145013968 Hidrologia David Cedeno (1)

TNI\'ERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMA

FACIJLTAD DE IIIGENTERIA CIVIL

Departamento de llidráulica, Sanitaria y

Ciencias Ambientales

Apuntes de

HIDROLOGIA

Preparados por

Ing. Daüd Cedeño B.

Verano

L997

F

CONTENIDO

PRINCIPIOS HIDROLOGICOS

1 - 1 Introducción.

a ) Evolución de la Hidrología

| -2 Ciclo Hidrológico

a ) Balance Hídrico

1 - 3 Precipitación.

a) HumedadAtmosférica . . . .

b ) Cambios de Fase

c ) Cantidad de Agua Precipitable

d ) Causas y Mecanismos de Formación de laPrecipitación

e ) Análisis de Datos de Precipitación

f ) Estimación de Datos Faltantes

g ) Análisis de Doble Masa .

h ) Precipitación Promedio sobre una Región

1 - 4 Evaporacióny Transpiración

a ) Método del Balance Hídrico

b ) Método de Transferencia de Masa

c ) Método de Balance Energético

d ) Tanque Evaporímetro

e ) Métodos Combinados

f) Evapotranspiración.

1

1

7

l5

2t

22

26

27

32

34

38

4l

46

52

54

55

56

59

60

66

1 - 5 Infiltración

a ) Rata de Infiltración 69

b ) Otros Métodos para calcular la Infiltración 73

1-6 EscorrentíaSuperficial . 78

a ) Medición del Caudal: Aforos 80

2. ANALISIS DE PRECIPITACION - ESCORRENTIA

2.1RelaciónentrePrecipitaciónyEscorrentía

a ) Método Racional 87

2 - 2 Análisis de Hidrogramas 90

a ) Componentes del Hidrograma 94

b ) Separación del Flujo Base y Recesión. 91

c ) Precipitación Neta y el Hidrograma. 99

d ) Método de Tiempo - Area . . 102

2 - 3 Teoúa del Hidrograma Unitario . 108

a ) Derivación de Hidrogramas Unitarios. . 109

b ) Método de la Curva S . . 119

c ) Métodos Matriciales para DesarrollarHidrogramas Unitarios . 128

Desarrollo de Hidrogramas Unitarios Sintéticos . 137

a ) Método de Snyder . l4lb ) Método SCS (Hidrograma Unitario Triangular) . 149

Aplicaciones de Hidrogramas Unitarios. . 158

a ) Convolución de Hidrogramas Unitarios . 159

2-4

2-5

ANALISIS DE FRECUENCIAS

3-1 Introducción. .166

a ) Variables Aleatorias . 166

b ) Presentación de los Datos . 168

c ) Conceptos de Probabilidad. . 174

3 -2 Yariables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad . 177

a ) Momento de una Distribución . 182

b ) Estimación de los Momentos a partirde los Datos . 188

c ) Ajuste de una Distribución a los Datos . 195

3 - 3 Período de Retorno ó Intervalo de Recurrencia . I91

a ) Clasificación de los Datos . 200

3 - 4 Modelos Probabilísticos Comunes . 205

a) DistribuciónBinomial . .208

b) RiesgoyConfiabilidad .210

c ) Distribución Exponencial . 213

d ) Distribución Normal . 217

e ) Distribución Log Normal . 223

f ) Distribución Gamma (2 Parámetros yPearson Tipo 3) . 231

C ) Distribución Log Pearson Tipo 3 . . 240

h ) Distribución Gumbel ó Valor Extremo Tipo I . 244

REFERENCIAS 250

lll

PRINCIPIOS HIDROLOGICOS

INTRODUCCION

Hidrología es una ciencia multidiciplinaria que estudia la ocurrencia,

circulación y distribución del agua sobre la tierra. El dominio de la

hidrología incluye los procesos físicos, químicos y las reacciones biológicas

del agua en los ambientes naturales y aquellos construidos por el hombre.

Debido a la compleja naixalezadel ciclo hidrológico y- sus relaciones con los

patrones climáticos, tipos de suelo, topografía y otros factores geológicos, es

dificil establecer fronteras entre la hidrología y otras ciencias de la tierra tales

como: Meteorología, Geología, Ecología y Oceanografía entre otras.

La hidrología es de fundamental importancia para los Ingenieros Civiles

y Ambientales, Hidrólogos y otros científicos relacionados con la tierra;

debido a las implicaciones en el medio ambiente de las inundaciones y

sequías, abastecimiento de agua, consideraciones sobre la calidad del agua,

drena-jes y control de inundaciones.

EVOLUCION DE LA HIDROLOGIA

La historia inicial de la hidrología incluye las prácticas de

administración de agua en las civilizaciones Egipcias y Sumerias

(Mesopotamia) establecidas en el Medio Oriente a 1o largo de los ríos Nilo,

Tigris y Eúfrates y en la China a lo largo del Río Amarillo. Las excavaciones

Hidrología / David Cedeño 2

arqueológicas en estos lugares muestran evidencias de estructuras hidráulicas

que fueron construidas para irrigación y otros proyectos para el control del

agua. Por ejemplo en el año 4000 A.C. se construyó un canal para

transportar agua dulce entre El Cairo y Suez (Alejandría).

Los filósofos griegos fueron los primeros investigadores de la

hidrología. Aristóteles propuso la teoría de que la humedad del aire se

convertía en agua dentro de las montañas y que ésta era la fuente de todas las

corrientes de agua y Homero sugirió la idea de que existía un mar

subterráneo que era el origen del agua superficial.

Las técnicas de medición de caudales se intentaron por primera vez en

los sistemas de acueductos Romanos (97 D.C.) basados en la sección

transversal del flujo. Estos teoremas continuaron hasta el Renacimiento

cuando Leonardo Da Vinci descubrió una relación adecuada entre área,

velocidad y caudal (Q : V.A).La primera medición registrada de precipitación y flujo superficial

fueron hechas en el siglo XVII por Perrault, quien comparó la cantidad de

lluvia medida y el flujo estimado del río Sena, mostrando que ambas variables

estaban relacionadas; estas observaciones fueron publicadas en 1694.

El astrónomo inglés Halley (1636 - 1742) utllizó una bandeja pequeña

para estimar la evaporación del Mar Mediterráneo y concluyó, que era

equivalente al flujo de los ríos tributarios. Mariote también midió la

velocidad del flujo en el río Sena.

Estos comienzos modestos de la ciencia de la hidrología establecieron

las bases para los avances de esta ciencia en el siglo XVIII, incluyendo el

Hidrología / Davíd Cedeño

Teorema de Bernoulli, el tubo de Pitot y la fórmula de Chezy (1769), que

constituyen la base de la hidráulica y las mediciones de fluidos.

Durante el siglo XIX, ocurrieron avances significativos en hidrología

subterránea: La ley de Darcy para flujos en medios porosos, la formula de

pozos de Dupuit-Thiem y también se desarrollo la ecuación de flujo capilar

de Hagen-Poiseville.

En hidrología superficial se desarrollaron muchas fórmulas e

instrumentos de medición que permitieron el inicio de la medición sistemática

de las corrientes de agua. Humprey y Abbot (1861) efectuaron mediciones

de caudales en el río Mississippí, y el U.S.G.S. (United States Geological

Survey) estableció un programa para la medición y registro de caudales del

Mississippi en 1888. Además, la formula de Manning se introdujo en 1889

y el medidor de corriente fue inventado por Price en 1885. Durante este

período el gobierno de los Estados Unidos fundó una serie de agencias

hidrológicas incluyendo el U.S. Army Corps of Engineers (1802), U.S.

Geological Survey (1879) y el Weather Bureau (1891).

El intervalo de tiempo comprendido entre 1900 hasta 1930 se denominó

"Período de Empiricismo" (Chow, 1964), debido a la gran cantidad de

fórmulas empíricas que se desarrollaron; muchas de las cuales resultaron ser

incorrectas. Las agencias del gobierno incrementaron sus esfuerzos en la

investigación hidrológica y se organizaron cierto número de sociedades

técnicas para el avance de esta ciencia. Por ejemplo, el U.S. Bureau of

Reclamation (1902), el Forest Service (1906) V el U.S. Army Engineers

Waterways Experiment Station (1928) fueron organizadas durante este

Hidrología / David Cedeño

período. Además, The International Association of Scientific Hidrology

(1922) y The Hidrologic Section del American Geophysical Union (A.G.U.)

empezó antes de 1930.

El período de 1930 a 1950 se le denominó "Período de

Racionalización", el cual produjo un avance significativo en el campo de la

hidrología; ya que las agencias de varios gobierno desarrollaron programas

de investigación hidrológica. Entre los avances significativos del período

tenemos: Sherman (1932) estableció el concepto de hidrograma unitario,

Norton (1933) desarrolló la teoría de infiltración, Theis (1935) formuló la

ecuación de flujo inestable en hidráulica de pozos y Gumbel (1950) propuso

el uso de la distribución de valores extremos para el análisis de frecuencias

de datos hidrológicos, estabieciendo las bases de la hidrología estocástica.

En este período el U.S. Army Corps of Engineers, el U.S. Weather

Bureau (ahora National Weather Service), el U.S. Department of Agriculture

(U.S.D.A.) a través del Soil Conservation Service y el U.S. Geological

Survey (U.S.G.S.) aportaron contribuciones significativas a la teoría

hidrológica y se continuó con el desarrollo de redes de medición para

registrar la precipitación, evaporación y escorrentía. Estas agencias

efectuaron estudios vitales y proporcionaron fondos para la investigación

privada y universitaria en el área de hidrología. Las grandes presas,

embalses, proyectos de control de inundaciones, etc. son el resultado directo

de los avances en los campos de Mecánica de Fluidos, Sistemas Hidrológicos,

Hidrología Estadística, Análisis de Evaporación, Tránsito de Avenidas e

Investigación de Operaciones.

4

7


A partir de 1950, se conoce como "Período de Teorización", ya que

la introducción de computadoras digitales en hidrología durante 1960 y 1970

permitió la simulación de problemas complejos de sistemas hidrológicos.

El primer modelo hidrológico comprensivo fue desarrollado por

Crawford y Linsley (1966) en la Universidad de Stanford y se denominó

Stanford Watershed Model (S.W.M.). Este modelo puede simular los

procesos principales del ciclo hidrológico: precipitación (P), evaporación (E),

transpiración (T), infiltración (F), escorrentía superficial (R) y flujo

subterráneo (G).

Otro modelo que ha alterado significativamente el curso de la hidrología

moderna es el programa IIEC-I (1973) desarrollado por el U.S. Army Corps

of Engineers, Hidrologic Engineering Center, Davis, California. Este modelo

simula inundaciones a partir de datos de precipitación utilizando hidrogramas

unitarios y funciones elementales de pérdidas. Otro modelo que le acompaña

es el HEC-2 (1976), desarrollado también por el Hidrologic Engineering

Center, el cual efectúa cálculos de los perfiles de la superficie del agua para

una geometría conocida del canal y caudales máximos, los cuales se pueden

obtener utilizando HEC-I.

El Storm Water Management Model (S.W.M.M.) fue desarrollado

por el U.S. Enviromental Protection Agency (E.P.A.) durante 1981 a 1988

y es el modelo más comprensivo para el análisis de escorrentía urbana en

sistemas de alcantarillados.

El modelo ILLUDAS (Illinois Urban Drainage Area Simulator),

desarrollado por Terstriep y Stalt (1974) está basado en un modelo del


British Road Research Laboratory y utrliza un procedimiento simple de

precipitación-escorrentía para la simulación de tormentas y el diseño de

drenajes adecuados.

Estos modelos se han convertido en un instrumento utilizado

frecuentemente por los investigadores e ingenieros hidrólogos y la lista

representa algunos de los programas de computadora más poderosos de la

hidrología moderna. El desarrollo de esta herramienta en los últimos 20 años

ha ayudado directamente en la colección de datos hidrológicos al permitir la

calibración del modelo contra los datos observados. Por consiguiente, se ha

avanzado mucho con estos procesos en la comprensión del comportamiento

de los sistemas hidrológicos.

Los modelos hidrológicos para computadoras desarrollados inicialmente

en 1960 y 1970 han sido aplicados satisfactoriamente a otras áreas que

anteriormente no se estudiaban ó que estaban definidas empíricamente

solarnente. Por ejemplo, hidrología urbana, hidrología de cuencas y planicies

de inundación, diseño de drenajes, diseño y operación de embalses, análisis

de la frecuencia de inundaciones y sequías; además, la administración y

planificación de la cuenca de los ríos han resultado beneficiados por la

aplicación de los modelos de computadora.

Las limitaciones de los modelos de simulación incluyen el peligro de

creer que un modelo producirá resultados adecuados para todas las

situaciones. Una confianza excesiva en los programas de computadora en la

década de 1970 condujo a un tratamiento más cuidadoso de los modelos

hidrológicos en la década de 1980, produciendo un regreso a las aplicaciones


de los modelos que no excedieran la disponibilidad de datos satisfactorios de

entrada. Sin embargo, la simulación de modelos en hidrología, al aplicarse

correctamente, producirá la aproximación más lógica a la comprensión de los

procesos complejos que ocurren en el ciclo hidrológico y por lo tanto, nos

encontramos en una nueva era en 1a ciencia de la hidrología.

EL CICLO HIDROLOGICO

Las componentes básicas del ciclo hidrológ-ico son las siguientes:

precipitación (P), evaporación (E), transpiración (T), infiltración (F),

escorrentía superficial (R) y flujo subterráneo (G). El ciclo del agua es un

proceso contínuo en el cual el agua se evapora de los océanos, lagos, ríos y

otras fuentes, se mueve en la atmósfera formando masas de aire húmedo y

luego se produce la precipitación cuando existen condiciones adecuadas. La

lluvia que cae en la superficie de la tierra se dispersa a través de muchos

medios; pero una porción es retenida en el suelo cerca del sitio donde cayó

y retorna a la atrnósfera por evaporación, es decir, la conversión del líquido

a vapor de agua y también por transpiración, la cual consiste en la pérdida de

agua a través de las plantas; esta pérdida de agua combinada se denomina:

evapotranspiración(ET: E + T).

Otra porción del agua se convierte en flujo superficial o escorrentía

directa (R), la cual abastece las corrientes y ríos. Finalmente, la parte restante

del agua entra al suelo como infiltración (F), la cual puede convertirse en

flujo subsuperficial y aparecer posteriormente en canales ó percolarse hacia

las profundidades para recargar el flujo del agua subterránea. El agua

7

Hidrología / David Cedeño B

superficial y subterránea se mueve hacia elevaciones inferiores y

eventualmente puede descargar en el océano. Sin embargo, grandes

cantidades de agua superficial y porciones de agua subterránea pueden

regresar a la atmósfera a través del proceso de evapotranspiración.

Figura No1: Representación Esquemática del Ciclo Hidrológico.

aquaatmosferica

I

If-'"fS#,ti,r

f_I

aquasubtérranea

superlicial{lagos)


La estimación de la cantidad total del agua en la tierra y en los

diferentes procesos del ciclo hidrológico ha sido un tema de investigación

científica desde hace muchos años. Sin embargo, la cantidad de datos es

escasa, particularmente sobre los océanos y también la cantidad de agua en

los diferentes componentes del ciclo hidrológico global todavía no se conoce

con exactitud.

La Tabla 1: "Cantidades Mundiales Estimadas de Agua" muestra los

volúmenes estimados de agua en las diversas fcmas sobre la tierra.

Alrededor del 96.5% de toda el agua sobre Ia tierra está en los océanos. Si

la tierra fuera una esfera uniforme, esta cantidad sería suficiente para cubrir

el planeta hasta una profundidad de aproximadamente 2.6Kn (1.6 millas).

Del resto del agua, 7.7% es hielo polar, 1.69% es agua subterránea y

solamente 0.ll% se encuentra en la superficie y la atmósfera. El sistema

atrnosférico del agua contiene solamente 12,900 Km3 de agua; es decir, menos

de una parte en 100,000 del total de agua de la tierra y es la componente

principal que impulsa la hidrología del agua superficial.

Del volumen total de agua dulce en la tier¡a, aproximadamente 2/3 es

hielo polar y la mayor parte del resto es agua subterránea hasta una

profundidad de 200 a 600 metros. Debajo de esta profundidad la mayoría del

agua subterránea es salina. Solamente 0.006% del agua dulce está contenida

en los ríos. El agua biológica, retenida en los tejidos de las plantas y

animales, contiene aproximadamente 0.003% de toda el agua dulce,

equivalente a la mitad del volumen de agua contenida en los ríos.

7


TABLA N'1: Cantidades Mundiafes Estimadas de Agua

10

Descripción Area(106 Km? )

Volumen (Km3 ) ? totafde agua

?aguadul ce

océanos 361.3 1,338,000,000 96.5

AguaSubterránea:

Dul ceSafina

134.8134.8

10,530, 000L2,870,O00

0.760 _ 93

30.1

Humedad delSuel o

82.O l-6,500 0.0012 0 .05

CapasPofares

16 .0 24 ,023 , 500 L.7 68.6

Glaciares yN aeve

0.30 340,600 0.02s 1.0

Lagos:Dul ceS al ina

L.20.8

9r-,00085,400

0.0070.006

0 .26

Pant ano s 2.7 rr,470 0.0008 0 .03

Ra os 148.8 2,120 0.0002 0.006

AguasB i of ógi cas

510.0 a,L20 0.0001 0.003

AguaAtmo s féri ca

5l-0.0 t2 , 900 0.001 0 .04

Total deAguas

510.0 1, 38s, 984 , 6L0 100

Agua Dufce 148.8 35 , 029 ,2r0 2.5 100

7


TABLA N"2: Bafance Hídrico Global Anuaf.

FUENTE: World Water Balance and ¡Iat.er Resources of theEart.h, UNESCO, 1978.

A pesar de que el contenido de agua en la superficie y en la atrnósfera

es relativarnente pequeña en cualquier momento, cantidades inmensas de agua

pasan anuahnente a través de estos sistemas. La Tabla 2 muestra el balance

hídrico global anual y la Figura 2 (Balance Hídrico Promedio Gtobal Anual)

muestra los componentes principales del ciclo hidrológico en unidades

relativas a una precipitación anual sobre la tierra de 100 unidades de

volumen. Se puede observar que la evaporación sobre la tierra consume 61%

de la precipitacióny el resto39%, constituye la escorrentia hacia los océanos,

principalmente en forma superficial. La evaporación de los océanos

Descripción LJn1clacl OCEANO TIERRA

Area Km2 361,300,000 148, 800, 000

Prec ipi tac ión Km"/ ano 4s8, 000 r_19, 000

Evaporac ión Km' / ano 50s,000 72 , OO0

E s corrent. iahacia ef Mar Km'/ ano 44 ,7 00

Fluj oSubt erráneo Ám'/ ano 2,200

EscorrentiaTotaf Km- / ano 47 , OOO


contribuye con el 90% de la humedad atmosférica. El anátisis del flujo y

almacenamiento del agua en el balance global anual proporciona algunos

conocimientos elementales sobre la dinámica del ciclo hidrológico.

Á.\ ,#?'*í Ilr ú*ilrY

I(?:

Figura No2: Balance Hídrico Promedio Global Anual.

El ciclo del agua es muy complejo, pero bajo ciertas condiciones bien

definidas, la repuesta de la cuenca a la precipitación, infiltración y

evaporación se pueden calcular si se establecen suposiciones simples. Por

ejemplo, si la rata de precipitación sobre una cuenca es menor que la rata de

1-2

r,\l6t )\/

-;:i+


infiltración y si existe un amplio almacenamiento en la humedad del suelo,

entonces la escorrentia directa en la superficie y el flujo resultante en los

canales de drenaje será cero. Por el contrario, si la precipitación precedente

ha llenado la capacidad de almacenamiento de la humedad del suelo y la

intensidad de la precipitación es mucho mayor que la rata de infiltración y

evaporación, entonces el volumen de escorrentia superficial será igual al

volumen de precipitación. En la mayoría de los casos, desafortunadamente,

las condiciones existentes quedaran localizadas eritre estos dos límites y

debemos medir cuidadosamente o calcular más de una componente del ciclo

hidrológico para predecir la respuesta de la cuenca.

El ingeniero hidrólogo debe ser capaz de calcular o estimar las diversas

componentes del ciclo hidrológico para diseñar adecuadamente proyectos de

recursos hidráulicos. Muchos de estos proyectos hidráulicos deben ser

diseñados para protección contra los daños producidos por eventos extremos

de inundaciones y sequías y serán operados generalmente tomando en cuenta

estos eventos críticos. Algunos de los temas típicos relacionados con la

ingeniería hidrológica incluyen los siguientes:

l. Flujos máximos de inundación esperadas en los vertederos, las

alcantarillas y puentes de las carreteras.

2. Capacidad de los embalses requerida para asegurar una cantidad

adecuada de agua para irrigación y abastecimiento de agua para las

ciudades.

3. Efectos de embalses, muros de contención y otras estructuras de

control de inundaciones en una corriente.

13


Efectos de desarrollo urbano en la capacidad futura de un sistema de

drenaje y los flujos asociados con las inundaciones.

Determinación de los niveles probables de inundación para mejorar la

protección que ofrecen los proyectos construidos por el hombre contra

las inundaciones ó para promover el establecimiento de zonas con

riesgo de inundaciones.

Ejemplo 1: Estimar el tiempo de residencia de la humedad atmosférica

global.

Solución: El tiempo de residencia T, es la duración promedio para que una

molécula de agua pase a través de un subsistema del ciclo hidrológico.

T= volumen de agua almacenada

rata de flujo

L4

4.

5.

De la Tabla 1:

De la Tabla 2:

s

O

s--a:

T=

12,900 Km3

458,000 + 119,000 : 577,000 Km3/año

12,900 Km3= 0.022 años = 8.2 días

577 ,000 Km3laño

Observación: Debido al corto período de residencia de la humedad en la

atmósfera, es difícil predecir el estado del tiempo con varios días de

anticipación. Este valor del tiempo de residencia es promedio y puede

mostrar variaciones espaciales considerables.


BALANCE HIDRICO

Para cualquier sistema hidrológico, se puede desarrollar un balance

hídrico para tomar en cuenta las trayectorias del flujo y el almacenamiento de

agua. El sistema más simple es una superficie impermeable inclinada,

confinada en todos sus bordes y con una sola salida. Un lote pequeño

pavimentado de estacionamiento en un área urbana satisface este modelo.

Figura N'3: Sistema Hidrológico Simple

La ecuación de continuidad (flujo no permanente ó inestable) para

cualquier sistema hidrológico es:

l_5

r-o-dsdt

Entrada = |

Sal¡da = O

eche

Nota adhesiva

DV=E-S

eche

Nota adhesiva

cuando tiempo igual a infinito, entonces DV es igual a cero

Hídrología / David Cedeño

donde: I

o

ds/dt

flujo de entrada (vol/tiempo)

flujo de salida (vol/tiempo)

cambio en el volumen de almacenamiento por

unidad de tiempo.

I6

Al aplicar este modelo al lote de estacionamiento (figura 3), la

precipitación se acumula sobre la superficie y eventualmente se descarga a

través de la salida. Si despreciamos la evaporación durante todo el período,

eventualmente toda la precipitación se convertirá en flujo de salida, pero

estará algo retrasada con respecto al tiempo. La diferencia entre el caudal de

entrada acumulado y el caudal de salida en cualquier momento representa el

cambio en el almacenamiento, el cual se descarga a través de la salida,

después que halla finalizado la lluvia.

Figura N'4: Balance hídrico de una Cuenca.

El mismo concepto se puede aplicar a una cuenca pequeña o grande,

con la diferencia que es más difícil el análisis, pues algunos de los términos

7


correspondientes a los períodos en el balance hídrico pueden ser desconocidos

o difíciles de evaluar.

Una Cuenca se define como una superficie de tierra que es drenada a

través de una salida única y que esta separada de las otras cuencas por una

divisoria de aguas. Para un período de tiempo, el modelo matemático

conceptual para la cuenca es el balance hídrico (figura 4) el cual se puede

expresar (en unidades de profundidad: cm ó plg) como:

P-R-G-E-T:AS

1-'7

donde: P

R

G

E

T

AS

precipitación

escorrentia superficial

flujo subterráneo

evaporación

transpiración

cambio en el almacenamiento

También podemos definir un coeficiente de escorrentia (R / P) como la

razórentre la escorrentía y la precipitación. Observe que la infiltración F es

una pérdida en la superficie del sistema y una ganancia para el flujo de agua

subterránea, por consiguiente se cancela en el balance hídrico general.

Además, las unidades de profundidad (cm ó plg) representan un volumen de

agua cuando se multiplican por el área de la cuenca.


Ejemplo 2: Balance Hídrico/Unidades de Conversión

Para un mes dado, un lago con una superficie de 300 acres recibe un

caudal de entrada de 15 p3ls y descarga 13 p3ls; además, el almacenamiento

total se incrementa en 16 acres-pie durante este período. Un medidor cerca

del lago registro un total de 1.3 plg de precipitación durante dicho mes.

Asumiendo que la infiltración es insignificante, determinar la pérdida de agua

por evaporación sobre el lago (en pulgadas).

18

IP = f¡recipitacion

Solución:

La ecuación de balance hídrico para la

unidades de profundidad) es:

E = ev¡poranón

evaporación del lago (en

E:I-O+P-F-aS


Donde:

, (ls pies3lseg) (12 plglpie) (86,400 segldía) (30 días)

(300 acres) (43,560 pies2lacre)

I : 35.70 plg

..\ (13 pies3/seg) (12 plglpie) (36,400 segldía) (30 días)

(300 acres) (43,560 pies2lacre)

O : 30.94 plg

P : 1.3 plg

o , - (16 acrespie) (12 plglpie) = 0.64 ptg300 acres

aS : 0.64 plg

E:I-O+P-aS

E : 35.70 -30.94 + 1.3 - 0.64 : 5.42pls

Ejemplo 3: Balance Hídrico en una cuenca.

En un año dado, una cuenca con un área de 250,000 hectáreas recibió

P : 130 cm de precipitación. El caudal promedio medido en un río que drena

la cuenca fue de R : 30 m3/s. Estimar la cantidad de agua que se pierde

debido a los efectos combinados de evaporación, transpiración e infiltración

hacia el agua subterránea. Además, calcular el coeficiente de escorrentía.

I9

7


Asumir que los niveles de agua al inicio (t : 0) y al final (t - 1 año) son

iguales; por 1o tanto el cambio de almacenamiento es AS : 0.

Solución:

La ecuación de balance hídrico para la superficie de la cuenca es:

ET+F:P-R-aS

Donde:

* _ (30 m3lsei (86,400 segldla) (365 dlais = 0.3784 m

(2sq000 ha) (1o,ooo m2lha)

R 37.84 cm

ET+F P-R-AS

ET + F 130 - 37.84 92.16 cm

El coeficiente de escorrentía es:

R 37.84 cm = 0.29P t30 cm

20


PRECIPITACION

2a

La precipitación es la cantidad primaria de entrada del agua en el ciclo

hidrológico superficial, ya sea en forma de lluvia, nieve ó grarizo; y

generalmente se deriva de la humedad atmosférica. Las masas de aire

húmedo deben estar sometidas a un ascenso, con el enfriamiento resultante,

condensación y crecimiento de las gotas de agua antes de que la precipitación

ocurra. La precipitación se clasiflca a menudo en tres tipos de acuerdo con

las condiciones que generaron el movimiento verticll de las masas de aire

cargadas de humedad:

A. Convectiva: Debido al calentamiento intenso del aire al nivel del suelo

ó el mar, se produce una espansión y el ascenso vertical del aire

húmedo. Este tipo de precipitación es característico del trópico.

B. Ciclónica: Esta asociada con el movimiento de grandes sistemas de

masas de aire, de regiones de alta presión a regiones de baja presión.

(Como en el caso de frentes cálidos y fríos). Esta diferencia de presión

es creada por el calentamiento desigual de la superficie de la tierra.

C. Orográfica: Producida por el ascenso mecánico de las masas de aire

húmedo sobre las montañas.

OBOBAFIC,T

Hidrología I David Cedeño

I

HIIiTDO

FROIITAL

í-r-l

"-.'ff.,'¡1'l'+

¿ T T¡FE F

Figura N"5: Típos de Precipitación

HT]MEDAD ATMOSFERICA

La humedad atmosférica es la fuente requerida para la precipitación y

se deriva de la evaporación y transpiración.

Mediciones comunes relacionadas con la humedad atmosférica, o

simplemente humedad, incluyen presión de vapor, humedad específica,

humedad relativa y temperatura para la formación de rocío. Bajo condiciones

húmedas, se puede asumir que el vapor de agua satisface las leyes de los

gases ideales, 1o cual permite una derivación de relaciones sencillas entre

presión, densidad y temperatura.

[t YECflfA

7


La Presión Parcial es la presión que actuará sobre la superficie de un

recipiente por un gas particular en una mezcla de gases. La presión parcial

producida por el vapor de agua se denomina Presión de Vapor (e) y se puede

obtener a partir de la ley de Dalton y la ley de los gases ideales de la siguiente

manera:

P,RTe=0.622

)a

donde: e

p'

R

R

T

presión de vapor en mb

densidad de vapor o humedad absoluta en grlcmr

constante de los gases para aire seco

2.87 xl03 (mb. cm3)/(gr. oK)

temperatura absoluta en oK

El factor 0.622 surge de la razót entre el peso molecular del agua (= 18)

al peso molecular del aire ("29). Cerca de la superficie de la tierra la

presión del vapor de agua es l% al2% delapresión atmosférica total, donde

la presión atmosférica promedio es 1,013.2 mb al nivel del mar.

(Nota: I mb : 100 Pa).

La hesión de Saturación de Vapor (e,) es la presión parcial que

ejerce el vapor de agua cuando el aire esta completamente saturado (no ocurre

más evaporación) y es una función de la temperatura.

a


La Humedad Relativa (H) es aproximadamente la raz6n entre la

presión de vapor de agua a la presión de saturación de vapor bajo las mismas

condiciones e igual temperatura. Esta se puede definir como:

H=100e€"

Por consiguiente, 50% de humedad relativa signiflca que la atmósfera

contiene 50% de la humedad máxima que podría retener bajo condiciones

saturadas a esa temperatura.

La Humedad EspecÍlica (q) es la masa del vapor de agua contenida en

una unidad de masa de aire húmedo y es igual a:

p.,q=p-

Observe que la humedad específica q es adimensional; por 10 tanto, la

densidad del vapor pu y Ia densidad del aire húmedo p. deben tener las

mismas unidades.

Utilizando la ley de Dalton y asumiendo que la atmósfera esta

compuesta de solamente aire y vapor de agua, tenemos:

p^ (P - e) + 0.622 e

24

RT

o = P (r-03784)RT\ P )


La ecuación anterior nos muestra que el aire húmedo es más liviano que

el aire seco a la misma presión y temperatura por 1o tanto:

pu

p^0.622 e

P - 0.378 e

donde: humedad específica (grlgr)

presión de vapor (mb)

presión atmosférica total (rnb)

densidad de la mezcla de aire seco y

vapor de agua (grlcm3)

densidad de vapor (grlcm3)p,

Finalmente, la temperatura para la formación de rocío (TJ es el

valor para el cual una masa de aire llega a estar safurada (e : e.) cuando se

enfría a presión constante y el mismo contenido de humedad. Una relación

aproximada para la presión de saturación de vapor de agua e. en función de

la temperafura para la formación de rocío T¿ es:

q

e

P

Pm

- 4,278.6

Ta + 242'79

donde e, está en mb y Tu está en oC. Esta relación es exacta dentro de un

rango de más o menos de 0.57o de los valores observados dentro del intervalo

de temperatura de OoC hasta 40oC.

€" = 2.7459t fO' ' "*n I

7


Las mediciones anteriores de la humedad atmosférica se utilizan

frecuentemente en el análisis del estado del tiempo para predecir la

probabilidad de precipitación sobre un área en particular.

CAMBIOS DE FASE

Para que el vapor se condense (pase del vapor al estado líquido) y

comience la formación de la precipitación, una cantidad de calor conocida

como calor latente debe ser removida de la masa de-aire húmedo. El calor

latente de condensación L" es igual al calor latente de evaporación L", el cual

se define como la cantidad de calor requerido para convertir agua en estado

líquido a vapor a la misma temperatura; por consiguiente:

- -|J = 597.3 - 0-57 T

donde los calores latentes L" y L" estan en callgr y la temperatura T está

medida en oC.

Los meteorólogos usan las relaciones de humedad y los conceptos de

calor latente para obtener relaciones de presión-temperatura para el

enfriamiento de las masas ascendentes de aire húmedo. La rata de cambio de

temperatura con la elevación en la affnósfera se denomina Gradiente Térmico.

Cuando las masas de aire húmedo no saturado, ascienden en la

aÍnósfera, la humedad relativa se incrementa y al alcanzar cierta elevación,

la masa de aire húmedo está completamente saturada, es decir, que Ia

humedad relativa (H) alcanza el I00%. Adicional enfriamiento del aire

resulta en la condensación de la humedad y el calor latente de condensación


es liberado, calentado el aire y por 1o tanto, disminuye el gradiente térmico

atmosférico. Este intercambio de calor latente es la principal fuente de

energía de los huracanes y ciclones tropicales.

Se ha observado que no existe una relación definida entre la cantidad

de vapor de agua y la precipitación resultante sobre una región; es decir que

la condensación puede ocurrir formando nubes sin que se produzca

precipitación sobre la superficie de la tierra, por lo tanto es necesario

considerar otros procesos climáticos para analizar -los mecanismos de la

precipitación.

CANTIDAD DE AGUA PRECIPTABLE

La estimación de la cantidad de precipitación que puede ocurrir sobre

una región donde existan condiciones favorables en el ambiente es una

información útil. Este valor puede ser obtenido calculando la cantidad de

agua contenida en una columna de la atmósfera que se extiende desde la

superficie de la tierra y el resultado se conoce como cantidad de agua

precipitable (D), la cual se expresa generalmente en centímetros o pulgadas;

sin embargo esta cantidad no se puede remover totalnente de la atrnósfera por

procesos naturales.

La ecuación para obtener la cantidad de agua precipitable en la

atmósfera se puede derivar considerando una columna de aire con una base

de área A. La masa total de agua M contenida en ésta columna de aire

húmedo entre la elevación cero y alguna alfiraZ se puede expresar como:

27


donde pu es la humedad absoluta. La ecuación fundamental de la hidrostática

se puede escribir como:

dp - _ p^gdz

donde p- es la densidad total de lamezcla de aire seco y aire húmedo. Por

consiguiente, podemos despejar dz enla ecuación hidrostática, obteniendo:

-dPdzP^8

Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación y observando que la razón

de densidades es la humedad específica q : p, / p,n ; tenemos:

28

Y = 1." P'dz

M=-1 [,o"ar=1[,.ndpA g "Po P^ g "'

Recordando que la densidad del agua en estado líquido se puede expresar de la

siguiente manera:

Masa MVolumen A D

7


donde D es la cantidad de agua precipitable (profrmdidad); finalmente tenemos

la siguiente ecuación:

- I [-"00,P g JP

Después de introducir los factores de conversión correspondientes al

sistema métrico, podemos obtener aproximadamente la cantidad de agua

precipitable de la siguiente manera:

D * [r'"uat

donde la profundidad D esá en cm, la presión P se mide en mb y la humedad

específica q en gm/gm. El siguiente ejemplo ilustra un procedimiento de

integración numérica de la fórmula anterior para el calculo de la profundidad

de agua precipitable.

Ejemplo 4: Cantidad de Agua Precipitable.

La siguiente tabla muestra los datos de elevación, temperatura, presión

atmosférica y presión de vapor. Calcular la profundidad D en cm de la

cantidad de agua precipitable en la atrnósfera contenida en una columna de 5.4

Km de altura.

29

D- MpA


Tabla: Datos Meteorológicos.

Procedimiento:

Se divide la columna de la atmósfera en capas de 600 m de alfura, se

utiliza el valor promedio de la humedad específica q y se calcula el

incremento en la presión atmosférica AP para integrar numericamente la

fórmula de la cantidad de agua precipitable de la siguiente manera:

30

Elevación (z)

Km

Temperatura (T)

oc

PresiónAtmosférica (P)

mb

Presión deVapor (e)

mb

0.0 15 1013.0 7.0

0.6 11 942.0 5.0

t.2 1 875.0 3.8

1.8 J 812.0 3.2

2.4 -1 753.0 2.0

3.0 -5 697.0 1.6

3.6 -9 644.0 1.1

4.2 -13 595.0 0.8

4.8 -1',| 550.0 0.6

5.4 -20 500.0 0.4

D"tqtp


Resultados:

31

Tabla de Cálculos

D(cm) - E q.tP = 1,017.03¡10-3

D r 7.02 cm = 0.40 plg

ElevaciónZ

x L03m

HumedadEspecífica

9"0.622e1P

x 10-3 gm/gm

ValorPromedio

q

xl0'3 gm/gm

Incremento

AP

mb

Producto

q' LP

103mb

0.0 4.30

0.6 33r 3.81 71 269.80

1.2 2.71 3.01 67 201.00

1.8 2.45 2.58 63 t62.54

2.4 1.65 2.Os 59 120.95

3.0 1.43 t.s4 56 86.24

3.6 1.06 1.25 53 66.25

4.2 0.84 0.95 49 46.55

4.8 0.68 0.76 45 34.20

5.4 0.50 0.59 50 29.s0


CAUSAS Y MECANISMOS DE FORMACION DE LA

PRECIPITACION

La condensación de vapor de agua en gotitas en las nubes ocurre como

resultado del enfriamiento del aire a una temperatura por debajo del punto de

saturación para el vapor de agua. Esto se logra generalnente a través del

ascenso vertical a elevaciones donde la temperatura y la presión son más

bajas. La mitad de la masa de la atmósfera esta locplizada hasta una altura

de 18,000 pies (5.48 Km) medida desde la superficie y contiene la mayoría

de las nubes y la humedad. La condensación puede ser producida por:

1. Enfriamiento diniámico ó adiabático (sin perdida de calor hacia los

alrededores).

Mezclas de masas de aire que tienen diferentes temperafuras.

Enfriamiento por contacto.

Enfriamiento por radiación.

El enfriamiento dinámico es el mecanismo más importante en la

producción de cantidades apreciables de precipitación. El rocío ó sereno, la

escarcha y la niebla son productores menores de precipitación y son causados

por enfriamiento por contacto y radiación.

Los núcleos de condensación deben estar presentes para la formación

de gotas en las nubes. El origen de estos núcleos es variado; entre ellos

tenemos: sal de los océanos, polvo proveniente de suelos arcillosos, producto

2.

4.

a


de la combustión industrial y automotriz, cenizas volcánicas, etc. y varían en

tamaño desde 0.1p a 10¡r. (Nota: lp = 1x10-6 metros)

Las gotas en las nubes inicialmente tienen un diámefro promedio de

0.01mm y solamente cuando estas exceden 0.5mm de diámetro es que ocrüre

una precipitación significativa. El proceso para que una gota pequeña de lluüa

(lmm) crezca sobre un núcleo de condensación puede tomar varias horas.

Cuando las masas de aire cargadas de humedad suben, estas se enfrían y

expanden, y al ocurrir la saturaciór¡ el vapor de agua eomienza a condensarse

en los núcleos activos. El principal mecanismo para el suministro de agua a las

gotas crecientes en las etapas iniciales es la difusión de las moléculas de vapor

de agua debido al gradiente de presión hacia las superhcies de las gotas.

Cuando la masa de las gotas se incrementa, estas comienzan a moverse con

respecto a las nubes. Sin embargo, existen otros procesos que afectan el

crecimiento de las gotas hasta que alcancen un tamaño suficiente (0.5mm -

3.0mm) de manera que superen la resistencia del aire y caigan como

precipitación en cualquiera de sus formas. Estos mecanismos son el proceso de

coalescencia y el proceso de cristales de hielo.

El proceso de coalescencia es considerado el mecanismo dominante de

la precipitación en forma de lluvia. Cuando las gotas de agua caen, las más

pequeñas y lentas son absorbidas por las más grandes, las cuales tienen una

velocidad de caída mayor, y el tamaño de las gotas se incrementan a través

de la colisión. Esto puede producir una precipitación abundante,

especialmente en cúmulos cálidos en las regiones tropicales (cierto tipo de

nube).

33


El proceso de cristales de hielo provoca la condensación en los núcleos

congelados debido a las presiones de vapor más bajas. Los cristales de hielo

crecen en tamaño a través del contacto con otras partículas y la colisión

produce la formación de nieve en forma de hojuelas. Estas pueden

transformarse en gotas de lluvia, si al caer entran en contacto con aire en el

cual la temperatura se encuentra por encima del punto de congelación.

Los núcleos de condensación se pueden introducir artificialmente en las

nubes para provocar la precipitación bajo - ciertas condiciones.

Corrientemente se utiliza hielo seco y yoduro de plata como núcleos

artificiales. En la actualidad esta es un área de investigación muy activa para

el control del clima, y todavía existen muchos problemas técnicos y legales

por resolver relacionados con la precipitación inducida o artificial.

ANALISIS DE DATOS DE PRECIPITACION

Los eventos de precipitación son registrados en localidades específ,cas

utilizando pluviometros y pluviografos. La interpretación de los datos

recogidos en las diferentes estaciones de medición muestra la gran variación

en el espacio y el tiempo de la precipitación. Las variaciones en la

distribución y frecuencia de la precipitación ocurren debido a las estaciones

climáticas y alalocalización geográfica, al igual que las variaciones de un

evento individual de precipitación se deben al tipo de tormentas, intensidad,

duracióny época del año; los vientos prevalecientes y la temperatura relativa

de la tierra con respecto al océano también tienen su efecto sobre la

precipitación.

34


Generalmente se requiere una red de 5 a l0 estaciones de medición por

cada 100 millas cuadradas (25,000 hectáreas) para registrar las variaciones

de la precipitación. Pero el mantenimiento de estas redes de medición es

costoso y muchas veces ocurren fallas en el equipo; por lo tanto, algunas

veces los registros están incompletos.

Los datos de precipitación se pueden utilizar para derivar las curvas de

intensidad-duración-frecuencia (IDF), las cuales se utilizan generalmente

para obtener las características de las tormentas de diseño.

Se deben utllizar métodos estadísticos (tales como la distribución de

valores extremos) para ulr.lrzar la información requerida para la construcción

de curvas IDF. Uno de los modelos más simples para estas curvas fue

propuesto por Steel (1960), el cual tiene la siguiente forma:

t+B

35

donde: i

t

A,B

intensidad de la lluvia (plg/hr)

duración de la precipitación (min)

constantes

La intensidad i representa el valor promedio de la profundidad de la

precipitación acumulada P dividida por la duración / registrada, es decir:


Los coeficientes A y B varián con la localización y el período de

retorno T en años. Estos coeficientes se pueden obtener utilizando el método

de regresión lineal, el cual requiere la transformación de la función a una

línea recta:

INTENSIDAD tds/h'J

FRECUENCA

36

llB = _t +iAA

'100 años50 años25 años10 ¿ños5 eñns

DUFACI0N {minl

Figura N'6: Curvas Típicas deIntens ídad-Duración- Frecuenc ia

Ejemplo 5: Curvas de Intensidad-Duración-Frecuencia.

La siguiente tabla muestra la precipitación acumulada y la

para lluvias con un período de recurrencia de una vez cada 10 años.

una curva IDF a los datos utilizando el método de regresión lineal.

duración

Ajustar

7


Tabla: Datos y Calculos

t (min) P (plg) i (plg/hr) 1 / i (hr/plg)

5 0.60 '7 1 0.1389

10 0.98 5.9 0.1695

15 1.27 5.1 0.1961

30 1.90 3.8 0.2632

60 2.30 2.3 o.4348

t20 2.80 1.4 0.7t43

Solución:

LacurvalDFtransformada I li: (l lA)t + (B/A) representauna

línea recta, de la forma típica:

y -- mx + b

donde: x : t : variableindependiente

y : lli variabledependiente

m llA: pendiente

b : B/A: ordenadaenelorigen

Efectuando un análisis de regresión lineal con los datos anteriores, se

obtienen los siguientes resultados:

31

Pendiente:

Ordenada :

m 0.0050

b : 0.1190


Con wr Coeficiente de Determinación:

de las constantes de 1a curva IDF es:

m

B = b.A

3E

Rz - 0.9986; por consiguiente el vaior

= 200A0.005

(0.1190) (200) = 23.8

La curva de intensidad-duración-frecuencia para un período de retorno

T : 10 años resulta ser:

200

t + 23.8

donde ia intensidad i se mide en plg/hora y el tiempo / en minuros.

ESTIMACION DE DATOS FALTANTES

Muchas estaciones de precipitación tienen datos taltantes en sus

registros, causados por la ausencia del observador ó debido a f'allas en los

instrumentos, por 1o tanto, a menudo es necesario estimar la precipitación en

una estación utilizando los valores registrados en las estaciones localizadas en

1os airededores,

Para la estimación de los daros faitantes, Faulhus y Kohler (1952)

propusieron el uso del promedio aritmetico simple con los datos de tres

estaciones cercanas, el cual es adecuado cuando ia precipiración anual rie

cada estación no difiere en más del i0 % de la precipitación anual de ia

estación con registro incompleto; de tal manera que:


P * Pz * P")

En caso contrario, es necesario ajustar las precipitaciones observadas

utilizando un factor de corrección igual a la razón de las precipitaciones

anuales N / N¡ entre la estación con datos faltantes y las tres estaciones

cercanas. Este procedimiento se denomina método de la razón normal y la

fórmula es la siguiente:

39

1 ( P"3"

Np. ¡/N"'u ¡i/c+(

N p, +NA

P")P

en donde F es la precipitación estimada y ly' es la precipitación anual

registrada en las estaciones.

Sin embargo, el método más utilizado en la actualidad para la

estimación de datos faltantes de precipitación fue desarrollado por el National

Weather Service (1972), el cual esta basado en el promedio pesado de los

valores observados en los alrededores. En este caso, el peso W es el

recíproco de la dist¡ncia al cuadrado; es decir, la suma de las coordenadas al

cuadrado de las estaciones medidas desde el punto de interés:

D2=X2*Y2

Por lo tanto, el factor de peso utilizado en el promedio pesado es:

1W

D2


El valor estimado de la precipitación utilizando n estaciones cercanas

(aproximadamente una estación en cada cuadrante) resulta ser:

E r,w,i=l

Ew,t=l

Ejemplo 6: Promedio Pesado

Estimar la precipitación en la estación A utilizando los datos de 5

estaciones cercanas.

Localización de las estaciones cercanas (sin escala)

P


Solución:

Tabla: Datos y Cálculos.

41

SUMA: 334.5 567.7

E p,w,-A

tt

Ew,i=l

fn = l.T|plg

ANALISIS DE DOBLE MASA

Latecntca de doble masa se utiliza para verificar la consistencia de los

datos de precipitación. Este método está basado en el hecho de que la

precipitación promedio acumulada para cierto número de estaciones no es

muy sensitiva a los cambios en una estación individual debido a que los

EstaciónP

(ple)

Coordenadas(millas)

X YD2 w.103 P.W.103

A I 0 0 0

B 1.6 +4 +2 20 50.0 80.0

C 1.8 +1 +6 37 27.0 48.6

D 1.5 -3 +2 t3 - 76.9 tt5.4

E 2.0 -J -J 18 55.6 ttt.2F t.7 +2 a 8 t25.0 2I2.5


errores se compensan, mientras que los valores acumulados para una estación

individual son afectados inmediatamente por los cambios que ocurren en la

estación. Estás variaciones se producen por cambios en la localización de la

estación, tipo de instrumento, método de observación; los cuales muchas

veces no se indican en los registros publicados. Si al graficar la precipitación

anual acumulada para la estación bajo investigación contra la precipitación

promedio anual acumulado de las otras estaciones se obtiene una línea recta,

se puede garantizar que los registros completos para esa estación han sido

obtenidos bajo las mismas condiciones; pero si existe un cambio de pendiente,

generalmente se puede encontrar una explicación al fenomeno. (por ejemplo:

la estación fue movida de sitio). En este caso, los registros anteriores al

cambio de pendiente deben ser ajustados multiplicando por la razón de las

pendientes S2 / Sl para hacerlos compatibles con los datos más recientes.

Ejemplo 6: Análisis de Doble Masa

La siguiente tabla muestra los datos de precipitación anual de la

estación X y el promedio de precipitación anual para 10 estaciones localizadas

en los alrededores (para 25 años de registro).

a) Determinar la consistencia de los registros de la estación X; en caso

necesario, indicar el año donde ocurre el cambio de pendiente.

b) Calcular la precipitación promedio anual para la estación X utilizando

los datos originales y efectuando los ajustes correspondientes.

42


Tabla: Datos y Cálculos

AÑO PRECIPITACION (cm)ESTACIONX PROMEDIO

IO BSTAC]ONES

PRECIPITACION ACUMULADAESTACION X PROMED]O

1O ESTACIONBS

1960 49 38 49 38

1961 38 25 87 63

t962 36 3'7 123 100

1963 25 148 126

1964 35 181 150

1965 38 31 221 181

1966 34 33 255 214

196'7 40 30 29s 244

1968 26 20 32r 264

1969 25 345 289

1970 48 36 393 325

19',71 26 26 419 351

l9'72 42 24 461 375

1973 21 49t 402

197 4 32 32 523 434

197 5 25 30 548 464

19'16 18 566 490

1977 12 5'78 514

r978 36 602 550

19'19 T6 27 618 577

1980 18 25 636 602

1981 20 26 6s6 628

1982 3l 680 6s9

1983 19 32 699 691

1984 18 37 111 728

= at)-uJ9oF@t¡l

€)oOFa tlJo

Iou¡Eo

ob

oJf

=oo<At

6tctu

ó=c\t

@

=uJJtr¡ool!oI9Jz

óooooóoooaó !4, t ci c\¡

x NolSvIS3 :VO\rInv{n3v Nol3vildlc3ud

*1 x

8383ro ta) t c.t


Solución:

a) El an"ílisis de doble masa muestra un cambio de pendiente en el año

1974, por lo tanto no existe consistencia en los datos de precipitación

para la estación X. Los Valores da las pendientes para cada tramo

son los siguientes:

45

b) Precipitación promedio anual para la Estación X:

Datos originales:

F = 717 = 28.68 cmlaño25

Datos ajustados:

^ 523J. = 1.20' 434

., ( 7t7 - s23)r. = 0.66' (728 - 434)

J:9!-+sr + (717-4e1 )]= te.84cmlaño

F = Li,,ll ¡=t

8_125


PRECIPITACION PROMDDIO SOBRE TINA REGION

El promedio de la profundidad de la precipitación sobre un área

específica se requiere a menudo para predecir la respuesta de una cuenca o

para desarrollar la tormenta de diseño. Existe tres métodos básicos para

obtener los valores promedios sobre el área: Promedio Aritmético, el

Polígono de Thiessen y el Método de las Isoyetas.

El método más simple es el promedio aritmético de los valores P;

observados en las n estaciones de precipitación loicalizadas dentro de la

cuenca, es decir:

P=

Este método es satisfactorio si los medidores de precipitación están

distribuidos uniformemente y las variaciones individuales de las lecturas no

difieren mucho de la precipitación promedio.

El Polígono de Thiessen permite la distribución de la precipitación de

acuerdo a las áreas correspondientes a cada estación. Para construir los

polígonos se conectan las estaciones por medio de líneas rectas y se trazan

líneas perpendiculares que bisecten a las líneas conectoras para formar los

polígonos alrededor de cada estación; a continuación se miden o calculan las

áreas y laraz6n de las áreas A¡de cada polígono dentro de los límites de Ia

cuenca y el área total A, se utiliza para obtener la contribución de la

precipitación P, en cada estación a la precipitación promedio sobre la cuenca'

en este caso:

46

Li,,h ¡=t


E p,A,P

E¿,

Este método es único para cada red de medición cuando las localización

de las estaciones es permanente y por consiguiente no permite la

incorporación de los efectos orográficos (tales como cambios en la elevación

del terreno) en la distribución de la precipitación. No obstante, es

probablemente el método más utilizado de los tres métodos disponibles para

obtener la precipitación promedio sobre la cuenca.

El método de isoyetas involucra el trazado de contornos de igual

precipitación, o líneas isoyetas, sobre el áreade la cuenca y es el método más

exacto de los tres; sin embargo, se requiere una gran cantidad de estaciones

de medición para dibujar las isoyetas con precisión. Los cálculos de la

precipitación promedio sobre la cuenca están basados en el valor promedio de

profundidad de la precipitación entre cada par de contornos, luego se

multiplica por el área entre las isoyetas para obtener el volumen de

precipitación, finalmente se suman estos productos y se divide por el ítrea

total; en otras palabras:

D/ Volumen

A

tl=l

A.f)l

' A,

PEt=l

Ei=l

E A I


El método de la isoyetas puede incluir los efectos orográficos y la

morfología de las tormenias; por lo tanto, el ftazado de isoyetas constituye un

mapa adecuado del patrón de la precipitación.

Ejemplo 8: Precipitación Promedio sobre un Área.

Una cuenca de 23.6 millas cuadradas tiene un sistema de cuatro

estaciones de precipitación, tal como se indica en el mapa (sin escala) y las

profundidades de precipitación observadas en cada eitación se muestran en

la tabla de datos. Determinar Ia precipitación promedio sobre la cuenca

utilizando los siguientes métodos:

a) Promedio Aritmético

b) Polígono de Thiessen

c) Método de Isoyetas

Tabla de Datos:

4B

ESTACION PRECIPITACION (ple)

A 2.0

B 1.8

C 1.2

D 1.0


Solución:

a) PromedioAritmético:

Tabla de Datos:

49

Mapa de la Cuenca (sin escala)mostrando 1a localización de fas

Estaciones .

D-l

J

(

| ", . P, * Po

1.2 + 1.O

)

33 plg

ESTACION PRECIPITACION (plg)

A 2.0

B 1.8

C 1,2

D 1.0

P1.8 +


b) Polígono de Thiessen:

50

Tabla de Cálculos:

Suma: ú : 23.6 1.000

I.3s plgP

1.35

Pi(ple)

Ai(mi')

Ai/AT Pt(At/Ar)(ple)

2.0 1.5 0.064 0.13

1.8 7.2 0.305 0.55

1.2 5.1 0.216 o.26

1.0 9.8 0.415 0.42

Figura N'7: Poligono de Thiessen.


c) Método de Isoyetas

Suma: N:23.6

P

Tabla de Cálculos

51_

Vol, 3172

VOL4 :31.72

1.34 plgAr 23.60

0,¿t a +Yalor est¡mado

ISOYETA(ple)

A. (mi') P (nls) Vol=PA¡lt(plg-mi')

2.0

5.1 1.9 9.69

1.8

9.8 i.5 t4.'7

r.2

3.1 1.1 3.41

1.0

5.6 0.'7 3.92

0.4

Figura N'B: Método de Isoyetas.

Hidrología / Daüd Cedeño

EVAPORACION Y TRANSPIRACION

Evaporación es el proceso por medio del cual el agua en estado líquido

o sólido es transformada en vapor de agua, el cual se mezcla con el aire de

la atmóslera.

La evapotranspiración se considera separadamente como la pérdida

combinada de vapor de agua a través de la superficie de las plantas

(transpiración) y la evaporación de la humedad del suelo.

El conocimiento de los procesos de evaporac-ión es importante para

predecir las pérdidas de agua debido a la evaporación que ocurrirán en un

lago o embalse. Aproximadamente el6l% de la precipitación promedio anual

sobre la superficie terrestre regresa a la atmósfera a través de la evaporación

y evapotranspiración (tal como se indica en la figura del balance hídrico

promedio global anual). Sin embargo, las variaciones en la evaporación a

través del continente pueden ser muy grandes, ya que existen regiones

desérticas o áridas donde la evaporación anual puede exceder la precipitación

promedio anual.

En el caso de evaporación desde la superficie de un lago, la pérdida de

agua es función de radiación solar, temperatura del agua y el aire, diferencia

en la presión de vapor entre el agua y la capa de aire sobre el lago y la

velocidad del viento sobre el lago. Cuando ocurre evaporación dentro de un

sistema cerrado a temperatura constante, la presión dentro del recipiente se

incrementa debido al aumento en la presión parcial de vapor. La evaporación

continúa hasta que la presión de vapor de la capa de aire sea igual a Ia presión

de vapor de la superficie del líquido; en este instante se dice que la masa de

52


aire está saturada a esa temperatura y no ocurre más evaporación. Este

estado de equilibrio no se alcanzaría si el recipiente estuviera abierto a la

atrnósfera; en cuyo caso, el líquido se evaporaría completamente. Se requiere

energia térmica para incrementar la energía libre de las moléculas de agua

para que estas pasen a través de la interfase gasJíquido. La cantidad de calor

requerida para convertir agua en estado líquido a vapor se denomina calor

latente de evaporación.

Cuando la evaporación continúa sobre una s+tperficie horizontal de

agua, la acumulación de moléculas de vapor de agua produce un incremento

en la presión de vapor en el airejustamente sobre la superficie del agua, hasta

que evenfualmente comience la condensación. El aire está saturado cuando

la rata de condensación es igual a la rata de evaporación y además, la presión

de vapor es igual a la presión de vapor de saturación. Sin embargo, existen

varios procesos de transporte convectivo que afectan el transporte de vapor

(tales como corrientes de aire ó vientos) las cuales evitan que ocurra el

equilibrio en el ambiente (sistema abierto).

La evaporación solamente es de gran preocupación en la planificación

de grandes proyectos de recursos hidráulicos y en los estudios de

abastecimiento de agua. Durante períodos típicos de tormentas, con

intensidades de precipitación de 0.5 plg/hr, la evaporación se encuentra en el

orden de 0.01 plg/hr y por lo tanto se puede despreciar en los estudios de

caudales de inundaciones y en las aplicaciones de diseño de drenaje urbano.

La evaporación ha sido estudiada extensivamente en los Estados Unidos

tr2


especiaknente en los proyectos de investigación de evaporación efectuados en

el Lago Hefner, Oklahoma, por Marciano y Harbeck (1954).

Existen tres métodos primarios para estimar la evaporación desde la

superficie de un lago:

a) El método de balance hídrico

b) El método de transferencia de masa

c) El método de balance energético

METODO DEL BALANCE HIDRIC" "A*A-

DETERMINAR LA

EVAPORACION

El método de balance hídrico para obtener la evaporación de un lago

esta basado en la ecuación de continuidad hidrológica. Asumiendo que el

cambio en el almacenamiento AS, la escorrentia superficial de entrada I y de

salida O, la infiltración F hacia el flujo subterráneo y la precipitación P

pueden ser medidas; la evaporación se puede calcular de la siguiente manera:

E=P+I-O-F-A,S

Este procedimiento es simple en teoría, pero la evaluación del término

correspondiente a la infiltración hace que este método sea muy difícil de

implementar. Las dificultades con este procedimiento resultan de los errores

en la medición de la precipitación y caudales de entrada y salida, cambios en

el almacenamiento y rata de infiltración. Se han obtenido muy buenos

resultados con este método en el Lago Hefrrer con errores del 5% a l0%. Es

importante señalar que el Lago Hefner fue escogido entre más de 100 lagos

54

7

Hidrología lDawd Cedeño 55

y embalses, ya que es uno de los tres o cuatro lugares que satisfacen mejor

los requerimientos del balance hídrico.

METODO DE TRANSFERENCIADE MASA

Las técnicas de transferencia de masa están basadas principalmente en

el concepto de transferencia turbulenta de vapor de agua desde la superficie

del líquido hacia la atmósfera. Se han desarrollado rumerosas fórmulas

empíricas para obtener la rata de evaporación co?no una función de la

diferencia de presión de vapor y la velocidad del viento sobre el lago o

embalse. La mayoría de estas ecuaciones se pueden escribir de manera

similar a la ley de Dalton:

E = l"* - eo)la * bu)

donde: E

e-

ea

u

a,b

evaporacron.

presión de vapor en la superficie del agua.

presión de vapor a cierta altura sobre la superficie

velocidad del viento

constantes empíricas

Un obstáculo para comparar 1as diferentes fórmulas de evaporación es

la variabilidad en la medición de la altura para ea y z. Si reducimos todas las

fórmulas existentes a efectuar las mismas mediciones a una alfura de 2 metros

(6.5 pies) para la velocidad del viento y la presión de vapor y tomamos en

Hidrología / D avid Cedeño

cuenta la diferencia de alrededor de 30% entre la evaporación medida en un

tanque evaporímetro y la evaporación actual sobre un embalse, la discrepancia

entre las diferentes fórmulas se reduce considerablemente.

La fórmula empírica con la mejor base de datos es para el lago Hefner,

la cual también funciona para el lago Mead, fue presentada por Harbeck y

Meyers (1970) y tiene la siguiente forma:

56

donde: E

N

N

N

E = N url e, - er)

rata de evaporación (cm/día)

constante empírica

0.012 para el Lago HeÍher

0.0118 para el Lago Mead

presión de vapor en la superficie del agua (mb)

presión de vapor medida a 2 metros sobre la

superficie (mb)

velocidad del viento medida a 2 metros sobre Ia

superficie del agua (m/s).

ew

e2

u2

METODO DE BALANCE ENERGETICO

El método más preciso y complejo para determinar la evaporación

utiliza el balance energético de un lago. La ecuación general para el balance

energético de un lago en langley/día (1 langley - Lv I callcñ) se puede

expresar como:


o -o.-o=o^-o

radiación neta absorbida por el cuerpo de agua

transferencia de calor sensible

(conducción y convección hacia la atmósfera)

energía utilizada para evaporación

incremento en la energía almacenada en el cuerpo

de agua

energía transportada por advección del caudal de

entrada y salida

donde:

Figura N'9: Balance Energético de un Lago

Por otro lado, la radiación neta Q" absorbida por el cuerpo de agua es

equivalente a:

o =o -o -o-b

57

Qn

Qn

Q"

Qu

Q"


donde: Q, radiación solar de onda corta

Q. radiación reflejada de onda corta

Qn radiación de onda larga reflejada hacia la atmósfera

Si recordamos que L" representa el calor latente de vaporización

(cal/gm) y p larazón entre la perdida de calor por conducción y la pérdida de

calor por evaporación, tenemos que:

EQ,*Q,-Qs

oZ,(1 +P;

donde E es la rata de evaporación (cm/día) y p es la densidad del agua

(gm/cm3). La razón de Bowen p se utiliza como una medida del calor

sensible transferido y puede ser calculada de esta manera:

(r-r\ro\ (r-r\p ='., l.;=j l,r*,l ='li=)donde: P : presión atmosférica (mb)

Tu temperatura del aire (oC)

T, temperatura de la superficie del agua (oC)

es presión de saturación de vapor a la temperatura de

la superficie del agua (mb)

ea presión de vapor del aire (mb)

y : constante psicométrica (mb/oC)

58


Nota: 0.66 P / 1,000

La aplicación del método de balance energético requiere la medición de

la radiación total de entrada neta. La razón de Bowen fue propuesta debido

a que la transferencia de calor sensible no puede ser calculada fácilmente. El

método fue aplicado al Lago Hefner y al Lago Mead y fue utilizado para

evaluar los coeficientes empíricos para el método de transferencia de masa y

para interpretar los datos de evaporación para un tanque evaporímetro

colocado en el Lago Hefner. El método de balance energético es

teóricamente el más preciso, pero requiere la colección de grandes cantidades

de datos atmosféricos. Para evitar este problema, se han desarrollado otros

procedimientos, tales como el tanque evaporímetro para estimar la

evaporación de un lago poco profundo y los métodos combinados.

TANQUE EVAPORTMETRO

La evaporación puede ser medida utilizando un tanque estandarizado

tipo A, el cual es un tanque cilíndrico abierto de hierro galvanizado de 4 pies

de diámetro y 10 pulgadas de profundidad, colocado a 12 pulgadas sobre el

suelo. Para estimar la evaporación, el tanque se llena de agua hasta una

altura de 8 pulgadas y se debe rellenar cuando la profundidad desciende a 7

pulgadas. El nivel de la superficie de agua se mide diariamente y laevaporación se calcula como la diferencia entre los niveles observados,

ajustados para tomar en cuenta la precipitación medida en un pluviometro

cercano. La evaporación en un tanque evaporímetro es mayor que la

59


evaporación actual en el lago y debe ser ajustada para tomar en cuenta la

radiación y los efectos del intercambio de calor. El factor de ajuste se

denomina coeficiente del tanque, el cual varia de 0.64 hasta 0.81 con un valor

promedio de 0.70. Observe que este coeficiente varia con la exposición a la

radiación y las condiciones climáticas y debe ser utilizado solamente para una

estimación aproximada de la evaporación de un lago por medio de la siguiente

fórmula:

EL = Cr'E,

60

donde: EL

CT

ET

evaporación estimada en el lago

coeficiente del tanque (Cr = 0.7)

evaporación medida en el tanque evaporímetro

O+

METODOS COMBINADOS

Penman (1948) fue el primero en utilizar las mejores características de

los métodos de transporte de masa y balance energético para derivar una

relación para la evaporación de la superficie del agua de un lago que fuera

relativamente sencilla de calcular. La ecuación de Penman [(en unidades de

eneryial (ínea'tiempo) I es :

F.=-h

vEa +y a

A

A +Y

a


donde: Eh flujo de calor latente debido a la evaporación

A : pendiente de la gráfica de presión de saturación de

vapor es en función de la temperatura T (mb/oC)

constante psicométrica (mb/oC)

Qn radiación neta absorbida

Eu poder de secado del aire

De puede uttl:zar la siguiente fórmula para el cálculo del flujo de calor

latente debido a la evaporación :

Eh = p L"E

donde: E, flujo de calor latente debido a la evaporación

lener gía I (ár ea' tiemp o)l

densidad del agua (masa/volumen)

L" calor latente de vaporización, generalnente

evaluado a la temperafura del aire (energía/masa).

E rata de evaporación (profundidad/tiempo)

En la práctica, es común medir el parámetro A a la temperatura del aire

y no a la temperatura de la superficie del agua. Este parámetro A (en mb/oC)

se puede obtener diferenciando la expresión para la presión de saturación de

vapor en función de la tempetratura T (en oC); es decir:

A = d"" - (2.7489xrc8)'G,27g.6) "*o

( - q,zts.a \dr (r.rorrn\2 '\r*z+zts)

\/

6L


Según Brutsaert (1982), el poder de secado del aire [en unidades de

energía / (área.tiempo)l se puede evaluar de la siguiente manera:

52

Eo = pL"(".0,)(,,,-"")

donde: E^

p

L"

a,b

u

er"

poder de secado del aire

densidad del agua

calor latente de evaporación

constantes empíricas de transferencia

velocidad del viento

presión de vapor de saturación a la temperatura del

aire

presión actual del vapor en el airee2

H" too sa

humedad relativa en porcentaje ( %)

La ecuación de Penman tiene la ventaja de que la temperafura del agua

o del suelo no se requiere en los cálculos. Se ha encontrado que esta ecuación

es muy útil para estudios de evapotranspiración, en los cuales es muy difícil

determinar la temperatura superflcial de la vegetación. Cuando la

temperatura de la superficie del agua se puede medir, el procedimiento del

balance energético - razón de Bowen es probablemente mejor porque evita la

necesidad de utilizar los coeficientes empíricos de transferencia (a + bu).

H

Hidrología lDaidCedeño 63

Ejemplo 9: Evaporación utilizando la ecuación de Penman

La ecuación empírica de transferencia de masa para cierto lago es:

E = 0.0106f, I +0.r,\(, -e l\ /\' ')

donde E se mide en pulgadas/día, u en millas/horas y las presiones de vapor

en mb. Estimar la evaporación de ese lago utilizando la ecuación de Penman,

para una temperatura del aire de 90oF, velocidad hel viento de 20 MPH,

humedad relativa de30%, un flujo de radiación neta de 400 langley/día y una

presión atmosférica de l000mb (nota: 1 Ly : I callcm2).

Datos: T 90oF

u : 20MPH

H 30%

Qn 400 Lyldía

P : 1,000 mb

Solución:

a) Coeficiente empírico de transferencia (a + b u):

E = ('.u,)("--,,) = 00roe (r.0,,)(,--".)

Por lo tanto, el valor del coeficiente empírico es:

/\/\/\1a + b/t = 0.0106 I l+0.lrl = o.oloe f t * ol.zol= ornts ptg\/\/\/mb'dta


b) Temperatura (T):

T("C) - s

9rr".F)-32 l- s lno-rr) = i2.2.cI s\ i

64

c) Constante Psicométrica (y):

_ 0.66P _ 0.66(1,000) = 066 mb

1,000 1,000 0c

d) Pendiente (A):

^ du, 2.7489 x to. . (4,278.6) f - 4.27s.6avñ I

--

dT / \z 'l T*z¿ztg\T+2a2.7e)

t

e) Presión de Saturación de Vapor a la temperatura del aire (e,"):

€"o = 2.7489x 108 exp ( --o''''r u

)-^'lr*242.7s)

€,o = 2.748er ros exp ( - !''!|-u --) = 48.7 mb

\ 32.2 +242.79 )

1.1761 x 012

.79

1

2"'.n I

- 4,278.6

32.2 + 242.79) = 2.72 mb

).c^= (rr, .,o)'

Hidrología i Daüd Cedeño 65

0 Presión actual del Vapor del aire (e):

e = H " - 30 (48.1 ) = l4.4mb

' 1oo so loo

g) Calor Latente de Vaporización (L"):

L, = ss7.3 - 0.57 T = se7.3 - 0.s7 (32.2) = sls +

h) Poder de Secado del aire (E"):

Eo = pL"( o.r,\(,""-,,\--¿\" i \ sct r)

".= [' #\,, #)(00,,* #h)(or,*u - 144nb)

" =(uroon cat'ptg.l( ,ro:y\ = 1.576 cat = t.si6 Lv' \ cm3.día)\ pts ) cm2'día dta

i) Flujo de Calor Latente de Vaporización (ecuación de Penman):

E.=Lo*\E/'

^ +y 'tl A +T a

E, = 2.72 loool¿) + 0.6ó ( ,.rru tr_)' 2.72 + 0.66 \ dla ) 2.72 + 0.66 \ dial


E.

E.

Rata de Evaporación (E):

Eh = p L"E

Por consiguiente, tenemos que:

630 cal

cm2 . día

PL" ('#) ("'Conversión de unidades (sistema inglés):

E = ( ,0, ,,'\( rprs ) = 043\ dral\ 254cm)

66

uro L!día

= 630cm2.día

cm

dlaE

plgdla

= 1.09cal \_t

cm)

EVAPOTRANSPIRACION

Evapotranspiración @T), algunas veces llamado uso consuntivo ó

evaporación total, es la combinación de evaporación sobre la superficie del

suelo y la transpiración a través de los poros (estomas) de las hojas de las

plantas. Los mismos factores que afectan la evaporación de una superficie de


agua (tal como un lago) también gobiernan la evapotranspiración,

principalmente el abastecimiento de energía y el transporte de vapor. En

adición, un tercer factor afecta el mecanismo de evapotranspiración: el

abastecimiento de humedad en la superñcie de evaporación. Cuando el suelo

se seca, la rata de evapotranspiración se reduce a un nivel inferior al que

existiría en un suelo bien irrigado.

La capacidad de campo del suelo es el contenido de humedad por

encima del cual el agua drena por gravedad y el punto de marchitez es el

contenido de humedad por debajo del cual las plantas no pueden extraer agua

del suelo.

Para la mayoría de las plantas, la transpiración ocurre solamente

durante las horas de luz solar mediante el proceso de fotosíntesis, la cual

produce variaciones diurnas en el nivel freático poco profundo en zonas con

vegetación densa. La evapotranspiración alcanza un valor máximo si el

suministro de agua hacia las plantas y superficie del suelo es ilimitado. La

pérdida máxima posible esta limitada por condiciones meteorológicas y se

denomina eyapotranspiración potencial (Thornthwaite, 1948) y es

aproximadamente igual a la evaporación que ocurriría en una superficie

grande de agua, tal como un lago. Por consiguiente, los métodos utilizados

para arnlizar la evaporación discutidos anteriormente, también se pueden usar

para predecir la evapotranspiración potencial.


INFILTRACION

El proceso de infiltración ha sido ampliamente estudiado y representa

un mecanismo importante para el movimiento del agua hacia el suelo bajo la

acción de la gravedad y fuerzas capilares. Horton (1933) demostró que

cuando la rata de precipitación i excede la rata de infiltración/, el agua se

infiltra en las capas superficiales del suelo en una proporción que

generalmente disminuye con el tiempo. Para cualquier suelo, existe una

curva limítrofe que define la rata de infiltración máx-ima posible en función

del tiempo. La rata de infiltración depende de manera muy complicada con

la intensidad de precipitación, tipo de suelo, condición de la superficie y

cobertura de la vegetación.

Cuando existe una precipitación excedente, es decir, la rata de

precipitación es mayor que la rata de infiltración, la infiltración seguirá la

curva limítrofe mostrada en la Figura 10, la cual se denomina curva de

capacidad de infiltración del suelo. En esta gráfrca se puede observar que la

capacidad disminuye con el tiempo hasta que alcarlza un valor constante. Esta

disminución se produce por el llenado de los poros del suelo con agua,

reduciendo la succión capilar. Por ejemplo, en pruebas controladas se ha

demostrado que esta disminución es más rápida y el valor constante es menor

para suelos arcillosos que para suelos arenosos.

68


ALh{ACENAMIENTO INICIAI {INTEHCEPüÚN Y AWAC€NAMIENf O

EN DEPfiESIONES]

INTENSIOAD DE PREEHTACIBNVOLUMEN DE

ESCCFFENiIA

lNRLIFACIIJN II}

Figura N'10: Módelo Conceptual de-Lnl].Icracron de -Horton.

RATA DE INFILTRACION

El concepto hidrológico de capacidad de infiltración es empírico y está

basado en observaciones efectuadas en la superficie del suelo. Cuando la

intensidad de precipitación i es mayor que la rata de infiltración f, Horton

(1940) sugirió la siguiente forma para 1a ecuación de infiltración:

bv

i,f

VOLUMEN DE

iNFIL;RAI:IÜN


donde: ff"

f"

k

capacidad de infiltración (plg/hr)

capacidad inicial de infiltración (plg/hr)

capacidad final de infiltración (plg/hr)

constante empírica (hr-1)

70

El volumen total de infiltración F se puede obtener integrando la

ecuación de Horton y esta dado por:

F(t\ = r"t . ("*"1 ,, -,-*,,

Una limitante de la ecuación de Horton es que la capacidad de

infiltración disminuye como una función del tiempo, sin tomar en cuenta la

cantidad de agua disponible para infiltración. Es decir, que la ecuación asume

la formación de lagunas ó charcos de agua en la superficie que del suelo y una

reducción en la capacidad de infiltración, independientemente de que la

intensidad de precipitación i exceda ó no el valor calculado para la capacidad

inicial de infiltración f". Por ejemplo, es muy común que la capacidad de

infiltración de suelos arenosos sea mayor que la intensidad de precipitación,

con valores de la capacidad final f que se encontraran en el rango de 10 a

20 plglhr. En muchas ocasiones, las lluvias muy fuertes no alcanzan estos

valores; en consecuencia, toda la lluvia se infiltraría en el suelo, es decir que

f : í. Por consiguiente, la capacidad de infiltración debe reducirse en

proporción al volumen acumulado de infiltración, no en proporción a la

duración de la infiltración.

Hidrología / Daüd Cedeño '7L

Rubin y otros (1963, 1964) demostraron que las curvas observadas por

Horton se pueden predecir teóricamente si se conoce Ia intensidad de la lluvia,

las condiciones iniciales de la humedad del suelo y las curvas características

para el suelo no saturado. Ellos indicaron que la rata de infiltración final es

numéricamente equivalente a la conductividad hidráulica para suelos

saturados. Adicionalmente, Rubin mostró que la formación de charcos de

agua y lagunas en las superficie ocurrirá solamente si la duración de la

precipitación es mayor que el tiempo requerido para que el suelo se sature en

la superficie.

Eiemolo 10: Ecuación de infiltración de Horton.

Se estima que la capacidad inicial de infiltración f de una cuenca tiene

unvalor de 1.5 plg/hry la constante empírica k se asume que es 0.35 hr r;

además, se ha observado que la capacidad de equilibrio f" es 0.2 plg/hr.

Utilizar la ecuación de Horton para encontrar:

a) Los valores de la capacidad de infiltración f para los siguientes

instantes: t : 10 min, 30 min,l hr, 2hr y 6 hroras.

b) El volumen total de infiltración durante el período de 6 horas.

Observación: Durante el intervalo de tiempo 0 < t < 6 hr, la intensidad de la

precipitación i es mayor que la rata de infiltración /; es decir: i > /.

7

1)Hidrología / Daüd Cedeño

Solución:

a) Capacidad de infiltración/ (Ecuación de Horton):

r = r, - (r,-r"), n'

f = 0.2 + ( 1.5 - 0.2)e-035t - 0.2 + 1.3 exp(-0.35t)

t [horasJ

K = 0-35 hr

f [plsrhr]

t (horas) f (ple/hr)

u6 t.43

U2 1.29

1 l.r22 0.85

6 0.36

7


b) Volumen de infiltración -F (integración de la ecuación de Horton en el

intervalo 0 < t < 6 horas):

'73

F = {"' f o, = [,' t 0.2 + t.3e o'35t ) dÍ

6

0

or, -(-J.3-') "-0.,,,\ o.ls /F=

F = 1.2 - 337 exp(-2.10) + 3.71 = 4.46 plg

OTROS METODOS PARA CALCULAR LA INFILTRACION

Se han desarrollado otras fórmulas para calcular la infiltración

utilizando soluciones analíticas para la ecuación de flujo no saturado. Por

ejemplo, Philip (1957) desarrollo una ecuación de la siguiente forma:

f = | ¿r-rrz + B2

F = A ttt2 + Bt

donde: f : capacidad de infiltración (plg/hr)

F : volumen acumulado de infiltración (plg)

A, B : constantes relacionadas con el tipo de suelo y

movimiento del agua


i . f [plgJhrl PF¡ECIPITACIf]¡I Tf]TAL

rHErcEf

t [horasl

Figura N"11: Método del Indice é

Por otro lado, cuando no existen mediciones detalladas de las pérdidas

de agua y en e1 caso de cuencas urbanas, las cuales son altamente

impermeables; el uso de procedimientos empíricos producen resultados

satisfactorios en la mayoría de estas situaciones. Se ha observado que la

infiltración representa un porcentaje variable de la precipitación total que cae

enuna cuenca. En la mayoría de los esrudios de drenaje u¡bano y control de

inundaciones se utiliza la ecuación de Horton, o en su reemplazo, métodos

más simples para predecir los volúmenes de infiltración. El índice iD es el

'74

YOLUI¡tEH DE IHFILTRACIÜH


método más elemental y se calcula encontrando la diferencia entre la

precipitación total y la escorrientia superhcial registrada en un hidrograma de

descarga. El método del Índice o asume que la pérdida de agua se distribuye

uniformemente durante el evento de precipitación. El método del índice o

para infiltración se ilustra por medio del siguiente ejemplo.

Ejemplo 11: Método del índice é para calcular la infiltración.

Utilice los datos de precipitación mostrados en la tabla para determinar

el índice é de una cuenca que tiene un área de 0.875 millas cuadradas, si el

volumen de escorrentia medido fue de 228.7 acres-pie; además, calcular la

profundidad de precipitación total y la infiltración (ambas en plg).

Tabla de Datos:

75

Intervalo de Tiempo(hr)

Intensidad de Precipitación(ple/hr)

o-2 1.4

2-5 2.3

5-7 1.1

7-10 0.7

10 12 0.3


Solución:

El primer paso requerido para la solución del problema involucra ia

construcción de una gráfica con los datos de precipitación.

a) Profrutdidad de Escorrentia Superficial R :

R= Volumen

Area

(228.7 acres.pies) (43,560 pies2/acres) (12 ptg/pie)(0.875 mi2 ) ( 5,280 pieslmilla)2

R = 4.9 ptg

76

R


b) Indice o:

La rcta de infiltración ó índice o se puede encontrar por ensayo y

error. La escorrentia superficial R es el volumen de agua por encima de la

línea para la cual i : ó: observe que en algunos períodos el índice é es

mayor que la intensidad de precipitación i. Asumiendo que el rango para la

rata de infiltración es 0.7 plg/hr < o < 1.1 plg/hr; tenemos:

77

R = (1.4 - o)(2 -0) +(2.3 - o)

4.9 = (2.8 + ó.9 + 2.2) - (2 + 3

11.90 - 4.91.0 plglhr

Observe que este valor esta dentro del rango asumido. Estos cálculos

nos indican que debajo de la línea atrazos para la cual o : 1.0 plg/hr, la

precipitación se infiltra en el suelo y que el volumen encima de la línea a

trazos corresponde a la escorrentia superficial.

c) Precipitación Total P:

P= 1.4(2-0) + 2.3(5 -2) * 1.1(z -s) + 0.7(10-7) + 0.3(12-10)

P = 2.80 + ó.90 + 2.20 + 2.10 + 0.60 = 14.60 plg

(s-2)+(1.1 -o)(7-s)

+2)é = 11.90 - 7O


d) Infiltración F:

F = P - R = 14.6 - 4.90 = 97 plg

Método alterno para el cálculo de la infiltración:

¡' = o(7 - 0)+0.7(10 - 7) * 0.3(12 - 10)

F = 7 +2.1 + 0.6 = 9.7 ple

ESCORRENTIA ST]PERFICIAL

Cuando la precipitación cae sobre la superficie de la tierra, se

distribuye de diferentes maneras; inicialmente la precipitación comienza a

rellenar las depresiones del suelo, infiltrarse para recargar la humedad del

suelo y agua subterránea, o viajar como flujo subsuperficial hasta alcanzar

una corriente de agua. El almacenamiento en las depresiones se satisface en

los períodos iniciales de la tormenta, seguido a continuación por la capacidad

de humedad del suelo. Eventualmente comienza el flujo superficial ó

escorrentía, el cual ocurre solamente después que la intensidad de laprecipitación i sobrepase la capacidad de infiltración f (i > f).

El concepto clásico de generación de corrientes debido al flujo

superficial sobre la tierra fue propuesto por Horton (1933), quien indicó que

el flujo superficial estaba distribuído de manera generalizada sobre el terreno.

Posteriormente otros investigadores analizaron la gran heterogeneidad que

existe en cuencas naturales e introdujeron el concepto de contribución parcial

del área superficial (Betson, 1964). Este concepto reconoce que solamente

78


algunas porciones de la cuenca contribuyen regularmente al flujo superficial

hacia las corrientes y que no más del I0% aproximadamente del área de la

cuenca en estado natural contribuye al flujo superficial. En ambientes urbanos

con grandes zonas impermeables, el porcentaje de contribución al flujo

superficial puede ser mucho mayor.

Un segundo concepto importante en la generación de escorrentía

superficial es el movimiento de agua debajo de la superflcie del terreno en las

capas superiores del suelo sin alcawar la zona de saturación, el cual se

denomina flujo subsuperficial. Freeze (1972) concluyó que el flujo

subsuperficial era una componente significativa solamente en terrenos con

pendientes convexas que abastecen canales profundos y solamente en el caso

de suelos muy permeables. En pendientes cóncavas, los valles saturados

creados por el ascenso del nivel freático contribuyen con el flujo superficial,

el cual generalmente excede el flujo subsuperficial.

El flujo superficial producido por la precipitación excedente se mueve

hacia abajo en dirección de la pendiente de la superficie del terreno hasta

alcanzar los pequeños canales de drenaje ó quebradas, los cuales fluyen hacia

corrientes mas grandes, transformandose generalmente en ríos. Cuando el

flujo alcanza la corriente principal, las velocidades y las profundidades del

flujo se pueden medir en una sección transversal particular a través del

tiempo, 1o cual nos permite obtener el hidrograma, es decir, una gráfica de

la descarga ó caudal en función del tiempo. La forma actual y los tiempos del

hidrograma están determinados en gran parte por el tamaño, forma, pendiente

y almacenamiento en la cuenca; y por la intensidad y duración de la

'79


precipitación. Estos factores se analizan con mayor detalle en la siguiente

sección donde se estudian las relaciones entre precipitación y escorrentía.

Después que termina la precipitación, el volumen almacenado en la cuenca se

libera hacia las corrientes, completando el ciclo de la tormenta.

Los canales pueden contener cierta cantidad de flujo base, el cual

proviene del flujo subterráneo y las contribuciones del suelo, aún en la

ausencia de precipitación. La descarga producida por la precpitación

excedente, es decir, la precipitación total menos todas-las pérdidas, constituye

el hidrograma de escorrentía directa. Por lo tanto, se considera que el

hidrograma total está formado por la escorrentía directa mas el flujo base. La

duración de la precipitación determina la porción del área de la cuenca que

contribuye al flujo máximo, mientras que la intensidad de la precipitación

determina la magnitud del caudal máximo resultante. Si la precipitación

mantiene una intensidad constante por un período muy largo de tiempo, se

produce un almacenamiento máximo y se alcanza una condición de equilibrio

para la descarga. Esta condición de equilibrio se logra en muy raras ocasiones

en la naturaleza debido a la variación de la intensidad y distribución en el

tiempo y el espacio de la precipitación sobre la cuenca.

MEDICION DEL CAT]DAL: AFOROS

Para determinar el caudal en un río se utiliza una técnica denominada

aforo, la cual consiste en dividir el ancho total de la corriente en un número

conveniente de secciones y la velocidad media en cada sección se mide

80


utilizando un molinete. Estas mediciones se pueden efectr¡ar por vadeo cuando

los ríos son poco profundos, desde un bote, puente ó cablevía.

Se ha observado que la velocidad media V en una sección ocurre

aproximadamente a 0.6 D, medida desde la superficie del agua, por lo tanto

la velocidad se mide a ese nivel con el molinete. Sin embargo, cuando la

profundidad D enla sección es mayor de cierto valor, se recomienda utilizar

el promedio de las velocidades medidas a 0.2 D y 0.8 D.

También se puede estimar el caudal en una corriente de manera

rudimentaria utilizando un flotador; en este daso el caudal Q en cada sección

será igual a la velocidad V del flotador corregida utilizando un coeficiente

C, el cual tiene un valor aproximado de 0.85, multiplicada por el área,4 de

la sección transversal del río sobre la cual se midió la velocidad con el

flotador; es decir:

Q, = C'V,'A,

Por lo tanto, el caudal total es:

o^ = Io

Cuando escogemos un sitio para el establecimiento de una estación de

medición, podemos obtener información sobre el caudal para diferentes

niveles del agua en la sección de aforo, lo cual nos permitirá desarrollar una

curva de calibración, es decir, una relación entre el nivel y la descarga.

81


bl Curva de Calibración

Figura Nql2: Determinación de1 Caudal.

Ejemplo 12: Determinación del Caudal

Obtener el caudal total y la velocidad

transversal de un río, utilizando la información que

tabla, obtenida por medio de un aforo por vadeo.

82

F_t

'/

promedio en ia sección

se muestra en la siguiente

'iIF.

,r "-lD¡

-l!.'t'o*

it\-

a.| Sección Transversal Típic

ca uda I


Tabla: Datos del Aforo

* Nota de Aclaración: l¿ lectura en la varilla de vadeo para la medición de la velocidadestá tomada con respecto al fondo. Cuando D < 0.40 m se efectuó una sola medición a

0.40 D; pero si D > 0.40 m, se efectuaron dos mediciones a 0.80 D y 0.20 D; obseweque en este caso la suma de las dos lecturas es igual a la profundidad.

B3

Est¿ción(m)

Profundidad: D(m)

Lectura *(m)

Velocidad: V(m/seg)

3.00 o_28 0.000

3.75 0.32 0.13 0.329

4.50 0.46 0.37

0.09

0.448

o.397

5.00 0.56 0.45

0. 11

0.430

o.310

6.50 0.69 0.55

0.14

0.468

0.443

7.00 0.75 0.60

0.15

0.527

0.428

7.75 0.73 0.58

0.15

0.458

0.357

8.75 o.62 0.50

0.r2

0.428

0.3s2

i0.00 o.s2 0.42

0.10

0.458

0.329

10.50 o.41 0.33

0.08

0.448

0.302

12.75 0.33 0. 13 0.410

14.00 0.00 0.000


Tabia: Cálculo del Aforo

Suma: Ib; :11.00 IAi:5.3355 IQi :2.1407

Observaciones:

a) Columna 3: La velocidad media es el valor único rnedido ó el valor promedio de

las dos velocidades observadas en cada estación. En ambas orillas del río(estaciones de los extremos) se utiliza 1/3 V de la velocidad registrada en las

estaciones adyacentes.b) Colur¡na 4: El ancho correspondiente a cada estación es la diferencia entre las

distancias a los puntos medios entre cada estación, con excepción de los extremosdonde se utiliza el punto rredio entre la estación adyacente y la estación de laorilla. Colno regla general tenemos que:

b = r/2 (ESTti - EST: )

Adernas, observe que la suma de todos los anchos debe ser igual al espejo (ancho

total de la sección transversal del río).

a4

Esución(m)

ProfundidadD¡ (m)

VelocidadV, (m/s)

Anchobi (m)

AreaAi (m')

Caudal

Q¡ (m3/seg)

3.00 0.28 0.1097 0.315 0.1050 0.0115

3.7s 0.32 0.3290 0.750 0.2400 0.0790

4.50 0.46 0.422s 0.62s 0.2875 0.t2r5

5.00 0.s6 0.4000 1.000 0.5600 0.2240

6.50 0.69 0.4555 1.000 0.6900 0.3143

7.00 0.15 0.4775 o.625 0.4688 0.2239

'7.75 0.13 0.4075 0.875 0.6388 0.2603

8.15 0.62 0.3900 1.125 0.697s o.2720

10.00 0.52 0.3935 0.875 0.45s0 0.1790

10.50 0.41 0.3750 t.375 0.5638 0.2114

t2.15 0.33 0.4100 t.'750 0.57'/5 0.2368

14.00 0.00 0.1367 0.625 0.0516 0.0070


c) Columna 5: El área de cada sección es igual a la profundidad multiplicada por el

ancho; es decir:

Ai = b.' Di

Excepto en las orillas sin profundidad donde se utiliza un cuarto (1/4) de laprofundidad de la estación adyacente.

d) Columna 6: El caudal en la seccióu es el producto de la velocidad media y el área;

por consiguieffe:

o = v..a

Solución:

a) Ancho total B (espeio) de la sección transversal del río:

B = E.S/ _ EST IbJlnat tnt.ral

B = 14.00 - 3.00 = 17.0O m

b) Area total Ar:

Ar = LA,- = 5.3355m2

c) Caudal total Qr:

Q' = L Q' = 21407 m3 /seg

d) Velocidad Promedio en la Sección Transversal:

v = 8' - 2 7407 m3 lseg = o.4or2 mrsegAr 5.3355 m2

ANALISIS DE PRECIPITACION - ESCORRENTIA

RELACION ENTRE PRECIPITACION Y ESCORRENTIA

Cuando la precipitación sobrepasa la rata de infiltración en la superficie

del terreno, el exceso de agua comienza a acumularse como almacenamiento

superficial enpequeñas depresiones del terreno originadas por la topografía.;

eventualmente el flujo escurre sobre la superficie del terreno en algunas

porciones de la cuenca y el flujo se concentra rápidamente en arroyos ó

canales pequeños, los cuales fluyen a su vez hacia corrientes más grandes ó

ríos. Tal como se mencionó anteriormente, el flujo subsuperficial y el flujo

base también contribuyen en cierta proporción con el hidrograma total de

descarga durante un evento de lluvia.

Los hidrólogos e ingenieros civiles especializados en recursos

hidráulicos, están interesados en la cantidad de escorrentia generada en una

cuenca por un patrón dado de precipitación. Se han efectuado muchos

intentos para analizar estadísticamente los datos históricos de precipitación,

evaporación y datos de flujo en corrientes con la finalidad de desarrollar

relaciones de predicción entre estos procesos. Factores tales como

precipitaciónprecedente, humedad del suelo, inñltración variable y respuestas

diferentes de la escorrentia superficial con las estaciones del año, hacen que

el desarrollo de estas relaciones sea muy difícil.

Una gran cantidad de investigadores ha intentado desarrollar relaciones

de precipitación - escorrentía que se puedan aplicar a cualquier región ó

cuenca bajo cualquier serie de condiciones. Sin embargo, estos métodos


deben ser utilizados con extrema precaución debido a la variabilidad de los

factores que afectan la evaluación de la escorrentía a partir de un volumen

conocido de precipitación.

Las relaciones simples de precipitación - escorrentía deben ser

utilizadas solamente en estudios de planificación de recursos hidráulicos

cuando se requiere una estimación rústica de la respuesta de la cuenca. Es

importante señalar que se requiere un conocimiento detallado de la magnitud

y distribución en el espacio (área) y tiempo de la preeipitación y escorrentía

para el análisis completo de los proyectos de control de inundaciones y

estudios de planicies de inundación, especialmente en las regiones afectadas

por el drenaje urbano.

Una de las fórmulas mas simples de precipitación - escorrentía se

denomina Método Racional, el cual permite la predicción del caudal máximo

Q de la siguiente manera:

donde: C

o = c'i.A

coeficiente de escorrentía, el cual varía con el uso

de la tierra

intensidad de la precipitación para la frecuencia ó

período de retorno seleccionado y una duración

igual al tiempo de concentración /"

tiempo que demora la lluvia que cae en el punto

mas remoto de la cuenca en viajar hasta la salida

área de la cuenca

tc

87

A


Existen muchos métodos empíricos para estimar la magnitud del tiempo

de concentración; una de las primeras fórmulas fue propuesta por Johnston

y Cross (9a\ y es la siguiente:

t = orl ''l'' lrl-r)Donde el tiempo de concentración /" está en horas, la longitud del canal

principal I en millas y la pendiente promedio del canal ,S en pies/milla.

El Método Racional se le atribuye generalmente a Mulvaney (185i),

quien describió el procedimiento en una publicación técnica en Irlanda. El

método está basado en la suposición de que una rata de precipitación

consfante y uniforme producirá la esconentia máxxna cuando fodas las partes

de la cuenca estan contribuyendo con el caudal; observe que esta condición

se satisface cuando la duración de la lluvia es mayor ó igual al tiempo de

concentración. El Método Racional fue el precursor del concepto de

hidrogramas de tormentas y el resto de este capítulo se dedicará al desarrollo

de la teoría de hidrogramas y a la aplicación de estos métodos al análisis de

lluvias complejas en cuencas grandes.

Ejemplo 13: Método Racional

Se desea determinar el caudal máximo Q ("n m3/s) producido por una

tormenta con un período de retorno T : 10 años. El área de la cuenca es

A : 40 hectáreas y el tiempo de concentración es t" : 25 minutos.

8B

7


Suponga que la curva de intensidad-duración-frecuencia para este período de

retorno es la siguiente:

I ¿5

t" * 36

donde i esta en plg/hr y /" en minutos. Los datos sobre el uso de la tierra

y coeficientes de escorrentía se muestran en la siguiente tabla.

Tabla de Datos

Solución:

a) Coeficiente de escorrentía:

B9

E c,' A,0.40. 30 + 0.60' 3 + O.15 . 7

E ,t,30 + 3 + 7

c - 1485 = 0.3740

Uso Area(ha)

Coeficiente deescorrentía

Residencial 30 0.40

Comercial 3 0.60

Parques 7 0.15


b) Intensidad:

90

. 323 323 = 5.3 plglhrtc+36 25+36

c) Caudal máximo:

o = c-i.A

ANALISIS DE HIDROGRAMAS

El proceso de escorrentía superficial es el resultado de una combinación

de condiciones fisiográficas y meteorológicas de la cuenca y representa los

efectos combinados de la precipitación, pérdidas hidrológicas, flujo sobre la

superficie del terreno, flujo subsuperficial y flujo subterráneo. Según

Sherman (1932), los factores climáticos que influyen en la forma del

hidrograma y volumen de escorrentía son:

1. Patrón e intensidad de la lluvia

2. Distribución de la precipitación sobre la cuenca

3. Duración de la tormenta

Qo = 0.37 (r' ,"'r,

Qo = (,,r,nrrru

0.0254 m

)(

hrc

2

s

00mha

m3 l

q

I

J

o

.5

I

5

ha.40lglp

m3 lhr .

600 s¿J,

7-


y los factores fisiográficos de mayor importancia son:

9't

1.

2.

J.

4.

Tamaño y forma del área de drenaje

Naturaleza del sistema de drenaje

Pendiente del terreno y del canal principal

El almacenamiento por retención en la cuenca

Durante un evento de precipitación, las pérdidas hidrológicas tales

como infiltración, almacenamiento en depresiones ] almacenamiento por

retención deben ser satisfechas primero antes que comience la escorrentía

superficial. Al incrementarse la profundidad del agua retenida en la

superficie, el flujo superficial sobre el terreno comenzará en algunas

porciones de la cuenca. El agua eventualmente se moverá hacia los pequeños

arroyos, quebradas y ríos que constituyen el sistema de drenaje de la cuenca.

Parte del agua que se infiltra en el suelo se mueve lateralmente a través de las

capas superiores del suelo hasta que alcarua una corriente superficial; a ésta

porción de la escorrentía se le denomina flujo subsuperficial. Otra porción

de la precipitación que se filtra en el suelo alcarua el nivel freático,

generalmente varios metros debajo de la superficie del suelo y contribuirá a

la escorrentía como flujo base si el nivel freático intersecta la superficie de la

corriente de agua en el canal.


FFECIPITACIONESCOHFENTIA

92

ESCOHRENTIAPF!DUEIDA PIFEL ALMACENAMIENTOFETENIDO

a) Distribucion de una Precipi'ta.ión Unilorrn". TIEMPo

LLUVIA

DES|}EGA

PUNTO DE

INFLEXION

b) Hidrograma de Equilibrio. TIEMPO

Figura N"l-3: Fenómeno de Escorrentía Superficial

En la parte (a) de la figura del fenómeno de escorrentía directa se

ilustra la distribución de la precipitación uniforme para una duración finita.

Pero si la precipitación continúa a intensidad constante por un tiempo infinito.

entonces se produce una descarga de equilibrio, es decir que el flujo de

entrada es igual al de salida y esto se logra cuando el área total de la cuenca

PRECIPITACIEN DE

INTENSIDAD UNIFOFME

ALMACENAI"iIENT0DE DEPFESIÜNES

ALMACENAMIENTOPOR RETENCION

INFILTRACII]N

ESCOBFENTIADIFECTA

a


esá contribuyendo al flujo. Esta condición de equilibrio se observa en muy

raras ocasiones en la nafural eza, excepto en cuencas urbanas muy pequeñas,

debido a las variaciones en la intensidad y duración de la lluvia.

El flujo base en un canal natural se debe a las contribuciones del agua

subterránea poco profunda y es otro de los componentes del hidrograma. En

cuencas naturales grandes, el flujo base representa una fracción significativa

de la descarga total, mientras que se puede despreciar en cuencas pequeñas

urbanizadas donde el flujo superficial sobre el terreno es predominante.

El flujo base es separado y sustraído del hidrograma total para obtener

el hidrograma de escorrentía directa. El volumen de agua del hidrograma de

escorrentía directa debe corresponder a la precipitación excedente ó neta, la

cual se obtiene sustrayendo de la precipitación total la infiltración y las otras

pérdidas de agua (almacenamiento en depresiones, intercepción, etc.). El

hidrograma de escorrentía directa representa la respuesta de la cuenca a la

lluvia excedente, mientras que la forma y los tiempos del hidrograma de

escorrentía directa están relacionados con la intensidad y duración de la

precipitación, así como también a los factores fisiográficos que afectan el

almacenamiento.

El hidrograma en la mayoría de los casos esta constituído por un

miembro ascendente, segmento de la cresta y una porción descendente ó

recesión. La pendiente del miembro ascendente esta determinada en gran

parte por la intensidad de la tormenta y el punto de inflexión en el segmento

descendente generalmente indica el instante en que termina la escorrentía

93


superficial directa. En la recesión, la descarga se produce por el movimiento

de agua subterránea almacenada en el subsuelo que fluye hacia la superficie.

94

II{TEIISIDADDEIIUÍJIA i

?EECI}ITAEIOT{ ]IETA = VI]LIJI.fEIf NX ESI]OEEEI{TIA DISEüTA

CIESIA

sxGl.{EttToÁSCEHDE TT SXG!4EI{TO DESC¡I'DEIITE

DESCAEGA q

ESI]OEEXIITIADIXXCIA

,,'

FLUJO BASX

TII{ IlE XSCOENEMIADINXMA

xEcEsIolf

II{ICIO DE ESCOXEEIITIA

DIXECTA

Figura N"14: Hidrograma de Descarga Total

COMPONENTES DEL HIDROGRAMA

Un hidrograma esta formado por varios componentes: flujo superficial

sobre el terreno, flujo subterráneo ó flujo base y flujo subsuperficial,

producido por el agua infiltrada que se almacena temporalnente en las capas

superiores del suelo y entra posteriormente de manera lateral al canal. La

contribución relativa de cada componente al hidrograma depende de la

intensidad de la precipitación i medida con respecto a la rata de infiltración

7


/, así como también el almacenamiento de humedad en el suelo en relación

con la capacidad de campo; la cual definimos anteriormente como la cantidad

de agua retenida en el suelo después que la gravedad drena el exceso de agua.

Observe que no ocurrirá escorrentía superficial en el caso de que la

intensidad de la precipitación sea menor que la rata de infiltración (i < f );al igual que el flujo subsuperficial y el flujo subterráneo serán nulos si la

humedad almacenada en el suelo es menor que la capacidad de campo, ya que

todavía existe almacenamiento adicional de humedad en el suelo, a menos que

el flujo subterráneo se produzca por almacenamientos de agua a largo plazo.

En la situación de que tanto la precipitación sea mayor que la infiltración, así

como la humedad del suelo sea mayor que la capacidad de campo (lo cual es

típico en casos de eventos de tormentas grandes), la escorrentía directa

superficial, el flujo subsuperficial y el flujo base ó flujo subterráneo

contribuirán con el hidrograma de descarga total. La precipitación en el canal

es un componente también, pero generalmente es una fracción muy pequeña

de la descarga total.

La escorrentía superficial es un factor muy importante cada vez que

llueve considerablemente. Las precipitaciones de gran intensidad, así como

también la urbanización y deforestación de las cuencas, simplemente

magnif,ca el caudal máximo y disminuye el tiempo para alcanzar la descarga

máxima. El flujo subsuperficial puede ser un factor grande en tormentas de

moderada intensidad sobre cuencas con capas delgadas de suelo sobre roca

impermeable. Si el agua subterránea fluye hacia la corriente durante períodos

de lluvia fuerte, la corriente se denomina efluente ó emanación; pero si el

95


flujo de la corriente es hacia el sistema de agua subterránea, como en el caso

de condiciones de sequía, la corriente es llamada influjo o afluencia.

En la práctica, es muy común considerar que ia descarga total se divida

en dos partes solamente: escorrentía directa y flujo base. La escorrentía

directa puede incluir una porción considerable del flujo subsuperf,rcial,

mientras que el flujo base esta constituído principalrnente por el flujo de agua

subterránea.

DESCAFGA O

(I

PRECIPITE¡¡ EL

DIRECTA

SUPERfICIALI

I

I

ILUJO SURSÜPEBFICIAL

lltlfPtl I

96

I ,- nr ot L.l LLuvn

Figura N"15: Componentes del Hidrograme


SEPARACION DEL FLUJO BASE Y RECESION

Existen muchas técnicas para separar la escorrentía directa del flujo

base, las cuales están basadas en el análisis de las curvas de recesión del agua

subterránea. En algunos casos, la curva de recesión se puede describir por

medio de una ecuación exponencial de la siguiente forma general:

donde:

llt = qo' " '

descarga inicial especificada

descarga en un tiempo posterior t

constante de recesión

base de los logarítmos naturales

Las ecuaciones de esta forma son utilizadas a menudo en ingeniería

para describir un agotamiento de primer orden y la misma se puede

transformar a una línea recta:

log,o (q,) = logro (4,) - | k.log,o(e)l /

Por consiguiente, al graficar la ecuación de recesión en papel

semilogarítrnico, obtendremos una línea recta; la diferencia entre esta línea

y la curva correspondiente al hidrograma de descarga total graficado en el

mismo papel, representra el hidrograma de escorrentía directa. En la práctica

se utilizan otros métodos para separar el flujo base. El método mas simple

consiste en dibujar una línea horizontal desde el punto donde comienza la

9l

Qo

Qt

k

e


escorrentía superficial hasta intersectar el hidrograma de recesión. Otro

método sugerido por Linsley, Kohler y Paulus (1949), el cual es utilizado

frecuentemente, consiste en extender la curva de recesión anterior al inicio de

la lluvia hasta un punto situado debajo de Ia descarga máxima y luego

conectar este punto con el hidrograma en el lugar donde termina la escorrentía

superficial, el cual se puede estimar utilizando la siguiente fórmula:

donde:

¡i/ = e Ao2

tiempo en días después de la descarga máxima

área de drenaje de la cuenca

factor de conversión que depende de las unidades

de A (millas cuadradas ó kilómetros cuadrados)

1.0 para A en mi 2

0.8 para A en Km2

Todos estos métodos tienen la desventaja de que son arbitrarios y en

cierta medida inexactos. La separación del flujo base es un arte más que una

ciencia; en muchos casos de interés práctico tales como drenaje urbano, el

flujo base se desprecia a menudo porque representa una fracción muy pequeña

de la descarga total. Generalmente, el flujo base es mas importante en

corrientes naturales y ríos grandes debido a la contribución a la descarga total

a lo largo de las orillas del canal o riberas del río proveniente del flujo de

agua subterránea. Independientemente del método seleccionado para la

separación del flujo base, el hidrólogo debe ser consistente con el método

9B

N

A


utilizado, de manera que los

comparar con los otros, al igual

de diferentes cuencas.

hidrogramas de una

que los hidrogramas

99

tormenta se puedan

de escorrentía directa

OESCARGA Q

Figmra N"16: Separación del FlujoBase.

PRECIPITACION NETA Y EL HIDROGRAMA

Anteriormente analizamos el fenómeno de escorrentía superficial y

distribuimos la precipitación total en varias componentes: infiltración,

almacenamiento en depresiones, almacenamiento por retención y escorrentía

directa. Podemos escribir una ecuación hidrológica de continuidad de la

siguiente forma:

FIN DE IA ESCOBFENTIADIBECTA

LINEA FECTAHOFUO NTAL

TIEMP,O a


Precipitacién = Almacenamiento + Eyaporación * Infiltración * EscorrentíaTotal en Depresiones SuperFrcial

Donde hemos asumido que el almacenamiento por retención se convertirá en

escorrentía superficial después que termira la lluvia. A menudo es importante

determirnr la distribución con respecto al tiempo del exceso de precipitación

o precipitación neta, la cual es igual volumen total de escorrentía directa; es

decir el volumen de escorrentía directa superficial más volumen almacenado

retenido, el cual escurrirá de la cuenca durante un int-ervalo de tiempo mayor

que la duración de la tofinenta. En otras palabras:

Precipitación Exc€dente ó Neta : Precipitación Total - Pérdidas Hidrológicas

Precipitación Excedente ó Neta - Escorrentía Directa Superficial

Generalmente, los métodos empleados para determinar la precipitación

excedente incluyen el método de Horton, incluyendo una pérdida inicial por

almacenamiento en depresiones, y el método del índice Q, el cual consiste en

una pérdida constante durante el período de tormenta. En la práctica, los

coeficientes de pérdida por infiltración son difíciles de estimar, por lo tanto,

el procedimiento simple del índice S es el método utilizado más

frecuentemente debido a la escasez de datos para la distribución de infiltración

en el tiempo. Observe que el índice ó tiende a subestimar las pérdidas al

inicio de la tormenta y sobreestimar las pérdidas al final.

Tan pronto como la precipitación neta ha sido determinada para una

cuenca, entonces el siguiente paso para convertir la precipitación neta en


escorrentía directa superficial es un problema fundamental de la ciencia de la

hidrología. El hidrograma de descarga resultante se forma por las

contribuciones del flujo superficial sobre el terreno y del flujo en el canal

llegando en diferentes tiempos desde todos los puntos de la cuenca. Los

tiempos relativos de viaje para el flujo superficial y el flujo en el canal están

relacionados con el tamaño de la cuenca; el tiempo de flujo superhcial es más

significativo para cuencas pequeñas, mientras que el tiempo de viaje en el

canal predomina en cuencas grandes.

PRÉClPlTAC!{]!'¡I l'¡ FttT RÉ.t G t¿

Figura N'17: Distribución de laPrecj-pitación Total

OJRVA DEIN FILf F.A¡l ÓNDE HOFION

T¡EtrlPO (


METODO DE TIEMPO - AREA

L02

Una manera interesante de comprender el proceso de conversión de la

precipitación excedente en un hidrograma consiste en utilizar el concepto de

Histograma de Tiempo - Area desarrollado por Clark (1945). Este método

asume que el hidrograma de descarga se produce por la traslación pura de la

escorrentía directa hacia la salida, ignorando los efectos de almacenamiento

en la cuenca. Si urn precipitación de intensidad uniforme se distribuye sobre

la cuenca, el agua comienza a fluir primero de lai áreas inmediatamente

adyacentes a la salida y el porcentaje del área total contribuyendo a la

descarga se incrementa progresivamente en el tiempo.

€ SAUÓA

PFECIPfTACIOi!

b} . HÍDROGFAMA DEPRECIPTTACIÓN i{ETA

a). CUENCA

c) . HISTOGFAMA 0ETIEMPO-AREA

Figura N"18:

d) . HIDROGR,{MA DEDESCARGA DIRECTA

Método de Tiempo-Area

S¡:roNA

?¿ P{PI

P5

TE'PO


Por ejemplo, en la figura anterior, la escorrentía superficial proveniente

del área A, alcanza la salida primero, seguida de las contribuciones de Ar,

luego A, y finalmente d. Este proceso para la generación de los caudales se

puede expresar de la siguiente manera:

Q, - Pi Ar+P.-r'Ar+ +P .'A: Vi<ir-l+ L l

donde: ordenada del hidrograma en el tiempo i

precipitación excedente en el tiempo i

ordenada del histograma tiempo-áreaen el instante j

Observe que el número de ordenadas del hietograma no tiene que ser

necesariamente igual al número de ordenadas del histograma. Por ejemplo,

esta fórmula nos indica que la precipitación neta del período Pr, sobre el área

4., P, sobre A, y P, sobre A, arriban a la salida simultáneamente para

producir la descarga Q.. El hidrograma de descarga directa se desarrolla

evaluando todos los caudales Qr, Qz, Qs,...,Q" donde Qn : 0 indica el fin de

la escorrentía directa.

El concepto de tiempo - área proporciona una idea básica para

comprender el fenómeno de escorrentía, pero sus aplicaciones son limitadas

debido a que el hidrograma debe ser ajustado posteriormente para incluir los

efectos de almacenamiento en la cuenca; y además, las líneas isocronas

(líneas de igual tiempo de viaje hasta la salida) son muy difíciles de construir.

Qi

Pi

4


Un concepto más general en la práctica es la teoría del hidrograma

unitario, la cual es reconocida como una de las contribuciones mas

import¿ntes relacior¡adas con la predicción de Ia escorrentía superficial. Esta

teoría, combinada con los métodos de infiltración y el análisis del tránsito de

avenidas ó crecidas en canales y embalses, es suficiente para investigar los

efectos de la precipitación y almacenamiento en cuencas pequeñas y grandes.

Observe que el método de tiempo - área es un caso especial del hidrograma

unitario.

Ejemplo 14: Método de Tiempo - Area

Una cuenca se divide en cuatro secciones A, B, C y D. Los datos de

área y el tiempo de viaje desde cada región hasta la salida se muestran en la

siguiente tabla;

Sección A B C D

Área (acres) 100 200 300 100

Tiempo hasta la estación G (hr) 1 2 3 4

La escorrentía desde cada sección contribuirá con la descarga directa

en la estación localízada en la salida (punto G). Considere que una

precipitación neta de 0.5 plg/hr de intensidad está cayendo uniformemente

sobre toda el área de la cuenca durante un intervalo de tiempo de 5 hr.

Encuentre el hidrograma de descarga directa en la estación G en respuesta a

la lluvia y asuma que no hay pérdidas por almacenamiento.


Solución:

En éste caso, la fórmula para obtener el caudal directo usando el

Método de Tiempo - Area es la siguiente:

Q, = P,'At * P,-r'A, * P,-r'A, * P,-r'Ao

La fórmula anterior, nos permite obtener los caudales (escorrentía directa)

para diferentes instantes:

eooQt P,'A,

Qz Pr.A, + Pr.A2

Q. Pr.A, + pz.A2 + p1 .A3

Qn Po.A, * Pr. A2 + P2.A' * P,.Ao

Q, Pr.A, * Po.A2 + P3.A' * Pr. Ao

Qo Pr.A, * Po.A3 + P3.A4

Q, Pr.A, + P4.A4

Qr Pr'Ao

eno

Observación: La conversión de unidades en la multiplicación (e : p . A) es:

/ ,\ / \ I \l4ll =[ ete.o",nl .l t hr .qz,seop¡es2. t pie

I

\ "rg i \ n, / \ r,eoo r"g t aue t2 pts )

pie3/seg = 1.0083 acre.plglhora * 1 acre. plg/hr

7


o(¡rictlrcgt

350

300

250

200

t50

100

50

Tabla de Cálculos

106

Tiempo(horas)

Pn t"(plg/hr)

Area(acres)

P''{ Pr4 Pr.4 Po'4 P''{ Q'(ptls)

0 0

1 0.5 100 50 50

2 0_5 200 100 50 150

3 0.5 300 150 100 50 300

4 0.5 100 50 150 100 50 350

5 0.5 50 150 100 50 350

6 50 150 100 300

7 50 150 200

8 50 50

9 0

Gráfica de1 Hidrograma de Escorentía Dírecta

7


Alternativa:

L07

de escorrentía directa

El sistema de ecuaciones lineales simultáneas descrito anteriormente se

puede resolver utilizando álgebra lineal de la siguiente manera:

0 = tptÁ

o

oY.2

o-3

Q1

Q5

o,

o-

8,

ar

a2

A3

A4

P1

P2

P3

P4

P-

0

0

0

000Pro o

P2 Pr 0

P3 P2 Pr

P+ P3 P2

Ps P4 P3

0 P5 P4

0 0P5

Por consiguiente, las ordenadas del hidrograma

(solución del sistema) son:

g1

Q2

o-

gn

o_

o-

o_

g8

100

200

300

100

50

150

300

350

350

3 00

200

50

%0Yz Yz

0%0000

0000Y20

%%

ll r/

0%

r


TEORIA DEL HIDROGRAMA TINITARIO

108

Sherman (1932) introdujo la teoría del hidrograma unitario (HU), el

cual se define como el caudal de descarga de una cuenca que se produce por

una pulgada de escorrentía directa generada uniformemente sobre el área de

drenaje por una precipitación de intensidad constante durante el período de

duración de la lluvia (en el sistema métrico generalmente se adopta una

profundidad de un centímetro).

Muchas de las suposiciones inherentes del hidró-grama unitario tienden

a limitar sus aplicaciones en una cuenca de acuerdo a Johnstone y Cross

094\; entre ellas tenemos:

1. Se asume que la precipitación excedente de igual duración producirá

hidrogramas con tiempos bases equivalentes, independientemente de la

intensidad de la lluvia.

2. Se asume que las ordenadas de escorrentía directa para una tormenta

de duración dada son directamente proporcionales a los volúmenes de

la precipitación neta.

3. Se asume que el tiempo de distribución de escorrentía directa es

independiente de la precipitación antecedente.

4. Además también se asume que la distribución de la precipitación sobre

la cuenca es la misma para todas las tormentas de igual duración.

La proposición clásica de la teoría del hidrograma unitario se puede

resumir brevemente: los sistemas hidrológicos son lineales e invariables con

el tiempo (Dooge, 1973). La propiedad de proporcionalidad y el principio de

7


superposición se aplican al hidrograma unitario, pero estas suposiciones no

fueron cuestionadas seriamente hasta la mitad de la década de 1950.

Las superposiciones de linearidad e invariancia con el tiempo no son

estrictamente correctas para una cuenca, pero las adoptamos frecuentemente

cuando nos son útiles; puesto que existen ejemplos no lineales de flujo en

canales abiertos, modelos de laboratorio de escorrentía y demostraciones en

el campo. Sin embargo, las suposiciones lineales todavía se utilizan porque

son relativamente simples y son la base de los métodos disponibles más

desarrollados; además, los resultados obtenidos con métodos lineales son

aceptables para la mayoría de los propósitos requeridos en ingeniería.

DERIVACION DE HIDROGRAMAS UNITARIOS

Las cuencas con estaciones de medición nos permiten registrar el

hietograma de precipitación y el hidrograma de descarga producido por la

tormenta sobre la región. El hietograma de precipitación es una gráfica de

la intensidad de la lluvia en función del tiempo y el hidrograma es una gráfica

del caudal de descarga en función del tiempo. En la siguiente figura, se

muestra el desarrollo del hidrograma unitario y también se ilustran los

parámetros relacionados con el tiempo, tales como la duración de la

precipitación neta o excedente y el tiempo hasta la cúspide ó valor máximo de

la descarga. El hidrograma de descarga total esta constituído por un miembro

ascendente, segmento de la cresia, segmento descendente y curva de recesión.


Los aspectos de tiempo del hidrograma están caractefizados por los

siguientes parámetros:

1. Tiempo de retraso (tr): es el tiempo desde el centro de masa de la

precipitación excedente o neta hasta la cúspide del hidrograma de

descarga.

2. Tiempo de ascenso (t): es el tiempo desde el inicio de la precipitación

excedente hasta la cúspide del hidrograma.

3. Tiempo de concentración (t"): es el tiempo de eqtrilibrio para la cuenca,

es decir cuando la descarga es igual a la entrada. También representa

el tiempo de viaje de una onda para propagarse desde el punto más

distante de la cuenca hasta la salida.

4. Tiempo base (t"): duración del hidrograma de escorrentía directa.

Las siguientes reglas generales se deben observar en el desarrollo de

hidrogramas unitarios para cuencas con estaciones de medición:

1 . Las tormentas seleccionadas deben tener una estructura simple con

distribuciones relativamente uniformes en el espacio y tiempo.

2. El tamaño de la cuenca generalmente debe estar dentro de 1,000 acres

a 1,000 millas cuadradas.

3. El volumen de escorrentía directa debe encontrarse en el rango de 0.5

pulgadas a 2 pulgadas.

4. La duración de la precipitación excedente debe ser aproximadamente

del25% al30% del tiempo de retraso.

a

5.

6.

Hidrología / David Cedeño 111_

Se debe analizar cierto número de tormentas de duración similar para

obtener un hidrograma unitario promedio para esa duración de lluvia

neta ó efectiva.

El paso anterior se debe repetir para precipitaciones excedentes de

diferentes duraciones.

Los siguientes pasos son fundamentales para el desarrollo de un

hidrograma unitario a partir de un evento simple de precipitación:

l. Analizar el hidrograma y separar el flujo base.

2. Medir el volumen total de escorrentía directa y convertirlo a pulgadas

ó centímetros de profundidad sobre la cuenca.

3. Convertir la precipitación total a precipitación neta ó excedente

utilizando algún método típico de infiltración y obtener la duración D

de la lluvia para identificar el tiempo para el hidrograma unitario y el

hidrograma de escorrentía directa.

4. Dividir las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa por el

volumen en pulgadas ó centímetros de la lluvia neta y graficar los

resultados para obtener el hidrograma unitario de la cuenca. Se asume

que el tiempo base t" es constante para tormentas de igual duración.

5. Verificar el volumen del hidrograma unitario para estar seguro de que

corresponde a una pulgada ó un centímetro y ajustar los valores del

hid rograma en caso necesario.


LLt'\TA

fplg/i'rl

1-72

¡ÉRf10¡s

¡Écr[A¿ró ETat0u

o

[p'ls¿ul I so

129

80

{0

a. Hielogr¡m¡ dc Lluüa I Hidrograma de Dcscarga Total

vd.hÉn de h^¡/b nd€ (i -0) D = R = 49

0¡ 100 p ls

I t ; ; i ioir,o'ltB-- 11 hr

b. Precipitación Excedente I Hidrograma dc Ocscrrga 0irecta

R=2 PLGDE

ESCOhRE}{NA

DI*CTA

I


c Hidrograma Unilario para una duración D = 2 horas

Figura No19: Desarrollo del Hidrograma Unitario

Debido a las suposiciones de linearidad esenciales en el desarrollo del

hidrograma unitario, es necesario resaltar que debemos tener mucho cuidado

al aplicar el método del hidrograma unitario cuando las condiciones existentes

violan el principio de superposición. Grandes variaciones en la duración e

intensidad de la precipitación se reflejan en la forma de hidrograma

resultante. A menudo se suman hidrogramas unitarios de corta duración,

retrasados el uno con respecto al otro, para generar un hidrograma de una

duración mayor. Si la variación de la intensidad de la precipitación es muy

grande durante la duración de la tormenta, la suposición de linearidad puede

que no siga siendo válida en ésta situación.

vofunen unrl*io de lwia = I plg

-a¡snp3h

R= 1 PLG DE

EScOhRENTIA

DIRECTA

I

7

Hidrología / David Cedeño 1-1-4

El volumen de escorrentía directa y la distribución sobre el área de la

cuenca de la escorrentía superficial pueden causar variaciones en la forma del

hidrograma. Para cuencas grandes, generalmente es mejor desarrollar

hidrogramas unitarios para sub-cuencas, luego se suman y también se atrasan

de acuerdo al tiempo de viaje de la onda para generar el hidrograma de la

cuenca total. Los caudales máximos en los hidrogramas unitarios obtenidos

a partir de eventos de tormentas muy pequeñas, a menudo son de magnihrd

inferior que aquellos obtenidos utilizando tormentas nxís grandes debido a las

diferencias en el flujo subsuperficial y a los tiempos de flujo en el canal. Las

suposiciones de linearidad se pueden verificar generalmente comparando

hidrogramas para tormentas de diferentes magnifudes. Si no existe linearidad,

entonces los hidrogramas unitarios derivados deben ser utilizados únicamente

para generar eventos de magnitudes similares y se debe tener mucho cuidado

al ttllizar los hidrogramas unitarios para extrapolar eventos extremos.

A pesar de estas limitaciones, cuando se utilizan los hidrogramas

unitarios en combinación con los métodos de tránsito de avenidas ó crecidas

para la predicción de los niveles de inundación en cuencas pequeñas y

grandes, la exactitud de los resultados se ha incrementado en la última década

con el uso de programas de computadora.

Ejemplo 15: Hidrograma Unitario

Obtener el hidrograma unitario para una cuenca con un área 1,135 .5

acres, donde se ha medido el siguiente hidrograma de descarga total y el

hietograma de precipitación que originó la respuesta de la cuenca:


t5

a. Hietogramade lluvia

Asuma que el índice de infiltración 0 para ésta tormenta es de 0.5

pulgadas/hora y que el flujo base es constante y tiene una magnifud de 100

pies3/segundo. Además, indicar el tiempo base tu, el tiempo de atraso to y la

duración D de la lluvia neta.

Solución:

a) Precipitación neta:

R = (t-0)A/ = (1.s-0.s)(3-1) = 2ptg

El resultado anterior representa una precipitación con una intensidad

neta (i - 0) : 1 plg/hr durante dos horas; por 10 tanto la duración de la

precipitación neta es:

2 plg = 2 horasD

t /F[H#]

2 Á 6 I 10

b. Hidrograma de Descarga

r-ó I plglhr

HidrologÍa / David Cedeño 116

Además, observe que ra interuidad de la precipitación neta que generará

el hidrograma unitario debe transformarse de la siguienrc manera:

I pls = | /2 plg/ hrD

para que el volumen de escorrentía directa sea equivalenre a una unidad.

I fpls/t'rl

Q = 0.5 plslhr

Pérdidas por lnfillración

r th4

b) Separación del flujo base

La ordenada del hidrograma de escorrentía directa eo se obtiene

substrayendo el flujo base eo de la escorrentía total e,, es decir:

Qo = Q,-Q,

Prc cip ita ción Nela

Hidrología / David Cedeño Lt7

c) Hidrograma Unitario

Las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa se dividen por 1a

precipitación neta para obtener el hidrograma unitario de la cuenca; por lo

tanto, podemos establecer la siguiente proporción:

o o.rpls R

Tabla de Datos y Cálculos

Tiempot

(hr)

Caudal Tot¿l

Q,(p3lseg)

Flujo Base

Q,(p3lseg)

Escorrentía Direct¿

Qo:Q-Qo(p3lseg)

HidrogramaUnitario Q,

(p3lseg)

0 100 100 0 0

1 100 100 0 0

2 300 100 200 100

3 700 100 600 300

4 1,000 100 900 450

5 800 100 700 350

6 600 100 s00 2s0

7 400 100 300 150

8 300 100 200 100

9 200 100 100 50

10 100 100 0 0

11 100 100 0 0

L Q, : 1,750 P'ls


Finalmente se dibuja el hidrograma

determinan los tiempos requeridos:

unitario para la

118

cuenca y se

Tiempo Base:

Tiempo de Ascenso:

Tiempo de Retraso:

Duración:

0.2 hr+l

tB

tP

tL

D

thr3hr

2hr

2hr

0.5

0.0

--T-I = 1lD = 112 plglhr

450

ll3f.l ,oo

te= 3 h¡

200

l5[

I0[

t [hrl

lg =9 hr

Hidrograma Unitario parala lluvia neta de

una duración2 horas

de


d) Verificación:

Cuando el intervalo de tiempo At es constante,

volumen utilizando la regla de Simpson para verificar

siguiente manera:

LL9

podemos calcular

los resultados de

el

1a

Volumen = R.A = (LQ¡tt

Por consiguiente, la profundidad de escorrentía en el hidrograma unitario es:

It O )arA

(1,7s0f /s) (1hr) (3600se/hr)(1,7 3 5.5 a c re $ (43,5 60 pz / a c r e)

R = (0.0832 pie) x (t2plgll pie) = | plg

METODO DE LA CT'RVA S

Un hidrograma unitario para una cuenca particular está definido para

una duración especificada de la precipitación neta. La propiedad lineal del

hidrograma ruritario se puede utllizar para generar un hidrograma unitario de

una duración diferente. Por ejemplo, si se conoce el hidrograma unitario de

una cuenca para una duración de la precipitación efectiva de una hora, el

hidrograma unitario que resultaría de una tormenta de dos horas de duración

se puede generar utilizando dos hidrogramas unitarios de una hora cada uno,

R

Hidrología / David Cedeño L20

desfasados una hora uno con respecto al otro, sumando las ordenadas y luego

dividiendo el resultado entre dos. De esta manera, una pulgada de escorrentía

directa en una hora, se ha distribuido uniformemente en dos horas de duración

y se ha derivado el hidrograma unitario para dos horas. Este procedimiento

de desfasamiento esta limitado a múltiples enteros de la duración original del

hidrograma unitario.

Figura N"20: Hidrograma Unitario por Desfasamiento

El método de la Curva S permite la construcción de hidrogramas

unitarios de cualquier duración. En este caso se supone que se conoce un

hidrograma unitario de duración D y que se desea generar un hidrograma

unitario para la misma cuenca con una duración distinta D'. Elprimer paso

para obtener las ordenadas de la curva ,S es el de sumar una serie de

Hidrotogía / David Cedeño L2L

hidrogramas unitarios de duración D, desfasados uno con respecto a otro un

tiempo D. El hidrograma de escorrentía directa resultante corresponderá a

una precipitación de intensidad: í - 1/D: el cual es equivalente a un

hidrograma de equi librio.

Si desplazamos la curva ,S en el tiempo una magnitud D' y restamos

las ordenadas entre las dos curvas S, el hidrograma resuitante se producirá

por una precipitación de intensidad l/D, que ocurre con una duración D';

por lo lanto, debemos ajustar las ordenadas multipiicaldo por la razón D/D'

para obtener el hidrograma unitario para una duración D'.

7

Figura N'21 : Hidrogramael Método

Unitario porde la Curva S

/a

FtrcFFAc{ÁtM|A p,i1,4 Et MEro t{B{ffi.' ü

Hidrología / Davicl Cecleño 122

En muchas ocasiorres se ha observado que después que la curva J

alcanz.a un v¿lloL máximo, el valor de la suma oscila alrededor de este valor

máximo. Esto se clebe a errores pequeños en la duración del hidrograma

unitario original, ó debido al comportamiento no lineal. Cuando se presen[an

las oscilaciones, el hiclrótogo debe efectuat' ajustes para eliminar las

fluctuaciones en la derivaciÓn cle curva s. Un método modil'icado de curva,s

hacia clelante y hacia atrás fue sugericlo por 'lauxe (1978), colllo una fflanera

de emparejar y eliminar el probtema de las fluctuaciolnes.

tequilibrio = lg

o {p llnl

Figura N"22: Curva S

Hid rogram ! lJnit¡rio P6ra I lidrogramás Uniltriosdefasados 2 hor¡ s


Ejemplo 16: Método de la Curva S

Uttlizar los siguientes datos de las ordenadas del hidrograma unitario

de dos horas de duración de la precipitación neta para obtener un hidrograma

unitario de tres horas, aplicando el método de la curva S.

Ordenadas del Hidrograma Unitario

Solución:

Generación de la curva S:

Los datos originales del hidrograma unitario para D : 2 hr se utilizan

para generar la Cwva,f, desfasando varios hidrogramas dos horas y sumando

las ordenadas. La Curva,S representa un número infinito de esas adiciones.

Sin embargo, generalmente es necesario repetir el proceso hasta que se

alcance un valor constante; el cual ocurre generalmente en el instante:

t = t"-D

donde t" es el tiempo base del hidrograma unitario original y D es la duración

de la precipitación neta.

Tiempo(horas)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H.U.D:2hr(p3lseg)

0 75 2so 300 275 200 100 75 50 25 0

Hidrología / David Cedeño 1-24

Tabla de Cálculos de la Curva S

Alternativa:

La curva ,S también se puede obtener utilizando un procedimiento

condensado del método anterior, que consiste en desfasar las ordenadas

acumuladas (suma) un intervalo de tiempo igual a la duración D.

Tiempo(hr)

H.U.(D :2 hr)

Ordenadas Desfasadas2 horas

Suma(p'ls)

0 0 0

1 75 75

2 250 0 250

3 300 75 375

4 275 2s0 0 525

5 200 300 75 575

6 100 275 2s0 0 625

7 't5 200 300 75 650

8 50 100 275 2s0 0 615

9 25 75 200 300 '75 675

10 0 50 100 275 250 0 675

11 25 75 200 300 75 675

12 0 50 100 275 250 n 675

13 25 75 200 300 75 675

Hidrología / David Cedeño ].25

Método Alterno para el Cálculo de la Curva S

Tiempo

(hr)

H.U.

(D:2hr)Ordenadas Acumuladas

desfasadas 2 horas

Suma

(p'ls)

0 0 0

1 75 75

2 2so 0 zso

3 300 75 375

4 275 2so 525

5 200 375 575

6 100 525 625

7 75 575 6s0

8 50 625 675

9 25 6s0 675

10 0 675 67s

1i 61s 675

12 675 675

b. Hidrograma Unitario para una duración diferente: D' : 3 horas.

El hidrograma unitario para D' : 3 hr, se puede obtener a partir de la

curva S, desplazando la curva S tres horas y restando las ordenadas de la

curva original. Estos valores deben ser multiplicados por la raz6n entre la

duración D del hidrograma unitario original y la duración D' del hidrograma

que se desea derivar; esto nos dará el valor de las ordenadas del hidrograma

unitario derivado. En este caso, el ajuste de las ordenadas es:


D/D' :213

Los cálculos de las ordenadas del H.U. para D' : 3 hr se presentan en la

siguiente tabla.

Ordenadas del Hidrograma Unitarioobtenidas a partir de la Curva S

Tiempo(hr)

Curva S

Original(p'ls)

Curva S

Desplazada

3hrDiferencia

H.U.D':3hr

(p'ls)

t, 0 0 0.00

1 75 75 50.00

2 250 250 166.6'7

3 375 0 375 250.00

4 52s 75 450 300.00

5 57s 2s0 32s 216.67

6 625 375 2so 166.67

7 650 525 125 83.33

8 675 5'75 i00 66.67

9 675 62s 50 JJ,JJ

l0 67s 650 25 16.67

11 675 675 0 0.00

12 675 675 0 0.00

Hidrología / David Cecleño

o tpshl

1000

800

600

4(l0

200

r2't

a. Deslas¿miento de las curvas S

I fh4

t [h4

o[p /sl

300

200

100

1l10

Derivacióncualquier

b, Hidrograma Unilario para I horas de duracién

de Hidrogramas Unitarios paraduración a partir de fa Curva S

curva S

original curya S

desplozada

3 hr

Hidrología / David Cedeño L2B

METODOS MATRICIALES PARA DESARROLLAR HIDROGRAMAS

T]NITARIOS

El proceso para obtener un hidrograma unitario producido por una

precipitación excedente de períodos múltiples utilizando métodos matriciales

se ilustra para el caso mostrado en la siguiente figura.

t I hrl

t lhrl123t5b. H¡dtogram¿ Unilario [p¿ra una duración de r h4

Figura N"23:

1234561c, H¡drograma dr Escorrcntí¿ D¡rccló

Hidrograma UnitarioMatriciafes .

por Métodos

a. Hidrogr¿ma de Prec¡pitác¡ón Excedcnte

nrolq


Observe que la precipitación de la lluvia neta o efectiva es constante en

cada período; por lo tanto, la cantidad de escorrentía directa en cada intervalo

se puede obtener de la siguiente manera:

P = (r-ó)Ar

En este caso, el sistema de ecuaciones resultantes para la escorrentía

directa producida por la precipitación en los tres períodos es:

Q'

Q,

Q,

Qu

Q,

Qu

Pr'Ut

Pr.U, + P1 .U2

P, .U, + P2.U2

Pr.U, + Pr.U,

Pr.U, + P2.U4

P.'Uo

+ P1 .U3

+ Pl .U4

donde Q representa las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa, U

las ordenadas del hidrograma unitario y P la precipitación excedente durante

el período de tiempo. La relación entre el hidrograma unitario original, la

precipitación excedente y el hidrograma de escorrentía directa es la siguiente:

n = j+i-l

donde n es el número de ordenadas del hidrograma de descarga, j es el

número de ordenadas del hidrograma unitario y i es el número de períodos de

precipitación excedente.

Hidrología / David Cedeño 13 O

El sistema de ecuaciones se puede escribir de manera compacta

utilizando notación matricial :

tóJ = tPl t¿71

donde:

a)a vector ( 6 x 1 ) del hidrograma de descarga directa:

tót

Q,

Q,

o^

8o

o-

o-

Matriz ( 6 x 4 ) de precipitación neta:

tPl

b)P:

Pt 0 0 0

PrPr o o

P3P2Ptoo P3P2Pl

o 0 PrP,

0 0 0P,

Uc)


vector ( 4 x 1 ) de las ordenadas del hidrograma unitario:

tul

ur

u2

u3

u4

Los métodos clásicos para la solución del sistema de ecuaciones

requieren el cálculo del inverso de la matriz de precipitación: [P]-1, la cual

existe cuando Ia maftiz es cuadrada con determinante distinto de cero. En

este caso, la matriz de precipitación [P] no satisface ésta condición, pero

multiplicando por la matriz traspuesta [Pr], se puede generar una matriz

simétrica cuadrada [PrP], que si tiene inversa y de esta manera podemos

obtener la solución del sistema:

Vr Pt ' lul = fp, el

La cual se puede resolver explícitamente para obtener las ordenadas del

hidrograma unitario de la siguiente forma:

lul = lP' Pl-t v' gl

El procedimiento descrito anteriormente fue desarrollado por Newton

y Vineyard (1967),los cuales utilizaron el método de Gauss para la solución

del sistema de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, hay que tener cuidado


con los procedimientos numéricos, ya que debido al truncamiento, la

propagación de errores puede producir resultados pocos satisfactorios,

especialmente en las ordenadas finales del hidrograma unitario. El siguiente

ejemplo demuestra el procedimiento para obtener el hidrograma unitario

utilizando matrices.

Ejemolo 17: Métodos Matriciales

Obtener un hidrograma unitario para una duración de una hora

producido por una precipitación excedente de tres horas de duración, con tres

períodos de intensidad constante, la cual generó el hidrograma de escorrentía

directa cuyos valores se muestran en la tabla de datos y en la gráfica.

Tabla: Precipitación Neta

Tabla: Descarga Directa

Intervalo de Tiempo(horas)

0-1 r-2 2-3

Intensidad Efectiva(ple/hr) 2 3 1

t(horas)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

a(p'ls) 0 400 1,200 1,400 900 425 150 25 0

llidrología / David Cedeño

a. llieloqrama de Precipitación Neta b. Hidrograrna de Descarga Direcla

Diagramas de Precípitación y Escorrentia

Soluciórr:

a) Cantidad de Datos:

Valores de Caudal Directo:

Períodos de Precipitación:

Ordenadas Unitarias:

133

n

i

jjj

)+1+1

i[ptgfhr]

7


b) Vector de descarga Q (n x 1):

t8l

Q,

Q,

o^

Qo

o_

o-6,

o_

c) Matriz de precipitación P ):

tPl

(nxj000000PtoP" P,

P, P,

oP1

tul =

400

1,200

1,400

900

425

150

25

2000032000t320001320001320001300001

1-34

Pt 0 0

P, P,. o

P3 P2 Pl

o P3P2

0 0P3000000

d) Vector del Hidrograma Unitario U (j x I ):UL

u2

U^

u4

U.f


Procedimiento de Algebra Lineal:

tPl . I¿71

lPr pl . ÍÚl

Matriz transpuesta (j x n

135

e)

vrl

):

231o23002000000

ú1

fP' 0l

00001000310h2310o237

c) Multiplicacióndematrices (j x j):

IP, PI

149 2 0 0

9149 2 0

2 9149 2

0 2 914 9

0 0 2 914

Multiplicación de una matriz por un vector ( j x I ):

5,800

7,500

< ot<

7 ))<

1,325

h)

Hidrología / David Ccdcño

i) Sisten-ra de ecuaciones lineales simultáneas:

136

l4 9 2

914 9

2 914029002

0020921499t4

5,800

'7,500

5,925

3,225

1,325

ul

u2

U.

u4

U-

j) Vector solución (i x I )

tul

U,

u2

u)

un

U.

200

300

l s0

75

25

Ordenados y Graficade I hr.

o tpls es]I [h4 on ¡y'¡s"q¡

0 {;

200

2 300

3 150

4 75

5 2S

6 0

rlel tlidr0gfti ta Unilario pEra ull¡ du.ac¡ón


DESARROLLO DE HIDROGRAMAS TINITARIOS SINTETICOS

Los procedimientos presentados en la sección anterior para derivar los

hidrogramas unitarios en cuencas con estaciones de medición han sido

aplicados satisfactoriamente cuando existen datos adecuados de precipitación

y escorrentía. Por otro lado, Ios métodos para derivar hidrogramas unitarios

para cuencas sin estaciones de medición están basados en fórmulas teóricas

ó empíricas que relacionan el caudal máximo y las características de tiempo

de Ia cuenca. El resultado de estos métodos se ilenomina Hidrograma

Unitario Sintético y los mismos ofrecen a los hidrólogos e ingenieros cierta

cantidad de procedimientos para desarrollar hidrogramas unitarios para

cualquier cuenca. Sin embargo, todas estas fórmulas tienen suposiciones que

limitan su uso, por consiguiente deben ser aplicadas con precaución. En

algunos casos, también se puede intentar una calibración de la cuenca cuando

hay cuencas adyacentes con estaciones de medición.

Los Hidrogramas Unitarios Sintéticos se han desarrollado a lo largo de

dos tendencias: una asume que cada cuenca tiene un hidrograma unitario

único y la otra tendencia supone que todos los hidrogramas unitarios pueden

ser representados por una familia única de curvas ó una ecuación única.

La primera categoría de desarrollo esta basada en el método racional

modificado para incluir las curvas de tiempo-área para una cuenca en

particular. Clark (1945) supuso que la respuesta de la cuenca sería producida

por el tránsito de las curvas de tiempo-área a través de un elemento de

almacenamiento lineal, el cual tiende a atenuar el caudal máximo y a retrasar

el hidrograma. Cada hidrograma unitario sería único para la cuenca; por

7


consiguiente, esta técnica representa una mejora sobre el método del

hidrograma de tiempo-área. En general, se requieren expresiones empíricas

para transformar los métodos de Clark en técnicas útiles para desarrollar

hidrogramas unitarios para cuencas reales.

La segunda metodología para el desarrollo de hidrogramas unitarios

asume representaciones matemáticas para la forma del hidrograma unitario.

El método más popular fue desarrollado por el Soil Conservation Service

(SCS) en 1964; el cual define un Hidrograma UrÉtario Adimensional de

descarga en función del tiempo. Debido a que el volumen es fijo, solamente

se requiere un parámetro para determinar el hidrograma unitario en su

totalidad; el cual sería cualquiera de los siguientes valores: el tiempo al pico

t" ó el caudal máximo Qo.

La mayoría de los investigadores han señalado que existen varios

parámetros importantes para determinar la forma y los tiempos del

hidrograma unitario de una cuenca. Entre los parámetros utilizados más a

menudo tenemos el tiempo de retraso t, el tiempo de ascenso to y el tiempo

de concentración t". El tiempo base t" también se incluye para definir la

duración de la escorrentia directa. Estos pariímetros de tiempo deben estar

relacionados con las características de Ia cuenca para el desarrollo

satisfactorio de hidrogramas unitarios sintéticos. Otros parámetros de

importancia incluyen el caudal máximo Qp y el área de la cuenca A.

La mayoría de los métodos para derivar hidrogramas unitarios

sintéticos asumen que el hidrograma unitario de una cuenca representan los

efectos combinados del tamaño, pendiente, forma y características de


almacenamiento. Bajo estas condiciones, si los factores entre dos cuencas son

iguales y permanecen constantes con el tiempo, la respuesta será idéntica para

ambas cuencas. Para dos cuencas del mismo tamaño, si la pendiente de una

es mayor que la otra ó si la forma de la cuenca es más concentrada (la

razón entre la longitud y el ancho es menor), la forma del hidrograma

cambiará del tipo a (cuenca natural) al típo á (cuenca parcialmente

desarrollada); tal como se indica en la figura de los factores que modifican ei

hidrograma unitario. Las características de almacenamiento en la cuenca

esüán relacionadas con la pendiente, tipo de suelo, topografía, resistencia en

el canal y forma de la sección transversal del canal. Por otro lado, si existe

almacenamiento en un embalse en combinación con Ia canalizaciín aguas

abajo del embalse, el hidrograma también cambiará del tipo a al tipo b,

debido a un tiempo de ascenso menor por la reducción en la resistencia en el

canal y menores pérdidas por infiltración debido al desarrollo de la cuenca.

Firnlmente, si la forma de la cuenca fuera alargada y estuviera completamente

urbanizada sin ninguna capacidad de almacenamiento (embalse); la respuesta

de la cuenca sería un hidrograma tipo c (cuenca completamente desarrollada);

observándose un tiempo de ascenso mucho menor y un caudal máximo mayor

que el hidrograma unitario del tipo c. Los primeros métodos de hidrogramas

unitarios sintéticos generalmente no consideraban los efectos del desarrollo

de la cuenca; pero fórmulas empíricas más modernas permiten incluir los

cambios producidos por la urbanizaciln de la cuenca, tales como el

incremento en el porcentaje de áreas impermeables y la construcción de

alcantarillas para el drenaje pluvial.

r


(a) cuenca(é) c pretanehte

dés¿i!o.lt¿da

140

(b) Par:éialJtrén!édesarrollada

Figura N'24: Factores que Modifican e1 HidrogramaUnitario de una Cuenca .

La mayoría de los métodos para hidrogramas unitarios sintéticos

relacionan el tiempo de retraso t, ó el tiempo de ascenso to del hidrograma

con las medidas de longitud y forma del canal principal de drenaje de la

cuenca. Algunos métodos también relacionan estos parámetros de tiempo con

el inverso de la pendiente del canal. Por lo tanto, para una longitud mayor

del canal y una pendiente menor, se debe observar un tiempo de ascenso

mayor en el hidrograma.

7


También se puede presentar generalmente una segunda relación entre

el caudal máximo Qp y el área A de la cuenca ó entre Qp y el inverso de t'- ó

t, del hidrograma, lo cual nos indica que la magnitud de Qo es proporcional

al área tributaria; es decir que áreas más grandes producen un caudal máximo

mayor. Por otro lado debemos satisfacer continuidad, lo que implica que un

caudal mayor Qn esta asociado a un tiempo de retraso tL menor para mantener

el volumen de escorrentia directa del hidrograma unitario.

METODO DE SNYDER

Snyder (1938) fue el primero en desarrollar un hidrograma unitario

sintético basado en estudios de cuencas localizadas en los Montes Apalaches

(U.S.A.) que tenían un área de drenaje que variaba de 10 a 10,000 millas

cuadradas. Las relaciones empíricas obtenidas por Snyder son:

Donde: tL

L

tL = C,(L L"\03

tiempo de retraso de la cuenca (hr)

longitud del canal principal desde la salida hasta la

divisoria de aguas (millas)

Iongifud a lo largo del canal principal desde la

salida hasta el punto más cercano al centroide de la

cuenca (mi)

coeficiente que variaba de 1.8 a 2.2 enlos Montes

Apalaches

L"

cr


La descarga máxima es:

L42

/o =640c "o ,,.

donde: Qo caudal máximo del hidrograma unitario (p3lseg)

A área de la cuenca (millas cuadradas)

Cp coeflciente de almacenamiento que variaba de 0.4 a

0.8. Observe que los valores mayores de Co están

asociados con valores menores de Cr.

Y finalmente para el tiempo base (en días):

f_t- = 31---aoB

donde t, esta en horas. La expresión anterior para el tiempo base produce

resultados adecuados para cuencas grandes, pero valores excesivos para

cuencas pequeñas. En este último caso, es conveniente asumir de 3 a 5 veces

el tiempo de retraso tL para definir el tiempo base t" en el trazado del

hidrograma unitario; es decir:

Í3<a<5

tL

Hidrología / David Cedeño r43

s_ D ___!Q,L

ats

oso

Figura No25: Hidrograma Unitario Sintético de Snyder

El procedimiento anterior define un hidrograma unitario sintético para

una duración de precipitación excedente D (horas) igual a:

t-D=L

5.5

Qp

Hidrología / David Cedeño a44

Para una duración de precipitación neta diferente D' (hr), se debe ajustar la

fórmula para el tiempo de retraso t,_ (hr):

ti = tr * o.2s (D/ - D)

donde r/ (hr) representa el tiempo de retraso ajustado para la duraciónD'.

Al aplicar este método empírico a cualquier cuenca, se debe tener

cuidado con la selección de los coeficientes C, y Cp,ya que se ha observado

que varían considerablemente de urn región a otra. Por consiguiente se puede

efectuar una calibración utilizando cuencas localizadas en los alrededores con

estaciones de medición para obtener el valor de estos coeficientes antes de

aplicar el método a otras cuencas en la región.

Después que se han calculado los tres parámetros: tr, Qp y t", se puede

dibujar un hidrograma unitario de tal manera que el área bajo la curva

represente 1 plg de escorrentía directa sobre la cuenca. Para construir el

hidrograma unitario por el método de Snyder se pueden tttlizar puntos adicio-

nales que corresponden al 50Vo y 75% del caudal máximo Q. El ancho W (en

horas) para estos caudales, se puede obtener de manera empírica por medio

de las siguientes fórmulas:

470

(+)"


w_. - 8305u / ^ \r.llQ, I

\^ )

donde el caudal Q esta en p3/s y el área A en millas cuadradas. Los tiempos

correspondientes al ancho W se deben distribuir de la siguiente manera: 1/3

antes de QrV 213 después de Qo (en proporción de I a2).

Ejemplo 18: Método de Snyder

Utilice el método de Snyder con la finalidad de obtener el hidrograma

unitario sintético, para una duración de 1.0 hora de la precipitaciÓn neta, en

una cuenca con las siguientes características:

A 100 millas cuadradas

cr 1.8

ce 0.6

L 18 millas

L" 10 millas

Solución:

a) Tiempo de Retraso

tL = C, (L L")03 = 1.8 (18 " 10)03 = 8.55 hr

-


b) Duración de la Precipitación Excedente

f_D = L = 1.55 hr

5.5

c) Aiustes para D' : t hora

ti = ttno.2s(Dt-D) = 8.55 +02s(t -1.5s) = B.4hr

d) Caudal Máximo

0 Anchos

0,". = 0.75 Q- = o.75 x 4,570 = 3,427.5 pief /seg

t_470_4707s (QotA¡r, (4,s70lroo)r 1

a46

7 hr [2.33 hr : 4.67 hr]

640 C^ A 640 x 0.6 x 100Qo = 4'57o Piel lsegtL

e) Asumir Tiempo base (cuenca pequeña):

tB " 44. = 4x8.4 = 33.6hr

Hidrología / David Cedeño r4'7

wro

n = 050Qe = 0.50x

830 830

4,570 = 2,285 piel /sett

12.4 hr 14.13 hr:8.27 hrl(Q,/A¡r: (4,s70l100)t t

0p = 45IB

075=3{27

0 = 2285-50

Hidrogramade t hr por

4.77 6.57 8.9 13.57 1t 17

úa = 30'9 hr

Unitario parael- Método de

una duraciónSnyder.

D',=1h¡

/lL

I

I

fI


C) Verificación:

1-48

R - volumen = | prgA rea

R=

t t2 ( 228s )'(4 .11) s ,449 .72

r 12 ( 3427 .s + 228s ).( 6.s7 - 4.77 ) s ,t4t .2s

U2 ( 4570 + 3427 .5 ).( 8.9 - 6.57 ) 9,317.08

u2 (3427.s + 4570 ).( 13.57 - 8.9 ) - t8,674.t6

u2(228s + 3427.s).(r7.r7 -13.s7) : 10,282.s0

1t2(228sX33.6-r7.t7) : t8,77r.27

Volumen 67 ,636 (pies3lseg) . hr

= 1.05 plg > t plg

too mi2 ( s,zeo p¡rt\t

\ t nitt" )

h) Cálculo del Volumen Unitario:

vot = RA = (ro,r. te¡e)\ lzptg )

roo mi2. I s.zso p¡", )'l\ tmiua )]

I/ol = 23\32O,OOO Orú .( lhr3,600 seg )

= 64,s33.3i eties3 /seg) hr

-


Ajuste del Tiempo Base:

Vol = (67,636 _

64,533.33

18,771.27) + % (2,28s) {tB - 17.17)

48,864.73 + 1,142.50 (tB - 17.17)

L49

Por lo tanto, tenemos que:

I 5,668.61tB + l7 .17 = 13 .71 + 77 .17

1,142.50

tB = 30.88 horas " 30.9 hr

METODO SCS (Hidrograma Unitario Triangular)

Este método fué desarrollado por el Soil Conservation Service (1957),

una división del U.S. Departament of Agriculture, y está basado en un

hidrograma adimensional, el cual fué confeccionado utilizando una gran

cantidad de hidrogramas de diferentes cuencas que variaban en tamaño y

Iocalización geográfica. El hidrograma está representado por un triángulo

simple, con una duración de la precipitación neta D (hr), tiempo de ascenso

/" (hr), tiempo de descenso ro ftr) y caudal máximo Q" (pies3/seg).


Figura N"26: Hidrograma Unitarrotriangular del SCS

Para el hidrograma de forma triangular mostrado en la figura anterior,

el volumen de escorrentía directa es:

vor = Q't' * Q'to22

Por consiguiente:

o 2.Volto * t*


Utilizando una gran cantidad de hidrogramas, se encontró que:

5Í : _t'R3'P

Por lo tanto, el caudal máximo resulta ser:

^ 075 . Volt,tP

151

Recordando que Vol : R. A, para una precipitación excedente ó neta de I plg

(Hidrograma Unitario) tenemos :

484 AP

tP

Donde : Qp caudal máximo (pies3/seg)

A área de la cuenca (mi2)

tp tiempo de ascenso (horas)

En la figura del hidrograma triangular se puede observar que:

Dt- = -+tr

'2

Donde: D duración de la precipitación neta (hr)

tL tiempo de retraso (hr) medido desde el centroide de

la lluvia hasta Q"

7


El tiempo de retraso t, se puede estimar utilizando cualquiera de las

fórmulas empíricas desarrolladas por el SCS, tales como:

ro8 ¡,s * 1;07

reoo /tDonde: tL tiempo de retraso (hr)

L distancia hasta la divisoria de aguas (pies)

Y pendiente promedio de la cuenca en porcentaje (%)

S : retención potencial máxima (plg)

.9 = 1'ooo -toCN

Donde Cly'es el número de curva que depende del tipo de suelo y uso de la

tierru. La siguiente tabla muestra los números de curva (CA) para diferentes

usos de la tierra, donde los grupos hidrológicos de suelos son:

A suelo arenoso, bien drenado

B suelo arcilloso-arenoso

C suelo arcilloso

D suelo arcilloso plástico (se expande al mojarse)

Los valores de Cly' mostrados en la tabla suponen condiciones normales de

humedad en el suelo.

tL


Tabla CN

Fuente: SCS Tecbnical Report, "Urball Hydroloy for Sflall Watersheds " (1986)

153

Números de Curva para escorrenlía en terrenosutiJizados para agricultura, zonas rurales y urbanas

(condición de humedad artecedente tipo tr)

Descripción del Uso de la TieÍaGrupo Hidrológico de Suelo

B c D

Terrenos cuhivados :

Sin métodos de conservación de suelosCon métodos de conservación de suelos

72 81 88 9r62 7L 78 81

Pastos ó campos de pastoreo:Bn mal estadoEn buen estado

68 79 86 8939 - 61, 74 80

Praderas en buen estádo 30 58 71 78

Bosques ó forestas:Vegetación poco densa con cubiefta pobre, sin malezaBuena condición (vegetación protegida del pastoreo)

45 66 77 83

25 55 70 '7'7

Espacios abiertos, prados, parques, campos de golf,cementerios, etc.Buena condición: el césped cubre el 75% 6 Ít6s del fueaCondición regular: el césped cubre del 50 al75% del fuea

39 61 74 8049 69 79 84

Áreas comerciales o de negocio (85 % impermeables) 89 92 94 95

Distritos o zonas industriales (72% imJ'enneables) 81 88 91 93

Zon¿s residenciales :

Tamaño promedio del lote porcentaje impermeable1/8 acre o menos 65 %

l/4 acre 38 %

113 tcre 30 %

l/2 acre 25 %

I acre 20 %

77 85 90 92

61 75 83 8',7

5'7 72 81 8654 '70 80 85

51 68 79 84

Patios de estácionamiento pavimentados, areas techadas,calzadas o vlas de acceso, etc. 98 98 98 98

Calles y caminos:Pavimentadas con cunetas y alcantarilla pluviatGravaTierra

9876'72

98

8582

98 98

89 9l87 89

7

El SCS también desarrolló un hidrograma unitario adimensional para

transformar el hidrograma triangular en una curva continua utilizando los

parámetros tn y Qp. Este hidrograma unitario adimensional se muestra en la

siguiente figura, junto con la t¿bla de los valores'. t I tp y Q / Qo.


Coordenadas del HidrogramaUnita¡io Adimensional del SCS

tltp0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000

1. 100

t.2001.3001.4001.5001.6001.800

2.0002.2002.4002.6002.8003.0003.5004.0004.5005.000

Q/Q"0.0000.0150.0750.1600.2800.4300.6000.7700.8900.9701.000

0.9800.9200.8400.7500.6600.5600.4200.3200.2400.1800.1300.0980.0750.0360.0180.0090.004

r54

Fiq. N" 27: Hidrog'ramaUniLaric Adi mens ional

QP


Ejemplo 19: Método SCS

Derivar un hidorgrama unitario triangular utilizando el método SCS

para una duración de la precipitación neta de 1.5 horas. El área de la cuenca

es de 100 mi2, constituídapor 50% de suelo tipo arenoso-arcilloso y el resto

es suelo arcilloso; el ffi% de la tierra tiene uso residencial (lotes de 1/4 acres)

y el 40% restante se utiliza para pastos (en buena condición); la pendiente

promedio de la cuenca es 100 pies/milla y la longitud de la corriente principal

es de 18 millas.

Solución:

a) Datos: D

A

L

Y

b) Número de Curva:

l.-5 hr

100 mi2

18 millas ' 5,280 pies/milla : 95,040 pies

lOOpies/milla' 1 mi11a/5,280pies . 100 : 1.9%

Uso de la tierra Tipo de suelo Porcentaje del áreaCN

Residencial(lotes de 1/4 acres)

B

C

0.6'0.s = 0.30.6' 0.5 = 0.3

75

83

PastoreoBC

0.4. 0.s : 0.20.4'0.s = 0.2

61

74

suma : 1.0

7

Hidrología / David Cedeño 15 6

CN = 0.3 x75+0.3 x83+0.2x61 +0.2x74 = 74.4

CN = 74 ( nota: redondear al valor entero más próximo )

c) Retención Potencial Máxima:

^s = t{9,0 - to = l'ooo - to = 3.s ptgCN 74

d) Tiempo de Retraso:

tL¿o'a 15 + 1¡oz _ (95,040)08 (3.5 * 1¡oz

10.5 hrt,soo tfl r,900 y' 1.9

e) Tiempo de Ascenso:

tp = *.,, = l-5 *lo.s = tt.25hr

0 Caudal Máximo:

^ 484 A 484 " 100Q, = 4,300 Piel lseg' tP 11.25

g) Tiempo Base:

D - Volumen - %t"Q,

Area


2ARtB

8,

h) Alternativa:

70o mi 2 5,280p

lmi

tB = 30 hr

( 1 1.25) = 18.75 hr

tR = 11.25 + 18.75 = 3O hr

15'7

55tR= zt, =

3

tB

i= UD

op= 43oo P3¡s

D=f.5hr

tL= 10.5 hr

tp = 11 .25 hr

te= 30 hr

Hidrograma Unitario lriangül¿r Fara 1.5 hr de precipitación neta


APLICACIONES DE HIDROGRAMAS T]NITARIOS

158

1)

2)

Cuando se ha calculado el hidrograma unitario para una duración dada

de la precipitación excedente ó se han utilizado métodos sintéticos para

desarrollar el hidrograma de respuesta de una cuenca bajo ciertas condiciones

psiográficas, estos hidrogramas se pueden utilizar para diferentes cálculos

hidrológicos; entre ellos tenemos los siguientes:

Obtener hidrogramas de descarga para precipitaciones excedentes de

múltiples períodos.

Diseñar hidrogramas para tormentas con un período de recurrencia

seleccionado (T : 10, 25, 50 ó 100 años) utilizando procedimientos de

convolución y desfasamiento.

Determinar las variaciones en el hidrograma de descarga debido a los

cambios en el uso de la tierra, modificaciones en los canales de

drenaje, almacenamiento en la cuenca y otros factores que afectan el

hidrograma unitario.

Los hidrogramas para cuencas grandes que consisten en varias

subcuencas se pueden simular por procedimientos de adición,

desfasamiento y tránsito de avenidas para los caudales producidos por

hidrogramas unitarios en cada subcuenca. Los efectos en la variación

en el patrón de intensidad de la precipitación y uso de la tierra se

pueden comprobar en la respuesúa hidrológica para la cuenca completa.

3)

4)

-


5) Los métodos de tránsito de avenidas se pueden utilizar para analizar la

atenuación del caudal máximo y retraso de Ia onda que sufrirá el

hidrograma de entrada al pasar por un embalse y de esta manera

obtener el hidrograma de salida.

CONVOLUCION DE HIDROGRAMAS TNITARIOS

El procedimiento para derivar un hidrograma de descarga a partir de

un período múltiple de precipitación excedente repres&Ía un caso general del

método de tiempo-área. Las ordenadas del hidrograma unitario se multiplican

por la precipitación neta, se desfasan y suman en secuencia para producir las

ordenadas del hidrograma de descarga directa.

Cada hidrograma unitario se incorpora en el instante correspondiente

al inicio del período de lluvia. El flujo base se puede añadir para producir un

hidrograma más realista de descarga total cuando los valores típicos de flujo

base eslán disponibles para la cuenca bajo estudio. Se debe tener cuidado en

los cálculos, especialmente se debe verificar que los incrementos de tiempo

de la precipitación excedente correspondan a Ia duración del hidrograma

unitario. La ecuación en forma discreta que gobierna el hidrograma para

tormentas múltiples se denomina ecuación de convolución:

o = Iru t n-t+l¡=l


Donde: Q, ordenada del hidrograma de descarga

Pj precipitación excedente

Uj ordenada del hidrograma unitario

(nota:j:n-i+1)

160

Observe que cuando la precipitación tiene períodos múltiples con

intensidad constante, pueden ocurrir intervalos sin precipitación.

Ejemplo 20: Derivación de hidrograma para perío?os múltiples de lluvia.

Derivar el hidrograma de descarga total para una cuenca que se

produce como respuesta a una precipitación con períodos multiples de

intensidad constante, utilizando los siguientes procedimientos:

a) Método de Convolución

b) MétodosMatriciales.

El hietograma de la precipitación excedente (después de considerar las

pérdidas por infiltración y evapotranspiración) y el hidrograma unitario para

una duración D : t hr se muestran en la siguiente figura; además, asuma

que el flujo base es de 25 piesr/seg (constante).

Valores de la Precipitación Neta

Intervalo de tiempo(horas)

0-1 1-2 2-3 3-4

P""," (ple) 1.0 1.5 0.0 0.5

Hidrología / David Cedeño 16L

Ordenadas del Hidrograma Unitario

t (hr) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

H.U.D:1hr

(p'ls)0 150 300 450 360 270 180 90 0

Hietograma de Precipitación Neta

Hidrog'rama UnítarioparaD=1hora


Solución:

a) Método de Convolución:

1-62

o = )-¡ u¡=1

Tabla de Cálculos

t(hr)

Pi(plg)

uj(p3lseg)

P,U¡ P,U¡ P.Uj PoU¡ a,(p3lseg)

0 1.0 0 0 0

1 1.5 150 150 0 150

2 0.0 300 300 22s 0 525

3 0.5 450 450 4s0 0 0 900

4 360 360 675 0 75 1,110

5 270 270 540 0 150 960

6 180 180 40s 0 225 810

7 90 90 270 0 180 s40

8 0 0 135 0 135 270

9 0 0 90 90

10 0 45 45

11 0 0


b) Método Matriciales:

tPl

1-63

b-1) Matriz de Precipitación:

b-2) Vector del Hidrograma Unitario:

t1J = rPr.rül

1000000312 l 0 0 0 0 0

03/2 I 0 0 0 0

1/2 0 3/2 I 0 0 -00t/203/2 I 0 0

0 01120312 I 0

0 0 0t1203/2 1

0 0 0 0 t/203120 0 0 0 0ll2 0

000000112

tul

150

300

450

360

270

180

90

L64

fü ÍPt - tul

Hidrograma de Descarga Total

150

525

900

1,110

960

810

540_

270

90

45

-19

-

11


b-3) Vector de Escorrentía Directa:


c) Hidrograma de Escorrentía Total:

1-65

O = O.+O.

Tiempot

(hr)

Caudal Directo

Q¿(pies3/seg)

Flujo Base

Qr(pies3/seg)

Caudal Total

Q,(pies3/seg)

0 0 25 25

1 150 25 175

2 525 25 550

3 900 25 925

4 1, 110 25 1,13s

5 960 25 985

6 810 25 835

7 540 25 565

8 2'70 25 295

9 90 25 115

10 45 25 70

11 0 25 25

12 25 25

Observación:

El caudal total máximo producido por la lluvia de períodos múltiples

sobre la cuenca es Qma* : 1,135 pies3/seg

ANALISIS DE FRECI]ENCIAS

INTRODUCCION

Muchos procesos en hidrología deben ser analizados y explicados de

manera probabilística debido a la taixaleza aleatoria (casual) de los mismos.

Por ejemplo, es muy difícil predecir la escorrentia y la precipitación en

sentido puramente determinístico (en el pasado, presente ó fufuro), debido a

que es imposible conocer cuantitativamente todos los parámetros que afectan

estos procesos. Afortunadamente, existen métodos estadísticos disponibles

para orgarnzar, presentar y reducir los datos observados de manera de que se

facilite su interpretación y evaluación. En esta sección estudiaremos algunos

métodos estadísticos que nos permitan cuantificar la incertidumbre de los

datos hidrológicos en un marco de referencia estocástico.

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es un parámetro (por ejemplo: precipitación,

escorrentia, etc.) que no se puede predecir con ceÍteza, debido a que las

variables aleatorias son el resultado de un proceso casual o incierto. Estas

variables deben ser tratadas estadísticamente como discretas ó contínuas.

La mayoría de los datos hidrológicos son contínuos y deben ser analizados

probabilísticamente utilizando distribuciones contínuas de frecuencias; por

ejemplo, los valores de descarga en un hidrograma pueden ser cualquier

número positivo real, el cual depende del aparato de medición, es decir, que

pueden tomar cualquier valor dentro de cierto rango. Sin embargo estos datos


se presentan a menudo de manera discreta debido al proceso de medición (por

ejemplo: valores mensuales, diarios u horarios de escorrentía).

Las variables aleatorias discretas solamente pueden tomar valores

enteros dentro de un conjunto de valores especificados; como ilustración,

podemos observar que al lanzar una moneda se producirá como resultado:

cara ó sello, mientras que tirar un dado de seis caras producirá cualquier

número entero del conjunto | 1, 2, 3, 4, 5, 6 l. Los datos observados en un

aparato de medición deben ser tratados como valores discretos, ya que han

sido redondeados y cuantificados durante el proceso de colección de la

información. Sin embargo, esto es muy inconveniente para el análisis de

frecuencias debido a la gran cantidad de intervalos de valores que se deben

considerar. Por ejemplo, si el rango de la magnitud del caudal de descarga

varía de 0 a 5,000 pie3/seg y los datos se han redondeado a valores enteros,

existirán 5,0ü) intervalos discretos que se deben considerar. En este caso, es

mucho mas fácil suponer que los registros son contínuos. No obstante,

algunas veces se aplican distribuciones de frecuencia discretas a variables

contínuas (por ejemplo: profundidad de Ia precipitación); pero la mayoría de

las aplicaciones de distribuciones discretas en hidrología ocurren en el caso

de variables aleatorias que representan el número de eventos que satisfacen

algún criterio; por ejemplo, el número de inundaciones que pasarán de cierta

magnitud durante cierto período de años.


PRESENTACION DE LOS DATOS

168

Los datos observados a menudo se presentan en la forma de un

diagrama de barras ó histograma. La altura y forma general del histograma

es útil para caracterízar los datos y permite la selección de una distribución

de frecuencia para ser aplicada a los datos; por ejemplo, la distribución puede

ser sesgada (oblicua) o simétrica. Utilizando como ejemplo los datos de

escorrentía, el rango de caudales se divide en intervalos de clase y el número

de observaciones (frecuencia) correspondiente a cada intervalo de clase es

tabulado. El ancho de cada intervalo de clase debe ser suficientemente

pequeño para que se pueda observar el comportamiento de los datos y a la vez

suficientemente grande para que el patrón no sea confuso. El valor utilizado

para los intervalos de clase puede alterar la impresión de los datos en el

observador; por consiguiente, este valor deberá poder ser alterado fácilmente

en los programas estadísticos de computadora de manera que los ingenieros

puedan comparar varias opciones. Panofsky y Brien (1968) sugirieron la

siguiente fórmula como una ayuda para la selección:

k = 5log,o(z)

donde k es el número de intervalos de clase y Í es el número de datos

observados. Los intervalos de clase no tienen que ser del mismo ancho, ya

que algunas veces es conveniente agrupar los datos en intervalos mas grandes

de ancho variable.


Una manera de discretizar los datos contínuos de flujo sería la de

asignar una variable discreta aleatoria a cada intervalo de clase. Cualquier

valor de caudal dentro de un intervalo de clase sería asignado al valor discreto

correspondiente al intervalo, generalmente el punto medio, el cual se

denomina marca de clase. En este caso la marca ó señal de clase se graficará

en el eje de las abcisas del histograma.

Si las ordenadas del histograma se dividen por el número total de

observaciones, el resultado se denomina frecuencirrelativa (probabilidad)

de cada intervalo de clase, de tal forma que la suma de las ordenadas sea igual

a 1, produciendo un método alternativo para graficar los datos. Para

comparar el ajuste de una distribución teórica a la distribución empírica, hay

que normalizar los datos; es decir, dividir la frecuencia relativa entre la

amplitud del intervalo de clase y el resultado recibe el nombre de frecuencia

relativa normalizada ó simplemente densidad. En el histograma de

densidad, el área total de la gráfica es igual a 1, lo cual corresponde al caso

teórico. Otra manera de presentar los datos es la distribución de la frecuencia

acumulada, la cual representa la suma de las frecuencias relativas del

histograma hasta un intervalo dado y es la probabilidad de que un valor

cualquiera a 1o largo de las abcisas sea menor o igual a la magnitud de ese

dato. Tanto las frecuencias relativas como las frecuencias acumuladas se usan

extensivamente en hidrología, lo cual será ilustrado en el siguiente ejemplo.

a


Ejemplo 21: Histogramas de Frecuencia.

L't 0

La siguiente tabla muestra los caudales máximos anuales registrados en

una estación de aforo en un río durante un período de 31 años. Construir los

histogramas de frecuencia relativa y acumulada.

Tabla: Serie Anual Máxima

AñoCaudal

Mríximofn3lseq)

AñoCaudal

Máximoln3 /seo)

1945 9 ,840 19 6r 6,260

L946 5, l-70 L9 62 1,360

L947 L,620 1963 1,000

L948 23s L9 64 2,770

t9 49 15, 600 ]-965 1 , 400

1950 4,740 :-966 3 ,2L0

19 51 427 L9 67 1, 1-l-0

1"952 3,310 1968 5,230

1953 4,400 L9 69 4,300

1954 7,760 t97 0 2,820

1955 2 , 520 L97 L 1,900

r-956 340 t97 2 3, 980

1957 5,440 L97 3 6,560

1958 3,000 L97 4 4 , 71,0

1959 3 ,690 L97 5 3,460

1960 1-0, 300


Solución:

L1L

a) Ordenamiento o clasificación de datos (de mayor a menor caudal):

Tabla: Datos Ordenados

Posición Caudal Posición Caudal

1 15,600 17 3,310

2 10,300 18 3,210

1 9,840 19 3,000

4 7,760 20 2,820

5 6,560 21 2,770

6 6,260 22 ') \x\

1 5,440 23 1,900

8 s,230 24 t,620

9 5,t70 25 1,400

10 4,'140 26 1,300

11 4,710 27 1,110

12 4,400 28 1,000

13 4,300 29 427

t4 3,980 30 340

15 3,960 31 235

16 3,460


b) Intervalos de Clase:

L'72

k = 5log,o (n) = 5log,o (31) = 7.45

Se utilizaran 8 intervalos de clase y vamos a considerar que el rango del

caudal es: 0 < Q < 16,000 pie3/seg; por 10 tanto, la amplitud (constante) de

cada intervalos de clase es:

LQ - 16'000-o = 2,oooPies3/seg8-

c) Cálculo de la Frecuencia, Frecuencia Relativa, Densidad y Frecuencia

Acumulada:

Tabla: Distribución de Frecuencias

Intervalo deClase

(p3lseg)

Marca deClase

(p3lseg)Frecuencia

FrecuenciaRelativa

DensidadFrecuencia

RelativaAcumulada

0 - 2,000 1,000 9 0.29 0.000145 0.29

2,000 - 4,000 3,000 9 0.29 0.000145 0.s8

4,000 - 6,000 5,000 7 0.23 0.000115 0.81

6,000 - 8,000 7,000 3 0.10 0.000050 0.91

8,000 - 10,000 9,000 1 0.03 0.000015 0.94

10,000 - 12,000 11,000 1 0.03 0.00001s 0.97

12,000 - 14,000 13,000 0 0.00 0.000000 0.97

14,000 - 16,000 1s,000 1 0.03 0.000015 1.00

Suma: n :31


0.30

0.25

0

0.1

0.1

L73

0.05

0.00246 '10 12 14 16

FRECUEHCIA RELATIVAHISTOGRAI|¡IA DE

4 6 810 12 14 16

FRECUENCIA RELATIVA ACUIIIULADA

CAUDAL

(10"p"/s)

FRECUENCIARELATIVA

ACUMULADA

1.0

0.8

0.6

0.4

o2

2

HISTOGRANA DE

Diagramas de Barra


CONCEPTOS DE PROBABILIDAD

r'74

Considere un experimento aleatorio discreto con n resultados posibles:

{ *,,, *",...., x" }. Los resultados son mutuamente excluyentes si dos

cualquiera de ellos no pueden ocurrir simultáneamente. También se dice que

son exhaustivos colectivamente si tienen en cuenta todos los resultados

posibles del experimento. La probabiüdad de un evento X, se pueden definir

como el numero de ocurrencias del evento después de un gran número de

ensayos. Esta probabilidad puede ser estimada de la siguiente manera:

P (Xt)n

donde q es el número de ocurrencias (frecuencia) del evento Xi en un total de

n experimentos. Por consiguiente n,/ n es la frecuencia relativa ó probabilidad

de ocurrencia de X,.

Una probabilidad discreta es simplemente la probabilidad de un evento

discreto. Si definimos P(X) como la probabilidad de un evento aleatorio X,,

las siguientes condiciones se satisfacen para las probabilidades discretas de

esos eventos cuando se consideran todos los N resultados posibles:

0 < P(x) < I

EPrx) = rt=l

n.I

Hidrología / David Cedeño 1-l5

La probabilidad de la unión (simbolizada por u) de dos eventos

mutuamente exclusivos Xr y Xz es la suma de las probabilidades de cada uno,

es decir:

P(\¿ x) = P(x) + P(x2)

Los eventos X, y Yr son independientes si la ocurrencia de uno no

afecta la ocurrencia del otro. La probabilidad de ü ocurrencia de ambos

eventos o intersección (simbolizada por n) cuando los eventos son

independientes es el producto de sus probabilidades individuales:

P(xtn Y) = P(x)' P(r,)

Para eventos que no son ni independientes, ni tampoco mutuamente

exclusivos, se cumple la siguiente relación:

P(4u Y) = P(x,) * P(rr) - P(\n Y)

La probabiüdad condicional de un evento X, después que el evento Y,

ha ocurrido es:

P(X, n yr )Pé,1Y,) =P(Y)

7

Hidrología / David Cedeño 1-1 6

Si los eventos X, y Y, son independientes, entonces:

Ejemplo 22: Probabilidad Condicional

Definimos X, como la condición de que lloverá en un día dado y Y,,

representa la condición de que habrá relámpagos "n-rr.r

díu cualquiera. Las

probabilidades de esos eventos son:

P(X,) 0.3 (probabilidad de lluvia : 30%)

P(Y,) 0.1 (probabilidad de truenos : l0%)

P(Y1 lX1) 0.25 (si hay lluvia,la probabilidadcondicional de truenos es de25%)

Calcular la probabilidad de que llueva y truene simultáneamente ese día:

P(\n Y) = P(\ I Xr) ,. P(Xr) = 0.25 x 0.3 = o.075

Además, la probabilidad de que llueva ó truene durante ese día es:

P(xtu Y) = P(x,) + P(Y) - P(4a Y)

P(Xl uY) = 0,3+0.1 -0.075 = 0.325

El comportamiento de una variable aleatoria discreta ó contínua se

puede describir por medio de su distribución de probabilidad. Podemos

asignar un valor numérico a cada resultado posible de un experimento de

acuerdo a una función de masa de probabiüdad (variables discretas) ó a una

función de densidad de probabilidad (variables contínuas).

En hidrología, las variables aleatorias -discretas se utilizan

corrientemente para describir el número de ocurrencias que satisfacen cierto

criterio; por ejemplo, el número de caudales de descarga que pasarán de

cierta magnitud (los cuales producirán inundaciones) ó el número de

tormentas que ocurren por año en una localidad.

Ocasionalmente, es conveniente tratar las variables contínuas de manera

discreta. Por ejemplo, en el caso de los caudales máximos (histogramas de

frecuencia) podemos utilizar las marcas de clase para describir la magnitud

del evento correspondiente a cada intervalo de clase. En este caso, si la

variable X representa los caudales discretos, podemos definir las

probabilidades de cada evento utilizando las frecuencias relativas:

P (Xt)


VARIABLES ALEATORIAS YPROBABILIDAI)

De acuerdo a los resultados

distribución de frecuencias), tenemos

discreto:

DISTRIBUCIONES

1-'7'7

DE

del ejemplo de histogramas (tabla de

las siguientes probabilidades en el caso

n.I


0.29

0.29

0.23

0.10

0.03

0.03

0.00

0.03

satisfacer los

L7B

axiomas de probabilidad

P(1,000)

P(3,000)

P(5,000)

P(7,000)

P(e,000)

P(l1,000)

P(13,000)

P(15,000)

Observe que estos valores deben

mencionados anteriormente :

< P(X) < I

P(Xt)

donde k es el número de intervalos de clase. Además, para probabilidades

discretas tenemos las siguientes relaciones:

P(a<X<b) = t P(X¡)a<Xéb

k

E

Hidrología / David Cedeño 1-7 9

Por lo tanto, podemos definir la función de distribución acumulada como:

F(x) = P(X<x) = E Pfx,lX,,,

Usando los valores de probabilidad anteriores, tenemos que:

F(s,000) = P(X <s,000) = P(1,000)+P(3,000)+P(s,000)

F(5,000) = 0.29+o.29+0.23 = 0.81

Las variables aleatorias contínuas se utilizan generalmente en hidrología

para representar los eventos de caudal, lluvia, volumen, profundidad y

tiempo. Los valores utilizados no están restringidos a números enteros, sin

embargo, muchas veces las variables contínuas se redondean a cantidades

enteras. Para una variable aleatoria contínua, el área bajo la función de

densidad de la probabilidad /(l) representa la probabilidad; es decir:

fP(Xt<X<X) = Jf?l¿xxL

La función de densidad de probabilidad no es una probabilidad por sí

misma y tiene unidades correspondientes al inverso de las unidades de la

variable X. Sin embargo, a diferencia de otros cálculos en ingeniería, estas

unidades generalmente se ignoran.

Por el contrario, la función de densidad acumulada es de mucho

interés ya que es una probabilidad. La función de densidad acumulada para

7


variables contínuas se define

discreta:

de manera similar

r_80

al caso de una variable

x,fF(Xt) = P(-- <X<Xt\ = Jf?¡¿x

Algunas propiedades de esta función incluyen:

o<F(x)<1.0

P(Xr<X<X) = F(X)-F(X)

Utilizando los datos de caudales máximos del ejemplo de histogramas

de frecuencia, podemos calcular algunas probabilidades considerando que el

caudal es una variable aleatoria contínua; por ejemplo:

P(Q<4,ooo) = o.s8

P(4,000<0<6,000) = 0.81 -0.58 = 0.23

P(Q>6,000) = r-P(8 <6,000) = 1-0.81 = o.le

A continuación, podemos observar que al dividir las frecuencias

relativas por la amplitud del intervalo de clase, obtenemos la densidad o

frecuencia relativa normalizada y el área total bajo el histograma de densidad

es 1 (una unidad), 1o cual satisface la siguiente definición para variables

aleatorias contínuas:

Hidrología / David Cedeño 1Bi

Area f(x) dx = I

por consiguiente, la densidad es equivalente a una función empírica de

densidad de probabilidad.

La selección del tipo de función de densidad de ia probabilidad para

representar los datos hidrológicos es difícil, ya que existen varias opciones

que se ajustan a la fbrma del histograma de densidad. En las siguientes

secciones describiremos aigunas de las funciones teóricas de densidad de

probabilidad más utilizadas para analizar variables hidrológicas.

Fig. 28: FUNCIOH DE 0EHSIDAD DE PROBAB|LIOAD.{para variables a lBato rias continuas}

r_J


MOMENTO DE T]NA DISTRIBUCION

L82

Una función de probabilidad de masa ó una función de densidad de

probabilidad son una forma funcional cuyo momento está relacionado con sus

pariárnetros; por lo tanto, si se pueden encontrar los momentos, entonces

también se pueden obtener los parámetros de la distribución. A su vez, los

momentos también nos indican la forma de la distribución.

Para una distribución discreta, el enésimo momento alrededor del

origen puede ser definido como:

¡¡Muo = \x,rtqx¡

i=l

y para una distribución contínua como:

El primer momento alrededor del origen es la media (¡,r) ó valor

promedio, el cual es el valor esperado y se denota como E(X). Por lo tanto

para una distribución discreta tenemos:

tv

E(n = | x,r1x,¡¿=1

Moo = I_: ,r f(x) dx


y para una distribución contínua:

183

E(x) = I:xf@)dx

La media es una medida de tendencia central y también se le llama

parámetro de localización, debido a que indica dónde está situado en el eje X

el centroide de la distribución.

La esperanza es un operador lineal, de tal ñrodo que si a y á son

constantes, se satisfacen las siguientes propiedades:

E(a) = a

E(bx) = b E(x)

E(a+bx) = ct+bE(x)

Los momentos de orden mayor generalmente no se necesitan. Sin

embargo, los momentos centrales alrededor de la media se pueden definir

para una función discreta de probabilidad de masa como:

Mk = E 6, - r,loptx,l¿=l


y para una función contínua de densidad de probabilidad como:

144

Estos momentos centrales representan el valor esperado de la diferencia

entre .r y el valor promedio pr, elevado a una potencia k. Es evidente que

el primer momento central es cero, debido a:

El segundo momento central se denomina varianza y es muy

importante en estadística, pues es una medida de la variabilidad. Para

variables aleatorias discretas tenemos:

¡/I/AR(X) = o2 = El(x - p)'l = E, tx, - F)2 p(x,)

j=l

Para variables aleatorias contínuas :

VAR(x) = o2 = EÍ(x - p)l'?l = I :" (x - r,)2 f(x) dx

Lavarianza es el valor esperado de la desviación al cuadrado alrededor del

promedio y represenúa la escala ó dispersión de la distribución. Una medida

Mk = [: (,-r,)'f(x)dx

[-"U-¡t)f(x)dx = [--xf(x)dx-u[:-f@)dx = 0

7


equivalente es la desviación est¿índar (o), la cual simplemente es la raíz

cuadrada de la varianza. Utilizando las propiedades de la esperanza, tenemos

el siguiente resultado:

Var(x) = EIQ-tt)21 = E(x2-2¡tx+1t2¡

Var(x) = E(r')-2pE(x)+¡t2 = E(x2)-p2

Var(x) = E(x')-lEQ)É

Observe que la varianza no es un operador lineal. Algunas relaciones

útiles incluyendo las constantes a y á son:

Var (a\ = 0

Var(b x) = b2 Var(x)

Var(a + bx) = b2 Vdr(x)

En estadística se pueden obtener momentos de mayor orden cuando se

necesiten, pero en hidrología el parámetro más utilizado corrientemente es la

asimetría (1), la cual se define como la razónentre el tercer momento central

y la desviación estándar elevada al cubo:

M3

o3

7


La asimetría y es el parámetro que define Ia forma de la distribución.

Observe que si la distribución es simétrica alrededor del promedio, la

asimetría es cero.

Algunas veces es conveniente tener una medida normalizada de la

dispersión de la distribución. El coeficiente de variación (CV) se define

como la razórentre la desviación estándar y el valor promedio:

CVF

Una medida adicional de tendencia central es la mediana (Xrr, la cual

no es un momento, pero representa el valor de X para el cual la función de

distribución acumulada es 1/2, es decir:

F (X^) = 0.5

Otro parámetro de interés ocasional, que tampoco es un momento, es

la moda de la distribución. Este es el valor de X para el cual la función de

densidad de probabilidad (o la función de probabilidad de masa) alcanza su

valor máximo. La relación entre el promedio, la mediana y la moda se

ilustra en la siguiente figura. La mayoría de las distribuciones de interés de

hidrología son unimodales, pero en algunas ocasiones se presentan

distribuciones mixtas que son bimodales.

Los momentos y parámetros analizados en esta sección se refieren a las

distribuciones de probabilidad fundamentales y se pueden derivar

7

AS IMETRICAS SESGO NEOATIVO

LA FUHCIOH DE DEHS¡DADFlG. 29: EFECTOS DE LA ASlfitETRlA EHDE trROEAEILIT]AD.

Hidrología / David Cedeño 1-8'l

analíticamente. Existen fórmulas generales para las frrnciones de probabilidad

de masa (discreta) y densidad de probabilidad (contínua) que se pueden

sustituir en las sumatorias ó integrales para evaluar los momentos en función

de los parámetros de la distribución. Estas relaciones proporcionan un

estimados de los momentos de lamétodo simple para obtener valores

distribución.

S I Ii4 ETR ICA

MODA

MEDIANA

[NEDIA

SESGO POS¡TIVO

MEDIA= MEDIANA = MODA

Hidrología / David Cedeño 1BB

ESTIMACION DE LOS MOMENTOS A PARTIR DE LOS DATOS

Si se conocen los valores numéricos para los parámetros de una

distribución, es posible generar una serie de variables aleatorias Xl, X2, ...Xo

que pertenecen a la función de probabilidad de masa (discreta) ó la función

de densidad de probabilidad (contínua). Dicha serie de longitud infinita

constituiría la población de todas las variables aleatorias que pertenecen a las

funciones mencionadas cuyos parámetros deflnen los momentos.

Los datos hidrológicos observados a menudo -son el resultado de una

mezcla de procesos físicos (por ejemplo, la escorrentía es el resultado de la

precipitación) y por 1o tanto incorporan una combinación de distribuciones de

probabilidad. En adición, los datos observados están sujetos a errores de

medición y no se ajustarán perfectamente a cualquier distribución. Por 1o

tanto, los valores de los momentos para la población total calculados a partir

de los datos permanecerán desconocidos. Sin embargo, se pueden obtener

estimaciones de dichos valores a partir de los datos observados para los tres

momentos de mayor importancia en hidrología. Si el número de

observaciones independientes de una variable aleatoria representa el tamaño

de la muestra n, entonces una estimación de la media ó valor promedio, será:

¡i=x

Los momentos de mayor orden pueden estar sujetos a desviaciones

parciales en sus valores estimados. Una estimación imparcial es aquella para

Ex,r=l

7


la cual el valor estimado de la muestra es

población. Por ejemplo, se puede demostrar

es una estimación imparcialparc p.

189

al valor esperado de la

16l = tt ; por lo tanto x

igual

que

iE(n = Elt

E (X)

I yr,ll ¡=l

Ei-l

E (Xt)

I g nrL¡t=11 ¡=t n _

E, 6,i=l

- i)'62 = 52n-1

x,' - "fn-l

Donde el divisor n - I (en vez del valor intuitivo de n) elimina la

desviación parcial; es decir: E(,s') = o2. Observe que para muestras más

grandes un divisor ígaal a n produciría casi la misma respuesta; pero en la

práctica se prefiere el estimador imparcial.

Debido a que los momentos estimados son una función de variables

aleatorias, estos resultan también variables aleatorias. La varianza de la

estimación del promedio se puede calcular de la siguiente forma:

Á'2

Var (X) ó'2

7


Por lo tanto, si interpretamos la varianza del promedio como una

medida del error en la estimación del promedio; ésta se reduce al incrementar

el tamaño de la muestra. Esta proposición generalmente es válida para todas

las estimaciones de momentos.

La asimetría presenta problemas especiales debido a que involucra la

sumatoria de las desviaciones al cubo de la media y por consiguiente está

suj eta a errores más grandes en su evaluación. Una estimación imparciai

aproximada es el coeficiente de asimetría:

cs,=f (X,-E(n-r)(n-2)

Desafortunadamente, la corrección apropiada para la parcialidad

depende de la distribución respectiva. Una corrección para C^S, que se

utiliza en la distribución Pearson Tipo 3 es:

¡'3E

CS,

El valor corregido también se puede tttlizar con reserva en las otras

distribuciones cuando se requiera este parámetro. La estimación de la

asimetría calculada con la última fórmula se denomina estimación en sitio, lo

cual significa que la estimación incorpora solamente datos de un solo registro

de mediciones.

Las cuencas en desarrollo, con niveles variables de urbanización y

deforestación, presentan un problema muy difícil en la estimación de los

( ,* u).r,n)

7


momentos debido a que la escorrentía tiende a aumentar con el tiempo. Por

lo tanto, las distribuciones de frecuencia pueden ser no estacionarias (varían

con el tiempo). En esta situación, se puede utllizat la simulación por medio

de modelos utilizando programas de computadoras para desarrollar

distribuciones de frecuencias para caudales en cuencas urbanas para una

condición dada de desarrollo.

Ejemplo 23: Momentos de una Serie Anual Máxima

Utllizar la serie de 31 años de caudales máximos registrados en la

estación de aforo, usada anteriormente en el ejemplo de los histogramas de

frecuencia, para evaluar la media y la desviación estandar de los datos

originales y transformados; además, estimar la asimetría corregida.

Observación:

En la estimación de los parámetros se utilizaron 1os datos originales:

x--oy transformados de la siguiente manera:

Y = LoCro (Q)

Estos valores se muestran en la siguiente tabla, al igual que los

resultados de las diferentes sumatorias obtenidos por medio de una hoja

electrónica de cálculo.


Tabla: Datos Originales y Transformados(Tamaño de la Muestra: n : 31)

Año Caudal: X = Q Y:LogQ1945194619471948194919501951

t9s21953t9541955

195619571958195919601961

t9621963t9641965t96619671968t969t970t97tt972t973t974t975

9,8405,1701,620

23515,6004,740

4273,3104,4007,1602,520

340s,4403,0003,690

10,3006,2601,3601,0002,7701,4003,2101, 110

s,2304,3002,8201,9003,9806,5604,7103,460

3.9933.7133.2102.3714.t933.6162.6303.5203.6433.8903.4012.53r3.7363.4713.5674.0t33.7973.t343.0003.4423.1463.5073.0453.1t93.6333.4503.2'793.6003.8t73.6733.539

Sumatorias:Ex : 128,462Ex' :861,184,754E1x-l¡': 1.690188x10"

Ey : 107.3454EY' : 377.0935E(v-i)' : - 1.9956


Solución:

a) Media:

b) Yariarza:

193

x = Li *, = +- e2q462\ = 4,t43.e4p3/sn i4 31

I = Lf t, = + U07:4s4) = 3.462sn ¡ --t 3l

s; = ;+ln,t-,,']E'= +ls6t,ts4,7s4 -3rx q+t+t.o+¡2

1

S"' = 10,961,550 .46 p6 /s2

s'2 - I li",-,/fv n-r l7-' l

,s,,t - I p77.og3s -3rx 12.+azt¡21 = 0.1794' 30


c) DesviaciónEstándar:

,s= = 3,310.82 p3 /s

= 0.4236

Ii.;', - x)'n í=l

10/1'

d)

s=v

Coefi ciente de Asimetría:

cs.

c.s-

(n-I) (n-2) .'3J

31 7.6902 x 7012

?Ox29 (3,3 10.s2)3

,s3v

I

l

Et=l

= 1.659

g, - f)'cs.ty (n-r)(n-2)

31 - 1.9956c.s.ty - 0.936

(30 " 2e) (o.4?3q3

10,96 1,5 5 046

0.1794


e) Asimetría Corregida:

195

cs, = ('.*).',

cs", = ( r . 6 )' (r.65e) = 1.e8r\ rl /

cs,., =(r.6'l "(-0.e36)= -r.n7¿Y \ ¡t /

AJUSTE DE T]NA DISTRIBUCION A LOS DATOS

Un uso intuitivo para la estimación de los momentos es el ajuste de la

distribución de probabilidad a los datos por medio de la igualación de los

parámetros estimados obtenidos de los datos a la forma funcional de la

distribución. Por ejemplo, la distribución normal tiene dos parámetros:

Media ¡r y Yarianza o2; el ajuste por el método de momentos para la

distribución normal simplemente estima los valores:

0=O y 6=so

utilizando los resultados obtenidos para el valor promedio y la desviación

estándar en el análisis de la muestra.

7


Los métodos gráficos y el método de probabilidad máxima son los dos

procedimientos altemos al método de momentos para ajustar las distribuciones

a los datos. A pesar de que estadísticamente se ha observado que el método

de probabilidad máxima es superior al método de momentos, generalmente

es mucho más complicado de calcular que el método de momentos y por Io

tanto se encuentra más allá de esta introducción a la hidrología estadística.

El objetivo principal de determinar los parámetros de una distribución

es el de evaluar la función de densidad acumulada.- En algunos casos, se

puede lograr el mismo objetivo sin calcular los parámetros actuales de la

distribución. En lugar de eso, la distribución es evaluada utilizando el factor

de frecuencia K, el cual se define como:

K X_Xs,

El valor de K es una función del valor deseado para la función de

densidad acumulada y también dependen de la asimetría. Por lo tanto, si se

conoce el factor de frecuencia K para el valor deseado de la función de

densidad acumulada y la asimetría, se puede obtener el valor correspondiente

de X, de la siguiente manera:

X = X+KS,

Posteriormente durante el análisis de diferentes distribuciones de

probabilidad, se ilustrará el uso de los factores de frecuencia K.

7


PERIODO DE RETORNO O INTERVALO DE RECT]'RRENCIA

La manera mas común en hidrología para indicar la probabilidad de un

evento es la asignación de un período de retorno ó intérvalo de recurrencia

para ese evento. El período de retorno se define de la siguiente manera:

Un evento anual m.áximo tiene un período de retorno (ó inténalo de

recurrencia) de T años sí su magnítud es igualada ó excedída, en promedio,

cada T años. El recíproco de T es la probabilidad de que el evento será

igualado ó excedido en un año cualquíera.

Por consiguiente, la inundación con un período de retorno de 50 años,

tiene una probabilidad de 0.02 ó 2% d,e ser igualada ó excedida un año

cualquiera. Es importante señalar que el período de retorno no implica nada

acerca de las secuencias en el tiempo de los eventos hidrológicos. Esta

inundación de 50 años no ocurre una vez cada 50 años; por el contrario, se

debe esperar que ocurran, en promedio, aproximadamente 20 inundaciones

con un período de retorno de 50 años durante los próximos mil años. Por

ejemplo, suponiendo que los eventos sean independientes, podrían ocurrir dos

inundaciones con un período de retorno de 50 años en dos años consecutivos

y ésta secuencia de eventos tendría Ia siguiente probabilidad de ocurrencia:

P(Qrol Qr) = P(?r) " P(Qs) = 0.02 x 0.02 = 0.0004

El concepto de período de retorno implica eventos independientes y

generalmente se obtiene analizando los datos de una serie de aaudales

a


máximos anuales (ó precipitación máxima, etc). El evento de mayor

magnitud en un año dado, se asume que es independiente del mayor evento

en otro año cualquiera. También es posible aplicar dicho análisis a los n

eventos independientes mayores en un intervalo de z años, sin considerar el

año en que ocurrieron los mismos. En este caso, si el segundo evento en

magritud en un año es más grande que el evento de mayor magnitud en otro

año, este se debe incluir en el análisis de frecuencia. Esta serie de los n

valores mayores (independientes) se denomina Seriede Excedencia Anual,

en oposición a la Serie Anual M¡íxima. Ambos tipos de series se utilizan en

hidrología, con muy pequeñas diferencias en los eventos con períodos de

retornos grandes (eventos raros). Existen más problemas asegurando la

independencia de los eventos cuando se utiliza la serie de excedencia anual,

pero para los eventos con períodos de retorno bajo, esta serie produce

resultados más realistas para los períodos de retorno de eventos con la misma

magnitud que cuando se utiliza la serie de valores máximos anuales. Según

Chow (1964), la relación entre los períodos de retorno basados en Ia

excedencia anual I" y los valores máximos f es:

TLn(T^)-Ln(T.-l)

Otra opción para el análisis es la de ttllizar todos los datos registrados

en la serie histórica sin considerar la independencia de los eventos. Esta serie

se denomina Serie Completa y un ejemplo típico es el registro diario de

caudales, la cual se úllizará para determinar los caudales máximos anuales

7


y los caudales de excedencia anuales. La información de frecuencia obtenida

de las series completas generalmente se muestran en una curva de duración

de caudales (Searcy, 1959), la cual es una gráfica de la magnitud del caudal

en función del porcentaje del tiempo que este valor del caudal es igualado o

excedido. La información obtenida del análisis de la serie completa no se

puede relacionar directamente con los períodos de retorno debido a que los

valores registrado en la serie completa no son independientes necesariamente.

CAUDAL

Fig.3O: Cun/a de Duración

Los períodos de retorno pueden ser asignados a eventos mínimos (por

ejemplo: sequías) de una manera completamente análoga, pero la

interpretación "igualado ó excedido" significa "igual ó más severo que esta

magnitud". Por consiguiente, un caudal bajo de 20 años es aquel que tiene

una probabilidad óe 5% de que la magnitud del caudal en un año cualquiera

será menor ó igual a este valor.

7o del tiempo en que el caudal es superado


CLASIFICACION DE LOS DATOS

200

Para graficar los caudales ó cualquier otro dato hidrológico, primero

debemos ordenar los valores desde t hasta n (numero de años registrados) en

orden decreciente de magnitud (eventos extremos de inundaciones). Es decir

que el dato de mayor magnitud tendrá una posición m : I y el de menor

magnitnd tendrá una posición m : n. El rango ru y el número de años n se

ttlllzaúnpara calcular la posición de los datos y para efectuar una estimación

empírica de la frecuencia Fy el período de retorno i.En hidrología la clasificación de posición más común para obtener el

período de retorno ( I ) es por medio de la fórmula de Weibull:

T= n+1

por consiguiente, la frecuencia ( F ) es:

D-rfrn+7

Observeque: F(Q) = P(Q<Q) = I - P(Q>Q)i porloranro

se satisface la siguiente relación: 1/1 = P(Q , Q).El procedimiento

anterior fue analizado en detalle por Gumbel (1958); sin embargo, la

venerable fórmula de Weibull ha sido ampliamente criticada debido a que no

proporciona una estimación adecuada para la función de densidad acumulada

de tal manera que el valor esperado E(¡') sea igual al valor teórico para los

datos observados de mayor magnitud, escogido entre el total de ,? muestras

1- I

T

Hidrología / David Cedeño 20r

para cualquier distribución; exceptuando la uniforme. Es decir, que las

distribuciones corrientemente usadas en los análisis hidrológicos para estudios

de frecuencia producen un valor desviado ó parcializado para la frecuencia F

al utilizar la formula de Weibull. Gringorten (1963) propuso una forma

generalizada para tratar de corregir estas deficiencias; sugiriendo las

siguientes fórmulas para el período de retorno y la frecuencia:

n+1-2aT

m-a

m-aF = 1-n+7-2a

donde el valor del parámetro a depende de la distribución: es igual a0.375

para la distribución normal ó log normal, 0.44paru la distribución de Gumbel

y se sugiere el valor de 0.40 para éste parámetro, como un compromiso

adecuado para las situaciones en que se desconoce la distribución exacta de

la muestra. A pesar de que las últimas fórmulas son mejores desde el punto

de vista teórico, la formula de Weibull todavía goza de gran aceptación en

hidrología.

Eiemolo 24: Período de Retorno y Frecuencia

Usar la fórmula de Weibull con los datos de caudales máximos

registrados en la estación de aforo (utilizados en diferentes ejemplos

desarrolados en esta sección) para encontrar el período de retorno y la

frecuencia.

7


Solución:

En la siguiente tabla se muestran los caudales ordenados de mayor a

menor magnitud, mostrando su período de retorno utilizando la formula de

Weibull:

- n+l1-

m

y la frecuencia evaluada de la siguiente manera:

F = l- 1

T

Tabla: Cálculos

Posiciónm

Caudal

Q (p3ls)Período de Retorno

T (años)Frecuencia

F

1 15,600 32.00 0.969

2 10.300 16.00 0.938

3 9,840 14.67 0.906

4 7,760 8.00 0.875

5 6,s60 6.40 0.844

6 6,260 s.33 0.813

7 5,440 A<1 0.781

8 5,230 4.00 0.750

9 5,170 3.56 0.119

10 4,740 3.20 0.688

7


Tabla: Continuación

m a T F

11 4,710 2.9t 0.6s6

12 4,400 2.67 o.625

13 4,300 2.46 o.s94

14 3,690 2.29 0.562

15 3,5 80 2.r3 0.531

16 3,460 2.00 0.500

l7 3,310 1 ,88 0.469

18 3,2r0 1.78 0.438

19 3,000 1.68 0.406

20 2,820 1.60 0.315

2l 2,770 t.52 0.344

22 2,520 r.46 0.313

23 1,900 1.39 0.281

24 t,620 1.33 0.250

25 1,400 t.28 o.219

26 1,360 t.23 0. 188

27 1,110 1. 19 0.156

28 1,000 t.t4 0.12s

29 427 1.10 0.094

30 340 1.07 0.063

31 23s 1.03 0.031


1.mlD

0.cm

0.&m

0.7(m

0.dm

0.sm

0.¡fm

0.cm

o2lp

0.1(m

o^{rm

ctl!{oz5(,

-t¡¡ÉIL

6{m gno rm 1ffi f 4mc tDlL(cD

FlG.31: FUNCION DE DENSIDAD ACUMUIáDA (OJIVA)

244

I,"""-'

r'aI

7I/

I./

II¡LitI

I/

ryIII

J/

7


MODELOS PROBALISTICOS COMT]NES

245

En hidrología se utilizan muchas funciones de probabilidad de masa

para variables discretas y funciones de densidad de probabilidad para

variables contínuas, pero solamente se van ha describir en esta sección las

más comunes. Es muy difícil reducir el número de distribuciones para

variables contínuas, ya que se pueden seleccionar diversas funciones para el

análisis de caudales máximos; sin embargo, las más comunes son:

Distribución Normal, Log Normal, Gamma (de 2-parámetros), Pearson

Tipo 3, Log Pearson Tipo 3 y Gumbel ó Valor Extremo Tipo I. En

adición a las funciones anteriores, se incluirá Ia definición de Distribución

Binomial para variables aleatorias discretas y la Distribución Exponencial

para variables contínuas debido a su simplicidad para ilustrar algunos

conceptos de probabilidad.

A menudo, el objetivo de un análisis discreto es asignar probabilidades

para el número de ocurrencias de un evento, mientras que el objetivo de un

análisis contínuo es el de determinar la probabilidad de la magnitud de un

evento. En el caso discreto, puede existir interés en la función de

probabilidad de masa y en la función de distribución acumulada; mientras que

en el caso contínuo, el valor de la función de densidad de probabilidad solo

nos permite comparar el ajuste de la distribución teórica a la distribución

empírica, mientras que la función de densidad acumulada para las variables

aleatorias contínuas nos define la probabilidad de ocurrencia de los eventos.

7

t\

q

. lc¡r,lA '*la*llrt1n

b

la* l:r ¿x*

Ill

.nqllil6l ,- lllll\(dl llrrlñl

oA*

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DISTRIBUCION BINOMIAL

204

Es muy común examinar ura secuencia de eventos independientes para

la cual el resultado de cada evento puede ser éxito o fracaso; por ejemplo, la

inundación con un período de retorno de I años ocurre o no. Esta secuencia

consiste en ensayos independientes de Bernoulli, para los cuales la

probabilidad de éxito de cada ensayo es una constante igual a la fracción p.

Utilizaremos la distribución Binomial para averiaguar cuál es Ia probabilidad

de que ocurran exactamente x éxitos en n ensayoi de Bernoulli. Observe

que ésta será la única distribución de tipo discreto analizada en esta sección

y la misma se utilizada en algunas ocasiones en Hidrología, especialmente

para definir el riesgo y la confiabilidad de un proyecto.

La probabilidad de que ocurran r éxitos seguidos por ( n - x )fracasos es el producto de las probabilidades de ocurrencia de éxitos p y

fracasos: S : (1-p) en los n eventos independientes; es decir:

p' (l - p)'-'

Pero los ensayos de Bernoulli representan una secuencia posible para la

ocurrenciade .r éxitos y (n-x ) fracasos; por lo tanto debemos considerar

todas las secuencias posibles, incluyendo aquellas en las cuales los éxitos no

ocurren consecutiv¿rmente. El número de combinaciones ó maneras posibles

de escoger ir eventos entre los n posibles resultados ésta dado por el

coeficiente binomial:

nlxl (n - x)l


La probabilidad deseada es el producto de la probabilidad de cada una

de las secuencias y el número de maneras en que pueden ocurrir las

secuencias; por 10 tanto, el resultado (función de masa de probabilidad) es la

Distribución Binomial:

p* (l - p)n' ; V¡ = 0,1,2,3,...,n

La notación B (n,p) indica una distribución Binomial-con parámetros n y p.

Para éste tipo de distribución, la media ó valor esperado es:

t¡ = E(x) = nP

la varianza es:

02 = Var(x) = np(1 -P)

y la asimetría es:

| - 2p

Lnp (r - p)l%

En la expresión anterior se puede observar claramente que la distribución es

simétrica si la probabilidad de éxito es p : 0.5. En este caso en particular,

la función de distribución acumulada es:

(;)

F(x) = P(x<x) = l(",)o,r-o¡b-t)

7

Hidrología / David Cedeño 2L0

La evaluación de la f,rnción anterior es tediosa para valores grandes de

n y valores intermedios de x, pero afortunadamente existen tablas en los

libros de estadística con los valores calculados para F(x).

RIESGOS Y CONFIABILIDAD

Enuna secuencia de n años, ¿cuál es la probabilidad de que el evento

con un período de retorno Z ocurra solamente una vez? La probabilidad p

deocurrenciadel evento enun año cualquiera es h f?acción p : I I T y el

número de ocurrencias en la secuencia de n años es B (n,p). La probabilidad

de que el evento ocurra al menos una vez en n ensayos se denomina Riesgo.

Este valor se puede calcular rápidamente considerando que riesgo es igual a

1 menos la probabilidad de que el evento no ocurra en n años; es decir:

Riesgo = 1-(1 -p)'= I

Por otro lado, la Confiabilidad se define como 1 menos el riesgo; por lo

tanto tenemos la siguiente expresión:

Confiabilidad= (l-pf

(' +)'

(' +)'Los conceptos de riesgo

hidrológico, especialmente

hidráulicas.

y confiabilidad son importantes en el diseño

durante las etapas de construcción de obras


Ejemplo 25: Diseño de Ataguías

21-].

Se va a construir una ataguía para proteger una urbanización en una

planicie de inundación mientras se completa un proyecto de canalización. La

afagtría se diseñara para una inundación que tiene un período de retorno de 20

años y el proyecto de canalización requiere 3 años para ser terminado.

Describir el proceso estocástico y calcular las siguientes probabilidades

durante la construcción del proyecto

a) El nivel del agua sobrepasará la ataguía en un año cualquiera.

b) La ataguía contendrá la inundación de diseño (Confiabilidad).

c) El nivel del agua sobrepasará la ataguía exactamente una vez.

d) La ataguía será sobrepasada por lo menos vnavez (Riesgo).

e) La ataguía será sobrepasada solamente durante el último año.

Solución:

En este análisis se va ha investigar el éxito ó fracaso del ataguía para

contener los niveles de inundación; por 1o tanto se trata de un caso discreto

y el proceso se puede definir por medio de una distribución binomial:

B(n,p) = B(3,00s)

donde donde n es la duración de la construcción en años y la proporción

p es el inverso del período de retorno Z.

7


Cálculo de las Probabilidades:

a) La ataguía falla en un año cualquiera:

P(o>o..,\ = D - I - I = o.o5ry drteno. . T 20

b) Confiabilidad de la ataguía:

Confiabilidad= q' = (l -P)'

Confiabitidad = (l -0.0s)3 = (0.95)3 = 0.86

c) La ataguía falla exactamente una vez en tres años:

21-2

F(x=r) = f''l p'(r-p)(n-x' = f ''l p0-p)2\ *i \ I /

F(x=r) = +; (0.05) (0.e5), = 0.135

d) Riesgo de la medida de protección:

Riesgo= l-Confiabilidad= l-0.86 = 0.14

e) La ataguía falla durante el último año (regla de multiplicación):

Prob = qxqxp = (r-p)"p = (0.9s)2(0.0s) = 0.045

7


DISTRIBUCION EXPONENCIAL

f(t) = ),eL';

La media de la distribución es:

21-3

Considere una secuencia de sucesos aleatorios, de tal manera que los

eventos son independientes, el proceso es estacionario (es decir, los

parámetros del proceso no cambian con el tiempo) y no es posible tener más

de una ocurrencia del evento en cualquier instante. Estas condiciones

describen un proceso de Poisson, el cual es representativo los eventos de

tormentas. Si la variable aleatoria / representa el intervalo de tiempo entre

los eventos, se pueden decir que la variable f tiene una distribución

exponencial con la siguiente función de densidad de probabilidad:

l> 0

t.r = E(t)

y la varianza es:

a2 = Var(t)

Esta distribución tiene la propiedad característica de que su promedio

es igual a su desviación estándar; por 10 tanto, el coeficiente de variación es

CV : l. La distribución es obviamente sesgada hacia la derecha, con una

asimetría constante y : 2.

_1L

,)

7


La función de densidad acumulada se puede evaluar analíticamente,

integrando la función de densidad de probabilidad; es decir:

F(f) = Jo' , exp (- )" t) dt = I - exp(-1. /)

En la expresión anterior, es evidente que cuando t : * ,la función de

distribución acumulada es: F(-) = 1; 1o cual satisface una de las

propiedades de este tipo de función, ya que el área total bajo la función de

densidad de probabilidad debe ser igual a la unidad y representa la

probabilidad de todo el espacio muestral.

La distribución exponencial puede ser manipulada fácilmente en forma

analítica y en consecuencia se utiliza algunas veces para aproximar

distribuciones asimétricas más complejas. También se emplea ocasionalmente

para encontrar la correspondencia entre la precipitación total en la cuenca y

el caudal en el río; pero se utiliza más a menudo para obtener los intervalos

de tiempo entre los eventos. Algunas funciones de distribución estrechamente

relacionadas con Ia distribución exponencial son la distribución de Poisson,

la cual define el número de ocurrencias en el tiempo / y la distribución

Gamma, la cual define el intérvalo de tiempo entre k eventos.

Ejemplo 26: Intérvalo de tiempo entre tormentas

Durante el transcurso de un año, ocurren aproximadamente 110 eventos

independientes de tormentas en cierta localidad, con una duración promedio

de 5.3 horas cada una. Describir el proceso ignorando las variaciones

a

Hidrología / David Cedeño 2]-5

durante las estaciones del año y calcular algunas probabilidades, las cuales se

van a definir posteriormente.

Solución:

El proceso se puede describir utilizando una distribución exponencial,

la cual tiene las siguientes funciones de densidad de probabilidad f (t) y

densidad acumulada F(t) :

f(t) = )'e-L'; t>o

F(t) = I - exp(-.1.r)

El intérvalo de tiempo promedio (en horas) entre eventos de tormentas

en un año es (1 año : 8,760 horas):

_ 8,760 - 110 " 5.3t=ff=743hr

El parámetro I de la distribución exponencial está relacionado con el

valor promedio anterior, ya que:

E(t) - I)L

Por lo tanto, utilizando el método de momentos, tenemos:

.r. = 1 - 1 = o.or35hrlr 74.3

7


Probabilidades:

a) ¿Cual es la probabilidad de que existan al menos 4 días (96 horas) entre

tormentas?

P(t>96hr) = r -F(96) = exp(-0.0135x9ó) = 0.27

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo entre dos tormentas sea

exactamente igual a 12 horas ?

P(t=t2hr) = F(12)-F(12) = 0

Observe que la probabilidad de que una variable aleatoria contínua sea

exactamente igual a un valor específico siempre es cero.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la separación entre dos tormentas sea

menor ó igual a 12 hr?

P(t<12hr) = F(12\ = 1-exp(-0.0135x12)

P(t<l2hr) = l-0.85 = o.l5

7


DISTRIBUCION NORMAL

211

La Distribución Normal también se conoce con el nombre de

Distribución de Gauss y es de fundamental importancia en probabilidad y

estadística. Una razón de esto, es que el Teorema del Límite Central

establece que bajo condiciones muy generales, la distribución de la suma de

una gran cantidad de variables aleatorias se puede aproximar a una

distribución normal, independientemente de de la distribución verdadera de

la muestra. Muchos procesos físicos se pueden ide-alizar como la suma de

procesos individuales; por lo tanto, la distribución normal encuentra muchas

aplicaciones en hidrología y otras aéreas de estadística, tales como prueba de

hipótesis, intérvalos de conflanza y control de calidad.

La función de densidad de probabilidad para la distribución normal

(curva en forma de campana) es la siguiente:

f (x'l - (x - tt)' -oo < f < oo

, lt; 2a2

Los párametros de la distribución son el promedio p y la varianza o2; las

variables aleatorias que tienen esta distribución se denotan como N(¡r, o2).

Debido a la naturaleza simétrica de la distribución normal, esta no es

adecuada para analizar eventos extremos, tales como caudales máximos; pero

es satisfactoria para describir totales anuales.

.,.0 | l


La evaluación de la función de la densidad acumulada requiere un

cambio de variable:

z = (¡ - t¡)o

Donde z es la variable normal estandarizada y tiene una distribución N (0, 1);

entonces la función de densidad acumulada para la variable transformada es:

F(z) = |

Desaforhrnadamente, esta integración no se puede efecfuar fácilmente,

pero existen tablas de F(z) en función de la variable z enla mayoría de los

libros de estadística. Obsérvese que la variable estandarizada e corresponde

al factor de frecuencia ft utilizado en otras distribuciones. La magnitud de -r

para un período de retorno dado, se puede encontrar fácilmente utilizando el

siguiente procedimiento :

1- Calcular la Función Normal Acumulada: F(Z) = 1 - I lT

Obtener el valor de Z en una Tabla de Distribución Normal

Entonces: X = X+2.5"

1

J-

/ "\1 I -u'lexr.tl

-l

du,lt; '\ 2 )


F(z)

0.0t 0.02

Función de l)istribución Normal Acumulada

279

0.521e 0.5279 0.51t90.5ó.16 0.56?5 0.57 t40.6026 0.6064 0.6 t0_1

0.6406 0.6441 0.64800.617: 0.6808 0.6$44

0.7 D1 0.7t57 0.7190 0.ltt40.7454 0.7486 0.7i I7 0.7:tS0.7164 0.1194 t).7821 0.78_i:0.8051 0.8078 0.810ó 0.81i l0.81l5 0.3J¿0 0.8i65 0.8189

0.85i¿ 0.85770.8770 0.87900.8962 0.89800.9tJ I 0.91470.9219 0.9292

0.8599 0.36: I

0.88 r0 0.33i00.8997 0.901i0.9162 0.91770.910ó 0.9,119

0.9406 0.9418 0.9429 0.94,1t0.q5ti 0.9525 0.9515 095J:0.4608 0.96 t6 0 qó25 n.gólj0.9686 0.969t 0.9699 0.910ó0.9750 0.9156 0.9?61 t\.91610 qRoJ 0.s80R 0.s8 t 2 o 98 I 7

0.9846 0.9850 0.9854 0.98570 9RR I 0.98R4 0.'rr87 0 o!9t)0.9909 0.991 I 0.99tJ 0.991ó0.991r 0.9912 0.9914 0.99,\60.9948 0.9945 0.9951 0.9ci20.996 r 0.9962 0.996J 0.996.r0.997t 0.9971 0.9973 0.99140.99?9 0.9979 0.9980 0.9q810.9985 0.9935 0.9986 0.99860.9989 0.9989 0.99q0 0.9990

I _,, )""nl , )aw

001 004 0.0i 0.06

0.00.t0.10.1

0.1

0.50000.5198

0.57910.6 l]90.6554

0.69 r50.12570.75800.76310.8ri90.84r l0.86410.88490.90J 2

0.9r92

0.91320.9452

0.9i540.96410.97r1

0.91120.98210 986r0.98910.9918

0.99180.99.r3

0.99ós0.99 t40.9981

O.998 t'

0.i lt00.55t70.59t00.6i930.6664

0.70 '90.7357

0.16130.19610.82 !8

0.5i590.57510.6rJl0.6ir70.6879

0.504c 0.50800.5138 0.5.¡;'80.J812 0.58710.6211 0.62550.6591 0 6613

0.6950 0.69850.7291 0.71t40.76 0.764.1

0.7910 0.79190.8186 0.8212

0.5 r60 0.J t990.5557 0.j5960.594S 0.i9870.611! 0.61680.6700 0.61i60.7054 0.10880.7389 0.i422o.iiíi; 0.71310.799i 0.802109264 0.3289

0.3508 0.351I0.8729 0.8749r).8q25 0.39440.9099 0.9 t r50.925 r 0.916s

0.9.182 0.93940.9495 0.95050.959r 0.95990.9611 0.96780.9718 09744

0.9193 0.91980.9818 0.98420.9875 0.98780.9904 0.99060.9927 0.9929

0.9945 0.99460.9959 0.99600.9969 0.9970rr.99.17 0.99780.9984 0.99840.9988 0.9989

0..i0.6

0.10.80.9

1.0

Llt.2LJ1.4

t.5t.61.7

t.8t.9

2.02.1

2.2

2.1

2.4

2.5

2.62.1

2.8

?.9

1.0

0.3418 0.8461 0.84850.86ó5 0.8686 0.87080.8869 0.8838 0.89070.9049 0.9066 0 9082o.9zo7 0.9222 0.9:360.9145 0.915? 0.91700.9463 0.9414 0.94840.9564 0.9571 0.95820.9ó49 0.96i6 t\.96640.9719 0.9126 0.9132

0.9't't8 0.978J0.9826 0.98100.9864 0.98680.9896 0.98980.9920 0.9922

0.97880.98140.98110.990t0.9925

0.9940 0.99¿ I 0.99410.9955 0.9956 0.99510.9966 0.9961 0.9s680.99?5 0.9976 0.99"t10.9982 0.9982 0.9e8.1

0.9987 0.9987 0.9988


Eiemplo 27: Distribución Normal

Emplear la distribución normal en combinación con los datos de

caudales máximos registrados en la estación de aforo (utilizados en los

ejemplos anteriores desarrollados en esta sección) para calcular:

a) El caudal con período de retorno de 100 años (Q,oo).

b) La probabilidad de que el caudal será menor ó igual a 10,000 pies3/seg

y su respectivo período de retorno.

Solución:

Los parámetros de la distribución normal estimados en términos de los

momentos de la muestra son:

É = O = 4,744p3/s

ó = sa = 3,311 p3 ls

y la tunción de densidad de probabilidad es:

220

I -.1f(e\ = ---="*nl-t0-9r'¡ -*<e<*

sotfzr" L ,sn" ]

a) Caudal para un período de retorno T : 100 años:

F(Q,oo) = 1- L = t- ,# = o.ee

Hidrología / David Cedeño )41

Interpolando en las tablas de distribución normal acumulada, tenemos:

Z = 2.326

Por lo tanto la magnitud del caudal es:

Qroo = Q+Z'Sn = 4,144+2.326x3,3 11 = 11,850p3/s

b) Variable Normal Estandarizada:

z = O-O - 1o'ooo-4'144 = 1.769so 3,3 1l

Utllizar las tablas de la distribución normal acumulada para obtener:

F(Z) = F(1.76e) = 0 9615; por consiguiente, la probabilidad es:

P(8<1O,OOOp3/s) = F(Z) = 0.9ó15

y el período de retorno para un caudal Q : 10,000 pies3/seg es:

_lI_

1 ^- _= Zb AnOSr-F(z) 1-o.eóls

Observación:

La Distribución Normal no se ajusta satisfactoriamente a los datos de

caudales máximos registrados (histograma de densidad) debido a la asimetría

de la distribución empírica.

J

H4{!¡

ÁY.az<;JEÉ<t: d&¡..(,g9Añur¡ti<44

úaÁi¿fJf¡¡Zi!o4.ñco

=dtr¡iúb¡áñE?¡áf-l ZÉ, i¡j

?,Á FVzUX)2.!E¿.oQ ++{óqq4sBHHgHgHÉÉfi€EREEggHE

7


DISTRIBUCION LOG NORMAL

223

Considere un cálculo hipotético de escorrentía, en el cual la escorrentía

es igual al producto de funciones de diferentes factores aleatorios, tales como

precipitación, área tributaria, coeficiente de pérdidas, evaporación, etc. En

general, si una variable aleatoria X es el resultado del producto de una gran

cantidad de otras variables aleatorias (mecanísmos de multiplicación),

entonces la distribución de los logaríünos de x será aproximadamente normal,

ya que el logaríuno de X estará cónstiruído por h süna de los logarítmo de

los factores contribuyentes. En hidrología, es muy fácil concebir muchos

factores contribuyentes a la escorrentía que son aleatorios y de los cuales

existe muy poca información determinística; por lo tanto, un mecanísmo

multiplicativo para la escorrentía puede ser una suposición razonable. En

general, se puede considerar que una variable aleatoria tiene una distribución

log normal si el logarítmo de la variable aleatoria está distribuído

normalmente; es decir que si I : log 0) tiene una distribución normal,

entonces X tiene una distribución log normal. La función de densidad de

probabilidad para la distribución log normal es:

f(x)log,o (e) -0 - Fr)' ¡>0

, o ,lin 2 o2v

donde I = log,o 6) y e es la base de los logarítmos nafurales; observe

que la función de densidad de probabilidad para la distribución log normal

está limitada a la izquierda por el valor cero, tiene una asimetría positiva y se

"-rl

7

Hidrología / David Cedeño .'t a A

puede utilizar fácilmente debido a su relación con la distribución normal, ya

que la variable transformada tiene la siguiente función de densidad de

probabilidad normal:

f(y)o" rfz n

para la cual existen tablas que nos permiten obtener directamente la función

de densidad acumulada, ya que la distribución normalse utiliza ampliamente

en estadística.

La asimetría y de la distribución log normal es una función del

coeficiente de variación CV - a / p":

3 'CV * CV3

pero la asimetría de la variable transformada Y : log (X) es cero, tal como

se espera, debido a que I está distribuida simétricamente.

A pesar de que la función de densidad de probabilidad de X (variable

original) se puede derivar fácilmente, esta función se requiere en muy pocas

ocasiones. En lugar de eso se encuentran los momentos de I : log (E y

se utiliza la distribución normal para la variable transformada I. Esta

transformación se puede hacer de dos maneras, ya que se pueden usar

logarítmos naturales ó de base 10. El método de momentos requiere que el

momento de los datos originales sea calculado y relacionado con el momento

de los datos transformados. Cuando se utilizan logarítmos naturales en la

transformación: I = ln (X) , éstas relaciones son:

f-tv - r,..1' lexo | ' I'l 2 o,'

I

7

Hidrología / David Cedeño 22s

o2CV2 exp (o,2 - 1)

u2

/ "'\t¡- = exp I F.. * --2- |^ \ 2)

Las ecuaciones anteriores se pueden resolver simultaneamente para

encontrar Fy y arz. Si se utilizan logarítmos de base 10, las fórmulas

anteriores se deben modificar reemplazando la bise de los logarítmos

raturales (e : 2.718) con logarítmos de base 10. Observe que el logarítmo

del promedio no es el promedio de los logarítmos; por el contrario,

ly = log(X,)

donde X, es la mediana de X. El método de momentos para la estimación de

los parámetros conserva el momento de los datos originales, 1o cual es

necesario para la simulación de caudales en ríos.

Otro método es el de convertir el promedio y Ia variarza a logaritmos

naturales. Este segundo método es más común y está relacionado con

estimaciones de probabilidad máxima para los parámetros de I. En este

caso, primero se calculan los logaritmos de todos los caudales y luego se

obtiene el promedio y la variarva de los datos transformados; si los momentos

de los datos transformados son calculados por ambos métodos, la semejanza

de los resultados se incrementará al aumentar el tamaño de la muestra.

7


Ejemplo 28: Distribución Log Normal

z¿6

Utilizar los datos de caudales máximos registrados en la estación de

aforo y aplicar la distribución log normal (usando logarítmos de base l0)

para calcular:

a) El caudal con un período de retorno de 100 años.

b) La probabilidad de que el caudal sea menor o igual a 10,000 pies3/seg

y su respectivo período de retorno.

Además, comparar los parámetros estimados utilizando los momentos de los

datos originales y los obtenidos con los datos transformados.

Solución:

Los parámetros de la distribución log normal estimados utilizando los

momentos de los datos transformados Y = log,o (p) son:

f = 3463

'Sr = 0 424

y la función de densidad de probabilidad es:

fQ\2.3 Q Sy \ft;

a) Caudal para un período de retorno T : 100 años :

F(r,oo) = 1- L = 1---l = 0.99

.-li#]

7

Hidrología / David Cedeño 22'7

Interpolando en la tabla de distribución normal acumulada, tenemos:

z = 2.326

Por lo tanto, la variable transformada l,oo = logro (0,00 )es:

Iroo = i*Z'5, = 3.463+2.326x0.424 = 4.449

y la magnitud del caudal se puede obtener de la siguiente forma:

Q ,oo = 16(rroq) = 16(a aas) = 28:80 p3 I s

b) Transformación del caudal 0 : 10,000 p3/s:

Y = log,o(10,000) = 40

Normalización de la variable transformada:

- y-y 4-3.463Z = ,"

= 1.267

Utllizar la tabla de la distribución normal acumulada para obtener:

F(Z) = F(l.267) = 0.8975; por consiguiente, la probabilidad es:

P (Q < ro,ooo p3 I s) = F(z) = 0.8e75

y el período de retorno para el caudal Q : 10,000 p3ls es:

T = I = 9.8 años ' lO años1-F 1-0.8975

7


Comparación del Valor de los Parámetros:

Coehciente de Variación:

228

a_CVt ':

Fx

sf

Media ó Valor Promedio:

IIPx = exp I Fv +

\

Por lo tanto, tenemos:

,.9x 3,3 10.820.799

Coeficiente de Variación al cuadrado:

CVrt = exp (of - t'¡ " exp(S]'?- l)

Yarianza:

S: = tn(Cl/xl)*r = ln[(0.799)2]+r = 0.ss1

Desviación Estándar:

X 4,t43.94

= O.742

(

" "*nlr * +)+) =X

o'551 = 8.0542

,s2Y = tn(X) - -1!- = h(4,143.e4) -2

Cambio de Base de los Logarítmos:

ln (m)logro (m) = logro @) ^ ln(m) = 0.4343 ln(m)

2.3026

7

Hidrología / David Cedeño aaó

Por consiguiente, el Valor de los Parámetros por el Método de Momentos

(utilizando logarítmos de base 10) es:

y=8'054=3.49s2.3026

s. - 0742 = 0.322' 2.3026

Resumen:

Valor delPariímetro

Método deMomentos

Usando DatosTransformados

Y 3.498 3.463

,s/ 0.322 0.424

Observe que los valores obtenidos para los parámetros por ambos métodos

son parecidos; pero el método de datos transformados Y = logro (p) es

el más comun. Sin embargo, la diferencia es notable al calcular la magnitud

del caudal con un período de retorno de 100 años:

f,oo = l*Z'Sr = 3.498 +2.326x0.322 = 4.247

Q ,oo = 1¡(v'oo) = 16(+zn7) = 17,687 p3 ls

Ooc)

CL

o8<¡

aolo

ao

¡ J^EJQ¿<úózE9a:FzJ(J

OFaA!, F,l

9üc;¿¿rrJ

^z.oFf

En¿út,r FrgElÁo¿A.l¿0FZzr¿EEl eZ f-la\6|i z.zoú(Jfe¿ l-r

Uo<ltrloooc)o

3t¡.Joooq

otr.Jo(fc)o,¡i

3Lroq

3t¡JoQo(trñ

3rUoC]oñ

(oI

7


DISTRIBUCION GAMMA

23a

Esta distribución es utilizada ampliamente en hidrología simplemente

debido a su forma y propiedades matemáticas bien conocidas; entre ellas

tenemos las características de estar limitada por la izquierda y un sesgo

positivo, 1o cual es conveniente para eventos extremos de inundaciones

(además, la distribución gaÍrma también se puede utilizar con un sesgo

negativo para eventos de sequías). La distribución Gamma puede ser de dos

parámetros (Gamma - 2) ó de tres párametros (Gammi - 3), la cual recibe el

nombre de Pearson Tipo 3. A pesar de que los coeficientes: ,1, y p ó en

el caso de Pearsontipo 3: 1, p y e requeridos para definir la función de

densidad de probabilidad son funciones simples que utilizan la media ¡.r,

desviación estándar o y la asimetría T; es muy común en aplicaciones

hidrológicas evaluar la función de densidad acumulada con factores de

frecuencia, evitando de ésta manera la integración de la función de densidad.

Existen tablas para los factores de frecuencia K, los cuales son función de la

asimetría corregida CJ y del período de retorno Z; por 1o tanto, para

estimar la magnitud del caudal con un período de retorno deseado, se calculan

los momentos de los datos: media g y desviación estándar sn y luego se

utiliza la siguiente fórmula:

Q, = Q+K(CS.T)'Sn

Este procedimiento es satisfactorio para los períodos de retorno

mostrados en la tabla, pero no es apropiado interpolar en la tabla para otros

7

Hidrología / David Cedeño z 1l

intérvalos de recurrencia. El procedimiento correcto sería efectuar una

interpolación gráfica en el diagrama de caudales en función de períodos de

retorno. Además, este es el procedimiento para el problema inverso de

encontrar la probabilidad (y por consiguiente, el período de retorno)

correspondiente a un caudal de una magnitud dada.

Alternativamente, los dos ó tres parámetros de la distribución Gamma

se pueden calcular y a continuación se utilizan las tablas de la función de

densidad acumulada que aparecen en algunos librcs de estadística para

determinar la probabilidad.

La distribución Gamma de dos parámetros (Gamma - 2) corresponde

al establecimiento del límite a la izquierda de la función de densidad en el

valor cero (. : 0); en éste caso no se requiere calcular la asimetría de la

muestra, ya que se puede utilizar la siguiente relación para estimar ese valor:

cs = t = 2.cv2

Por lo tanto, podemos obtener el coeficiente de asimetría requerido para

encontrar el factor de frecuencia K de la siguiente manera:

cs)

,(+

7

Facto¡ de Frecuenc¡a K para las Distribuc¡ónes: camma, Pearson T¡po 3 y Log Pearson T¡po 3.

lhtérvelo d¿ R¿currénc¡¡ cn Año! T

3.02,9

2,42.72.62.5

2,32.22.1

2.O

1.91.8

1.61.51.41.34.2'1.1

't.o0.90.8o.70.60.50.40.3o.20,1

o.o-0.1

4,2-0.3

4,4-0.5-0.6

4.7J).8¡.9-1.0-1.1

-1.2

-1.3-1.4.1.5

-1.6-1.7-1.8-1.9-2.O

-2.1

-2.2

-2.4-2.5-2.6-2.7

-2.93.0

o.480.¿t50

0.4790.,1!t9

0.5180.5370.5550.5740.5920.509o.6270.5¡13

0.5600.6750.6900.7050.719o.732o.7450.7540.769

0.7800.7900.8000.8080.816o.4240.8300.836o.4420.446

0.8500.8530.8550.8560.8570.8570.8560.8540.8520.8rl80.8440.83a0.8320.8250.817

0.8080.7990.788o.7770.765o.7520.739o.725o.7110.6960.681

0.6560.651

0.636

1.1951.2101.2241.2341.2501.2621.274t2a41.2941.3021.310l.3la1.3241.329

1.3391.3401.3411.3&1.3391.336

1.3171.3091.301

1.2921.2421.270l.25A1.261.2311.2161.200t.1831.1661.1471.1241.1071.0861.0641.O41

l.ot80.9940.9700.9450.9200.4950.4690.4440.a190.795o.771

o.747o,724o.7020.681

0.660

2.2772,2752.2722.2672.2622.2562.282.262.2302.2192.2072.1932.1792.1632.162.1242.1042.O47

2.0562.O432.0181.9931.9671.9391.9'10

1.440L8491.8181.7851.7511.7161.8801.5431.5061.5671.52aí.448,1.48

1.&71.3661.324

1.2&1.1941.157

l.ll5't.075'f.0350.9960.9590.9230.4880.4550.4230.7930.7640.738o.7120.6830.656

3.1343.1143.0933.0713.0443.0232.9972.9702.9422.9122.a412.482.4152.7aO2.7432.7062.6662.4262.5852.5422.4982.4532.672.3592.31,1

2.2612.2112.1592.1072.O542.0001.945L890La341.7771.7201.5631.6061.5491.492

1.3791.3241.2701.2171.1551.1161.0691.O230.940

0.9390.9000.8640.8300.7940.764o.740o.7140.6490.666

4.667 -0.396

4.690 ¡.3904.714 ¡.3844.740 ¡).3764-769 4.3684.799 4.3604.832 .0.351

4.867 -0.341

4.905 "0.330{.9,15 ¡.319{.990 -0.307

'-1.037 4.294-1.087 4.2A2-1.14 ¡.268-1.197 4.254t_256 4.2&f .318 4.225¡.3a3 4.210-,1.4d9 -0.195

-1.518 {.1a0-1.588 {.164-1.660 4.r€¡.733 4,132-1.806 4.116-l.aao ¡ og9-1.995 -0.0a3-2.029 -0.066-2.104 -0.050-2.17a -0.033-2.252 4.017-2.326 0.000-2.400 0.017-2.472 0.033

-2.544 0.050-2.615 0.066-2.686 0.083-2.755 0.099-2.424 0.116-2.491 0.132-2.957 0.1483.022 0.1643.087 0.1a03,149 0.195¡,211 0.2103.271 0.225¡.330 0.2&3.388 0.254-3.444 0.2683.499 0.2A23.553 0 2943.605 0.3073.556 0.3193.705 0.3303.753 0.341

€.800 0.3513.845 0.3603.489 0.36a3,932 0.376-3.973 0.384-4.013 0.390-4.051 0.396

4,051 4.9704.013 4.9043.973 4.A47

3.932 4.7833.449 4.7143.74{t 4.6523.aoo 4.5843.753 4.5153.705 4.4443.656 4.3723.605 4.2943,553 4.2233.¿¡99 4.1473.444 4.0693.344 3.9903.330 3.9103.271 3.a283.211 3.7453.'149 3.6613.087 3.5753.022 3.¡892.957 3.&12.a91 3.3122.424 3.2232.755 3.1322.686 3.041

2,615 2.9492,544 2 456

2.472 2.7632.&O 2.6702.326 2.5742.252 2.822.174 2.33a2.,104 2.2942.029 2.2011.955 2.104l.aao 2.0161.806 1.9261.733 1.8371.660 1.749l.saa I 6641.514 1.58.1,1.449 1.501

1.343 1.4241.31A 1.351'1.256 1.2a21.197 1.2161,1& 1.1551.087 1.0971.037 1.0440.990 0.9950.9,16 0.9490.905 0.9070.867 0.869oa32 0 9330.799 0.4000.769 0.7690.740 0.7410.714 0.7140.690 0.690

Fuentef Haan, C.T., 1377, Slaai.aical Methods in Hlldrology,lowt g.ate ljn¡vérsity Press, Anes.


Ejemplo 26: Distribución Gamma

234

Utllizar los datos de caudales máximos registrados en la estación de

aforo para calcular la magnitud del caudal con un período de retorno de 100

años, utilizando las siguientes distribuciones de 2 y 3 parámetros:

a) Gamma - 2

b) Pearson Tipo 3

Además, describir la función de densidad de probabilidad y sus parámetros.

Advertencia: El problema inverso de encontrar et periodo de retorno para un

caudal de 10,000 p3/s requiere una gráfica de caudales en función de Ia

probabilidad cuando se utiliza la distribución Gamma; por lo tanto, no lo

vamos a calcular en esta ocasión.

Solución:

a) Distribución Gamma - 2:

Media y Desviación Estándar de la Muestra .

O = 4,144 p3 /s

So = 3,3llP3/s

Coeficiente de Asimetría:

/ \2

cs = ,lLl = zf ¡,¡rr'1' = 2(0.7ee)2 = 1.277loJ \+'t+t)

r

IIIIIlI

I

I

I

I

I

ItIIII

Hidrología i David Cedeño

Factor de Frecuencia (obtenido interpolando en la tabla):

a?tr

K = K(CS=r.227,r=loo) = 3.1e7

Magnitud del Caudal para un Período de Retorno T : 100 años:

Qtoo -- Q+KxSo = 4'144+3'197 x3,111

Q ro, = 14,730 P3 ls

Función de Densidad de Probabilidad para la Distribución

Gamma - 2:

\9 O9-t e'xQf@) = '" z - ; Q>of(B)

Parámetros de la Distribución Gamma - 2:

L = O = 3.280,. lo-as.' (3.31 1 )212

/ - \2 / \r

p = l_9_l - [ 4,t44 l'= 1566\ sn / \ 3,31r /

Observación: La función de densidad de probabilidad para la distribución

Gamma - 2 se ajusta de manera adecuada a la distribución empírica de los

caudales máximos registrados (histograma de densidad), tal como se puede

apreciar en la siguiente gráfica.

ca8oOv

aofo

oeao

J

-'¿riE

'q a_zf¡ tÁ

t¡o<9acÉ)d

=u1!r=F r-tILJ 'f

d,lr

e¿ó¡¡t2.8nl? Fl

)6-F- r.lvl a

l¡.1 (4dz.t- f¡2Atl r.t'a, Ao7.<U4?.<5Ff{:Q

q€88r¡r uj r.ü .t.gEEEvr,.rd

ÉtÉÉÉiFFSIEF

(ol¡


b) Distribución Pearson Tipo 3:

Media, Desviación Estándar y Coeficiente de Asimetría Corregido,

utilizando los momentos de la muestra:

0 = 4,144 p3 ts

So = 3,311 p3 ls

cs = 1.981

Factor de Frecuencia (obtenido interpolando en Ia tabla):

K = rK(CS=1.981,2=100) = 3.595

Magnitud del caudal para un período de retorno Z: 100 años:

Qroo = 8"K'Sn = 4,144 +3.595x3,3 ll

., Q too = 16'050 P3 ls


Pearson Tipo 3:

LF (O - e¡F-r ,-L(Q-.)f (Q)

f(p) ; Q>e

III

I

I

I

I

??aHidrología i David Cedeño

Parámetros de la Distribución pearson Tipo 3:

B = (+)'= (t+)'=,0,e3

L= = 3.049 " l0- a

€ = O - t, t[l = 4,t44 -:,:u / r-orx = 801.35 p3ls

Observación:

En la siguiente gráfica se muestra el ajuste de la función de densidad

de probabilidad para ra distribución pearson tipo 3 a la distribución empíricade los caudales máximos registrados (histograma de densidad) y en la mismapodemos apreciar el límite a la izquierda : e > e " B0O p3 ls .

_@sn

o*aoJ

eoE<()

J ..¡

¡-l a-

ó7,eúxr¡prAZ.<o¿.u¿é

vl-ü2H ¡.I\-<JU2¿tra,ol.l7.4I.)JFF]UcÁ;r?ÉqÉd9(t i¿r

<^&ttr- v)2. -4

Z l-t

?7<UlZ¿PU o

<Jit¡Jc)o

a

c)t].too9

fu.tCJoC]ó

3lrl(foc)".1

3t¡loaoor-t

3r¡.1

oó

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ol¡loooci

3uloooq

(oli

I

l

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

l

I

I

I

I


DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO 3

240

Cuando se aplica la distribución Gamma de tres parámetros a los

logarítmos de los datos de variables aleatorias (datos transformados),

generalmente se le denomina dist¡ibución Log Pearson tipo 3. Esta

distribución tiene un papel muy importante en hidrología debido a que ha sido

recomendada por el U.S. Interagency Advisory Comittee on Water Data

(1982) como la distribución de probabilidad que debe ser aplicada a los

caudaies de inundación.

La forma de la distribución Log Pearson tipo 3 es bien flexible debido

a que utiliza tres parámetros y su uso es completamente similar a la

distribución Log Normal discutida previamente; sin embargo los momentos

de los datos originales y transformados no eslán relacionados en esta ocasión.

Por el contrario, los datos son transformados tomando logarítmos (de base e

ó base 10) de la siguiente manera: y = loe(Q) y la distribución Gamma - 3

se aplica exactamente como se hizo en la sección anterior. Esto significa que

las magnitudes de los caudales se pueden calcular directamente para los

períodos de retorno mostrados en la tabla, pero el problema inverso de

determinar el período de retorno (ó la función de densidad acumulada)

correspondiente a una magnitud dada solamente se puede resolver

gráficamente.

I

I

tHidrología / David Cedeño 24L

IEjemplo 27: Distribución Log pearson Tipo 3

I Utilizar los datos de caudales máximos registrados en la estación de

I aforo para calcular la magnirud del caudal con un período de retorno de 100

años aplicando la distribución Log Pearson tipo 3; demás, describir la función

I de densidad de probabilidad y los parámetros de la distribución.

I)o luc ron I

I -r*nsformación

de los Datos (logarítmos de base r0):

y = log,o (0)

Media, Desviación Estándar y Coeficiente de Asimetría Corregido para

I los datos transformados:

I

I

I

I

I

I

t-I

Y = 3.463

s = 0.424v

c,s = -1.117

Factor de Frecuencia (obtenido interpolando en la tabla):

K = K(CS= -1.117, f = 100) = 1.504

Variable Transformadai I,oo = logro (0roo )

I,oo = f *,KrSy = 3463 +1.504x0.424 = 4.101


Por lo tanto, la magnitud del caudal paraT - 100 años es:

242

Qro, = 16rtt = 16(a lot) = 12,6.10 P3 /s


Log Pearson Tipo 3:

f (o) ; Q > e',0 f (p)

Donde I = log,o(Q) y laconstantenumérica ln(10) = 2.3 se

debe al cambio de base de los loea¡ítmos.

Parámetros de la Distribución Log Pearson Tipo 3:

p (+)' (. \z' | = 3206

- r.rtt )

l= = 1.8362.3 (0.424)

€ = z:ql -s, 1r¡- I = 23(3.463-0.424r|;.zoe > = 6.227

Límite de la Función a la Izquierda:

,lT2.3 sY

O > e'= exp(6.227) = 506.22 p3 ls

Éz<o6a6fFH¡-,¡

AY.tz?=¿UóÉFdg ¡-.hla

É

:fA

Flá

< t¡¡¡ñr.¡ aÉ2Flf.¡ 2A r¡J

uf¡<A4zA

++se8HHHÉHHqsge(.rF_¡¡-jo

+sBsHHgÉóxlJoqñ38!tt<.¡(i

(o)¡


DISTRIBUCION GLIN{BEL (Valor Extremo Tipo I)

Est¿ función de densidad de probabilidad surge de la teoría de valores

extremos desarrollada por Gumbel (1958). La distribución tiene una forma

adecuada; pero al igual que la distribución normal, carece de límites en ambos

extremos; sin embargo, la posibilidad de un valor menor de cero (por

ejemplo, caudales negativos) es de muy poca preocupación en su aplicación.

Unavez más, no se requiere la función de densidad de probabilidad, ya que

la función de densidad acumulada tiene la siguiente forma particular de una

doble exponenciación:

F(x) = erp{-exp[-a(x - z)]] ; -có<x<6

La función anterio¡ puede ser evaluada fácilmente sin necesidad de

tablas y en la misma, el parámetro d es un factor de escala y el parámetro

¿ es la moda. Estos parámetros están relacionados con el promedio ¡r y ladesviación estándar o por medio de las siguientes expresiones:

u=P

"GLas cuales proporcionan una forma de estimación de los parámetros por el

método de momentos. Se ha demostrado también que no es necesario efectua¡

I

lI

I

I

I

I

I

I

¡

l


correcciones para tomar en cuenta el número de datos n en Ia evaluación de

c y u. La asimetría v de la distribución de Gumbel tiene un valor

constante igual a 1.1396.

El argumento del exponencial interno: y = d (x - u) se denomina

la variable reducida y debido a que la misma es una función única de la

frecuencia F = | - 1/T (laeual está relacionada con el período de retorno

I), estr variable se puede :utilizar para obtener una gráfica de la distribución

en forma lineal utilizando factores de escala adecuados.

Si la función de densidad acumulada se utiliza en combinación con las

relacíones de momento para obtener la variable X en términos de Ia

frecuencia F ó del período de retorno 7, se puede derivar facilmente un

factor de frecuencia K:

K = -0.7797Y 0.5772- o77e.t,nl,"(+) ]

K = -0.77e7 x 05772 - o77s7"l'"(,=)

El factor de frecuencia: K = (X - p)/ o x se puede utllizar para obtener

directamente el valor de la variable X; es decir: X = v * K ax .

Si la función de densidad acumulada se evalúa para el valor promedio:

X = p se encuentra que su magnitud es: F(f.) = 0.57;por 1o tanto, el

período de retorno para la media ¡,r es: T, = Il(1 - F) = 2.33 años. St

existe una gráfica de caudales en función del período de retorno, algunas


veces se usa la información anterior para estimar de manera rustica el valor

promedio de los caudales, suponiendo que los mismos obedecen a una

distribución de Gumbel.

9=t1ü Distribución Gumbel

Utilizar nuevamente los datos de caudales máximos registrados en la

estación de aforo (serie anual máxima) en combinaciótTcon la Distribición de

Gumbel para encontrar la magnitud del caudal con un período de retorno de

100 años; además, encontrar la probabilidad de que la magnirud del caudal

sea menor ó igual a 10,000 p'ls y su respectivo período de retorno'

Solución:

Media y Desviación Estándar de la Muestra:

O = 4,744 p3 /s

So = 3,377 p3/s

Función de Densidad de Probabilidad:

fQ) = d exp\-*tO - u) -exp[-c tO - r)l\ < Q < a

Parámetros de la Distribución Gumbel:

tnG 3JnG= 3.874 ^ lo-a slp3

7

I

I

I'I


u = e- 0'5772 = 4,144- 0.s772 = 2,653.9 p3 /s3.874x IO-a

Factor de Frecuencia K para Z - 100 años:

K = -0.450 -o77s7rl,,,lrqg)l = 3.137[ \ ssl]

Magnirud del Caudal:

Qroo = Q*KSB = 4,144+3.137 x3,3 1l = 14,5j0p3/s

Función de Distribución Acumulada:

F(Q) = exp{ -"*p[- "@ - u)Jl

Probabilidad:

F(10,000) = exp {-"rp[ -3.874x l0-4(10,000 _ 2,653.g)]l

p (Q < 10,000 p3ls) = ¡'(10,000) = 0.943

Período de Retorno:

-ll 18 años| - F I - 0943

{l

I

o()a

F+qqqqqqsW ú ú ur rlj uJ ru rjJ .-+.ooooooc';;r.ueoooooóó99oooóoó^roañóóóóxo;'-,j:;;;x-c(ol¡

2(JOZ F.(

t¡¡

2t(dbru)XZY

r-t ¿¿. I-¡

¿¿)D

oz9i'

Oúúit

¿4r¿iZjo¿¡?Xoi

'th Jñce¿4.'\ ca

t r'J

zcYÁ9A¿v1iEH()


Comparación de Resultados

Distribución Caudal Pronosticadopara T: 100 años

AsimetríaCalculada

Normal 11,850 p3ls 1.98

Log Normal:Datos TransformadosMétodo de Momentos

28,130 p3ls

17,690 p3ls- 1.12

Gamma - 2 14,730 p3ls 1.28

Pearson Tipo 3 16,050 p3ls 1.98

Log Pearson Tipo 3 12,610 p3/s - t.l2Gumbel 14,530 p3/s 1.98

Observación:

Los caudales pronosticados para un período de retorno de 100 años

varían al utilizar cualquiera de las 6 distribuciones de probabilidad estudiadas

en ésta sección, las cuales fueron aplicadas a la misma serie anual máxima

(caudales registrados en la estación de aforo). Es importante señalar que el

mejor ajuste se debe determinar gráficamente comparando la función teórica

de densidad de probabilidad con la función empírica (histograma de

densidad). Además, podemos observar que la asimetría también afecta el

ajuste de los datos a una función de densidad de probabilidad y en el caso de

la distribución normal, la función teórica es simétrica, pero el método de

momentos estima una asimetría corregida diferente para los datos.

REFERENCIAS

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145013968 Hidrologia David Cedeno (1)

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