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Clase 3: Aplicaciones de programacion dinamica

Clase 3: Aplicaciones de programaciondinamica

Matematica avanzada para macroeconoma

Hamilton Galindo

Junio - Agosto2015

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Contenido

1 Modelo de crecimiento con inversion en capital humano

2 Modelo de Hercowitz y Sampson (1991)

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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano

Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IPreliminares

1 Este modelo sostiene que existe un trade off entre el tiempo quese dedica a trabajar (nt) y a capacitarse (acumular capital humano(ht)). Mientras mas tiempo se dedique a trabajar, menor tiempo seraorientado a la capacitacion: para acumular capital humano hay quededicar tiempo a estudiar/capacitarse, lo que implica dejar de trabajar

un poco. nt ht

2 La dinamica descrita se captura por medio de esta expresion:

Dinamica de la evolucion del capital humano

ht+1=ht(nt) (1)

Donde:(nt) es una funcion de [0, 1] en R+

(nt) : [0, 1] R+

Ademas, se asume que (nt) cumple con las siguientes propiedades:

Cl 3 A li i d i di i

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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IIPreliminares

Continua

Estrictamente concava

Estrictamente decreciente

(0) = 1 + , lo que indica que si el agente representativo dedica

todo su tiempo a capacitarse, entonces la acumulacion del capitalhumano crecera a una tasa constante ():

ht+1= ht(1 + )

(1) = 1 , lo que indica que si el agente representativo dedica

todo su tiempo a trabajar, entonces la acumulacion del capitalhumano decrecera a una tasa constante ():

ht+1 = ht(1 )

Cl 3 A li i d i di i

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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IIIPreliminares

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1.03

nt

Funcin

(nt)


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Modelo de crecimiento con inversion en capital humanoEnunciado

Max{ct,nt}t=0

t=0

tct

sujeto a:ct=f(htnt) = (htnt)

ht+1=ht(nt)

(nt) = (+)

1 n2t + (1 ), (0, 1), (0, 1), (0, 1) y h0 dado.

Se le pide lo siguiente:1 Plantear el problema secuencial.2 Encontrar la ecuacion de Bellman y plantear el problema funcional.3 Demostrar que la funcion valor (V) tiene la forma Ah

t .

4 Demostrar que la funcion de poltica es constante (i.e. encontrar eltrabajo optimo) (n) y la constante A de la funcion valor, considerandolos valores de los parametros: = 0.5, = 0.95, = 0.025, = 0.01,

= 0.8. En este caso construir un codigo en Matlab para solucionarel sistema no lineal.


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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano ISolucion

[1] Problema secuencial

Max{nt}

t=0

t=0 t

[htnt]

sujeto a:

ht+1=ht(nt)

[2] Ecuacion de Bellman

V(ht) = Max{nt}t=0

[htnt]

+ V(ht+1)

(2)


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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IISolucion

[3] Problema funcional

Introduciendo la ecuacion de la variable de estado en la ecuacion de Bell-man:

V(ht) = Max{nt}t=0

[htnt]

+ V(ht(nt))

(3)

sujeto:

0 nt 1

[4] Iteracion de la funcion valor


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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IIISolucion

1 Para resolver el PF utilizaremos el metodo de iteracion de la funcionvalor (propuesto por el teorema del punto fijo para contracciones):

Vn =T[Vn1], n 1 (4)

Se inicia con la funcion mas sencilla: V0 = 0

2 Encontrando V1

V1 = T[V0]

= Max{nt}t=0

[htnt] + V0(ht(nt)) =0

= Max{nt}t=0

[htnt]

(5)


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p p g


Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IVSolucion

(a) En esta etapa se aplica la condicion de primer orden:

funcion objetivo

nt= 0

No obstante, en este caso, la funcion objetivo toma su valor maximocuando nt= 1 (ver la restriccion del PF).

(b) Reemplazando ntque maximiza la funcion objetivo en[5] se obtieneT[V0] y por ende V1:

V1 = T[V0] = [ht]

V1 = [ht]

(6)


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p p g


Modelo de crecimiento con inversion en capital humano VSolucion

3 Encontrando V2

V2 = T[V1]

= Max{nt}t=0

[htnt]

+ V1(ht(nt))

=[ht(nt)]

= Max{nt}t=0 [htnt]

+

[ht(nt)]

(7)


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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano VISolucion

(a) En esta etapa se aplica la condicion de primer orden:

funcion objetivo

ct= 0

No obstante, se puede ver que la maximizacion de la funcion obje-tivo no depende de ht. Lo cual indica que al derivar dicha funcion

objetivo con respecto a la variable de control (nt), esta solo depen-dera de los parametros del modelo (valores constantes), y por endent = constante. Por tanto, en la funcion valor se podra considerarcomo una constante A.

Factorizando

[ht]

V2 =

[ht]

Max{nt}

t=0

[nt]

+ [(nt)]

No depende deht

(8)

Del CPO se obtendra:

nt= constante en funcion de los parametros = n (9)

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Clase 3: Aplicaciones de programacion dinamicaM d l d i i i i i l h

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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano IXSolucion

Aplicando CPO (derivada con respecto a la variable de control) se tiene:

n1t

= A((nt))1(nt) (14)

La solucion de esta ecuacion no lineal es:

nt=n

La funcion de poltica es una constante; es decir, no interesa cual sea elnivel de capital humano (ht), el agente siempre escoge trabajar n

. Para

conocer el valor de n tenemos que encontrar la constante A y definir lafuncion Psi(nt).

[6] Encontrando la constante A

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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano XSolucion

Reemplazando la funcion valor y la funcion de poltica en la ecuacion deBellman se tiene:

A[ht]

=

[ht]

[n] + A[(n)]

Por tanto:

A= [n] + A[(n)] (15)

Entonces:A= A(n)

Las ecuaciones [14] y [15] forman un sistema de ecuaciones no lineal en(n,A):

n1 = A((n))1(n) (16)

A = [n

]

+ A[(n

)]

(17)

Clase 3: Aplicaciones de programacion dinamicaModelo de crecimiento con inversion en capital humano

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Modelo de crecimiento con inversion en capital humano XISolucion

Donde:

(nt) = ( + )1 n2t+ (1 )Como resolvemos sistema de ecuaciones no lineales en Matlab?

Funcionfsolve


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Solucion de sistemas de ecuaciones no linealesMatlab

Funcion fsolve

Esta funcion resuelve sistemas de ecuaciones no lineales; es decir, encuentralas raices del sistema. Para ello el sistema tiene que ser especificado como:

F(x) = 0

El objetivo es encontrar el valor del vector xque hace que F(x) sea iguala cero. Lasintaxis:

x=fsolve(fun, x0)

Donde: fun es una funcion que contiene al sistema de ecuaciones nolineal (F(x)) y x0 es el valor inicial para el vector x.


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Solucion de sistemas de ecuaciones no lineales IUn ejemplo

Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:Ejemplo

y = x2 5 (18)

y = 3x+ 7 (19)

El sistema lo podemos re-escribir como:

F1 = y x2 + 5 = 0 (20)

F2 = y 3x 7 = 0 (21)

Entonces:F(x) = [F1, F2]

Asumiendo que:z= [z(1), z(2)] = [x, y], esribimos una funcion en Matlab

que capture el sistema no lineal (verejemplo funcion.mysol ejemplo funcion.m).


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p

Solucion de sistemas de ecuaciones no lineales IIUn ejemplo

6 4 2 0 2 4 615

10

5

0

5

10

15

20

25

30

35

Sistema de ecuaciones

y = x2 5

y = 3x + 7


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Solucion de sistemas de ecuaciones no linealesMatlab

Ver la funcion sistema na.m

Clase 3: Aplicaciones de programacion dinamicaModelo de Hercowitz y Sampson (1991)

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Modelo de Hercowitz y Sampson (1991) IEnunciado

Considere el modelo basico de crecimiento con:

u(ct, lt) = ln(ct ant)

yt = ktnt

1

kt+1 = ktitkt1

=kt

it1

Considerando que: a>0 y >1Se le pide lo siguiente:

1 Plantear el PS, la ecuacion de Bellman y el PF.

2 Demostrar que la funcion valor tiene la siguiente forma:

V(kt) =D0+D1lnkt

Donde Dison constantes.

Clase 3: Aplicaciones de programacion dinamicaModelo de Hercowitz y Sampson (1991)

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Modelo de Hercowitz y Sampson (1991) IIEnunciado

3 Demostrar que la funcion de poltica tiene la siguiente forma:

ct = 1k1t

nt

= 2k

2

t

Donde: 2 = 1++

4 Demostrar que la dinamica optima del capital es:

kt+1 = 3k3t

Donde: ison constantes.

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