. PROPSITO GENERAL Fomentar el uso y la comprensin de conceptos geomtricos utilizando como herramienta la papiroflexia u origami. 2. PROPSITOS ESPECIFICOS 2.1. CURRICULARES

Estudiar y analizar conceptos bsicos de geometra (punto, lnea recta, lneas paralelas, perpendiculares, etc) Estudiar y analizar las propiedades de diversas figuras geomtricas y poliedros Desarrollar la destreza., exactitud, precisin manual, lateralidad y percepcin espacial a travs de la elaboracin de figuras en papel 2.2. TRANSVERSALES Fomentar la imaginacin y la creatividad dentro de la educacin plstica y artstica en el origami ofreciendo un componente ldico en sus realizaciones creativas en papel Crear espacios de motivacin personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinacin entre los real y lo abstracto Fortalecimiento de la autoestima a travs de la elaboracin de sus propias creaciones REFERENTE TERICO-CONCEPTUAL El marco conceptual que encauza nuestro trabajo se basa prcticamente en la idea de hacer ms significativo el conocimiento matemtico, en ste caso de la geometra que en esencia es abstracto y descontextualizado (Moreno, 2002), la presencia de estos factores en las matemticas motiva a la bsqueda de estrategias y herramientas mediadoras para el aprendizaje. Adems tericamente nos fundamentamos en la teora elaborada por los educadores matemticos Pierre y Dina Van Hiele, la cual hace referencia a la capacidad cognitiva del estudiante en geometra y de la cual podemos resaltar las siguientes caractersticas: El aprendizaje de la Geometra se hace pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento que no van asociados a la edad y que solo alcanzado a un nivel se puede pasar al siguiente. Alcanzar un nivel superior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos objetos. Destaca como aspectos importantes el lenguaje utilizado y la significatividad de los contenidos No hay un mtodo panacea para alcanzar un nivel nuevo pero, mediante unas actividades y enseanza adecuada se puede predisponer a los estudiantes a su adquisicin El paso de un nivel a otro depende ms de la enseanza recibida que de la edad o madurez El modelo Van Hiele consta de cinco niveles de razonamiento a travs de los cuales progresa el razonamiento matemtico de los individuos, desde que inician su aprendizaje hasta que llegan hasta el mximo grado de desarrollo intelectual, en el campo a estudiar. Estos niveles son: Nivel 0: VISUALIZACIN O RECONOCIMIENTO Nivel 1: ANLISIS Nivel 2: ORDENACIN O CLASIFICACIN Nivel 3: DEDUCCIN FORMAL Nivel 4: RIGOR La actividad matemtica se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen: a) una simbolizacin adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja b) una manipulacin racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida c) un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada La ldica entra entonces a jugar un papel muy importante en la enseanza de las matemticas en este caso de la geometra, permitiendo que el proceso de aprendizaje sea mucho ms eficaz, enriquecedor

y placentero para los estudiantes. La actividad matemtica ha tenido desde siempre una componente ldica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones ms interesantes que en ella han surgido. El juego, tal como el socilogo J. Huizinga (1938) lo analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas caractersticas peculiares: es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por s misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar tiene una cierta funcin en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; tambin el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberacin, de evasin, de relajacin el juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego el juego, como la obra de arte, produce placer a travs de su contemplacin y de su ejecucin el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio existen ciertos elementos de tensin en l, cuya liberacin y catarsis causan gran placer el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican a travs de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armona. Un breve anlisis de lo que representa la actividad matemtica basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos estn bien presentes en ella. La matemtica, por su naturaleza misma, es tambin juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el cientfico, instrumental, filosfico, que juntos hacen de la actividad matemtica uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura. Si el juego y la matemtica, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que tambin participan de las mismas caractersticas en lo que respecta a su propia prctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los mtodos ms adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo inters y el entusiasmo que las matemticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarizacin con los procesos usuales de la actividad matemtica. De esta manera presentamos entonces la enseanza de la geometra de una manera ldica, utilizando como herramienta clave para este proceso el origami o papiroflexia. El origami es el arte de origen japons del plegado de papel (literalmente significa "Plegar" (oru) "Papel" (kami), en espaol de Espaa se conoce como papiroflexia o "hacer pajaritas de papel". El origami es definido como el arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresin artstica e intelectual. Partiendo de una base inicial (cuadrados o rectngulos generalmente) se obtienen figuras que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. En cada trozo de papel que se utiliza hay patrones geomtricos, combinaciones de ngulos y rectas que permiten a la hoja llegar a tener variadas e interesantes formas. Adems el origami permite una conexin entre el cerebro, la mano, el ojo y de ah su importancia en el aprendizaje de las matemticas como estimulante del cerebro. En ste caso se utilizar como herramienta para la enseanza de la geometra. Generalmente no se utilizan cuchillos, ni tijeras, ni adhesivos, simplemente se necesitan las manos y el papel, pero tambin hay herramientas como las pinzas que ayudan a un mejor manejo del papel, reglas y escuadras. Doblando y desdoblando el papel llegaremos a obtener la apariencia ms exacta de la figura que queremos conseguir, aunque es frecuente que se precise de la unin de dos o ms partes, pero insertndose una en otra. El tipo de papel a utilizar no tiene por que ser especial, podemos utilizar cualquier tipo de papel y con el tiempo y seamos un poco ms expertos utilizaremos papeles especiales para conseguir mejores efectos en las figuras que creemos. Para doblar una figura no se necesita ser un experto, solo hay que recordar algunos consejos a la hora de ponernos manos a la obra Utilizar papel manejable. Realizar un plegado cuidadoso y pulcro, especialmente en los vrtices.

Trabajar en una superficie dura y lisa. La perfeccin en el doblez se alcanza pasando la ua del dedo pulgar a lo largo del pliegue. Seguir cuidadosamente la secuencia de confeccin de la figura. No eliminar pasos intermedios. Poner atencin en cada paso, a su ejecucin y direccin. Estar concentrado en la labor a desarrollar. Trabajar con las manos limpias. El origami es una disciplina que tiene muchas consideraciones, algunos la definen como un arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresin artstica, este arte se vuelve creativo, luego pasa a ser un pasatiempo y en los ltimos aos esta tomando vuelo desde el punto de vista matemtico y cientfico. En s, origami es una palabra de origen japons que significa doblar papel y tomando este significado se cre la palabra de origen europeo: papiroflexia, con la cual se define este arte en Espaa. El origami tiene varias facetas, se pueden considerar los plegados y el desarrollo del papel por separado, estos tuvieron un inicio por aparte pero luego se fusionaron en lo que conocemos ahora. Siempre se ha pensado que el origami es un juego en donde se hacen figuras sencillas y relacionadas con los seres vivos, esto fue en sus comienzos, pero el origami llama a figuras de dimensiones inimaginables desde elefantes de 2.70 m de altura hasta pjaros hechos de cuadrados cuyo lado tena 4 milsimas de cm. Hay figuras que toman muchas horas (y das) de trabajo. Si queremos hablar de una clasificacin del origami podemos considerar varios aspectos: la finalidad, el tipo de papel utilizado y la cantidad de piezas utilizadas. A continuacin se presentan tres clasificaciones que se proponen de acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados. De acuerdo a la finalidad: Artstico: construccin de figuras de la naturaleza o para ornamento. Educativo: construccin de figuras para el estudio de propiedades geomtricas ms que nada. De acuerdo a la forma del papel: A papel completo: trozo de papel inicial en forma cuadrangular, rectangular o triangular. Tiras: trozo inicial de papel en forma de tiras largas. De acuerdo a la cantidad de trozos: Tradicional: un solo trozo de papel inicial (u ocasionalmente dos o tres a lo mucho. Modular: varios trozos de papel inicial que se pliegan para formar unidades (mdulos), generalmente igualen, que se ensamblan para formar una figura compleja. Es conocido en Japn como "yunnito". Transformar un pedazo plano de papel en una figura tri-dimensional, es un ejercicio nico en la comprensin espacial. El origami es tambin importante en la enseanza de la simetra, pues muchas veces doblar, lo que se hace en un lado, se hace igual al otro lado. Esto es, por lo tanto, una regla fundamental del lgebra que se muestra fuera del marco formal de una leccin de Matemtica. Dentro del campo de la geometra, el origami fomenta el uso y comprensin de conceptos geomtricos, tales como diagonal, mediana, vrtice, bisectriz etc. Adems, el doblado de papel, tambin permite a los alumnos crear y manipular figuras geomtricas como cuadrados, rectngulos y tringulos y visualizar cuerpos geomtricos. CONTENIDOS CURRICULARES QUE SE PUEDEN TRABAJAR CON ORIGAMI 1. CONCEPTOS Situacin en el espacio, distancias, giros y ngulos con relacin a uno mismo y a otros puntos de referencia Las figuras y sus elementos Regularidades y simetras(reconocimiento y reproduccin) Estimacin de medidas

2. PROCEDIMIENTOS Descripcin de la situacin y posicin de un objeto en el espacio con relacin a uno mismo y a otros puntos de referencia Lectura, interpretacin y construccin a escala de las figuras presentadas Construccin de cuerpos geomtricos a partir de figuras Reconocimiento de las figuras geomtricas que se van obteniendo utilizando diversos criterios Bsqueda de simetra y regularidad 3. ACTITUDES Inters y gusto por la descripcin precisa de situaciones, orientaciones y relaciones espaciales utilizando el lenguaje geomtrico bsico ( el lenguaje geomtrico debe introducirse segn realizamos la actividad) Sensibilidad y gusto por la elaboracin y presentacin cuidadosa de construcciones geomtricas Inters y perseverancia en la bsqueda de soluciones a situaciones problemticas relacionadas con la organizacin y utilizacin del espacio Curiosidad e inters por identificar formas y relaciones geomtricas en los objetos del entorno (pensamiento asociativo, reconocer y buscar la geometra que nos rodea y cmo plasmarlo en nuestras figuras) ETAPAS PARA EJECUCIN DEL PROYECTO ETAPAS I II III IV V VI VII VIII IX X CONTENIDOS Conceptos bsicos de la geometra Figuras geomtricas y sus propiedades Propiedades de los cuadrilteros Transformaciones geomtricas Poliedros y sus propiedades Tringulos, cuadrilteros y circunferencia Teorema de Pitgoras Lneas Notables de un tringulo Congruencia y semejanza de tringulos Escalas y homotecias

METODOLOGA La metodologa a utilizar permite que el estudiante experimente un constante proceso de descubrimiento y construccin de conocimientos a travs la manipulacin de material didctico (papel) como herramienta facilitadora del aprendizaje de la geometra. Las clases son orientadas en su mayora por el docente, sin embargo se darn espacios para que los estudiantes sean quienes las lideren. Para involucrar este nuevo recurso en la clase de geometra el docente presenta a los estudiantes un cuento que a medida que se vaya desarrollando ir dando origen a figuras de papel en las que se

apreciarn elementos geomtricos que los mismos estudiantes irn descubriendo y comparando con los elementos de su entorno. A partir de esta primera actividad los estudiantes irn investigando acerca de lo que es la papiroflexia, su origen, tcnica utilizada para construccin de figuras, etc; todo esto para que ms adelante sean ellos quienes orienten una clase con sus dems compaeros. Con el transcurrir del tiempo se irn incluyendo diversas actividades que de una u otra manera pongan de manifiesto elementos geomtricos, para que los estudiantes deduzcan caractersticas, conceptos bsicos y la relacin que todos ellos guardan con su realidad. A medida que se van desarrollando las actividades los contenidos van siendo ms complejos y se han categorizado en las diferentes etapas antes mencionadas. Este proyecto se inicia con los estudiantes de 6 y se ha trazado un plan de trabajo para desarrollar con ellos mismos hasta el grado noveno; sin embargo se pretende extender a grados posteriores para obtener mejores resultados en cuanto a la calidad de la educacin matemtica actual. TCNICAS DE EVALUACIN Para evaluar las etapas que se desarrollaron se utilizaron los siguientes medios: Observacin directa del profesor en el momento de manipular y maniobrar con el papel Espacios de creacin libre de figuras y explicacin adecuada de procedimientos llevados a cabo para tal fin por parte de los estudiantes Talleres grupales e individuales fuera y dentro del aula Consultas e investigaciones en textos e internet Evaluaciones escritas Evaluaciones orales (uso adecuado del lenguaje geomtrico y manejo de conceptos ) Autoevaluacin Puesta en comn RESULTADOS OBTENIDOS La papiroflexia ha sido un gran recurso didctico para la aprehensin de conceptos y procedimientos geomtricos en la Institucin Educativa Mara Auxiliadora de Galapa, tiene varios aos de estar desarrollndose e internamente ha arrojado resultados satisfactorios dentro del grupo de estudiantes en el cual se est implementando. El proyecto como tal, se ha presentado en eventos a nivel municipal y departamental mostrando todos los resultados e impacto obtenido y por ello, se present tambin en el foro nacional de competencias matemticas en el ao 2006 y como taller para docentes en el 9 encuentro de matemticas educativas en la ciudad de Valledupar en octubre de 2008. Con la papiroflexia como recurso ldico para la enseanza de la geometra, los alumnos han mostrado mayor inters y gusto para trabajar en el rea, hoy en da les gusta participar y colaborar mucho en clases, manejan con propiedad los conceptos bsicos de geometra (punto, lnea, paralelas, perpendiculares, intersecantes, etc.), logran identificar claramente las propiedades de los polgonos adems que los construyen con gran habilidad y destreza, construyen y clasifican poliedros segn sus propiedades, identifican transformaciones geomtricas y las lneas notables de los tringulos, aplican el teorema de Pitgoras de manera adecuada, entre otros; todo lo anterior asociado con situaciones de su entorno. Adems de esto han desarrollado mayor fluidez en su parte oral (explicaciones a sus compaeros, exposiciones, etc), se ha fomentado el liderazgo en el aula de clase, el pensamiento crtico y sobre todo el desarrollo de competencias. Es de resaltar tambin que la integracin y comunicacin de los estudiantes ha mejorado notablemente y han ido aumentando poco a poco su autoestima. El proyecto hoy en da no solo se est desarrollando con los estudiantes con los cuales se inici, sino que se est implementando en otros grados, es decir se han involucrado ms docentes en el desarrollo de este. Tambin hace parte de las actividades que se desarrollan en las jornadas de cualificacin a docentes por medio de la secretara de Educacin del Atlntico.

En fin los estudiantes han dado sus primeros pasos para mejorar la calidad de la educacin matemtica de Institucin Educativa Mara Auxiliadora de Galapa. ACTIVIDADES A continuacin se presentan algunas de las actividades elaboradas para los estudiantes: 1. EL CUENTO DEL CUADRADO La actividad bsicamente est centrada en la lectura de un cuento titulado el cuento del cuadrado, con dicha lectura, los estudiantes adems de estar atentos a ella, deben ir realizando con ayuda del docente cada una de las figuras mencionadas que van dando forma y sentido a la historia presentada. Cada una de esas figuras lleva inmersa en si conceptos como el punto, la lnea, lneas paralelas, perpendiculares, ngulos rectos, cuadrados, tringulos, rombos, etc. 2. ELABOREMOS FIGURAS EN PAPEL Se van dando instrucciones para elaborar diferentes figuras en papel y al final la elaboracin de stas se hace un recuento de los conceptos aprendidos y que se pueden apreciar en cada una de las figuras. Esta actividad se realiza en diferentes espacios durante las actividades acadmicas buscando como propsito final la recoleccin de los procedimientos para realizar las figuras teniendo en cuenta el lenguaje matemtico. 3. CONSTRUYAMOS POLGONOS EN PAPEL A travs del plegado del papel se van elaborando cuadrados, rectngulos, tringulo, hexgonos, pentgonos; a medida que se vayan elaborando cada una de las figuras antes en mencin se van descubriendo las diferentes propiedades que poseen ellas y de sta manera se hace un anlisis minucioso de semejanzas y diferencias existentes. 4. TRINGULOS, CUADRILTEROS Y CIRCUNFERENCIA Para desarrollar esta temtica se inicia con la elaboracin de figuras en papel que lleven al estudiante a encontrar caractersticas de los elementos a estudiar, se generarn discusiones en torno a las dificultades que se presenten y se aclararn en compaa del docente. Se plantearan adems situaciones problemas y evaluaciones por competencias que permitirn ver la asimilacin de la temtica. 5. LNEAS NOTABLES DE UN TRINGULO Como ya los estudiantes saben construir tringulos, a partir de aqu se comienza a indicar una serie de pasos que les permitirn distinguir lo que es la altura, la mediatriz, la bisectriz de un tringulo identificando adems como se denomina el punto de encuentro de cada una de ellas. Ya realizada la actividad con material manipulable, se proceder a realizar este mismo proceso pero utilizando los instrumentos geomtricos y por ltimo se procede a la resolucin de situaciones problema. 6. EL PROBLEMA DE LA CAJA En esta actividad se le indica a los estudiantes en el lenguaje matemtico apropiado cmo se elabora una caja, a partir de ella se formulan una serie de situaciones que van a llevarlos al anlisis y fortalecimiento de conceptos de rea y de volumen. 7. SLIDOS GEOMTRICOS En esta actividad se realiza la construccin de slidos geomtricos con una nueva faceta del origami, la cual es el origami modular, la cual motiva mucho a los estudiantes por la vistosidad y resultados obtenidos al ensamblar las figura

PLAN DE TRABAJO DE GEOMETRA CON ORIGAMI REA: MATEMTICAS ASIGNATURA: GEOMETRA DOCENTE(S): MILAGRO VILLANUEVANo ESTANDARES

GRADO: 6- 9

1. 2. 3.

4 5 6 7 8 9 10

Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. Clasifico polgonos en relacin con sus propiedades. Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rgidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemticas y en el arte. Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. Resuelvo y formulo problemas usando modelos geomtricos. Identifico caractersticas de localizacin de objetos en sistemas de representacin cartesiana y geogrfica. Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solucin de problemas. Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geomtricas utilizadas en demostracin de teoremas bsicos (Pitgoras y Tales). Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre tringulos en la resolucin y formulacin de problemas. Uso representaciones geomtricas para resolver y formular problemas en las matemticas y en otras disciplinas

PROPSITO GENERAL Fomentar el uso y la comprensin de conceptos geomtricos utilizando como herramienta la papiroflexia u origami. PROPSITOS TEMTICOS Identifica entes geomtricos del entorno Establece relaciones entre rectas Construye ngulos y polgonos Construye figuras planas mediante diferentes tcnicas, teniendo presente sus propiedades Clasifica tringulos y cuadrilteros Aplica el concepto de rea y permetro en los polgonos Efecta transformaciones geomtricas en el plano Valora la utilidad de la geometra para analizar diferentes situaciones relativas al entorno y recrea su presencia en la naturaleza y el arte Representa objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y perspectivas Generaliza procedimientos para encontrar el rea de regiones planas y volmenes de slidos Reconoce y aplica las propiedades bsicas de la circunferencia y sus elementos

Reconoce y contrasta propiedades y relaciones geomtricas utilizadas en la demostracin de diferentes teoremas Aplica y justifica criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin y formulacin de problemas Establece relaciones entre algunos conceptos matemticos previos como semejanza y sus aplicaciones en otros conceptos como escala

CONTENIDOS Conceptos bsicos de la geometra, como son, el punto, la lnea recta, el plano, lneas paralelas, lneas perpendiculares, lneas transversales, ngulos, etc Propiedades de algunas figuras geomtricas planas, tal como el tringulo, el cuadrado, el rectngulo Propiedades de los cuadrilteros, paralelogramos, trapecios Traslaciones, rotaciones y reflexiones Propiedades de los poliedros Tringulos, cuadrilteros y circunferencia Teorema de Pitgoras Lneas notables de un tringulo Congruencia y semejanza de tringulos Escalas y homotecias

HERRAMIENTA UTILIZADAS PARA LAS CLASES El cuento del cuadrado Traduccin libre por Alejandra Len Castell

g) " Mami, debes venir a visitarme. Mi casa de bruja es tan linda y tengo una excelente vista desde mi ventana."

a) Haba una vez un pequeo cuadrado b) Estaba muy triste, porque nadie quera jugar con l. "Ay", lloraba," si yo fuera tan flaco como mi hermano el rectngulo, o tan redondo como el crculo, o si yo tuviera esquinas tan preciosas como mi hermana el tringulo Pero yo no tengo nada especial, todas mis esquinas son igual de largas y aburridas." Entonces tom un libro muy interesante y ley este cuento.

h) Al leer la carta, la mam se fue hacia su armario.

c) Haba una vez una pequea bruja que dorma todo el da y volaba toda la noche en su escoba por el cielo ennegrecido. Haca tanto fro, que siempre le daba por estornudar, hasta que se enferm. Entonces se busc un pauelo y se limpi la nariz.

i) All se busc un bellsimo pauelo de lunares rojos.

i) "Este es exactamente el correcto", pens ella. "El pauelo me mantendr el pelo acomodado." Ella se lo prob frente a su espejo viejo.

d) Su madre al verla estornudar le dijo: No puedes salir ms de noche a volar en tu escoba. Mejor trae tu velero. Y haz un pequeo viaje. El aire del mar te va a sentar bien.

e) Obediente, la brujita, tom su velero y viaj por todos los mares hasta que descubri en una bellsima play una casa de brujas.

k) La bruja estaba ambienta, entonces antes de tomar su escoba, para ir a visitar a la pequea bruja, decidi frerse un riqusimo pescado.

f) "Aqu quiero quedarme", pens la pequea bruja y le escribi a su madre una carta.

l) Y de postre busc una tableta de chocolate.

m) Despus alist su cartera grande.

espejo, el pez, el chocolate, la bolsa mgica, la mariposa y el sapo. "Ahora creo que si podr encontrar nios y nias que quieran doblar todas esas formas conmigo. Ahora no voy a aburrirme." Y, de pura alegra y entusiasmo, el cuadrado se torn rojo y brillante.

n) Y se mont en su escoba. "Oh, se me olvidaba algo.", dijo, mientras regresaba a su casa a buscar una bolsa mgica.

0) As se mont en su escoba y viaj por encima de los mares del mundo, hasta que finalmente encontr a la pequea bruja que jugaba en la playa mientras observaba una colorida mariposa.

p) "Que es esa horrible criatura", dijo la madre. Sac una varita mgica y transform a la mariposa en un gordo y horrible sapo.

q) "Por favor no lo hagas", dijo la pequea brujita. A mi me gustaba la bella mariposa. "Pues a mi me gusta ms el sapo", dijo la madre. Pero por suerte pas por all otra mariposa y las dos se sintieron felices. Y desde entonces vivieron felices hasta su muerte. Nuestro pequeo cuadrado cerr el libro y se frot los ojos. Estaba despierto o soaba? Ser posible que todas estas cosas se puedan hacer al doblar un simple cuadrado? Entonces, eso quiere decir que todas estas formas estn dentro de mi: un libro, un pauelo, un bote, una casa, la carta, la ventana, el armario, el pauelo para la cabeza, el

PARA EL DOCENTE: RECOMENDACIONES Es importante hacer algunas advertencias sobre esta propuesta y su realizacin con las y los ms pequeos. El origami es un arte que requiere de paciencia, orden y secuencia en el aprendizaje. El tamao del cuadrado para manitas pequeas no debe ser ni muy grande ni muy pequeo, entre 16 a18 centmetros de base es apropiado para empezar. Se puede practicar con papel blanco primero y luego pasar a papeles de colores. Para reafirmar el autoestima y fortalecer la memoria, es importante practicar muchas veces una misma figura. Luego usarla, en la medida de lo posible, como la base para la prxima figura. El cuento as lo sugiere. Se parte de un cuadrado que se dobla solo una vez (b) por la mitad para formar un libro. Este libro (c) es la base del prximo, que requiere solo otro doblez, por la mitad ms corta, para convertirse en un pauelo y as sucesivamente: El libro es la base del armario (h), el armario es la base de la barra de chocolate (l), la barra de chocolate es la base de la cartera (m), etc. Adems, muchas de estas figuras no trascienden el papel hasta que no se decoran con algunos elementos (dibujados o pegados): los lunares del pauelo, los contenidos del libro y las perillas del armario, la puerta y las ventanas de la casa, etc. La prctica continua con papel puede permitir que docentes, madres y padres de familia y estudiantes visualicen las formas geomtricas, las relacionen con lo que conocen a su alrededor, practiquen el orden en un proceso, realicen secuencias de pasos y manipulen las formas (dimensiones, proporciones, simetras, rotacin, etc.), mientras practican y perfeccionan destrezas motoras finas, crecen en abstraccin y creatividad y descubren y se apropian de las figuras en s. Porque, como deca Frank Openheimer , solo las cosas que descubrimos nosotros mismos, son realmente nuestras, aunque otras personas las hayan descubierto antes.

POLGONOS Y DOBLADO DE PAPEL RECTNGULO Ahora vamos a hacer algunos polgonos doblando papel. Para empezar necesitas una hoja de papel de cualquier tamao; slo considera que entre ms pequea sea, ms difcil ser hacer los dobleces. Las hojas de papel bond funcionan muy bien, si tienes papel de reciclaje, qu mejor! Recuerda que los polgonos son figuras formadas por lneas. Para hacer nuestros polgonos, vamos a trazar lneas en la hoja. Para una lnea recta, slo hay que hacer un doblez as:

Podras decir qu tipo de lneas son las que hicimos en estos dos ltimos dobleces? Si ambas son perpendiculares a la misma lnea, entre ellas son... Para terminar de trazar nuestro rectngulo, hay que doblar hacia abajo procurando que los puntos D y E queden sobre sus respectivas lneas. Al desdoblar la hoja vers el rectngulo terminado.

Cuando desdoblas la hoja habrs trazado una lnea que se ve ms o menos as:

CUADRADO Ahora vamos a construir un cuadrado a partir de un rectngulo.

A partir de esta lnea vamos a obtener un rectngulo. Vuelve a doblar la hoja, pero ahora dobla sobre la lnea que obtuvimos hace un rato. Para lograrlo, haz que la esquina B quede sobre la lnea que acabamos de trazar.

Primero dobla la esquina superior izquierda hacia abajo de manera que la lnea AD coincida con la lnea AC.

Si vuelves a desdoblar la hoja notars que se han marcado dos lneas. Estas lneas son perpendiculares, es decir, entre ellas hay un ngulo de 90.

Para obtener el cuadrado, recorta la lnea EF y listo. Tu cuadrado quedar con una de sus diagonales trazada:

Ests de acuerdo en que estos dobleces forman un ngulo recto? Por qu? Cuando hacemos lo mismo, pero con el otro extremo, trazamos otra lnea que tambin es perpendicular a la original.

TRINGULO EQUILTERO A partir de un rectngulo tambin se puede trazar un tringulo equiltero. La base de nuestro tringulo ser la lnea DC. Para comenzar, primero dobla el rectngulo por la mitad, haciendo que los puntos A y D coincidan con los puntos B y C, respectivamente.

Despus de este tercer doblez, tu hoja queda as:

Ahora dobla la esquina inferior derecha hacia arriba de manera que el extremo C quede sobre el doblez que acabamos de hacer.

Otra manera de hacer un hexgono regular es entrelazando dos tiras de papel del mismo ancho. Hazlo de esta manera: No dobles las tiras, simplemente forma los lazos; as no te costar trabajo jalar los extremos para formar un hexgono al centro del nudo que se ver as:

El punto donde se unen el vrtice C y la lnea central es justamente el tercer vrtice que necesitamos. Para completar el tringulo marca los lados OD y OC y recorta.

Ya slo tienes que esconder lo que sobra de las tiras doblndolas hacia atrs. Tu hexgono regular est listo.

HEXGONO REGULAR Podemos hacer un hexgono regular de dos maneras. La primera es a partir de un tringulo equiltero. Comienza por dividir a la mitad el tringulo desde dos vrtices distintos. Puedes hacerlo sobreponiendo la lnea AB y la AC , y luego la BC sobre la AC.

PENTGONO REGULAR Para hacer un pentgono regular, haz un nudo con la tira de papel de esta manera:

Ese punto en donde se intersectan los dobleces es el centro del tringulo. Para terminar, dobla los vrtices hacia adentro y hazlos coincidir en el centro del tringulo. Tu hexgono est listo.

Una vez que recorras todo el papel, el nudo tiene bsicamente la forma de un pentgono. Esconde lo que sobra de las tiras y listo.

TALLER DE GEOMETRA: LA CAJA

Una vez construida la caja, con tu regla, determina: (Todo con un decimal) Medidas de la caja (Largo, ancho, alto) rea de cada cara y rea total. Volumen Diagonal de cada cara Diagonal del paraleleppedo Si la medida de un fsforo es 4,5 x 0,3 x 0,3 centmetros Cuntos fsforos caben en la caja construida? (3 decimales) Cunto costara esta caja de fsforos por ti construida si una caja de 45 fsforos en el comercio vale $80? Si ampliaras cada arista en 2 cm., cuntos fsforos ms cabran? En el caso anterior, qu medida debera tener el cuadrado original con el que se construy el paraleleppedo?

EL TEOREMA DE PITGORAS En la actualidad, existen ms de 1000 demostraciones del Teorema de Pitgoras lo que confirma que es uno de los teoremas que ms han llamado la atencin a travs de la historia. Existen varias demostraciones que utilizan la papiroflexia para justificar este teorema y que se basan en pruebas geomtricas clsicas. La ms antigua que conozco es la que public en 1883 Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" y que recogen, entre otros, Kunihiko Kasahara (1989 y 2001) y Jess de la Pea Hernndez (2000). Basndome en la demostracin matemtica de este teorema propuesta por el matemtico ingls Henry Perigal (1801-1898) he ideado una demostracin papiroflxica del Teorema de Pitgoras. Me baso en un puzzle de cuatro piezas trapezoidales hechas de papiroflexia, ideado por Jean Jonson y publicado por Judy Hall (1995) y Jess de la Pea Hernndez (2000). Estos autores no utilizan el puzzle para demostrar explcitamente el teorema de Pitgoras y adems las piezas trapezoidales del puzzle que propongo no tienen por qu tener las mismas proporciones que las ideadas por Jean Jonson. La demostracin de Perigal es la siguiente: Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del tringulo. Con las cuatro piezas obtenidas ms el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa (Perigal 1874).

Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:

Y ya slo queda colocar las piezas para demostrar el teorema de Pitgoras: Para realizar la papirodemostracin del teorema de Pitgoras de un tringulo rectngulo cualquiera vamos a construir un puzzle de cinco piezas: una pieza cuadrada y cuatro trapezoidales iguales. Sea un tringulo rectngulo cualquiera:

Para construir la pieza cuadrada:

Origami modular: una oportunidad para estudiar poliedros en secundaria Norasa Gonzlez Gonzlez V ctor Larios Osorio Introduccin La secundaria en Mxico introduce a los alumnos al estudio de los cuerpos geomtricos utilizando diversos medios que, cada uno, ofrece ventajas y desventajas. En el Libro para el maestro de secundaria para Matemtica se hace hincapi en la necesidad de que este estudio de figuras tridimensionales se lleve a cabo recurriendo a la manipulacin de los modelos fsicos de los slidos geomtricos y otros objetos del mundo real (pg. 291), por lo que durante algunas sesiones, en el segundo grado de la Secundaria Mariano Matamoros (Quertaro), se llevaron a cabo una serie de actividades dirigidas al estudio de algunos slidos geomtricos y al desarrollo de habilidades de razonamiento a travs de la construccin y manipulacin de estos cuerpos utilizando la tcnica de construccin conocida como origami modular. El llamado origami modular se basa en la construccin de mdulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geomtricos o, en su caso, en figuras decorativas. Esta tcnica tiene ventajas que le permiten ser considerada en una clase de matemtica: los resultados son coloridos y existe la posibilidad de producir una sorpresa en los alumnos al saber que no tienen que usar herramientas tpicas como la regla (para trazar y medir), el comps, las tijeras y el pegamento. Adems, el costo de los materiales es mucho menor que el de otras tecnologas y est al alcance de la mayora de los alumnos. Por otro lado, el origami es considerado un arte de economa, pues los productos resultan de trozos finitos y bien definidos de papel, por lo que se tiene que echar mano no slo de habilidades motrices sino tambin de las habilidades de razonamiento y de la imaginacin espacial para hallarle el sentido a una construccin cuando se est ensamblando o, incluso, cuando se estn haciendo los mdulos. Esta tcnica tambin ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional sin haber tenido que hacer muchos trazos, aunque se tiene la desventaja de que a veces es tedioso hacer muchos mdulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta desventaja se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia. As que con el origami modular se pens en actividades que llevaran a los alumnos a conocer un tipo particular de poliedros: los regulares (ver figura 1). Para ello se hizo necesaria la recuperacin de conocimientos relacionados con figuras geomtricas como el cuadrado, el rectngulo y el tringulo equiltero, as como de algunas de sus propiedades que fueron aprovechadas

para realizar su construccin utilizando doblado de papel y, posteriormente, armar los siguientes poliedros: Tetraedro {3,3} (4 caras) Hexaedro o cubo {4,3} (6 caras) Octaedro {3,4} (8 caras) Dodecaedro {5,3} (12 caras) Icosaedro {3,5} (20 caras)

Tetraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro Figura 1. Poliedros regulares o slidos platnicos Actividades Las actividades de construccin, de observacin y anlisis, y de discusin en el grupo que permiten la socializacin de los resultados, de las observaciones y de los procedimientos obtenidos, pueden hacer de este recurso algo muy provechoso para la enseanza y el aprendizaje de la matemtica en la escuela secundaria. Se puede decir que las actividades que se realizaron tuvieron los siguientes propsitos, independientemente de aquellos que se presentan en el programa correspondiente: . Estudiar y analizar las propiedades de algunas figuras geomtricas planas, tal como el rectngulo, el cuadrado y el tringulo equiltero. En estas propiedades se incluyeron la identificacin de sus partes y de propiedades que permitieran su construccin. . Construir los poliedros regulares y estudiar sus propiedades bsicas, particularmente sobre la forma y nmero de sus caras, as como la cantidad de vrtices y de aristas. . Iniciar un estudio introductorio sobre las simetras de los slidos platnicos y sobre las relaciones que existen entre la forma de las caras de cada uno de ellos y el nmero de aristas que concurren en cada vrtice. Adems, el fomento de actitudes relacionadas con la investigacin, la colaboracin en equipo y el respeto a los dems en cuanto a su trabajo y sus opiniones, fueron situaciones que se propiciaron y se mantuvieron durante el desarrollo de las actividades para as permitir alcanzar el desarrollo de los conocimientos y las habilidades deseadas en un trabajo en conjunto. De esta manera, el trabajo en equipo se convirti en un medio para promover el intercambio de ideas y la

cooperacin, as como para ahorrar tiempo en las construcciones que requeran varios mdulos. Por otro lado, vale la pena recordar que en el caso del origami modular existen diferentes tipos de mdulos que varan entre s no slo por el procedimiento de construccin ni por la forma del trozo de papel inicial, sino tambin por el tipo de poliedro que se quiere obtener y por la parte de ste que cada mdulo va a constituir principalmente: un vrtice, una cara o una arista. As pues, con estas consideraciones y algunas otras ms bsicas se realizaron las actividades que se describen a continuacin. I. Preliminares. Inicialmente se realiz una recuperacin de algunas caractersticas de las figuras geomtricas que se utilizaran en la construccin de los poliedros. Esta recuperacin se hizo a travs de una investigacin bibliogrfica, el uso de los apuntes y la discusin en clase de figuras como el rectngulo, el cuadrado y el tringulo equiltero. Para el caso del rectngulo se consideraron las siguientes: . sus lados opuestos son de la misma longitud, y . sus ngulos (internos) son rectos. Fue interesante observar que, en su mayora, los alumnos establecieron como caracterstica necesaria para un rectngulo que tuviese dos lados largos y dos cortos, lo cual eliminara automticamente al cuadrado como un caso particular de los rectngulos y resulta ser un tema de investigacin muy interesante, pero que no fue ahondado por no formar parte de los objetivos de las actividades. Adems, esta caracterstica se vio reforzada por el hecho de que el procedimiento para obtener un pedazo de papel de forma rectangular es aparentemente muy diferente al procedimiento que se sigue para obtener un cuadrado. Para el caso del cuadrado se recordaron las siguientes caractersticas: . sus cuatro lados son de la misma longitud, y . sus cuatro ngulos (internos) son rectos. En el caso del tringulo equiltero stas son: . sus tres lados son de la misma longitud, y . sus tres ngulos (internos) son iguales y miden 60. Una vez que estas caractersticas fueron recordadas se realizaron, con dobleces y sin usar ni regla ni comps ni lpiz, la construccin de cuadrados y tringulos equilteros a partir de hojas rectangulares de papel. Para el caso de los cuadrados se les pidi a los alumnos que establecieran un procedimiento para obtener, a partir de una hoja tamao carta, cuatro cuadrados del mismo tamao, lo cual ocurri al considerar el procedimiento tradicional para la obtencin de cuadrados, tal como se muestra en el siguiente 1 diagrama:

3

4

5

Para el caso del tringulo equiltero existi una mayor complejidad, pero proporcionndoles algunas pistas (propiedades de los tringulos) a los alumnos se obtuvo un procedimiento que se muestra a continuacin:

1

2

3

6 5 Simultneamente al proceso de construccin se fueron recordando o estableciendo los nombres de las partes de las figuras geomtricas a las que posteriormente se hara referencia al momento de construir los poliedros: vrtices, aristas, caras, etctera; as como de otros conceptos como: ejes de simetra, lneas perpendiculares y paralelas, congruencia entre figuras, etctera. II. El cubo y el octaedro. Los primeros poliedros que se construyeron fueron el 2 hexaedro (cubo) cuyo smbolo de Schlfi es {4,3}, y el octaedro {3,4}. Para ello se hizo una investigacin inicial sobre el nmero de caras de los poliedros, el nmero de aristas y de vrtices, ponindose especial inters en el nmero de aristas que concurren en cada vrtice y en el ngulo que forman dos aristas adyacentes sobre un cara (hecho relacionado directamente con la forma de tal cara). Con esta informacin se calcul la cantidad de mdulos y de material necesario considerando los tipos mdulos que se iban a utilizar. En ambos casos se parte de cuadrados de papel y se siguen los siguientes pasos para construir un cubo: 4

1 1 2

2

3

4 5

6 5. En este paso los dobleces se hacen de slo 90 sobre la superficie horizontal en la que se trabaja para obtener algo como lo que se muestra en el siguiente paso:

una especie de punta de flecha: Al igual que para el caso anterior, se not que para la construccin completa eran necesarios seis mdulos que se ensamblan como sigue:

Se hizo notar, tras la construccin de algunos mdulos, que cada uno de ellos corresponda a una cara del poliedro, as que fueron necesarios seis que se ensamblaron como sigue:

2 Una vez que se terminaron de construir, los mdulos fueron ensamblados y se obtuvieron los modelos de un cubo y de un octaedro, como por ejemplo:

1

1

2

3. Nota: Aqu se muestran slo tres mdulos ensamblados, por lo que habra que continuar de manera semejante con los tres restantes. Para construir los octaedros se recurri a un tipo de mdulo que genera slo un esqueleto del poliedro, y ste se inicia a partir de cuadrados. El diagrama correspondiente es: 2

En este momento los alumnos recopilaron informacin sobre estos dos poliedros en cuanto a la cantidad de caras, aristas y vrtices en cada caso, as como lo relativo a los ejes de simetra aprovechando la posibilidad de la manipulacin directa. III. El dodecaedro. Para construir el dodecaedro {5,3} era necesario un mdulo que permitiese la aparicin de caras pentagonales y que en cada vrtice concurriesen tres aristas, por lo que se recurri al llamado mdulo triangular de una pieza, que es atribuido a Benett Arnstein (Gurkewitz y Arnstein, 1995:37) y se inicia con un papel en forma de tringulo equiltero, por lo cual en este momento se recupera uno de los elementos que se trabajaron en la primera parte. El procedimiento de construccin se ilustra en el siguiente diagrama:

1 5. En este paso hay que presionar 4 en donde se indica con los tringulos para forzar al papel a que se levante y se forme

3

6

Para la figura se requieren 20 mdulos, que se ensamblan aprovechando las puntas de cada uno y las bolsas que se crean bajo cada una de ellas: se insertan aqullas en stas como se muestra a continuacin.

mdulos necesario es la misma que la cantidad de aristas que tiene el poliedro. El siguiente diagrama ilustra su construccin:

Como resultado se forma primero un anillo pentagonal y luego se siguen uniendo mdulos. Todos los lados deben quedar formados por anillos pentagonales. La figura debe quedar como aparece en la siguiente fotografa:

1

2 6

3

4 Nuevamente, despus de la construccin y de algunas observaciones, se realiz la recopilacin de la informacin referente a la cantidad de caras, aristas y vrtices, as como acerca de los ejes de simetra. Otra cosa que se puede explorar es plantear a los alumnos situaciones relacionadas con la forma de los mdulos. Por ejemplo, preguntar si un mdulo en particular, cuyo procedimiento de construccin les es proporcionado a fin de obtener un poliedro en particular, les sirve para construir algn otro poliedro; si la respuesta es afirmativa, entonces averiguar cul sera dicho poliedro, pero si es negativa inquirir si es posible modificar el mdulo a fin de adaptarlo para un slido diferente. Por ejemplo: si se considera que este mdulo triangular sirve para poliedros en cuyos vrtices concurren tres aristas, se podra preguntar si se puede utilizar para construir un cubo (en el que tambin en cada una de sus vrtices concurren tres aristas), y si no se puede, entonces preguntar sobre las modificaciones posibles que se le podran hacer al mdulo para que sirviera. Tambin es posible comenzar a empujar a los alumnos a que investiguen qu otros poliedros se pueden construir con un mdulo en particular, pues, por ejemplo, este mdulo triangular sirve para construir poliedros tambin con caras hexagonales y crear algo as como un futbolano o icosaedro truncado t{3,5}. IV. El tetraedro y el icosaedro Para el tetraedro {3,3} primero se miraron en un dibujo en perspectiva el nmero de caras y de aristas que tena, pues el mdulo que se utiliz se basa precisamente en este ltimo dato. Hay que recordar que en un dibujo en perspectiva algunos elementos del poliedro quedan ocultos y es necesario que el alumno imagine el cuerpo desde diversos puntos de vista y est de acuerdo con sus compaeros sobre el trabajo a realizar. El mdulo al que se recurri fue desarrollado por Lewis Simon y Benett Arnstein, el cual es llamado mdulo triangular de arista (Gurkewitz y Arnstein, 1995:53) y se inicia con un rectngulo cuya longitud es el doble que su anchura (la mitad de un cuadrado cortado longitudinalmente). Por otro lado, la cantidad de

5 7

8

9

10 11 13 14

En este paso hay que desdoblar la construccin hasta regresar al paso 7: 12 Para el ensamble se insertan los picos en las bolsas de tal manera que coincidan los dobleces. Se requieren 6 mdulos, ensamblando 3 en cada uno de los vrtices. El resultado es el siguiente:

Nuevamente, la recopilacin de informacin referente a la cantidad de caras del poliedro, de sus aristas y vrtices, sobre la cantidad de aristas que concurren en cada uno de los vrtices (y si para todos los vrtices es la misma cantidad) y sobre sus ejes de simetra, se realiz aprovechando la posibilidad de manipular los modelos. Igual que se coment al final de la subseccin anterior, se plantearon interrogantes acerca de la posibilidad de utilizar este mdulo triangular de arista para construir algn otro poliedro. Tras revisar cules se haban construido y observar que slo faltaba el icosaedro {3,5} se aventur la respuesta de que ste podra ser realizado con dicho mdulo. De hecho, una observacin que apareci fue que con este mdulo, en cada cara, se forma un ngulo de 60 en todos sus vrtice, siendo una pista para determinar si realmente se podra utilizar para el icosaedro sin tener que construirlo primero. Tras el

clculo de que seran necesarios 30 mdulos, que se ensamblan de igual manera que para el tetraedro (los picos en las bolsas) hasta llegar a 5 piezas en cada uno de los vrtices, se realiz el modelo que se ilustra a continuacin:

Finalmente, las observaciones sobre la cantidad de caras, aristas y vrtices se realizaron nuevamente, as como la determinacin de cuntas aristas concurren en un vrtices y la referente a los ejes de simetra. Comentarios finales Durante estas actividades se pudo observar que se despert el inters en los alumnos y su participacin se vio reflejada en la construccin de ms modelos que los inicialmente fijados, en la participacin en una muestra cultural en la escuela e, incluso, en la construccin de modelos de diferentes tamaos. El detalle relacionado con la manipulacin manual a travs de dobleces, la aparente sencillez de las construcciones y la sorpresa consiguiente del tipo de resultados sin el uso de cuales instrumentos llev a despertar el inters que se dirigi hacia el estudio de los slidos geomtricos. El inters y la capacidad de razonamiento y de imaginacin espacial se combinaron en los alumnos durante las construcciones, al grado de que una proporcin significativa de ellos comenzaba a ensamblar los mdulos tratando de lograr la construccin, que en ms de una ocasin fue lograda exitosamente sin ayuda externa. El trabajo en equipo, que incluy la comunicacin y la cooperacin entre los alumnos, se vio tambin fortalecido porque una vez que alguien lograba ensamblar los mdulos o realizar las construcciones, generalmente exista la disposicin para ayudar a los compaeros de clase (aunque no estuviesen necesariamente en el mismo equipo) a construir los modelos. Con las construcciones terminadas y la manipulacin directa que se hizo, los alumnos lograron adquirir una seguridad suficiente para el manejo de los conceptos que se abordaron sobre simetras y las partes de los poliedros. Hay que recordar que la manipulacin directa de los modelos permite visualizar las simetras de una manera mucho ms accesible que por medio de dibujos o proyecciones en una pantalla. Por otro lado, se hizo una primera generalizacin de la relacin existente entre la cantidad de caras, de aristas y de vrtices de estos poliedros. De esta manera se realiz un primer acercamiento a la frmula de Euler, la cual proporciona una herramienta que se puede usar para el clculo de mdulos necesarios para una cierta construccin, teniendo datos relacionados con las caras, los vrtices y las aristas. Hay que aclarar que en este caso la orientacin realizada por la profesora fue ms explcita, en parte por la complejidad de manejar varias variables simultneamente y determinar una relacin.

Adems, se logr que los alumnos comenzaran a establecer la relacin de dualidad entre algunos de los poliedros (entre el hexaedro y el octaedro, entre el dodecaedro y el icosaedro, y entre el tetraedro y s mismo) aprovechando la informacin recabada sobre la cantidad de aristas que concurren en cada uno de los vrtices de los poliedros e imaginando los poliedros que se forman al considerar como vrtices los puntos centrales de cada cara de un poliedro dado. Con base en todo lo anterior y en otras experiencias se puede afirmar que el origami, cuando se le considera como un auxiliar de la enseanza de la matemtica, ofrece tcnicas que no slo permiten la construccin de slidos geomtricos, particularmente poliedros, sino tambin de figuras en el plano utilizando materiales que son de fcil adquisicin y econmicos. Estas tcnicas pueden ser explotadas al interior del aula mediante actividades centradas en construcciones de la geometra euclidiana, pero que al no utilizar la regla y el comps se permiten operaciones que pueden considerarse ms cercanas al espritu geomtrico griego relativo al razonamiento deductivo y al uso de la regla no graduada y del comps sin memoria. Las tcnicas de origami modular ofrecen la posibilidad de construir modelos que no se quedan en los poliedros regulares o semirregulares, sino tambin incluso en poliedros sin ejes de simetra, slo es cuestin de buscar las tcnicas y los mdulos necesarios. Es preciso sealar que la utilizacin del origami en las clases de matemtica no busca como objetivo principal el que los alumnos aprendan a doblar papel y a hacer figuras, sino que se busca propiciar el aprendizaje de conceptos matemticos y el desarrollo de habilidades relacionadas. Por esto se hace necesario que las actividades diseadas vayan dirigidas hacia tal aprendizaje a travs de la construccin, la observacin, el anlisis y la investigacin de casos y situaciones que podran resultar interesantes o sorprendentes para el alumno. El origami ofrece la posibilidad de explorar un territorio geomtrico con herramientas accesibles al alumno tanto desde un punto de vista material como cognitivo. En resumen, podemos argumentar que lo llamativo de los productos resultantes, que la potencialidad que tienen las tcnicas en cuanto a la capacidad de ofrecer un medio de manipulacin directa, que el hecho de que todas las tcnicas pueden ser desarrolladas o entendidas como resultado de operaciones geomtricas (que permite pensar en las razones matemticas que sustentan las construcciones), que las posibilidades de investigacin y observacin directa sobre los modelos construidos, y que la situacin particular de que (como consecuencia de lo anterior) las figuras o cuerpos resultantes pueden considerarse como representaciones de figuras o slidos geomtricos, hacen del origami un medio propicio para el diseo de actividades que permitan el aprendizaje del alumno sobre conceptos geomtricos y matemticos en la escuela secundaria.

CUADRILTEROS FIGURA: RECTANGULO Nombre de la Actividad Nivel Fase 1 Construccin de un rectngulo I 2

CONSIGNA

PLAN DE TRABAJO 1.- Se formarn equipos de tres integrantes. 2.- Elaborarn cada uno un rectngulo. 3.- En equipo compararn las figuras resultantes, estableciendo los parecidos y las diferencias.

OBSERVACIONES Se pretende que el alumno identifique el rectngulo a travs de la orientacin dirigida y comparta sus experiencias con sus compaeros.

1.- Tomen un trozo de papel irregular. 2.- Dblenlo y crtenle un lado. 3.- Dblenle otro lado de tal forma que quede haciendo ngulo recto con el primero, quedando otro lado. 4.- Escojan uno de los lados existentes y doblen perpendicularmente para que quede un tercer lado. 5.- Formen el cuarto lado de igual manera que los tres lados anteriores. 2 Nombrar los puntos donde unen dos lados de un rectngulo II 1 1.- Tomen un rectngulo e identifiquen sus cuatro esquinas. En cada esquina se encuentran dos lados que se tocan en ese mismo punto. 2.- Denle un nombre a ese punto. 3.- Ahora encuentra el punto de estos de arriba a la izquierda y ponle "A". 4.- Enseguida y en el mismo sentido que las manecillas del reloj localiza el siguiente punto y llmale "B". 5.- Contina con la misma secuencia y llama "C" y "D" a los siguientes puntos. 3 Identificacin de las partes de un rectngulo. I 2 1.- Doblen un rectngulo a travs de dos esquinas (no importa si las otras dos esquinas no coinciden). 2.- Pnganle nombre al doblez que resulta (diagonal). 3.- Con el mismo procedimiento del paso 1, pero con las otras esquinas, encuentra la otra diagonal. 4.- Nombren el punto donde se cruzan las diagonales. 4 Comprobacin de las propiedades del rectngulo. II 4 1.- Dado un rectngulo por superposicin comprueben: a) si los cuatro ngulos son rectos e iguales; b) si los cuatro lados a veces no son iguales;

Sentados alrededor del saln identificarn lo vrtices, de manera individual y con orientacin dirigida.

Se pretende generalizar la idea de identificacin de vrtices. Se necesitarn rectngulos de diversas dimensiones.

Sentados alrededor del saln por parejas realizarn de forma individual los dobleces para despus intercambiar opiniones acerca de los dobleces y los nombres otorgados.

Para esta actividad se requieren rectngulos de diversas dimensiones. Despus de que los alumnos hayan nombrado las partes se le darn a conocer el nombre aceptado comnmente. Se pretende que el alumno alcance un nivel de pensamiento que le permita realizar comprobaciones iniciales

En equipos de 3 tratarn de realizar la comprobacin. Se intercambiarn opiniones en los mismos

c) si las parejas de lados opuestos son iguales entre s.

equipos. Los resultados y experiencias se intercambiarn ante el grupo.

y no formales. Para la actividad se utilizarn rectngulos de diversas dimensiones.

FIGURA: ROMBO Nombre de la Actividad Nivel Fase CONSIGNA 5 Construccin de un rombo. Mtodo I. I 2 1.- Tomen un rectngulo AB'CD' y obtengan la diagonal AC. 2.- Sobrepongan A y C para formar un doblez perpendicular a la diagonal en su punto medio (el punto O). 3.- El punto B se forma con la interseccin del doblez del paso 3 con el lado B'C. 4.- El punto D se forma con la interseccin del doblez del paso 3 con el lado AD'. 5.- Doblen de C a D y corten el tringulo que se forma con los puntos C, D y D'. Hagan lo mismo doblando de A a B y cortando el tringulo ABB'. 6.- El cuadriltero ABCD es un rombo. 6 Construccin de un rombo. Mtodo II. I 2 1.- Dado un rectngulo A'B'C'D', hagan dobleces en la mitad superponiendo el lado A'D' sobre B'C' y A'B' sobre C'D' para obtener los puntos medios de las lados A, B, C, D y el punto central O. 2.- Hagan un doblez que vaya de A a B, otro que vaya de B a C, otro de C a D y otro de D a A. 3.- Eliminen los tringulos que se forman en las esquinas del rectngulo. 4.- La figura resultante es un rombo. 7 Relacin existente entre los rombos y los rectngulos. II 3 1.- Construyan un rombo que tenga diagonales de aproximadamente 20 cm y 14 cm. 2.- Recrtenlo y doblen las puntas de tal manera que sigan sobre el centro. 3.- Responda: a) qu figura se forma?

PLAN DE TRABAJO

OBSERVACIONES

Se colocarn en crculo los alumnos para realizar de manera individual los dobleces. Identificarn en equipos las partes del rombo y las mencionarn junto con algunas caractersticas que se observen.

Se pretende que el alumno identifique la forma de la figura (el rombo) utilizando la orientacin dirigida, pasando posteriormente al intercambio de experiencias. Al partir de rectngulos se sugiere que en estas dos actividades se utilicen rectngulos de distintas dimensiones, incluyendo cuadrados o casi cuadrados.

Se colocarn en crculo los alumnos para realizar de manera individual los dobleces. Identificarn en equipos las partes del rombo y las mencionarn junto con algunas caractersticas que se observen.

Se pretende que el alumno identifique la forma de la figura (el rombo) utilizando la orientacin dirigida, pasando posteriormente al intercambio de experiencias. Al partir de rectngulos se sugiere que en estas dos actividades se utilicen rectngulos de distintas dimensiones, incluyendo cuadrados o casi cuadrados. Se intenta, al convertir un rombo en un rectngulo, que el alumno observe las relaciones entre estados dos figuras y las ubique como "parientes" dentro del mismo grupo de cuadrilteros (los

Cada alumno realizar el rombo y los dobleces. En equipos de 3 comentarn las caractersticas de la figura resultante. En el grupo de intercambiarn los resultados y observaciones.

b) cmo es su tamao comparado con el del rombo? 8 Comprobacin de las propiedades del rombo. III 4 1.- Construyan un rombo y por superposicin comprueben: a) si los cuatro lados son iguales; b) si las diagonales son perpendiculares entre s; c) si el punto O es el punto medio de las diagonales; d) si los ngulos opuestos son iguales; e) si es un paralelogramo. FIGURA: CUADRADO Nombre de la Actividad Nivel Fase 9 Construccin de un cuadrado. I 2

paralelogramos).

El grupo se organizar en parejas. Individualmente se realizar la construccin de los rombos. En equipo se realizarn las comprobaciones. Se intercambiarn experiencias y observaciones en el grupo.

Se pretende que el alumno determine las caractersticas que no varan en los rombos, para lo cual se necesitarn rombos de distintas dimensiones y el intercambio de experiencias entre los alumnos.

CONSIGNA

PLAN DE TRABAJO De manera individual se llevarn a cabo los dobleces y los cortes.

OBSERVACIONES Se pretende que el alumno comience a construir cuadrados. Al igual que en otras actividades, se sugiere utilizar rectngulos de diversas dimensiones.

1.- tomen un rectngulo cualquiera y dblenlo de tal manera que un lado corto coincida con un lado largo. El resultado es una figura hecha por un tringulo y un rectngulo ms pequeo. 2.- Doblen por la lnea que une al tringulo con el rectngulo pequeo y corten por ah utilizando la navaja. 3.- Al quitar el rectngulo pequeo queda nicamente un tringulo doble. Desdblenlo y se obtiene un cuadrado. 10 Determinar las partes del cuadrado. II 2

1.- Tomen un cuadrado y hagan Organizar a los alumnos en un doblez que vaya de esquina equipos de tres integrantes. a esquina. Cmo llamaran a Se harn los dobleces y las este doblez? comprobaciones de manera 2.- Hagan otro doblez que el individual. otro par de esquinas. Se compararn los resultados 3.- Observen el punto donde se dentro de los equipos y, cruzan los dobleces. Cmo posteriormente, en el grupo. llamaran a ese punto? 4.- Ese punto, cmo divide a cada uno de los dobleces? 5.- Qu ngulo forman los dobleces entre s? 11 Comprobacin de que el cuadrado es un caso particular de los rectngulos. II 4 1.- Tomen un cuadrado y Se formarn equipos de tres apliquen las propiedades del integrantes para intentar hacer rectngulo: la demostracin en equipo. Comprobar que Se compararn los resultados a) los cuatro ngulos son en cada equipo. iguales; Se compararn los resultados, b) los lados opuestos son las observaciones y las iguales entre s; conclusiones a nivel grupal. c) las diagonales se cortan

Se pretende que el alumno determine y nombre cules son las partes del cuadrado que siempre se presentan, aunque varen de tamao.

Se pretende que el alumno relacione las caractersticas de los rectngulos que posee el cuadrado para finalmente concluir que ste ltimo es un caso particular de aqullos. Nuevamente, y es

entre s en sus puntos medios. (Actividad no. 4.)

importante, se sugiere utilizar cuadrados de diversas dimensiones para evitar el creer que el tamao influye en este tipo de relaciones. Se pretende que el alumno relacione las caractersticas de los rombos que posee el cuadrado para relacionarlos entre s y concluir que ste es un caso particular de aqullos. Nuevamente es importante utilizar cuadrados de distintas dimensiones. Se pretende que el alumno generalice las caractersticas inmutables de los cuadrados y lo considere como rectngulo y rombo, simultneamente.

12 Comprobacin de que el cuadrado es un caso particular de los rombos. II 4 1.- Tomen un cuadrado y Se formarn equipos de tres apliquen las propiedades del integrantes para intentar rombo: hacer la demostracin en Comprobar que equipo. a) los cuatro lados son Se compararn los iguales; resultados en cada equipo. b) las diagonales son Se compararn los perpendiculares entre s; resultados, las observaciones c) los ngulos opuestos son y las conclusiones a nivel iguales. grupal. (Actividad no. 8.) 13 Comprobacin de las carctersticas generales de los cuadrados. III 4 1.- Tomen un cuadrado y, por Se formarn equipos de tres superposicin, comprueben las integrantes. propiedades del cuadrado: Se harn los dobleces de a) si los cuatro lados son manera individual. iguales; Se compararn los b) si los cuatro ngulos son resultados por equipo. iguales; Se compararn los c) si sus diagonales son resultados, las observaciones perpendiculares entre s y se y las conclusiones a nivel cortan en sus puntos medios. grupal, estableciendo relaciones entre esta actividad y las dos anteriores. FIGURA: TRAPECIO Nombre de la Actividad Nivel Fase CONSIGNA 14 Construccin de un trapecio. I 2 1.- Tomen un rectngulo y elijan un lado al que llamaremos "borde". 2.- En el lado opuesto a la "base" escojan un punto. 3.- Unan los extremos de la "base" con el punto que escogieron utilizando dos dobleces. 4.- Hagan un doblez que sea paralelo a la "base". 5.- En la parte inferior, pegada a la "base", se forma una figura de cuatro lados a la que llamaremos trapecio. 15 Partes de los trapecios. II 2 1.- Tomen un trapecio y dblenlo por dos esquinas opuestas. El doblez que resulta es una diagonal. 2.- La otra diagonal se obtiene de manera semejante, pero usando el

PLAN DE TRABAJO El grupo se organiza en equipos de 2 3 integrantes. Los dobleces y las construcciones se realizan de manera individual. Se comparan los resultados en los equipos.

OBSERVACIONES Se pretende que el alumno logre una visualizacin general de los trapecios.

Despus de organizar por equipos al grupo, los dobleces y la observacin se llevar a cabo individualmente, para posteriormente intercambiar experiencias en los equipos.

El alumno determinar qu partes del trapecio son invariables, sin considerar cuestiones de tipo cuantitativo.

otro par de esquinas. 3.- EL punto donde se cruzan las diagonales, cmo lo llamaras? 4.- El lado que llamamos inicialmente "base" se le llama "base mayor". 5.- Al lado opuesto a la "base mayor" se le llama "base menor". 6.- Las dos "bases", son paralelas entre s? 16 Construccin de un trapecio escaleno. 1.- Tomen un rectngulo y hagan el mismo procedimiento que se hizo para hacer el trapecio (actividad 14), con la pequea diferencia de que el punto escogido en el lado opuesto a la "base" NO sea el punto medio. 17 Propiedades de los trapecios escalenos. III 4 1.- Tomen un trapecio escaleno y comprueben que: a) las dos bases son paralelas entre s; b) los dos lados que no son bases NO son iguales; c) las diagonales tampoco son iguales. 2.- Si saben acerca del tringulo escaleno establecer la relacin ste por lo del nombre. 18 Construccin de un trapecio issceles. I 2 1.- Tomen un rectngulo y hagan el mismo proceso que se sigui para el trapecio (actividad 14), pero ahora el punto elegido debe ser el PUNTO MEDIO del lado opuesto a la base. 19 Propiedades del trapecio issceles. III 4 1.- Tomen un trapecio issceles y comprueben que: a) las dos bases son paralelas; b) los lados que no son bases son iguales; c) las diagonales son iguales; d) los ngulos en los extremos de la base mayor son iguales; y e) los ngulos en los extremos de la base menor son iguales. I 2 Se organizan a los alumnos por equipos. La construccin se lleva individualmente y, al final, se comparan resultados en los equipos. El alumno podr visualizar la forma general de un trapecio escaleno y, slo en caso de conocer a los tringulos escalenos, podr comparar su forma y su forma con stos ltimos.

En equipos de tres integrantes llevar a cabo la actividad. Comentar dentro del equipo los resultados y posteriormente comentarlos a nivel grupal.

Se pretende que el alumno generalice las caractersticas de los trapecios escalenos.

Organizar equipos y doblar individualmente. Comparar los dobleces en los equipos y plantear la cuestin del nombre.

El alumno podr visualizar la forma general de los trapecios issceles y, slo si conoce los tringulos issceles, podr comparar en forma y nombre aqullos con stos. Se pretende que el alumno determine las caractersticas y propiedades generales de los trapecios issceles, sin importar criterios cuantitativos.

Organizar el grupo en equipos de tres alumnos. Realizar las comprobaciones y comentar los resultados en los equipos. Posteriormente comentar los resultados y observaciones a nivel grupal.

2.- Si saben acerca del tringulo issceles establecer la relacin con ste por lo del nombre. 20 Construccin de un trapecio rectngulo. I 2 1.- Tomen un rectngulo y realicen el mismo procedimiento que se llev a cabo para construir el trapecio (actividad 14) pero el punto escogido debe ser uno de los dos extremos del lado opuesto a la "base". 21 Propiedades del trapecio rectngulo. III 4 1.- Tomen un trapecio rectngulo y comprueben: a) si las dos bases son paralelas; b) si los lados que no son bases NO son iguales; c) si los ngulos en los extremos de uno de los dos lados que no son bases son rectos. 2.- Si saben acerca del tringulo rectngulo establecer la posible relacin a travs del nombre. 3.- Determinen si el trapecio rectngulo es trapecio issceles o trapecio escaleno. FIGURA: TRAPEZOIDE Nombre de la Actividad Nivel Fase CONSIGNA 22 Construccin de un trapezoide. I 2 1.- Tomen un cuadrado y hganle un doblez que pase por el centro, pero que no sea diagonal. 2.- Corten por el doblez hecho. 3.- Se han obtenido dos figuras congruentes, qu son? 4.- Se hace ahora otro doblez que pase por el centro del cuadrado inicial y que sea perpendicular al primer doblez. 5.- Corten por el doblez realizado. 6.- Se han obtenido cuatro figuras. Qu son?, cmo son?

Organizar el grupo en equipos de tres alumnos. Realizar la construccin de manera individual. Comentar los resultados en los equipos.

El alumno podr crear y visualizar los trapecios rectngulos a partir de un rectngulo, formndose una idea general de los mismos.

Organizar al grupo en equipos de tres. Realizar los dobleces y las observaciones inicialmente de manera individual. Comparar los resultados por equipos y, posteriormente, a nivel grupal junto con las conclusiones.

Se pretende que el alumno determine las propiedades y caractersticas generales de los trapecios rectngulos y establecer, slo si conocen los tringulos rectngulos, una analoga con stos a travs del nombre. Finalmente el alumno establecer una relacin de esta figura con las propiedades de los trapecios escalenos para concluir que aqullos son un subconjunto de stos ltimos.

PLAN DE TRABAJO

OBSERVACIONES

Organizar al grupo por parejas. Realizar individualmente los dobleces y compararlos con su pareja.

Se pretende que, con la ayuda de todo el grupo, el alumno encuentra las caractersticas que tienen los trapezoides. Al igual que en actividades anteriores, es recomendable utilizar cuadrados de distintos tamaos.

Herramienta triangular para medir ngulos: Transportador Traduccin por Luis Gerardo Meza, Instituto Tecnolgico de Costa Rica, y Alejandra Len Castell, Fundacin CIENTEC con autorizacin de la editorial. Nivel Esta publicacin est dirigida a estudiantes de la educacin media y superior, a clubes de origami y otros programas extracurriculares.

1. Doble el papel a la mitad y desdblelo nuevamente.

Qu significan las marcas en los arcos de la izquierda? Cual es la razn entre el largo y el ancho de cada rectngulo, respectivamente, y el lado del cuadrado completo?

2. Doble la esquina superior derecha para abajo de tal manera que el vrtice A caiga sobre el segmento BC. Asegrese de que el doblez pasa por el vrtice D. Kunihiko Kasahara, quien ha escrito muchos libros sobre origami, ha mostrado que con cuatro dobleces se puede hacer una herramienta muy til para medir ocho ngulos de diferentes medidas. Si usted olvida su transportador alguna vez, an podr tener mucho poder de medicin de ngulos con slo utilizar una pieza cuadrada de papel. El proceso de doblado para hacer esta herramienta de medicin es fcil si usted sigue las instrucciones paso a paso. Materiales necesarios para cada estudiante Una hoja cuadrada de papel de origami u otro papel fino Su diario de origami Asociacin Trabaje con una pareja. Cada persona deber doblar su propia herramienta de medicin.

Qu clase de tringulo acaba de construir?

3. Doble la esquina izquierda inferior hacia arriba hasta que se una con la esquina derecha del cuadrado.

Instrucciones de doblado y preguntas Cuando usted doble, piense en las respuestas a las preguntas generadas por los diferentes pasos del doblado. Cuando haya terminado, conteste las preguntas en su diario de origami.

Qu clase de tringulo ha formado?

4. Doble la base del tringulo tal como se muestra en la figura.

2. Haga una lista de las diferentes medidas de los ngulos encontrados. 3. Las y los arquitectos llaman los tringulos 30-60-90 tringulos de 30 y los de 45-4590, tringulos de 45. Explique por qu piensa que es as. 4. Use su herramienta para medir ngulos internos y externos en cada uno de los polgonos a continuacin. Para medir algunos de los ngulos, necesitar la combinacin de dos herramientas. Polgono regular Tringulo equiltero Hexgono regular Octgono regular Dodecgono regular Medida de Medida cada ngulo ngulo interior exterior del

Qu tienen en comn todos los tringulos del dibujo superior?

5. Usted ha doblado una herramienta triangular que sirve para medir ngulos.

Recuerde contestar cada una de las preguntas en su diario de progreso en origami.

Explore su modelo Anote las respuestas a las siguientes preguntas en su diario de origami. 1. Desdoble su herramienta de medicin angular y encuentre la medida de cada uno de los ngulos formados por los dobleces. Escriba los ngulos sobre los tringulos correspondientes en su herramienta y gurdelo para utilizarlo como referencia. Explique cmo averigu la medida de cada Notas para las y los docentes Objetivos Explorar la relacin entre las medidas de los ngulos Explorar diversos tipos de tringulos rectngulos. Aplicar el teorema de la suma de los ngulos de un tringulo. Doblar la herramienta triangular de medicin de

ngulo.

ngulos Apreciar el poder, la simplicidad y la economa del origami 1. Los y las estudiantes pueden anotar las medidas de los ngulos directamente en el diagrama. Deben justificar sus procedimientos y conclusiones en el diario de origami. Las razonamientos variarn de acuerdo a los ngulos medidos. Estimule a sus estudiantes para que compartan sus argumentos. 2. Los diferentes ngulos en la herramienta de medicin son: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 150 y 180. 3. Las y los arquitectos utilizan herramientas con forma de tringulo rectngulo. Si usted conoce la medida de uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, entonces usted puede calcular la medida del otro ngulo agudo. 4. Polgono regular Tringulo equiltero Hexgono regular Octgono regular Dodecgono regular Medida de Medida del cada ngulo ngulo exterior interior 60 120 135 150 120 60 45 30

Materiales para educadores Un cuadrado de papel encerado o un papel grande para demostracin Un proyector de filminas (transparencias) Tiempo 30 minutos Asociacin Las y los estudiantes deben trabajar en parejas. Cada estudiante debe construir su propia herramienta de medicin. Instrucciones generales El papel encerado de envolver alimentos (Patty paper) funciona bien porque los y las jvenes pueden escribir las medidas de los ngulos directamente sobre el papel y mantenerlo dentro del diario de origami para referencia futura. Si los y las estudiantes tiene dificultad en seguir las instrucciones, usted puede demostrar la secuencia del doblado usando papel encerado en el proyector de filminas o con un papel grande. Estimule a sus estudiantes para que piensen sobre las preguntas incluidas en las instrucciones, mientras completan la secuencia. Despus de que cada estudiantes haya completado el doblado, recurdeles regresar a las preguntas y contestarlas en su diario de origami. Respuestas 1. La lnea en el centro de los arcos indica que los segmentos son congruentes. 2. El lado largo del rectngulo y el lado del cuadrado son del mismo tamao. El ancho del rectngulo es la mitad del largo del cuadrado. 3. Un tringulo rectngulo escaleno. 4. Un tringulo rectngulo escaleno 30-60-90. 5. Todos son tringulos rectngulos escalenos. 6. (No hay pregunta.) Explorando su modelo

CONSTRUCCIN DE CNICAS MEDIANTE PAPIROFLEXIA En matemticas recibe el nombre de cnicas un conjunto de curvas formado por la elipse, la parbola y la hiprbola. Dibujarlas y construirlas no siempre es fcil. En esta experiencia te mostramos un mtodo que te permite llegar a obtener cualquiera de estas tres curvas mediante el plegado de una hoja de papel (papiroflexia). ELIPSE Toma un papel y dibuja en l una circunferencia lo ms grande posible. Utiliza un rotulador para que pueda verse al trasluz. A continuacin pinta un punto dentro de la circunferencia pero procurando que quede lejos del centro de la misma. Ya tienes preparado el material y podemos empezar a plegar de la siguiente manera: Tienes que plegar el papel de manera que, mirando a trasluz, hagas coincidir un punto de la circunferencia con el punto pintado dentro de ella como indican los dibujos.

en la figura puedes observar como, poco a poco, va perfilndose la elipse una vez que se han hecho algunos cuantos pliegues HIPRBOLA Se procede de la misma manera que con la elipse pero pintando el punto fuera de la circunferencia en lugar de dentro. En este caso te conviene que la circunferencia sea un poco ms pequea, pero no demasiado. Los focos de la hiprbola resultante tambin son el punto dibujado y el centro de la circunferencia.

Marca bien la lnea de pliegue y abre el papel. Reptelo varias veces con distintos puntos de la circunferencia o direcciones de plegado. Cuantas ms mejor. Despus de haberlo hecho suficientes veces, abre de nuevo el papel y podrs ver que los pliegues perfilan una elipse en la que el punto que dibujaste es uno de los focos y el centro de la circunferencia el otro.

PARBOLA En este caso en lugar de una circunferencia hay que pintar una recta. Pntala mejor cerca de borde corto del papel y paralela al mismo. Pinta un punto no demasiado lejos de la recta en el lado que tienes ms espacio y lejos de los bordes. Pliega el papel haciendo que al trasluz coincida un punto de la recta con el que t has pintado. Marca bien el pliegue y despus abre el papel. Reptelo varias veces con distintos puntos de la recta. Despus de los plegados, al abrir el papel, vers que los pliegues perfilan una parbola en la que el foco es el punto que has pintado, y la recta la directriz.

VEMOS FORMAS GEOMTRICAS. CALCULAMOS LONGITUDES Y REAS CON AYUDA DE LA PAPIROFLEXIA Una hoja Din A4 es un rectngulo de dimensiones 210 mm x 297 mm. Doblamos la hoja segn las indicaciones de: como hacer un TRINGULO EQUILTERO con una HOJA DINA4 Nos encontramos con una primera figura conocida: UN Nos fijamos en una altura del tringulo. Desplegamos y plegamos la hoja y nos damos cuenta que la altura mide (en mm.) AD = Llamaremos H a la altura AD del tringulo T1 Llamaremos L a la longitud del lado AB = AC = BD TODAS LAS MEDIDAS Y LOS CLCULOS LOS HAREMOS EN FUNCIN DE L y H Doblamos, haciendo coincidir dos vrtices del triangulo y obtenemos UN Nombramos los vrtices y ponemos las longitudes de los lados, en funcin de L y H. Qu relacin hay entre los elementos de este triangulo T2 y el tringulo T1? T1 lado AB = AC = BC = Altura : rea: Altura : rea

T2

Qu relacin hay entre el rea de T1 y el rea de T2? Si H = 210 mm Cunto mide L? y el rea de T1 y T2 Desplegamos T2 y doblamos haciendo coincidir los vrtices dos a dos as quedaran marcadas las tres alturas Define las tres rectas notables del tringulo ALTURA MEDIANA MEDIATRIZ

Observa: En un TRINGULO EQUILTERO las tres coinciden Doblando el vrtice A sobre el punto D obtenemos UN Por qu figuras est formado? Qu dimensiones tendr esta figura? LADO CB EF CE Altura del trapecio es en relacin con T1

Cmo podemos calcular su rea? Qu relacin hay entre el rea de T3 y la de T1 El rea del TRAPECIO es Si doblamos el punto B sobre E obtenemos UN Por qu figuras est formado?Qu dimensiones tendr esta figura?. LADO es en relacin con T1 CD=DF=FE=EC Diagonal menor ED Diagonal mayor CF Cmo podemos calcular su rea? El rea del ROMBO es Desplegamos para obtener T1 y plegamos los vrtices A, B y C sobre el punto O y obtenemos UN Por qu figuras est formado Lado del hexgono: Apotema es Cmo podemos calcular su rea?

El rea de un polgono regular es OTRA PRCTICA CON PAPIROFLEXIA. TRINGULOS ISSCELES Partimos de un folio DINA4 (221mm x 297 mm) . Doblamos el folio por la mitad, unos alumnos por el lado ms largo y otros por el menor. Haz los siguientes dobleces.

Trabajaremos sobre el tringulo ABH El ngulo A mide: El ngulo B mide: Por lo tanto el tringulo ABH es lado mide por qu?

El ngulo H mide:

BH AH AB PERMETRO Y REA DEL TRINGULO ABH: Trabajaremos sobre el tringulo ABC El ngulo A mide: El ngulo B mide: Por lo tanto el tringulo ABC es lado mide por qu? AB AC BC PERMETRO Y REA DEL TRINGULO ABC:

El ngulo C mide:

A HB y HA A' ngulo de:

B H forman un HA HB B' C' AB y AC forman un A' B ' C ' A' ngulo de: AB Los tringulos que cumplen estas condiciones se dice que son SEMEJANTES C ' B' permetro de ABH rea de ABH permetro de A' B' C ' rea de A' B' C 'Calcula el permetro y el rea de las tres figuras que hemos formado Cada alumno tomar un folio y har un corte paralelo a un lado (procura doblar bien el folio antes de recortar) Con este nuevo rectngulo cada alumno realizar la prctica anterior y comparar los resultados entre s

A

B

H

HB

HA

AB

A'

B'

C'

AB

CA

CB

HB A' B '

HA C ' A'

AB C ' B'