Teoría de Probabilidad

122

Vivimos en un mundo de incertidumbre, nosabemos lo que nos depara exactamente el mañana. Sinembargo, muchas veces conocemos los posibles eventopor venir; por tanto es conveniente estimar o determinarlas probabilidades de esos eventos (ocurrencias).

Las probabilidades se expresan como fracciones oporcentajes, y son la medida cuantitativa de que unevento pueda ocurrir (o no ocurrir).

Experimentos y Espacio Muestral

Experimentos– Lanzar una moneda al aire– Seleccionar una pieza– Una visita de ventas a un cliente

Sucesos– Cara o cruz– Defectuosa o no defectuosa– Venta o no venta

Un suceso es el resultado de un experimento

Al analizar un experimento es importante definirsus resultados, a fin de posteriormente definir suespacio muestral, puesto que el conjunto de todos losresultados se convierten en el Espacio Muestral.Cualquier resultado experimental se conoce comoPunto Muestral

Asignación de Probabilidades a ResultadosMuestrales

Existen dos requisitos que deben cumplirse alasignar la probabilidad a un resultado muestral.Sea «Ri» el resultado del i-ésimo experimento, y seaP(Ri) su probabilidad de ocurrencia. Entonces:

✍ 0 ≤ P(Ri) ≤ 1✍ La sumatoria de todas las P(Ri) = 1

Eventos y Probabilidades

Un evento es un punto muestral o un conjunto depuntos muestrales (resultados experimentales). Laprobabilidad de un evento será igual a la suma de lasprobabilidades de los puntos muestrales en dichoevento. Ejemplo dados

I. Relaciones Básicas de Probabilidad

1. Complemento de un evento

2. Ley Aditiva. Unión de eventos

Teoría de ProbabilidadRecopilado por JAMH. Rev. agosto 2004

EspacioMuestral

PuntoMuestral

Evento A

Complementodel Evento A

Espacio Muestral

Espacio MuestralEvento A

Evento B

A U B

Teoría de Probabilidad

123

• A U B

3. Intersección de eventos

• A B

II. Formulas para la adición

En General

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Para eventos mutuamente excluyentes:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Nota: Eventos mutuamente excluyentes significaque los eventos no tienen ningún punto muestral encomún.

III. Formas de calcular la Probabilidad

1. Planteamiento Clásico

Es la razón entre el número de resultados en queel evento en estudio puede ocurrir entre el númerototal de resultados posibles. Este tipo de planteamientoasume que cada uno de los evento o resultado posiblees igualmente posible.

2. Frecuencia Relativa

Este planteamiento muestra la frecuencia relativa

observada de un evento durante un gran número deintentos. O sea, es la fracción que indica la proporciónde que un evento se presenta a la larga en una serie de«experimentos». Se asume que las condiciones sonestables.

Utiliza la información pasada para determinar laprobabilidad de un evento en el futuro. A mayor númerode intentos, mejor predicción.

El estado estable es el valor final a largo plazo deun experimento.

La limitante de este planteamiento ocurre si seemplea sin evaluar un número suficiente deexperimentos.

3. Probabilidades Subjetivas

Este planteamiento está basado en las creencias u“olfato para los negocios.” Está basado en lasevidencias que se tenga disponibles. Generalmente losgerentes pueden tomar la evidencia disponible ymezclarla con sentimientos personales.

Se utilizan más cuando los eventos solo ocurriránuna vez o muy pocas veces, o cuando no hayinformación o la información existente ya no es válida.

IV. Reglas de Probabilidad

La mayoría de Toma de Decisiones se refiere a unade dos posibles situaciones:– La primera, el caso en que un solo evento se presenta.– La segunda, cuando 2 o más eventos se presentansimultáneamente o uno a continuación de otro.

En el caso que se presenten dos (2) eventos, sepueden presentar dos situaciones: a) el resultado delprimero evento puede tener un efecto en el resultadodel segundo evento y b) el resultado del primero eventono tiene un efecto en el resultado del segundo evento.Estos dos casos son conocidos respectivamente como:

– Eventos dependiente o– Eventos Independientes

Espacio Muestral

Evento A Evento BA B

U

U

Espacio Muestral

Evento A Evento B

Teoría de Probabilidad

124

V. Probabilidad de eventos Independientes yDependientes

1. Probabilidad bajo condiciones de IndependenciaEstadística

Las probabilidad bajo independencia estadística sesub-dividen en:

a. Probabilidad Marginal o Incondicional

Simbología.Sea P(A) = Probabilidad de suceso del evento «A»

Ocurre cuando sólo un evento puede llevarse acabo. Ej. Un número de lotería, al tirar una moneda

b. Probabilidad Conjunta

Cuando 2 o mas eventos independientes se presenteuno a continuación de otro. O cuando se requiere quese presenten ambos simultáneamente.

Simbología. P(AB) = P(A)*P(B)

c. Probabilidad Condicional

P(B/A) = Probabilidad de que suceda el evento Bdado que el evento A se ha presentado. La ocurrenciadel primero no altera la ocurrencia del segundo. Se tieneque:

Simbología. P(B/A) = P(B)

2. Probabilidades bajo condiciones de DependenciaEstadística

Definición: La dependencia estadística existe cuandola probabilidad de que se presente algún evento dependeo se ve afectada por la ocurrencia de algún otro evento.

a. Probabilidad Condicional

Simbología.. P(B/A) = P(BA)/P(A)

La probabilidad de que ocurra B dado que A haocurrido es igual a la probabilidad de que ocurran loseventos A y B entre la probabilidad de que ocurra A.

Ejemplo. 10 pelotas.

• 4 Color - 3 punteadas y 1 rayada• 6 Grises - 2 punteadas y 4 rayadas• 5 punteadas - 3 de Color y 2 Grises• 5 rayadas -1 de Color y 4 Grises

Tabla de Probabilidades

i. Dado que se ha sacado una bola de color (C)¿Cuál es la probabilidad de que sea punteada (D)?

Resolución: P(D/C) = P(DC)/P(C) = 0.3/0.4 = 0.75y por tanto P(F/C) =P(FC)/P(C) = 0.1/0.4 = 0.25

ii. Dado que se ha sacado una bola gris (G) ¿Cuáles la probabilidad de que sea con franja (F)?

Independencia EstadísticaTipo de Símbolo FórmulaProbabilidad

Marginal P(A) P(A)Conjunta P(AB) P(A)*P(B)Condicional P(B/A) P(B)

P(A/B) P(A)

Evento B Evento A

Evento B y A

Evento A y B, conprobabilidad = P(B y A)

Evento A, conProbabilidad

P(A)

Por lo que: P(B/A) = P(BA)/P(A)

Una vez ocurre el evento A

Teoría de Probabilidad

125

Resolución: P(F/G) = P(FG)/P(G) =0.4/0.6= 2/3 ypor tanto:

P(D/G) =P(DG)/P(G) =0.2/0.6=1/3

También es posible analizar como primer eventoel hecho de que la bolita extraída sea clasificada comode puntos o de franjas. En tal caso tendríamos la tablaque se muestra en la columna derecha.

Los eventos y sus probabilidades conjuntas serían:

iii. Dado que se ha sacado una bola de puntos (D)¿Cuál es la probabilidad de que sea de color (C)?

Resolución: P(C/D) = P(DC)/P(D) = 0.3/0.5 = 0.60y por tanto: P(G/D) =P(GD)/P(D) = 0.2/0.5 = 0.40

iv. Dado que se ha sacado una bola de franjas (F)¿Cuál es la probabilidad de que sea de color (C)?

Resolución: P(C/F) = P(CF)/P(F) =0.1/0.5= 0,2 ypor tanto: P(G/F) =P(GF)/P(F) =0.4/0.5=0,8

b. Probabilidad Conjuntas

A partir de la formula para probabilidadescondicionales podemos obtener la formula paraprobabilidades conjuntas.

P(BA) = P(B/A) * P(A).

Léase: Probabilidad de que se los eventos A y Bse presenten al mismo tiempo o en sucesión es igual ala probabilidad de que suceda el evento B dado que yase presento el evento A multiplicado por probabilidadde que ya se presento el evento A. Ejemplos

P(GD) = P(G/D) * P(D) = 0.4*0.5 = 0.2P(GF) = P(G/F) * P(F) = 0.8*0.5=0.4P(CF) = P(C/F) * P(F), donde P(C/F)= 1/3 * 6/10 = 6/30 = 1/5 = 0.2, y P(F) = 0.5 entonces: 0.2 * 0.5 = 0.1P(CD) = P(C/D) * P(D) =0.6 * 0.5 = 0.3

Evento Descripción Probabilidad

1 Puntos (D) y 0.1 2 Color (C) 0.1 3 0.1

4 Puntos (D) 0.15 y Gris (G) 0.1

6 Franjas (F) yColor (C) 0.1

7 Franjas (F) y 0.1 8 Gris (G) 0.1 9 0.1 10 0.1

PuntosFranjas

Grises

Color

Color

Gris

Evento Descripción Probabilidad

1 Color (C) y 0.1 2 Puntos (D) 0.1 3 0.1

4 Color (C) y Franja (F) 0.1

5 Gris (G) con 0.1 6 Puntos (D) 0.1

7 Gris (G) con 0.1 8 Franjas (F) 0.1 9 0.1 10 0.1

Teoría de Probabilidad

126

Para este ejemplo solo hay cuatro únicascombinaciones posibles (eventos)

c. Probabilidad Marginal

La probabilidad marginal de un evento bajocondiciones de dependencia estadística se calculamediante la suma de las probabilidades de todos loseventos conjuntos en los que se presenta dicho evento.

P(C) = P(CF) + P(CD) = 0.3 + 0.1= 0.4P(G) = P(GD) + P(GF) = 0.2+0.4 = 0.6P(D) = P(DC) + P(DG) = 0.3 +0.2= 0.5P(F) = P(FC) + P(FG) = 0.1 + 0.4 = 0.5

Ejercicios.

1.1- El Departamento de Salud efectúa rutinariamentedos inspecciones independientes a los restaurantes. Unrestaurante aprobará la inspección sólo si ambosinspectores lo aprueban en cada una de las respectivasinspecciones. El inspector A tiene mucha experiencia,en consecuencia sólo aprueba 2% de los restaurantesque realmente están violando el reglamento sobresalubridad. El inspector B tiene menos experiencia yaprueba 7% de los restaurantes con fallas. ¿Cuál es laprobabilidad de que:a) El inspector A apruebe un restaurante que está

violando el reglamento, dado que el inspector B haencontrado violaciones al reglamento?

b) El Inspector B apruebe un restaurante que estéviolando el reglamento, dado que el inspector A yalo aprobó?

c) Un restaurante que esté violando el reglamento seaaprobado por el Departamento de Salud?

1.2- Una presa hidroeléctrica tiene cuatro compuertas.Cuando fallan sus compuertas se les repara de maneraindependiente una de la otra. A partir de la experiencia,se sabe que cada compuerta está fuera de servicio el4% de todo el tiempo.

a) Si la compuerta número uno está fuera de servicio,¿cuál es la probabilidad de que simultáneamente lascompuertas dos y tres estén fuera de servicio ?

b) Durante una visita a la presa, se le dice a usted quelas posibilidades de que las cuatro compuertas esténfuera de servicio al mismo tiempo son menores auno entre cinco millones. ¿Es ésto cierto?

1.3- Roberto Sales se encuentra preparando un informeque la empresa en la que trabaja, «Corporación Tritón»,entregará a su vez al departamento Federal de Aviaciónde Estados Unidos. El informe debe ser aprobadoprimero por el responsable del grupo del cual Robertoes integrante, luego por el jefe de su departamento ydespués por el jefe de la división (en ese orden). Robertosabe, por experiencia , que los tres directivos actúande manera independiente. Además sabe también que suresponsable de grupo aprueba 85% de sus informes, eljefe del departamento aprueba el 80% de los informeselaborados por Roberto y el jefe de la división apruebael 82% de los trabajos de Roberto

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versióndel informe de Roberto sea enviada al Departamentofederal de Aviación?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versióndel informe de Roberto sea aprobada por elresponsable de grupo y el jefe del departamento perono sea autorizado por el jefe de la división?

1.4- Billy Bordeaux, ejecutivo consultor en jefe de lacompañía Grapevine Concepts, recientemente lanzó unacampaña publicitaria para un nuevo restaurante, TheBlack Angus. Billy acaba de instalar cuatro anunciospanorámicos en la carretera a la entrada de la ciudad, ysabe, por su experiencia, la probabilidad de que cada

Dependencia Estadística

Tipo de Símbolo FórmulaProbabilidadMarginal P(A)

Conjunta P(AB) ó P(A/B)*P(B) ó P(BA) P(B/A)*P(A)

Condicional P(B/A) P(BA)/P(A) ó P(A/B) P(AB)/P(B)

Suma de todas las

probabilidades de los

eventos conjuntos

donde aparece evento

«A»

Teoría de Probabilidad

127

anuncio sea visto por un conductor escogidoaleatoriamente.

La probabilidad de que el primer anuncio sea vistopor un conductor es de 0.75. La probabilidad de que elsegundo sea visto es de 0.82, la probabilidad para eltercero es de .87 y la del cuarto es de 0.9. Suponiendoque el evento consiste en que un conductor vea unocualquiera de los anuncios es independiente de si havisto o no los demás; ¿cuál es la probabilidad de que:

a) Los cuatro anuncios sean vistos por un conductorescogido aleatoriamente?

b) El primero y el cuarto anuncios sean vistos, sin queel segundo y el tercero sean notados?

c) Solamente uno de los anuncios sea visto?d) Ninguno de los anuncios sea visto?e) El tercero y cuarto anuncios no sean vistos?

1.5- La tienda de autoservicio Friendly ha sido víctimade muchos ladrones durante el mes pasado, pero debidoal aumento de las condiciones de seguridad de la tienda,se ha podido aprender a 250 ladrones. Se registró elsexo de cada infractor y si éste era su primer robo o siya había sido sorprendido con anterioridad. Los datos

Género Primera ReincidenteAprehención Total

Hombre 60 70 130Mujer 44 76 120

Total 104 146 250

se resumen en la tabla siguiente:

Suponiendo que un infractor aprehendido esescogido al azar, encuentre:

a) La probabilidad de que éste sea hombreb) La probabilidad de que sea la primera aprehensión

del infractor, dado que éste es hombre.c) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado

que éste es reincidented) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado

que es su primera aprehensióne) La probabilidad de que el ladrón sea tanto hombre

como reincidente

1.6- El gerente regional de la zona sureste de GeneralExpress, una compañía privada de paquetería, estápreocupado por la posibilidad de que algunos de susempleados vayan a huelga. Estima de que laprobabilidad de que sus pilotos se vayan a huelga es de0.75 y la probabilidad de que los choferes se vayan ahuelga es de 0.65. Existe el 90% de probabilidades deque los pilotos realicen un paro solidario de actividades.O sea, la probabilidad de que los pilotos se vayan ahuelga dado que los choferes se han ido a huelga es de0.90.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos sevayan huelga?

b) Si los pilotos hacen huelga, ¿cuál es la probabilidadde que los choferes lo hagan también como acto desolidaridad?

Nota: Las siguientes fórmulas le pueden ayudar a comprender los

términos de Excluyente e Independencia.

Mutuamente Excluyente: P(A∩∩∩∩∩B) = 0

No Mutuamente Excluyente: P(A∩∩∩∩∩B) ≠≠≠≠≠ 0

Independencia Estadística P(A/B) = P(A)

P(A^B) = P(A)*P(B)

Dependencia Estadística P(A/B) = P(A^B)/P(B)

P(A^B) =P(A/B) * P(B)

P(A/B) ≠≠≠≠≠ P(A)

P(A)*P(B) ≠≠≠≠≠ P(A^B)

Teoría de Probabilidad

128

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Teoría de Probabilidad

129

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Teoría de Probabilidad

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Eje

rcic

io 1

.4. V

alla

s Pub

licita

rias

B. S

oluc

ión:

0.7

5*(1

-0.8

2)*(

1-0.

87)*

0.9

= 0.

0157

95

SISI

NO

NO

Eje

rcic

io 1

.4. V

alla

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ias.

Con

tinu

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n

C. S

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0.7

5*(1

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87)*

(1-0

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1-0.

82)*

(0.8

7)*(

1-0.

9) +

(1-0

.75)

*(0.

82)*

(1-0

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0.9)

+(1

-0.7

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1-0.

82)*

(1-0

.87)

*(0.

9)

= 0

.013

595

SI

NO

NO

NO

NO

SI

NO

NO

NO

NO

SI

NO

NO

NO

NO

SI

Eje

rcic

io 1

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Con

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n

NO

NO

NO

NO

D. S

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ión:

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0.75

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.000

585

E. S

oluc

ión:

(1-

0.87

)*(1

-0.9

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0.0

13

NO

NO

Teoría de Probabilidad

131

Eje

rcic

io 1

.6. H

uelg

a en

Gen

eral

Exp

ress

•P(

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tos

a hu

elga

) =

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pilo

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elga

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fere

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tos

a hu

elga

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hofe

res

a hu

elga

) =

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loto

s a

huel

ga/c

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res

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(cho

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0.65

= 0

.585

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chof

eres

a h

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s a

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chof

eres

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uelg

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pilo

tos

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P(pi

loto

s a

huel

ga)

= 0

.585

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5 =

0.7

8

a. P

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= 0

.520

b. P

(1a.

apr

enci

ón/h

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0.52

0)

c. P

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0.30

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584)

d. P

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) =

(0.1

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e) =

0.2

8

Eje

rcic

io 1

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Gén

ero

1a.

Apr

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l

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70

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0

Gén

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1a.

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ren

ción

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pre

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To

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Hom

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0.2

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0.2

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Muj

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0.1

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0.3

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To

tal

0.4

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84

1.0

00

P(A

)=

0.7

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B)

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= 0

.90

P(A

B)

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(A/B

) *

P(B

)=

0.9

0 *

0.65

= 0

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P(B

/A)

= P

(AB

) / P

(A)

= 0

.585

/ 0.

75=

0.7

8