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Transferencia de Energía

1547 Grupo 3

2014-09-24 12ª

2014-09-24

Convección libre y convección forzada;

Convección libre: perfil de temperatura y de velocidad;

Ecuaciones adimensionales.

2Energía:

* 1* *

* Pr

DTT

Dt

Convección forzada[1] Convección libre

[1] BSL, Capítulo 10

Características:

El patrón de flujo (perfil de

velocidad) esta determinado por

las fuerzas externas

Primero se obtiene el perfil de

velocidad y luego el perfil de

temperatura… se acostumbra

asumir constantes todas las

propiedades del fluido.

Nu = f(Re, Pr)…

Características:

El patrón de flujo (perfil de

velocidad) esta determinado por

las fuerza de flotación que se

ejerce sobre el fluido que se esta

calentando.

Los perfiles de velocidad y de

temperatura dependen uno del

otro.

Nu = f(Gr, Pr)…

Convección libre Considere el caso de un fluido Newtoniano que

fluye entre dos placas paralelas y enormes, las cuales están separadas

por una distancia pequeña (2b); la placa caliente (-b) está a T2 y la

fría (+b) a T1.

Se pretende obtener el perfil de temperatura y el de velocidad en el

seno del fluido.

Debido a que se trata de una convección libre, se asume que:

El fluido que está cerca de la pared caliente tiene una menor

densidad y, consecuentemente, fluye hacia arriba; a diferencia del

fluido que está cerca de la pared fría, que por tener una mayor

densidad fluye hacia abajo.

El flujo neto de masa es cero; es decir, el gasto volumétrico de

fluido que sube es igual al gasto volumétrico de fluido que baja.

La estrategia que se aplica para resolver este ejercicio consiste:

primeramente obtener el perfil de temperatura; y ya con esa

información, obtener el perfil de velocidad, considerando la

dependencia de la densidad del fluido con respecto de la temperatura

1. Esquema 2. Sistema coordenado: Rectangular

3. Modelo. Restricciones

1. Estado estacionario;

2. Fluido Newtoniano;

3. En el rango de temperatura considerado, la

conductividad térmica k y viscosidad μ del

fluido se asumen constantes, pero su densidad ρ

es función de la temperatura

4. Flujo laminar;

5. Transporte de momentum unidireccional: vz ≠ 0;

6. El transporte de energía es por convección libre;

por difusión; y unidireccional: qy ≠ 0;

7. Por ser un ser un procesos de transporte por

convección libre, se puede obtener primero el

perfil de temperatura; luego, utilizar el resultado

para obtener el perfil de velocidad. 5

Balance de energía

De acuerdo con el esquema, el sistema coordenado y las restricciones

impuestas en el modelo, el balance de energía es: 2

20

d Tk

dy

2CL1: en T T y b 1CL2: en T T y b

1( )Resolviendo para :

2 mT y

yT T T

b

2 1 2 1;1

donde: 2

mT T T T T T

Según las restricciones impuestas, el modelo que describe el transporte

de momentum es:

2

2

zd v dpg

dy dz

Balance de momentum

6

Debido a que este es un caso de convección natural, se requiere una

función de la densidad del fluido ρ(T). Según la descripción del caso, la

densidad del fluido que está cerca de la pared caliente es menor que la

del fluido que está cerca de la pared fría; por lo tanto, el fluido caliente

fluye hacia arriba y el frío hacia abajo.

Para obtener la función ρ(T), se expresa a la densidad como una

función de la temperatura, utilizando para una expansión de Taylor:

T

T

T T OST

densidad media evaluada a ; temperatura promedioT T

2

2 zd v dp

T T gdy dz

1Como: coeficiente de expansión térmica

TT

T T

7

2

2como: zd v dp

gdy dz

2

2como: zd v dp

g T T gdy dz

Debido a que el gradiente de presión se debe únicamente al peso del

fluido (cabeza), se tiene:

0dp dp

g gdz dz

2

2

zd vT T g

dy

1como:

2m

yT T T

b

Sustituyendo T(y) en el balance de momentum, éste queda solamente

en términos de y:

2

2

1

2

zm

d v yT T T g

dy b

CL3: 0 @ v y bz CL4: @ 0zv y b

8

Para resolverla, se procede de la siguiente manera:

Se cambia de variable: 2 2

2 2 2

1 z z z zd v dv dv d vy d d

y bb dy dy dy bd bd b d

2

2

CL4: @

1como:

2

Con: CL3: 0 @ ... 0

zm

z

d v yT T T g

dy b

v y b v y bz

2 2

2 2

zm

d v gb TT T

d

CL5: @ 0 1zv CL6: @ =0 1zv

Integrando en forma sucesiva y aplicando las condiciones 5 y 6:

2

3 26

donde: 12

m

z

T Tgb Tv A A A

T

9

Como el flujo volumétrico neto es cero: Q = 0

omo: y finita C 0 0FLUJO FLUJOQ A v A Q v

1

1

0 0 1

1

1

0 0 1

Por definición: 0 0

X b X

z z

bzX b X

b

v dydx v d dx

v v d

dydx d dx

2

3 2Como:

12z

gb Tv A A

1 2

3 2

1

012

gb TA A d

Resolviendo la integral se demuestra que A=0… píldora

Por lo tanto, el perfil de velocidad queda:

2

3

12z

gb Tv

10

2

3

12

con:

z

gb Tv

y

b

1

2m

yT T T

b

La figura siguiente (9.9-I, BSL) muestra los perfiles de temperatura y

velocidad del fluido que fluye entre las dos placas paralelas, para el

caso en donde se tiene el efecto combinado del transporte de calor por

difusión y el transporte de momentum por convección libre.

11

Análisis dimensional.

Ecuaciones de Cambio para la Transferencia de Calor cuando se tiene:

a) Convección Forzada;

b) Convección Libre.

En el rango de temperaturas considerado, el valor de cada una de las

propiedades físicas de los materiales involucrados es independiente

de la temperatura, excepto la densidad en el caso de trasporte con

convección libre.

Continuidad: 0v

2a) Movimiento, Convección Forzada:

Dvv p g

Dt

2

0b) Movimiento, Convección Libre: Dv

v g T TDt

2Energía:

representa la función de disipación en términos de: ,

p v

v

CDT

k TDt

v x

12

Convección Forzada. Variables adimensionales.

No hay un criterio único para definir las “variables adimensionales”

Velocidad: * *v

v v VvV

2002

Presión: * *p p

p p p V pV

Tiempo: * *V D

t t t tD V

0

0 1 0

1 0

Temperatura: * *T T

T T T T T TT T

Coordenadas: * *x

x x DxD

V, D y (T1-T0) representan valores característicos de velocidad,

longitud y diferencia de temperatura, respectivamente; son

característicos del sistema, conocidos y “convenientes”. 13

Ecuaciones de Cambio Adimensionales para la Transferencia de

Energía con Convección Forzada.

Aplicando las variables adimensionales antes definidas, se tiene:

Continuidad: * * 0v

2Movimiento, Convección Forzada:

* 1 1* * * *

* Re Fr

Dv gv p

Dt g

2

*

*

Energía: * 1 Br

* ** RePr RePr

representa la función de disipación en términos adimensionales: *, *

v

v

DTT

Dt

v x

2 2

1 0

Reynolds: Prandtl:

Froud: Brinkman:

Re Pr

Fr Br

pCDV

k

V V

D k T T

14

Convección Libre. Variables adimensionales.

Recordar que no hay un criterio “universal” para definir las

“variables adimensionales”.

En este caso, no hay V ni t característicos; para T y x si las hay:

Velocidad: ** **D

v v v vD

2

2Tiempo: ** *

Dt t t t

D

0

0 1 0

1 0

Temperatura: * *T T

T T T T T TT T

Coordenadas: * *x

x x DxD

15

Ecuaciones de Cambio Adimensionales para la Transferencia de

Energía con Convección Libre.

Se obtiene aplicando las variables adimensionales antes definidas:

Continuidad: * ** 0v

2Movimiento, Convección Forzada:

*** * Gr *

**

Dv gv T

Dt g

2Energía:

* 1* *

* Pr

DTT

Dt

2 3

1 0

2Prandtl: Grashof: Pr Gr

pC g T T D

k

16

Ejercicio para el Equipo ¿?

BSL: Ejemplos 10.6-1 y 10.6-2

Transferencia de Energía

Fin de 2014-09-24 12ª

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