1.5 LGR
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CAPITULO 1
1.5 Lugar Geométrico de lasRaíces
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Definición LGR
Método gráfico para dibujar la posición de los polosdel sistema en el plano complejo a medida que sevaría un parámetro.
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Definición LGR
El LGR permite representar todas las posibles solucionesde la ecuación característica, cuando la ganancia sevaría desde cero hasta el infinito.
En forma polar,
Condición de Magnitud:Condición de Fase:
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Definición LGR
Ecuación características del sistema,
Escribiendo a G(s) en forma factorizada,
despejando,
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Trazado del LGR
1. Dibujar los polos y ceros de la función de transferenciaa lazo abierto en el plano s.
2. Encontrar la parte del eje real de los lugares
geométricos de las raíces.3. Dibujar las asíntotas para valores grandes de K.
4. Calcular los ángulos de salida y de llegada de polos yceros.
5. Calcular los puntos donde el LGR cruza el ejeimaginario.
6. Calcular los puntos de ruptura (localización de lasraíces múltiples especialmente en el eje real).
7. Completar dibujo, combinando los resultadosanteriores.
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Trazado del LGR
1. Polos y ceros de la función de transferencia a lazo abierto
en el plano s
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2. Parte del eje real de los lugaresgeométricos de las raíces
El lugar del eje real que está a la izquierda de unnúmero impar de polos y ceros pertenece al LGR
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3. Asíntotas para valores grandes de K
Escribamos la ecuación característica de la siguientemanera,
Si , tiende a cero cuando s tiende a infinito.
Para valores grandes de K , m ceros se cancelarían con m polos, y los (n-m) polos restantes deberían aparecercomo un polo múltiple en .
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3. Asíntotas para valores grandes de K
Tomemos un punto de prueba , para un valorgrande y fijo de R, y variable. Ya que pertenece alLGR se debe cumplir,
El ángulo nos dará el ángulo que forman las asíntotas,
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3. Asíntotas para valores grandes de K
• El lugar de origen de las asíntotas está en .
•
Si multiplicamos el lado derecho de la ecuación sededuce que el coeficiente de es la suma de los polosdel sistema a lazo abierto,
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3. Asíntotas para valores grandes de K
La ecuación característica la podemos escribir así,
Si , tenemos que K no afectará el
coeficiente de , por lo tanto para K grande, m de lasraíces coinciden con los ceros z i, y (n-m) son del sistemaasintótico, cuyos polos se ubican en .
Entonces, el centro de las asíntotas estará dado por:
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3. Asíntotas para valores grandes de K
Número de asíntotas,
Ángulos de cada asíntota,
Punto de partida de las asíntotas,
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4. Ángulos de salida y de llegada de polos yceros
Por simetría compleja conjugada el ángulo de salida del- - º
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5. Puntos donde el LGR cruza el eje imaginario
La ecuación característica del sistema de ejemplo es,
Por lo tanto,
Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz,
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5. Puntos donde el LGR cruza el eje imaginario
En la ecuación característica sustituimos s=jwo,
Resolviendo,
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6. Puntos de ruptura
Indica el punto sobre el eje real donde K es máxima.
Despejando K de la ecuación característica,
Derivando e igualando a cero,
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7. Dibujo completo del LGR