Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligaciones4. Bonos y obligaciones 4.1 Conceptos bsicos Las obligaciones o bonos son documentos o ttulos de crdito emitidos por un gobierno o una empresa privada, a un plazoestablecido, que ganan intereses pagaderos a intervalos de tiempo claramente determinados. Constituyen los instrumentos de financiamiento, por medio de los cuales un gobierno o una empresa privada se agencia del dinero necesario para financiar sus proyectos a largo plazo. Pueden ser adquiridos tanto por personas fsicascomo morales: la empresa o gobierno que emite las obligaciones o bonos se obligaa pagarles un inters peridico y a reintegrarles su inversin al cabo de cierto tiempo. 4.2 Tipos de bonos y obligaciones Cuando los ttulos los emite un gobierno, seles denomina bonos; cuando una empresa privada, obligaciones o bonos corporativos. De acuerdo con el destinatario se clasifican en: a. Al portador, los que notienen el nombre de su propietario. b. Nominativos, los que lo tienen. Por el tipo de garanta que los respalda se dividen en: a. Fiduciarios, aquellos cuya proteccin la constituye un fideicomiso. b. Hipotecarios, los que se avalan con hipoteca sobre bienes propiedad de la empresa emisora. c. Prendarios, si los respaldandiversos bienes. d. Quirografarios, cuando la buena reputacin de la empresa emisora, en cuanto al cumplimiento de sus obligaciones contradas, los asegura. Ahora bien, para el pago de intereses los bonos y obligaciones se emiten generalmente acompaados de cupones. stos son pagars impresos en serie, vienen unidos al ttulo y contienen impresa la fecha de su vencimiento. El tenedor del documento puede cobrar el inters ganado en un determinado periodo, desprendiendo el cupn correspondiente y presentndolo al banco. Sin embargo, algunos bonos y obligaciones carecen de cupones: en estos casos el inters generado se capitaliza y se paga al vencimientodel documento. Por otro lado, existen bonos y obligaciones que no pagan intereses en absoluto. Son los llamados de cupn cero y se venden con una tasa de descuento: su valor de venta es inferior a su valor nominal. 4.3 Valor de una obligacin El ttulo o documento del bono u obligacin, tiene tres elementos esenciales:Ricardo Coronado Velasco 1

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligaciones1. Valor nominal: marcado en el documento, constituye el capital que el inversionista inicial proporciona al emisor del ttulo, excepto en el caso en el que el documento se coloca con descuento. 2. Valor de redencin: la cantidad que el emisordel ttulo deber entregar al tenedor del documento, cuando se venza el plazo estipulado. 3. Fecha de emisin: aquella en la que el emisor coloca en el mercado de valores sus obligaciones o bonos. As, si el valor de redencin es superior al valor nominal, se dice que se redime con prima; si inferior, se redime con descuento; y,si igual, se redime a la par. Si bien un bono u obligacin tiene una fecha de vencimiento o redencin (estipulada claramente en el documento), el emisor puede redimirla antes de dicha fecha. Por supuesto que para poder hacerlo es necesario queel documento contenga una clusula de redencin anticipada. Este mecanismo le permite a la empresa emisora retirar sus ttulos en circulacin cuando las tasas de intersen el mercado bajan, y sustituirlos por otros que paguen esas tasas de inters reducidas. En cuanto a los intereses, el emisor los determina a travs de una tasa de inters nominal, tambin llamada tasa de cupn. Esta tasa, dependiendo de las condiciones del mercado financiero, puede ser: a. Fija: vigente durante la vida del documento (y, por supuesto, establecida desde el momento de la emisin). Previene alinversionista contra las cadas de las tasas de inters. b. Variable: flucta reflejando las condiciones del mercado prevalecientes y est vinculada a una tasa de referencia (Cetes, TIIE, etc.). c. Real: se calcula peridicamente con base en el valor nominal del ttulo ajustado con la inflacin. Protege al inversionista contra la prdida de poder adquisitivo de su inversin. El organismo emisor le paga los intereses al inversionista a travs de una serie de cupones que ste cobrar peridicamente. Elvalor de los cupones se calcula en trminos de inters simple con la frmula r R = N p(4.1)donde R es el valor del cupn; N, el valor nominal del bono; r, la tasa nominal ode cupn; y p, la frecuencia de capitalizacin al ao. EJEMPLO 4.3.1 Una compaa emite obligaciones con valor nominal de $150.00, el 1 de octubre de 2011. Los ttulos se redimen a la par, el 1 de octubre de 2012. La empresa ofrece inRicardo Coronado Velasco 2

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionestereses de 5.5%, pagaderos en cupones que se vencen los das primeros de los mesesde enero, abril, julio y octubre de cada ao. (a) Calcule el valor de los cupones. (b) Dibuje el diagrama de tiempo correspondiente. SOLUCIN (a) De acuerdo con los datos, la frecuencia de capitalizacin (p) es 4. De la Ec. 4.1 tenemos 0.055 R = 150 = $2.06 4 (b) El diagrama de tiempo, incluyendo todas las cantidades es:4.4 Compra y venta El tenedor de un bono u obligacin puede transferirlo (venderlo) a otro inversionista, antes de la fecha de su vencimiento. Se dice que la transferencia es con prima, si el valor de compra venta es mayor que el de redencin;con descuento, si aqul es menor que ste; a la par, si son iguales. El precio que paga un inversionista interesado en la compra de los ttulos se denomina valor de mercado. La operacin puede darse al vencimiento de alguno de los cupones, denominada en fechas; o bien, antes del vencimiento del siguiente cupn, pero despus del ltimo, llamada entre fechas. En esta curso nos limitaremos al primer caso. Adems deltipo de garanta del ttulo y de las condiciones econmicas prevalecientes, el valorde mercado se fija de acuerdo con los siguientes factores: La tasa de intersLa tasa de inters deseada por el inversionista, conocida como de rendimiento. Elintervalo de tiempo para el pago de los intereses (cupones). El valor de redencin. El tiempo que hay desde la fecha de compra hasta la de redencin.3Ricardo Coronado Velasco

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesCon ellos el inversionista puede calcular cunto est dispuesto a pagar en la comprade un bono u obligacin, suponiendo que desea un rendimiento determinado. Para elinversionista la compra de un bono equivale a un prstamo que l hace al organismoemisor. Por lo tanto, espera un beneficio. ste se mide en funcin de una tasa de inters o rendimiento deseado, que aqu denominamos i. Esta tasa es independiente delde la tasa de cupn r que ofrece la emisora. Si el inversionista quiere saber cuntodebe pagar por un bono para obtener un rendimiento i, debe sumar el valor presente a la fecha de la transaccin de las cantidades que recibir con la compra del ttulo. stas son dos: 1. El valor M de redencin del documento, al vencimiento del plazo.2. Un nmero explcito de cupones de valor R, que el inversionista cobrar peridicamente en el banco El valor presente del valor de redencin se obtiene con la frmulaM 1+ i p() np(4.2)donde np coincide con el nmero de cupones que faltan por cobrar, a partir de la fecha de la operacin. El valor presente del total de pagos R se calcula con la frmula del de una anualidad vencida, i 1 1 + p R i p () np (4.3)Sumando las Ecs. 4.2 y 4.3, obtenemos el valor de compra de un bono u obligacin para un rendimiento deseado:C = M 1+ i p() np i 1 1 + p + R i p () np

(4.4)donde, C es el valor de compra venta; M es el valor de redencin del ttulo; N, el valor nominal; r, la tasa de cupn o de inters que ofrece el emisor; i, la tasa de rendimientoRicardo Coronado Velasco 4

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesdeseada por el inversionista; p, la frecuencia de capitalizacin por ao; n, el plazo, en aos, entre la fecha de compra y la de redencin; y np, el nmero de periodos oel nmero de cupones que el inversionista recibir a partir de la fecha de compra. EJEMPLO 4.4.1 Una compaa emite obligaciones de $150 que se redimen a la par el 1 dejulio de 2017, con intereses del 23.5%, pagaderos en cupones que vencen los dasprimeros de los meses de enero, abril, julio y octubre de cada ao. Cunto debera pagarse por cada bono el 1 de octubre de 2012, si se pretende obtener rendimientos del 35% anual con capitalizacin trimestral? A cunto ascienden las utilidades para elinversionista que las compra? SOLUCIN Ya que los cupones se pagan en enero, abril, julio y octubre de cada ao, se trata, por lo tanto, de cupones trimestrales. En consecuencia, se puede decir que el inters que la compaa ofrece es de 23.5% anualcon capitalizacin trimestral. Es importante verificar que las tasas i y r se expresan en el mismo periodo de capitalizacin, lo cual en este problema se cumple. Adems, entre el 1 de octubre de 2012 y el 1 de julio de 2017 hay 19 trimestres. Por otro lado, como el ttulo se vence a la par, el valor de redencin es igual al valor nominal. As, los datos con los que contamos son: Variable N M p np Valor 150 150 4 19De la ecuacin (4.1), el valor de cada cupn es: 0.235 R = 150 = $8.81 4 Luego, sustituyendo en la Ec. 4.2, el valor presente del de redencin:150 1 + 0.35 4()19= 30.47Ricardo Coronado Velasco5

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesDe la misma forma, de acuerdo con la Ec. 4.3, el valor presente de los 19 cupones que falta por cobrar es:1 1 + 0.35 4 8.81 0.35 4 Sustituyendo ambas cantidades en la Ec. 4.4,()19 = 80.25 C = 30.47 + 80.25 = 110.73Con esto queda respondida la primera pregunta: el bono tiene un valor de compraventa de $110.73. Ahora bien, la utilidad por bono es la diferencia entre lo queel inversionista recibe en total por cada bono y su valor de compra venta. Lo que recibe corresponde a dos rubros: (1) el valor M de redencin del bono, y (2) lasuma de los 19 cupones, cada uno de valor R. Es decir, recibe150 + 19 8.81 = 150 + 167.44 = 317.44Lo que invierte es el valor de compraventa, o sea: $110.73. As, si simbolizamos con U la utilidad, U = 317.44 110.73 = $206.71 , que es respuesta a la segunda pregunta del problema. COMENTARIO ADICIONAL Ntese que el valor de compra venta es menor que el de redencin (110.73 < 150.00). Entonces, la transferencia se hizo condescuento. EJEMPLO 4.4.2 Cul es el valor de compraventa de una obligacin quirografaria con valor nominal de 150, intereses del 26.75% nominal en cupones mensuales, suponiendo que se redimen a 115? La operacin se realiz 5 aos antes del vencimiento y se ofrecen al inversionista con un rendimiento del 27.5% de inters anual compuesto por semestres. SOLUCIN Para comenzar, recordemos que las dos tasas, r e i,se deben capitalizar en el mismo periodo. En este caso, mensualmente. Ya que r es la tasa de cupn, su periodo es elRicardo Coronado Velasco6

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesque rige. La tasa de rendimiento de 27.5% anual compuesto por semestres debe convertirse a una equivalente compuesta por meses. Esta tasa se puede calcular conla relacin de tasas equivalentes, o bien, con las funciones financieras de una hoja de clculo (MS Excel, por ejemplo). En el caso primero, la frmula es i i1 = p1 1 + 2 p 2 o sea,()p2 p1 1 i1 = 12 1 + 0.275 2 ()2 12 1 = 26.05% es decir: la tasa del 27.5% anual de capitalizacin semestral es equivalente a lade 26.05% anual con capitalizacin mensual. Con la hoja de clculo de MS Excel, la tasa semestral se convierte primero a una tasa efectiva con la funcin INT.EFECTIVO, luego, esa tasa se convierte a nominal con la funcin TASA.NOMINAL. Una vez realizado lo anterior, los datos del problema se resumen en la siguiente tabla:Variable Valor N 150 M (1.15N) 172.5 p 12 n 5 np 60 r 26.75% i 26.05%De la Ec. 4.1, el valor de cada cupones es 0.2675 R = 150 = 3.34 12 Ricardo Coronado Velasco7

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesDe las Ecs. 4.2 y 4.3, los valores presentes de redencin y de los 60 cupones porcobrar son, respectivamente,150 1 + 0.260512y()60= 47.561 1 + 0.2605 12 3.34 0.2605 12 ()60 = 111.58 Sumando ambas cantidades, de acuerdo con la Ec. 4.4, C = $159.14, el valor de compra venta. COMENTARIO ADICIONAL El bono se compr con un descuento de $13.36 (M C). Adems, cada bono tiene una utilidad de $213.98. EJEMPLO 4.4.3. CLCULO DEL RENDIMIENTO Con frecuencia el inversionista conoce el valor de redencin del ttulo y elde compra, pero desconoce cul es la tasa de rendimiento que le proporciona el ttulo. Existen varias formas de resolver este problema. Una muy sencilla es utilizarla hoja de clculo de MS Excel. Las herramientas de anlisis BUSCAR OBJETIVO o la herramienta SOLVER resultan muy eficaces. Otra manera, es emplear mtodos de pruebay error. Uno de ellos es ensayar con varias tasas en la Ec. 4.4 hasta obtener un valor de compara venta muy aproximado al del ttulo. La eficacia de este mtodo depende de la habilidad del calculador para establecer un intervalo numrico dentrodel cual est la tasa correcta. Un buen inicio se obtiene suponiendo i cercano a r. Tambin se puede empezar el proceso de prueba y error a partir de la ecuacin:i=2 [ np R + M C ] np ( M + C )(4.5)Esta frmula proporciona la tasa de rendimiento i en trminos de la frecuencia de capitalizacin de r. Por lo tanto, para expresarla en trminos anuales hay que multiplicarla por p.Ricardo Coronado Velasco 8

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesPara ilustrar lo anterior, suponga que le interesa calcular el rendimiento que dar un bono comprado a $108.00, 3 aos antes de su vencimiento. El ttulo tiene un valor nominal de $100, se redime a la par, y paga intereses del 28% anual con cupones semestrales. SOLUCIN 0.28 = $14.00 . Para comenzar, el valor de los cupones es R = 100 2 Con la Ec. 4.5 calculamos el primer intento,2 np R + M C = 2 6 14 + 100 108 = 0.12179 i= np M + C 6 100 + 108()()que es la tasa semestral. La anual ser: 0.12179 2 = 0.24359 . O sea, i = 24.359%.Calculando el valor de compraventa (Ec. 4.4) con esta tasa, tenemos, C = 107.45. Un valor menor al real de 108. Ahora hay que probar con varias tasas ligeramente mayores y menores que el obtenido, hasta acercarse lo ms posible al 108. As, obtenemos la siguiente tabla: 24.550% 24.420% 24.359% 24.300% 24.200% 24.100% 24.050% 107.0372821 107.3158555 107.44692 107.5739001 107.7895998 108.005904 108.1142834Como puede verse, la tasa de rendimiento que mejor se ajusta al precio de compraventa dado es 24.1% anual, con capitalizacin semestral. Para generar esta tablael MS Excel cuenta con la poderosa herramienta de anlisis TABLA DE DATOS DE UNA COLUMNA. 4.5 Emisin El principal emisor de bonos en Mxico es el Gobierno Federal. Entre los ms importantes estn los siguientes:Ricardo Coronado Velasco9

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesBonosmomentofijaquetasaunaameses6Paganaos.5general,pory,emisin(BONDEST).trimestralbonoEste(BREMS).delMonetariaRegulacinreobjetoconMxicoBancoemitelocreacinreciente182paganUDISengeneranseLoso3plazoEl(IPAB).BancarioAhorroalProteccinInstitutodas.28cadaesintereseslosdepagoelyaosLaPagadinero.mercadoliquidezlatreses,variableintersdesoperan100nominalvalorSu(UDIBONOS).NacionalndiceligadosestncaractersticaprincipallasinversionistaprotegerfinConsumidorPreciosDesarrollodelGobiernoFederal(BONDES).Haydostipos:conpagointeresesysemestralproteccincontralainflacin(BONDES182),BonosProteccinalAhorroBancario(BPAs).Elemisordeestosbonos5esTasaIntersFija(BOtasaDenominadosenUnidadesInversininflacionarias.plazoestetipo182dassusmlzasgularcuento.NOS).tiplos.4.6 Tasa de inters a largo plazo Un bono o una obligacin constituye la promesa derealizar dos acciones: hacer pagos peridicos de intereses y redimir el ttulo a suvencimiento. Los rendimientos de los bonos y obligaciones tienden a aumentar o disminuir con el tiempo. A medida que las tasas de inters suben, los precios de las obligaciones disminuyen; y viceversa: si aquellas bajan, estos aumentarn hastael punto cercano al precio que una sociedad annima pueda recurrir al retiro de las obligaciones de la circulacin. Una forma de evitar problemas concernientes al riesgo de que las obligaciones sean retiradas anticipadamente, consiste en comprar la que hayan estado en mercado durante varios aos. El rendimiento al vencimiento sobre emisiones ya maduras constantemente se ajustan a las tasas vigentes respecto de nuevas emisiones. En cualquier momento determinado, el rendimiento sobreemisiones ms viejas ser inferior al de las nuevas emisiones, pero esto se compensar en parte por impuestos sobre la renta ms bajos que se pagarn sobre las gananciasde capital que representan diferencias entre los precios de compra y redencin.Ricardo Coronado Velasco10

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligaciones4.7 Problemas Transferencia de bonos y obligaciones 1. La compaa Aeronaves del Sureste, emite obligaciones con valor nominal de $200 pagando intereses del 33% anual con cupones que vencen al decimoquinto da de los meses de enero, mayo y septiembre de cada ao. Cul es el precio de cada obligacin el 15 de mayo de 2002, si se redimen a la par el 15 de septiembre de 2009 y se pretenden rendimientos del 42% anual compuesto por cuatrimestres? 2. Una obligacin de $100 de la Siderrgica del Norte, paga intereses del 18% anual compuesto por cuatrimestres. Cul es el valor de compraventa el 1 de febrero si vence a la par el 1 de octubre del ao siguiente y sepretende un rendimiento del 16% nominal cuatrimestral? 3. Encuentre el precio de compraventa el 15 de agosto de 2002, de una obligacin hipotecaria con valor nominal de $300, paga intereses del 16% anual en cupones trimestrales, se desea unrendimiento del 18% anual compuesto por trimestres y adems: a. Se redime a la parel 15 de agosto de 2006 b. Se redime a 120 el 15 de noviembre de 2005 c. Se redime a 72 el 15 de febrero de 2007 Prima y descuento 1. El 15 de abril de 2000, Arrendamiento Dinmico, S. A. emiti obligaciones quirografarias con valor nominal de$150, y vencimiento el 15 de junio de 2007. Obtenga el valor de compraventa y la prima el 15 de octubre de 2001 suponiendo que se redimen a la par, pagan intereses del 26.4% en cupones bimestrales que vencen el decimoquinto da de los mesespares de cada ao, y ofrecen rendimientos del 23.70% anual capitalizable por bimestres. 2. El 10 de enero de 2002, una compaa de televisin emite obligaciones con valor nominal de $300, que se redimen a 98 el 10 de enero de 2007 y pagan interesesdel 33% anual, el dcimo da de enero, abril, julio y octubre de cada ao. Obtenga elvalor de compraventa y la prima, o descuento, el 10 de octubre de 2003 considerando rendimientos del 36.8% anual capitalizable por trimestres. 3. Una obligacincon valor nominal de $100 devenga intereses del 30% pagaderos en cupones que secobran el tercer da de los meses de enero, mayo y septiembre de cada ao. Obtenga el valor de compraventa, las utilidades y la prima o el descuento para un inversionista, que las adquiere el 3 de septiembre de 2001, ganando el 30.6% anual capitalizable por cuatrimestres, suponiendo que: a) Se redimen a la par el 3 de enero de 2005 b) Se redimen a 95 el 3 de mayo de 2004Ricardo Coronado Velasco11

Matemticas FinancierasCaptulo 4. Bonos y obligacionesValor contable 1. En cunto se negocian el 10 de octubre de 2001, las obligacionescon valor nominal de $200, se redimen a 112 dentro de 3 aos, pagan intereses del11% en cupones semestrales y ofrecen rendimiento con intereses del 28.6% anual capitalizable por semestre? Haga el cuadro de amortizacin de la prima o acumulacindel descuento. 2. La compaa Galletas Mexicanas, S A, coloc en el mercado burstil, obligaciones hipotecarias con valor nominal de $100, vencimiento a la par en 5 aose intereses del 33.6% anual pagaderos en cupones cuatrimestrales. Obtenga el valor de compraventa 2 anos despus de su emisin con el 30% de rendimiento anual compuesto por cuatrimestres. Haga el cuadro de amortizacin de la prima en sus primeroscuatro renglones. 3. Una empresa del ramo automotriz, emiti y coloc en el mercadode valores, obligaciones quirografarias con denominacin de $300 vencimiento a 6aos de plazo e intereses del 25.6% anual pagaderos en cupones cuatrimestrales. Cules su precio en el mercado, 2 aos despus de su emisin, si se ofrecen con el 27.3% de rendimiento anual capitalizable por cuatrimestres? Haga el cuadro de amortizacin de la prima o acumulacin del descuento en sus primeros renglones y suponga que:a) Se redimen a la par b) Se redimen a 115Ricardo Coronado Velasco12