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Clase 2: Programacion dinamica

Clase 2: Programacion dinamicaMatematica avanzada para macroeconoma

Hamilton Galindo

Junio - Agosto2015

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Contenido

1 Problema de optimizacion dinamica

2 Programacion dinamica: panoramaFuncion valorEcuacion de BellmanProblema funcionalDel PS al PF

3 Programacion dinamica: detallesPrincipio de optimalidadMetodo para solucionar el PFMetodo de calculo diferencial para solucionar el PF

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Problema de optimizacion dinamica



3 Programacion dinamica: detalles

Principio de optimalidadMetodo para solucionar el PFMetodo de calculo diferencial para solucionar el PF

Cl 2 P i di i

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Que tipo de problema queremos resolver? I

Queremos resolver un problema de optimizacion dinamica, al cual lla-

maremosProblema Secuencial (PS):

Problema secuencial (PS)

sup

{ut}

t=0tr(xt, ut) (1)

s.a :

xt+1 = g(xt, ut)

ut (xt), t= 0, 1, 2,...

x0 X dado

Donde:

1 r(xt, ut) :funcion de retorno (instantaneo)

r(xt, ut) :XxRm

R

Cl 2 P i di i

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Que tipo de problema queremos resolver? II

2 : factor de descuento, [0, )

3 xt : vector de variables de estado (xt Rn)

4 ut :vector de variables de control (ut Rm)

5 g(xt, ut) :funcion que describe la evolucion de la variables de estado(funcion de transicion o ley de movimiento):

g(xt, ut) :XxRm X

6 (xt) :es una correspondenciaque describe las posibilidades de lavariable de control cuando la economa se encuentra en el estadoxt.

:X Rm

7 X: es el espacio de los valores que puede tomar la variable de estado(X Rn)

8 x0 :el valor inicial de la variable de estado (estado inicial)


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Ejemplo: crecimiento optimo (Brock y Mirman, 1972) I

El modelo basico de crecimiento esta descrito por el siguiente problema(en terminos generales):

Max{ct,kt+1}t=0

t=0

tlnct

s.a:

kt+1 = (1 )kt+it

ct+it=f(kt)

ct, kt0tA este problema lo llamamosproblema secuencial(PS). Considerando lassiguientes forma funcionales

u(ct)lnct, f(kt) = k

t

, y supuestos

(0, 1), = 1 y k0 dado

se tiene:


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Ejemplo: crecimiento optimo (Brock y Mirman, 1972) II

Problema secuencial: Brock y Mirman (1972)

Max{ct,kt+1}t=0

t=0

t

lnct

s.a:kt+1 =k

t ct

ct, kt0


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Formas de resolver un problema de optimizacion dinamica

Tres formas de resolver este tipo de problemas:

1 Metodo de aproximaciones sucesivas

2 Programacion dinamicaEs el estudio de problemas de optimizacion dinamica a traves del

analisis de ecuaciones funcionales.

3 Metodo de Lagrange


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Programacion dinamica: panorama






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g


Funcion valor

Funcion valor

Bellman (1974) indica que el PS tiene una propiedad recursiva. Esto per-mite transformar el PS en un Problema Funcional (PF).

Funcion valor

1 Se define una funcion valor V(x0) que indica el valor maximo de

la funcion objetivo para cada x0 0.

V(x0) = max{ut}

t=0

tr(xt, ut)

(2)

2

Por ejemplo: en t= 1 se tiene x1

V(x1) = max{ut}

t=1

t1r(xt, ut)

(3)


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g


Ecuacion de Bellman

Ecuacion de Bellman I

Ecuacion de Bellman

Bellman (1974) transformo la funcion objetivo del PS en una ecuacionfuncional:

V(x0) = max{ut}

t=0

t

r(xt, ut)= max

{ut}

r(x0, u0) +r(x1, u1) +

2r(x2, u2)...

= max{ut}r(x0, u0) + r(x1, u1) +2r(x2, u2)... V(x1)

V(x0) = max

{ut}

r(x0, u0) +V(x1)


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Ecuacion de Bellman

Ecuacion de Bellman II

A esta ultima ecuacion se le conoce como ecuacion de Bellman. Es-ta ecuacion es una ecuacion funcional; es decir, es una ecuacion cuyasolucion es una funcion (funcion valor).


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Problema funcional

Problema funcional I

Al reemplazar la ecuacion de Bellman en el PS se obtiene el PF (para t):

Problema funcional

V(xt) = max{ut}

r(x0, u0) +V(g(xt, ut))

(4)

s.a :

ut (xt), t= 0, 1, 2,...

x0 X dado

1

El problema de infinitos periodos (PS) se ha convertido en un proble-ma de dos periodos.

2 Se esta utilizando (explotando) la recursividad del PS.

3 Ahora el problema consiste en encontrar la funcion que resuelve el PF;es decir, la funcion valor.


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Del PS al PF

Proceso de transformacion del PS al PF

Clase 2: Programacion dinamicaP i di i

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Del PS al PF

Principales hipotesis, proposiciones y teoremas

Clase 2: Programacion dinamicaP og a acio di a ica detalles

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Programacion dinamica: detalles


2 Programacion dinamica: panoramaFuncion valorEcuacion de Bellman

Problema funcionalDel PS al PF



Clase 2: Programacion dinamicaProgramacion dinamica: detalles

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Principio de optimalidad







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Principio de optimalidad I

Bellman (1974) propuso un principio el cual permita encontrar una relacionentre la solucion del PS y el PF. A este principio se le conoce como elPrincipio de optimalidad.

Teorema 1 (Principio de optimalidad)

La solucion V del PF, evaluado en x0, brinda el valor del supremo

en el PS cuando el estado inicial es x0. Ademas, una secuencia

{ut}t=0 alcanza el supremo si y solo si esta secuencia satisface [5]:

V(xt) =r(xt, ut) +V(xt+1) (5)

La pregunta que surge es:Bajo que condiciones el principio de optimalidadse mantiene?


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Bajo que condiciones el principio de optimalidad se mantiene? I

Cuatro proposiciones juntas establecen condiciones bajo las cuales la so-

lucion del PS y del PF coinciden exactamente, y que la polticas optimasson aquellas que satifacen[5]:

1 Proposicion 1: establece que la funcion del supremoV para el PSsatisface el PF (del PS al PF). No obstante, la ecuacion funcional

(ademas deV) puede tener otras soluciones.2 Proposicion 2:establece lo inverso de manera parcial (del PF al PS).

Es parcial porque se impone una condicion de acotamiento. Esta pro-posicion impide que la ecuacion funcional tenga otras soluciones por-que no cumplen la condicion de transversalidad fuerte. La unica solu-cion que cumple dicha condicion esV.3 Proposicion 3:Muestra que si {ut}t=0 es una secuencia que alcanzael supremo en el PS, entonces este satisface[5]para:

V

sol. del PF=

V

sol. del PS


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g


Bajo que condiciones el principio de optimalidad se mantiene? II

4 Proposicion 4:Establece que cualquier secuencia {ut}t=0que satisface

[5]paraV =Vy que tambien satisface una condicion de acotamiento,entonces tambien alcanza el supremo en el PS.


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Definiciones

Antes de ver las hipotesis que sustentan las cuatro proposiciones es impor-

tante mencionar algunas definiciones:1 Dinamica factible desde x0: es una sucesion de estados y controles

{(xt, ut)}t=0 en XxR

m para el PS si: ut (xt) y xt+1 = g(xt, ut)para todo t= 0, 1, 2...

2 (x0

):conjunto de todas las dinamicas factibles desde x0

.

(x0) :

{(xt, ut)}

t=0 tal que ut(xt), t= 0, 1, 2...

3 Plan factible desde x0:es una sucesion de controles {(ut)}t=0

4 Plan optimo desde x0: es un plan factible {(ut)}t=0 que permite al-canzar el supremo del PS.

5 Cabe mencionar que un plan factible determina unvocamente unadinamica factible. Por tanto, un plan optimo {(ut)}

t=0 determina

una dinamica optima {(xt, ut)}

t=0.


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Hipotesis que sustentan las proposiciones I

Las cuatro proposiciones anteriores estan basadas en tres hipotesis:

Hipotesis 1: (x)

(x)= para todo xX.

La hipotesis 1 asegura que (x0) (conjunto de dinamicas factiblesdesde x0) no sea vaco x0 X. Esto indica que todos los planesfactibles pueden ser evaluados usando r(x, u) y .

En el PS,

t=0tr(xt, ut)podra tomar tres valores: un numero finito,

+ o . Deseamos que esta funcion objetivo este acotada: es decirque la sumatoria infinita tenga un valor finito.

La hipotesis 2 elimina la posibilidad que

t=0tr(xt, ut) sea +.

Para ello se restringe el conjunto de dinamicas factibles de tal formaque dicha sumatoria este acotada (superiormente).


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Hipotesis que sustentan las proposiciones II

Hipotesis 2: funcion objetivo

Para todo x0 X, Mx0 R, tal que

t=0tr(xt, ut) Mx0 para toda

dinamica factible {(xt, ut)}t=0,1,2... desde x0.

No obstante, la funcion objetivo (suma infinita) aun puede tomar,para ciertas dinamicas factibles, el valor de. Lahipotesis 3buscaacotar dicha dinamicas.

Hipotesis 3: funcion objetivo

Para todo x0 X, una dinamica factible {(xt, ut)}t=0,1,2... desde x0 yun mx0 R, tal que la sucesion de sumas parciales {Sn}t=0,1,2...Sn =n

t=0tr(xt, ut) satisface mx0 Sn.


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Hipotesis que sustentan las proposiciones III

Por tanto, las hipotesis 2 y 3 tienen como unico fin garantizar laexistencia de un valor finito para el supremo del PS; es decir, quela funcion objetivo este bien definida para cada dinamica factible{(xt, ut)} (x0).

Segun las condiciones anteriores podemos definir la funcion supremoV :X R que sea el valor supremo del PS:V(x0) = sup

{(xt,ut)}(x0)

t=0

tr(xt, ut) (6)

DondeV(x0) es el valor supremo del PS. A esta funcionVse le llamafuncion valor.


P i i i d i lid d

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Funcion supremo

Nota: Por definicion, la funcion supremoV : X R es unica ysatisface tres condiciones (condiderando una funcion objetivo generica(x)):

V(x0) = sup

x(x0)

(x)

1 Si | V(x0)| < , entonces:V(x0) (x), (para todo) x(x0)Para cualquier >0:V(x0) (x) + , para algun x(x0)

2 Si |

V(x0)| = +, entonces existe una secuencia {x

k} en (x0) tal

que:Limk

(xk) = +

3 Si | V(x0)|= , entonces (x) =, para todo x(x0)


P i i i d ti lid d

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Las 4 proposiciones que sutentan el principio de optimalidad I

Proposicion 1 (del PS al PF)

Bajo las hipotesis 1, 2 y 3,V resuelve el PF.Demostracion (proposicion 1):

La estrategia de demostracion tiene dos pasos: el primero es encontrar la relacionentre la funcion supremoVy la ecuacion funcional para dos valores iniciales distintosx1 y x0. El segundo consiste en unir el resultado del paso 1 para x1 y x0.

1 Evaluando en x1:Sea >0, u0(x0) y x1 =g(x0, u0)

Como

V(x1) es el valor supremo del PS con valor inicial x1(t = 1),

entonces una dinamica factible desde x1, {(x1, u1), (x2, u2),...} talque (por la propiedad del supremo):

t=1

t1

r(xt, ut)V(x1) (7)



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Las 4 proposiciones que sutentan el principio de optimalidad II

Se sabe que {(x0, u0), (x1, u1),...} (x0) y que por la propiedad delsupremo:

V(x0) t=0

tr(xt, ut)

r(x0, u0) +

t=1

t1r(xt, ut)

r(x0, u0) + V(x1) V(x0) r(x0, u0) + V(g(x0, u0)) Para pasar de la segunda a la tercera lnea se utiliza laecuacion [7].Como laultima ecuaciones verdad para todo >0 y u0 es cualquierelemento de (x0), entonces tenemos que:

V(x0) r(x0, u0) + V(g(x0, u0)), u0 (x0)



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Las 4 proposiciones que sutentan el principio de optimalidad III

Como la ecuacion anterior se cumple para todo u0, entonces:

V(x0) supu0(x0)

r(x0, u0) + V(g(x0, u0))

Generalizando para todo t:

V(x) supu(x)

r(x, u) + V(g(x, u)) (8)2 Evaluando en x0: Sea > 0, entonces por definicion del supremo,

una dinamica factible desde x0 {(x0, u0), (x1, u1),...} tal que:

V(x0) t=0

tr(xt, ut) +

V(x0) r(x0, u0) +V(x1) +



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Las 4 proposiciones que sutentan el principio de optimalidad IV

Como es arbitrario, entonces:V(x0) r(x0, u0) + V(g(x0, u0))V(x0) sup

u0(x0)

r(x0, u0) + V(g(x0, u0))

Generalizando para todo t:

V(x) supu(x)

r(x, u) + V(g(x, u)) (9)

3 Uniendo resultados:uniendo las dos ecuaciones[8] y[9] se tiene:

supu(x)

r(x, u)+V(g(x, u))V(x) sup

u(x)

r(x, u)+V(g(x, u))



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p p

Las 4 proposiciones que sutentan el principio de optimalidad V

4 Por tanto:

V(x) = sup

u(x)

r(x, u) +

V(g(x, u))

(10)

Lo cual indica que la funcion supremo (o funcion valor) es una solucionde la ecuacion funcional (PF).

5 La proposicion 1 indica queV es una solucion del PF, pero no in-dica que sea la unica. Con el fin de asegurar que esta sea la unica

solucion del PF se impone una restriccion adicional: condicion detransversalidad fuerte. Laproposicion 2asegura lo anterior.



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p p


Proposicion 2 (del PF al PS)

Segun las hipotesis 1, 2 y 3, Vresuelve el PF, y si ademas secumple la condicion de transversalidad fuerte:

Limt

tV(xt) = 0

para todo x0 X y dinamica factible {(xt, ut)} desde x0, entoncesV =V (es decir, V resuelve el PS).Demostracion (proposicion 2):En este caso hay que demostrar que V es la funcion supremoV. La estrategiade demostracion tiene dos pasos: el primero es demostrar que para toda dinamicafactible desde x0 se cumple que V(x0)

t=0

tr(xt, ut). El segundo es demostrar

que para todo > 0, una dinamica factible {(xt, ut)} desde x0 de modo que:

V(x0)

t=0tr(xt, ut) +. Ambos pasos aseguran que V es la funcion supremo

(o funcion valor).



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1

Paso 1a: Como V es solucion del PF, entonces dinamica factible{(xt, ut)} (x0) tenemos:

V(x0) r(x0, u0) +V(x1) (por propiedad del supremo)

V(x1) r(x1, u1) +V(x2) (para x1)

r(x0, u0)+V(x1) r(x0, u0)+r(x1, u1) +V(x2)por transitividad en la 1era inecuacion:

V(x0) r(x0, u0) +r(x1, u1) +2V(x2)

V(x0) 1

t=0tr(xt, ut) +

2V(x2) (en forma compacta)

Por induccion (k pasos):

V(x0) k

t=0

tr(xt, ut) +k+1V(xk+1) (11)



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2 Paso 1b:Haciendo k y usando la condicion de transversalidadfuerte:

V(x0) Limk

kt=0

tr(xt, ut) +k+1V(xk+1)

V(x0) Limk

kt=0

tr(xt, ut)

+ Limk

k+1V(xk+1)

por condicion de transversalidad fuerte:

V(x0)

t=0 tr(xt, ut) +0

V(x0) t=0

tr(xt, ut) (12)



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3 Paso 2a: Sea > 0 y {t}t=0,1,2... una sucesion de numeros reales

positivos, tal que: t=0

tt (13)

4 Paso 2b:ComoVresuelve el PF, entonces u0 (x0) de modo que:

(por propiedad del supremo)

V(x0) r(x0, u0) + V(x1) + 0

tambien existe u1 (x1) tal que:

V(x1) r(x1, u1) + V(x2) + 1

r(x0, u0)+V(x1) r(x0, u0)+r(x1, u1) +

V(x2)

+1

por transitividad en la 1era inecuacion:

V(x0) r(x0, u0) + r(x1, u1) +2V(x2) + 1

(en forma compacta)

V(x0) 1

t=0

tr(xt, ut) + 2V(x2) +

1t=1

tt



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5 Paso 2c:Por induccion (k pasos):

V(x0) k

t=0

tr(xt, ut) +k+1V(xk+1) +

kt=1

tt

6 Paso 2d:Haciendo k y usando la expresion[13]:

V(x0) Limk

kt=0

tr(xt, ut) + k+1V(xk+1) +

kt=1

tt

V(x0) Limk

kt=0

tr(xt, ut)

+ Lim

k

k+1V(xk+1)

+ Lim

k

kt=1

tt

por condicion de transversalidad fuerte y[13]:

V(x0) t=0

tr(xt, ut) +0+

V(x0) t=0

tr(xt, ut) + (14)



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Las 4 proposiciones que sutentan el principio de optimalidad VI

7 De las inecuaciones [12] y[14] se concluye queVes la funcion supremo(funcion valor).

8 El PF puede tener muchas soluciones, pero laproposicion 2muestraque dichas soluciones (exceptoV) violan la condicion de transversa-lidad fuerte y la unica que satisface dicha condicion esV. Por tantoV =V



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Proposicion 3 (dinamica factible del PS al PF)

Bajo las hipotesis 1,2 y 3: sea {(xt, ut)} una dinamica factible

desde x0 que permite alcanzar el supremo del PS, entonces dicha

dinamica factible cumple con [5]:V(xt) =r(xt, ut) + V(xt+1) (15)Es decir, permite alcanzar el supremo en el PF.

Demostracion (proposicion 3):La estrategia de demostracion tiene dos pasos:primero demostramos que la ecuacion [15] se cumple para t = 0. El segundo esextender este resultado para todo t= 1, 2, 3 (por induccion).



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1 Paso 1a: debido a que {(xt, ut)} es una dinamica factible desde x

0

que permite alcanzar el supremo del PS, entonces se cumple:

V(x0 ) = t=0

tr(xt, ut)

t=0tr(xt, u

t) = r(x

0 , u

0 ) +

t=0tr(xt+1, u

t+1) (16)

2 Paso 1b:para toda dinamica factible{(x1 , u1), (x2, u2), (x3, u3),...} (x1 ), por la definicion del supremo se cumple:

t=0

t

r(x

t, u

t) r(x

0 , u

0 ) +

t=0

t

r(xt+1, ut+1) (17)

Por tanto, de la expresion[16] y[17]se tiene que:

t=0 tr(xt+1, u

t+1)

t=0 tr(xt+1, ut+1) (18)




L 4 i i l i i i d i lid d III

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3 Paso 1c:ademas, como la dinamica factible {(x1 , u1 ), (x

2 , u

2 ), (x

3 , u

3 ),...}

(x1 ), entonces se cumple que t=0tr(xt+1, ut+1) tiene que ser elvalor supremo con valor inicial en x1 :

V(x1 ) =

t=0

tr(xt+1, ut+1) (19)

4 Paso 1d:reemplazando la expresion [19]en [16]se tiene:

V(x0 ) =r(x0 , u0 ) +V(x1 ) (20)5 Paso 2a:se probo que:

V(x0 ) = r(x0 , u0 ) +V(x1 )V(x1 ) =

t=0

tr(xt+1, ut+1)




L 4 i i l i i i d i lid d IV

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6 Paso 2b:se propone una hipotesis inductiva:

V(xk) =r(xk, uk) +V(xk+1) (21)DondeV(xk)k N se define como:

V(xk) = t=0

tr(xt+k, ut+k) (22)

Si la hipotesis (ecuacion [21]) se cumple para k+ 1, entonces lahipotesis es verdadera.




L 4 i i t t l i i i d ti lid d V

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7 Paso 2c:verificando para k+ 1:

de[21]y de [22]

r(xk, uk) +

V(xk+1) = V(xk) = t=0

tr(xt+k, ut+k)

r(xk, uk) +V(x

k+1) = r(x

k, u

k) +

t=0 tr(xt

+(k

+1)

, ut+(

k+1)

)

V(xk+1) =t=0

tr(xt+(k+1), ut+(k+1))

V(xk+1) = r(x

k+1, u

k+1) +

t=0

tr(xt+(k+2), ut+(k+2))

V(xk+1) = r(xk+1, uk+1) + V(xk+2) (23)Por tanto la hipotesis inductiva es verdadera y generalizable para

todo t=0, 1, 2, ...




Las 4 o osiciones e s tentan el inci io de o timalidad I

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Proposicion 4 (dinamica factible del PF al PS)

Bajo las hipotesis 1,2 y 3: si {(xt, ut)} una dinamica factible desde

x0 que satisface[15] y se cumple la condicion de transversalidaddebil:

Limt

tV(xt) 0,

entonces {(xt, ut)} resuelve el PS.

Demostracion (proposicion 4):La estrategia es la siguiente: que{(xt , u

t)} resuelve el PS significa que permite al-

canzar el supremo:

V(x0) = sup

{ut}

t=0

tr(xt, ut)

. Es decir,

V(x0) =

t=0

tr(xt , ut).

Esto ultimo es lo que tenemos que demostrar.1 Paso 1:Como{(xt, u

t)}es una dinamica factible desde x0, entonces:

V(x0 )

t=0

tr(xt, ut) (24)





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2 Paso 2:Ademas, {(xt, ut)} satisface[15]; es decir, permite alcanzar

el supremo en el PF:

V(xt) = r(x

t, u

t) +

V(xt+1)

t = 0,1,2, ... :V(x0 ) = r(x0 , u0 ) +V(x1 )V(x1 ) = r(x1 , u1 ) +V(x2 )

V(x2 ) = r(x

2 , u

2 ) +

V(x3 )

...V(xk) = r(xk, uk) +V(xk+1)





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3 Paso 3:reemplazandoV(x2 ) enV(x1 ):V(x2 ) = r(x2 , u2 ) +V(x3 )V(x1 ) = r(x1 , u1 ) +

r(x2 , u

2 ) +

V(x3 )

reemplazando V(x1 ) en V(x0):

V(x0 ) = r(x0 , u0 ) +r(x1 , u1 ) +r(x2 , u2 ) +2V(x3 )de forma compacta:

V(x0 ) =

2

t=0tr(xt, u

t) +

3

V(x3 )

por induccion (k pasos):

V(x0 ) = kt=0

tr(xt, ut) +

k+1V(xk+1) (25)





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4 Paso 4:tomando k en la ecucion [25]:

V(x0 ) = Lim

k

kt=0

tr(xt, ut) +

k+1

V(xk+1)

V(x0 ) = t=0

tr(xt, ut) + Lim

k

k+1V(xk+1)

por condicion de transversalidad debil: Limt

tV(xt) 0

V(x0 )

t=0

t

r(xt, u

t) (26)





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5 Paso 5:de la inecuacion [24]y [26]se tiene:

t=0

tr(xt, ut)

V(x0 ) t=0

tr(xt, ut) (27)

Por tanto:

V(x0 ) = t=0

tr(xt, ut) (28)

Lo cual indica que la dinamica factible {(xt, ut)} resuelve el PS.

Conclusion

Las proposiciones 1 al 4 implican que (bajo las hipotesis 1, 2 y 3) la soluciona la ecuacion[5]:V(xt) =r(xt, ut)+ V(xt+1) (PF) coincide exactamente(en terminos de valores y planes optimos) con la solucion del PS. Es decir,el principio de optimalidad se mantiene.



Metodo para solucionar el PF

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1




3 Programacion dinamica: detallesPrincipio de optimalidad

Metodo para solucionar el PFMetodo de calculo diferencial para solucionar el PF




Metodo para solucionar el PF I

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Metodo para solucionar el PF I

1 Hasta aqu se ha estudiado la relacion entre el PS y el PF, pero no seha dado ningun metodo para solucionar el PF.

2

Lo interesante de la programacion dinamica es que ofrece varios meto-dos de solucion del PF: metodos teoricos y numericos.

3 El principal metodo es considerar al PF como unproblema de puntofijo (PptoFijo). Para ello necesitamos dos hipotesis adicionales: sobrela correspondencia (x) y la funcion de retorno r(x, u).




Hipotesis que permiten considerar el PF como un PptoFijo I

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potes s que pe te co s de a e co o u pto jo

Hipotesis 4: (x)

:X Xes una correspondencia de valores compactos (i.e. (x) escompacto para todo x), continua y (x)= para todo x.

Hipotesis 5: y r(x, u)(0, 1) y r(xt, ut) es acotada y continua sobre el grafo de .Donde:

Grafo de :

(x, u) XxRm tal que u(x)

Lashipotesis 4 y 5implican lashipotesis 1, 2 y 3. Por tanto, las pro-posiciones 1 al 4 se mantienen, y por ende el principio de optimalidad.

Por lahipotesis 5,V(y por lo tanto V por el principio de optima-lidad) que es una funcion real, tambien es a acotada y continua.




Hipotesis que permiten considerar el PF como un PptoFijo II

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p q p p j

Definamos Ca(X) : Espacio de las funciones reales, continuas y aco-

tadas. Entonces:V =V Ca(X).Definimos un operadorT: Ca(X) Ca(X)del PF:T[V](x) = sup

{u}(x)

r(x, u) +V(g(x, u))

(29)

Del PF sabemos:

V(x) = sup{u}(x)

r(x, u) +V(g(x, u))

(30)

De [29] y [30], el PF se convierte en un Problema de punto fijo(PptoFijo):

T[V](x) =V(x) (31)

Donde la funcionVes el punto fijo. Si encontramos la funcion V queresuelve[31] (PptoFijo), entonces tendremos la solucion del PF y por

el principio de optimalidadtendremos la solucion del PS.




Hipotesis que permiten considerar el PF como un PptoFijo III

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p q p p j

Debido a que se tiene la funcion valor, se puede encontrar el planoptimo:

Forma 1:resolviendo paso a paso el problema del maximo queaparece en el PF (i.e. encontrar la funcion de poltica).

Forma 2:resolviendo el sistema de ecuaciones:

V(xt) =r(xt, u

t) + V(x

t+1), t= 0, 1, 2, 3...

Necesitamos un teorema que asegure que el operador T : Ca(X) Ca(X) tiene ununico punto fijoy por tanto una solucion alPptoFijo. Elteorema del punto fijo para contraccionesasegura lo anterior.




Teorema del punto fijo

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Teorema 2 (Punto fijo para contracciones)

Bajo las hipotesis 4 y 5: sea Ca(X) (espacio de las funciones reales,continuas y acotadas sobre X) con la norma del supremo ,entonces el operador T definido en Ca(X) es una aplicacion deeste espacio en s mismo, T: Ca(X) Ca(X) , definido como:

T[V](x) =supr(xt, ut) + V(g(xt, ut)) (32)sujeto a: ut(xt), Satisface:

1 T[V] Ca(X)

2 T tiene un unico punto fijo V: T[V] =V

3 Para cualquier V0 Ca(X) se tiene:

Tn(V0)V nV0 V

En particular:Limn

Tn(V0) =V




Teorema del punto fijo

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Nota:la norma del supremo esta definido como:

f= sup{|f(x)|} (33)

El teorema del punto fijo ofrece un metodo de solucion del PF: la

convergencia de iteraciones sucesivas de una funcion contractiva alpunto fijo, la cual consiste en: la sucesion de funciones {Vn}

n=0

definida como:Vn =T[Vn1], n1 (34)

converge al punto fijo (V) de la contraccion T; es decir:

Limn

Vn =V (35)




Teorema del punto fijo: demostracion I

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Demostracion (teorema 2):

1 Paso 1:bajo las hipotesis 4, 5 y 8 se tiene que para cadaf Ca(X) xXel problema del punto de fijo:

T[f](x) = maxut(X)

r(xt, ut) +f(ut)

(36)

se reduce a maximizar la funcion continua:r(xt, ) +f()

(37)

sobre el conjunto compacto (X). Esto permite alcanzar el maximo.

Una pregunta que tenemos que responder es: T[f ] es acotada ycontinua? se sabe que su dominio lo es.

2 Paso 2a:debido a que r(xt, ut) y f(ut) son acotadas, entonces:

T[f], tambien es acotada.




Teorema del punto fijo: demostracion II

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3 Paso 2b: debido a que r(xt, ut) y f(ut) son continuas, y (X) escompacto, entonces: por el teorema del maximo se tiene que T[f] es

continua.

Por tanto, del paso 2ay 2bse tiene que: T[f ] es continua y acotada, ydado que Tfue definido (dominio) en Ca(X), entonces se obtiene que eloperador T[f] es:

T[f] :

Ca(X

)C

a(X

)4 Paso 4:T es una contraccion?

S. Esto se debe a que el operador Tcumple con las condiciones deBlackwell.

5 Paso 5:T tiene un unico punto fijo?

S. Debido a que Ca(X) es un espacio de Banach, entonces por elteorema de la aplicacion contractiva, T tiene un unico punto fijoV Ca(X) y se cumple que:

Tn(V0) V nV0 V




Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) I

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El modelo basico de crecimiento esta descrito por el siguiente problema(en terminos generales):

Max{ct,kt+1}t=0

t=0

tlnct

s.a:kt+1 = (1 )kt+it

ct+it=f(kt)

ct, kt0t

A este problema lo llamamosproblema secuencial(PS). Considerando lassiguientes forma funcionales

u(ct)lnct, f(kt) = k

t

, y supuestos

(0, 1), = 1 y k0 dado

se tiene:




Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) II

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Problema secuencial: Brock y Mirman (1972)

Max{ct,kt+1}t=0

t=0

tlnct

s.a:

kt+1 =k

t ctct, kt0

La ecuacion funcional (o de Bellman) es:

V(kt) = Max{ct,kt+1}t=0lnct+V(kt+1)

Al reemplazar la restriccion en la ecuacion de Bellman kt+1 =k

t ct, elproblema funcional asociado queda descrito de la siguiente manera:


Programacion dinamica: detallesMetodo para solucionar el PF

Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) III

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Problema funcional: Brock y Mirman (1972)

V(kt) = Max{ct}t=0

lnct+V(k

t ct)

0 ctk

t

Encontrando la funcion valor

1 Para resolver el PF utilizaremos el metodo de iteracion de la funcionvalor (propuesto por el teorema del punto fijo para contracciones), la

expresion[34]:Vn =T[Vn1], n1 (38)

Se inicia con la funcion mas sencilla: V0 = 0



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) IV

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2 Encontrando V1

V1 = T[V0]

= Max{ct}t=0

lnct+V0(k

t ct)

=0

= Max{ct}t=0

lnct

(39)(a) En esta etapa se aplica la condicion de primer orden:

funcion objetivoct

= 0

No obstante, en este caso, por ser ln monotona entonces el valormaximo se alcanza cuando ct=k

t (ver la restriccion del PF).



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) V

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(b) Reemplazando ctque maximiza la funcion objetivo en [39]se obtieneT[V0] y por ende V1:

V1 = T[V0] =lnk

t

V1 = lnkt (40)

3

Encontrando V2

V2 = T[V1]

= Max{ct}t=0

lnct+V1(k

t ct)

=ln(kt ct) = Max

{ct}t=0

lnct+ln(k

t ct)

(41)



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) VI

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(a) En esta etapa se aplica la condicion de primer orden:

funcion objetivo

ct= 0

ct= kt

1 + (42)

(b) Reemplazando ctque maximiza la funcion objetivo en [41]se obtieneT[V1] y por ende V2:

V2 = T[V1] =(1 + )lnkt+ ln

1 +

ln(1 + )

V2 = (1 + )lnkt+ ln

1 +

ln(1 + ) (43)



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) VII

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4 De igual forma podemos hacer paraV3y luego en forma general vemosque:

Vn(kt) =An+

n1i=0

()ilnkt

(44)

Donde hacemos que n por la propiedad [35]:

LimnVn =V

Limn

Vn(kt) = Limn

An+ Limn

n1

i=0()ilnkt

V = A+

i=0

()ilnkt

V = A+

1 lnkt (45)



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) VIII

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La constante A la podemos encontrar reemplazando V y la dinamicaoptima en la ecuacion de Bellman.

Encontrando la funcion de poltica

Dado que ya conocemos la funcion valor (V), la cual reemplazamos en laecuacion de Bellman del PF.

1

Reemplezando la funcion valor en el PF:

V(kt) = Max{ct}t=0

lnct+

ln(kt ct)

0 ctk

t

El problema funcional se convierte en un problema de optimizacionestandar (en t), a la cual se puede aplicar las condiciones de primerorden.Aplicando CPO:

funcion objetivo

ct

= 0



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) IX

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Encontramos lafuncion de poltica: ct=h(kt)

ct= (1 )k

t (46)

2 Encontrando la constante A: reemplazando la funcion valor y lafuncion de poltica en la ecuacion de Bellman (el max desapareceporque la funcion de poltica permite alcanzar dicho maximo):

A+

1 lnkt=ln(h(kt)) +

ln(kt h(kt))

Resolviendo e igualando los coeficientes de los terminos similares:

A= 11 (ln(1 ) + 1 ln)Encontrando la dinamica optima



Ejemplo 1: modelo de Brock y Mirman (1972) X

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1 La dinamica optima:es la sucesion {ct, kt}t=0 descrita por este

sistema de ecuaciones (con k0 dado):

Ec. de evolucion de la variable de estado

kt+1 = k

t (1 )k

t =k

t (47)

Funcion de poltica

ct = (1 )k

t (48)



Ejemplo 2: modelo con habitos de consumo

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Max{ct,kt+1}t=0

t=0 t(lnct+lnct

1)

sujeto a:ct+kt+1Ak

t

Donde: (0, 1), 0 y (0, 1). k0 y c1 dado.

1 Escribir la ecuacion de Bellman.

2 Demuestre que la solucion de dicha ecuacion tiene la forma:

v(kt, ct1) =E+Flnkt+Glnct1

3 Demostrar que la dinamica optima del capital tiene la forma:

lnkt+1=I+Hlnkt

Donde E,F,G,H,I son constantes. De formulas explcitas para estasconstantes en terminos de los parametros del problema.


Programacion dinamica: detallesMetodo de calculo diferencial para solucionar el PF

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3 Programacion dinamica: detallesPrincipio de optimalidad

Metodo para solucionar el PFMetodo de calculo diferencial para solucionar el PF



Metodo de calculo diferencial para solucionar el PF

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Para aplicar los metodos de calculo diferencial en la solucion de proble-mas de optimizacion dinamica se requiere que la funcion valor tenga trespropiedades importante:

1 Monotonicidad:

2 Concavidad:

3 Diferenciabilidad:



Monotonicidad de V(xt)

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Hipotesis 6: r(x, u) y g(x, u)

Para cada u Rm, las funciones:

r(xt, u) : X R es estrictamente crecienteg(xt, u) : X X es creciente

Hipotesis 7: (x)

es monotona (i.e. si x

>x(x

) (x) )



Monotonicidad de V(xt) I

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Proposicion 5 (monotonicidad de V(x))

Bajo las hipotesis 4 al 7, entonces la funcion valor es

estrictamente creciente.

Demostracion (proposicion 5):La estrategia tiene dos pasos: el primero es demostrar que T[f] es una funcion

estrictamente creciente; el segundo paso es considerar el PptoFijo y de all derivarque V es tambien estrictamente creciente.

1 Sabemos:

Ca(X)es el espacio de las funciones reales, continuas y acotadas conla norma del supremo.Cc(X

)C

a(X

)es el espacio de las funciones reales, continuas, aco-tadas ycrecientes.Se observa queCc(X) es un subespacio cerrado en Ca(X), y por tantoes un espacio completo en la norma del supremo.

2 Paso 1: vamos a probar que si f Ca(X) es creciente, entoncesT[f] es una funcion estrictamente creciente



Monotonicidad de V(xt) II

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3 Paso 1a:por lahipotesis 6: six xentoncesg(x, u) g(x, u) u.

dado que f es creciente:

f(g(x, u)) f(g(x, u))

r(x, u)+f(g(x, u)) r(x, u)+f(g(x, u))

por la hipotesis 6 r(x,u) es creciente:

r(x,u) r(x,u), entonces:

r(x, u)+f(g(x, u)) > r(x, u)+f(g(x, u)) (49)

4 Paso 1b:Aplicando max en la relacion[49]:

maxu(x)

r(x, u) +f(g(x, u))> maxu(x)

r(x, u) +f(g(x, u))(50)

5 Paso 1c:por lahipotesis 7se tiene que: si x x(x) (x)



Monotonicidad de V(xt) III

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Donde u (x), entonces u (x). Reemplazando este resultadoen [50]se tiene:

maxu(x)

r(x, u) +f(g(x, u))> maxu(x)

r(x, u) +f(g(x, u))(51)



Monotonicidad de V(xt) IV

P 1d l d fi i i d l d T f i f

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6 Paso 1d: por la definicion del operador T para una funcion fcualquiera:

T[f](x) = sup{u}(x)

r(x, u) +f(g(x, u))

La expresion [51] se convierte en:

T[f](x)>T[f](x) (52)

Es decir T[f] es estrictamente creciente.

Conclusion 1

Por tanto se cumple lo que queriamos probar en el paso 1:si f Ca(X) es creciente, entoncesT[f] es una funcion estrictamentecreciente

7 Paso 2: como Cc(X) es un subespacio cerrado de Ca(X), entoncesla funcion valor V esta en Cc(X):



Monotonicidad de V(xt) V

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Ademas, como T[V] =V, y Tes estrictamente creciente entoncesV tambien es estrictamente creciente.

Conclusion 2

Por tanto la funcion valor (V) es estrictamente creciente.



Concavidad de V(xt) I

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Hipotesis 8: X

Xes un subconjunto convexo de Rn.

Definicion conjunto convexo:el conjunto X es convexo si para doselementos de dicho conjunto x e y, la combinacion lineal (con t

[0, 1]) tambien se encuentra dentro de dicho conjunto. Es decir: xyX y t[0, 1] se cumple que[(1 t)x+ty] X



Concavidad de V(xt) II

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r(xt, ut) es estrictamente concava y g(xt, ut) es concava.

Definicion funcion concava:una funcion real definida en un conjuntoconvexo (dominio) es concava, si para dos puntos x e y cualesquieradefinidas en su dominio, y para cualquier t[0, 1] se cumple:

f(tx+ (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y)



Concavidad de V(xt) III

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Hipotesis 10: (x)

(xt) es convexa; es decir:

1 (x) es un conjunto convexo para todo xX.

2 Dado [0, 1], x, x X y x=x, entoncessi u(x) yu (x) implica que:

u+ (1 )u (x+ (1 )x)



Concavidad de V(xt) I

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Proposicion 6 (concavidad de V(x))

Segun las hipotesis 4,5,8,9 y 10, la funcion valor es estrictamente

concava y la correspondencia de poltica es una funcion

continua.

Demostracion (proposicion 6):La estrategia tiene dos pasos: el primero es demostrar que T[f] es una funcion

creciente y estrictamente concava; el segundo paso es considerar el PptoFijo y de

all derivar que V tambien es creciente y estrictamente concava.

1 Paso 1: vamos a probar que si f Ca(X) es creciente y concava,entonces T[f ] es una funcion creciente y estrictamente concava.

(que sea creciente lo sabemos de la proposicion 5).

2 Paso 1a: dado [0, 1], x, x X y x = x, y sea u, u tales queresuelven el problema del maximo definido por: T[f](x) y T[f](x)respectivamente.



Concavidad de V(xt) II

3 Paso 1b: ademas por la hipotesis 10 se tiene que:

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3 Paso 1b:ademas, por la hipotesis 10 se tiene que:

u+ (1 )u (x+ (1 )x)

entonces, tenemos que (por la definicion del supremo):

T[f](

x) r(

x,

u) +f(g(

x,

u)) (53)

Donde:

x = x+ (1 )x

u = u+ (1 )u

4 Paso 1c:pero r(, ) es estrictamente concava (hipotesis 9), entoncespara r(x,u) que es igual a r(x+ (1 )x, u+ (1 )u) se tieneque:

r(x+ (1 )x, u+ (1 )u)> r(x, u) + (1 )r(x, u) (54)



Concavidad de V(xt) III

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5 Paso 1d:ademas, dado que g(, ) es concava (hipotesis 9), entoncesse tiene que:

g(x,u) g(x, u) + (1 )g(x, u) (55)y dado que f es creciente, entonces aplicando f a la ecuacion an-

terior (ecu.55):

f(g(x,u)) f(g(x, u) + (1 )g(x, u)) (56)y como f esconcava:

f(g(x, u) + (1 )g(x, u)) f(g(x, u)) + (1 )f(g(x, u))(57)



Concavidad de V(xt) IV

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6 Paso 1e: introduciendo la expresion [54] y [57] (multiplicada por )en la expresion inicial [53]se tiene:

T[f](x) r(x,u) + f(g(x,u))> r(x, u) + (1 )r(x, u) + [f(g(x, u)) + (1 )f(g(x, u))]

>

r(x, u) + f(g(x, u))

+

(1 )r(x, u) + (1 )f(g(x, u

> r(x, u) + f(g(x, u)) T[f](x)

+ (1 ) r(x, u) + f(g(x, u))

T[f](x)

T[f](x) > T[f](x) + (1 )T[f](x)

Conclusion 1Por tanto se cumple lo que queriamos probar en el paso 1:

si f Ca(X) es creciente y concava, entonces T[f] es una funcioncreciente y estrictamente concava



Concavidad de V(xt) V

P 2 C (X ) ( t d l f i t i t t

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7 Paso 2:comoCc(X) (acotado para las funciones estrictamente conca-va) es un subespacio cerrado deCa(X),entoncesla funcion valor Vesta en Cc(X) (acotado para las funciones estrictamente concava):

Ademas, como T[V] = V, y Tes estrictamente concava entonces

V tambien es estrictamente concava.

Conclusion 2

Por tanto la funcion valor (V) es estrictamente concava.



Diferenciabilidad de V(xt) I

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r(xt, ut) y g(xt, ut) son continuamente diferenciables en el interior delgrafo de (xt).

Hipotesis 12: diferenciabilidad

Sea (x, u) en el interior del grafo de , tal que una funciondiferenciable definida en una vecindad abierta V de x tal que:

:V U

y para todo xV :(x) (x) y g(x, (x)) =g(x, u)




Diferenciabilidad de V(xt) II

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Teorema 3 (Diferenciabilidad de la funcion valor(Benveniste-Scheinkman 1))

Bajo las hipotesis 4, 5, 8, 9, 10, 11 y 12; si x0 Int(X) y h(x0) Int((x0)), en-tonces la funcion valor escontinuamente diferenciableen x0 y su derivadaesta dada por:

V(x0)

x0 =

r(x0, h(x0))

x0 +

V(g(x0, h(x0)))

x0 (58)

Esto es generalizado para todo t.

1 Este teorema es un paso previo para demostrar el teorema del envol-vente.

2 Requiere que en la ecuacion de Bellman se introduzca la funcion depoltica h(x) (ademas de la ecuacion de movimiento de la variable deestado g(x, h(x))).




Diferenciabilidad de V(xt) III

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3 Las hipotesis descritas aseguran que la funcion valor sea dos veces

diferenciable (Stokey y Lucas, 1989. pag 84), la cual asegura que lafuncion de poltica h(x) sea diferenciable. Esta propiedad es recogidaen el teorema de BS (1 y 2).

Teorema 4 (Teorema de la envolvente

(Benveniste-Scheinkman 2))Bajo las hipotesis 4, 5, 8, 9, 10, 11 y 12; si x0 Int(X) y h(x0) Int((x0)), ycumpiendose el teorema BS 1, entonces para x, use cumple:

V(x0)

x0=

r(x0, u0)

u0(59)

Esto es generalizado para todo t.

1 Este teorema asegura una relacion entre la funcion de valor y la funcionde utilidad.




Pasos para utilizar el metodo de BS

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1 En la ecuacion de Bellman aplicar las CPO. Es decir, derivar el ladoderecho de dicha ecuacion con respecto a la variable de control.

2 Aplicar el teorema del envolvente. Recordar que el teorema de la di-ferenciabilidad es solo para demostrar el teorema del envolvente.

Nota:

Este metodo (teorema de BS) brinda explicitamente las CPO sin necesidadde conocer la funcion valor; no obstante, no brinda la solucion al problema;es decir, no especifica lafuncion de poltica.




Ejemplo: aplicacion del teorema de la envolvente I

Un ejemplo tpico del consumidor:

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j p p

Problema de optimizacion de un consumidor

Max{ct,wt+1}t=0

t=0

tu(ct)

sujeto a:

wt+1 = (1 +r)(wt+ct)Donde: (0, 1), wtes la riqueza del individuo y w0 dado.

Solucion:

Ecuacion de Bellman

V(wt) = Max{ct}t=0

u(ct) +V(wt+1)

Introduciendo la ecuacion de la variable de estado:




Ejemplo: aplicacion del teorema de la envolvente II

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V(wt) = Max{ct}t=0u(ct) +V((1 +r)(wt+ct)) (60)

Condiciones de primer orden

Derivamos el lado derecho de la ecuacion de Bellman con respecto a la

variable de control ct:

u(ct)

ct+

V(wt+1)

wt+1

[(1 +r)(wt+ct)]

ct= 0

u(ct)

ct+

V(wt+1

)

wt+1(1)(1 +r) = 0

u(ct)

ct=(1 +r)

V(wt+1)

wt+1(61)




Ejemplo: aplicacion del teorema de la envolvente III

Teorema de la envolvente

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El teorema del envolvente indica:

V(wt)

wt=

u(ct)

ct(62)

Un periodo hacia adelante:

V(wt+1)

wt+1=

u(ct+1)

ct+1(63)

Encontrando la ecuacion de Euler

Introduciendo la ecuacion [63](teorema de la envolvente) en la ecuacion[64](CPO), se tiene la ecuacion de Euler:

u(ct)

ct=(1 +r)

V(wt+1)

wt+1




Ejemplo: aplicacion del teorema de la envolvente IV

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u(ct)

ct =(1 +r)

u(ct+1)

ct+1 (64)

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